Ako su osi centralne, tada će ose momenta izgledati ovako:

15.Odnos između momenti inercije pri okretanju osi:

J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 \u003d J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Ugao a>0, ako se prijelaz iz starog koordinatnog sistema u novi odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Ekstremne (maksimalne i minimalne) vrijednosti momenata inercije nazivaju se glavni momenti inercije. Osi u odnosu na koje aksijalni momenti inercije imaju ekstremne vrijednosti nazivaju se glavne osi inercije. Glavne osi inercije su međusobno okomite. Centrifugalni momenti inercije oko glavnih ose = 0, tj. glavne osi inercije - ose prema kojima je centrifugalni moment inercije = 0. Ako se jedna od osa poklapa ili se obje poklapaju sa osom simetrije, onda su glavne. Ugao koji definira položaj glavnih osa: , ako je a 0 >0 Þ osi se rotiraju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Osa maksimuma uvek čini manji ugao u odnosu na ose, u odnosu na koje moment inercije ima veću vrednost. Glavne ose koje prolaze kroz centar gravitacije nazivaju se glavne centralne osi inercije. Trenuci inercije oko ovih osa:

J max + J min = J x + J y . Centrifugalni moment inercije oko glavnog centralne osovine inercije je 0. Ako su poznati glavni momenti inercije, tada su formule za prijelaz na rotirane ose:

J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;

Krajnji cilj proračuna geometrijske karakteristike odjeljak je definicija principala centralni momenti inercija i položaji glavnih centralnih osi inercije. Radijus inercije - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

Ako su J x i J y glavni momenti inercije, onda i x i i y - glavni radijusi rotacije. Elipsa izgrađena na glavnim poluprečnikima inercije kao na poluosi naziva se elipsa inercije. Koristeći elipsu inercije, možete grafički pronaći polumjer rotacije i x 1 za bilo koju os x 1. Da biste to učinili, nacrtajte tangentu na elipsu paralelnu s x 1 osi i izmjerite udaljenost od ove ose do tangente. Znajući radijus inercije, možete pronaći moment inercije presjeka oko x-ose 1:. Za presjeke s više od dvije osi simetrije (na primjer: krug, kvadrat, prsten, itd.), aksijalni momenti inercije oko svih centralnih osa jednaki su jedni drugima, J xy = 0, elipsa inercija se pretvara u inercijski krug.

Često je pri rješavanju praktičnih problema potrebno odrediti momente inercije presjeka u odnosu na osi orijentirane na različite načine u njegovoj ravnini. U ovom slučaju, prikladno je koristiti već poznate vrijednosti momenata inercije cijelog presjeka (ili njegovih pojedinačnih dijelova) u odnosu na druge osi, date u tehničkoj literaturi, posebnim referentnim knjigama i tablicama, kao i izračunati korištenjem dostupnih formula. Stoga je vrlo važno uspostaviti odnos između momenata inercije istog presjeka u odnosu na različite ose.

U najopćenitijem slučaju, prijelaz sa bilo kojeg starog na bilo koji novi sistem koordinate se mogu posmatrati kao dvije uzastopne transformacije starog koordinatnog sistema:

1) paralelnim prenošenjem koordinatnih osa u novi položaj i

2) rotirajući ih u odnosu na novo ishodište. Razmotrimo prvu od ovih transformacija, tj. paralelni transfer koordinatne ose.

Pretpostavimo da su momenti inercije datog presjeka u odnosu na stare ose (slika 18.5) poznati.

Uzmimo novi koordinatni sistem čije su ose paralelne sa starim. Neka a i b označavaju koordinate tačke (tj. novo ishodište) u starom koordinatnom sistemu

Razmotrimo elementarnu oblast čije koordinate u starom koordinatnom sistemu su y i . U novom sistemu su jednaki

Zamijenimo ove koordinate u izraz za aksijalni moment inercije oko ose

U rezultirajućem izrazu, moment inercije, statički moment presjeka oko ose jednak je površini F presjeka.

shodno tome,

Ako z osa prolazi kroz težište presjeka, tada je statički moment i

Iz formule (25.5) se može vidjeti da je moment inercije oko bilo koje ose koja ne prolazi kroz težište veći od momenta inercije oko ose koja prolazi kroz centar gravitacije, za iznos koji je uvijek pozitivan . Dakle, od svih momenata inercije u odnosu na paralelne ose aksijalni moment inercije ima najmanju vrijednost u odnosu na osu koja prolazi kroz centar gravitacije presjeka.

Moment inercije oko ose [po analogiji sa formulom (24.5)]

U posebnom slučaju kada y-osa prolazi kroz težište presjeka

Formule (25.5) i (27.5) se široko koriste u računanju aksijalni momenti inercija složenih (kompozitnih) presjeka.

Zamijenimo sada vrijednosti u izraz za centrifugalni moment inercije oko osi

Odredimo odnos između različitih momenata inercije presjeka u odnosu na dvije paralelne ose (slika 6.7), povezanih ovisnostima

1. Za statičke momente inercije

konačno,

2. Za aksijalne momente inercije

shodno tome,

Ako os z prolazi kroz težište presjeka, tada

Od svih momenata inercije oko paralelnih osa, aksijalni moment inercije ima najmanju vrijednost oko ose koja prolazi kroz težište presjeka.

Slično za osovinu

Kada os y prolazi kroz težište presjeka

3. Za centrifugalne momente inercije dobijamo

Konačno, možete pisati

Kada je ishodište koordinatnog sistema yz je u centru gravitacije preseka, dobijamo

U slučaju kada su jedna ili obje ose osi simetrije,

6.7. Promjena momenata inercije pri okretanju osi

Neka su dati momenti inercije presjeka u odnosu na koordinatne ose zy.

Potrebno je odrediti momente inercije istog presjeka u odnosu na osi rotirane pod određenim uglom u odnosu na koordinatni sistem zy(Sl. 6.8).

Ugao se smatra pozitivnim ako se stari koordinatni sistem mora rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu da bi se prešao na novi (za desni Dekartov pravougaoni koordinatni sistem). Novo i staro zy koordinatni sistemi su povezani zavisnostima koje slede sa Sl. 6.8:

1. Definirajmo izraze za aksijalne momente inercije oko osi novog koordinatnog sistema:

Slično za osovinu

Ako zbrojimo vrijednosti momenata inercije oko osi i onda dobijemo

tj. kada se ose rotiraju, zbir aksijalnih momenata inercije je konstantna vrijednost.

2. Izvedimo formule za centrifugalne momente inercije.

.

6.8. Glavni momenti inercije. Glavne osi inercije

Ekstremne vrijednosti aksijalnih momenata inercije presjeka nazivaju se glavnim momentima inercije.

Dvije međusobno okomite ose, u odnosu na koje aksijalni momenti inercije imaju ekstremne vrijednosti, nazivaju se glavne osi inercije.

Da bismo pronašli glavne momente inercije i položaj glavne osi inercije, odredimo prvu derivaciju u odnosu na ugao momenta inercije, određen formulom (6.27)

Postavite ovaj rezultat na nulu:

gdje je ugao za rotiranje koordinatnih osa y i z tako da se poklapaju sa glavnim osovinama.

Upoređujući izraze (6.30) i (6.31), možemo to utvrditi

,

Prema tome, u odnosu na glavne osi inercije, centrifugalni moment inercije je nula.

Međusobno okomite ose, od kojih se jedna ili obje poklapaju sa osama simetrije presjeka, uvijek su glavne osi inercije.

Rješavamo jednačinu (6.31) s obzirom na ugao:

.

Ako je >0, tada za određivanje položaja jedne od glavnih osi inercije za desni (lijevi) Kartezijanski pravokutni koordinatni sistem, os z okrenite ugao u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (u smjeru rotacije) u smjeru kazaljke na satu. Ako a<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz rotirati za ugao u smjeru rotacije (protiv smjera rotacije) u smjeru kazaljke na satu.

Maksimalna os uvijek čini manji ugao u odnosu na osi ( y ili z), u odnosu na koji je aksijalni moment inercije od većeg značaja (slika 6.9).

Maksimalna os je usmjerena pod uglom prema osi () ako () i nalazi se u parnim (neparnim) četvrtima osi ako ().

Odredimo glavne momente inercije i. Koristeći formule iz trigonometrije, povezujući funkcije,,, sa funkcijama, iz formule (6.27) dobijamo

,

Razmotrimo definiciju momenata inercije ravne figure (sl.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

gdje je $(S_x)$ - statički moment figure oko $X$ ose.

Slično, s obzirom na $(Y_1)$ osu

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Centrifugalni moment inercije oko osi $(X_1)$ i $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a) ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A (ydA) + ab\int\limits_A (dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Najčešće se koristi prijelaz sa centralnih osa (pravilnih osa ravne figure) na proizvoljne, paralelne. Tada je $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, pošto su $X$ i $Y$ ose centralne. Konačno imamo

gdje , - sopstveni momenti inercije, tj. momenti inercije oko sopstvenih centralnih ose;

$a$, $b$ - udaljenosti od centralnih osa do onih koje se razmatraju;

$A$ je površina figure.

Treba napomenuti da se prilikom određivanja centrifugalnog momenta inercije u veličinama $a$ i $b$ mora uzeti u obzir predznak, odnosno oni su, u stvari, koordinate težišta figure u razmatranim osovinama. Prilikom određivanja aksijalnih momenata inercije, ove veličine se zamjenjuju po modulu (kao udaljenosti), budući da i dalje rastu do kvadrata.

Uz pomoć formula za paralelno prevođenje moguće je izvršiti prijelaz sa centralne na proizvoljne osi, ili obrnuto- od proizvoljnih centralnih osa. Prvi prijelaz se izvodi sa znakom "+". Drugi prijelaz se izvodi sa znakom "- ".

Primjeri korištenja prelaznih formula između paralelnih osa

Pravokutni presjek

Odredimo centralne momente inercije pravougaonika sa poznatim momentima inercije oko $Z$ i $Y$ osa.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

Slično $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

trouglasti presjek

Odredimo centralne momente inercije trougla sa poznatim momentom inercije oko baze $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

.

S obzirom na središnju osu $(Y_c)$, trokut ima drugačiju konfiguraciju, pa razmotrite sljedeće. Moment inercije cijele figure oko ose $(Y_c)$ jednak je zbiru momenta inercije trokuta $ABD$ oko ose $(Y_c)$ i momenta inercije trokuta $CBD $ oko $(Y_c)$ ose, tj.

.

Određivanje momenta inercije kompozitnog presjeka

Odjeljak smatramo sastavljenim, sastoji se od pojedinačnih elemenata čije su geometrijske karakteristike poznate. Površina, statički moment i momenti inercije kompozitne figure jednaki su zbiru odgovarajućih karakteristika njihovih komponenti. Ako se presek može formirati izrezivanjem jedne figure iz druge, geometrijske karakteristike isečene figure se oduzimaju. Na primjer, momenti inercije kompozitne figure prikazane na Sl. će se definisati kao

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12) )) = 72\.300$cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \desno) = 1\.490\.000$cm 4

Promjena momenata inercije štapa s paralelnim pomicanjem osi.

Uz statičke momente, razmotrite sljedeća tri integrala:

Gdje, kao i ranije, x i y označavaju trenutne koordinate elementarne površine dF u proizvoljnom koordinatnom sistemu xOy. Prva 2 integrala se nazivaju aksijalni momenti inercije presjeka o x i y osi, respektivno. Treći integral se zove centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na x, y. Aksijalni momenti su uvijek pozitivni, jer površina dF se smatra pozitivnom. Centrifugalni moment inercije može biti pozitivan ili negativan, ovisno o položaju presjeka u odnosu na osi x, y.

Izvedemo formule za transformaciju momenata inercije sa paralelnim pomakom osa. (vidi sliku). Pretpostavit ćemo da su nam dati momenti inercije i statički momenti oko osa x 1 i y 1 . Potrebno je odrediti momente oko x2 i y2 osi.

Zamjenom ovdje x 2 = x 1 -a i y 2 = y 1 -b nalazimo

Proširujući zagrade, imamo.

Ako su osi x 1 i y 1 centralne, tada su S x 1 = S y 1 = 0 i rezultirajući izrazi su pojednostavljeni:

Uz paralelno prevođenje osi (ako je jedna od osi centralna), aksijalni momenti inercije se mijenjaju za iznos jednak umnošku površine poprečnog presjeka i kvadrata udaljenosti između osa.