Dakle, problem proučavanja sistema vektora za linearnu zavisnost svodi se na problem nalaženja ranga matrice sastavljene od vektora ovog sistema.

Treba napomenuti da će za p>n sistem vektora biti linearno zavisan.

Komentar: pri kompajliranju matrice A, sistemski vektori se mogu uzeti ne kao redovi, već kao stupci.

Algoritam za proučavanje sistema vektora za linearnu zavisnost.

Analizirajmo algoritam na primjerima.

Primjeri proučavanja sistema vektora za linearnu ovisnost.

Primjer.

Dat sistem vektora. Ispitajte ga radi linearnog odnosa.

Rješenje.

Pošto je vektor c nula, originalni sistem vektora je linearno zavisan zbog trećeg svojstva.

odgovor:

Sistem vektora je linearno zavisan.

Primjer.

Ispitati sistem vektora za linearnu zavisnost.

Rješenje.

Nije teško vidjeti da su koordinate vektora c jednake odgovarajućim koordinatama vektora pomnoženim sa 3, odnosno, . Prema tome, originalni sistem vektora je linearno zavisan.

Definicija 1. Linearna kombinacija vektora je zbir proizvoda ovih vektora i skalara
:

Definicija 2. Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim sistemom ako njihova linearna kombinacija (2.8) nestane:

i među brojevima
postoji barem jedan osim nule.

Definicija 3. Vektori
nazivaju se linearno nezavisnim ako njihova linearna kombinacija (2.8) nestane samo ako su svi brojevi.

Iz ovih definicija mogu se dobiti sljedeće posljedice.

Zaključak 1. U linearno zavisnom vektorskom sistemu, najmanje jedan vektor se može izraziti kao linearna kombinacija ostalih.

Dokaz. Neka vrijedi (2.9) i neka, radi određenosti, koeficijent
. tada imamo:
. Imajte na umu da je i obrnuto tačno.

Posljedica 2. Ako je sistem vektora
sadrži nulti vektor, onda je ovaj sistem (nužno) linearno zavisan - dokaz je očigledan.

Zaključak 3. Ako među n vektori
bilo koji k(
) vektora su linearno zavisni, onda svi n vektori su linearno zavisni (izostavljamo dokaz).

2 0 . Linearne kombinacije dva, tri i četiri vektora. Razmotrimo pitanja linearne zavisnosti i nezavisnosti vektora na pravoj liniji, ravni i u prostoru. Predstavimo odgovarajuće teoreme.

Teorema 1. Da bi dva vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu kolinearni.

Need. Neka vektori I linearno zavisna. To znači da je njihova linearna kombinacija
=0 i (radi definicije)
. To implicira jednakost
, i (prema definiciji množenja vektora brojem) vektori I kolinearno.

Adekvatnost. Neka vektori I kolinearno ( ║) (pretpostavljamo da se razlikuju od nultog vektora; inače je njihova linearna zavisnost očigledna).

Prema teoremi (2.7) (vidi §2.1, tačka 2 0) onda
takav da
, ili
– linearna kombinacija je jednaka nuli, a koeficijent pri jednako 1 – vektori I linearno zavisna.

Iz ove teoreme slijedi sljedeći zaključak.

Posljedica. Ako vektori I nisu kolinearni, onda su linearno nezavisni.

Teorema 2. Da bi tri vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu koplanarni.

Need. Neka vektori ,I linearno zavisna. Pokažimo da su oni komplanarni.

Definicija linearne zavisnosti vektora implicira postojanje brojeva
I tako da je linearna kombinacija
, a u isto vrijeme (radi određenosti)
. Tada iz ove jednakosti možemo izraziti vektor :=
, odnosno vektor jednaka dijagonali paralelograma izgrađenog na vektorima na desnoj strani ove jednakosti (slika 2.6). To znači da su vektori ,I leže u istoj ravni.

Adekvatnost. Neka vektori ,I komplanarno. Pokažimo da su one linearno zavisne.

Isključimo slučaj kolinearnosti bilo kojeg para vektora (jer je tada ovaj par linearno zavisan, a posljedici 3 (vidi tačku 10) sva tri vektora su linearno zavisna). Imajte na umu da takva pretpostavka također isključuje postojanje nultog vektora među tri navedena.

Tri koplanarna vektora prenosimo u jednu ravan i dovodimo ih do zajedničkog ishodišta. Kroz kraj vektora nacrtati linije paralelne vektorima I ; dobijamo vektore I (Sl. 2.7) - njihovo postojanje je osigurano činjenicom da su vektori I vektori koji nisu kolinearni po pretpostavci. Iz toga slijedi da je vektor =+. Prepisujemo ovu jednakost kao (–1) ++=0, zaključujemo da su vektori ,I linearno zavisna.

Iz dokazane teoreme slijede dvije posljedice.

Zaključak 1. Neka bude I nekolinearni vektori, vektor – proizvoljan, koji leži u ravni definisanoj vektorima I , vektor. Zatim su tu brojevi I takav da

=+. (2.10)

Posljedica 2. Ako vektori ,I nisu komplanarni, onda su linearno nezavisni.

Teorema 3. Svaka četiri vektora su linearno zavisna.

Izostavljamo dokaz; uz neke modifikacije, on kopira dokaz teoreme 2. Predstavimo posljedicu ove teoreme.

Posljedica. Za bilo koje nekoplanarne vektore ,,i bilo koji vektor
I takav da

. (2.11)

Komentar. Za vektore u (trodimenzionalnom) prostoru, koncepti linearne zavisnosti i nezavisnosti imaju, kao što sledi iz teorema 1-3 iznad, jednostavno geometrijsko značenje.

Neka postoje dva linearno zavisna vektora I . U ovom slučaju, jedan od njih je linearna kombinacija drugog, to jest, jednostavno se razlikuje od njega brojčanim faktorom (na primjer,
). Geometrijski, to znači da su oba vektora na zajedničkoj liniji; mogu imati isti ili suprotan smjer (slika 2.8 xx).

Ako se dva vektora nalaze pod uglom jedan prema drugom (slika 2.9 xx), tada se u ovom slučaju jedan od njih ne može dobiti množenjem drugog brojem - takvi vektori su linearno nezavisni. Dakle, linearna nezavisnost dva vektora I znači da se ovi vektori ne mogu postaviti na istu pravu liniju.

Hajde da saznamo geometrijsko značenje linearne zavisnosti i nezavisnosti tri vektora.

Neka vektori ,I su linearno zavisne i neka (radi određenosti) vektor je linearna kombinacija vektora I , odnosno nalazi se u ravni koja sadrži vektore I . To znači da su vektori ,I leže u istoj ravni. Obrnuta izjava je također tačna: ako su vektori ,I leže u istoj ravni, onda su linearno zavisne.

Dakle, vektori ,I su linearno nezavisne ako i samo ako ne leže u istoj ravni.

3 0 . Koncept osnove. Jedan od najvažnijih koncepata linearne i vektorske algebre je koncept baze. Uvodimo definicije.

Definicija 1. Par vektora se naziva uređenim ako je specificirano koji se vektor ovog para smatra prvim, a koji drugim.

Definicija 2. Ordered Pair ,nekolinearnih vektora naziva se baza na ravni definisanoj datim vektorima.

Teorema 1. Bilo koji vektor na ravni se može predstaviti kao linearna kombinacija baznog sistema vektora ,:

(2.12)

i ova reprezentacija je jedinstvena.

Dokaz. Neka vektori I čine osnovu. Zatim bilo koji vektor može se predstaviti kao
.

Da bismo dokazali jedinstvenost, pretpostavimo da postoji još jedna dekompozicija
. Tada imamo =0, a barem jedna od razlika nije nula. Ovo poslednje znači da su vektori I linearno zavisna, odnosno kolinearna; ovo je u suprotnosti sa tvrdnjom da oni čine osnovu.

Ali tada je razlaganje jedinstveno.

Definicija 3. Trojka vektora se naziva uređena ako je naznačeno koji se vektor smatra prvim, koji je drugi, a koji treći.

Definicija 4. Uređena trojka nekoplanarnih vektora naziva se baza u prostoru.

Teorema dekompozicije i jedinstvenosti također vrijedi i ovdje.

Teorema 2. Bilo koji vektor može se predstaviti kao linearna kombinacija baznog vektorskog sistema ,,:

(2.13)

i ovaj prikaz je jedinstven (izostavljamo dokaz teoreme).

U proširenjima (2.12) i (2.13), količine nazivaju se koordinate vektora u datoj bazi (tačnije, u afinim koordinatama).

Za fiksnu osnovu
I
možeš pisati
.

Na primjer, ako je data osnova
i s obzirom na to
, onda to znači da postoji reprezentacija (dekompozicija)
.

4 0 . Linearne operacije nad vektorima u koordinatnom obliku. Uvođenje baze omogućava da se linearne operacije nad vektorima zamijene običnim linearnim operacijama nad brojevima - koordinatama ovih vektora.

Neka se da neka osnova
. Očigledno, postavljanje koordinata vektora u ovoj bazi u potpunosti određuje sam vektor. Postoje slijedeći prijedlozi:

a) dva vektora
I
su jednake ako i samo ako su njihove odgovarajuće koordinate jednake:

b) pri množenju vektora
po broju njegove koordinate se množe ovim brojem:

; (2.15)

c) prilikom sabiranja vektora, dodaju se njihove odgovarajuće koordinate:

Izostavljamo dokaze ovih svojstava; Dokazimo svojstvo b) samo kao primjer. Imamo

==

Komentar. U prostoru (na ravni) može se birati beskonačno mnogo baza.

Dajemo primjer prijelaza s jedne baze na drugu, uspostavljamo odnos između koordinata vektora u različitim bazama.

Primjer 1. U osnovnom sistemu
data su tri vektora:
,
I
. u osnovi ,,vektor ima razgradnju. Pronađite vektorske koordinate u osnovi
.

Rješenje. Imamo proširenja:
,
,
; shodno tome,
=
+2
+
= =
, tj
u osnovi
.

Primjer 2. Pustite neku osnovu
četiri vektora su data svojim koordinatama:
,
,
I
.

Saznajte da li se vektori formiraju
osnova; u slučaju pozitivnog odgovora, pronaći dekompoziciju vektora u ovoj osnovi.

Rješenje. 1) vektori čine osnovu ako su linearno nezavisni. Sastavite linearnu kombinaciju vektora
(
) i saznajte za šta
I nestaje:
=0. Imamo:

=
+
+
=

Definicijom jednakosti vektora u koordinatnom obliku dobijamo sljedeći sistem (linearnih homogenih algebarskih) jednadžbi:
;
;
, čija odrednica
=1
, odnosno sistem ima (jedino) trivijalno rješenje
. To znači da su vektori linearno nezavisni
i stoga čine osnovu.

2) proširiti vektor u ovoj osnovi. Imamo: =
ili u koordinatnom obliku.

Prelaskom na jednakost vektora u koordinatnom obliku, dobijamo sistem linearnih nehomogenih algebarskih jednadžbi:
;
;
. Rješavajući ga (na primjer, prema Cramerovom pravilu), dobijamo:
,
,
i (
)
. Imamo vektorsku dekompoziciju u osnovi
:=.

5 0 . Projekcija vektora na osu. Svojstva projekcije. Neka postoji neka osovina l, odnosno prava linija sa odabranim smjerom na njoj, i neka je zadan neki vektor .Definirati pojam projekcije vektora po osovini l.

Definicija. Vektorska projekcija po osovini l naziva se proizvod modula ovog vektora i kosinusa ugla između osi l i vektor (Sl.2.10):

. (2.17)

Posljedica ove definicije je izjava da jednaki vektori imaju jednake projekcije (na istoj osi).

Obratite pažnju na svojstva projekcija.

1) projekcija zbira vektora na neku osu l jednak je zbroju projekcija članova vektora na istoj osi:

2) projekcija proizvoda skalara i vektora jednaka je umnošku ovog skalara i projekcije vektora na istu osu:

=
. (2.19)

Posljedica. Projekcija linearne kombinacije vektora na os je jednaka linearnoj kombinaciji njihovih projekcija:

Izostavljamo dokaze svojstava.

6 0 . Pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u prostoru.Dekompozicija vektora u jedinične vektore osa. Neka se za osnovu izaberu tri međusobno okomita jedinična vektora; uvodimo posebnu notaciju za njih
. Postavljanjem počnite od tačke O, usmjeriti duž njih (prema jediničnim vektorima
) koordinatne ose Ox,Oy i O z(os na kojoj je odabran pozitivan smjer, referentna točka i jedinica dužine naziva se koordinatna osa).

Definicija. Uređeni sistem od tri međusobno okomite koordinatne ose sa zajedničkim ishodištem i zajedničkom jedinicom dužine naziva se pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u prostoru.

Osa Ox nazvana x-osa, Oy- y-osa i O z – applique axis.

Hajde da se pozabavimo ekspanzijom proizvoljnog vektora u smislu baze
. Iz teoreme (vidi §2.2, tačka 3 0 , (2.13)) slijedi da
može se jedinstveno proširiti u osnovi
(ovdje umjesto označavanja koordinata
koristiti
):

. (2.21)

U (2.21)
su (kartezijanske pravougaone) koordinate vektora . Značenje Kartezijanske koordinate utvrđuje sljedeću teoremu.

Teorema. Kartezijanske koordinate
vektor su projekcije ovog vektora, respektivno, na ose Ox,Oy i O z.

Dokaz. Postavimo vektor do početka koordinatnog sistema - tačke O. Tada će se njegov kraj poklopiti sa nekom tačkom
.

Hajdemo kroz tačku
tri ravni paralelne sa koordinatnim ravnima Oyz,Oxz I Oxy(Sl. 2.11 xx). Tada dobijamo:

. (2.22)

U (2.22) vektori
I
nazivaju se komponentama vektora
duž osi Ox,Oy i O z.

Pusti
I uglovi formirani vektorom su naznačeni respektivno sa orts
. Tada za komponente dobijamo sljedeće formule:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Iz (2.21), (2.22) (2.23) nalazimo:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinate
vektor postoje projekcije ovog vektora na koordinatne ose Ox,Oy i O z respektivno.

Komentar. Brojevi
se nazivaju kosinusi smjera vektora .

Vektorski modul (dijagonala pravokutnog paralelepipeda) se izračunava po formuli:

. (2.24)

Iz formula (2.23) i (2.24) slijedi da se kosinusi smjera mogu izračunati pomoću formula:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Podižući oba dijela svake od jednakosti u (2.25) i dodajući član po član lijevi i desni dio rezultirajućih jednakosti, dolazimo do formule:

- ne formiraju bilo koja tri ugla određeni pravac u prostoru, već samo oni čiji su kosinusi povezani relacijom (2.26).

7 0 . Radijus vektor i koordinate tačke.Određivanje vektora po njegovom početku i kraju. Hajde da uvedemo definiciju.

Definicija. Radijus vektor (označen ) se naziva vektor koji povezuje ishodište O sa ovom tačkom (slika 2.12 xx):

. (2.27)

Bilo kojoj tački u prostoru odgovara određeni radijus vektor (i obrnuto). Dakle, tačke u prostoru su predstavljene u vektorskoj algebri svojim radijus vektorima.

Očigledno koordinate
bodova M su projekcije njegovog radijus vektora
na koordinatnoj osi:

(2.28’)

i na taj način,

(2.28)

– radijus vektor tačke je vektor čije su projekcije na koordinatne ose jednake koordinatama ove tačke. Iz ovoga slijede dva unosa:
I
.

Dobivanje formula za izračunavanje vektorskih projekcija
po koordinatama njenog početka - tačke
i krajnja tačka
.

Nacrtajte radijus vektore
i vektor
(sl.2.13). Shvatili smo to

=
=(2.29)

– projekcije vektora na koordinatne vektore jednake su razlikama odgovarajućih koordinata kraja i početka vektora.

8 0 . Neki problemi na kartezijanskim koordinatama.

1) vektorski kolinearni uslovi . Iz teoreme (vidi §2.1, tačka 2 0 , formula (2.7)) slijedi da za kolinarnost vektora I neophodno i dovoljno da bi se održao sljedeći odnos: =. Iz ove vektorske jednakosti dobijamo tri jednakosti u koordinatnom obliku:, iz čega slijedi uvjet kolinarnosti vektora u koordinatnom obliku:

(2.30)

– za kolinearne vektore I neophodno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

2) udaljenost između tačaka . Iz prikaza (2.29) slijedi da je udaljenost
između tačaka
I
određuje se formulom

=
=. (2.31)

3) segmentna podjela u ovom pogledu . Neka se daju bodovi
I
i stav
. Treba pronaći
- koordinate tačke M (sl.2.14).

Iz uslova kolinearnih vektora imamo:
, gdje
I

. (2.32)

Iz (2.32) dobijamo u koordinatnom obliku:

Iz formula (2.32') mogu se dobiti formule za izračunavanje koordinata sredine segmenta
, pod pretpostavkom
:

Komentar. Izbrojimo segmente
I
pozitivne ili negativne, ovisno o tome da li se njihov smjer poklapa sa smjerom od početka
iseći do kraja
, ili se ne poklapa. Zatim, koristeći formule (2.32) - (2.32"), možete pronaći koordinate tačke koja dijeli segment
eksterno, odnosno tako da tačku razdvajanja M je na produžetku
, ne unutar njega. Istovremeno, naravno,
.

4) jednadžba sferne površine . Sastavimo jednačinu sferne površine - geometrije tačaka
, jednako udaljena od udaljenosti iz nekog fiksnog centra - tačke
. Očigledno, u ovom slučaju
i uzimajući u obzir formulu (2.31)

Jednačina (2.33) je jednačina željene sferne površine.

Neka bude L – linearni prostor preko terena R . Neka bude A1, a2, ... , an (*) konačan sistem vektora iz L . Vector IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) zvao Linearna kombinacija vektora ( *), ili recimo vektor IN linearno izraženo kroz sistem vektora (*).

Definicija 14. Sistem vektora (*) se zove linearno zavisna , ako i samo ako postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se poziva sistem (*). linearno nezavisna.

Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti.

10. Ako sistem vektora sadrži nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

Zaista, ako je u sistemu (*) vektor A1 = 0, Zatim 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ako sistem vektora sadrži dva proporcionalna vektora, onda je on linearno zavisan.

Neka bude A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× ALI N= 0.

30. Konačan sistem vektora (*) za n ³ 2 je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih vektora ovog sistema.

Þ Neka je (*) linearno zavisna. Tada postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× ALI N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + bn ALI N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn ALI N= 0 , tj. (*) je linearno zavisna.

Komentar. Koristeći posljednju osobinu, može se definirati linearna zavisnost i nezavisnost beskonačnog sistema vektora.

Definicija 15. Vektorski sistem A1, a2, ... , an , … (**) se poziva linearno zavisna, Ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. U suprotnom, poziva se sistem (**). linearno nezavisna.

40. Konačan sistem vektora je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od njegovih vektora ne može biti linearno izražen u terminima njegovih drugih vektora.

50. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, tada je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

60. Ako je neki podsistem datog sistema vektora linearno zavisan, onda je i cijeli sistem linearno zavisan.

Neka su data dva sistema vektora A1, a2, ... , an , … (16) i V1, v2, … , vs, … (17). Ako se svaki vektor sistema (16) može predstaviti kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sistema (17), onda kažemo da je sistem (17) linearno izražen kroz sistem (16).

Definicija 16. Dva sistema vektora se nazivaju ekvivalentan , ako je svaki od njih linearno izražen u terminima drugog.

Teorema 9 (osnovna teorema o linearnoj zavisnosti).

Neka i - dva krajnji sistemi vektori iz L . Ako je prvi sistem linearno nezavisan i linearno izražen u terminima drugog, onda N£s.

Dokaz. Pretvarajmo se to N> S. Prema teoremi

joint. Pošto je broj jednačina više broja nepoznanica, onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Prema tome, ima različitu od nule x10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti će biti tačna jednakost (18), što je u suprotnosti sa činjenicom da je sistem vektora linearno nezavisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. shodno tome, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sistema vektora konačna i linearno nezavisna, onda sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Sistem vektora se zove Maksimalni linearno nezavisni sistem vektora linearni prostor L , ako je linearno nezavisan, ali mu dodaje bilo koji vektor iz L nije uključen u ovaj sistem, postaje linearno zavisan.

Teorema 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno nezavisna sistema vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz proizilazi iz činjenice da su bilo koja dva maksimalna linearno nezavisna sistema vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da je bilo koji linearno nezavisan sistem vektora prostora L može se kompletirati do maksimalnog linearno nezavisnog sistema vektora ovog prostora.

primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora, svaki sistem koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno nezavisan.

2. U skupu svih komplanarnih geometrijskih vektora, bilo koja dva nekolinearna vektora čine maksimalni linearno nezavisan sistem.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora, svaki sistem od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno nezavisan.

4. U skupu svih polinoma, stepen je najviše N Sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, sistem polinoma 1, x, x2, …, xn Maksimalno je linearno nezavisna.

5. U skupu svih polinoma sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, primjeri maksimalnog linearno nezavisnog sistema su

ali) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. Skup matrica dimenzija M´ N je linearni prostor (pogledajte). Primer maksimalnog linearno nezavisnog sistema u ovom prostoru je sistem matrica E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Neka je zadan sistem vektora C1, c2, ... , up (*). Poziva se podsistem vektora iz (*). Maksimalno linearno nezavisno Podsistem sistemi ( *) , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sistema, postaje linearno zavisan. Ako je sistem (*) konačan, onda bilo koji od njegovih maksimalnih linearno nezavisnih podsistema sadrži isti broj vektora. (Dokaz sami.) Poziva se broj vektora u maksimalnom linearno nezavisnom podsistemu sistema (*). rang Ovaj sistem. Očigledno, ekvivalentni sistemi vektora imaju iste rangove.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

Definicije linearno zavisnih i nezavisnih sistema vektora

Definicija 22

Neka imamo sistem od n-vektora i skup brojeva
, onda

(11)

naziva se linearna kombinacija datog sistema vektora sa datim skupom koeficijenata.

Definicija 23

Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim ako postoji takav skup koeficijenata
, od kojih barem jedan nije jednak nuli, tako da je linearna kombinacija datog sistema vektora sa ovim skupom koeficijenata jednaka nultom vektoru:

Neka bude
, onda

Definicija 24 ( kroz predstavljanje jednog vektora sistema kao linearne kombinacije ostalih)

Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim ako se barem jedan od vektora ovog sistema može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih vektora ovog sistema.

Izjava 3

Definicije 23 i 24 su ekvivalentne.

Definicija 25(putem kombinacije nulte linije)

Vektorski sistem
naziva se linearno nezavisnim ako je nulta linearna kombinacija ovog sistema moguća samo za sve
jednak nuli.

Definicija 26(zbog nemogućnosti da se jedan vektor sistema predstavi kao linearna kombinacija ostalih)

Vektorski sistem
naziva se linearno nezavisnim ako se nijedan od vektora ovog sistema ne može predstaviti kao linearna kombinacija drugih vektora ovog sistema.

Svojstva linearno zavisnih i nezavisnih sistema vektora

Teorema 2 (nulti vektor u sistemu vektora)

Ako postoji nulti vektor u sistemu vektora, onda je sistem linearno zavisan.

 Neka
, zatim .

Get
, dakle, po definiciji linearno zavisnog sistema vektora u terminima nulte linearne kombinacije (12) sistem je linearno zavisan. 

Teorema 3 (zavisni podsistem u sistemu vektora)

Ako sistem vektora ima linearno zavisan podsistem, onda je cijeli sistem linearno zavisan.

 Neka
- linearno zavisni podsistem
, među kojima barem jedan nije jednak nuli:

Dakle, prema definiciji 23, sistem je linearno zavisan. 

Teorema 4

Svaki podsistem linearno nezavisnog sistema je linearno nezavisan.

 Naprotiv. Neka je sistem linearno nezavisan i ima linearno zavisan podsistem. Ali tada, prema teoremi 3, ceo sistem će takođe biti linearno zavisan. Kontradikcija. Prema tome, podsistem linearno nezavisnog sistema ne može biti linearno zavisan. 

Geometrijsko značenje linearne zavisnosti i nezavisnosti sistema vektora

Teorema 5

Dva vektora I linearno zavisna ako i samo ako
.

 Need.

I - linearno zavisna
da je stanje
. Onda
, tj.
.

Adekvatnost.

Linearno zavisno. 

Posljedica 5.1

Nulti vektor je kolinearan bilo kojem vektoru

Posljedica 5.2

Da bi dva vektora bila linearno nezavisna potrebno je i dovoljno da nije bila kolinearna .

Teorema 6

Da bi sistem od tri vektora bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da ti vektori budu komplanarni .

 Need.

- su linearno zavisne, pa se jedan vektor može predstaviti kao linearna kombinacija druga dva.

, (13)

gdje
I
. Prema pravilu paralelograma je dijagonala paralelograma sa stranicama
, ali paralelogram je ravna figura
komplanarno
takođe su komplanarni.

Adekvatnost.

- komplanarno. Na tačku O primjenjujemo tri vektora:

C

B`

– linearno zavisna 

Korolar 6.1

Nulti vektor je komplanaran sa bilo kojim parom vektora.

Korolar 6.2

Da bi vektori
su linearno nezavisni ako i samo ako nisu komplanarni.

Zaključak 6.3

Bilo koji ravan vektor se može predstaviti kao linearna kombinacija bilo koja dva nekolinearna vektora iste ravni.

Teorema 7

Svaka četiri vektora u prostoru su linearno zavisna .

Razmotrimo 4 slučaja:

Nacrtajmo ravan kroz vektore, zatim ravan kroz vektore i ravan kroz vektore. Zatim crtamo ravnine koje prolaze kroz tačku D, paralelno sa parovima vektora; ; respektivno. Gradimo paralelepiped duž linija presjeka ravnina OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Razmislite OB 1 D 1 C 1 - paralelogram po konstrukciji prema pravilu paralelograma
.

Razmotrimo OADD 1 - paralelogram (iz svojstva paralelepipeda)
, onda

EMBED Equation.3 .

Prema teoremi 1
takav da . Onda
, a po definiciji 24 sistem vektora je linearno zavisan. 

Korolar 7.1

Zbir tri nekoplanarna vektora u prostoru je vektor koji se poklapa sa dijagonalom paralelepipeda izgrađenog na ova tri vektora vezana za zajedničko ishodište, a početak vektora zbira se poklapa sa zajedničkim ishodištem ova tri vektora.

Korolar 7.2

Ako uzmemo 3 nekoplanarna vektora u prostoru, onda se svaki vektor ovog prostora može dekomponovati u linearnu kombinaciju ova tri vektora.

Neka bude L- proizvoljan linearni prostor, a i Î L su njegovi elementi (vektori).

Definicija 3.3.1. Izraz , gdje , - proizvoljno realni brojevi, naziva se linearna kombinacija vektori a 1 , a 2 ,…, a n.

Ako je vektor R = , onda to kažu R razlagati na vektore a 1 , a 2 ,…, a n.

Definicija 3.3.2. Linearna kombinacija vektora se naziva netrivijalan, ako među brojevima postoji barem jedan osim nule. Inače, linearna kombinacija se poziva trivijalan.

Definicija 3.3.3 . Vektori a 1 , a 2 ,…, a n nazivaju se linearno zavisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija takva da

= 0 .

Definicija 3.3.4. Vektori a 1 ,a 2 ,…, a n nazivaju se linearno nezavisnim ako je jednakost = 0 moguće samo ako su svi brojevi l 1, l 2,…, l n su istovremeno nula.

Imajte na umu da se svaki element različit od nule a 1 može smatrati linearno nezavisnim sistemom, budući da je jednakost l a 1 = 0 moguće samo pod uslovom l= 0.

Teorema 3.3.1. Neophodan i dovoljno stanje linearna zavisnost a 1 , a 2 ,…, a n je mogućnost razlaganja barem jednog od ovih elemenata na ostatak.

Dokaz. Need. Neka elementi a 1 , a 2 ,…, a n linearno zavisna. To znači da = 0 , i barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, l n različito od nule. Neka za određenost l 1 ¹ 0. Onda

tj. element a 1 se razlaže na elemente a 2 , a 3 , …, a n.

Adekvatnost. Neka se element a 1 razloži na elemente a 2 , a 3 , …, a n, tj. a 1 = . Tada = 0 , dakle, postoji netrivijalna linearna kombinacija vektora a 1 , a 2 ,…, a n jednak 0 , pa su linearno zavisne .

Teorema 3.3.2. Ako je barem jedan od elemenata a 1 , a 2 ,…, a n nula, onda su ovi vektori linearno zavisni.

Dokaz . Neka bude a n= 0 , zatim = 0 , što znači linearnu zavisnost naznačenih elemenata.

Teorema 3.3.3. Ako među n vektora bilo koji p (str< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dokaz. Neka su, radi određenosti, elementi a 1 , a 2 ,…, a str linearno zavisna. To znači da postoji netrivijalna linearna kombinacija takva da = 0 . Navedena jednakost će biti sačuvana ako dodamo element u oba njegova dijela. Onda + = 0 , dok je barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, lp različito od nule. Dakle, vektori a 1 , a 2 ,…, a n su linearno zavisne.

Korolar 3.3.1. Ako je n elemenata linearno neovisno, tada je bilo koji k od njih linearno neovisno (k< n).

Teorema 3.3.4. Ako vektori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 su linearno nezavisni, a elementi a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , a n su linearno zavisne, a zatim vektor a n se može razložiti u vektore a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Dokaz. Pošto je po uslovu a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , a n su linearno zavisne, onda postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija = 0 , i (inače, ispada da je linearno zavisni vektori a 1 , a 2 ,…, a n- jedan). Ali onda vektor

Q.E.D.