Saznali smo da je ponašanje trigonometrijskih funkcija i funkcija y = sin x posebno, na cijeloj brojevnoj liniji (ili za sve vrijednosti argumenta X) u potpunosti je određen svojim ponašanjem u intervalu 0 < X < π / 2 .

Stoga ćemo prije svega iscrtati funkciju y = sin x tačno u ovom intervalu.

Napravimo sljedeću tablicu vrijednosti naše funkcije;

Označavanjem odgovarajućih tačaka na koordinatnoj ravni i povezivanjem ih glatkom linijom dobijamo krivulju prikazanu na slici

Rezultirajuća kriva se također može konstruirati geometrijski bez sastavljanja tablice vrijednosti funkcije y = sin x .

1. Prva četvrtina kruga poluprečnika 1 podijeljena je na 8 jednakih dijelova.Ordinate tačaka podjele kružnice su sinusi odgovarajućih uglova.

2. Prva četvrtina kruga odgovara uglovima od 0 do π / 2 . Dakle, na osi X Uzmite segment i podijelite ga na 8 jednakih dijelova.

3. Nacrtajmo ravne linije paralelne osi X, a iz tačaka podjele vraćamo okomice na sjecište s horizontalnim linijama.

4. Spojite tačke preseka glatkom linijom.

Pogledajmo sada interval π / 2 < X < π .
Vrijednost svakog argumenta X iz ovog intervala može se predstaviti kao

x = π / 2 + φ

gdje 0 < φ < π / 2 . Prema formulama redukcije

grijeh( π / 2 + φ ) = cos φ = grijeh ( π / 2 - φ ).

Osne tačke X sa apscisom π / 2 + φ I π / 2 - φ simetrične jedna prema drugoj oko tačke ose X sa apscisom π / 2 , a sinusi u ovim tačkama su isti. Ovo vam omogućava da dobijete graf funkcije y = sin x u intervalu [ π / 2 , π ] jednostavnim simetričnim prikazom grafika ove funkcije u intervalu u odnosu na pravu liniju X = π / 2 .

Sada koristimo imovinu neparna funkcija y = sin x,

grijeh(- X) = -sin X,

lako je ucrtati ovu funkciju u interval [- π , 0].

Funkcija y \u003d sin x je periodična s periodom od 2π ;. Stoga, da bi se izgradio cijeli graf ove funkcije, dovoljno je povremeno nastaviti krivulju prikazanu na slici lijevo i desno s tačkom 2π .

Rezultirajuća kriva se zove sinusoida . To je graf funkcije y = sin x.

Slika dobro ilustruje sva ta svojstva funkcije y = sin x , koje smo prethodno dokazali. Prisjetite se ovih svojstava.

1) Funkcija y = sin x definisano za sve vrednosti X , tako da je njegova domena skup svih realnih brojeva.

2) Funkcija y = sin x ograničeno. Sve vrijednosti koje uzima su između -1 i 1, uključujući ta dva broja. Stoga je raspon ove funkcije određen nejednakošću -1 < at < 1. Kada X = π / 2 + 2k π funkcija uzima najveće vrijednosti jednake 1, a za x = - π / 2 + 2k π - najmanje vrijednosti jednake su - 1.

3) Funkcija y = sin x je neparan (sinusoida je simetrična u odnosu na ishodište).

4) Funkcija y = sin x periodično sa periodom 2 π .

5) U intervalima 2n π < x < π + 2n π (n je bilo koji cijeli broj) pozitivan je i u intervalima π + 2k π < X < 2π + 2k π (k je bilo koji cijeli broj) negativan je. Za x = k π funkcija ide na nulu. Dakle, ove vrijednosti argumenta x (0; ± π ; ±2 π ; ...) nazivaju se nulama funkcije y = sinx

6) U intervalima - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkcija y = sin x raste monotono iu intervalima π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π monotono se smanjuje.

Obratite posebnu pažnju na ponašanje funkcije y = sinx blizu tačke X = 0 .

Na primjer, sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin2° = sin π 2 / 180=grijeh π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Međutim, treba napomenuti da za bilo koju vrijednost x

| grijeh x| < | x | . (1)

Zaista, neka polumjer kružnice prikazane na slici bude jednak 1,
a / AOB = X.

Onda greh x= AC. Ali AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Dužina ovog luka je očigledno jednaka X, pošto je poluprečnik kružnice 1. Dakle, za 0< X < π / 2

sin x< х.

Dakle, zbog neparnosti funkcije y = sinx lako je pokazati da kada - π / 2 < X < 0

| grijeh x| < | x | .

Konačno, u x = 0

| sin x | = | x |.

Dakle, za | X | < π / 2 nejednakost (1) je dokazana. U stvari, ova nejednakost vrijedi i za | x | > π / 2 zbog činjenice da | | grijeh X | < 1, a π / 2 > 1

Vježbe

1.Prema rasporedu funkcija y = sinx odrediti: a) sin 2; b) greh 4; c) sin (-3).

2.Raspored funkcija y = sinx odrediti koji broj iz intervala
[ - π / 2 , π / 2 ] ima sinus jednak: a) 0,6; b) -0,8.

3. Planirana funkcija y = sinx odrediti koji brojevi imaju sinus,
jednako 1/2.

4. Odredite približno (bez upotrebe tabela): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

"Koledž uslužnih tehnologija Yoshkar-Ola"

Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcije y=sinx u tabeliGOSPOĐA excel

/metodološka izrada/

Yoshkar - Ola

Tema. Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcijey = sinx u tabeli MS Excel

Vrsta lekcije– integrisani (sticanje novih znanja)

Ciljevi:

Didaktički cilj - istražiti ponašanje grafova trigonometrijske funkcijey= sinxu zavisnosti od koeficijenata pomoću računara

Tutorijali:

1. Saznaj promjenu u grafu trigonometrijske funkcije y= grijeh x zavisno od koeficijenata

2. Prikazati uvođenje računarske tehnologije u nastavu matematike, integraciju dva predmeta: algebre i informatike.

3. Formirati vještine korištenja računarske tehnologije na nastavi matematike

4. Ojačati vještine istraživanja funkcija i crtanja njihovih grafova

u razvoju:

1. Razvijati kognitivni interes učenika za akademske discipline i sposobnost primjene znanja u praktičnim situacijama

2. Razviti sposobnost analiziranja, poređenja, naglašavanja glavne stvari

3. Doprinijeti poboljšanju ukupnog nivoa razvoja učenika

edukatori :

1. Negujte nezavisnost, tačnost, marljivost

2. Negujte kulturu dijaloga

Oblici rada na času - kombinovano

Didaktička oprema i oprema:

1. Računari

2. Multimedijalni projektor

4. Handout

5. Slajdovi prezentacije

Tokom nastave

I. Organizacija početka časa

Pozdrav studentima i gostima

· Pripremite se za lekciju

II. Postavljanje ciljeva i aktualizacija teme

Potrebno je puno vremena za proučavanje funkcije i izgradnju njenog grafa, morate izvršiti mnogo glomaznih proračuna, to nije zgodno, kompjuterske tehnologije dolaze u pomoć.

Danas ćemo naučiti kako napraviti grafikone trigonometrijskih funkcija u MS Excel 2007 okruženju proračunskih tablica.

Tema naše lekcije je „Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcije y= sinx u tabeli"

Iz kursa algebre znamo šemu za proučavanje funkcije i konstruisanje njenog grafa. Prisjetimo se kako to učiniti.

slajd 2

Shema proučavanja funkcija

1. Domen funkcije (D(f))

2. Područje vrijednosti funkcije E(f)

3. Definicija pariteta

4. Periodičnost

5. Nule funkcije (y=0)

6. Intervali predznaka konstante (y>0, y<0)

7. Intervali monotonosti

8. Ekstremi funkcije

III. Primarno usvajanje novog nastavnog materijala

Otvorite MS Excel 2007.

Nacrtajmo funkciju y=sin x

Ucrtavanje u proračunsku tabeluGOSPOĐA excel 2007

Graf ove funkcije će biti izgrađen na segmentu xÊ [-2π; 2π]

Vrijednosti argumenta ćemo uzeti korakom , kako bi graf bio precizniji.

Pošto uređivač radi sa brojevima, hajde da pretvorimo radijane u brojeve, znajući to P ≈ 3.14 . (tabela prijevoda u brošuri).

1. Pronađite vrijednost funkcije u tački x \u003d -2P. Za ostalo, uređivač automatski izračunava odgovarajuće vrijednosti funkcije za odgovarajuće vrijednosti argumenta.

2. Sada imamo tablicu sa vrijednostima argumenata i funkcija. Sa ovim podacima, moramo iscrtati ovu funkciju koristeći Čarobnjak za grafikone.

3. Da biste napravili graf, morate odabrati željeni raspon podataka, redove s vrijednostima argumenata i funkcije

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Zaključke zapisujemo u svesku (Slajd 5)

Izlaz. Grafikon funkcije oblika y=sinx+k dobija se iz grafa funkcije y=sinx uz pomoć paralelnog prevođenja duž y-ose za k jedinica

Ako je k >0, onda se grafik pomjera nagore za k jedinica

Ako je k<0, то график смещается вниз на k единиц

Konstrukcija i proučavanje funkcije pogleday=k*sinx,k- konst

Zadatak 2. Na poslu Sheet2 plotirajte funkcije u jednom koordinatnom sistemu y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, na intervalu (-2π; 2π) i pogledajte kako se graf mijenja.

(Da ne bismo ponovo postavili vrijednost argumenta, kopirajmo postojeće vrijednosti. Sada morate postaviti formulu i napraviti grafikon koristeći rezultirajuću tablicu.)

Upoređujemo dobijene grafike. Zajedno sa studentima analiziramo ponašanje grafa trigonometrijske funkcije u zavisnosti od koeficijenata. (Slajd 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , na intervalu (-2π; 2π) i pogledajte kako se graf mijenja.

Upoređujemo dobijene grafike. Zajedno sa studentima analiziramo ponašanje grafa trigonometrijske funkcije u zavisnosti od koeficijenata. (Slajd 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Zaključke zapisujemo u svesku (Slajd 11)

Izlaz. Grafikon funkcije oblika y = sin (x + k) dobiva se iz grafa funkcije y = sinx pomoću paralelnog prevođenja duž ose OX za k jedinica

Ako je k >1, grafik se pomiče udesno duž ose OX

Ako je 0

IV. Primarna konsolidacija stečenog znanja

Diferencirane kartice sa zadatkom za izgradnju i proučavanje funkcije pomoću grafa

	Y=6*grijeh(x)	Y=1-2 grijehX	Y=- grijeh(3x+)
1. Domain
2. Opseg vrijednosti
3. Paritet
4. Periodičnost
5. Intervali konstantnosti
6. prazninemonotonija
Funkcija raste
Funkcija smanjuje se
7. Ekstremi funkcije
Minimum
Maksimum

V. Organizacija domaćih zadataka

Iscrtajte funkciju y=-2*sinh+1, istražite i provjerite ispravnost konstrukcije u Microsoft Excel okruženju proračunskih tablica. (Slajd 12)

VI. Refleksija

Kako nacrtati funkciju y=sin x? Prvo, razmotrite graf sinusa na intervalu.

Uzimamo jedan segment dužine 2 ćelije bilježnice. Jedinicu označavamo na osi Oy.

Radi praktičnosti, zaokružujemo broj π/2 na 1,5 (a ne na 1,6, kako to zahtijevaju pravila zaokruživanja). U ovom slučaju, segment dužine π/2 odgovara 3 ćelije.

Na osi Ox ne označavamo pojedinačne segmente, već segmente dužine π / 2 (svake 3 ćelije). Prema tome, segment dužine π odgovara 6 ćelija, segment dužine π/6 odgovara 1 ćeliji.

Sa ovim izborom jednog segmenta, grafik prikazan na listu sveske u kutiji odgovara grafikonu funkcije y=sin x koliko god je to moguće.

Napravimo tabelu sinusnih vrijednosti ​​na intervalu:

Rezultirajuće tačke su označene na koordinatnoj ravni:

Pošto je y=sin x neparna funkcija, sinusni graf je simetričan u odnosu na ishodište - tačku O(0;0). Uzimajući u obzir ovu činjenicu, nastavljamo crtati graf lijevo, zatim tačke -π:

Funkcija y=sin x je periodična sa periodom T=2π. Stoga se graf funkcije, uzet na intervalu [-π; π], ponavlja beskonačan broj puta desno i lijevo.

Istezanje grafika y=sinx duž y ose. Zadana je funkcija y=3sinx. Da biste izgradili njegov graf, potrebno je da rastegnete graf y=sinx tako da E(y): (-3; 3).

Slika 7 iz prezentacije "Grafikon funkcije" na sat algebre na temu "Graf funkcije"

Dimenzije: 960 x 720 piksela, format: jpg. Da biste besplatno preuzeli sliku za lekciju algebre, kliknite desnim tasterom miša na sliku i kliknite na "Sačuvaj sliku kao...". Da biste prikazali slike u lekciji, takođe možete besplatno preuzeti kompletnu prezentaciju „Izgradite graf funkcije.ppt“ sa svim slikama u zip arhivi. Veličina arhive - 327 KB.

Preuzmite prezentaciju

Funkcijski grafikon

"Grafikon funkcije" - Sadržaj: Istezanje grafika y=sinx duž y ose. Zadana je funkcija y=3sinx. Zadana je funkcija y=sinx+1. Zadana je funkcija y=3cosx. Nacrtajte graf funkcije. Grafikon funkcije y= m*cos x. Izvršio: kadet 52. studijske grupe Aleksej Levin. Grafički pomaci y=cosx okomito. Da biste otišli na uzorke zadataka, kliknite na l. dugme miša.

"Koordinatni sistem u svemiru" - Zasun je zatvoren. Visina, širina, dubina. Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru. Koordinate tačke u prostoru. Rad M. Eschera odražava ideju uvođenja pravokutnog koordinatnog sistema u prostor. Ox je osa apscise, Oy je osa ordinate, Oz je osa primjene. Slušajte sonatne sfere sa Pitagorom, atomi se dugo računaju, kao Demokrit.

"Koordinatna ravan 6. razred" - U. Matematika 6. razred. 1. Pronađite i zapišite koordinate tačaka A, B, C, D: O. X. Koordinatna ravan. -3. jedan.

"Funkcije i njihovi grafovi" - Primjeri neparnih funkcija: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). 3. Ako je k? 0 i b? 0, tada je y = kx + b. Funkcija je definirana na skupu svih realnih brojeva. Linearna funkcija oblika y = kx naziva se direktna proporcionalnost. Snaga. y = sinx. Periodičnost.

"Istraživanje funkcije" - Funkcije. Dorokhova Yu.A. Prisjetimo se... Plan rada časa. Koristeći šemu istraživanja funkcija, ispunite zadatak: str.24; br. 296 (a; b), br. 299 (a; b). Da li ste znali da... Svrha časa: Primjena izvedenice. Zadatak. Rad provjere: Izvršite usmeno: Za funkciju f (x) = x3, odredite D (f), paritet, povećanje, smanjenje.

"Povećanje i smanjenje funkcije" - Povećanje i smanjenje funkcije. Pogledajmo primjer rastućih i opadajućih funkcija. Zbog periodičnosti sinusne funkcije, dokaz je dovoljan da se izvede za segment [-? / 2; ?/2]. Razmotrimo još jedan primjer. Ako -?/2 ? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

U ovoj temi ima ukupno 25 prezentacija

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcija y=sin(x). Definicije i svojstva"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci za 7-10 razred
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo učiti:

• Svojstva funkcije Y=sin(X).
• Funkcijski graf.
• Kako napraviti grafikon i njegovu skalu.
• Primjeri.

svojstva sinusa. Y=grijeh(X)

Ljudi, već smo se susreli s trigonometrijskim funkcijama numeričkog argumenta. Sjećate li ih se?

Pogledajmo pobliže funkciju Y=sin(X).

Zapišimo neka svojstva ove funkcije:
1) Područje definicije je skup realnih brojeva.
2) Funkcija je neparna. Prisjetimo se definicije neparne funkcije. Funkcija se naziva neparnom ako je jednakost istinita: y(-x)=-y(x). Kao što se sjećamo iz formula duhova: sin(-x)=-sin(x). Definicija je zadovoljena, tako da je Y=sin(X) neparna funkcija.
3) Funkcija Y=sin(X) raste na intervalu i opada na intervalu [π/2; π]. Kada se krećemo duž prve četvrtine (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), ordinata se povećava, a kada se krećemo duž druge četvrtine, smanjuje se.

4) Funkcija Y=sin(X) je ograničena odozdo i odozgo. Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Najmanja vrijednost funkcije je -1 (za x = - π/2+ πk). Najveća vrijednost funkcije je 1 (za x = π/2+ πk).

Koristimo svojstva 1-5 da nacrtamo funkciju Y=sin(X). Naš graf ćemo izgraditi uzastopno, primjenjujući naša svojstva. Počnimo graditi graf na segmentu.

Posebnu pažnju treba obratiti na skalu. Na ordinatnoj osi je prikladnije uzeti jedan segment jednak 2 ćelije, a na osi apscise - jedan segment (dvije ćelije) koji treba uzeti jednak π / 3 (vidi sliku).

Iscrtavanje funkcije sinus x, y=sin(x)

Izračunajmo vrijednosti funkcije na našem segmentu:

Napravimo graf za naše tačke, uzimajući u obzir treće svojstvo.

Tablica konverzije za formule duhova

Koristimo drugo svojstvo, koje kaže da je naša funkcija neparna, što znači da se može simetrično reflektirati oko ishodišta:

Znamo da je sin(x+ 2π) = sin(x). To znači da na intervalu [- π; π] graf izgleda isto kao na segmentu [π; 3π] ili ili [-3π; - pi] i tako dalje. Ostaje nam da pažljivo iscrtamo graf na prethodnoj slici na cijeloj x-osi.

Graf funkcije Y=sin(X) naziva se sinusoida.

Napišimo još nekoliko svojstava prema konstruiranom grafu:
6) Funkcija Y=sin(X) raste na bilo kom segmentu oblika: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k je cijeli broj i opada na bilo kojem segmentu oblika: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k je cijeli broj.
7) Funkcija Y=sin(X) je kontinuirana funkcija. Pogledajmo graf funkcije i uvjerimo se da naša funkcija nema prekida, to znači kontinuitet.
8) Raspon vrijednosti: segment [- 1; jedan]. To je također jasno vidljivo iz grafa funkcije.
9) Funkcija Y=sin(X) je periodična funkcija. Pogledajmo ponovo graf i vidimo da funkcija poprima iste vrijednosti u nekim intervalima.

Primjeri problema sa sinusom

1. Riješite jednačinu sin(x)= x-π

Rješenje: Napravimo 2 grafika funkcije: y=sin(x) i y=x-π (vidi sliku).
Naši grafovi se seku u jednoj tački A(π; 0), ovo je odgovor: x = π

2. Nacrtajte funkciju y=sin(π/6+x)-1

Rješenje: Željeni graf se dobija pomjeranjem grafika funkcije y=sin(x) za π/6 jedinica ulijevo i 1 jedinicu naniže.

Rješenje: Napravimo graf funkcije i razmotrimo naš segment [π/2; 5π/4].
Grafikon funkcije pokazuje da se najveća i najmanja vrijednost postižu na krajevima segmenta, u tačkama π/2 i 5π/4, respektivno.
Odgovor: sin(π/2) = 1 je najveća vrijednost, sin(5π/4) = najmanja vrijednost.

Sinusni problemi za samostalno rješenje

• Riješite jednačinu: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Grafikon funkcije y=sin(π/3+x)-2
• Nacrtajte funkciju y=sin(-2π/3+x)+1
• Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y=sin(x) na segmentu
• Odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije y=sin(x) na segmentu [- π/3; 5π/6]