): ⟨a | b ⟩ (\displaystyle \langle a|b\rangle )

U najjednostavnijem slučaju običnog prostora, skalarni proizvod nenultih vektora i b (\displaystyle \mathbf (b) ) definira se kao proizvod dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih:

(a, b) = | a | | b | cos ⁡ (θ) (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=|\mathbf (a) ||\mathbf (b) |\cos(\theta))

Ekvivalentna definicija: skalarni proizvod je proizvod dužine projekcije prvog vektora na drugi i dužine drugog vektora (vidi sliku). Ako je barem jedan od vektora nula, onda se proizvod smatra jednakim nuli.

Koncept skalarnog proizvoda također ima veliki broj generalizacije za različite vektorske prostore, odnosno za skupove vektora sa operacijama sabiranja i množenja skalarima. Dato gore geometrijska definicija skalarni proizvod je općenito neprikladan, jer nije jasno što se podrazumijeva pod dužinama vektora i uglom između njih. Stoga se u modernoj matematici koristi obrnuti pristup: skalarni proizvod je aksiomatski definiran, a već kroz njega - dužine i uglovi. Konkretno, unutrašnji proizvod je definisan za kompleksne vektore, višedimenzionalne i beskonačno-dimenzionalne prostore, u tenzorskoj algebri.

Tačkasti proizvod i njegove generalizacije igraju izuzetno veliku ulogu u vektorskoj algebri, teoriji mnogostrukosti, mehanici i fizici. Na primjer, rad sile pri mehaničkom pomaku jednak je skalarnom proizvodu vektora sile i vektora pomaka.

Definicija

Definicija u Euklidskom prostoru

IN n (\displaystyle n)-dimenzionalni realni euklidski prostorni vektori definisani su svojim koordinatama - skupovima n (\displaystyle n) realni brojevi u ortonormalnoj osnovi. Možete definirati skalarni proizvod vektora ovako:

(a , b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + anbn (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=a_(1)b_(1)+ a_(2)b_(2)+a_(3)b_(3)+\dots +a_(n)b_(n))

Provjera pokazuje da su sva tri aksioma zadovoljena.

Na primjer, skalarni proizvod vektora ( 1 , 3 , − 5 ) (\displaystyle \(1,3,-5\)) I ( 4 , − 2 , − 1 ) (\displaystyle \(4,-2,-1\))će se izračunati ovako:

( 1 , 3 , − 5 ) ⋅ ( 4 , − 2 , − 1 ) = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 2) + (− 5) ⋅ (− 1) = 4 − 6 + 5 = 3. (\ displaystyle (\begin(aligned)\ \(1,3,-5\)\cdot \(4,-2,-1\)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5) \cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end(poravnano)))

Za kompleksne vektore a = ( a 1 , a 2 … an ) , b = ( b 1 , b 2 … bn ) (\displaystyle \mathbf (a) =\(a_(1),a_(2)\dots a_(n)\ ),\mathbf (b) =\(b_(1),b_(2)\dots b_(n)\)) slično definiraj:

(a , b) = ∑ k = 1 nakbk ¯ = a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + ⋯ + anbn ¯ (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=\sum _( k=1)^(n)a_(k)(\overline (b_(k)))=a_(1)(\overline (b_(1)))+a_(2)(\overline (b_(2) ))+\cdots +a_(n)(\overline (b_(n)))).

Primjer (za n = 2 (\displaystyle n=2)): ( 1 + i , 2 ) ⋅ ( 2 + i , i ) = (1 + i) ⋅ (2 + i ¯) + 2 ⋅ i ¯ = (1 + i) ⋅ (2 − i) + 2 ⋅ (− i) = 3 − i . (\displaystyle \(1+i,2\)\cdot \(2+i,i\)=(1+i)\cdot ((\overline (2+i)))+2\cdot (\overline ( i))=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.)

Povezane definicije

U modernom aksiomatskom pristupu, već na osnovu koncepta skalarnog proizvoda vektora, uvode se sljedeći derivativni koncepti:

Dužina vektor, koji se obično shvata kao njegova euklidska norma:

| a | = (a , a) (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt ((\mathbf (a) ,\mathbf (a)))))

(izraz "dužina" se obično primjenjuje na konačnodimenzionalne vektore, ali u slučaju izračunavanja dužine zakrivljena stazačesto se koristi u slučaju beskonačno dimenzionalnih prostora).

Za bilo koje elemente a , b (\displaystyle \mathbf (a) ,\mathbf (b) ) vektorski prostor sa skalarnim proizvodom vrijedi sljedeća nejednakost: | (a, b) | 2 ⩽ (a , a) (b, b) (\displaystyle \vert (\mathbf (a) ,\mathbf (b))\vert ^(2)\leqslant (\mathbf (a) ,\mathbf (a) )(\mathbf (b) ,\mathbf (b)))

Ako je prostor pseudo-euklidski, koncept ugla je definiran samo za vektore koji ne sadrže izotropne linije unutar sektora formiranog od vektora. U ovom slučaju, sam ugao se uvodi kao broj čiji je hiperbolički kosinus jednak omjeru modula skalarnog proizvoda ovih vektora i proizvoda njihovih dužina (normi):

| (a, b) | = | a | | b | ch ⁡ φ . (\displaystyle |(\mathbf (a) ,\mathbf (b))|=|\mathbf (a) ||\mathbf (b) |\operatorname (ch) \varphi .)

• ortogonalno(okomite) su vektori čiji je skalarni proizvod jednak nuli. Ova definicija se odnosi na svaki prostor sa pozitivnim određenim unutrašnjim proizvodom. Na primjer, ortogonalni polinomi su zapravo ortogonalni (u smislu ove definicije) jedni prema drugima u nekom Hilbertovom prostoru.
• Prostor (realan ili kompleksan) sa pozitivno-definiranim unutrašnjim proizvodom naziva se pre-Hilbertov prostor.
  • U ovom slučaju, konačno-dimenzionalni realni prostor sa pozitivno-definiranim skalarnim proizvodom naziva se i Euklidski, a kompleksni hermitski ili unitarni prostor.
• Slučaj kada skalarni proizvod nije predznakom određen dovodi do tzv. prostori sa neodređenom metrikom. Skalarni proizvod u takvim prostorima više ne generiše normu (i obično se dodatno uvodi). Konačno-dimenzionalni realni prostor sa neodređenom metrikom naziva se pseudo-euklidskim (najvažniji poseban slučaj takvog prostora je prostor Minkovskog). Među beskonačno-dimenzionalnim prostorima s neodređenom metrikom važnu ulogu igrati Pontryagin prostore i Kerin prostore.

Svojstva

• Kosinus teorema se lako izvodi korištenjem dot proizvoda: | B C | 2 = B C → 2 = (A C → − A B →) 2 = ⟨ A C → − A B → , A C → − A B → ⟩ = A C → 2 + A B → 2 − 2 ⟨ A C → , A B → ⟩ = | A B | 2 + | A C | 2 − 2 | A B | | A C | cos ⁡ A ^ (\displaystyle |BC|^(2)=(\vec (BC))^(2)=((\vec (AC))-(\vec (AB)))^(2)=\ langle (\vec (AC))-(\vec (AB)),(\vec (AC))-(\vec (AB))\rangle =(\vec (AC))^(2)+(\vec (AB))^(2)-2\langle (\vec (AC)),(\vec (AB))\rangle =|AB|^(2)+|AC|^(2)-2|AB| |AC|\cos(\hat(A)))
• Procjena ugla između vektora: u formuli (a, b) = | a | ⋅ | b | ⋅ cos ⁡ ∠ (a , b) (\displaystyle (\mathbf (\mathbf (a) ) ,\mathbf (b))=|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |\cdot \cos \ugao ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))) predznak je određen samo kosinusom ugla (vektorske norme su uvijek pozitivne). Dakle, tačkasti proizvod > 0 ako je ugao između vektora oštar, i< 0, если угол между векторами тупой.
• Projekcija vektora na smjer određen pomoću jedinični vektor e (\displaystyle \mathbf (e) ): a e = (a , e) = | a | | e | cos ⁡ ∠ (a, e) = | a | cos ⁡ ∠ (a , e) (\displaystyle a_(e)=(\mathbf (a) ,\mathbf (e))=|\mathbf (a) ||\mathbf (e) |\cos \angle (( \mathbf (a) ,\mathbf (e)))=|\mathbf (a) |\cos \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (e)))), jer | e | = 1. (\displaystyle |\mathbf (e) |=1.)
• Područje paralelograma raspoređenog sa dva vektora a (\displaystyle \mathbf (a) \ ) I b (\displaystyle \mathbf (b) \ ), je jednako

(a , a) (b, b) − (a, b) 2 (\displaystyle (\sqrt ((\mathbf (a) ,\mathbf (a))(\mathbf (b) ,\mathbf (b)) -(\mathbf (a) ,\mathbf (b))^(2)))\ )

Ako su u zadatku i dužine vektora i ugao između njih prikazani "na srebrnom tanjiru", tada uslov zadatka i njegovo rešenje izgleda ovako:

Primjer 1 Dati su vektori. Pronađite skalarni proizvod vektora ako su njihove dužine i ugao između njih predstavljeni sljedećim vrijednostima:

Vrijedi i druga definicija, koja je potpuno ekvivalentna definiciji 1.

Definicija 2. Skalarni proizvod vektora je broj (skalar) jednak proizvodu dužine jednog od ovih vektora i projekcije drugog vektora na osu određenu prvim od ovih vektora. Formula prema definiciji 2:

Zadatak ćemo riješiti koristeći ovu formulu nakon sljedeće važne teorijske tačke.

Definicija skalarnog proizvoda vektora u terminima koordinata

Isti broj se može dobiti ako su pomnoženi vektori dati njihovim koordinatama.

Definicija 3. Tačkasti proizvod vektora je broj jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata.

Na površini

Ako su dva vektora i u ravni definisana sa svoja dva Kartezijanske koordinate

tada je tačkasti proizvod ovih vektora jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata:

.

Primjer 2 Odrediti brojčanu vrijednost projekcije vektora na osu paralelnu vektoru.

Rješenje. Pronalazimo skalarni proizvod vektora dodavanjem parnih proizvoda njihovih koordinata:

Sada moramo izjednačiti rezultirajući skalarni proizvod sa proizvodom dužine vektora i projekcije vektora na os paralelnu vektoru (u skladu sa formulom).

Dužinu vektora nalazimo kao Kvadratni korijen iz zbira kvadrata njegovih koordinata:

.

Napišite jednačinu i riješite je:

Odgovori. Željena brojčana vrijednost je minus 8.

U svemiru

Ako su dva vektora i u prostoru definirana sa svoje tri kartezijanske pravokutne koordinate

,

tada je skalarni proizvod ovih vektora također jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata, samo što već postoje tri koordinate:

.

Zadatak pronalaženja skalarnog proizvoda na razmatrani način je nakon analize svojstava skalarnog proizvoda. Jer u zadatku će biti potrebno odrediti koji ugao formiraju pomnoženi vektori.

Svojstva tačkastog proizvoda vektora

Algebarska svojstva

1. (komutativno svojstvo: vrijednost njihovog skalarnog proizvoda se ne mijenja od promjene mjesta pomnoženih vektora).

2. (asocijativno svojstvo u odnosu na numerički faktor: skalarni proizvod vektora pomnožen nekim faktorom i drugog vektora jednak je skalarnom proizvodu ovih vektora pomnoženim istim faktorom).

3. (distributivno svojstvo u odnosu na zbir vektora: skalarni proizvod zbira dva vektora trećim vektorom jednak je zbiru skalarnih proizvoda prvog vektora trećim vektorom i drugog vektora trećim vektorom).

4. (skalarni kvadrat vektora veći od nule) if je vektor različit od nule, i , if je nulti vektor.

Geometrijska svojstva

U definicijama operacije koja se proučava, već smo se dotakli pojma ugla između dva vektora. Vrijeme je da razjasnimo ovaj koncept.

Na gornjoj slici vidljiva su dva vektora koji su dovedeni na zajednički početak. I prva stvar na koju morate obratiti pažnju: postoje dva ugla između ovih vektora - φ 1 I φ 2 . Koji se od ovih uglova pojavljuje u definicijama i svojstvima skalarnog proizvoda vektora? Zbir razmatranih uglova je 2 π i stoga su kosinusi ovih uglova jednaki. Definicija dot proizvoda uključuje samo kosinus ugla, ne i vrijednost njegovog izraza. Ali samo jedan ugao se razmatra u nekretninama. A ovo je jedan od dva ugla koji ne prelazi π tj. 180 stepeni. Ovaj ugao je prikazan na slici kao φ 1 .

1. Pozivaju se dva vektora ortogonalno I ugao između ovih vektora je pravi (90 stepeni ili π /2 ) ako skalarni proizvod ovih vektora je nula :

.

Ortogonalnost u vektorskoj algebri je okomitost dva vektora.

2. Dva vektora različita od nule čine oštar ugao (od 0 do 90 stepeni, ili, što je isto, manje π tačkasti proizvod je pozitivan .

3. Dva vektora različita od nule čine tupi ugao (od 90 do 180 stepeni, ili, što je isto - više π /2 ) ako i samo ako tačkasti proizvod je negativan .

Primjer 3 Vektori su dati u koordinatama:

.

Izračunajte produkte svih parova datih vektora. Koji ugao (oštar, pravi, tup) formiraju ovi parovi vektora?

Rješenje. Izračunat ćemo zbrajanjem proizvoda odgovarajućih koordinata.

Dobili smo negativan broj, tako da vektori formiraju tup ugao.

Primljeno pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

Dobili smo nulu, tako da vektori formiraju pravi ugao.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Primjer 4 S obzirom na dužine dva vektora i ugao između njih:

.

Odrediti pri kojoj vrijednosti broja su vektori i ortogonalni (upravni).

Rješenje. Vektore množimo prema pravilu množenja polinoma:

Sada izračunajmo svaki pojam:

.

Sastavimo jednačinu (jednakost proizvoda nuli), damo slične članove i riješimo jednačinu:

Odgovor: dobili smo vrijednost λ = 1.8, pri čemu su vektori ortogonalni.

Primjer 5 Dokazati da je vektor ortogonalno (okomito) na vektor

Rješenje. Da bismo provjerili ortogonalnost, množimo vektore i kao polinome, zamjenjujući izraz dat u uvjetu problema umjesto njega:

.

Da biste to učinili, trebate pomnožiti svaki član (član) prvog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode:

.

Kao rezultat toga, dospjeli dio se smanjuje. Dobija se sljedeći rezultat:

Zaključak: kao rezultat množenja, dobili smo nulu, dakle, dokazana je ortogonalnost (perpendikularnost) vektora.

Riješite problem sami, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6 S obzirom na dužine vektora i , i ugao između ovih vektora je π /4 . Odredite po kojoj vrijednosti μ vektori i međusobno su okomiti.

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Matrični prikaz skalarnog proizvoda vektora i proizvoda n-dimenzionalnih vektora

Ponekad je, radi jasnoće, korisno predstaviti dva pomnožena vektora u obliku matrica. Tada je prvi vektor predstavljen kao matrica reda, a drugi - kao matrica stupaca:

Tada će skalarni proizvod vektora biti proizvod ovih matrica :

Rezultat je isti kao onaj dobiven metodom koju smo već razmatrali. Dobili smo jedan jedini broj, a proizvod reda matrice na kolonu matrice je također jedan jedini broj.

U matričnom obliku, zgodno je predstaviti proizvod apstraktnih n-dimenzionalnih vektora. Dakle, proizvod dva četvorodimenzionalna vektora će biti proizvod matrice reda sa četiri elementa sa matricom kolone takođe sa četiri elementa, proizvod dva petodimenzionalna vektora će biti proizvod matrice reda sa pet elemenata po matrica stupaca također sa pet elemenata, i tako dalje.

Primjer 7 Pronađite tačkaste proizvode parova vektora

,

koristeći matričnu reprezentaciju.

Rješenje. Prvi par vektora. Prvi vektor predstavljamo kao matricu reda, a drugi kao matricu stupaca. Nalazimo skalarni proizvod ovih vektora kao proizvod matrice reda na matricu stupaca:

Slično, predstavljamo drugi par i nalazimo:

Kao što vidite, rezultati su isti kao za iste parove iz primjera 2.

Ugao između dva vektora

Izvođenje formule za kosinus ugla između dva vektora je vrlo lijepo i sažeto.

Da izrazimo tačkasti proizvod vektora

(1)

u koordinatnom obliku, prvo nalazimo skalarni proizvod ortova. Skalarni proizvod vektora sa samim sobom je po definiciji:

Ono što je napisano u gornjoj formuli znači: skalarni proizvod vektora sa samim sobom jednak je kvadratu njegove dužine. Kosinus nule jednak je jedan, pa će kvadrat svakog orta biti jednak jedan:

Pošto su vektori

su po parovima okomite, tada će parni proizvodi ortova biti jednaki nuli:

Sada izvršimo množenje vektorskih polinoma:

U desnu stranu jednakosti zamjenjujemo vrijednosti odgovarajućih skalarnih proizvoda ortova:

Dobijamo formulu za kosinus ugla između dva vektora:

Primjer 8 Dato tri boda A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Pronađite ugao.

Rješenje. Nalazimo koordinate vektora:

,

.

Koristeći formulu za kosinus ugla, dobijamo:

Shodno tome, .

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Primjer 9 Zadana dva vektora

Pronađite zbir, razliku, dužinu, tačkasti proizvod i ugao između njih.

2.Razlika

Predavanje: Vektorske koordinate; tačkasti proizvod vektora; ugao između vektora

Vektorske koordinate

Dakle, kao što je ranije spomenuto, vektor je usmjereni segment koji ima svoj početak i kraj. Ako su početak i kraj predstavljeni nekim tačkama, onda one imaju svoje koordinate na ravni ili u prostoru.

Ako svaka tačka ima svoje koordinate, onda možemo dobiti koordinate cijelog vektora.

Pretpostavimo da imamo neki vektor čiji početak i kraj vektora imaju sljedeće oznake i koordinate: A(A x ; Ay) i B(B x ; By)

Da dobijem koordinate dati vektor, potrebno je oduzeti odgovarajuće početne koordinate od koordinata kraja vektora:

Da biste odredili koordinate vektora u prostoru, koristite sljedeću formulu:

Tačkasti proizvod vektora

Postoje dva načina za definiranje koncepta točkastog proizvoda:

• Geometrijski način. Prema njemu, skalarni proizvod jednak je proizvodu vrijednosti ovih modula i kosinusa ugla između njih.

• algebarsko značenje. Sa stanovišta algebre, skalarni proizvod dva vektora je određena vrijednost koja proizlazi iz zbira proizvoda odgovarajućih vektora.

Ako su vektori dati u prostoru, onda biste trebali koristiti sličnu formulu:

Svojstva:

• Ako dva identična vektora pomnožite skalarno, tada će njihov skalarni proizvod biti nenegativan:

• Ako se ispostavi da je skalarni proizvod dva identična vektora jednak nuli, onda se ovi vektori smatraju nula:

• Ako se određeni vektor pomnoži sam sa sobom, tada će skalarni proizvod biti jednak kvadratu njegovog modula:

• Skalarni proizvod ima komunikativnu osobinu, to jest, skalarni proizvod se neće promijeniti permutacijom vektora:

• Skalarni proizvod vektora koji nisu nula može biti nula samo ako su vektori jedan na drugi okomiti:

• Za skalarni proizvod vektora vrijedi komutativni zakon u slučaju množenja jednog od vektora brojem:

• Sa tačkastim proizvodom možete koristiti i distributivno svojstvo množenja:

Ugao između vektora

Ugao između vektora

Razmotrimo dva data vektora $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$. Odvojimo vektore $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ i $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ iz proizvoljno odabrane tačke $O$, tada se ugao $AOB$ naziva ugao između vektora $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ (slika 1).

Slika 1.

Imajte na umu da ako su vektori $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ kosmjerni ili ako je jedan od njih nulti vektor, tada je ugao između vektora jednak $0^0$.

Oznaka: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Koncept skalarnog proizvoda vektora

Matematički, ova definicija se može napisati na sljedeći način:

Skalarni proizvod može biti nula u dva slučaja:

Ako će jedan od vektora biti nulti vektor (Pošto je tada njegova dužina nula).

Ako su vektori međusobno okomiti (tj. $cos(90)^0=0$).

Imajte na umu da je unutrašnji proizvod veći od nule ako je ugao između ovih vektora oštar (jer $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , i manji od nule ako je ugao između ovih vektora tup (pošto $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\)

Koncept skalarnog kvadrata povezan je s konceptom skalarnog proizvoda.

Definicija 2

Skalarni kvadrat vektora $\overrightarrow(a)$ je skalarni proizvod ovog vektora sa samim sobom.

Dobijamo da je skalarni kvadrat

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Izračunavanje skalarnog proizvoda po koordinatama vektora

Pored standardnog načina pronalaženja vrijednosti dot proizvoda, koji slijedi iz definicije, postoji još jedan način.

Hajde da to razmotrimo.

Neka vektori $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ imaju koordinate $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$, respektivno.

Teorema 1

Skalarni proizvod vektora $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ jednak je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata.

Matematički, ovo se može napisati na sljedeći način

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dokaz.

Teorema je dokazana.

Ova teorema ima nekoliko implikacija:

Korol 1: Vektori $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ su okomiti ako i samo ako $a_1a_2+b_1b_2=0$

Posljedica 2: Kosinus ugla između vektora je $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Svojstva tačkastog proizvoda vektora

Za bilo koja tri vektora i realni broj $k$ vrijedi sljedeće:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Ovo svojstvo slijedi iz definicije skalarnog kvadrata (Definicija 2).

zakon o raseljavanju:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Ovo svojstvo proizlazi iz definicije unutrašnjeg proizvoda (Definicija 1).

Distributivno pravo:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end (nabrojati)

Prema teoremi 1, imamo:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Zakon o kombinaciji:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end (nabrojati)

Prema teoremi 1, imamo:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Primjer problema za izračunavanje skalarnog proizvoda vektora

Primjer 1

Pronađite unutrašnji proizvod vektora $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ ako je $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$, a ugao između njih je $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Rješenje.

Koristeći definiciju 1, dobijamo

Za $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Za $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Za $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Za $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ desno)=-3\sqrt(2)\]

Definicija 1

Skalarni proizvod vektora naziva se broj jednak proizvodu dina ovih vektora i kosinusa ugla između njih.

Zapis za proizvod vektora a → i b → ima oblik a → , b → . Pretvorimo u formulu:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → i b → označavaju dužine vektora, a → , b → ^ označavaju ugao između datih vektora. Ako je barem jedan vektor nula, odnosno ima vrijednost 0, tada će rezultat biti nula, a → , b → = 0

Kada množimo vektor sam po sebi, dobijamo kvadrat njegove dine:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definicija 2

Skalarno množenje vektora samo po sebi naziva se skalarni kvadrat.

Izračunato prema formuli:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Pisanje a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → pokazuje da je npb → a → numerička projekcija a → na b → , npa → a → - projekcija b → na a → respektivno.

Formuliramo definiciju proizvoda za dva vektora:

Skalarni proizvod dva vektora a → po b → naziva se proizvod dužine vektora a → projekcijom b → smjerom a → ili proizvod dužine b → projekcijom a →, respektivno.

Točkasti proizvod u koordinatama

Izračunavanje skalarnog proizvoda može se izvršiti preko koordinata vektora u dati avion ili u svemiru.

Skalarni proizvod dva vektora na ravni, u trodimenzionalnom prostoru, naziva se zbir koordinata datih vektora a → i b → .

Prilikom izračunavanja na ravni tačkastog proizvoda datih vektora a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) u Dekartovom sistemu, koristite:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

za trodimenzionalni prostor primjenjiv izraz:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Zapravo, ovo je treća definicija dot proizvoda.

Dokažimo to.

Dokaz 1

Da bismo to dokazali, koristimo a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by za vektore a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) na kartezijanskom sistem.

Vektore treba odgoditi

O A → = a → = a x, a y i O B → = b → = b x, b y.

Tada će dužina vektora A B → biti jednaka A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Posmatrajmo trougao O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) je tačno, na osnovu kosinusne teoreme.

Po uslovu se vidi da je O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , pa formulu za nalaženje ugla između vektora pišemo drugačije

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Tada iz prve definicije slijedi da je b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , pa (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Primjenom formule za izračunavanje dužine vektora dobijamo:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + po 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay po

Dokažimo jednakosti:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– odnosno za vektore trodimenzionalnog prostora.

Skalarni proizvod vektora sa koordinatama govori da je skalarni kvadrat vektora jednak zbroju kvadrata njegovih koordinata u prostoru i na ravni. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) i (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Tačkasti proizvod i njegova svojstva

Postoje svojstva tačkastog proizvoda koja vrijede za a → , b → i c → :

1. komutativnost (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivnost (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. asocijativno svojstvo (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - bilo koji broj;
4. skalarni kvadrat je uvijek veći od nule (a → , a →) ≥ 0, gdje je (a → , a →) = 0 kada je a → nula.

Primjer 1

Svojstva se objašnjavaju definicijom proizvoda tačke u ravni i osobinama sabiranja i množenja realnih brojeva.

Dokazati svojstvo komutativnosti (a → , b →) = (b → , a →) . Iz definicije imamo da je (a → , b →) = a y b y + a y b y i (b → , a →) = b x a x + b y a y.

Po svojstvu komutativnosti, jednakosti a x · b x = b x · a x i a y · b y = b y · a y su tačne, pa su a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Iz toga slijedi da je (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivnost vrijedi za sve brojeve:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

i (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

dakle imamo

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Točkasti proizvod s primjerima i rješenjima

Svaki problem takvog plana rješava se korištenjem svojstava i formula za skalarni proizvod:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y ili (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Pogledajmo neke primjere rješenja.

Primjer 2

Dužina a → je 3, dužina b → je 7. Nađite tačkasti proizvod ako je ugao 60 stepeni.

Rješenje

Po uslovu imamo sve podatke, pa računamo po formuli:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Odgovor: (a → , b →) = 21 2 .

Primjer 3

Dati vektori a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Šta je skalarni proizvod.

Rješenje

U ovom primjeru razmatra se formula za izračunavanje koordinata, budući da su one navedene u iskazu problema:

(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Odgovor: (a → , b →) = - 9

Primjer 4

Pronađite unutrašnji proizvod A B → i A C → . Na koordinatnu ravan date tačke A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) .

Rješenje

Za početak izračunavaju se koordinate vektora, budući da su koordinate tačaka date uslovom:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Zamjenom u formulu koristeći koordinate, dobijamo:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Odgovor: (A B → , A C →) = 28 .

Primjer 5

Dati vektori a → = 7 m → + 3 n → i b → = 5 m → + 8 n → , pronađite njihov proizvod. m → je jednako 3 i n → je jednako 2 jedinice, one su okomite.

Rješenje

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Primjenom distributivnog svojstva dobijamo:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Uzimamo koeficijent izvan predznaka proizvoda i dobijamo:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Svojstvom komutativnosti transformiramo:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Kao rezultat, dobijamo:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Sada primjenjujemo formulu za skalarni proizvod sa uglom određenim uslovom:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Odgovor: (a → , b →) = 411

Ako postoji numerička projekcija.

Primjer 6

Pronađite unutrašnji proizvod a → i b → . Vektor a → ima koordinate a → = (9 , 3 , - 3), projekcija b → ima koordinate (- 3 , - 1 , 1) .

Rješenje

Po uslovu, vektori a → i projekcija b → su suprotno usmereni, jer a → = - 1 3 npa → b → → , pa projekcija b → odgovara dužini npa → b → → , a sa “-” znak:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Zamjenom u formulu dobijamo izraz:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Odgovor: (a → , b →) = - 33 .

Zadaci s poznatim skalarnim proizvodom, gdje je potrebno pronaći dužinu vektora ili numeričke projekcije.

Primjer 7

Koju vrijednost treba uzeti λ za dati skalarni proizvod a → \u003d (1, 0, λ + 1) i b → \u003d (λ, 1, λ) bit će jednak -1.

Rješenje

Iz formule se vidi da je potrebno pronaći zbir proizvoda koordinata:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

U datom imamo (a → , b →) = - 1 .

Da bismo pronašli λ , izračunavamo jednačinu:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , dakle λ = - 1 .

Odgovor: λ = - 1 .

Fizičko značenje skalarnog proizvoda

Mehanika razmatra primenu tačkastog proizvoda.

Kada radite A sa konstantnom silom F → telo koje se kreće od tačke M do N, možete pronaći proizvod dužina vektora F → i MN → sa kosinusom ugla između njih, što znači da je rad jednak na proizvod vektora sile i pomaka:

A = (F → , M N →) .

Primjer 8

kreće se materijalna tačka 3 metra pod djelovanjem sile jednake 5 Ntona usmjereno je pod uglom od 45 stepeni u odnosu na os. Pronaci .

Rješenje

Pošto je rad proizvod vektora sile i pomaka, onda, na osnovu uslova F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 °, dobijamo A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Odgovor: A = 15 2 2 .

Primjer 9

Materijalna tačka, krećući se od M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod dejstvom sile F → = (3, 1, 2), radila je jednaka 13 J. Izračunajte dužina pokreta.

Rješenje

Za date koordinate vektora M N → imamo M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Formulom za pronalaženje rada sa vektorima F → = (3 , 1 , 2) i MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) dobijamo A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Pod uslovom je dato da je A = 13 J, što znači 22 + 3 λ = 13. To implicira λ = - 3 , dakle M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Da bismo pronašli dužinu putovanja M N → , primjenjujemo formulu i zamjenjujemo vrijednosti:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Odgovor: 158 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter