Jedinični vektor- ovo vektor, čija je apsolutna vrijednost (modul) jednaka jedan. Za označavanje jediničnog vektora koristićemo indeks e. Dakle, ako je dat vektor ali, tada će njegov jedinični vektor biti vektor ali e. Ovaj jedinični vektor pokazuje u istom smjeru kao i sam vektor ali, a njegov modul je jednak jedan, odnosno a e = 1.

Očigledno, ali= a ali e (a - vektorski modul ali). Ovo proizilazi iz pravila po kojem se izvodi operacija množenja skalara vektorom.

Jedinični vektoričesto povezan sa koordinatnim osovinama koordinatnog sistema (posebno sa osovinama Kartezijanskog koordinatnog sistema). Smjerovi ovih vektori poklapaju se sa pravcima odgovarajućih osa, a njihova početka se često kombinuju sa ishodištem koordinatnog sistema.

Dozvolite mi da vas podsjetim na to Dekartov koordinatni sistem u prostoru se tradicionalno naziva trojka međusobno okomitih osa koje se seku u tački koja se naziva ishodište. Koordinatne osi se obično označavaju slovima X, Y, Z i nazivaju se osa apscisa, osa ordinata, odnosno aplikatna osa. Sam Descartes je koristio samo jednu osu na kojoj su bile ucrtane apscise. zasluga upotrebe sistemi sjekire pripadaju njegovim učenicima. Stoga fraza Dekartov koordinatni sistem istorijski pogrešno. Bolje razgovaraj pravougaona koordinatni sistem ili ortogonalni koordinatni sistem. Ipak, tradiciju nećemo mijenjati iu budućnosti ćemo pretpostaviti da su kartezijanski i pravougaoni (ortogonalni) koordinatni sistemi jedno te isto.

Jedinični vektor, usmjeren duž ose X, označava se i, jedinični vektor, usmjeren duž Y ose, označen je j, ali jedinični vektor, usmjeren duž ose Z, označen je k. Vektori i, j, k pozvao orts(Sl. 12, lijevo), imaju pojedinačne module, tj
i = 1, j = 1, k = 1.

sjekire i orts pravougaoni koordinatni sistem u nekim slučajevima imaju druga imena i oznake. Dakle, os apscise X može se nazvati tangentnom osom, a njen jedinični vektor je označen τ (grč malo slovo tau), y-osa je normalna osa, njen jedinični vektor je označen n, aplikativna osa je osa binormalnog, njen jedinični vektor je označen b. Zašto mijenjati imena ako je suština ista?

Činjenica je da se, na primjer, u mehanici, kada se proučava kretanje tijela, vrlo često koristi pravokutni koordinatni sistem. Dakle, ako je sam koordinatni sistem nepomičan, a promjena koordinata pokretnog objekta se prati u ovom nepomičnom sistemu, tada obično osi označavaju X, Y, Z, a njihove orts respektivno i, j, k.

Ali često, kada se objekt kreće duž neke vrste krivolinijske putanje (na primjer, duž kruga), prikladnije je razmotriti mehaničke procese u koordinatnom sistemu koji se kreće s ovim objektom. Za takav pokretni koordinatni sistem se koriste drugi nazivi osa i njihovih jediničnih vektora. To je jednostavno prihvaćeno. U ovom slučaju, X-osa je usmjerena tangencijalno na putanju u tački gdje se ovaj objekt trenutno nalazi. I tada se ova os više ne zove X osa, već tangentna os, a njen jedinični vektor se više ne označava i, ali τ . Y os je usmjerena duž radijusa zakrivljenosti putanje (u slučaju kretanja u krugu - do centra kruga). A budući da je polumjer okomit na tangentu, os se naziva osom normale (okomica i normala su ista stvar). Ort ove ose više nije označen j, ali n. Treća osa (bivša Z) je okomita na dvije prethodne. Ovo je binormala sa vektorom b(Sl. 12, desno). Usput, u ovom slučaju pravougaoni koordinatni sistemčesto nazivaju "prirodnim" ili prirodnim.

Promjena koordinata x2 - x1 obično se označava simbolom Δx12 (čita se “delta x jedan, dva”). Ovaj unos znači da se u vremenskom intervalu od trenutka t1 do trenutka t2 mijenja koordinata tijela Δx12 = x2 - x1. Dakle, ako se tijelo kretalo u pozitivnom smjeru ose X odabranog koordinatnog sistema (x2 > x1), tada je Δx12 >

Na sl. Na slici 45 prikazano je tijelo tačke B, koje se kreće u negativnom smjeru ose X. U vremenskom intervalu od t1 do t2 ono se kreće od tačke sa većom koordinatom x1 do tačke sa manjom koordinatom x2. Kao rezultat toga, promjena koordinate tačke B tokom razmatranog vremenskog intervala Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Vektor pomaka u ovom slučaju će biti usmjeren u negativnom smjeru od X osa, i njen modul |Δx12| iznosi 3 m. Iz razmotrenih primjera mogu se izvući sljedeći zaključci.

U razmatranim primjerima (vidi slike 44 i 45), tijelo se cijelo vrijeme kretalo u jednom smjeru.

Kako pronaći modul pomaka u fizici? (Možda postoji neka univerzalna formula?)

Prema tome, udaljenost koju je on prešao jednaka je modulu promjene koordinata tijela i modulu pomaka: s12 = |Δx12|.

Odredimo promjenu koordinata i pomaka tijela u vremenskom intervalu od t0 = 0 do t2 = 7 s. U skladu sa definicijom, promjena koordinate Δx02 = x2 - x0 = 2 m >

Sada odredimo put koji je tijelo prešlo za isti vremenski period od t0 = 0 do t2 = 7 s. Prvo je tijelo prešlo 8 m u jednom smjeru (što odgovara modulu promjene koordinate Δx01), a zatim 6 m u obrnuti smjer(ova vrijednost odgovara modulu promjene koordinata Δx12). To znači da je ukupno tijelo prešlo 8 + 6 = 14 (m). Prema definiciji putanje, u vremenskom intervalu od t0 do t2 tijelo je prešlo put s02 = 14 m.

Rezultati

Kretanje tačke u određenom vremenskom periodu je usmereni segment prave linije čiji se početak poklapa sa početnim položajem tačke, a kraj sa konačnim položajem tačke.

Pitanja

Vježbe

Vektori, akcije sa vektorima

pitagorine teoreme kosinus teorema

Dužina vektora će biti označena sa . Modul broja ima sličnu oznaku, a dužina vektora se često naziva modulom vektora.

, gdje .

Na ovaj način, .

Razmotrimo primjer.

:

.

Na ovaj način, dužina vektora .

Izračunajte dužinu vektora

, Shodno tome,

Vrh stranice

Razmotrimo primjere.

.

kreće se

:

:

.

.

Vrh stranice

Na ovaj način, .

ili ,
ili ,

Jeste li ikada razumjeli?
Naručite rješenje

Vrh stranice

Do sada smo razmatrali samo linearne ravnomerno kretanje. U ovom slučaju, tačkasta tijela su se kretala u odabranom referentnom okviru ili u pozitivnom ili u negativnom smjeru koordinatne ose X. Utvrdili smo da u zavisnosti od smjera kretanja tijela, na primjer, tokom vremenskog intervala od od trenutka t1 do momenta t2, promjena koordinata tijela (x2 - x1 ) može biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli (ako je x2 = x1).

Promjena koordinata x2 - x1 obično se označava simbolom Δx12 (čita se “delta x jedan, dva”). Ovaj unos znači da se u vremenskom intervalu od trenutka t1 do trenutka t2 mijenja koordinata tijela Δx12 = x2 - x1. Dakle, ako se tijelo kretalo u pozitivnom smjeru ose X odabranog koordinatnog sistema (x2 > x1), tada je Δx12 > 0. Ako se kretanje dogodilo u negativnom smjeru ose X (x21), tada je Δx12

Pogodno je odrediti rezultat kretanja pomoću vektorske veličine. Ova vektorska veličina je pomak.

Kretanje tačke u određenom vremenskom periodu je usmereni segment prave linije čiji se početak poklapa sa početnim položajem tačke, a kraj sa konačnim položajem tačke.

Kao i svaka vektorska veličina, pomak je karakteriziran modulom i smjerom.

Vektor pomaka tačke za vremenski interval od t1 do t2 zapisaćemo na sledeći način: Δx12.

Objasnimo ono što je rečeno na primjeru. Neka se neka tačka A (isprekidana glava) kreće u pozitivnom smjeru ose X i kreće se od tačke sa koordinatom x1 do tačke sa većom koordinatom x2 tokom vremenskog perioda od t1 do t2 (slika 44). U ovom slučaju, vektor pomaka je usmjeren u pozitivnom smjeru ose X, a njegov modul je jednak promjeni koordinata za razmatrani vremenski interval: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) m = 3 m .

Na sl. 45 prikazuje tijelo tačke B koje se kreće u negativnom smjeru ose X.

Tokom vremenskog intervala od t1 do t2, kreće se od tačke sa većom x1 koordinatom u tačku sa manjom koordinatom x2. Kao rezultat toga, promjena koordinate tačke B tokom razmatranog vremenskog intervala Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Vektor pomaka u ovom slučaju će biti usmjeren u negativnom smjeru od X osa, i njen modul |Δx12| iznosi 3 m. Iz razmotrenih primjera mogu se izvući sljedeći zaključci.

Smjer putovanja kada pravolinijsko kretanje u jednom smjeru poklapa se sa smjerom kretanja.

Modul vektora pomaka jednak je modulu promjene koordinata tijela u razmatranom vremenskom periodu.

IN Svakodnevni život za opis krajnji rezultat pokreta koriste koncept "puta". Obično se put označava simbolom S.

Putanja je cjelokupna udaljenost koju pređe tijelo tačke tokom razmatranog vremenskog perioda.

Kao i svaka udaljenost, putanja je nenegativna vrijednost. Na primjer, put koji prolazi tačka A u razmatranom primjeru (vidi sliku 44) je tri metra. Staza koju pređe tačka B je takođe tri metra.

U razmatranim primjerima (vidi slike 44 i 45), tijelo se cijelo vrijeme kretalo u jednom smjeru. Prema tome, udaljenost koju je on prešao jednaka je modulu promjene koordinata tijela i modulu pomaka: s12 = |Δx12|.

Ako se tijelo kretalo cijelo vrijeme u istom smjeru, tada je put koji je prešao jednak modulu pomaka i modulu promjene koordinata.

Situacija će se promijeniti ako tijelo tokom razmatranog vremenskog perioda promijeni smjer kretanja.

Na sl. 46 pokazuje kako se tijelo tačke kretalo od trenutka t0 = 0 do trenutka t2 = 7 s. Do trenutka t1 = 4 s kretanje se odvija ravnomjerno u pozitivnom smjeru ose X. Kao rezultat toga, promjena koordinate Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) m = -8 m. tijelo se počelo kretati u negativnom smjeru ose X do trenutka t2 = 7 s. Istovremeno, promjena njegovih koordinata Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m. Grafikon ovog kretanja je prikazan na sl. 47.

Odredimo promjenu koordinata i pomaka tijela u vremenskom intervalu od t0 = 0 do t2 = 7 s. U skladu sa definicijom, promjena koordinata Δx02 = x2 - x0 = 2 m > 0. Dakle, pomak Δx02 je usmjeren u pozitivnom smjeru ose X, a njegov modul je 2 m.

Sada odredimo put koji je tijelo prešlo za isti vremenski period od t0 = 0 do t2 = 7 s. Prvo je tijelo prešlo 8 m u jednom smjeru (što odgovara modulu promjene koordinate Δx01), a zatim 6 m u suprotnom smjeru (ova vrijednost odgovara modulu promjene koordinate Δx12).

Putanja

To znači da je ukupno tijelo prešlo 8 + 6 = 14 (m). Prema definiciji putanje, u vremenskom intervalu od t0 do t2 tijelo je prešlo put s02 = 14 m.

Analizirani primjer nam omogućava da zaključimo:

U slučaju kada tijelo tokom razmatranog vremenskog perioda promijeni smjer svog kretanja, putanja (sva udaljenost koju tijelo pređe) veća je i od modula pomaka tijela i od modula promjene koordinata tijela. .

Sada zamislite da je tijelo nakon trenutka vremena t2 = 7 s nastavilo kretanje u negativnom smjeru ose X do trenutka t3 = 8 s u skladu sa zakonom prikazanim na sl. 47 isprekidana linija. Kao rezultat toga, u trenutku t3 = 8 s, koordinata tijela je postala x3 = 3 m. Lako je odrediti da je u ovom slučaju kretanje tijela u vremenskom intervalu od t0 do t3 s jednako Δx13 = 0.

Jasno je da ako znamo samo kretanje tijela tokom njegovog kretanja, onda ne možemo reći kako se tijelo kretalo za to vrijeme. Na primjer, kada bi se za tijelo znalo samo da su njegove početne i krajnje koordinate jednake, onda bismo rekli da je pri kretanju pomak ovog tijela nula. Bilo bi nemoguće reći nešto konkretnije o prirodi kretanja ovog tijela. Tijelo bi u takvim uslovima općenito moglo stajati u mirnom stanju cijeli vremenski period.

Kretanje tijela u određenom vremenskom periodu zavisi samo od početnih i konačnih koordinata tijela i ne zavisi od toga kako se tijelo kretalo u tom vremenskom periodu.

Rezultati

Kretanje tačke u određenom vremenskom periodu je usmereni segment prave linije čiji se početak poklapa sa početnim položajem tačke, a kraj sa konačnim položajem tačke.

Pomjeranje točkastog tijela određeno je samo konačnim i početnim koordinatama tijela i ne ovisi o tome kako se tijelo kretalo tokom razmatranog vremenskog perioda.

Putanja je cjelokupna udaljenost koju pređe tijelo tačke tokom razmatranog vremenskog perioda.

Ako tijelo u procesu kretanja nije promijenilo smjer kretanja, tada je put koji pređe ovo tijelo jednak modulu njegovog pomaka.

Ako je tijelo tokom razmatranog vremenskog perioda promijenilo smjer svog kretanja, putanja je veća i od pomaka tijela i od modula promjene koordinata tijela.

Put je uvijek nenegativan. Jednaka je nuli samo ako je tijelo tokom cijelog razmatranog vremena mirovalo (stajalo).

Pitanja

1. Šta je kretanje? Od čega zavisi?
2. Šta je put? Od čega zavisi?
3. Kako se putanja razlikuje od kretanja i promjene koordinate za isti vremenski period tokom kojeg se tijelo kretalo pravolinijski bez promjene smjera kretanja?

Vježbe

1. Koristeći zakon kretanja u grafičkom obliku, prikazanog na sl. 47, opisuju prirodu kretanja tijela (smjer, brzina) u različitim vremenskim intervalima: od t0 do t1, od t1 do t2, od t2 do t3.
2. Pas Proton je istrčao iz kuće u trenutku t0 = 0, a zatim je na komandu svog vlasnika u trenutku t4 = 4 s pojurio nazad. Znajući da je Proton cijelo vrijeme trčao pravolinijski i modul njegove brzine |v| = 4 m/s, odredi grafički: a) promjena koordinata i putanje Protona u vremenskom intervalu od t0 = 0 do t6 = 6 s; b) putanju Protona u vremenskom intervalu od t2 = 2 s do t5 = 5 s.

Vektori, akcije sa vektorima

Nalaženje dužine vektora, primjeri i rješenja.

Po definiciji, vektor je usmjereni segment, a dužina ovog segmenta na datoj skali je dužina vektora. Dakle, problem nalaženja dužine vektora u ravni i u prostoru svodi se na određivanje dužine odgovarajućeg segmenta. Za rješavanje ovog problema na raspolaganju su nam sva sredstva geometrije, iako je to u većini slučajeva dovoljno pitagorine teoreme. Uz njegovu pomoć možete dobiti formulu za izračunavanje dužine vektora iz njegovih koordinata u pravokutnom koordinatnom sistemu, kao i formulu za pronalaženje dužine vektora iz koordinata njegove početne i krajnje točke. Kada je vektor stranica trougla, onda se njegova dužina može naći iz kosinus teorema, ako su poznate dužine druge dvije strane i ugao između njih.

Određivanje dužine vektora po koordinatama.

Dužina vektora će biti označena sa .

fizički rječnik (kinematika)

Modul broja ima sličnu oznaku, a dužina vektora se često naziva modulom vektora.

Počnimo od pronalaženja dužine vektora na ravni po koordinatama.

Hajde da uvedemo pravougaoni Dekartov koordinatni sistem Oxy na ravni. Neka je vektor dat u njemu i ima koordinate . Hajde da dobijemo formulu koja vam omogućava da pronađete dužinu vektora kroz koordinate i .

Odvojiti od početka koordinata (iz tačke O) vektor . Označimo projekcije tačke A na koordinatne ose kao i respektivno, i razmotrimo pravougaonik sa dijagonalom OA.

Na osnovu Pitagorine teoreme, jednakost , gdje . Iz definicije koordinata vektora u pravougaonom koordinatnom sistemu možemo tvrditi da je i , i po konstrukciji, dužina OA jednaka je dužini vektora , dakle, .

Na ovaj način, formula za pronalaženje dužine vektora u svojim koordinatama na ravni ima oblik .

Ako je vektor predstavljen kao dekompozicija u koordinatnim vektorima , tada se njegova dužina izračunava po istoj formuli , budući da su u ovom slučaju koeficijenti i koordinate vektora u datom koordinatnom sistemu.

Razmotrimo primjer.

Pronađite dužinu vektora datu u Dekartovim koordinatama.

Odmah primijenite formulu da pronađete dužinu vektora po koordinatama :

Sada dobijamo formulu za pronalaženje dužine vektora po svojim koordinatama u Oxyz pravougaonom koordinatnom sistemu u prostoru.

Odvajamo vektor od početka i označavamo projekcije tačke A na koordinatne ose kao i . Tada možemo graditi na stranicama i pravokutni paralelepiped, u kojem će OA biti dijagonala.

U ovom slučaju (pošto je OA dijagonala kuboid), gdje . Određivanje koordinata vektora omogućava nam da zapišemo jednakosti , a dužina OA jednaka je željenoj dužini vektora, dakle, .

Na ovaj način, dužina vektora u prostoru jednak je kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih koordinata, odnosno nalazi se po formuli .

Izračunajte dužinu vektora , gdje su orti pravokutnog koordinatnog sistema.

Dato nam je proširenje vektora u terminima koordinatnih vektora oblika , Shodno tome, . Zatim, prema formuli za pronalaženje dužine vektora po koordinatama, imamo .

Vrh stranice

Dužina vektora u smislu koordinata njegove početne i krajnje tačke.

Ali kako pronaći dužinu vektora ako su date koordinate njegove početne i krajnje točke?

U prethodnom pasusu dobili smo formule za pronalaženje dužine vektora iz njegovih koordinata u ravni i u trodimenzionalnom prostoru. Tada ih možemo koristiti ako pronađemo koordinate vektora po koordinatama njegove početne i krajnje točke.

Dakle, ako su tačke i date na ravni, tada vektor ima koordinate a njegova dužina se izračunava po formuli , i formula za pronalaženje dužine vektora po koordinatama tačaka I trodimenzionalni prostor izgleda kao .

Razmotrimo primjere.

Pronađite dužinu vektora ako je u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu .

Možete odmah primijeniti formulu za pronalaženje dužine vektora po koordinatama početne i krajnje točke na ravnini :

Drugo rješenje je odrediti koordinate vektora kroz koordinate tačaka i primijeniti formulu :

.

Odredite za koje vrijednosti je dužina vektora, ako .

Dužina vektora po koordinatama početne i krajnje tačke može se naći kao

Izjednačavajući dobivenu vrijednost dužine vektora sa , izračunavamo tražene:

Vrh stranice

Određivanje dužine vektora pomoću kosinusne teoreme.

Većina problema s pronalaženjem dužine vektora rješava se u koordinatama. Međutim, kada koordinate vektora nisu poznate, potrebno je tražiti druga rješenja.

Neka su poznate dužine dva vektora i ugao između njih (ili kosinus ugla), a potrebno je pronaći dužinu vektora ili . U ovom slučaju, koristeći zakon kosinusa u trokutu ABC, možete izračunati dužinu stranice BC, koja je jednaka željenoj dužini vektora.

Pogledajmo rješenje primjera da razjasnimo ono što je rečeno.

Duljine vektora i su 3 i 7, respektivno, a ugao između njih je . Izračunajte dužinu vektora.

Dužina vektora jednaka je dužini stranice BC u trouglu ABC. Iz uslova znamo dužine stranica AB i AC ovog trokuta (jednake su dužinama odgovarajućih vektora), kao i ugao između njih, tako da imamo dovoljno podataka da primenimo kosinus teoremu:

Na ovaj način, .

Dakle, da bismo pronašli dužinu vektora po koordinatama, koristimo formule
ili ,
po koordinatama početne i krajnje tačke vektora —
ili ,
u nekim slučajevima, kosinusni teorem dovodi do rezultata.

Jeste li ikada razumjeli?
Naručite rješenje

Vrh stranice

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi tom: Elementi linearne algebre i analitička geometrija.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. - 9. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.

Pretraga predavanja

Vektorski skalarni kvadrat

Šta se dešava ako se vektor pomnoži sam sa sobom?

Broj je pozvan skalarni kvadrat vektor , i označeni su kao .

Na ovaj način, vektorski skalarni kvadratjednak je kvadratu dužine datog vektora:

Vektor u geometriji je usmjereni segment ili uređeni par tačaka u Euklidskom prostoru. Ortom vektor je jedinični vektor normalizovanog vektorski prostor ili vektor čija je norma (dužina) jednaka jedan.

Trebaće ti

• Poznavanje geometrije.

Uputstvo

Prvo morate izračunati dužinu vektor. Kao što znate, dužina (modul) vektor jednak je kvadratnom korijenu zbira kvadrata koordinata. Neka je dat vektor sa koordinatama: a(3, 4). Tada je njegova dužina |a| = (9 + 16)^1/2 ili |a|=5.

Da biste pronašli ort vektor a, potrebno je svaku od njih podijeliti svojom dužinom. Rezultat će biti vektor, koji se naziva ort ili jedinični vektor. Za vektor a(3, 4) ort će biti vektor a(3/5, 4/5). Vektor a` će biti pojedinačni za vektor ali.

Da biste provjerili da li je ort ispravno pronađen, možete učiniti sljedeće: pronaći dužinu primljenog orta, ako je jednaka jedan, onda je sve pronađeno ispravno, ako nije, onda se greška uvukla u proračune. Provjerimo da li je ort a` ispravno pronađen. Dužina vektor a` je jednako: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Dakle, dužina vektor a` je jednako jedan, tako da je jedinični vektor ispravno pronađen.

Konačno sam došao u ruke jedne opsežne i dugo očekivane teme analitička geometrija. Prvo malo o ovaj odjeljak višu matematiku…. Sigurno ste se sada sjetili školskog kursa geometrije sa brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Šta sakriti, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Analitička geometrija, začudo, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Šta znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dva utisnuta matematička obrta: „grafička metoda rješenja“ i „analitička metoda rješenja“. Grafička metoda , naravno, povezan je sa konstrukcijom grafova, crteža. Analitički isto metoda uključuje rješavanje problema pretežno kroz algebarske operacije. S tim u vezi, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan, često je dovoljno precizno primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, nikako neće proći bez crteža, osim toga, radi boljeg razumijevanja gradiva, pokušaću da ih dovedem preko potrebe.

Otvoreni tok nastave iz geometrije ne pretenduje na teorijsku potpunost, fokusiran je na rješavanje praktičnih problema. U svoja predavanja ću uključiti samo ono što je sa moje tačke gledišta važno u praktičnom smislu. Ako vam je potrebna potpunija referenca na bilo koji pododjeljak, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:

1) Stvar koja je, bez šale, poznata već nekoliko generacija: Školski udžbenik iz geometrije, autori - L.S. Atanasyan i kompanija. Ova školska svlačionica je već izdržala 20 (!) reizdanja, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 toma. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za srednja škola, trebaće vam prvi tom. Zadaci koji se rijetko pojavljuju mogu ispasti iz mog vidnog polja, i tutorial pružiće neprocenjivu pomoć.

Obje knjige su besplatne za preuzimanje na internetu. Također, možete koristiti moju arhivu sa gotova rješenja, koji se nalazi na stranici Preuzmite primjere iz više matematike .

Od alata, opet nudim svoj razvoj - softverski paket na analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa osnovnim geometrijski koncepti i figure: tačka, prava, ravan, trougao, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorinu teoremu, zdravo ponavljači)

A sada ćemo uzastopno razmotriti: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Dalje preporučujem čitanje najvažniji članak Tačkasti proizvod vektora , kao i Vektorski i mješoviti proizvod vektora . Lokalni zadatak neće biti suvišan - Podjela segmenta u ovom pogledu. Na osnovu gore navedenih informacija, možete jednačina prave linije u ravni od najjednostavniji primjeri rješenja , što će omogućiti naučiti kako rješavati probleme iz geometrije . Sljedeći članci su također korisni: Jednačina ravni u prostoru , Jednačine prave u prostoru , Osnovni zadaci na pravoj liniji i ravni, druge grane analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Koncept vektora. slobodni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vector pozvao usmjereno segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je tačka, a kraj segmenta tačka. Sam vektor je označen sa . Smjer bitno, ako preuredite strelicu na drugi kraj segmenta, dobićete vektor, a ovo je već potpuno drugačiji vektor. Pogodno je identificirati koncept vektora s kretanjem fizičko tijelo: slažete se, ući na vrata instituta ili izaći iz instituta su potpuno različite stvari.

Zgodno je smatrati pojedinačne tačke ravni, prostor kao tzv nulti vektor. Takav vektor ima isti kraj i početak.

!!! Bilješka: Ovdje i ispod možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravni ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština predstavljenog materijala vrijedi i za ravan i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah skrenuli pažnju na štap bez strelice u oznaci i rekli da su i na vrhu stavili strelicu! Tako je, možete pisati strelicom: , ali dopušteno i zapis koji ću koristiti kasnije. Zašto? Očigledno se takva navika razvila iz praktičnih razmatranja, moji strijelci u školi i na fakultetu su se pokazali previše raznoliki i čupavi. IN edukativna literatura ponekad se uopće ne zamaraju klinastim pismom, već podebljaju slova: , čime se implicira da je ovo vektor.

To je bio stil, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati sa dva velika latinična slova:
itd. Dok je prvo slovo obavezno označava početnu tačku vektora, a drugo slovo označava krajnju tačku vektora.

2) Vektori se takođe pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor može biti preimenovan zbog kratkoće malim latiničnim slovom.

Dužina ili modul vektor različit od nule naziva se dužina segmenta. Dužina nul-vektora je nula. Logično.

Dužina vektora je označena modulo znakom: ,

Kako pronaći dužinu vektora, naučit ćemo (ili ponoviti, za koga kako) nešto kasnije.

To je bio elementarni podatak o vektoru, poznat svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Ako je sasvim jednostavno - vektor se može izvući iz bilo koje tačke:

Navikli smo da takve vektore nazivamo jednakima (definicija jednakih vektora će biti data u nastavku), ali isključivo sa matematička poenta vid je ISTI VEKTOR ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Jer u toku rješavanja zadataka možete "prikačiti" jedan ili drugi "školski" vektor za BILO KOJU tačku ravni ili prostora koja vam je potrebna. Ovo je vrlo cool nekretnina! Zamislite usmjereni segment proizvoljne dužine i smjera - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj tački prostora, zapravo, postoji SVUDA. Postoji takva studentska poslovica: Svaki predavač u f ** u u vektoru. Uostalom, nije samo duhovita rima, sve je gotovo tačno - tu se može pričvrstiti i usmjereni segment. Ali nemojte žuriti da se radujete, sami učenici češće pate =)

dakle, slobodni vektor- ovo mnogo identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, data na početku pasusa: „Usmjereni segment se zove vektor ...“, podrazumijeva specifično usmjereni segment uzet iz datog skupa, koji je vezan za određenu tačku u ravni ili prostoru.

Treba napomenuti da je sa stanovišta fizike, koncept slobodnog vektora generalno netačan, a tačka primjene je bitna. Zaista, dovoljan je direktan udarac iste sile u nos ili u čelo da se razvije moj glupi primjer, povlači različite posljedice. Kako god, nije besplatno vektori upoznaj i u toku vyshmat (ne idite tamo :)).

Akcije sa vektorima. Kolinearnost vektora

U školskom kursu geometrije razmatraju se brojne radnje i pravila s vektorima: sabiranje trougla, sabiranje paralelograma, pravilo vektorske razlike, množenje vektora brojem, skalarni proizvod vektori itd. Kao seme, ponavljamo dva pravila koja su posebno relevantna za rešavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo sabiranja vektora prema pravilu trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna ne-nula vektora i :

Potrebno je pronaći zbir ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, odgađamo vektor iz kraj vektor:

Zbir vektora je vektor . Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je uložiti u njega fizičko značenje: neka neko tijelo napravi putanju duž vektora, a zatim duž vektora. Tada je zbir vektora vektor rezultujuće putanje koja počinje u tački polaska i završava se u tački dolaska. Slično pravilo je formulirano za zbir bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem snažno cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbira.

Usput, ako se vektor odgodi od start vektor , tada dobijamo ekvivalent pravilo paralelograma dodavanje vektora.

Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearno ako leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravima. Grubo govoreći, jeste paralelni vektori. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev "kolinearno".

Zamislite dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, onda se takvi vektori nazivaju kosmjeran. Ako strelice gledaju u različitim smjerovima, tada će vektori biti suprotno usmerena.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenom ikonom paralelizma: , dok je detaljizacija moguća: (vektori su kousmjereni) ili (vektori su usmjereni suprotno).

rad vektora različitog od nule brojem je vektor čija je dužina jednaka , a vektori i su usmjereni na i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti sa slikom:

Razumijemo detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, onda je vektor mijenja smjer na suprotno.

2) Dužina. Ako je faktor sadržan unutar ili , tada je dužina vektora smanjuje se. Dakle, dužina vektora je dvostruko manja od dužine vektora. Ako je modulo množitelj veći od jedan, tada je dužina vektora povećava na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . I obrnuto je istina: ako se jedan vektor može izraziti u terminima drugog, onda su takvi vektori nužno kolinearni. Na ovaj način: ako pomnožimo vektor brojem, dobićemo kolinearno(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su kosmjerni. Vektori i su također kosmjerni. Svaki vektor prve grupe je suprotan svakom vektoru druge grupe.

Koji su vektori jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su kosmjerna i imaju istu dužinu. Imajte na umu da ko-smjer implicira da su vektori kolinearni. Definicija će biti netačna (suvišna) ako kažete: "Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, kousmjereni i imaju istu dužinu."

Sa stanovišta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, o čemu je već bilo reči u prethodnom pasusu.

Vektorske koordinate na ravni i u prostoru

Prva stvar je razmatranje vektora na ravni. Nacrtajte kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem i odvojite ga od početka single vektori i :

Vektori i ortogonalno. Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavamo na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi respektivno kolinearnost I ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektora piše se uobičajenim znakom okomice, na primjer: .

Razmatrani vektori se nazivaju koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Šta je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno, detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova .Jednostavno rečeno, osnova i ishodište koordinata definišu čitav sistem - to je svojevrsni temelj na kojem vrije pun i bogat geometrijski život.

Ponekad se naziva izgrađena osnova ortonormalno osnova ravni: "orto" - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev "normalizovan" označava jedinicu, tj. dužine baznih vektora jednake su jedan.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama, unutar kojih u strogom redu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori zabranjeno je zamijeniti mjesta.

Bilo koji ravan vektor jedini način izraženo kao:
, gdje - brojevi, koji se zovu vektorske koordinate in ovu osnovu. Ali sam izraz pozvao vektorska dekompozicijaosnovu .

Poslužena večera:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri dekomponovanju vektora u smislu baze koriste upravo razmatrani:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) sabiranje vektora prema pravilu trougla: .

Sada mentalno odvojite vektor iz bilo koje druge tačke na ravni. Sasvim je očigledno da će ga njegova korupcija "nemilosrdno pratiti". Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (slobodni) vektori ne moraju biti odvojeni od ishodišta, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se od ovoga neće promijeniti! Istina, ne morate to da radite, jer će i učitelj pokazati originalnost i nacrtati vam "prolaz" na neočekivanom mjestu.

Vektori, ilustruju tačno pravilo za množenje vektora brojem, vektor je ko-usmeren sa baznim vektorom, vektor je usmeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli, može se precizno napisati na sljedeći način:


A osnovni vektori su, inače, ovakvi: (u stvari, oni se izražavaju kroz sebe).

I na kraju: , . Usput, šta je vektorsko oduzimanje i zašto ti nisam rekao za pravilo oduzimanja? Negde u linearnoj algebri, ne sećam se gde, primetio sam da je oduzimanje poseban slučaj sabiranja. Dakle, proširenja vektora "de" i "e" mirno su zapisana kao zbir: . Slijedite crtež da vidite kako dobro staro dobro sabiranje vektora prema pravilu trokuta funkcionira u ovim situacijama.

Razmatrana dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u sistemu ort(tj. u sistemu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora, uobičajena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori su zapisani na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije snimanja.

Dvoumio sam se da li da govorim, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mjestu zapišite koordinate koje odgovaraju jediničnom vektoru, strogo na drugom mestu zapišite koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru. Zaista, i dva su različita vektora.

Shvatili smo koordinate u avionu. Sada razmotrite vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je sve gotovo isto! Samo još jedna koordinata će biti dodana. Teško je izvoditi trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odložiti od početka:

Bilo koji 3D vektor prostora jedini način proširiti u ortonormalnoj bazi:
, gdje su koordinate vektora (broja) u datoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako funkcionišu pravila vektorske akcije. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (magenta strelica). Drugo, evo primjera dodavanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektora: . Vektor sume počinje na početnoj tački polaska (početak vektora) i završava na konačnoj tački dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su slobodni, pokušajte mentalno odgoditi vektor iz bilo koje druge tačke i shvatit ćete da njegovo širenje "ostaje s njim".

Slično ravno kućište, pored pisanja verzije sa zagradama se široko koriste: bilo .

Ako u ekspanziji nedostaje jedan (ili dva) koordinatna vektora, umjesto toga se stavljaju nule. primjeri:
vektor (pažljivo ) – zapišite ;
vektor (pedantno) - zapisati;
vektor (pažljivo ) – zapišite .

Osnovni vektori se pišu na sljedeći način:

Ovdje je, možda, svo minimalno teorijsko znanje potrebno za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda ima previše pojmova i definicija, pa preporučujem lutke da ih ponovo pročitaju i shvate ove informacije opet. I svakom čitatelju će biti korisno da se s vremena na vrijeme osvrne na osnovnu lekciju radi bolje asimilacije materijala. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna osnova, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti će se često koristiti u nastavku. Napominjem da materijali sa sajta nisu dovoljni za polaganje teorijskog testa, kolokvijuma iz geometrije, pošto sve teoreme pažljivo šifrujem (osim bez dokaza) - na štetu naučnog stila prezentacije, ali plus za vaše razumevanje subjekta. Za detaljnije teorijske informacije, molim vas da se poklonite profesoru Atanasyanu.

Sada pređimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Radnje sa vektorima u koordinatama

Zadatke koji će se razmatrati, vrlo je poželjno naučiti kako ih rješavati potpuno automatski, a formule zapamtiti, nemojte ga ni namjerno pamtiti, oni će ga sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, jer se drugi problemi analitičke geometrije zasnivaju na najjednostavnijim elementarnim primjerima, pa će biti neugodno trošiti dodatno vrijeme jedući pijune. Ne morate da zakopčavate gornje dugmad na košulji, mnoge stvari su vam poznate iz škole.

Prezentacija materijala će se odvijati paralelno - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule ...vidjet ćete sami.

Kako pronaći vektor date dvije tačke?

Ako su date dvije tačke ravni i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

tj. iz koordinata kraja vektora morate oduzeti odgovarajuće koordinate vektorski početak.

Zadatak: Za iste tačke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke u ravnini i . Pronađite vektorske koordinate

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeća notacija:

Esteti će odlučiti ovako:

Lično sam navikao na prvu verziju ploče.

odgovor:

Prema uslovu, nije bilo potrebno napraviti crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih lutkama objasnio neke tačke, neću biti previše lijen:

Mora se razumjeti razlika između koordinata tačke i vektorskih koordinata:

Koordinate tačaka su uobičajene koordinate u pravougaonom koordinatnom sistemu. Odvojite bodove za koordinatnu ravan Mislim da to može svako od 5-6 razreda. Svaka tačka ima striktno mjesto u ravni i ne mogu se nigdje pomjeriti.

Koordinate istog vektora je njegova ekspanzija u odnosu na osnovu , u ovom slučaju . Svaki vektor je slobodan, pa ga po želji ili potrebi možemo lako odložiti iz neke druge tačke u ravni. Zanimljivo je da za vektore uopšte ne možete da gradite ose, pravougaoni koordinatni sistem, potrebna vam je samo osnova, u ovom slučaju, ortonormalna osnova ravni.

Čini se da su zapisi koordinata tačaka i vektorskih koordinata slični: , i osećaj za koordinate apsolutno drugačije, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika, naravno, važi i za prostor.

Dame i gospodo, punimo ruke:

Primjer 2

a) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Find Vectors .

Mozda dosta. Ovo su primjeri za nezavisna odluka, trudite se da ih ne zanemarite, isplatiće vam se ;-). Crteži nisu potrebni. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Šta je važno u rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je da budete IZUZETNO OPREZNI kako biste izbegli majstorsku grešku „dva plus dva je nula“. Unapred se izvinjavam ako sam pogresio =)

Kako pronaći dužinu segmenta?

Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su date dvije tačke ravni i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Radi jasnoće, napraviću crtež

Odjeljak - to nije vektor, i ne možete ga nigdje pomjeriti, naravno. Osim toga, ako završite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom direktnim mjerenjem dužine segmenta.

Da, rešenje je kratko, ali postoji nekoliko važnih tačaka koje bih želeo da razjasnim:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: “jedinice”. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno kao "jedinice".

Drugo, da ponovimo školskog materijala, što je korisno ne samo za razmatrani problem:

obratite pažnju na važan tehnički trik – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, dobili smo rezultat i dobar matematički stil uključuje vađenje množitelja ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostavljanje odgovora u formularu neće biti greška – ali je definitivno mana i težak argument za prigovaranje od strane nastavnika.

Evo drugih uobičajenih slučajeva:

Često pod korijenom ispada dovoljno veliki broj, na primjer . Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4:. Da, potpuno podijeliti, ovako: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . Na ovaj način: . Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno nije moguće. Pokušavam podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.

Izlaz: ako ispod korijena dobijemo cijeli broj koji se ne može izdvojiti, onda pokušavamo izvaditi faktor ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , itd.

Prilikom rješavanja raznih zadataka često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli niži rezultat i nepotrebne muke oko finaliziranja rješenja prema napomeni nastavnika.

Ponovimo istovremeno kvadriranje korijena i drugih potencija:

Pravila za radnje sa stepenom in opšti pogled može se naći u školskom udžbeniku iz algebre, ali mislim da je iz navedenih primjera već sve ili skoro sve jasno.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Dati bodovi i . Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako pronaći dužinu vektora?

Ako je dat ravan vektor, tada se njegova dužina izračunava po formuli.

Ako je dat vektor prostora, onda se njegova dužina izračunava po formuli .