Domena se naziva jednostavno povezanom ako je njena granica povezani skup. Domen se naziva n-povezanim ako se njegova granica dijeli na n-povezane skupove.
Komentar. Greenova formula vrijedi i za višestruko povezane domene.
Da bi integral (A, B su bilo koje tačke iz D) bio nezavisan od puta integracije (ali samo na početnoj i krajnjoj tački A, B), potrebno je i dovoljno da preko bilo koje zatvorene krive (preko bilo koja kontura) koja leži u D, integral je bio jednak nuli =0
Dokaz (potreba). Neka je (4) nezavisno od puta integracije. Posmatrajmo proizvoljnu konturu C koja leži u području D i izaberemo dvije proizvoljne tačke A, B na ovoj konturi. Tada se kriva C može predstaviti kao unija dvije krive AB=G2 , AB=G1 , C=G - 1 + G2 .
Teorema 1. Da bi krivolinijski integral bio nezavisan od puta integracije u D, potrebno je i dovoljno da
u oblasti D. Dovoljnost. Ako je zadovoljan, onda će Greenova formula za bilo koju konturu C biti 
odakle tražena tvrdnja slijedi lemom. Need. Prema lemi, za bilo koju konturu = 0. Tada je, prema Green formuli za područje D , ograničeno ovom konturom = 0. Po teoremu srednje vrijednosti=mDor==0. Prelazeći do granice, sažimajući konturu do tačke, dobijamo to u ovoj tački.
Teorema 2. Da bi krivolinijski integral (4) bio nezavisan od puta integracije u D, potrebno je i dovoljno da integrand Pdx+Qdy bude totalni diferencijal neke funkcije u u domeni D. du = Pdx+Qdy. Adekvatnost. Neka se to uradi, onda Nužnost. Neka je integral nezavisan od puta integracije. Fiksiramo neku tačku A0 u domeni D i definiramo funkciju u(A) = u(x,y)=
U ovom slučaju
XO (xO). Dakle, postoji izvod =P. Slično, provjeravamo da je =Q. Pod datim pretpostavkama, ispada da je funkcija u kontinuirano diferencibilna i du = Pdx+Qdy.
32-33. Definicija krivolinijskih integrala 1. i 2. vrste
Krivolinijski integral po dužini luka (1. vrsta)
Neka je funkcija f(x, y) definirana i kontinuirana u tačkama luka AB glatke krive K. Proizvoljno dijelimo luk na n elementarnih lukova tačkama t0..tn. Neka je lk dužina k parcijalni luk. Uzmimo proizvoljnu tačku N(k,k) na svakom elementarnom luku i pomnožimo ovu tačku sa odn. dužinom luka pravimo tri integralna zbira:
1
=
f(k,k)lk 2 = 
R(k,k)hk 3 = 
Q(k,k)yk, gdje je hk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1
Krivolinijski integral 1. vrste duž dužine luka biće granica integralne sume 1, pod uslovom da je max(lk) 0 
Ako je granica integralne sume 2 ili 3 na 0, tada se ova granica naziva. krivolinijski integral 2. vrste, funkcije P(x,y) ili Q(x,y) duž krive l = AB i označava se: 
ili 
iznos: 
+
uobičajeno je da se opšti krivolinijski integral 2. vrste naziva i označava simbolom: 
u ovom slučaju funkcije f(x,y), P(x,y), Q(x,y) nazivaju se integrabilnim duž krive l = AB. Sama kriva l naziva se kontura ili integracijom A - početna, B - krajnje tačke integracije, dl - diferencijal dužine luka, pa se stoga naziva krivolinijski integral 1. vrste. krivolinijski integral nad lukom krive, a druga vrsta - nad funkcijom..
Iz definicije krivolinijskih integrala proizilazi da integrali 1. vrste ne zavise od toga u kom smjeru ide kriva l od A i B ili od B i A. Krivolinijski integral 1. vrste nad AB:
, za krivolinijske integrale 2. vrste, promjena smjera prolaska krive dovodi do promjene predznaka:
U slučaju kada je l zatvorena kriva, tj. t. B se poklapa sa tačkom A, tada od dva moguća pravca zaobilaženja zatvorene konture l, pravac u kome površina koja leži unutar konture ostaje levo u odnosu na ??? se naziva pozitivnim. pravljenje zaobilaznice, tj. smjer kretanja je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Suprotan smjer zaobilaženja naziva se negativnim. Krivolinijski integral AB duž zatvorene konture l koja ide u pozitivnom smjeru će biti označen simbolom:
Za prostornu krivu, 1 integral 1. vrste se na sličan način uvodi:
i tri integrala 2. vrste:
naziva se zbir posljednja tri integrala. opšti krivolinijski integral 2. vrste.
Neke primjene krivolinijskih integrala 1. vrste.
1.Integral 
- dužina luka AB
2. Mehaničko značenje integrala 1. vrste.
Ako je f(x,y) = (x,y) linearna gustina materijalnog luka, tada je njegova masa: 
3. Koordinate centra mase materijalnog luka:
4. Moment inercije luka koji leži u xy ravni u odnosu na početak i osi rotacije ox, oy:
5. Geometrijsko značenje integrala prve vrste
Neka funkcija z = f(x,y) ima dimenziju dužine f(x,y)>=0 u svim tačkama materijalnog luka koje leže u xy ravni tada:
, gdje je S površina cilindrične površine, mačka se sastoji od okomita na ravninu oksi, istočno. u tačkama M(x, y) krive AB.
Neke primjene krivolinijskih integrala 2. vrste.
Računanje površine ravne regije D sa granicom L
2.Power work. Neka se materijalna tačka kreće pod dejstvom sile duž neprekidne ravne krive BC, idući od B do C, rad ove sile:
Ostrogradsky-Green formula
Ova formula uspostavlja vezu između krivolinijskog integrala nad zatvorenim konturama C i dvostruki integral duž područja omeđenog ovom konturom.
Definicija 1. Domen D se naziva jednostavnom domenom ako se može podijeliti na konačan broj domena prvog tipa i, nezavisno od toga, na konačan broj domena drugog tipa.
Teorema 1. Neka su funkcije P(x,y) i Q(x,y) definirane u jednostavnoj domeni, koje su kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim derivatima i
Tada formula vrijedi
gdje je S zatvorena kontura područja D.
Ovo je formula Ostrogradsky-Green.
Uslovi nezavisnosti krivolinijski integral sa puta integracije
Definicija 1. Za zatvoreno kvadratno područje D se kaže da je jednostavno povezano ako se bilo koja zatvorena kriva l D može kontinuirano deformirati u tačku tako da bi sve tačke ove krive pripadale području D (područje bez “rupa” - D 1 ), ako je takva deformacija nemoguća, tada se područje naziva višestruko povezano (sa „rupama“ - D 2).
Definicija 2. Ako vrijednost krivolinijskog integrala duž krive AB ne zavisi od tipa krive koja spaja tačke A i B, onda kažu da ovaj krivolinijski integral ne zavisi od puta integracije:
Teorema 1. Neka su u zatvorenoj jednostavno povezanoj domeni D definirane kontinuirane funkcije P(x,y) i Q(x,y) zajedno sa njihovim parcijalnim derivatima. Tada su sljedeća 4 uslova ekvivalentna (ekvivalentna):
1) krivolinijski integral duž zatvorene konture
gdje je C bilo koja zatvorena petlja u D;
2) krivolinijski integral nad zatvorenom konturom ne zavisi od puta integracije u domenu D, tj.
3) diferencijalni oblik P(x,y)dx + Q(x,y)dy je ukupni diferencijal neke funkcije F u domeni D, tj. da postoji funkcija F takva da je (x,y)D jednakost
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)
4) za sve tačke (x, y) D bit će zadovoljen sljedeći uvjet:
Dokažimo to prema šemi.
Dokažimo to iz
Neka je dato 1), tj = 0 po svojstvu 2 iz §1, što je = 0 (prema svojstvu 1 iz §1) .
Dokažimo to iz
Dato je da je cr.int. ne zavisi od puta integracije, već samo od izbora početka i kraja puta
Razmotrite funkciju
Pokažimo da je diferencijalni oblik P(x,y)dx + Q(x,y)dy ukupni diferencijal funkcije F(x,y), tj. , šta
Hajde da postavimo privatnu dobit
x F (x, y) = F (x + x, y) -F (x, y) = = == =
(prema svojstvu 3 § 1, BB* Oy) = = P (c, y)x (prema teoremi srednje vrijednosti, sa -const), gdje je x (zbog kontinuiteta funkcije P). Dobili smo formulu (5). Formula (6) se dobija na sličan način. Dokažimo to iz S obzirom na formulu dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Očigledno, = P(x, y). Onda Po uslovu teoreme, desni dijelovi jednakosti (7) i (8) su neprekidne funkcije, tada će po teoremi o jednakosti mješovitih izvoda i lijevi dijelovi biti jednaki, tj. Dokažimo to od 41. Odaberimo bilo koju zatvorenu konturu iz regije D, koja ograničava regiju D 1 . Funkcije P i Q zadovoljavaju Ostrogradsky-Green uslove: Na osnovu jednakosti (4) na lijevoj strani (9), integral je jednak 0, što znači da je desna strana jednakosti jednaka Napomena 1. Teorema 1. može se formulisati kao tri nezavisne teoreme Teorema 1*. Da bi zakrivljeni int. ne zavisi od puta integracije tako da je uslov (.1) zadovoljen, tj. Teorema 2*. Da bi zakrivljeni int. ne zavisi od puta integracije tako da je uslov (3) zadovoljen: diferencijalni oblik P(x,y)dx + Q(x,y)dy je ukupni diferencijal neke funkcije F u domeni D. Teorema 3*. Da bi zakrivljeni int. ne zavisi od puta integracije tako da je uslov (4) zadovoljen: Napomena 2. U teoremi 2*, domen D može biti i višestruko povezan. Greenova formula: Ako je C zatvorena granica domene D i funkcije P(x,y) i Q(x,y), zajedno sa njihovim parcijalnim derivatima prvog reda, kontinuirane su u zatvorenom domenu D (uključujući granicu od C), tada vrijedi Greenova formula:, a obilaznica oko konture C je odabrana tako da regija D ostane na lijevoj strani. Iz predavanja: Neka su date funkcije P(x,y) i Q(x,y) koje su neprekidne u domeni D zajedno sa parcijalnim derivacijama prvog reda. Granični integral (L) koji u potpunosti leži u području D i koji sadrži sve tačke u području D: . Pozitivan smjer konture je kada je ograničeni dio konture lijevo. Uslov nezavisnosti krivolinijskog integrala 2. vrste od puta integracije. Neophodan i dovoljan uslov da krivolinijski integral prve vrste, koji povezuje tačke M1 i M2, ne zavisi od puta integracije, već zavisi samo od početne i krajnje tačke, jeste jednakost:. - specificiranje površine. Projektiramo S na ravan xy, dobijamo površinu D. Područje D dijelimo mrežom linija na dijelove koji se nazivaju Di. Iz svake tačke svake prave povlačimo linije paralelne sa z, tada će se S podijeliti na Si. Napravimo integralni zbir: . Postavimo maksimalni prečnik Di na nulu:, dobićemo: Ovo je površinski integral prve vrste Ovo je površinski integral prve vrste. Definicija ukratko. Ako postoji konačna granica integralne sume, koja ne zavisi od načina podele S na elementarne preseke Si i od izbora tačaka, onda se naziva površinskim integralom prve vrste. Prilikom prelaska sa varijabli x i y na u i v: P Definicija površinskog integrala druge vrste, njegova glavna svojstva i proračun. Veza sa integralom prve vrste. Neka je data površina S ograničena pravom L (slika 3.10). Uzmite neku konturu L na površini S koja nema zajedničkih tačaka sa granicom L. U tački M konture L, dvije normale u mogu se vratiti na površinu S. Biramo jedan od ovih pravaca. Ocrtajte tačku M duž konture L sa odabranim smjerom normale. Ako se tačka M vrati u prvobitni položaj istim smjerom normale (a ne suprotnim smjerom), tada se površina S naziva dvostranom. Razmotrićemo samo dvostrane površine. Dvostrana površina je svaka glatka površina s jednadžbom. Neka je S dvostrana nezatvorena površina omeđena pravom L koja nema točaka samopresjeka. Odaberimo određenu stranu površine. Pozitivnim smjerom zaobilaženja konture L nazvat ćemo takav smjer, pri kretanju duž kojeg duž odabrane strane površine, sama površina ostaje lijevo. Dvostrana površina na kojoj je na ovaj način postavljen pozitivni smjer pomicanja konture naziva se orijentirana površina. Pređimo na konstrukciju površinskog integrala druge vrste. Uzmimo dvostranu površinu S u prostoru, koja se sastoji od konačnog broja komada, od kojih je svaki dan jednadžbom oblika ili je cilindrična površina sa generatorima paralelnim sa Oz osi. Neka je R(x,y,z) funkcija definirana i kontinuirana na površini S. Koristeći mrežu linija, dijelimo S proizvoljno na n "elementarnih" segmenata ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn koji nemaju zajedničke unutrašnje tačke. Na svakom segmentu ΔSi proizvoljno biramo tačku Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Neka je (ΔSi)xy površina projekcije presjeka ΔSi na koordinatnu ravan Oxy, uzeta sa znakom "+", ako je normala na površinu S u tački Mi(xi,yi,zi) (i= 1,...,n) formira sa osom Oz je oštar ugao, a sa znakom "-" ako je ovaj ugao tup. Sastavimo integralni zbir za funkciju R(x,y,z) nad površinom S u odnosu na varijable x,y: . Neka je λ najveći od prečnika ΔSi (i = 1, ..., n). Ako postoji konačna granica koja ne ovisi o načinu podjele površine S na "elementarne" presjeke ΔSi i o izboru tačaka, onda se naziva površinski integral preko odabrane strane površine S funkcije R (x, y, z) duž koordinata x, y (ili površinskog integrala druge vrste) i označava se Slično, mogu se konstruisati površinski integrali nad koordinatama x, z ili y, z duž odgovarajuće strane površine, tj. Ako svi ovi integrali postoje, onda možete uvesti "opći" integral preko odabrane strane površine: . Površinski integral druge vrste ima uobičajena svojstva integrala. Napominjemo samo da svaki površinski integral druge vrste mijenja predznak kada se promijeni strana površine. Veza između površinskih integrala prve i druge vrste. Neka je površina S data jednadžbom: z \u003d f (x, y), i f (x, y), f "x (x, y), f "y (x, y) su kontinuirane funkcije u a zatvoreno područje τ (projekcije površine S na koordinatnu ravan Oxy), a funkcija R(x,y,z) je kontinuirana na površini S. Normala na površinu S, koja ima kosinus smjera cos α, cos β , cos γ, bira se na gornju stranu površine S. Tada . Za opšti slučaj imamo:
= Razmotrimo krivolinijski integral 2. vrste , gdje je L- tačke spajanja krivulje M I N. Neka funkcije P(x, y) I Q(x, y) imaju kontinuirane parcijalne izvode u nekom domenu D, koji sadrži cijelu krivu L. Odredimo uslove pod kojima razmatrani krivolinijski integral ne zavisi od oblika krive L, ali samo na lokaciji tačaka M I N. Nacrtajte dvije proizvoljne krive MPN I MQN, koji leži u regionu D i spojne tačke M I N(Sl. 1). M N Rice. jedan. P Pretpostavimo da, tj Onda gde L- zatvorena kontura, sastavljena od krivih MPN I NQM(dakle, može se smatrati proizvoljnim). Dakle, uslov nezavisnosti krivolinijskog integrala 2. vrste od puta integracije je ekvivalentan uslovu da je takav integral na bilo kojoj zatvorenoj konturi jednak nuli. Teorema 1. Neka na svim tačkama nekog područja D funkcije su kontinuirane P(x, y) I Q(x, y) i njihovi parcijalni derivati i . Zatim za bilo koju zatvorenu petlju L, koji leži u okolini D, stanje Neophodno je i dovoljno da = na svim tačkama regiona D. Dokaz
. 1) Dovoljnost: neka je uslov = ispunjen. Razmotrimo proizvoljnu zatvorenu petlju L u regiji D, ograničavajući područje S, i napišite Greenovu formulu za to: Dakle, dovoljnost je dokazana. 2) Nužnost: pretpostavimo da je uslov ispunjen u svakoj tački područja D, ali postoji barem jedna tačka u ovom području gdje je - ≠ 0. Neka, na primjer, u tački P(x0, y0)-> 0. Pošto postoji neprekidna funkcija na lijevoj strani nejednakosti, ona će biti pozitivna i veća od nekog δ > 0 u nekom malom području D` koja sadrži tačku R. shodno tome, Dakle, po Greenovoj formuli, dobijamo da je , gdje L`- obris koji omeđuje područje D`. Ovaj rezultat je u suprotnosti sa uslovom. Dakle, = na svim tačkama regiona D, što je trebalo dokazati. Napomena 1
. Slično za trodimenzionalni prostor može se pokazati da je potrebno i dovoljne uslove nezavisnost krivolinijskog integrala sa puta integracije su: Napomena 2.
Kada su ispunjeni uslovi (28/1.18), izraz Pdx+Qdy+Rdz je ukupni diferencijal neke funkcije I. Ovo nam omogućava da proračun krivolinijskog integrala svedemo na određivanje razlike između vrijednosti I u finalu i polazne tačke kontura integracije, pošto Istovremeno, funkcija I može se pronaći pomoću formule gdje ( x0, y0, z0)– tačka iz oblasti D, a C je proizvoljna konstanta. Zaista, lako je provjeriti da su parcijalni derivati funkcija I dato formulom (28/1.19) su P, Q I R. 2. vrsta sa integracijskog puta Razmotrimo krivolinijski integral 2. vrste, gdje je L kriva koja povezuje točke M i N. Neka funkcije P(x, y) i Q(x, y) imaju kontinuirane parcijalne izvode u nekoj domeni D, u kojoj je kriva L leži u potpunosti. Odredimo uslove pod kojima razmatrani krivolinijski integral ne zavisi od oblika krive L, već samo od položaja tačaka M i N. Nacrtajmo dvije proizvoljne krive MSN i MTN, koje leže u području D i povezuju tačke M i N (slika 14). Pretpostavimo da, tj gdje je L zatvorena kontura sastavljena od MSN i NTM krivulja (dakle, može se smatrati proizvoljnom). Dakle, uslov da je krivolinijski integral 2. vrste nezavisan od puta integracije je ekvivalentan uslovu da je takav integral na bilo kojoj zatvorenoj konturi jednak nuli. Teorema 5 (Grinov teorem). Neka su funkcije P(x, y) i Q(x, y) i njihovi parcijalni derivati u neprekidni u svim tačkama neke domene D. Tada da bi bilo koja zatvorena kontura L koja leži u domeni D zadovoljila uslov potrebno je i dovoljno da = u svim tačkama domene D. Dokaz. 1) Dovoljnost: neka je uslov = ispunjen. Razmotrimo proizvoljnu zatvorenu konturu L u području D, koja ograničava regiju S, i napiši Green formulu za nju: Dakle, dovoljnost je dokazana. 2) Neophodnost: pretpostavimo da je uslov ispunjen u svakoj tački regiona D, ali postoji barem jedna tačka u ovoj oblasti u kojoj - ? 0. Neka, na primjer, u tački P(x0, y0) imamo: - > 0. Pošto je lijeva strana nejednakosti kontinuirana funkcija, hoće li to biti pozitivno i veće od nekih? > 0 u nekoj maloj oblasti D` koja sadrži tačku P. Prema tome, Dakle, po Greenovoj formuli dobijamo to gdje je L` kontura koja ograničava regiju D`. Ovaj rezultat je u suprotnosti sa uslovom. Dakle, = u svim tačkama domene D, što je trebalo dokazati. Napomena 1. Na sličan način, za trodimenzionalni prostor, može se dokazati da su potrebni i dovoljni uslovi za nezavisnost krivolinijskog integrala sa puta integracije su: Napomena 2. Pod uslovima (52), izraz Pdx + Qdy + Rdz je ukupni diferencijal neke funkcije u. Ovo nam omogućava da proračun krivolinijskog integrala svedemo na određivanje razlike između vrijednosti i na krajnjim i početnim tačkama konture integracije, budući da U ovom slučaju, funkcija i može se pronaći po formuli gdje je (x0, y0, z0) tačka u D i C je proizvoljna konstanta. Zaista, lako je provjeriti da su parcijalni izvodi funkcije i dati formulom (53) jednaki P, Q i R. Primjer 10 Izračunati krivolinijski integral 2. vrste duž proizvoljne krive koja povezuje tačke (1, 1, 1) i (2, 3, 4). Potrudimo se da su uslovi (52) ispunjeni: Dakle, funkcija postoji. Nađimo ga po formuli (53), postavljajući x0 = y0 = z0 = 0. Tada Dakle, funkcija i je određena do proizvoljnog konstantnog člana. Uzmimo S = 0, tada je u = xyz. shodno tome,
30. Greenova formula. Uslovi za nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije.
.31. Površinski integrali prve i druge vrste, njihova glavna svojstva i proračun.
površinski integral ima sva svojstva običnog integrala. Vidite pitanja iznad.
.
I 
.
