DVOSTRUKI INTEGRALI

PREDAVANJE 1

Dvostruki integrali.Definicija dvostrukog integrala i njegova svojstva. Iterirani integrali. Redukcija dvostrukih integrala na ponovljene. Uređenje granica integracije. Izračunavanje dvostrukih integrala u Kartezijanski sistem koordinate.

Dvostruki integral je generalizacija koncepta definitivni integral za slučaj funkcije dvije varijable. U ovom slučaju, umjesto segmenta integracije, postojaće neka vrsta ravne figure.

Neka bude D je neka zatvorena ograničena domena, i f(x,y) je proizvoljna funkcija definirana i ograničena u ovoj domeni. Pretpostavićemo da su granice regiona D sastoji se od konačnog broja krivulja, dato jednačinama vrsta y=f(x) ili x=g( y), gdje f(x) I g(y) su kontinuirane funkcije.

Podijelimo područje D nasumično uključeno n dijelovi. Područje i segment je označen simbolom D s i. Na svakoj sekciji proizvoljno biramo tačku pi, i neka ima koordinate u nekom fiksnom kartezijanskom sistemu ( x i ,y i). Hajde da komponujemo integralni zbir za funkciju f(x,y) po oblasti D, da bismo to učinili, nalazimo vrijednosti funkcije u svim točkama Pi, množimo ih površinama odgovarajućih segmenata Ds i i sumiramo sve rezultate:

Hajde da pozovemo diam(G) područje G najveća udaljenost između graničnih tačaka ovog područja.

dvostruki integral funkcije f(x,y) preko domene D je granica kojoj teži niz integralnih suma (1.1) sa neograničenim povećanjem broja particija n (pri čemu). Ovo je zapisano na sljedeći način

Imajte na umu da, općenito govoreći, integralni zbir za datu funkciju a dato područje integracije ovisi o načinu podjele područja D i izbor bodova Pi. Međutim, ako dvostruki integral postoji, onda to znači da granica odgovarajućih integralnih suma više ne zavisi od ovih faktora. Da bi dvostruki integral postojao(ili, kako kažu, tako da je funkcija f(x,y) je integrabilan u domenu D), dovoljno je da je integrand kontinuirano u datoj oblasti integracije.

Neka funkcija f(x,y) je integrabilan u domenu D. Budući da granica odgovarajućih integralnih suma za takve funkcije ne ovisi o metodi particioniranja domene integracije, particioniranje se može izvršiti pomoću vertikalnih i horizontalnih linija. Zatim većina dijelova regije D imat će pravokutni oblik, čija je površina jednaka D s i=D x i D y i. Stoga se diferencijalna površina može zapisati kao ds=dxdy. shodno tome, u kartezijanskim koordinatama, dvostruki integrali može se napisati u obliku

Komentar. Ako je integrand f(x,y)º1, tada će dvostruki integral biti jednak površini regije integracije:

Imajte na umu da dvostruki integrali imaju ista svojstva kao i definitivni integrali. Zabilježimo neke od njih.

Svojstva dvostrukih integrala.

1 0 . Linearno svojstvo. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:

a konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

2 0 .Aditivno svojstvo. Ako se domen integracije D podijeli na dva dijela, tada će dvostruki integral biti jednak zbroju integrala nad svakim dijelom:

3 0 .Teorema srednje vrijednosti. Ako je funkcija f( x,y)je kontinuirana u domeni D, onda u ovoj domeni postoji takva tačka(x,h) , šta:

Tada se postavlja pitanje: kako se izračunavaju dvostruki integrali? Može se približno izračunati, u tu svrhu je razvijen efikasne metode sastavljanje odgovarajućih integralnih suma, koji se zatim numerički izračunavaju pomoću računara. U analitičkom proračunu dvostrukih integrala oni se svode na dva određena integrala.

Svojstva dvostrukih integrala.

Neka svojstva dvostrukih integrala direktno proizlaze iz definicije ovog pojma i svojstava integralnih suma, a to su:

1. Ako funkcija f(x, y) integrabilan u D, onda kf(x, y) je takođe integrabilan u ovoj regiji, i (24.4)

2. Ako je u okolini D integrabilne funkcije f(x, y) I g(x, y), zatim funkcije f(x, y) ± g(x, y), i gdje

3. Ako je za integrabilno u domenu D funkcije f(x, y) I g(x, y) nejednakost f(x, y)≤g(x, y), onda

(24.6)

Dokažimo još neka svojstva dvostrukog integrala:

4. Ako područje D podijeljena u dvije oblasti D 1 i D 2 bez zajedničkih unutrašnjih točaka i funkcije f(x, y) kontinuirano u regionu D, onda

(24.7) Dokaz . Integralni zbroj po površini D može se predstaviti kao:

gdje je podjela područja D nacrtana tako da granica između D 1 i D 2 se sastoji od granica dijelova particije. Prelaskom tada do granice na , dobijamo jednakost (24.7).

5. U slučaju integrabilnosti na D funkcije f(x, y) u ovoj regiji, funkcija je također integrabilna | f(x, y) |, i nejednakost

(24.8)

Dokaz.

odakle, prelaskom na granicu kao , dobijamo nejednakost (24.8)

6. gdje S D– područje regije D. Dokaz ove tvrdnje se dobija zamjenom u integralni zbir f(x, y)≡ 0.

7. Ako je integrabilan u regionu D funkcija f(x, y) zadovoljava nejednakost

m ≤ f(x, y) ≤ M,

onda (24.9)

Dokaz.

Dokaz se izvodi prelaskom na granicu iz očigledne nejednakosti

Posljedica.

Ako sve dijelove nejednakosti (24.9) podijelimo sa D, možemo dobiti takozvanu teoremu srednje vrijednosti:

Konkretno, pod uslovom kontinuiteta funkcije f in D postoji takva tačka u ovoj regiji ( x 0, y 0), pri čemu f(x 0, y 0) = μ , tj

-

Druga formulacija teoreme srednje vrijednosti.

Geometrijsko značenje dvostrukog integrala.

Razmotrite tijelo V, ograničena dijelom površine zadane jednadžbom z = f(x, y), projekcija D ovu površinu do ravni O hu i bočnu cilindričnu površinu dobivenu od vertikalnih generatora koji povezuju točke granice površine sa njihovim projekcijama.

z=f(x,y)

V

y P i D Fig.2.

Zapreminu ovog tijela tražićemo kao granicu zbira zapremina cilindara čije su osnove dijelovi Δ Si oblasti D, a visine su segmenti sa dužinama f(Pi), gdje su tačke Pi pripadaju Δ Si. Prolazeći do granice na , dobivamo da

(24.11)

to jest, dvostruki integral je zapremina takozvanog cilindra koji je odozgo omeđen površinom z = f(x, y), a ispod - područje D.

Računanje dvostrukog integrala svođenjem na iterirani.

Razmotrite područje D omeđen linijama x=a, x=b(a< b ), gdje je φ 1 ( X) i φ 2 ( X) su kontinuirani na [ a, b]. Tada bilo koja prava paralelna sa koordinatnom osom O at i prolazi kroz unutrašnju tačku regiona D, prelazi granicu regije u dvije tačke: N 1 i N 2 (sl. 1). Nazovimo ovo područje ispravan u na-

at Pravilo O ose at. Slično, the

y=φ 2 (x) postoji područje ispravno u smjeru

N 2 osa O X. Područje ispravno u smjeru

Oba koordinatne ose, Mi ćemo

D samo nazovi to kako treba. Na primjer,

tačna oblast je prikazana na sl.1.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Neka funkcija f(x, y) kontinuirano u regionu D. Razmotrite izraz

, (24.12)

pozvao dvostruki integral od funkcije f(x, y) po regionu D. Hajde da prvo izračunamo unutrašnji integral (u zagradama) nad promenljivom at counting X trajno. Rezultat će biti kontinuirana funkcija od X:

Rezultirajuću funkciju integriramo preko X u rasponu od ali prije b. Kao rezultat, dobijamo broj

Dokažimo važno svojstvo dvostrukog integrala.

Teorema 1. Ako područje D, ispravno u smjeru O at, podijeljen u dvije regije D 1 i D 2 ravno, paralelno sa O osom at ili osa O X, zatim dvostruki integral preko regije D biće jednak zbiru istih integrala po regionima D 1 i D 2:

Dokaz.

a) Neka linija x = c pauze D na D 1 i D 2, ispravno u smjeru O at. Onda

+

+

b) Neka linija y=h pauze D na desnoj strani u pravcu O at oblasti D 1 i D 2 (sl. 2). Označiti sa M 1 (a 1 , h) I M 2 (b 1 , h) tačke preseka prave y=h sa granicom L oblasti D.

y Region D 1 ograničen neprekidnim linijama

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) kriva ALI 1 M 1 M 2 IN, čiju jednačinu zapisujemo

h M 1 M 2 y=φ 1 *(x), gdje φ 1 *(X) = φ 2 (X) at a ≤ x ≤ a 1 i

A 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h at ali 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) ravno x = a, x = b.

Region D 2 ograničeno linijama y=φ 1 *(x),

A y= φ 2 (X),ali 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Primijenimo na unutrašnji integral teoremu

dijeljenje intervala integracije:

O a a 1 b 1 b

+

Drugi od dobijenih integrala predstavljamo kao zbir:

+ + .

Ukoliko φ 1 *(X) = φ 2 (X) at a ≤ x ≤ a 1 i b 1 ≤ x ≤ b, dobijeni prvi i treći integral identično su jednaki nuli. shodno tome,

I D = , tj.

Dvostruki integrali za lutke

Ova lekcija uvodi opsežnu temu višestrukih integrala sa kojima se studenti obično susreću u drugoj godini. duplo i trostruki integrali možete zastrašiti laika ništa gore od diferencijalne jednadžbe, pa ćemo se odmah pozabaviti pitanjem: je li teško ili nije? Naravno, nekima će biti teško, a da budem iskren, bio sam malo lukav s naslovom članka - da biste naučili rješavati dvostruke integrale, morate imati neke vještine. Prvo, ako govorimo o integralima, onda, očigledno, moramo da integrišemo. Logično. Stoga, da biste savladali primjere, morate biti u stanju pronaći neodređeni integrali i izračunaj određeni integrali barem na prosječnom nivou. Dobra vijest je da su sami integrali prilično jednostavni u većini slučajeva.

Ko treba da bude čvrst? To je razumljivo. Oni koji su pili mnogo piva tokom prvih semestra. Međutim, uvjeravat ću i normalne studente - stranica ima sve materijale za popunjavanje praznina ili nesporazuma. Samo morate provesti više vremena. Linkovi na teme koje treba proučiti ili ponoviti bit će priložene u cijelom članku.

Na uvodna lekcija Sledeće osnovne tačke biće analizirane korak po korak i detaljno:

– Koncept dvostrukog integrala

– Oblast integracije. Redosled zaobilaženja regiona integracije. Kako promijeniti redoslijed prelaska?

Nakon što ste DOBRO razumjeli sve osnove, možete nastaviti na članak Kako izračunati dvostruki integral? Primjeri rješenja. Osim toga, postoji zajednički problem oko izračunavanje dvostrukog integrala u polarnim koordinatama i tipična aplikacija o nalaženje težišta ravne omeđene figure.

Počnimo sa važnim pitanjem – šta je to?

Koncept dvostrukog integrala

Dvostruki integral u opšti pogled je napisano kako slijedi:

Razumijemo termine i oznake:
– dvostruka integralna ikona;
– područje integracije (ravna figura);
- integrand dvije varijable, često je prilično jednostavan;
- diferencijalne ikone.

Šta znači izračunati dvostruki integral?

Izračunavanje dvostruke integralne sredine nađi BROJ. Najčešći broj:

I vrlo je poželjno pronaći ga ispravno =)

Rezultat (broj) može biti negativan. I nula, također, lako može ispasti. Posebno sam se zaustavio na ovom mjestu, jer mnogi studenti doživljavaju anksioznost kada se ispostavi da je odgovor „nešto čudno“.

Mnogi se sjećaju tog "običnog" definitivni integral je takođe broj. I ovdje je isto. Dvostruki integral također ima odličan geometrijskog smisla, ali o tome kasnije, sve ima svoje vrijeme.

Kako izračunati dvostruki integral?

Da bi se izračunao dvostruki integral, on se mora svesti na tzv iterirani integrali. To se može uraditi dva načina. Najčešći način je:

Umjesto upitnika, potrebno je postaviti granice integracije. Štaviše, pojedinačni upitnici vanjskog integrala su brojevi, a dvostruki upitnici unutrašnjeg integrala su funkcije jedna varijabla zavisna od "x".

Gdje dobiti granice integracije? One zavise od toga koja je oblast data u stanju problema. Područje je pravilna ravna figura koju ste sreli mnogo puta, na primjer, kada izračunavanje površine ravne figure ili izračunavanje zapremine obrtnog tela. Vrlo brzo ćete naučiti kako pravilno postaviti granice integracije.

Nakon što se izvrši prijelaz na iterirane integrale, proračuni slijede direktno: prvo se uzima unutrašnji, a zatim vanjski. Jedan za drugim. Otuda i naziv - iterirani integrali.

Grubo govoreći, problem se svodi na izračunavanje dva određena integrala. Kao što vidite, nije sve tako teško i strašno, a ako ste savladali „običan“ definitivni integral, šta vas sprečava da se bavite dva integrala?!

Drugi način prelaska na iterirane integrale je nešto rjeđi:

Šta se promijenilo? Redosled integracije se promenio: sada se unutrašnji integral preuzima preko "x", a eksterni - preko "y". Granice integracije, označene zvjezdicama - bit će drugačije! Pojedinačne zvijezde vanjskog integrala su brojevi, a dvostruke zvijezde unutrašnjeg integrala su inverzne funkcije zavisno od "y".

Koji god način odabrali da pređemo na iterirane integrale, konačni odgovor će sigurno biti isti:

molim te zapamtite ovo važno svojstvo, koji se može koristiti, između ostalog, za provjeru rješenja.

Algoritam za rješavanje dvostrukog integrala:

Sistematiziramo informacije: kojim redoslijedom treba riješiti problem koji se razmatra?

1) Potrebno je završiti crtež. Bez crteža, problem se ne može riješiti. Tačnije, ona odlučuje da odluči, ali to će biti kao da igra šah na slepo. Crtež treba da prikazuje područje, što je ravna figura. Najčešće je figura nekomplicirana i ograničena na neke prave linije, parabole, hiperbole itd. Na lekcijama se može savladati kompetentna i brza tehnika za izradu crteža Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija, Geometrijske transformacije grafikona. Dakle, prvi korak je da završite crtež.

2) Postavite granice integracije i idite na iterirane integrale.

3) Uzmite unutrašnji integral

4) Uzmite vanjski integral i dobijete odgovor (broj).

Region integracije. Redosled zaobilaženja regiona integracije.
Kako promijeniti redoslijed prelaska?

U ovom dijelu ćemo razmotriti najvažnije pitanje - kako prijeći na iterirane integrale i ispravno postaviti granice integracije. Kao što je gore spomenuto, to možete učiniti na sljedeći način:

dakle:

U praksi, ovaj naizgled jednostavan zadatak izaziva najveće poteškoće, a učenici se često zbune u postavljanju granica integracije. Razmotrimo konkretan primjer:

Primjer 1

Rješenje: Hajde da prikažemo područje integracije na crtežu:

Uobičajena ravna figura i ništa posebno.

Sada ću svakom od vas dati alat - štap za kopanje, laserski pokazivač. Zadatak je skeniranje svake tačke zasjenjenog područja laserskim snopom:

Laserski snop prolazi kroz područje integracije striktno odozdo prema gore, to jest, UVIJEK držite pokazivač ispod ravna figura. Zraka ulazi u područje kroz x-osu, koja je data jednadžbom, a izlazi iz regije kroz parabolu (crvena strelica). Da biste osvijetlili cijelo područje, trebate striktno slijeva na desno povucite pokazivač duž ose od 0 do 1 (zelena strelica).

Pa šta se desilo:
"y" se mijenja od 0 do ;
"x" se mijenja sa 0 na 1.

U zadacima je gore navedeno u obliku nejednakosti:

Ove nejednakosti se nazivaju zaobići domen integracije ili jednostavno red integracije

Nakon što smo shvatili redoslijed obilaženja, možemo prijeći sa dvostrukog integrala na iterirane integrale:

Pola problema je riješeno. Sada trebamo prijeći na iterirane integrale na drugi način. Da biste to učinili, morate pronaći inverzne funkcije. Ko je pročitao drugi pasus lekcije Volumen tijela revolucije, biće lakše. Gledamo funkcije koje postavljaju područje . Ako je prilično jednostavno, onda idite na inverzne funkcije, što znači izražavanje "x" kroz "y". Jedina funkcija gdje postoji i "x" i "y", je .

Ako , onda , i:
inverzna funkcija definira desnu granu parabole;
inverzna funkcija definira lijevu granu parabole.

Često se javljaju sumnje, na primjer, određuje li funkcija lijevu ili desnu granu parabole? Vrlo je lako otkloniti sumnje: uzmite neku tačku parabole, na primjer, (iz desne grane) i zamijenite njene koordinate u bilo koju jednadžbu, na primjer, u istu jednačinu:

Dobija se tačna jednakost, što znači da funkcija određuje tačno desnu granu parabole, a ne lijevu.

Nadalje, ovaj ček(mentalno ili na nacrtu) poželjno je vršiti uvijek, nakon što ste prešli na inverzne funkcije. Neće vam trebati ništa, ali će vas sigurno spasiti od grešaka!

Region integracije zaobilazimo na drugi način:

Sada držite laserski pokazivač lijevo iz oblasti integracije. Laserski snop prolazi kroz područje striktno slijeva na desno. U ovom slučaju, ulazi u područje kroz granu parabole i izlazi iz regije kroz pravu liniju koju daje jednačina (crvena strelica). Da biste skenirali cijelo područje laserom, morate nacrtati pokazivač duž ose striktno odozdo prema gore od 0 do 1 (zelena strelica).

Na ovaj način:
"x" se mijenja od 1;
"y" se mijenja sa 0 na 1.

Redoslijed zaobilaženja područja treba napisati u obliku nejednačina:

I, prema tome, prijelaz na iterirane integrale je sljedeći:

Odgovori može se napisati na sljedeći način:

Još jednom vas podsjećam da konačni rezultat proračuna ne ovisi o tome koji redoslijed obilaženja područja smo odabrali (zato smo stavili znak jednakosti). Ali prije krajnji rezultat još daleko, sada je naš zadatak samo da ispravno postavimo granice integracije.

Primjer 2

Dat je dvostruki integral sa domenom integracije . Idite na iterirane integrale i postavite granice integracije na dva načina.

Ovo je "uradi sam" primjer. Pravilno izradite crtež i striktno slijedite upute(odakle i gdje zasjati laserskim pokazivačem). Približan uzorak završne obrade na kraju lekcije.

Češće tipičan zadatak javlja se u malo drugačijem obliku:

Primjer 3

Konstruisati region integracije i

Rješenje: Pod uslovom je dat prvi način da se zaobiđe region. Rješenje opet počinje crtežom. Ovdje područje ne leži na srebrnom tanjiru, ali ga nije teško izgraditi. Prvo, "uklonimo" funkcije iz granica integracije: , . Funkcija, naravno, definira pravu liniju, ali što definira funkcija? Hajde da ga malo transformišemo:
- kružnica sa centrom na početku koordinata polumjera 2. Funkcija definira gornji polukrug (ne zaboravite da ako ste u nedoumici, uvijek možete zamijeniti tačku koja leži na gornjem ili donjem polukrugu).

Gledamo granice vanjskog integrala: "x" se mijenja od -2 do 0.

Izradimo crtež:

Radi jasnoće, strelicama sam označio prvi način da se zaobiđe region, koji odgovara iteriranim integralima uslova: .

Sada moramo promijeniti redoslijed zaobilaženja područja, za to ćemo nastaviti s inverznim funkcijama (izrazimo "x" kroz "y"):

Nedavno smo pretvorili funkciju u jednadžbu kruga, tada izražavamo "x":
Kao rezultat, dobijamo dvije inverzne funkcije:
- definira desni polukrug;
- definira lijevi polukrug.
Opet, ako ste u nedoumici, uzmite bilo koju tačku na krugu i saznajte koja je lijeva, a koja desna.

Promijenimo redoslijed obilaženja područja:

Prema drugom bypass metodi, laserski snop uključeno regionu lijevo kroz lijevi polukrug i izlazi na desnoj strani preko linije (crvena strelica). Istovremeno, laserski pokazivač se povlači duž y-ose naviše od 0 do 2 (zelena strelica).

Dakle, redoslijed obilaženja područja je:

Općenito, može se pisati odgovor:

Primjer 4

Ovo je "uradi sam" primjer. Primjer nije mnogo kompliciran, ali imajte na umu da je redoslijed prelaska u početku postavljen na drugi način! Šta učiniti u takvim slučajevima? Prvo, postoji poteškoća s crtanjem, jer je crtanje grafa inverzne funkcije neobično čak i za mene. Preporučujem sljedeću proceduru: prvo, dobijamo “normalnu” funkciju iz (izražavamo “y” kroz “x”). Zatim gradimo graf ove "obične" funkcije (uvijek možete graditi barem po tačkama). Isto radimo i sa jednostavnijim linearna funkcija: iz izražavamo "y" i crtamo pravu liniju.

Analiziramo početne granice integracije: ulazimo u regiju s lijeve strane i izlazimo kroz . U ovom slučaju sve se odvija u opsegu "igra" od -1 do 0. Nakon što odredite područje integracije na crtežu, neće biti teško promijeniti redoslijed zaobilaženja. Primjer rješenja na kraju lekcije.

Sličan primjer bit će detaljnije razmotren malo kasnije.

Čak i ako sve savršeno razumete, molim vas nemojte žuriti da idete direktno na izračunavanje dvostrukog integrala. Redoslijed obilaženja je zeznuta stvar, i vrlo je važno malo se pozabaviti ovim zadatkom, pogotovo jer još nisam sve pokrio!

U prethodna četiri primjera, područje integracije je bilo u potpunosti u 1., 2., 3. i 4. koordinatnoj četvrti. Je li uvijek ovako? Ne, naravno.

Primjer 5

Promijenite redosljed integracije

Rješenje: Izvršimo crtež, dok je graf funkcije zapravo kubična parabola, on samo "leži na svojoj strani":

Redoslijed obilaska regije koji odgovara iteriranim integralima , označeno strelicama. Napominjemo da je tokom izvođenja crteža nacrtana još jedna ograničena figura (lijevo od y-ose). Stoga treba biti oprezan pri određivanju područja integracije - pogrešna brojka se može zamijeniti za područje.

Pređimo na inverzne funkcije:
- desna grana parabole koja nam je potrebna;

Promijenimo redoslijed obilaženja područja. Kao što se sjećate, u drugoj metodi zaobilaženja, područje se mora skenirati laserskim snopom s lijeva na desno. Ali evo jedne interesantne stvari:

Kako postupiti u takvim slučajevima? U takvim slučajevima treba podijeliti područje integracije na dva dijela i za svaki od dijelova napraviti svoje iterirane integrale:

1) Ako se “y” promijeni od –1 do 0 (zelena strelica), tada zrak ulazi u područje kroz kubičnu parabolu i izlazi kroz pravu liniju (crvena strelica). Stoga će redoslijed obilaska područja biti sljedeći:

2) Ako se "y" promijeni od 0 do 1 (smeđa strelica), tada zrak ulazi u područje kroz granu parabole i izlazi kroz istu pravu liniju (grimizna strelica). Stoga će redoslijed obilaska područja biti sljedeći:

I odgovarajući iterirani integrali:

Određeni i višestruki integrali imaju vrlo zgodno svojstvo aditivnost, odnosno mogu se dodati, što bi u ovom slučaju trebalo učiniti:
- i evo naše obilaznice regiona na drugi način u obliku zbira dva integrala.

Odgovori napiši ovako:

Koja je najbolja zaobilaznica? Naravno, onaj koji je dat u uslovu zadatka - kalkulacije će biti upola manje!

Primjer 6

Promijenite redosljed integracije

Ovo je "uradi sam" primjer. Sadrži polukrugove, koji su detaljno obrađeni u Primjeru 3. Primjer rješenja na kraju lekcije.

A sada obećani zadatak, kada je u početku postavljen drugi način zaobilaženja područja:

Primjer 7

Promijenite redosljed integracije

Rješenje: Kada je redoslijed zaobilaženja postavljen na drugi način, preporučljivo je prije crtanja crteža prebaciti na “normalne” funkcije. U ovom primjeru postoje dva pacijenta za konverziju: i .
Sa linearnom funkcijom, sve je jednostavno:

Graf funkcije je parabola sa zahtjevom za kanoničnost.

Izrazimo "Y" kroz "X":

Dobijamo dvije grane parabole: i . Koju odabrati? Najlakši način je da odmah izvršite crtež. Čak i ako ste čvrsto zaboravili materijal analitičke geometrije o paraboli, tada se obje grane još uvijek mogu graditi u tački:

Još jednom želim da vam skrenem pažnju na to ovaj crtež Dobila sam nekoliko ravnih figura, i jako je važno odabrati pravi oblik! U odabiru željene figure pomoći će samo granice integracije originalnih integrala:
, i ne zaboravite da se postavlja inverzna funkcija sve parabola.

Strelice koje označavaju obilaznicu slike tačno odgovaraju granicama integracije integrala .

Uskoro ćete naučiti mentalno provoditi takvu analizu i pronaći željeno područje integracije.

Kada se pronađe oblik, konačni dio rješenja je općenito vrlo jednostavan, promijenite redoslijed obilaženja područja:

Inverzne funkcije su već pronađene, a potreban redoslijed obilaženja regije je:

odgovor:

Konačni primjer paragrafa za samostalno rješavanje:

Primjer 8

Promijenite redosljed integracije

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Počinjemo razmatrati stvarni proces izračunavanja dvostrukog integrala i upoznati se s njegovim geometrijskim značenjem.

Dvostruki integral je numerički jednak površini ravne figure (područje integracije). Ovo najjednostavniji oblik dvostruki integral kada je funkcija dvije varijable jednaka jednoj: .

Hajde da prvo razmotrimo problem uopšteno. Sada ćete se iznenaditi koliko je to zaista jednostavno! Izračunajmo površinu ravne figure ograničene linijama. Radi određenosti, pretpostavljamo da je na intervalu . Površina ove figure je brojčano jednaka:

Oslikajmo područje na crtežu:

Odaberimo prvi način da zaobiđemo područje:

Na ovaj način:

I odmah važan tehnički trik: iterirani integrali se mogu razmatrati odvojeno. Prvo unutrašnji integral, pa vanjski integral. Ova metoda Topla preporuka za početnike u temi čajnici.

1) Izračunati interni integral, dok se integracija vrši preko varijable "y":

Neodređeni integral evo najjednostavnijeg, a onda se koristi banalna Newton-Leibnizova formula, sa jedinom razlikom da granice integracije nisu brojevi, već funkcije. Prvo smo zamijenili gornju granicu u “y” (antiderivativna funkcija), a zatim donju granicu

2) Rezultat dobijen u prvom paragrafu mora se zamijeniti eksternim integralom:

Kompaktnija notacija za cijelo rješenje izgleda ovako:

Rezultirajuća formula - to je upravo radna formula za izračunavanje površine ravne figure pomoću "običnog" određenog integrala! Vidi lekciju Izračunavanje površine pomoću određenog integrala, tu je na svakom koraku!

tj. problem izračunavanja površine pomoću dvostrukog integrala malo drugačije iz problema pronalaženja površine pomoću određenog integrala ! U stvari, oni su jedno te isto!

Shodno tome, ne bi trebalo biti nikakvih poteškoća! Neću razmatrati mnogo primjera, jer ste se vi, zapravo, više puta susreli s ovim problemom.

Primjer 9

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama.

Rješenje: Oslikajmo područje na crtežu:

Površina figure se izračunava pomoću dvostrukog integrala prema formuli:

Odaberimo sljedeći redoslijed obilaska regije:

Ovdje i ispod, neću ulaziti u to kako preći područje jer je prvi paragraf bio vrlo detaljan.

Na ovaj način:

Kao što sam već napomenuo, za početnike je bolje da izračunaju iterirane integrale odvojeno, ja ću se pridržavati iste metode:

1) Prvo, koristeći Newton-Leibniz formulu, bavimo se unutrašnjim integralom:

2) Rezultat dobiven u prvom koraku zamjenjuje se vanjskim integralom:

Tačka 2 zapravo je pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala.

odgovor:

Evo tako glupog i naivnog zadatka.

Zanimljiv primjer za nezavisno rješenje:

Primjer 10

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama , ,

Primjer konačnog rješenja na kraju lekcije.

U primjerima 9-10 mnogo je isplativije koristiti prvi način zaobilaženja područja; radoznali čitatelji, inače, mogu promijeniti redoslijed zaobilaženja i izračunati površine na drugi način. Ako ne pogriješite, tada se, naravno, dobivaju iste vrijednosti površine.

Za funkciju dvije varijable, definirane kao z = f(x, y) .

Dvostruki integral se piše na sljedeći način:

Evo D- ravna figura omeđena linijama čiji su izrazi (jednačine) dati u zadatku izračunavanja dvostrukog integrala. Lijevo i desno - jednakosti, u kojima je varijabla lijevo x, a iznad i ispod - jednakostima, u kojima je varijabla na lijevoj strani y. Ovo mjesto i dalje jedno je od najvažnijih za razumijevanje tehnike izračunavanja dvostrukog integrala.

Izračunaj dvostruki integral - znači pronaći broj jednak površini spomenute figure D .

Dok se ne dodirnemo definicije dvostrukog integrala , a mi ćemo naučiti da ga izračunamo. Lakše je razumjeti šta je dvostruki integral kada se riješi nekoliko zadataka za njegovo izračunavanje, tako da ćete definiciju dvostrukog integrala pronaći na kraju ove lekcije. Gledajući malo unapred, možemo samo primetiti da je i definicija dvostrukog integrala povezana sa pomenutom figurom D .

Ako je figura D je pravougaonik, sve linije koje ga ograničavaju su ravne. Ako je figura D- krivolinijski, zatim lijevo i desno ograničen je pravim linijama, a odozgo i odozdo - zakrivljenim linijama datim jednakostima datim u zadatku. Postoje i slučajevi kada figura D- trougao, ali o takvim slučajevima malo dalje.

Da bi se izračunao dvostruki integral, potrebno je sortirati linije koje graniče sa figurom D, koji ima strogo ime - region integracije. Sortiraj na lijevo i desno i gore i dolje. Ovo će biti potrebno kada redukcija dvostrukog integrala na iterirani integral – metoda izračunavanja dvostrukog integrala.

Kućište pravougaone površine:

Slučaj krivolinijskog područja:

A ovo je već rješenje nama poznatih definitivnih integrala u kojima su postavljene gornja i donja granica integracije. Izrazi koji definiraju linije koje ograničavaju oblik D, biće granice integracije za uobičajene određene integrale, kojima se već približavamo.

Redukcija dvostrukog integrala na iterirani

Kućište pravougaone površine

Neka takva funkcija ima dvostruki integral

To izračunaj ovaj dvostruki integral , morate ga svesti na iterirani integral, koji ima oblik

.

Prvo morate izračunati unutrašnji (desni) definitivni integral, a zatim vanjski (lijevi) definitivni integral.

Možete zamijeniti uloge x I y

.

Primjer 1 Izračunaj dvostruki integral

Izračunavamo unutrašnji (desni) integral, smatrajući y konstantom. Primamo.

.

Primjer 2 Izračunaj dvostruki integral

,

Rješenje. Svodimo ovaj dvostruki integral na iterirani integral

Na crtežu gradimo područje integracije:

Sada izračunavamo vanjski (lijevi) integral iz upravo izračunatog unutrašnjeg (desnog) integrala:

Rezultat će biti rješenje ovog dvostrukog integrala.

Izračunajte sami dvostruki integral i onda vidite rješenje

Slučaj krivolinijskog ili trouglastog područja

Neka je opet data funkcija od dvije varijable f(x, y) , i ograničenja za D: ima malo drugačiji izgled:

Ovaj unos znači da cifra D granica lijevo i desno, kao u slučaju pravolinijskog područja - prave linije x = a I x = b, ali ispod i iznad su krive koje su date jednadžbama i . Drugim riječima, i su funkcije.

Neka takva funkcija ima i dvostruki integral

Da bismo izračunali ovaj dvostruki integral, moramo ga svesti na iterirani integral, koji ima oblik

.

Ovdje su granice integracije a I b su brojevi, i i su funkcije. U slučaju trokutaste regije, jedna od funkcija ili je jednačina prave linije. Ovaj slučaj će biti razmotren u primjeru 3.

Kao iu slučaju pravolinijskog područja, prvo morate izračunati desni definitivni integral, a zatim lijevi definitivni integral.

Također možete zamijeniti uloge na isti način. x I y. Tada će iterirani integral imati oblik

.

Takav iterirani integral se mora riješiti na potpuno isti način: prvo unutrašnji (desni) integral, zatim vanjski (lijevi).

Primjer 5 Izračunaj dvostruki integral

,

Rješenje. Svodimo ovaj dvostruki integral na iterirani integral

.

Na crtežu gradimo područje integracije i vidimo da je trokutasto:

Izračunavamo unutrašnji (desni) integral, smatrajući x konstantom. Primamo.

Sada izračunavamo vanjski (lijevi) integral upravo izračunatog unutrašnjeg (desnog) integrala. Prvo, predstavljamo ovaj integral kao zbir integrala:

.

Računamo prvi član:

Računamo drugi član:

Računamo treći član:

Dobijamo zbir, koji će biti rješenje ovog dvostrukog integrala:

.

Primjer 6 Izračunaj dvostruki integral

Rješenje. Svodimo ovaj dvostruki integral na iterirani integral

Na crtežu gradimo područje integracije:

Izračunavamo unutrašnji (desni) integral, smatrajući x konstantom. Primamo.

.

Sada izračunavamo vanjski (lijevi) integral iz upravo izračunatog unutrašnjeg (desnog) integrala:

Rezultat će biti rješenje ovog dvostrukog integrala.

x- ispravno i pogrešno y-ispravne i netačne domene integracije

Dešava se da je područje integracije dvostrukog integrala ograničeno takvim linijama da postaje potrebno podijeliti područje integracije na dijelove i riješiti svaki odgovarajući iterirani integral posebno. Ovo su slučajevi kada:

1) područje integracije je figura koja ima dvije ili više dvije ravne ili zakrivljene linije u obliku donje ili gornje (lijeve ili desne) granice;

2) područje integracije je figura čiju se granicu prave sijeku u više od dvije tačke.

Ako se gore navedeno odnosi na lijevu ili desnu granicu integracijske regije, odnosno ograničenja data linijama izraženim kroz x, tada se zove domen integracije x- pogrešno. Ako je prava linija y = y0 siječe odgovarajuću granicu samo u jednoj tački, a ako samo jedna linija ili kriva služi kao granica, tada se područje integracije naziva x-tačno

Slično, ako je granica definirana linijama izražena u terminima y, ravno x = x0 seče u više od jedne tačke, ili ako više od jedne linije ili krive služi kao granica, tada se područje integracije naziva y- pogrešno. Iznesite znakove odmah y-desno područje, vjerovatno, sasvim jednostavno.

Do sada smo razmatrali primjere x- netačno i y-redovne oblasti integracije. Sada razmotrite slučajeve kada je uslov ispravnosti narušen.

Primjer 7 Izračunajte dvostruki integral čija je oblast integracije ograničena linijama y = x , xy = 1 , y = 2 .

Rješenje. Područje integracije je y-netačno, jer se njegova donja granica ne može postaviti jednom linijom y = y(x) . Kao što možete vidjeti na gornjoj slici, donja granica se sastoji od y = x(tamno kestenjasta) i xy= 1 (zeleno). Stoga direktno x= 1 (crno) možemo podijeliti područje integracije na dva dijela - i .

Ovaj dvostruki integral se izračunava na sljedeći način:

Promjena redoslijeda integracije

Kao što je gore navedeno, nakon redukcije dvostrukog integrala na iterirani integral, mogu se promijeniti varijable x I y uloge, ili, drugim riječima, promijeniti red integracije.

Promjena redoslijeda integracije može se figurativno opisati sljedećim riječima O "Henryja": Ovako se ponaša stanovnik džungle - zvijer, koja je ušla u kavez, i ovako se ponaša stanovnik kaveza - čovjek, izgubljen u džungli sumnji. "Rezultat je, također prema O" Henryju, jedan te isti: "Chalmers je rastrgao pismo na hiljadu sićušnih komadića i počeo da muči svoj skupi tepih, hodajući po njemu i naprijed." ( O.Henry. Šeherezada sa Madison Squarea.)

Zatim, ako imamo levi integral nad promenljivom x, i to desna y, onda će nakon promjene redoslijeda integracije sve biti obrnuto. Tada se granice integracije za "novi" y moraju "posuditi" od "starog" x, a granice integracije za "novi" x treba dobiti u obliku inverzna funkcija, rješavajući jednadžbu u odnosu na x koja postavlja granicu za y.

Primjer 8

.

Rješenje. Nakon promjene redoslijeda integracije, integral preko y postaje lijevi, a integral preko x postaje desni. Granice integracije za "novog" igrača pozajmićemo od "starog" X, odnosno donja granica je jednaka nuli, a gornja je jednaka jedan. Granice integracije za "starog" igrača date su jednadžbama i . Nakon što smo riješili ove jednadžbe u odnosu na x, dobili smo nove granice integracije za x:

(donji) i (gornji).

Dakle, nakon promjene redoslijeda integracije, iterirani integral će biti zapisan na sljedeći način:

.

Nakon promjene redoslijeda integracije u dvostrukom integralu, domen integracije se često pretvara u y- netačno ili x- netačno (vidi prethodni pasus). Zatim je potrebno područje integracije podijeliti na dijelove i svaki odgovarajući iterirani integral riješiti posebno.

Budući da podjela domena integracije na dijelove predstavlja određene poteškoće za mnoge studente, nećemo se ograničavati na primjer dat u prethodnom pasusu, već ćemo analizirati još par primjera.

Primjer 9 Promijenite red integracije za iterirani integral

.

Rješenje. Dakle, područje integracije ovog iteriranog integrala ograničeno je pravim linijama y = 1 , y = 3 , x = 0 , x = 2y .

Kada se integrira drugačijim redoslijedom, donja granica regije sastoji se od dvije prave linije: AB I BC, koje su date jednadžbama y= 1 i y = x/2, što se može vidjeti na slici ispod.

Izlaz iz takve neizvjesnosti je podjela domena integracije na dva dijela. Područje integracije će biti podijeljeno ravnom linijom BM. Nove granice integracije se izračunavaju pronalaženjem inverzna funkcija. Prema ovom rješenju, ponovljeni integral nakon promjene reda integracije bit će jednak zbiru dvaju integrala:

Naravno, rješenje dvostrukog integrala će biti isto, što se svodi na iterirani integral dat u uvjetu ovog primjera.

Primjer 10 Promijenite red integracije za iterirani integral

.

Rješenje. Dakle, područje integracije iteriranog integrala ograničeno je pravim linijama x = 0 , x= 2 i krive i .

Kao što se može vidjeti na donjoj slici, prava linija paralelna sa osom 0x, presecaće donju granicu regiona integracije u više od dve tačke.

Stoga dijelimo integracijsku domenu na tri dijela pravim linijama koje su na slici nacrtane crnom bojom. Nove granice integracije se izračunavaju pronalaženjem inverzne funkcije. Ograničenja za tri nova područja integracije bit će sljedeća.

Prema ovom rješenju, ponovljeni integral nakon promjene reda integracije bit će jednak zbiru tri integrala:

Isti zbir tri integrala bit će jednak dvostrukom integralu, koji se svodi na iterirani integral dat u uvjetu ovog primjera.

Pa ipak, okolnosti više sile često ometaju studente već na prethodnom koraku – postavljanju granica integracije. Uznemirenost i zbunjenost nisu bez osnova: ako je obično dovoljno pogledati crtež da bi se domen integracije podijelio na dijelove i riješio iterirani integral - tablicu integrala, tada je potrebno određeno iskustvo u obuci u postavljanju granica integracija. Prođimo kroz primjer u kojem se zaustavljamo samo na uređenju granica integracije i - gotovo automatski - na podjeli regiona i izostavljamo samo rješenje.

Primjer 11. Pronađite granice integracije dvostrukog integrala ako je područje integracije D postaviti kako slijedi:

y - 2x ≤ 0;
2g - x ≥ 0;
xy ≤ 2.

Rješenje. eksplicitno (preko x I y"bez nečistoća") linije koje ograničavaju područje integracije nisu navedene. Pošto se za x najčešće ispostavi da su prave linije koje dodiruju u jednoj tački gornju i donju granicu izraženu kroz y, onda ćemo ići upravo tim putem. Štaviše, pri promeni redosleda integracije dobijamo oblast integracije sa istom površinom. Hajde da riješimo nejednakosti za igrača i dobijemo:

y ≤ 2x;
y ≥ x/2;
y ≤ 2/x.

Rezultirajuće linije gradimo na crtežu. Granice integracije u odnosu na x su zaista prave x= 0 i x= 2 . Ali pokazalo se da je region integracije bio y-netačno, jer se njegova gornja granica ne može postaviti jednom linijom y = y(x) .

1.1 Definicija dvostrukog integrala

1.2 Svojstva dvostrukog integrala

Svojstva dvostrukog integrala (i njihovo izvođenje) su slična odgovarajućim svojstvima pojedinačnog određenog integrala.

1°. Aditivnost. Ako je funkcija f(x, y) integrabilna u domenu D i ako je domena D podijeljena krivom G površine nula na dvije povezane domene D 1 i D 2 bez zajedničkih unutrašnjih tačaka, tada je funkcija f(x, y) je integrabilan u svaki iz regiona D 1 i D 2 , i

2°. Linearno svojstvo. Ako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domenu D, ha? I? - bilo koji realni brojevi, zatim funkcija [? f(x, y) + ? g(x, y)] je takođe integrabilna u domenu D, i

3°. Ako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domenu D, onda je proizvod ovih funkcija također integrabilan u D.

4°. Ako su funkcije f(x, y) i g(x, y) obje integrabilne u domeni D i svuda u ovoj domeni f(x, y) ? g(x, y), onda

5°. Ako je funkcija f(x, y) integrabilna u domenu D, onda je funkcija |f(x, y)| je integrabilna u domenu D, i

(Naravno, integrabilnost |f(x, y)| u D ne implicira integrabilnost f(x, y) u D.)

6°. Teorema srednje vrijednosti. Ako su obje funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domenu D, funkcija g(x, y) je nenegativna (nepozitivna) svuda u ovoj domeni, M i m su najbolje gornje i donje granice funkcije f( x, y) u domeni D, onda postoji broj? koji zadovoljava nejednakost m ? ? ? M i takav da je formula

Konkretno, ako je funkcija f(x, y) neprekidna u D, a domen D je povezan, onda u ovom domenu postoji takva tačka (?, ?), šta? = f(?, ?), i formula postaje

7°. Bitan geometrijsko svojstvo. jednaka površini regije D

Neka je tijelo T dato u prostoru (slika 2.1), ograničeno odozdo područjem D, odozgo - grafom kontinuirane i nenegativne funkcije) z = f (x, y,) koji je definiran u području D, sa strana - cilindričnom površinom, čiji je vodič granični domen D, a generatori su paralelni sa Oz osom. Tijelo ovog tipa naziva se cilindrično tijelo.

1.3 Geometrijska interpretacija dvostrukog integrala

1.4 Koncept dvostrukog integrala za pravougaonik

Neka je proizvoljna funkcija f(x, y) definirana svuda na pravokutniku R = ? (Vidi sliku 1).

Podijelimo segment a ? x? b na n parcijalnih segmenata koristeći tačke a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Ova podjela uz pomoć linija, paralelno sa osama Ox i Oy, odgovara podjeli pravougaonika R na n · p parcijalnih pravougaonika R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Navedena particija pravougaonika R će biti označena simbolom T. U daljem tekstu, u ovom odeljku, termin "pravougaonik" će označavati pravougaonik sa stranicama paralelnim sa koordinatnim osa.

Na svakom parcijalnom pravougaoniku R kl biramo proizvoljnu tačku (? k , ? l). Stavljajući?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, označavamo sa?R kl površinu pravokutnika R kl. Očigledno, ?R kl = ?x k ?y l .

naziva se integralni zbir funkcije f(x, y) koja odgovara datoj particiji T pravokutnika R i datom izboru međutačaka (?k, ?l) na parcijalnim pravokutnicima particije T.

Dijagonala će se zvati prečnik pravougaonika R kl. Simbol? označavamo najveći od promjera svih parcijalnih pravokutnika R kl .

Broj I se zove granica integralnih suma (1) za? > 0 ako za bilo koji pozitivan broj? ovo možete odrediti pozitivan broj?, u čemu?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - I |< ?.

Funkcija f(x, y) naziva se integrabilnom (prema Riemannu) na pravokutniku R ako postoji konačan limit I integralnih suma ove funkcije na? > 0.

Ova granica I naziva se dvostrukim integralom funkcije f(x, y) nad pravokutnikom R i označava se jednim od sljedećih simbola:

Komentar. Na isti način kao i za jednokratni definitivni integral, ustanovljeno je da je bilo koja funkcija f(x, y) integrabilna na pravougaoniku R ograničena na ovaj pravougaonik.

Ovo daje osnovu za razmatranje samo u nastavku ograničene karakteristike f(x, y).