ili (ekvivalentno) poliedar sa šest lica koja su paralelogrami. Hexagon.

Paralelogrami koji čine paralelepiped su lica ovog paralelepipeda, stranice ovih paralelograma su ivice paralelepipeda, a vrhovi paralelograma su vrhovi paralelepiped. Svako lice paralelepipeda je paralelogram.

U pravilu se razlikuju i nazivaju bilo koja druga suprotna lica osnovice paralelepipeda, i preostala lica bočne strane paralelepipeda. Rubovi paralelepipeda koji ne pripadaju bazama su bočna rebra.

2 lica kvadra koji dijele ivicu su povezani, i one koje nemaju zajedničke ivice - suprotno.

Segment koji spaja 2 vrha koji ne pripadaju 1. licu je dijagonala paralelepipeda.

Dužina rebra kuboid, koji nisu paralelni, jesu linearne dimenzije (mjerenja) paralelepiped. Pravougaoni paralelepiped ima 3 linearne dimenzije.

Vrste paralelepipeda.

Postoji nekoliko vrsta paralelepipeda:

Direktno je paralelepiped sa rubom okomitim na ravan baze.

Kuboid sa sve 3 dimenzije jednaka vrijednost, je kocka. Svaka strana kocke je jednaka kvadrata .

Proizvoljni paralelepiped. Volumen i omjeri u kosoj kutiji su uglavnom definirani pomoću vektorske algebre. Zapremina kutije jednaka je apsolutnoj vrijednosti mješovitog proizvoda 3 vektora, koji su određeni sa 3 strane kutije (koje dolaze iz istog vrha). Odnos između dužina stranica paralelepipeda i uglova između njih pokazuje tvrdnju da je Gramova determinanta data 3 vektora jednaka kvadratu njihovog mješovitog proizvoda.

Svojstva paralelepipeda.

• Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
• Svaki segment sa krajevima koji pripadaju površini paralelepipeda i koji prolazi kroz sredinu njegove dijagonale dijeli se na dva jednaka dijela. Sve dijagonale paralelepipeda sijeku se u 1. tački i njome se dijele na dva jednaka dijela.
• Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake su dimenzije.
• Kvadrat dužine dijagonale kvadra je

U ovoj lekciji svi će moći da prouče temu "Pravougaona kutija". Na početku lekcije ponovit ćemo šta su proizvoljni i pravi paralelepipedi, podsjetiti se na svojstva njihovih suprotnih strana i dijagonala paralelepipeda. Zatim ćemo razmotriti šta je kvadar i razmotriti njegova glavna svojstva.

Tema: Okomitost pravih i ravni

Lekcija: Kuboid

Površina sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelepiped(Sl. 1).

Rice. 1 paralelepiped

To jest: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), oni leže u paralelne ravni tako da su bočna rebra AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelna. Tako se zove površina sastavljena od paralelograma paralelepiped.

Dakle, površina paralelepipeda je zbir svih paralelograma koji čine paralelopiped.

1. Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.

(cifre su jednake, odnosno mogu se kombinovati preklapanjem)

Na primjer:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (budući da su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (pošto su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda).

2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele tu tačku.

Dijagonale paralelepipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B seku se u jednoj tački O, a svaka dijagonala je podijeljena na pola ovom tačkom (slika 2).

Rice. 2 Dijagonale paralelepipeda se sijeku i sijeku presječnu točku.

3. Postoje tri četvorke jednakih i paralelnih ivica paralelepipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definicija. Paralelepiped se naziva ravnim ako su njegove bočne ivice okomite na osnovice.

Neka bočna ivica AA 1 bude okomita na osnovu (slika 3). To znači da je prava AA 1 okomita na prave AD i AB, koje leže u ravni baze. I, stoga, pravokutnici leže u bočnim stranama. A baze su proizvoljni paralelogrami. Označimo, ∠BAD = φ, ugao φ može biti bilo koji.

Rice. 3 Desna kutija

Dakle, desna kutija je kutija u kojoj su bočne ivice okomite na osnove kutije.

Definicija. Paralelepiped se naziva pravougaonim, ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu. Osnove su pravokutnici.

Paralelepiped AVSDA 1 V 1 S 1 D 1 je pravougaonog oblika (slika 4) ako:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočna ivica je okomita na ravan osnove, odnosno pravi paralelepiped).

2. ∠BAD = 90°, tj. osnova je pravougaonik.

Rice. 4 Kuboid

Pravougaona kutija ima sva svojstva proizvoljnog okvira. Ali postoje dodatna svojstva koja su izvedena iz definicije kvadra.

dakle, kuboid je paralelepiped čije su bočne ivice okomite na osnovu. Osnova kvadra je pravougaonik.

1. U kvadru, svih šest lica su pravokutnici.

ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su pravokutnici po definiciji.

2. Bočna rebra su okomita na osnovu. To znači da su sve bočne strane pravokutnog paralelepipeda pravokutnici.

3. Svi diedarski uglovi kvadra su pravi uglovi.

Razmotrimo, na primjer, diedarski ugao pravougaonog paralelepipeda sa ivicom AB, tj. diedarski ugao između ravnina ABB 1 i ABC.

AB je ivica, tačka A 1 leži u jednoj ravni - u ravni ABB 1, a tačka D u drugoj - u ravni A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani diedarski ugao može označiti i na sljedeći način: ∠A 1 AVD.

Uzmite tačku A na rubu AB. AA 1 je okomita na ivicu AB u ravni ABB-1, AD je okomita na ivicu AB u ravni ABC. Dakle, ∠A 1 AD je linearni ugao datog diedralnog ugla. ∠A 1 AD \u003d 90 °, što znači da je ugao diedara na ivici AB 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Slično se dokazuje da su svaki diedarski uglovi pravougaonog paralelepipeda pravi.

Kvadrat dijagonale kvadra jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Bilješka. Dužine tri ivice koje izlaze iz istog vrha kvadra su mjere kvadra. Ponekad se nazivaju dužina, širina, visina.

Dato: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravougaoni paralelepiped (slika 5).

Dokaži: .

Rice. 5 Kuboid

dokaz:

Prava CC 1 je okomita na ravan ABC, a time i na pravu AC. Dakle, trokut CC 1 A je pravougli trokut. Prema Pitagorinoj teoremi:

Razmislite pravougaonog trougla ABC. Prema Pitagorinoj teoremi:

Ali BC i AD su suprotne strane pravougaonika. Dakle BC = AD. onda:

Jer , ali , onda. Pošto je CC 1 = AA 1, ono što je trebalo dokazati.

Dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jednake.

Označimo dimenzije paralelepipeda ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Paralelepiped je četvorougaona prizma čije su osnove paralelogrami. Visina paralelepipeda je udaljenost između ravnina njegovih baza. Na slici je visina prikazana kao linija . Postoje dvije vrste paralelepipeda: ravni i kosi. obično, nastavnik matematike prvo daje odgovarajuće definicije za prizmu, a zatim ih prenosi na paralelepiped. I mi ćemo učiniti isto.

Da vas podsjetim da se prizma naziva ravnom ako su joj bočne ivice okomite na osnovice, a ako nema okomitosti, prizma se naziva kosom. Ovu terminologiju nasljeđuje i paralelepiped. Pravi paralelepiped nije ništa drugo do neka vrsta ravne prizme, čija se bočna ivica poklapa s visinom. Zadržane su definicije pojmova kao što su lice, ivica i vrh, koji su zajednički za cijelu porodicu poliedara. Pojavljuje se koncept suprotnih lica. Paralelepiped ima 3 para suprotnih strana, 8 vrhova i 12 ivica.

Dijagonala paralelepipeda (dijagonala prizme) je segment koji spaja dva vrha poliedra i ne leži ni na jednoj njegovoj strani.

Dijagonalni presjek je presjek paralelepipeda koji prolazi kroz njegovu dijagonalu i dijagonalu njegove baze.

Svojstva kosih kutija:
1) Sve njegove strane su paralelogrami, a suprotne strane su jednaki paralelogrami.
2)Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele se u toj tački.
3)Svaki paralelepiped se sastoji od šest trouglastih piramida jednake zapremine. Da bi ih pokazao učeniku, nastavnik matematike mora odsjeći polovicu paralelepepeda sa dijagonalnim presjekom i razbiti ga posebno na 3 piramide. Njihove osnove moraju ležati na različitim stranama originalne kutije. Nastavnik matematike će pronaći primjenu za ovo svojstvo u analitičkoj geometriji. Koristi se za prikaz zapremine piramide kroz mješoviti proizvod vektori.

Formule za zapreminu paralelepipeda:
1) , gdje je površina osnove, h visina.
2) Zapremina paralelepipeda jednaka je proizvodu površine poprečnog presjeka po bočnoj ivici.
nastavnik matematike: Kao što znate, formula je zajednička za sve prizme, i ako je učitelj to već dokazao, nema smisla ponavljati istu za paralelepiped. Međutim, kada se radi sa učenikom prosječnog nivoa (slaba formula nije korisna), preporučljivo je da nastavnik postupi upravo suprotno. Ostavite prizmu na miru i izvršite tačan dokaz za paralelepiped.
3) , gdje je zapremina jedne od šest trouglastih piramida koje čine paralelepiped.
4) Ako , onda

Površina bočne površine paralelepipeda je zbir površina svih njegovih strana:
Ukupna površina paralelepipeda je zbir površina svih njegovih strana, odnosno površina + dvije površine baze:.

O radu nastavnika sa nagnutim paralelepipedom:
Nastavnik matematike se ne bavi često problemima na nagnutom paralelepipedu. Vjerovatnoća njihovog pojavljivanja na ispitu je prilično mala, a didaktika je nepristojno loša. Više-manje pristojan problem o volumenu nagnutog paralelepipeda uzrokuje ozbiljni problemi povezano s određivanjem lokacije točke H - osnove njegove visine. U ovom slučaju, učitelju matematike bi se moglo savjetovati da skrati kutiju na jednu od njenih šest piramida (o kojima se govori u svojstvu #3), pokuša pronaći njenu zapreminu i pomnožiti je sa 6.

Ako bočna ivica paralelepipeda ima jednake uglove sa stranicama baze, tada H leži na simetrali ugla A osnove ABCD. A ako je, na primjer, ABCD romb, onda

Zadaci za nastavnike matematike:
1) Lica paralelepipeda su jednake grane sa stranicom od 2 cm i oštrim uglom. Pronađite zapreminu paralelepipeda.
2) U kosom paralelepipedu bočna ivica je 5 cm. Presjek okomit na njega je četverougao sa međusobno okomitim dijagonalama dužine 6 cm i 8 cm. Izračunajte zapreminu paralelepipeda.
3) U kosom paralelepipedu, poznato je da je , i u definiciji ABCD je romb sa stranicom od 2 cm i kutom od . Odrediti zapreminu paralelepipeda.

Tutor matematike, Aleksandar Kolpakov