Dvostruka integralna transformacija pravokutnih koordinata, na polarne koordinate
, vezano za pravokutne koordinate relacijama
,
, provodi se prema formuli

Ako je područje integracije
ograničeno na dvije grede
,
(
) koji izlazi iz pola, i dvije krive
i
, tada se dvostruki integral izračunava po formuli

.

Primjer 1.3. Izračunajte površinu figure ograničene ovim linijama:
,
,
,
.

Odluka. Za izračunavanje površine neke površine
upotrijebimo formulu:
.

Nacrtajte područje (Sl. 1.5). Da bismo to učinili, transformiramo krive: , , , . Pređimo na polarne koordinate: , . . U polarnom koordinatnom sistemu, oblast opisuje se jednadžbama:

.

1.2. Trostruki integrali

Osnovna svojstva trostruki integrali slični su svojstvima dvostrukih integrala.

AT Kartezijanske koordinate Trostruki integral se obično piše ovako:

.

Ako a
, zatim trostruki integral po površini brojčano jednak zapremini tela :

.

Računanje trostrukog integrala

Neka oblast integracije ograničene odozgo i odozdo, redom, jednovrijednim neprekidnim površinama
,
, i projekcija površine na koordinatnu ravan
postoji ravna površina
(Sl. 1.6).

Zatim za fiksne vrijednosti odgovarajuće aplikacije tačke područja promijeniti unutar. Tada dobijamo: . Ako, pored toga, projekcija određena je nejednakostima , , gdje - nedvosmisleno kontinuirane funkcije na , onda

.

Primjer 1.4. Izračunati
, gdje - tijelo omeđeno ravnima:

	, , , ( , , ). Odluka. Područje integracije je piramida (slika 1.7). Projekcija površine postoji trougao , omeđen pravim linijama , , (Sl. 1.8). At tačkaste aplikacije zadovoljiti nejednakost , Zbog toga .
	Postavljanje granica integracije za trokut , dobijamo

Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Kada se krećete od kartezijanskih koordinata
na cilindrične koordinate
(Sl. 1.9) povezan sa
omjeri
,
,
, i

	, ,, trostruki integral transformiše: Primjer 1.5. Izračunaj zapreminu tijela ograničenog površinama: , , . Odluka.Željeni volumen tijela jednaki .
	Područje integracije je dio cilindra koji je odozdo ograničen ravninom , i iznad aviona (Sl. 1.10). Projekcija površine postoji krug centriran u nultu i sa jediničnim radijusom. Pređimo na cilindrične koordinate. , , . At tačkaste aplikacije , zadovoljiti nejednakost ili u cilindričnim koordinatama:

Region
, ograničen krivuljom
, ima oblik ili
, dok je polarni ugao
. Kao rezultat, imamo

.

2. Elementi teorije polja

Prisjetimo se najprije metoda za izračunavanje krivolinijskih i površinskih integrala.

Proračun krivolinijskog integrala nad koordinatama funkcija definiranih na krivulji , svodi se na izračunavanje određenog integrala oblika

ako je kriva parametarski
odgovara polazna tačka krivo , a
- njegova krajnja tačka.

Izračunavanje površinskog integrala funkcije
definirana na dvostranoj površini , svodi se na izračunavanje dvostrukog integrala, na primjer, oblika

,

ako površina , dato jednačinom
, jedinstveno se projektuje na ravan
regionu
. Evo - ugao između vektora jedinične normale na površinu i osovina
:

.

Strana površine koju zahtijevaju uvjeti problema određuje se izborom odgovarajućeg predznaka u formuli (2.3).

Definicija 2.1. Vektorsko polje
naziva se vektorska funkcija tačke
zajedno sa svojim obimom:

vektorsko polje
karakterizirana skalarnom vrijednošću - divergencija:

Definicija 2.2. protok vektorsko polje
kroz površinu naziva se površinski integral:

,

gdje - jedinični vektor normale na odabranu stranu površine , a
- skalarni proizvod vektori i .

Definicija 2.3. cirkulacija vektorsko polje

on zatvorena kriva naziva se krivolinijski integral

,

gdje
.

Ostrogradsky-Gaussova formula uspostavlja vezu između niti vektorsko polje kroz zatvorenu površinu i divergenciju polja:

gdje - površina omeđena zatvorenom konturom , a je jedinični vektor normale na ovu površinu. Smjer normale mora odgovarati smjeru konture .

Primjer 2.1. Izračunati površinski integral

,

gdje - vanjski dio konusa
(
) odsječen avionom
(Slika 2.1).

Odluka. Površina jedinstveno projektovana u prostoru
avion
, a integral se izračunava po formuli (2.2).

Jedinični površinski normalni vektor nalazimo po formuli (2.3): . Ovdje se u izrazu za normalu bira znak plus, pošto je ugao između osovina i normalno je glup i stoga mora biti negativan. S obzirom na to , na površini dobijamo

Region
postoji krug
. Dakle, u posljednjem integralu prelazimo na polarne koordinate, dok
,
:

Primjer 2.2. Pronađite divergenciju i zavoj vektorskog polja
.

Odluka. Formulom (2.4) dobijamo

Rotor ovog vektorskog polja se nalazi po formuli (2.5)

Primjer 2.3. Pronađite tok vektorskog polja
preko dela aviona :
nalazi se u prvom oktantu (normala formira oštar ugao sa osom
).

	Odluka. Formulom (2.6) . Nacrtajte dio ravnine : nalazi u prvom oktantu. Jednačina ove ravni u segmentima ima oblik (Sl. 2.3). Vektor normale na ravan ima koordinate: , jedinični normalni vektor
	. . , , gdje , dakle,

gdje
- projekcija u ravni na
(Sl. 2.4).

Primjer 2.4. Izračunajte tok vektorskog polja kroz zatvorenu površinu formiran od strane aviona
i dio konusa
(
) (Sl. 2.2).

Odluka. Koristimo formulu Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Pronađite divergenciju vektorskog polja po formuli (2.4):

gdje
je volumen konusa nad kojim se vrši integracija. Koristimo dobro poznatu formulu za izračunavanje zapremine konusa
(je poluprečnik osnove stošca, - njegova visoka). U našem slučaju dobijamo
. Konačno dobijamo

.

Primjer 2.5. Izračunajte cirkulaciju vektorskog polja
duž konture formirana ukrštanjem površina
i
(
). Provjerite rezultat koristeći Stokesovu formulu.

Odluka. Presjek ovih površina je kružnica
,
(Sl. 2.1). Smjer obilaznice se obično bira tako da područje koje je njime ograničeno ostane lijevo. Zapisujemo parametarske jednačine konture :

gdje

gdje je parametar promjene od prije
. Formulom (2.7), uzimajući u obzir (2.1) i (2.10), dobijamo

.

Sada primjenjujemo Stokesovu formulu (2.9). Kao površina , razdvojen konturom , možete uzeti dio aviona
. Normalan smjer
na ovu površinu je u skladu sa smjerom pomicanja konture . Zavoj ovog vektorskog polja izračunat je u primjeru 2.2:
. Dakle, željena cirkulacija

gdje
- područje regije
.
- krug radijusa
, gdje

Neka imamo dva pravougaona koordinatna sistema u prostoru i
, i sistem funkcija

(1)

koji uspostavljaju korespondenciju jedan-na-jedan između tačaka nekih oblasti
i
u ovim koordinatnim sistemima. Pretpostavimo da funkcije sistema (1) imaju in
kontinuirani parcijalni derivati. Odrednica sastavljena od ovih parcijalnih izvoda

,

se zove Jakobijan (ili Jacobijeva determinanta) sistema funkcija (1). Pretpostavićemo to
in
.

Pod gore navedenim pretpostavkama, vrijedi sljedeća opšta formula za promjenu varijabli u trostrukom integralu:

Kao iu slučaju dvostrukog integrala, jedan-na-jedan sistema (1) i uvjet
može biti narušena na pojedinačnim tačkama, na pojedinačnim linijama i na pojedinačnim površinama.

Sistem funkcija (1) za svaku tačku
odgovara jednoj tački
. Ova tri broja
se nazivaju krivolinijske koordinate tačke . Tačke prostora
, za koje jedna od ovih koordinata ostaje konstantna, formiraju tzv. koordinatnu površinu.

II Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Cilindrični koordinatni sistem (CCS) definiran je ravninom
, u kojem su polarni koordinatni sistem i osa
okomito na ovu ravan. Cilindrične koordinate tačke
, gdje
– polarne koordinate tačke – projekcije t čaše u avion
, a su koordinate projekcije tačke po osovini
ili
.

U avionu
uvodimo kartezijanske koordinate na uobičajen način, usmjeravamo primijenjenu os duž ose
CSK. Sada nije teško dobiti formule koje povezuju cilindrične koordinate s kartezijanskim:

(3)

Ove formule mapiraju područje u cijeli prostor
.

Koordinatne površine u ovom slučaju će biti:

1)
- cilindrične površine sa generatorima paralelnim sa osi
, čiji su vodiči krugovi u ravni
, centriran u tački ;

2)

;

3)
- ravni paralelne sa ravnima
.

Jakobijanski sistem (3):

.

Opća formula u slučaju CSC-a ima oblik:

Napomena 1 . Prelazak na cilindrične koordinate se preporučuje kada je područje integracije kružni cilindar ili konus, ili paraboloid okretanja (ili njihovi dijelovi), a os ovog tijela poklapa se sa osom aplikacije
.

Napomena 2. Cilindrične koordinate se mogu generalizirati na isti način kao i polarne koordinate u ravni.

Primjer 1 Izračunajte trostruki integral funkcije

po regionu
, što je unutrašnjost cilindra
, omeđen konusom
i paraboloid
.

Odluka. Već smo razmotrili ovu oblast u §2, primjer 6, i dobili smo standardnu ​​notaciju u DPSC. Međutim, izračunavanje integrala u ovom području je teško. Idemo na CSK:

.

Projekcija
tijelo
u avion
je krug
. Dakle, koordinata mijenja se od 0 do
, a – od 0 do R. Kroz proizvoljnu tačku
nacrtati liniju paralelnu sa osom
. Direktan ulaz
na konusu, ali će izaći na paraboloidu. Ali konus
ima jednačinu u CSK
, i paraboloid
- jednačina
. Tako da imamo

III Trostruki integral u sfernim koordinatama

Sferni koordinatni sistem (SCS) definiran je ravninom
, u kojem je specificiran UCS, i os
, okomito na ravan
.

Koordinate sferne tačke prostor se naziva trojka brojeva
, gdje je polarni ugao projekcije tačke na ravan
,- ugao između ose
i vektor
i
.

U avionu
uvesti kartezijanske koordinatne ose
i
na uobičajeni način, a primijenjena osa je kompatibilna sa osom
. Formule koje povezuju sferne koordinate sa kartezijanskim su:

(4)

Ove formule mapiraju područje u cijeli prostor
.

Jakobijan sistema funkcija (4):

.

Koordinatne površine čine tri porodice:

1)
– koncentrične sfere sa središtem na početku;

2)
- poluravnine koje prolaze kroz osu
;

3)
su kružni konusi sa vrhom u početku, čija je osa osa
.

Formula za prelazak na SSC u trostrukom integralu:

Napomena 3. Prelazak na SSC se preporučuje kada je područje integracije lopta ili njen dio. U ovom slučaju, jednačina sfere
ulazi u. Kao i CSC o kojem smo ranije govorili, CSC je "vezan" za osovinu
. Ako je centar sfere pomaknut za polumjer duž koordinatne osi, tada će se dobiti najjednostavnija sferna jednadžba s pomakom duž osi
:

Napomena 4. SSC je moguće generalizirati:

sa Jacobianom
. Ovaj sistem funkcija će prevesti elipsoid

u paralelepiped

Primjer 2 Pronađite prosječno rastojanje tačaka kugle poluprečnika iz njegovog centra.

Odluka. Podsjetimo da je srednja vrijednost funkcije
u oblasti
je trostruki integral funkcije preko površine podijeljen volumenom površine. U našem slučaju

Tako da imamo

1. Cilindrične koordinate predstavljaju vezu polarnih koordinata u xy ravni sa uobičajenom kartezijanskom z aplikacijom (slika 3).

Neka je M(x, y, z) proizvoljna tačka u prostoru xyz, P je projekcija tačke M na ravan xy. Tačka M je jednoznačno određena trostrukom brojeva - polarnim koordinatama tačke P, z - primenom tačke M. Formule koje ih povezuju sa kartezijanskim imaju oblik

Prikaži Jacobian (8)

Primjer 2.

Izračunaj integral

gdje je T površina ograničena površinama

Odluka. Pređimo u integral na sferne koordinate prema formulama (9). Tada se područje integracije može specificirati nejednačinama

A to znači

Primjer 3 Odredi zapreminu tela ograničenog sa:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Imamo: x 2 +y 2 +z 2 =8 - sfera poluprečnika R= v8 sa centrom u tački O(000),

Gornji dio stošca z 2 \u003d x 2 + y 2 sa osom simetrije Oz i vrhom u tački O (slika 2.20).

Nađimo liniju presjeka kugle i konusa:

A pošto je po uslovu z ? 0, onda

Krug R=2 koji leži u ravni z=2.

Prema tome, prema (2.28)

gdje je domena U ograničena odozgo

(dio sfere),

(dio konusa);

region U se projektuje na Oxy ravan u oblast D - krug poluprečnika 2.

Stoga je svrsishodno preći trostruki integral na cilindrične koordinate koristeći formule (2.36):

Granice promjene q, r nalaze se u području D v punom krugu R=2 sa centrom u tački O, dakle: 0?c?2p, 0?r?2. Dakle, područje U u cilindričnim koordinatama je dato sljedećim nejednačinama:

primetite, to

Neka se da materijalno telo, što je prostorno područje P ispunjeno masom. Potrebno je pronaći masu m ovog tijela pod uslovom da je u svakoj tački P € P poznata gustina raspodjele mase. Podijelimo regiju P na kockaste dijelove koji se ne preklapaju (to jest, koji imaju zapreminu) sa zapreminama. U svakom od parcijalnih regiona ft* biramo proizvoljnu tačku P*. Pretpostavimo približno da je u granicama parcijalnog područja ft* gustina konstantna i jednaka /*(P*). Tada će masa Atk ovog dijela tijela biti izražena približnom jednakošću Atpk i masa cijelog tijela će biti približno jednaka Trostrukom integralu Osobine trostrukih integrala Izračunavanje trostrukog integrala u Dekartovim koordinatama Izračunavanje trostrukog integrala u cilindrične i sferne koordinate Neka je d najveći od promjera parcijalnih područja. Ako pri d - * 0 zbir (1) ima konačnu granicu, koja ne zavisi od metode dijeljenja domene ft na parcijalne poddomena, ili od izbor tačaka R* € ft*, onda se ova granica uzima kao masa m datog tijela. Neka je ograničena funkcija definirana u zatvorenom kubnom domenu ft. ft na n neusklađenih kubnih dijelova i označimo njihove zapremine sa , odnosno. U svakom parcijalnom poddomenu P*, proizvoljno biramo tačku Pk(xk, yk, zk) i sastavljamo integralni zbir. Neka je d najveći od prečnika parcijalnih domena. Definicija. Ako za d 0 integralni zbroji a imaju granicu koja ne zavisi ni od načina podjele domene A na parcijalne poddomene P*, niti od izbora tačaka Pk ∈ P*, tada se ova granica naziva trojstvo integrala funkcije f(x) y, z) u odnosu na domenu Q i označava se simbolom Teorema 6. Ako je funkcija f(x, y, z) neprekidna u zatvorenom kubnom domenu Π, onda je integrabilan u ovoj domeni. Svojstva trostrukih integrala Svojstva trostrukih integrala su slična osobinama dvostrukih integrala. Navedimo glavne. Neka su funkcije integrabilne u kubnoj domeni L. 1. Linearnost. U ovom slučaju, funkcija se naziva integrabilnom u domeni Q. Dakle, po definiciji, imamo Vraćajući se na problem izračunavanja mase tijela, primjećujemo da je granica (2) trostruki integral funkcije p( P) preko domene P. Dakle, ovdje je dx dy dz - element volumena dv u pravokutnim koordinatama. gdje su a i (3 proizvoljne realne konstante. svuda u domeni P, onda 3. Ako je f(P) = 1 u domeni P, onda je n gdje je V volumen domene Q. Ako je funkcija f(P) je kontinuirana u zatvorenoj kubnoj domeni f i M i t - njena najveća i najmanju vrijednost u ft, gdje je V zapremina površine ft. 5. Aditivnost. Ako je domena ft podijeljena na kubabilne domene bez zajedničkih unutrašnjih tačaka i f(P) je integrabilna u domenu ft, tada je f(P) integrabilna na svakoj od domena ft| i ft2, i 6. Teorema srednje vrijednosti. Teorema 7 (o srednjoj vrijednosti). Ako je funkcija f(P) kontinuirana u zatvorenom kubnom domenu ft, tada postoji tanak Pc € ft takav da vrijedi formula gdje je V volumen domene ft (podsjetimo da je domen povezan skup). § 7. Proračun trostrukog integrala u Dekartovim koordinatama Kao i kod računanja dvostrukih integrala, stvar se svodi na izračunavanje iteriranih integrala. Pretpostavimo da je funkcija kontinuirana u nekom domenu ft. 1. slučaj. Površina ft je pravougaoni paralelepiped projektovan na ravan yOz u pravougaonik i2; Tada dobijemo Zamjenom dvostrukog integrala ponovljenim, konačno dobijemo Dakle, u slučaju kada je površina P pravokutni paralelepiped, sveli smo proračun trostrukog integrala na sekvencijalno izračunavanje tri obična integrala. Formula (2) se može prepisati u obliku gdje je pravougaonik ortogonalna projekcija paralelepipeda P na ravan xOy. 2nd case. Razmotrimo sada površinu Q takvu da njena granična površina 5 siječe bilo koju pravu liniju paralelnu osi Oz najviše u dvije tačke ili duž cijelog segmenta (slika 22). Neka je z = tpi(x, y) jednačina površine 5 koja ograničava domen Π odozdo, a neka površina S2 koja odozgo ograničava domen Π ima jednačinu z = y). Neka obje površine S1 i S2 projektuju na istu oblast ravni x0y. Označimo ga sa D, a krivulju koja ga ograničava sa L. Ostatak granice 5 tijela Q leži na cilindričnoj površini s generatorima, paralelno sa osom Oz, i sa L krivom kao vodičem. Zatim, po analogiji sa formulom (3), dobijamo Ako je površina D ravni xOy krivolinijski trapez omeđen sa dve krivulje, onda se dvostruki integral u formuli (4) može svesti na iterirani i konačno dobijamo Ova formula je generalizacija formule (2). Fig-23 Primjer. Izračunajte zapreminu tetraedra ograničenog ravnima Projekcija tetraedra na ravan xOy je trokut formiran pravim linijama tako da se x mijenja od 0 do 6, a pri fiksnom x (0 ^ x ^ 6) y mijenja od 0 do 3 - | (Sl. 23). Ako su i x i y fiksni, tada se tačka može kretati okomito od ravni do ravni i varira od 0 do 6 - x - 2y. Prema formuli dobijamo §8. Izračunavanje trostrukog integrala u cilindričnim i sfernim koordinatama Pitanje promjene varijabli u trostrukom integralu rješava se na isti način kao i u slučaju dvostrukog integrala. Neka je funkcija /(x, y, z) neprekidna u zatvorenoj kubnoj domeni ft, i neka su funkcije kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim derivatima prvog reda u zatvorenoj kubnoj domeni ft*. Pretpostavimo da funkcije (1) uspostavljaju korespondenciju jedan prema jedan između svih tačaka rj, () površine ft*, s jedne strane, i svih tačaka (x, y, z) površine ft, na drugi. Tada vrijedi formula za promjenu varijabli u trostrukom integralu – gdje je Jakobijan sistema funkcija (1). U praksi se prilikom izračunavanja trostrukih integrala često koristi zamjena pravokutnih koordinata cilindričnim i sfernim koordinatama. 8.1. Trostruki integral u cilindričnim koordinatama B cilindrični sistem koordinate, položaj tačke P u prostoru određen je sa tri broja p, gde su p i (p polarne koordinate projekcije P1 tačke P na ravan xOy, a z je primena tačke P (sl. . 24). Brojevi se nazivaju cilindričnim koordinatama tačke P. Jasno je da U sistemu Cilindrične koordinate Koordinatne površine Trostruki integral Svojstva trostrukih integrala Izračunavanje trostrukog integrala u Dekartovim koordinatama Izračunavanje trostrukog integrala u cilindričnim i sfernim koordinate, respektivno, opisuje: kružni cilindar čija se osa poklapa sa osom Oz, poluravninu koja je susjedna osi Oz i ravan, paralelno sa ravninom ho. Cilindrične koordinate se odnose na kartezijanske pomoću sljedećih formula (vidi sliku 24). Za sistem (3), preslikavanje površine ft u površinu, imamo i formulu (2) za prijelaz sa trostrukog integrala u pravokutnim koordinatama na integral u cilindričnim koordinatama ima oblik (4) Izraz se naziva zapremina element u cilindričnim koordinatama. Ovaj izraz za element volumena se također može dobiti iz geometrijskih razmatranja. Podijelimo domenu P na elementarne poddomene po koordinatnim površinama i izračunajmo volumene rezultirajućih krivolinijskih prizmi (slika 25). Može se vidjeti da odbacivanje beskonačno mala količina više high order, dobijamo Ovo nam omogućava da za element zapremine uzmemo sledeću vrednost u cilindričnim koordinatama Primer 1. Naći zapreminu tela ograničenog površinama 4 U cilindričnim koordinatama date površine će imati jednačine (vidi formule (3)). Ove površine seku se duž prave r, koja je opisana sistemom jednačina (cilindar), (ravan), slika 26 i njenom projekcijom sistema na ravan xOy, pa se željeni volumen izračunava po formuli (4) , u kojem. Trostruki integral u sfernim koordinatama U sfernom koordinatnom sistemu, položaj tačke P(x, y, z) u prostoru određen je sa tri broja, gde je r rastojanje od početka koordinata do ugla između ose Ox i projekcija vektora radijusa OP tačke P na ravan xOy, a c je ugao između ose Oz i radijus vektora OP tačke P, računajući od ose Oz (slika 27). To je jasno. Koordinatne površine u ovom koordinatnom sistemu: r = const - sfere sa centrom u početku; ip = konst poluravnine koje izlaze iz ose Oz; c = const - kružni konusi sa osom Oz. Rice. 27 Iz slike se može vidjeti da su sferne i kartezijanske koordinate povezane sljedećim relacijama. Izračunajmo Jakobijan funkcija (5). Imamo Dakle, i formula (2) ima oblik Element zapremine u sfernim koordinatama - Izraz za element zapremine se takođe može dobiti iz geometrijskih razmatranja. Razmotrimo elementarnu oblast u prostoru omeđenu sferama poluprečnika r i r + dr, stošcima β i β + d$ i poluravnama.Ovo područje se može smatrati kuboid sa merenjima. Zatim Svojstva trostrukog integrala trostrukih integrala Izračunavanje trostrukog integrala u kartezijanskim koordinatama Izračunavanje trostrukog integrala u cilindričnim i sfernim koordinatama Iz treće jednačine nalazimo granice promijenjenog ugla 9: odakle

Trostruki integrali. Proračun zapremine tela.
Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Tri dana je mrtav ležao u dekanatu, obučen u pitagorejske pantalone,
U rukama Fikhtengoltza držao je knjigu koja ga je spasila od bijelog svijeta,
Za noge je vezan trostruki integral, a leš je umotan u matricu,
I umjesto molitve, neka drska osoba je pročitala Bernoullijevu teoremu.

Trostruki integrali su nešto čega se više ne možete bojati =) Jer ako čitate ovaj tekst, onda najvjerovatnije dobro razumijete teorija i praksa "običnih" integrala, kao i dvostruki integrali. A gde je duplo, u blizini je trostruko:

I zaista, čega se tu treba bojati? Integral manje, integral više....

Razumijevanje zapisa:

– trostruka integralna ikona;
– integrand funkcija tri varijable;
je proizvod diferencijala.
je region integracije.

Hajde da se posebno fokusiramo na oblasti integracije. Ako u dvostruki integral ona predstavlja ravna figura, onda evo - prostorno tijelo, za koji je poznato da je ograničen skupom površine. Stoga, pored gore navedenog, morate navigirati glavne površine prostora i biti u stanju da izvodi jednostavne trodimenzionalne crteže.

Neki ljudi su uznemireni, razumem... Jao, članak ne može biti naslovljen „trostruki integrali za lutke“, a treba nešto znati/moći. Ali to je u redu - sav materijal je predstavljen u izuzetno pristupačnoj formi i savladan u najkraćem mogućem roku!

Šta znači izračunati trostruki integral i o čemu se radi?

Izračunavanje trostruke integralne sredine nađi BROJ:

U najjednostavnijem slučaju, kada trostruki integral je numerički jednak zapremini tela. I zaista, prema opšte značenje integracije, proizvod je beskrajno mali volumen elementarne "cigle" tijela. A trostruki integral je pravedan okuplja sve ovo beskonačno male čestice po površini, što rezultira integralnom (ukupnom) vrijednošću zapremine tijela: .

Osim toga, trostruki integral je važan fizičke aplikacije. Ali više o tome kasnije - u 2. dijelu lekcije, posvećenom izračunavanje proizvoljnih trostrukih integrala, čija je funkcija općenito drugačija od konstante i kontinuirana u domeni . U ovom članku ćemo detaljno razmotriti problem pronalaženja volumena, koji se, prema mojoj subjektivnoj procjeni, javlja 6-7 puta češće.

Kako riješiti trostruki integral?

Odgovor logično slijedi iz prethodnog pasusa. Treba definisati red hoda po tijelu i idi na iterirani integrali . Zatim se uzastopno bavite tri pojedinačna integrala.

Kao što vidite, cijela kuhinja jako, jako podsjeća na dvostruki integrali, s tom razlikom što smo sada dodali dodatnu dimenziju (grubo rečeno, visinu). I, vjerovatno, mnogi od vas su već pogodili kako se rješavaju trostruki integrali.

Otklonimo sve preostale sumnje:

Primjer 1

Molimo upišite u kolonu na papiru:

I odgovorite na sljedeća pitanja. Znate li koje površine definiraju ove jednačine? Razumijete li neformalno značenje ovih jednačina? Možete li zamisliti kako se ove površine nalaze u svemiru?

Ako naginjete opštem odgovoru „radije ne nego da“, onda svakako odradite lekciju, inače se nećete pomeriti dalje!

Odluka: koristite formulu.

Da bi saznali red hoda po tijelu i idi na iterirani integrali trebate (sve genijalno je jednostavno) da shvatite o kakvom se tijelu radi. A takvo razumijevanje u mnogim slučajevima uvelike olakšavaju crteži.

Po stanju, tijelo je ograničeno s nekoliko površina. Gdje početi graditi? Predlažem sledeću akciju:

Hajde da prvo nacrtamo paralelno ortogonalno projekcija tijela na koordinatnu ravan. Prvi put sam rekao kako se zove ova projekcija, lol =)

Budući da se projekcija vrši duž ose, prije svega je preporučljivo pozabaviti se površine koje su paralelne sa datom osom. Podsjećam da su jednačine takvih površina ne sadrže slovo "z". U ovom problemu su njih tri:

– jednačina definira koordinatnu ravan, koja prolazi kroz osu;
– jednačina definira koordinatnu ravan, koja prolazi kroz osu;
- jednačina postavlja avion "ravne" linije paralelno sa osom.

Najvjerovatnije, željena projekcija je sljedeći trokut:

Možda nisu svi u potpunosti razumjeli o čemu se radi. Zamislite da os izlazi iz ekrana monitora i zalijepi se direktno u vaš most nosa ( one. ispada da gledate 3-dimenzionalni crtež odozgo). Proučavano prostorno tijelo nalazi se u beskonačnom trougaonom "hodniku" i njegova projekcija na ravan je najvjerovatnije osenčeni trougao.

Posebnu pažnju skrećem na činjenicu da smo se do sada izrazili samo projekcija a odredbe “najvjerovatnije”, “najvjerovatnije” nisu bile slučajne. Činjenica je da još nisu analizirane sve površine, pa se može desiti da jedna od njih “odsječe” dio trougla. Kao ilustrativni primjer, sfera sa središtem u ishodištu sa poluprečnikom manjim od jedan, na primjer, sfera je njegova projekcija na ravan (kružnicu ) neće u potpunosti "pokriti" zasjenjeno područje, a konačna projekcija tijela uopće neće biti trokut (krug će "presjeći" svoje oštre uglove).

U drugoj fazi saznajemo kako je tijelo ograničeno odozgo, nego odozdo i izvodimo prostorni crtež. Vraćamo se na stanje problema i vidimo koje su površine ostale. Jednačina definira samu koordinatnu ravan, a jednačina - parabolični cilindar, nalazi se iznad ravni i prolazi kroz osu. Dakle, projekcija tijela je zaista trokut.

Usput, našao sam ovdje redundantnost uslovi - nije bilo potrebno uključiti jednačinu ravni, pošto površina, dodirujući osu apscise, tako zatvara tijelo. Zanimljivo je napomenuti da u ovom slučaju ne bismo mogli odmah nacrtati projekciju – trokut bi se „nacrtao“ tek nakon analize jednačine.

Pažljivo nacrtajmo fragment paraboličnog cilindra:

Nakon završetka crteža sa poredak tela nema problema!

Prvo određujemo redoslijed obilaženja projekcije (istovremeno je PUNO POVOLJNIJE kretati se prema dvodimenzionalnom crtežu). Gotovo je APSOLUTNO ISTO, Kao u dvostruki integrali! Pozovite laserski pokazivač i skenirajte ravnu površinu. Odaberimo "tradicionalno" 1. rješenje:

Zatim uzimamo čarobnu baterijsku lampu, gledamo trodimenzionalni crtež i striktno odozdo prema gore osvijetliti pacijenta. Zraci ulaze u tijelo kroz ravan i napuštaju ga kroz površinu. Dakle, redoslijed obilaženja tijela je:

Pređimo na iterirane integrale:

1) Trebali biste početi sa "Z" integralom. Koristimo Newton-Leibnizova formula:

Zamijenite rezultat u integralu "igre":

Šta se desilo? U suštini, rješenje je svedeno na dvostruki integral, odnosno na formulu zapremine cilindrične šipke! Dobro je poznato šta sledi:

2)

Obratite pažnju na racionalnu tehniku ​​rješavanja 3. integrala.

Odgovori:

Izračuni se uvijek mogu napisati u "jednom redu":


Ali budite oprezni s ovom metodom - dobitak u brzini prepun je gubitka kvalitete, a što je primjer teži, veća je vjerovatnoća da ćete pogriješiti.

Odgovorimo na jedno važno pitanje:

Da li je potrebno izraditi crteže ako uslov zadatka ne zahtijeva njihovu implementaciju?

Možete ići na četiri načina:

1) Predstavite projekciju i samo tijelo. Ovo je najpovoljnija opcija - ako je moguće završiti dva pristojna crteža, nemojte biti lijeni, uradite oba crteža. Prvo preporučujem.

2) Nacrtajte samo tijelo. Pogodno kada tijelo ima jednostavnu i očiglednu projekciju. Tako bi, na primjer, u analiziranom primjeru bio dovoljan trodimenzionalni crtež. Međutim, postoji i minus - nezgodno je odrediti redoslijed zaobilaženja projekcije sa 3D slike, a ovu metodu savjetujem samo osobama sa dobar nivo priprema.

3) Prikaži samo projekciju. Također nije loše, ali tada su potrebni dodatni pisani komentari, što ograničava prostor sa raznih strana. Nažalost, treća opcija je često prisiljena - kada je tijelo preveliko ili je njegova konstrukcija prepuna drugih poteškoća. I mi ćemo također razmotriti takve primjere.

4) Uopšte bez crteža. U ovom slučaju morate mentalno zamisliti tijelo i pismeno komentirati njegov oblik/lokaciju. Pogodno za vrlo jednostavna tijela ili zadatke gdje je implementacija oba crteža teška. Ali ipak, bolje je napraviti barem šematski crtež, jer se "golo" rješenje može odbaciti.

Sljedeće tijelo za nezavisan slučaj:

Primjer 2

Koristeći trostruki integral, izračunaj zapreminu tijela ograničenog površinama

U ovom slučaju, domen integracije je dat uglavnom nejednačinama, a još bolje - skupom nejednakosti definira 1. oktant, uključujući koordinatne ravni, i nejednakost - poluprostor, koji sadrži porijeklo (provjera)+ sam avion. "Okomita" ravan seče paraboloid duž parabole i poželjno je da se ovaj presek izgradi na crtežu. Da biste to učinili, morate pronaći dodatnu referentnu tačku, najlakši način je vrh parabole (razmatramo vrijednosti i izračunaj odgovarajući Z).

Nastavljamo sa istezanjem:

Primjer 3

Koristite trostruki integral da izračunate zapreminu tijela ograničenog naznačenim površinama. Izvršite crtež.

Odluka: formulacija "izvrši crtež" nam daje određenu slobodu, ali najvjerovatnije podrazumijeva izvođenje prostornog crteža. Međutim, ni projekcija ne škodi, pogotovo što ovdje nije najlakše.

Pridržavamo se ranije razrađene taktike - prvo ćemo se pozabaviti površine koji su paralelni sa aplikativnom osom. Jednadžbe takvih površina ne sadrže eksplicitno varijablu "z":

– jednadžba definira koordinatnu ravan koja prolazi kroz osu ( koji je na ravni određen "homonimnom" jednadžbom);
- jednačina postavlja avion prolazeći kroz "homonim" "ravne" linije paralelno sa osom.

Željeno tijelo je ograničeno ravninom odozdo i parabolični cilindar gore:

Hajde da napravimo redosled zaobilaženja tela, dok su granice integracije "x" i "y", podsećam vas, zgodnije saznati iz dvodimenzionalnog crteža:

ovako:

1)

Prilikom integracije preko "y" - "x" se smatra konstantom, stoga je preporučljivo da se konstanta odmah izvadi iz predznaka integrala.

3)

Odgovori:

Da, skoro sam zaboravio, u većini slučajeva je od male koristi (pa čak i štetno) upoređivati ​​dobijeni rezultat sa trodimenzionalnim crtežom, jer je vrlo vjerovatno da će iluzija volumena o kojoj sam pričao na času Volumen tijela revolucije. Dakle, procjenjujući tijelo razmatranog zadatka, meni se lično činilo da ima mnogo više od 4 „kocke“.

Sljedeći primjer je za samostalno rješenje:

Primjer 4

Koristite trostruki integral za izračunavanje volumena tijela ograničenog navedenim površinama. Nacrtati dato tijelo i njegovu projekciju na ravan.

Primjer zadatka na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno kada je izvođenje trodimenzionalnog crteža teško:

Primjer 5

Koristeći trostruki integral, pronađite volumen tijela date površinama koje ga graniče

Odluka: projekcija je ovdje jednostavna, ali morate razmisliti o redoslijedu njenog obilaska. Ako odaberete 1. metodu, tada će se cifra morati podijeliti na 2 dijela, što nije iluzorno prijeti izračunavanjem sume dva trostruki integrali. U tom smislu, drugi način izgleda mnogo obećavajući. Izrazimo i oslikajmo projekciju ovog tijela na crtežu:

Izvinjavam se zbog kvaliteta nekih slika, izrezao sam ih direktno iz vlastitih rukopisa.

Biramo povoljniji redoslijed zaobilaženja figure:

Sada je na tijelu. Odozdo je ograničen ravninom, odozgo - ravninom koja prolazi kroz y-osu. I sve bi bilo u redu, ali zadnji avion je prestrm i nije tako lako izgraditi područje. Izbor je ovdje nezavidan: ili rad s nakitom u malom obimu (jer je tijelo prilično tanko), ili crtež visok oko 20 centimetara (pa i tada, ako stane).

Ali postoji i treća, iskonska ruska metoda rješavanja problema - zabiti =) I umjesto trodimenzionalnog crteža, snađite se s verbalnim opisom: „Ovo tijelo je ograničeno cilindrima i ravan sa strane, ravan na dnu, a ravan na vrhu.

"Okomite" granice integracije su očigledno sljedeće:

Izračunajmo volumen tijela, ne zaboravljajući da smo projekciju zaobišli na manje uobičajen način:

1)

Odgovori:

Kao što ste primijetili, tijela koja se nude u zadacima za ne više od stotinu dolara često su ograničena na avion odozdo. Ali ovo nije neka vrsta pravila, tako da uvijek morate biti na oprezu - može naići na zadatak gdje se tijelo nalazi i ispod avion . Tako, na primjer, ako u analiziranom problemu umjesto da se uzme u obzir ravan, onda će se istraživano tijelo simetrično prikazati u donjem poluprostoru i biće ograničeno ravninom odozdo, a ravninom - već odozgo!

Lako je provjeriti da će se dobiti isti rezultat:

(zapamtite da se telo mora zaobići striktno odozdo prema gore!)

Osim toga, "omiljena" ravan može se pokazati potpuno van funkcije, najjednostavniji primjer: lopta koja se nalazi iznad ravnine - pri izračunavanju njenog volumena, jednadžba uopće nije potrebna.

Razmotrit ćemo sve ove slučajeve, ali za sada sličan zadatak za samostalno rješenje:

Primjer 6

Koristeći trostruki integral, pronađite volumen tijela ograničenog površinama

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Prijeđimo na drugi pasus s ništa manje popularnim materijalima:

Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Cilindrične koordinate su, u stvari, polarne koordinate u svemiru.
U cilindričnom koordinatnom sistemu, položaj tačke u prostoru je određen polarnim koordinatama, a tačka je projekcija tačke na ravan i primena same tačke.

Prelazak sa trodimenzionalnog Kartezijanski sistem na cilindrični koordinatni sistem se vrši prema sledeće formule:

Za našu temu, transformacija izgleda ovako:

I, shodno tome, u pojednostavljenom slučaju, koji razmatramo u ovom članku:

Glavna stvar je ne zaboraviti na dodatni množitelj "er" i ispravno postaviti polarne granice integracije pri zaobilaženju projekcije:

Primjer 7

Odluka: slijedimo isti postupak: prije svega, razmatramo jednačine u kojima nema varijabli "z". Ovde je sam. Projekcija cilindrična površina u avionu je "homonim" krug .

avioni ograničiti željeno tijelo odozdo i odozgo ("izrezati" ga iz cilindra) i projicirati u krug:

Sljedeći je 3D crtež. Glavna poteškoća leži u konstruiranju ravnine koja siječe cilindar pod "kosim" uglom, što rezultira elipsa. Hajde da analitički preciziramo ovaj odjeljak: za to prepisujemo jednadžbu ravnine u funkcionalnom obliku i izračunajte vrijednosti funkcije ("visine") u očiglednim točkama koje leže na granici projekcije:

Pronađene tačke označavamo na crtežu i pažljivo (ne kao ja =)) povežite ih linijom:

Projekcija tijela na ravan je kružnica, a ovo je značajan argument u prilog prelaska na cilindrični koordinatni sistem:

Nađimo jednadžbe površina u cilindričnim koordinatama:

Sada je potrebno saznati redoslijed zaobilaženja tijela.

Prvo se pozabavimo projekcijom. Kako odrediti njegov redoslijed prelaska? TAKO ISTO KAO I SA izračunavanje dvostrukih integrala u polarnim koordinatama. Ovdje je elementarno:

„Okomite“ granice integracije su takođe očigledne – ulazimo u telo kroz ravan i izlazimo iz njega kroz ravan:

Pređimo na iterirane integrale:

Istovremeno, „er“ množitelj odmah stavljamo u „naš“ integral.

Metlu je, kao i obično, lakše lomiti duž grančica:

1)

Rezultat prenosimo u sljedeći integral:

I ovdje ne zaboravljamo da se "phi" smatra konstantom. Ali ovo je za sada:

Odgovori:

Sličan zadatak za samostalno rješenje:

Primjer 8

Koristite trostruki integral za izračunavanje volumena tijela ograničenog površinama. Nacrtati dato tijelo i njegovu projekciju na ravan.

Približan uzorak završne obrade na kraju lekcije.

Napominjemo da se u uslovima problema ne govori ni riječi o prelasku na cilindrični koordinatni sistem, a neupućena osoba će se zabiti o teškim integralima u kartezijanskim koordinatama. ... Ili možda neće - na kraju krajeva, postoji i treći, iskonski ruski način rješavanja problema =)

To je samo početak! ...na dobar način :)

Primjer 9

Koristeći trostruki integral, pronađite volumen tijela ograničenog površinama

Skroman i ukusan.

Odluka: dato telo ograničeno konusna površina i eliptični paraboloid. Čitatelji koji su pažljivo pročitali materijale članka Glavne površine prostora, već su zamišljali kako tijelo izgleda, ali u praksi ih je često više teški slučajevi, pa ću izvršiti detaljno analitičko rezonovanje.

Prvo pronađite linije duž kojih se sijeku površine. Kreirajmo i riješimo sljedeći sistem:

Od prve jednačine oduzimamo drugi član po član:

Rezultat su dva korijena:

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u bilo koju jednačinu sistema:
, odakle to slijedi
Dakle, korijen odgovara jednoj tački - ishodištu. Naravno, vrhovi razmatranih površina se poklapaju.

Sada zamijenimo drugi korijen - također u bilo kojoj jednadžbi sistema:

Koje je geometrijsko značenje dobijenog rezultata? "U visini" (u ravni) paraboloid i konus se sijeku duž krugovima– jedinični polumjer sa središtem u tački .

U ovom slučaju, „šaša“ paraboloida sadrži „levak“ konusa, dakle generatori konusnu površinu treba nacrtati isprekidanom linijom (s izuzetkom segmenta generatora koji je najudaljeniji od nas, koji je vidljiv iz ovog ugla):

Projekcija tijela na ravan je krug centriran na ishodištu radijusa 1, koji se nisam ni potrudio nacrtati zbog očiglednosti ove činjenice (međutim, dajemo pisani komentar!). Inače, u prethodna dva zadatka mogao bi se bodovati i crtež projekcije, da nije uslov.

Prilikom prijelaza na cilindrične koordinate duž standardne formule nejednakost će biti zapisana u najjednostavnijem obliku i nema problema s redoslijedom zaobilaženja projekcije:

Nađimo jednadžbe površina u cilindričnom koordinatnom sistemu:

Budući da problem razmatra gornji dio konusa, izražavamo iz jednačine:

"Skeniranje tijela" odozdo prema gore. Zraci svjetlosti ulaze u njega kroz eliptični paraboloid i izlaze kroz konusnu površinu. Dakle, "vertikalni" redoslijed obilaženja tijela je:

Ostatak tehnike:

Odgovori:

Nije neuobičajeno da tijelo bude definirano ne svojim graničnim površinama, već skupom nejednakosti:

Primjer 10

geometrijskom smislu prostorne nejednakosti, dovoljno sam detaljno objasnio u istom članak pomoći – Glavne površine prostora i njihova konstrukcija.

Iako ovaj zadatak sadrži parametar, on omogućava izvođenje tačnog crteža koji odražava osnovni pogled na tijelo. Razmislite kako izgraditi. Kratko rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

... pa, još par zadataka? Mislio sam da završim lekciju, ali osjećam da želiš još =)

Primjer 11

Koristeći trostruki integral, izračunaj zapreminu datog tijela:
, gdje je proizvoljan pozitivan broj.

Odluka: nejednakost definira loptu sa središtem na početku koordinata radijusa , i nejednakosti - "unutrašnjost" kružnog cilindra sa osom simetrije poluprečnika. Dakle, željeno tijelo je ograničeno kružnim cilindrom sa strane i sfernim segmentima simetričnim u odnosu na ravan odozgo i odozdo.

Uzimajući za osnovnu jedinicu mjere, izvešćemo crtež:

Tačnije, trebalo bi ga nazvati crtežom, jer nisam dobro održao proporcije duž ose. Međutim, pošteno rečeno, prema uvjetu, nije bilo potrebno ništa crtati, a takva ilustracija se pokazala sasvim dovoljnom.

Imajte na umu da ovdje nije potrebno saznati visinu na kojoj cilindar izrezuje "kape" iz lopte - ako uzmete kompas i označite krug sa centrom na početku koordinata poluprečnika 2 cm , tada će točke presjeka s cilindrom ispasti same od sebe.