Definicija osnove. Sistem vektora čini osnovu ako:

1) linearno je nezavisna,

2) bilo koji vektor prostora kroz njega je linearno izražen.

Primjer 1 Osnova prostora: .

2. U sistemu vektora vektori su osnova: , jer linearno izraženo u terminima vektora.

Komentar. Da biste pronašli osnovu datog sistema vektora, potrebno je:

1) upisati koordinate vektora u matricu,

2) preko elementarne transformacije dovesti matricu u trouglasti oblik,

3) redovi matrice različiti od nule će biti sistemsku osnovu,

4) broj vektora u bazi je jednak rangu matrice.

Kronecker-Capelli teorema

Kronecker-Capelli teorema daje iscrpan odgovor na pitanje konzistentnosti proizvoljan sistem linearne jednačine sa nepoznatim

Kronecker–Capelli teorem. Sistem linearnih algebarskih jednačina je konzistentan ako i samo ako je rang proširene matrice sistema jednak rangu glavne matrice, .

Algoritam za pronalaženje svih rješenja konzistentnog sistema linearnih jednačina slijedi iz Kronecker–Capellijeve teoreme i sljedećih teorema.

Teorema. Ako je rang zglobnog sistema jednak je broju nepoznato, onda sistem ima jedinstveno rješenje.

Teorema. Ako je rang zglobnog sistema manje od broja nepoznato, onda sistem ima beskonačan broj rješenja.

Algoritam za rješavanje proizvoljnog sistema linearnih jednačina:

1. Pronađite rangove glavne i proširene matrice sistema. Ako nisu jednaki (), onda je sistem nekonzistentan (nema rješenja). Ako su rangovi jednaki ( , onda je sistem konzistentan.

2. Za kompatibilan sistem, nađimo neki minor, čiji redosled određuje rang matrice (takav minor se zove osnovni). Hajde da komponujemo novi sistem iz jednadžbi u kojima su koeficijenti nepoznatih uključeni u osnovni minor (ove nepoznate se nazivaju glavnim nepoznanicama), odbacujemo ostale jednačine. Glavne nepoznanice sa koeficijentima ostavljamo na lijevoj strani, a preostale nepoznanice (one se nazivaju slobodne nepoznanice) prenosimo na desnu stranu jednadžbe.

3. Nađimo izraze glavnih nepoznanica u terminima slobodnih. Dobijamo opšte rešenje sistema.

4. Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobijamo odgovarajuće vrijednosti glavnih nepoznanica. Na taj način nalazimo određena rješenja originalnog sistema jednačina.

Linearno programiranje. Osnovni koncepti

Linearno programiranje je smjer matematičkog programiranja koji proučava metode za rješavanje ekstremnih problema, koje karakterizira linearni odnos između varijabli i linearnog kriterija.

Neophodan uslov Izjava o problemu linearnog programiranja su ograničenja dostupnosti resursa, veličine potražnje, proizvodnog kapaciteta preduzeća i drugih faktora proizvodnje.

Suština linearnog programiranja je pronalaženje tačaka najvećeg ili najmanju vrijednost neka funkcija sa određenim skupom ograničenja nametnutih argumentima i generatorima sistem ograničenja , koji obično ima beskonačan broj rješenja. Svaki skup varijabilnih vrijednosti (argumenata funkcije F ) koji zadovoljavaju sistem ograničenja naziva se prihvatljiv plan problemi linearnog programiranja. Funkcija F , čiji je maksimum ili minimum određen, naziva se ciljna funkcija zadataka. Dopušteni plan na kojem se postiže maksimum ili minimum funkcije F , zove se optimalan plan zadataka.

Sistem ograničenja koji definiše skup planova diktiran je uslovima proizvodnje. Problem linearnog programiranja ( ZLP ) je izbor najprofitabilnijeg (optimalnog) iz skupa izvodljivih planova.

Opća formulacija problema linearnog programiranja je sljedeća:

Postoje neke varijable x \u003d (x 1, x 2, ... x n) i funkcija ovih varijabli f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , koji nosi ime cilj funkcije. Postavljen je zadatak: pronaći ekstrem (maksimum ili minimum) funkcije cilja f(x) pod uslovom da su varijable x pripadaju nekom području G :

Ovisno o vrsti funkcije f(x) i oblasti G i razlikuju sekcije matematičkog programiranja: kvadratno programiranje, konveksno programiranje, cjelobrojno programiranje, itd. Linearno programiranje karakteriše činjenica da
a) funkcija f(x) je linearna funkcija varijable x 1, x 2, ... x n
b) područje G određuje sistem linearno jednakosti ili nejednakosti.

Linearna kombinacija vektora je vektor
, gdje su λ 1 , ... , λ m proizvoljni koeficijenti.

Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koji ima najmanje jedan koeficijent različit od nule.

Vektorski sistem
naziva se linearno nezavisnim ako u bilo kojem od svojih linearna kombinacija jednak , svi koeficijenti su nula.

Osnova sistema vektora
poziva se njegov neprazan linearno nezavisan podsistem kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sistema.

Primjer 2. Naći osnovu sistema vektora = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) i izraziti preostale vektore u terminima baze.

Rješenje: Gradimo matricu u kojoj raspoređujemo koordinate ovih vektora u stupce. Dovodimo ga u stepenasti oblik.

~
~
~
.

Osnovu ovog sistema čine vektori ,,, koji odgovaraju vodećim elementima redova označenih kružićima. Za vektorski izraz riješiti jednačinu x 1 +x2 +x4 =. On se svodi na sistem linearnih jednadžbi, čija se matrica dobija iz originala permutacijom stupca koji odgovara , umjesto kolone slobodnih termina. Stoga, da bismo riješili sistem, koristimo rezultujuću matricu u postupnom obliku, praveći potrebne permutacije u njoj.

Sukcesivno nalazimo:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Napomena 1. Ako je potrebno izraziti više vektora kroz bazu, onda se za svaki od njih konstruiše odgovarajući sistem linearnih jednačina. Ovi sistemi će se razlikovati samo u kolonama slobodnih članova. Stoga se za njihovo rješavanje može sastaviti jedna matrica u kojoj će biti nekoliko kolona slobodnih članova. U ovom slučaju, svaki sistem se rješava nezavisno od ostalih.

Napomena 2. Za izražavanje bilo kojeg vektora dovoljno je koristiti samo bazne vektore sistema koji mu prethode. U ovom slučaju nema potrebe za preoblikovanjem matrice, dovoljno je postaviti vertikalnu liniju na pravo mjesto.

Vježba 2. Pronađite osnovu sistema vektora i izrazite ostale vektore kroz bazu:

ali) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

u) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Osnovni sistem odlučivanja

Sistem linearnih jednačina naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

Osnovni sistem rješenja homogenog sistema linearnih jednačina je osnova skupa njegovih rješenja.

Neka je dat nehomogen sistem linearnih jednačina. Homogeni sistem pridružen datom je sistem koji se dobija iz datog zamenom svih slobodnih termina nulama.

Ako je nehomogen sistem konzistentan i neodređen, tada njegovo proizvoljno rješenje ima oblik f n +  1 f o1 + ... +  k f o k , gdje je f n određeno rješenje heterogeni sistem i f o1 , ... , f o k je osnovni sistem rješenja pridruženog homogenog sistema.

Primjer 3. Pronađite određeno rješenje za nehomogeni sistem iz primjera 1 i fundamentalni sistem rješenja povezanog homogenog sistema.

Rješenje Zapisujemo rješenje dobiveno u primjeru 1 u vektorskom obliku i rezultujući vektor proširimo u zbir slobodnih parametara koje sadrži i fiksnih numeričkih vrijednosti:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).

Dobijamo f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Komentar. Slično se rješava i problem nalaženja fundamentalnog sistema rješenja za homogeni sistem.

Vježba 3.1 Pronađite osnovni sistem rješenja homogenog sistema:

ali)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

VJEŽBA 3.2. Pronađite određeno rješenje nehomogenog sistema i fundamentalni sistem rješenja pridruženog homogenog sistema:

ali)

b)

Linearna zavisnost i linearnu nezavisnost vektori.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U publici su kolica sa čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će pokriti dva odjeljka odjednom. višu matematiku, a vidjećemo kako će se slagati u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... dovraga, pa, svađanje gluposti. Iako u redu, neću bodovati, na kraju treba da postoji pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora, vektorsku osnovu a drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor zbog kojeg sam upravo otišao u Gismeteo: - temperatura i Atmosferski pritisak respektivno. Primjer je, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi termini (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) su primenljivi na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će primeri biti dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Pored problema analitičke geometrije, razmotrićemo i neke tipični zadaci algebra. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Uzmite u obzir ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno jasno da su za izgradnju osnove potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na tabeli.

Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite kažiprst lijeve ruke na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto mali prst desne ruke na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad sam smjer, dok ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

Referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednačinama, izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji ugao osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno ne su zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je primljena. Ne treba se sramiti što je osnova ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

I oni to kažu vektorpredstavljen u formi linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, možete reći da je vektor proširen u ortonormalnoj bazi ravni, ili možete reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Suština definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. baze Ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomjeriti na mjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim malim prljavim tačkicama na stolu koje su ostale od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takva referentna tačka je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sistema:

Počeću sa "školskim" sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada govorimo o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište koordinata, koordinatne ose i mjeri po osi. Pokušajte da u pretraživač ukucate „pravougaoni koordinatni sistem“ i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, stiče se utisak da se pravougaoni koordinatni sistem može dobro definisati u terminima ortonormalne baze. I skoro da jeste. Formulacija glasi ovako:

porijeklo, And ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem ravni . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato, vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali daleko od uvijek) crtaju i vektori i koordinatne ose.

Mislim da svi to razumiju uz pomoć tačke (porekla) i ortonormalne osnove BILO KOJA TAČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, "sve u avionu može biti numerisano".

Da li koordinatni vektori moraju biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrite tačku i dva ortogonalni vektori proizvoljna dužina različita od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka tačka ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori Uglavnom imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedan, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj osnovi, a također i ispod u afine baze razmatraju se ravni i prostorne jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica duž apscise sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinate sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna za pretvaranje „nestandardnih“ koordinata u „naše uobičajene centimetre“ ako je potrebno.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - da li je ugao između baznih vektora nužno jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, And nekolinearno vektori, , set afini koordinatni sistem ravni :

Ponekad se ovaj koordinatni sistem naziva koso sistem. Tačke i vektori su prikazani kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan, formule za dužine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je to najpogodniji poseban slučaj afini sistem koordinate su kartezijanski pravougaoni sistem. Stoga se ona, njena, najčešće mora vidjeti. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati oblique (ili neku drugu, npr. polar) koordinatni sistem. Da, i humanoidi takvi sistemi mogu pasti na ukus =)

Pređimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U suštini, ovo je prečišćavanje očitog odnosa koordinata po koordinata.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Rješenje:
a) Saznajte da li postoji vektor koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti ispunjene:

Definitivno ću vam reći o “foppish” verziji primjene ovog pravila, koja u praksi dobro funkcionira. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Relacija se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje se može koristiti činjenica da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova valjanost se može lako provjeriti elementarne radnje sa vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Izlaz: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, dakle, ovi vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako raditi kroz proporciju ovdje? (Zaista, ne možete podijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za samostalno rješenje:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearna?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i samo ga dodamo kao petu tačku:

Za dva ravan vektora, sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, jednaka je nuli.

Ja se jako, jako nadam da ste u ovom trenutku već razumjeli sve pojmove i izjave na koje ste naišli.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata, pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe graditi crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Četverougao se naziva u kojem su suprotne strane po paru paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i .

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi“ - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očigledna, ali bolje je donijeti odluku kako treba, sa aranžmanom. Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ovi vektori kolinearni, i .

Izlaz: Suprotne strane četvorougla su parno paralelne, pa je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se iz aviona polako krećemo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

ali) ;
b)
u)

Rješenje:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se utvrđuje provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti vektora prostora i putem determinante trećeg reda, ovuda obrađeno u članku Unakrsni proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnoge od pravilnosti koje smo razmatrali na avionu važiće i za prostor. Pokušao sam da minimiziram sažetak teorije, jer je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, ispitajmo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada u zatvorenom, neko je na otvorenom, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Dakle, za izgradnju osnove, tri prostorni vektor. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, ne morate to demonstrirati nastavnicima, ma kako zavrtili prste, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Zatim postavljamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na ploču stola računara. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jedno od mjerenja - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim očigledno, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da komplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, već mogu biti u paralelne ravni(samo nemoj prstima, samo je Salvador Dali tako ispao =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno ako postoji ravan sa kojom su oni paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, opet zamislite da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, već mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redom, dok je bilo koji vektor prostora jedini način proširuje se u datoj bazi , gdje su koordinate vektora u datoj bazi

Podsjećamo, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao za ravno kućište, jedna tačka i bilo koje tri linearne nezavisni vektori:

porijeklo, And nekoplanarni vektori, uzeti određenim redom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava da definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, u afinom koordinatnom sistemu prostora, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi mogu pretpostaviti, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

tačka u prostoru tzv porijeklo, And ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematiziramo informacije:

Za tri vektora prostora, sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Suprotne izjave su, mislim, razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostali praktični zadaci će biti naglašene algebarske prirode. Vrijeme je da okačite geometrijski štap na nokat i rukujete bejzbol palicom za linearnu algebru:

Tri svemirska vektora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pažnju na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već iu redovima (vrijednost determinante se neće promijeniti od ovoga - pogledajte svojstva determinanti). Ali mnogo je bolje u kolonama, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili su možda uopće loše orijentirani, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:

U suštini, potrebno je riješiti jednačinu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti determinantu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavniju linearnu jednačinu:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti, za to morate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da ponovnim otvaranjem.

U zaključku, razmotrimo još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u datoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje: Hajde da se prvo pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je osnova - nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje primjera 6, potrebno je provjeriti da li su vektori stvarno linearno nezavisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, dakle, vektori su linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate obavezno zapiši u kolone odrednica, a ne nizovi. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

U geometriji se pod vektorom podrazumeva usmereni segment, a vektori dobijeni jedan od drugog paralelni transfer, smatraju se jednakim. Svi jednaki vektori se tretiraju kao isti vektor. Početak vektora može se postaviti u bilo koju tačku u prostoru ili ravni.

Ako su koordinate krajeva vektora date u prostoru: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), zatim

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Slična formula vrijedi i u ravnini. To znači da se vektor može napisati kao koordinatni niz. Operacije nad vektorima, - sabiranje i množenje brojem, nad nizovima se izvode komponentu po komponentu. Ovo omogućava proširenje koncepta vektora, razumijevajući vektor kao bilo koji niz brojeva. Na primjer, rješenje sistema linearnih jednačina, kao i bilo koji skup vrijednosti sistemske varijable, može se posmatrati kao vektor.

Na žicama iste dužine, operacija sabiranja se izvodi prema pravilu

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Množenje niza brojem vrši se prema pravilu

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Skup vektora reda zadane dužine n sa naznačenim operacijama vektorskog sabiranja i množenja brojem formira algebarsku strukturu tzv n-dimenzionalni linearni prostor.

Linearna kombinacija vektora je vektor , gdje je λ 1 , ... , λ m su proizvoljni koeficijenti.

Sistem vektora se naziva linearno zavisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koja ima najmanje jedan koeficijent različit od nule.

Sistem vektora naziva se linearno nezavisnim ako su u bilo kojoj od njegovih linearnih kombinacija jednakih , svi koeficijenti jednaki nuli.

Dakle, rješenje pitanja linearne zavisnosti sistema vektora svodi se na rješenje jednačine

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Ako ova jednačina ima rješenja različita od nule, tada je sistem vektora linearno zavisan. Ako je nulto rješenje jedinstveno, onda je sistem vektora linearno nezavisan.

Za rješavanje sistema (4), radi jasnoće, vektori se mogu napisati ne u obliku redova, već u obliku kolona.

Zatim, nakon izvođenja transformacija na lijevoj strani, dolazimo do sistema linearnih jednačina ekvivalentnih jednačini (4). Glavna matrica ovog sistema je formirana koordinatama originalnih vektora raspoređenih u kolone. Kolona slobodnih članova ovde nije potrebna, pošto je sistem homogen.

Osnova sistem vektora (konačnih ili beskonačnih, posebno svih linearni prostor) je njegov neprazan linearno nezavisan podsistem, kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sistema.

Primjer 1.5.2. Pronađite osnovu sistema vektora = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) i izraziti druge vektore kroz bazu.

Rješenje. Gradimo matricu u kojoj su koordinate ovih vektora raspoređene u stupce. Ovo je matrica sistema x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Dovodimo matricu u stepenasti oblik:

~ ~ ~

Osnovu ovog sistema vektora čine vektori , , , koji odgovaraju vodećim elementima redova označenih kružićima. Da bismo izrazili vektor, rješavamo jednačinu x 1 + x 2 + x 4 = . Svodi se na sistem linearnih jednačina, čija se matrica dobija iz originala preuređivanjem stupca koji odgovara , na mjesto stupca slobodnih članova. Stoga, kada se svodi na stepenasti oblik, na matrici će se izvršiti iste transformacije kao gore. To znači da rezultujuću matricu možemo koristiti u stepenastom obliku tako što ćemo napraviti potrebne permutacije stupaca u njoj: stupci s kružićima se postavljaju lijevo od okomite trake, a stupac koji odgovara vektoru se postavlja desno bara.

Sukcesivno nalazimo:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Komentar. Ako je potrebno izraziti više vektora kroz bazu, tada se za svaki od njih konstruiše odgovarajući sistem linearnih jednačina. Ovi sistemi će se razlikovati samo u kolonama slobodnih članova. U ovom slučaju, svaki sistem se rješava nezavisno od ostalih.

VJEŽBA 1.4. Pronađite osnovu sistema vektora i izrazite ostale vektore u terminima baze:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

U datom sistemu vektora, baza se obično može razlikovati na različite načine, ali sve baze će imati isti broj vektora. Broj vektora u bazi linearnog prostora naziva se dimenzija prostora. Za n-dimenzionalni linearni prostor n je dimenzija prostora, jer ovaj prostor ima standardnu ​​osnovu = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Kroz ovu bazu, bilo koji vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) se izražava na sljedeći način:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Dakle, komponente u redu vektora = (a 1 , a 2 , … , a n) su njegovi koeficijenti u ekspanziji u smislu standardne osnove.

Prave linije u avionu

Problem analitičke geometrije - primjena na geometrijski problemi koordinatni metod. Ovo prevodi zadatak u algebarski oblik a rješava se pomoću algebre.

Pronađite osnovu sistema vektora i vektora koji nisu uključeni u bazu, proširite na osnovu:

ali 1 = {5, 2, -3, 1}, ali 2 = {4, 1, -2, 3}, ali 3 = {1, 1, -1, -2}, ali 4 = {3, 4, -1, 2}, ali 5 = {13, 8, -7, 4}.

Rješenje. Razmislite homogeni sistem linearne jednačine

ali 1 X 1 + ali 2 X 2 + ali 3 X 3 + ali 4 X 4 + ali 5 X 5 = 0

ili proširen.

Ovaj sistem ćemo riješiti Gaussovom metodom, bez zamjene redova i kolona, ​​i pored toga, odabirom glavni element ne u gornjem lijevom uglu, već po cijeloj liniji. Zadatak je da odabrati dijagonalni dio transformisanog sistema vektora.

~ ~

~ ~ ~ .

Dozvoljeni sistem vektora, koji je ekvivalentan originalnom, ima oblik

ali 1 1 X 1 + ali 2 1 X 2 + ali 3 1 X 3 + ali 4 1 X 4 + ali 5 1 X 5 = 0 ,

gdje ali 1 1 = , ali 2 1 = , ali 3 1 = , ali 4 1 = , ali 5 1 = . (1)

Vektori ali 1 1 , ali 3 1 , ali 4 1 formiraju dijagonalni sistem. Otuda i vektori ali 1 , ali 3 , ali 4 čine osnovu sistema vektora ali 1 , ali 2 , ali 3 , ali 4 , ali 5 .

Sada širimo vektore ali 2 I ali 5 u bazi ali 1 , ali 3 , ali 4 . Da bismo to učinili, prvo proširimo odgovarajuće vektore ali 2 1 I ali 5 1 dijagonalni sistem ali 1 1 , ali 3 1 , ali 4 1 , imajući u vidu da su koeficijenti vektorske ekspanzije u dijagonalnom sistemu njegove koordinate x i.

Od (1) imamo:

ali 2 1 = ali 3 1 (-1) + ali 4 1 0 + ali 1 1 1 ali 2 1 = ali 1 1 – ali 3 1 .

ali 5 1 = ali 3 1 0 + ali 4 1 1+ ali 1 1 2 ali 5 1 = 2ali 1 1 + ali 4 1 .

Vektori ali 2 I ali 5 proširiti u osnovi ali 1 , ali 3 , ali 4 sa istim koeficijentima kao i vektori ali 2 1 I ali 5 1 dijagonalni sistem ali 1 1 , ali 3 1 , ali 4 1 (ti koeficijenti x i). shodno tome,

ali 2 = ali 1 – ali 3 , ali 5 = 2ali 1 + ali 4 .

Zadaci. jedan.Pronaći osnovu sistema vektora i vektore koji nisu uključeni u bazu, proširiti prema bazi:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Pronađite sve baze sistema vektora:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.