Dvostruka integralna transformacija pravokutnih koordinata, to polarne koordinate
, vezano za pravokutne koordinate relacijama
,
, provodi se prema formuli

Ako je područje integracije
ograničeno na dvije grede
,
(
) koji izlazi iz pola i dvije krivulje
i
, onda dvostruki integral izračunato prema formuli

.

Primjer 1.3. Izračunajte površinu figure ograničene ovim linijama:
,
,
,
.

Rješenje. Za izračunavanje površine neke površine
upotrijebimo formulu:
.

Nacrtajte područje (Sl. 1.5). Da bismo to učinili, transformiramo krive: , , , . Pređimo na polarne koordinate: , . . U polarnom koordinatnom sistemu, oblast opisuje se jednadžbama:

.

1.2. Trostruki integrali

Glavna svojstva trostrukih integrala su slična onima dvostrukih integrala.

U kartezijanskim koordinatama trostruki integral se obično piše ovako:

.

Ako a
, zatim trostruki integral po površini brojčano jednak zapremini tela :

.

Računanje trostrukog integrala

Neka oblast integracije ograničene odozgo i odozdo, respektivno, jednoznačnim neprekidnim površinama
,
, i projekcija površine na koordinatnu ravan
postoji ravna površina
(Sl. 1.6).

Zatim za fiksne vrijednosti odgovarajuće aplikacije tačke područja promijeniti unutar. Tada dobijamo: . Ako, pored toga, projekcija je određena nejednakostima , , gdje - nedvosmisleno kontinuirane funkcije na , onda

.

Primjer 1.4. Izračunati
, gdje - tijelo ograničeno ravnima:

	, , , ( , , ). Rješenje. Područje integracije je piramida (slika 1.7). Projekcija površine postoji trougao , omeđen pravim linijama , , (Sl. 1.8). At tačkaste aplikacije zadovoljiti nejednakost , zbog toga .
	Postavljanje granica integracije za trokut , dobijamo

Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Kada se krećete od kartezijanskih koordinata
na cilindrične koordinate
(Sl. 1.9) povezan sa
omjeri
,
,
, i

	, ,, trostruki integral transformiše: Primjer 1.5. Izračunaj zapreminu tela ograničenog površinama: , , . Rješenje.Željeni volumen tijela jednaki .
	Područje integracije je dio cilindra koji je odozdo ograničen ravninom , i iznad aviona (Sl. 1.10). Projekcija površine postoji krug sa središtem na početku i sa jediničnim radijusom. Pređimo na cilindrične koordinate. , , . At tačkaste aplikacije , zadovoljiti nejednakost ili u cilindričnim koordinatama:

Region
, omeđen krivom
, ima oblik ili
, dok je polarni ugao
. Kao rezultat, imamo

.

2. Elementi teorije polja

Prisjetimo se najprije metoda za izračunavanje krivolinijskih i površinskih integrala.

Proračun krivolinijskog integrala nad koordinatama funkcija definiranih na krivulji , svodi se na izračunavanje određenog integrala oblika

ako je kriva parametarski
odgovara polazna tačka krivo , a
- njegova krajnja tačka.

Izračunavanje površinskog integrala funkcije
definirana na dvostranoj površini , svodi se na izračunavanje dvostrukog integrala, na primjer, oblika

,

ako površina , dato jednačinom
, jedinstveno se projektuje na ravan
regionu
. Evo - ugao između vektora jedinične normale na površinu i osovina
:

.

Strana površine koju zahtijevaju uvjeti problema određuje se izborom odgovarajućeg predznaka u formuli (2.3).

Definicija 2.1. Vektorsko polje
naziva se vektorska funkcija tačke
zajedno sa svojim obimom:

vektorsko polje
karakterizirana skalarnom vrijednošću - divergencija:

Definicija 2.2. protok vektorsko polje
kroz površinu naziva se površinski integral:

,

gdje - jedinični vektor normale na odabranu stranu površine , a
- skalarni proizvod vektori i .

Definicija 2.3. cirkulacija vektorsko polje

on zatvorena kriva naziva se krivolinijski integral

,

gdje
.

Ostrogradsky-Gaussova formula uspostavlja vezu između niti vektorsko polje kroz zatvorenu površinu i divergenciju polja:

gdje - površina omeđena zatvorenom konturom , a je jedinični vektor normale na ovu površinu. Smjer normale mora odgovarati smjeru konture .

Primjer 2.1. Izračunati površinski integral

,

gdje - vanjski dio konusa
(
) odsječen avionom
(Slika 2.1).

Rješenje. Površina jedinstveno projektovana u prostoru
avion
, a integral se izračunava po formuli (2.2).

Jedinični površinski normalni vektor nalazimo po formuli (2.3): . Ovdje se u izrazu za normalu bira znak plus, pošto je ugao između osovina i normalno je glup i stoga mora biti negativan. S obzirom na to , na površini dobijamo

Region
postoji krug
. Dakle, u posljednjem integralu prelazimo na polarne koordinate, dok
,
:

Primjer 2.2. Pronađite divergenciju i zavoj vektorskog polja
.

Rješenje. Formulom (2.4) dobijamo

Rotor ovog vektorskog polja se nalazi po formuli (2.5)

Primjer 2.3. Pronađite tok vektorskog polja
preko dela aviona :
nalazi se u prvom oktantu (normala formira oštar ugao sa osom
).

	Rješenje. Formulom (2.6) . Nacrtajte dio ravnine : nalazi u prvom oktantu. Jednačina ove ravni u segmentima ima oblik (Sl. 2.3). Vektor normale na ravan ima koordinate: , jedinični normalni vektor
	. . , , gdje , Shodno tome,

gdje
- projekcija u ravni na
(Sl. 2.4).

Primjer 2.4. Izračunajte tok vektorskog polja kroz zatvorenu površinu formiran od strane aviona
i dio konusa
(
) (Sl. 2.2).

Rješenje. Koristimo formulu Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Pronađite divergenciju vektorskog polja po formuli (2.4):

gdje
je volumen konusa nad kojim se vrši integracija. Koristimo dobro poznatu formulu za izračunavanje zapremine konusa
(je poluprečnik osnove stošca, - njegova visoka). U našem slučaju dobijamo
. Konačno dobijamo

.

Primjer 2.5. Izračunajte cirkulaciju vektorskog polja
duž konture formirana ukrštanjem površina
i
(
). Provjerite rezultat koristeći Stokesovu formulu.

Rješenje. Presjek ovih površina je kružnica
,
(Sl. 2.1). Smjer obilaznice se obično bira tako da područje koje je njime ograničeno ostane lijevo. Zapisujemo parametarske jednačine konture :

gdje

gdje je parametar promjene od prije
. Formulom (2.7), uzimajući u obzir (2.1) i (2.10), dobijamo

.

Sada primjenjujemo Stokesovu formulu (2.9). Kao površina , razdvojen konturom , možete uzeti dio aviona
. Normalni smjer
na ovu površinu je u skladu sa smjerom pomicanja konture . Zavoj ovog vektorskog polja izračunat je u primjeru 2.2:
. Dakle, željena cirkulacija

gdje
- područje regije
.
- krug radijusa
, gdje

1. Cilindrične koordinate predstavljaju vezu polarnih koordinata u xy ravni sa uobičajenom kartezijanskom z aplikacijom (slika 3).

Neka je M(x, y, z) proizvoljna tačka u prostoru xyz, P je projekcija tačke M na ravan xy. Tačka M je jedinstveno određena trostrukom brojeva - polarnim koordinatama tačke P, z - primenom tačke M. Formule koje ih povezuju sa kartezijanskim imaju oblik

Prikaži Jacobian (8)

Primjer 2.

Izračunaj integral

gdje je T površina ograničena površinama

Rješenje. Pređimo u integral na sferne koordinate prema formulama (9). Tada se područje integracije može specificirati nejednačinama

A to znači

Primjer 3 Odredi zapreminu tela ograničenog sa:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Imamo: x 2 +y 2 +z 2 =8 - sfera poluprečnika R= v8 sa centrom u tački O(000),

Gornji dio stošca z 2 \u003d x 2 + y 2 sa osom simetrije Oz i vrhom u tački O (slika 2.20).

Nađimo liniju presjeka kugle i konusa:

A pošto je po uslovu z ? 0, onda

Krug R=2 koji leži u ravni z=2.

Prema tome, prema (2.28)

gdje je domena U ograničena odozgo

(dio sfere),

(dio konusa);

region U se projektuje na Oxy ravan u oblast D - krug poluprečnika 2.

Stoga je svrsishodno preći trostruki integral na cilindrične koordinate koristeći formule (2.36):

Granice promjene q, r nalaze se u području D v punom krugu R=2 sa centrom u tački O, dakle: 0?c?2p, 0?r?2. Dakle, područje U u cilindričnim koordinatama je dato sljedećim nejednačinama:

primeti, to

Preuzmite sa Depositfiles

Triple Integral.

Test pitanja.

Trostruki integral, njegova svojstva.

Promjena varijabli u trostrukom integralu. proračun trostruki integral u cilindričnim koordinatama.

Proračun trostrukog integrala u sfernim koordinatama.

Neka funkcija u= f(x,y,z) je definiran u ograničenom zatvorenom domenu V prostor R 3 . Podijelimo područje V nasumično uključeno n osnovno zatvorenim prostorima V 1 , … ,V n koji imaju zapremine  V 1 , …,  V n respektivno. Označite d je najveći promjer regiona V 1 , … ,V n. U svakoj oblasti V k izaberite proizvoljnu tačku P k (x k ,y k ,z k) i komponujte integralni zbir funkcije f(x, y,z)

S =

Definicija.trostruki integral od funkcije f(x, y,z) po oblasti V naziva se granica integralnog zbira
ako postoji.

Na ovaj način,

(1)

Komentar. Integralni zbir S zavisi od toga kako je region podeljen V i izbor bodova P k (k=1, …, n). Međutim, ako postoji ograničenje, onda to ne ovisi o tome kako je regija podijeljena V i izbor bodova P k. Ako uporedimo definicije dvostrukih i trostrukih integrala, onda je u njima lako vidjeti potpunu analogiju.

Dovoljan uslov za postojanje trostrukog integrala. Trostruki integral (13) postoji ako je funkcija f(x, y,z) je ograničen na V i kontinuirano u V, osim konačnog broja glatkih površina koje se nalaze u V.

Neka svojstva trostrukog integrala.

1) Ako OD onda je numerička konstanta

3) Aditivnost po površini. Ako područje V podijeljena na oblasti V 1 i V 2, dakle

4) Volumen tijela V jednaki

(2 )

Proračun trostrukog integrala u kartezijanskim koordinatama.

Neka D projekcija tela V u avion xOy, površine z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) ograničiti tijelo V ispod i iznad, respektivno. To znači da

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Takvo tijelo ćemo nazvati z- cilindrična. Trostruki integral (1) preko z- cilindrično tijelo V izračunava se odlaskom na ponovljeni integral, koji se sastoji od dvostrukih i određenih integrala:

(3 )

U ovom iteriranom integralu, unutrašnje definitivni integral po varijabli z, pri čemu x, y smatraju se trajnim. Zatim se izračunava dvostruki integral rezultujuće funkcije po površini D.

Ako a V x- cilindrični ili y- cilindričnog tijela, onda su formule tačne, respektivno

U prvoj formuli D  projekcija tela V na koordinatnu ravan yOz, a u drugom - u avionu xOz

Primjeri. 1) Izračunajte zapreminu tela V omeđen površinama z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Rješenje. Izračunajte zapreminu koristeći trostruki integral prema formuli (2)

Prijeđimo na iterirani integral po formuli (3).

Neka D krug x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 +y 2. Tada po formuli (3) dobijamo

Da bismo izračunali ovaj integral, prelazimo na polarne koordinate. U isto vrijeme, krug D pretvoren u set

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Telo V ograničeno na površine z=y , z= -y , x= 0 , x= 2, y= 1. Izračunajte

avioni z=y , z = -y ograničiti tijelo, respektivno, odozdo i odozgo, ravnima x= 0 , x= 2 ograničavaju tijelo, respektivno, iza i ispred, i ravninu y= 1 granice na desnoj strani. V-z- cilindrično tijelo, njegova projekcija D u avion hoy je pravougaonik OABC. Hajde da stavimo φ 1 (x , y ) = -y

Primjeri rješenja proizvoljnih trostrukih integrala.
Fizičke primjene trostrukog integrala

U 2. dijelu lekcije razradit ćemo tehniku ​​rješavanja proizvoljnih trostrukih integrala , čiji integrand funkcija tri varijable u opštem slučaju, razlikuje se od konstantnog i kontinuiranog u regionu; te se također upoznati sa fizičkim primjenama trostrukog integrala

Novopridošlim posjetiocima preporučujem da počnu sa 1. dijelom, gdje smo pregledali osnovne pojmove i problem pronalaženja volumena tijela pomoću trostrukog integrala . Za ostalo predlažem da se malo ponovi derivacijske funkcije tri varijable , budući da ćemo u primjerima ovog članka koristiti obrnuti rad – djelomična integracija funkcije .

Osim toga, postoji još jedna važna stvar: ako se ne osjećate dobro, onda je bolje odgoditi čitanje ove stranice ako je moguće. I poenta nije samo u tome da će se sada povećati složenost proračuna - većina trostrukih integrala nema pouzdane metode ručne provjere, stoga je vrlo nepoželjno početi ih rješavati u umornom stanju. Pogodno za niske tonove riješi nešto prije ili samo malo predahni (strpljiv sam, sacekacu =)), pa da drugi put sa svezom glavom nastavimo masakr trostrukih integrala:

Primjer 13

Izračunaj trostruki integral

U praksi se tijelo također označava slovom , ali to nije baš dobra opcija, jer je "ve" "rezervisano" za oznaku zapremine.

Dozvolite mi da vam kažem šta NE treba raditi. Ne treba koristiti svojstva linearnosti i predstavljaju integral kao . Mada ako zaista želite, možete. Na kraju, postoji mali plus - snimak će biti dug, ali manje pretrpan. Ali ovaj pristup još uvijek nije standardan.

U algoritmu rješenja biće malo novina. Prvo se morate pozabaviti područjem integracije. Projekcija tijela na ravan je bolno poznat trokut:

Tijelo ograničeno odozgo avion , koji prolazi kroz ishodište. Usput, potrebno vam je unaprijed obavezno provjeri(mentalno ili na nacrt) da li ova ravan "odsijeca" dio trougla. Da bismo to učinili, nalazimo njegovu liniju presjeka s koordinatnom ravninom, tj. riješi najjednostavniji sistem: - Ne, s obzirom ravno (nije na crtežu)"prolazi", a projekcija tijela na ravan je zaista trougao.

Prostorni crtež ni ovdje nije komplikovan:

Zapravo, moglo bi se ograničiti samo na njih, jer je projekcija vrlo jednostavna. …Pa ili samo crtanje projekcije, pošto je i tijelo jednostavno =) Međutim, ne crtati baš ništa, podsjećam, loš je izbor.

I, naravno, ne mogu a da vas ne obradujem završnim zadatkom:

Primjer 19

Pronađite težište homogenog tijela ograničenog površinama, . Izvršite nacrte dato telo i njegovu projekciju na ravan.

Rješenje: željeno tijelo je ograničeno koordinatne ravni i avion , što je za potrebe naknadne izgradnje povoljno prisutna u segmentima : . Odaberimo "a" kao jedinicu razmjera i napravimo trodimenzionalni crtež:

Crtež je već postavio gotovu tačku centra gravitacije, međutim, za sada to ne znamo.

Projekcija tijela na ravan je očigledna, ali, ipak, da vas podsjetim kako ga analitički pronaći - na kraju krajeva, takva jednostavnim slučajevima ne nalaze se uvijek. Da biste pronašli liniju duž koje se sijeku ravnine, morate riješiti sistem:

Zamijenimo vrijednost u 1. jednadžbi: i dobijemo jednačinu "ravno" ravno :

Izračunajte koordinate težišta tijela po formulama
, gdje je zapremina tijela.