Iz školskog predmeta matematike je poznato da je vektor na ravni usmjereni segment. Njegov početak i kraj imaju dvije koordinate. Vektorske koordinate se izračunavaju oduzimanjem početnih koordinata od krajnjih koordinata.

Koncept vektora se također može proširiti na n-dimenzionalni prostor (umjesto dvije koordinate biće n koordinata).

Gradijent grad z funkcije z = f(h 1 , h 2 , …h n) je vektor parcijalnih izvoda funkcije u tački, tj. vektor sa koordinatama.

Može se dokazati da gradijent funkcije karakteriše pravac najbržeg rasta nivoa funkcije u tački.

Na primjer, za funkciju z = 2x 1 + x 2 (vidi sliku 5.8), gradijent u bilo kojoj tački imat će koordinate (2; 1). Možete ga izgraditi na avionu Različiti putevi, uzimajući bilo koju tačku kao početak vektora. Na primjer, možete povezati tačku (0; 0) sa tačkom (2; 1) ili tačku (1; 0) sa tačkom (3; 1) ili tačku (0; 3) sa tačkom (2; 4), ili t .P. (vidi sliku 5.8). Svi vektori konstruisani na ovaj način imaće koordinate (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Slika 5.8 jasno pokazuje da nivo funkcije raste u pravcu gradijenta, budući da konstruisane linije nivoa odgovaraju vrednostima nivoa 4 > 3 > 2.

Slika 5.8 - Funkcija gradijenta z \u003d 2x 1 + x 2

Razmotrimo još jedan primjer - funkciju z = 1/(x 1 x 2). Gradijent ove funkcije više neće biti uvijek isti u različitim tačkama, jer su njene koordinate određene formulama (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

Na slici 5.9 prikazane su linije nivoa funkcije z = 1 / (x 1 x 2) za nivoe 2 i 10 (prava linija 1 / (x 1 x 2) = 2 je označena isprekidanom linijom, a prava linija
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - puna linija).

Slika 5.9 - Gradijent funkcije z \u003d 1 / (x 1 x 2) u različitim točkama

Uzmite, na primjer, tačku (0,5; 1) i izračunajte gradijent u ovoj tački: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Imajte na umu da tačka (0,5; 1) leži na liniji nivoa 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, jer je z = f (0,5; 1) = 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. prikazujemo vektor (-4; -2) na slici 5.9, povezujemo tačku (0.5; 1) sa tačkom (-3.5; -1), jer
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Uzmimo drugu tačku na istoj liniji nivoa, na primjer, tačku (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Izračunajte gradijent u ovoj tački
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Da bismo to prikazali na slici 5.9, povezujemo tačku (1; 0,5) sa tačkom (-1; -3,5), jer (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Uzmimo još jednu tačku na istoj ravni, ali samo sada u nepozitivnoj koordinatnoj četvrtini. Na primjer, tačka (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradijent u ovoj tački će biti
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Prikažimo to na slici 5.9 spajanjem tačke (-0,5; -1) sa tačkom (3,5; 1), jer (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

Predavanje 15

Gradijent funkcije dvije varijable i usmjereni izvod.

Definicija. Funkcija Gradijent

zove vektor

.

Kao što možete vidjeti iz definicije gradijenta funkcije, komponente vektora gradijenta su parcijalni derivati ​​funkcije.

Primjer. Izračunaj gradijent funkcije

u tački A(2,3).

Rješenje. Izračunavamo parcijalne izvode funkcije.

Općenito, gradijent funkcije ima oblik:

=

Zamijenite koordinate tačke A(2,3) u izraze parcijalnih izvoda

Gradijent funkcije u tački A(2,3) ima oblik:

Slično, možemo definirati koncept gradijenta funkcije tri varijable:

Definicija. Gradijentna funkcija tri varijable

zove vektor

Inače, ovaj vektor se može napisati na sljedeći način:

Definicija derivacija smjera.

Neka je data funkcija dvije varijable

i proizvoljan vektor

Uzmite u obzir povećanje ove funkcije dati vektor

One. vektor je kolinearan u odnosu na vektor . Dužina inkrementa argumenta

Derivat u nekom smjeru je granica omjera prirasta funkcije duž datog smjera i dužine prirasta argumenta, kada dužina inkrementa argumenta teži 0.

Formula usmjerenog izvoda.

Na osnovu definicije gradijenta, derivacija funkcije u odnosu na smjer može se izračunati na sljedeći način.

neki vektor. Vektor sa istim smjerom ali single nazovimo dužinu

Koordinate ovog vektora se izračunavaju na sljedeći način:

Iz definicije usmjerene derivacije, usmjereni izvod se može izračunati korištenjem sljedeće formule:

Desna strana ove formule je skalarni proizvod dva vektora

Stoga se derivacija smjera može predstaviti kao sljedeća formula:

Nekoliko važnih svojstava vektora gradijenta slijedi iz ove formule.

Prvo svojstvo gradijenta proizilazi iz očigledne činjenice da tačkasti proizvod dva vektora uzima najveća vrijednost kada su vektori u istom pravcu. Drugo svojstvo proizlazi iz činjenice da je skalarni proizvod okomitih vektora jednak nuli. Osim toga, geometrijsko značenje gradijenta proizilazi iz prvog svojstva - gradijent je vektor duž pravca, čija je derivacija duž pravca najveća. Budući da derivacija smjera određuje tangentu nagiba tangente na površinu funkcije, gradijent je usmjeren duž najvećeg nagiba tangente.

Primjer 2 Za funkciju (iz primjera 1)

Izračunajte derivaciju smjera

u tački A(2,3).

Rješenje. Da biste izračunali derivaciju smjera, trebate izračunati vektor gradijenta u navedenoj tački i jedinični vektor smjerovi (tj. normalizirati vektor ).

Vektor gradijenta izračunat je u primjeru 1:

Izračunajte jedinični vektor smjera:

Izračunavamo derivaciju u smjeru:

#2. Maksimum i minimum funkcije nekoliko varijabli.

Definicija. Funkcija

Ima maksimum u tački (tj. u i ) ako

Definicija. Na potpuno isti način kažemo da je funkcija

Ima minimum u tački (tj. u i ) ako

za sve tačke koje su dovoljno bliske tački i različite od nje.

Maksimum i minimum funkcije nazivaju se ekstremima funkcije, odnosno kažu da funkcija ima ekstrem u datoj tački ako ova funkcija ima maksimum ili minimum u datoj tački.

Na primjer, funkcija

Ima očigledan minimum z = -1 na x = 1 i y = 2.

Ima maksimum u tački u x = 0 i y = 0.

Teorema.(neophodni ekstremni uslovi).

Ako funkcija dostigne ekstrem na , , tada svaki parcijalni izvod prvog reda z ili nestaje na ovim vrijednostima argumenata, ili ne postoji.

Komentar. Ova teorema nije dovoljna za proučavanje pitanja ekstremnih vrijednosti funkcije. Moguće je dati primjere funkcija koje imaju nula parcijalnih izvoda u nekim tačkama, ali nemaju ekstrem u tim tačkama.

Primjer. Funkcija koja ima nula parcijalnih izvoda, ali nema ekstrema.

Zaista:

Dovoljni uslovi za ekstrem.

Teorema. Neka u nekom području koje sadrži tačku , funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode do trećeg reda uključujući; neka je, pored toga, tačka kritična tačka funkcije , tj.

Zatim u ,

Primjer 3.2. Ispitajte funkciju na maksimum i na minimum

Nađimo kritične tačke, tj. tačke u kojima su prve parcijalne derivacije jednake nuli ili ne postoje.

Prvo izračunavamo same parcijalne derivate.

Izjednačavamo parcijalne izvode sa nulom i rješavamo sljedeći sistem linearnih jednačina

Pomnožite drugu jednačinu sa 2 i dodajte je prvoj. Dobijate jednačinu samo od y.

Pronađite i zamijenite u prvoj jednadžbi

Hajde da se transformišemo

Stoga je tačka () kritična.

Izračunajmo druge izvode drugog reda i u njih ubacimo koordinate kritične tačke.

U našem slučaju nije potrebno zamijeniti vrijednosti kritičnih tačaka, jer su drugi derivati ​​brojevi.

Kao rezultat, imamo:

Stoga je pronađena kritična tačka tačka ekstrema. Štaviše, pošto

onda je ovo minimalna tačka.

Definicija 1

Ako za svaki par $(x,y)$ vrijednosti dvije nezavisne varijable iz neke domene, određenu vrijednost$z$, onda se kaže da je $z$ funkcija dvije varijable $(x,y)$. Notacija: $z=f(x,y)$.

Razmotrimo funkciju $z=f(x,y)$, koja je definirana u nekom domenu u prostoru $Oxy$.

shodno tome,

Definicija 3

Ako se svakom trostrukom $(x,y,z)$ vrijednosti tri nezavisne varijable iz neke domene dodijeli određena vrijednost $w$, onda se kaže da je $w$ funkcija tri varijable $(x, y,z)$ u ovoj oblasti.

Oznaka:$w=f(x,y,z)$.

Razmotrimo funkciju $w=f(x,y,z)$, koja je definirana u nekom domenu u prostoru $Oxyz$.

Za datu funkciju definirati vektor za koji su projekcije na koordinatne ose vrijednosti parcijalnih izvoda date funkcije u nekoj tački $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ djelomično y) $.

Definicija 4

Gradijent date funkcije $w=f(x,y,z)$ je vektor $\overrightarrow(gradw) $ sljedećeg oblika:

Teorema 3

Neka je polje gradijenta definirano u nekom skalarnom polju $w=f(x,y,z)$

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Izvod $\frac(\partial w)(\partial s) $ u pravcu datog vektora $\overrightarrow(s) $ jednak je projekciji vektora gradijenta $\overrightarrow(gradw) $ na dati vektor $\overrightarrow(s) $.

Primjer 4

Rješenje:

Izraz za gradijent se nalazi po formuli

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]

shodno tome,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

Primjer 5

Odrediti gradijent date funkcije

u tački $M(1;2;1)$. Izračunajte $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.

Rješenje:

Izraz za gradijent u datoj tački nalazi se po formuli

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Parcijalni derivati ​​imaju oblik:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]

Derivati ​​u tački $M(1;2)$:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

shodno tome,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]

Hajde da navedemo neke svojstva gradijenta:

Derivat date funkcije u datoj tački duž pravca nekog vektora $\overrightarrow(s)$ ima najveću vrijednost ako se smjer datog vektora $\overrightarrow(s)$ poklapa sa smjerom gradijenta. U ovom slučaju, ova najveća vrijednost derivacije se poklapa sa dužinom vektora gradijenta, tj. $|\overrightarrow(gradw) |$.

Derivat date funkcije u odnosu na smjer vektora koji je okomit na vektor gradijenta, tj. $\overrightarrow(gradw) $ je jednako 0. Pošto je $\varphi =\frac(\pi )(2) $, onda je $\cos \varphi =0$; stoga $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

Funkcija Gradijent u tački se naziva vektor čije su koordinate jednake odgovarajućim parcijalnim derivacijama i označava se.

Ako uzmemo u obzir jedinični vektor e=(), onda je prema formuli (3) derivacija u pravcu skalarni proizvod gradijenta i jediničnog vektora koji određuje pravac. Poznato je da je skalarni proizvod dva vektora maksimalan ako imaju isti smjer. Stoga, gradijent funkcije u datoj tački karakterizira smjer i veličinu maksimalnog rasta funkcije u ovoj tački.

Teorema . Ako je funkcija diferencijabilna i u tački M 0 Ako je vrijednost gradijenta različita od nule, tada je gradijent okomit na liniju nivoa koja prolazi dati poen a istovremeno je usmjeren u pravcu povećanja funkcije

ZAKLJUČAK: 1) Izvod funkcije u tački u smjeru određenom gradijentom ove funkcije u navedenoj tački ima maksimalna vrijednost u poređenju sa derivatom u toj tački u bilo kom drugom pravcu.

• 2) Vrijednost izvoda funkcije u pravcu, koji određuje gradijent ove funkcije u datoj tački, jednaka je.
• 3) Poznavajući gradijent funkcije u svakoj tački, moguće je graditi linije nivoa sa nekom greškom. Počnimo od tačke M 0 . Napravimo gradijent u ovoj tački. Postavite smjer okomit na gradijent. Izgradimo mali dio linije nivoa. Razmotrite blisku tačku M 1 , napravite gradijent na njoj i tako dalje.

Ako je u svakoj tački u prostoru ili dijelu prostora definirana vrijednost određene veličine, onda se kaže da je polje te veličine dato. Polje se naziva skalarno ako je razmatrana vrijednost skalarna, tj. dobro okarakterisan svojom numeričkom vrednošću. Na primjer, temperaturno polje. Skalarno polje je dato skalarnom funkcijom tačke u = /(M). Ako se u prostor uvede Dekartov koordinatni sistem, onda postoji funkcija tri varijable x, yt z - koordinate tačke M: Definicija. Nivo površine skalarnog polja je skup tačaka u kojima funkcija f(M) poprima istu vrijednost. Jednačina površine nivoa Primer 1. Pronađite površine nivoa skalarnog polja VEKTORSKA ANALIZA Površine nivoa skalarnog polja i linije nivoa Usmerena derivativna derivacija Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje nivoa -4 po definiciji a Gradient jednačina površine će biti. Ovo je jednadžba sfere (sa F 0) sa središtem na početku. Skalarno polje se naziva ravno ako je polje isto u svim ravnima paralelnim s nekom ravni. Ako se navedena ravan uzme kao ravan xOy, tada funkcija polja neće ovisiti o z koordinati, tj. bit će funkcija samo argumenata x i y, kao i značenja. Jednačina ravnine - Primjer 2. Pronađite linije nivoa skalarnog polja Linije nivoa su date jednačinama. Kod c = 0 dobijamo par linija, dobijamo familiju hiperbola (slika 1). 1.1. Smjerni izvod Neka postoji skalarno polje definirano skalarnom funkcijom u = /(Af). Uzmimo tačku Afo i izaberemo pravac određen vektorom I. Uzmimo drugu tačku M tako da vektor M0M bude paralelan vektoru 1 (slika 2). Označimo dužinu MoM vektora sa A/, a prirast funkcije /(Af) - /(Afo), koji odgovara pomaku D1, sa Di. Stav određuje prosječna brzina promena skalarnog polja po jedinici dužine u datom pravcu Let sada teži nuli tako da vektor M0M ostaje paralelan vektoru I sve vreme. Ako za D/O postoji konačna granica relacije (5), onda se ona naziva derivacijom funkcije u datoj tački Afo na zadati pravac I i označava se simbolom zr! Dakle, po definiciji, ova definicija nije vezana za izbor koordinatnog sistema, odnosno ima **varijantni karakter. Nađimo izraz za derivaciju u odnosu na pravac u Dekartovom koordinatnom sistemu. Neka je funkcija / diferencijabilna u točki. Razmotrimo vrijednost /(Af) u tački. Onda puni prirast funkcije se mogu zapisati u sljedećem obliku: gdje i simboli znače da su parcijalne derivacije izračunate u tački Afo. Stoga su ovdje veličine jfi, ^ kosinus smjera vektora. Budući da su vektori MoM i I kousmjereni, njihovi kosinusi smjera su isti: budući da se M Afo, sve vrijeme nalazi na pravoj liniji, paralelno sa vektorom 1, onda su uglovi konstantni, pa Konačno, iz jednakosti (7) i (8) dobijamo Eamuan i 1. Parcijalne derivacije su izvode funkcije i u smjerovima koordinatnih osa sa vanjskim nno- Primjer 3. Pronađite derivacija funkcije prema tački Vektor ima dužinu. Njegov kosinus smjera: Formulom (9) imat ćemo Činjenica da, znači da skalarno polje u tački u datom smjeru starosti- Za ravno polje, derivacija u pravcu I u tački se izračunava po formuli gdje je a ugao koji formira vektor I sa osom Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) za izračunavanje derivacije duž pravca I u datoj tački Afo ostaje na snazi ​​čak i kada tačka M teži tački Mo duž krive za koju je vektor I tangentan u tački PrISp 4. Izračunajte derivacija skalarnog polja u tački Afo(l, 1). koja pripada paraboli u smjeru ove krive (u smjeru rastuće apscise). Smjer ] parabole u tački je smjer tangente na parabolu u ovoj tački (slika 3). Neka tangenta na parabolu u tački Afo formira ugao o sa osom Ox. Odakle onda usmjeravajući kosinus tangente Izračunajmo vrijednosti i u tački. Sada po formuli (10) dobijamo. Naći derivaciju skalarnog polja u tački u pravcu kružnice. Vektorska jednačina kružnice ima oblik. Nalazimo jedinični vektor m tangente na kružnicu.Tačka odgovara vrijednosti parametra. Gradijent skalarnog polja Neka je skalarno polje definirano skalarnom funkcijom za koju se pretpostavlja da je diferencibilna. Definicija. Gradijent skalarnog polja » u datoj tački M je vektor označen simbolom grad i definisan jednakošću. Jasno je da ovaj vektor zavisi i od funkcije / i od tačke M u kojoj se izračunava njegov izvod. Neka je 1 jedinični vektor u smjeru. Tada se formula za usmjereni izvod može napisati na sljedeći način: . dakle, derivacija funkcije i u pravcu 1 jednaka je tačkasti proizvod gradijenta funkcije u(M) po jediničnom vektoru 1° pravca I. 2.1. Osnovna svojstva gradijenta Teorema 1. Gradijent skalarnog polja je okomit na površinu nivoa (ili na liniju nivoa ako je polje ravno). (2) Nacrtajmo ravnu površinu u = const kroz proizvoljnu tačku M i izaberemo glatku krivu L na ovoj površini koja prolazi kroz tačku M (slika 4). Neka je I vektor tangenta na krivulju L u tački M. Pošto je na površini nivoa u(M) = u(M|) za bilo koju tačku Mj ∈ L, onda je, s druge strane, = (gradu, 1°) . Zbog toga. To znači da su vektori grad i i 1° ortogonalni. Dakle, vektor grad i je ortogonan na bilo koju tangentu na površinu nivoa u tački M. Dakle, on je ortogonan na samu površinu nivoa u tački M. Teorema 2 Gradijent je usmjeren u smjeru rastuće funkcije polja. Ranije smo dokazali da je gradijent skalarnog polja usmjeren duž normale na ravnu površinu, koja može biti usmjerena ili ka porastu funkcije u(M) ili prema njenom smanjenju. Označimo sa n normalu ravnine površine orijentisane u pravcu rastuće funkcije ti(M), a izvod funkcije u nađemo u pravcu ove normale (slika 5). Imamo Pošto prema uslovu sa slike 5 i prema tome VEKTORSKA ANALIZA Skalno polje Površine i linije nivoa Derivat u pravcu Izvod Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta Iz toga sledi da je grad i je usmjerena u istom smjeru kao i onaj za koji smo odabrali normalu n, odnosno u smjeru rastuće funkcije u(M). Teorema 3. Dužina gradijenta je jednaka najvećem izvodu u odnosu na pravac u datoj tački polja, (ovde se uzima max $ u svim mogućim pravcima u datoj tački M do tačke). Imamo gdje je ugao između vektora 1 i grad n. Pošto je najveća vrijednost Primjer 1. Nađite smjer najvećeg i apsolutnog skalarnog polja u tački i također veličinu ove najveće promjene u navedenoj tački. Smjer najveće promjene u skalarnom polju označen je vektorom. Imamo tako. Ovaj vektor određuje smjer najvećeg povećanja polja do tačke. Vrijednost najveće promjene u polju u ovom trenutku je 2,2. Invarijantna definicija gradijenta Veličine koje karakterišu svojstva objekta koji se proučava i ne zavise od izbora koordinatnog sistema nazivaju se invarijantama datog objekta. Na primjer, dužina krive je invarijanta ove krive, ali ugao tangente na krivu sa x-osom nije invarijanta. Na osnovu gornja tri svojstva gradijenta skalarnog polja, možemo dati sljedeću invarijantnu definiciju gradijenta. Definicija. Gradijent skalarnog polja je vektor usmjeren duž normale na površinu razine u smjeru rastuće funkcije polja i koji ima dužinu jednaku najvećoj derivaciji smjera (u datoj tački). Neka je jedinični normalni vektor usmjeren u smjeru rastućeg polja. Zatim Primjer 2. Pronađite gradijent udaljenosti - neka fiksna tačka, i M(x,y,z) - trenutni. 4 Imamo gdje je jedinični vektor smjera. Pravila za izračunavanje gradijenta gdje je c konstantan broj. Gore navedene formule se dobijaju direktno iz definicije gradijenta i svojstava izvoda. Prema pravilu diferencijacije proizvoda. Dokaz je sličan dokazu svojstva. Neka je F(u) diferencijabilna skalarna funkcija. Tada 4 Prema definiciji gradijenta, imamo Primijeni na sve pojmove na desnoj strani pravilo diferencijacije složena funkcija. Dobijamo Konkretno, Formula (6) slijedi iz ravni formule na dvije fiksne tačke ove ravni. Razmotrimo proizvoljnu elipsu sa fokusima Fj i F] i dokažimo da svaki zrak svjetlosti koji izlazi iz jednog fokusa elipse, nakon odbijanja od elipse, ulazi u njen drugi fokus. Linije nivoa funkcije (7) su VEKTORSKA ANALIZA Skalarna polja Površine i linije nivoa Usmjerena derivacija Izvod Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila proračuna gradijenta Jednačine (8) opisuju familiju elipsi sa žarištima u tačkama F ) i Fj. Prema rezultatu primjera 2, imamo i radijus vektori. povučen u tačku P(x, y) iz žarišta F| i Fj, te stoga leži na simetrali ugla između ovih radijus vektora (slika 6). Prema Tooromu 1, gradijent PQ je okomit na elipsu (8) u tački. Stoga, Sl.6. normala na elipsu (8) u bilo kojoj tački deli ugao između vektora radijusa povučenih u ovu tačku. Odavde i iz činjenice da je upadni ugao jednak uglu refleksije dobijamo: zrak svetlosti koji izlazi iz jednog fokusa elipse, reflektujući se od njega, sigurno će pasti u drugi fokus ove elipse.