I = ∑r i 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)
U principu, i definicija i formula koja to opisuje nisu komplikovani i mnogo ih je lakše zapamtiti nego doći do dna. Ali ipak, hajde da pokušamo da shvatimo šta je trenutak inercije i odakle dolazi.
Koncept momenta inercije došao je do čvrstoće materijala i strukturne mehanike iz druge grane fizike koja proučava kinematiku kretanja, posebno rotacijskog kretanja. Ali u svakom slučaju, počnimo izdaleka.
Ne znam pouzdano da li je jabuka pala na glavu Isaka Njutna, pala je u blizini, ili nije pala uopšte, teorija verovatnoće dozvoljava sve ove opcije (osim toga, u ovoj jabuci iz biblijskih ima previše legenda o drvetu znanja), ali sam siguran da je Newton bio pronicljiva osoba, sposobna da izvuče zaključke iz svojih zapažanja. Tako su promatranje i mašta omogućile Newtonu da formulira osnovni zakon dinamike (Njutnov drugi zakon), prema kojem masa tijela m pomnoženo sa ubrzanjem a, jednaka je sili koja djeluje Q(zapravo, oznaka F je poznatija za silu, ali pošto ćemo se dalje baviti područjem, koje se takođe često označava kao F, koristim oznaku Q za vanjsku silu, koja se u teorijskoj mehanici smatra koncentrisanim opterećenjem, suština stvari se ne menja):
Q=ma (1.2)
Za mene je veličina Njutna upravo u jednostavnosti i jasnoći. ovu definiciju. Štaviše, ako to uzmemo u obzir ravnomerno ubrzano kretanje ubrzanje a jednak omjeru prirasta brzine ΔV na vremenski period Δt, za koji je brzina promijenjena:
a \u003d Δv / Δt \u003d (v - v o) / t (1.3.1)
na V o \u003d 0 a = v/t (1.3.2)
tada možete odrediti osnovne parametre kretanja, kao što su udaljenost, brzina, vrijeme, pa čak i zamah R karakteriziranje količine pokreta:
p=mv (1.4)
Na primjer, jabuka koja pada s različitih visina pod utjecajem same gravitacije će pasti na tlo u različito vrijeme, imati različite brzine u trenutku spuštanja i, shodno tome, različit zamah. Drugim rečima, jabuka koja pada sa veće visine leteće duže i jače pucati na čelo nesretnog posmatrača. A Newton je sve to sveo na jednostavnu i razumljivu formulu.
I Newton je formulirao zakon inercije (Njutnov prvi zakon): ako je ubrzanje a = 0, onda je u inercijskom referentnom okviru nemoguće odrediti da li posmatrano tijelo, na koje ne djeluju vanjske sile, miruje ili se kreće pravolinijski sa konstantnom brzinom. Ova nekretnina materijalna tela održavanje brzine, čak i ako je nula, naziva se inercijom. Mjera inercije je inercijska masa tijela. Ponekad se inercijska masa naziva inercijskom, ali to ne mijenja suštinu materije. Smatra se da je inercijalna masa jednaka gravitacionoj masi, te se stoga često ne precizira o kakvoj se masi misli, već se jednostavno spominje masa tijela.
Ništa manje važan i značajan je treći Newtonov zakon, prema kojem je sila djelovanja jednaka sili reakcije ako su sile usmjerene u jednoj pravoj liniji, ali u suprotnim smjerovima. Uprkos prividnoj jednostavnosti, ovaj Njutnov zaključak je genijalan i značaj ovog zakona teško se može precijeniti. O jednoj od primjena ovog zakona u nastavku.
Međutim, ove odredbe vrijede samo za tijela koja napreduju, tj. duž pravolinijske putanje i istovremeno sve materijalne tačke takva se tijela kreću istom brzinom ili istim ubrzanjem. Za vrijeme krivolinijskog kretanja, a posebno tijekom rotacionog kretanja, na primjer, kada se tijelo rotira oko svoje ose simetrije, materijalne tačke takvog tijela kreću se u prostoru istom ugaonom brzinom w, ali istovremeno brzina linije v različite tačke će imati različite i ova linearna brzina je direktno proporcionalna udaljenosti r od ose rotacije do ove tačke:
v=wr (1.5)
u ovom slučaju, ugaona brzina je jednaka omjeru prirasta kuta rotacije Δφ na vremenski period Δt, za koji je promijenjen ugao rotacije:
w \u003d Δφ / Δt \u003d (φ - φ o) / t (1.6.1)
pri φ o = 0 w = φ/t (1.7.2)
odnosno normalno ubrzanje a n tokom rotacije je jednako:
a n \u003d v 2 / r \u003d w 2 r (1.8)
I ispada da za rotaciono kretanje ne možemo direktno koristiti formulu (1.2), budući da pri rotacionom kretanju nije dovoljna samo vrednost mase tela, potrebno je znati i raspodelu te mase u telu. Ispostavilo se da što su materijalne tačke tela bliže osi rotacije, to je manja sila potrebna da se telo rotira i obrnuto, što su materijalne tačke tela dalje od ose rotacije, to je veća sila koja se mora primijeniti da bi se tijelo rotiralo (u ovom slučaju govorimo o primjeni sile u istoj tački). Osim toga, kada se tijelo rotira, prikladnije je uzeti u obzir ne djelujuću silu, već okretni moment, jer tokom rotacijskog kretanja tačka primjene sile također ima veliki značaj.
Neverovatna svojstva momenta poznata su nam još od vremena Arhimeda, a ako primenimo koncept momenta na rotaciono kretanje, onda je vrednost momenta M biće veća što je veća udaljenost r od ose rotacije do tačke primene sile F(u strukturna mehanika spoljna silačesto se pominje kao R ili Q):
M = Qr (1.9)
Iz ove također ne baš komplicirane formule, ispada da ako se sila primjenjuje duž osi rotacije, tada neće biti rotacije, budući da je r = 0, a ako se sila primjenjuje na maksimalnoj udaljenosti od ose rotacije, tada će vrijednost trenutka biti maksimalna. A ako u formulu (1.9) zamijenimo vrijednost sile iz formule (1.2) i vrijednost normalno ubrzanje i formule (1.8), dobijamo sledeću jednačinu:
M \u003d mw 2 r r \u003d mw 2 r 2 (1.10)
U konkretnom slučaju kada je tijelo materijalna tačka, koja ima dimenzije mnogo manje od udaljenosti od ove tačke do ose rotacije, jednadžba (1.10) je primjenjiva u svom čistom obliku. Međutim, za tijelo koje rotira oko jedne od svojih osi simetrije, udaljenost od svake materijalne točke komponente dato telo, uvijek je manji od jedne od geometrijskih dimenzija tijela i stoga je raspodjela tjelesne mase od velike važnosti, u ovom slučaju je potrebno uzeti u obzir ove udaljenosti posebno za svaku tačku:
M = ∑r i 2 w 2 m i (1.11.1)
M c \u003d w 2 ∫r 2 dm
A onda se ispostavi da će prema trećem Newtonovom zakonu, kao odgovor na djelovanje momenta, nastati takozvani moment inercije I. U tom će slučaju vrijednosti momenta i momenta inercije biti jednake, a sami momenti su usmjereni u suprotnim smjerovima. U konstanti ugaona brzina rotacije, na primjer w = 1, glavne veličine koje karakteriziraju moment ili moment inercije bit će masa materijalnih tačaka koje čine tijelo i udaljenost od tih tačaka do ose rotacije. Kao rezultat toga, formula za moment inercije će poprimiti sljedeći oblik:
[- M] = I = ∑r i 2 m i (1.12.1)
I c = ∫r 2 dm(1.11.2) - kada se tijelo rotira oko ose simetrije
gdje I- općeprihvaćena oznaka momenta inercije, I c- oznaka aksijalnog momenta inercije tijela, kg / m 2. Za homogeno tijelo iste gustine ρ po celom telu V Formula za aksijalni moment inercije tijela može se napisati na sljedeći način:
I c = ∫ρr 2 dV (1.13)
Dakle, moment inercije je mera inercije tela tokom rotacionog kretanja, kao što je masa mera inercije tela pri translacionom pravolinijskom kretanju.
Cijeli krug je zatvoren. I tu se može postaviti pitanje kakve veze imaju svi ovi zakoni dinamike i kinematike sa proračunom statičkih građevinskih konstrukcija? Ispostavilo se da ni jedno ni drugo nije najdirektnije i najneposrednije. Prvo, zato što su sve ove formule izveli fizičari i matematičari u onim dalekim vremenima kada su takve discipline kao " Teorijska mehanika"ili" Teorija čvrstoće materijala "jednostavno nije postojala. I drugo, jer se cjelokupni proračun građevinskih konstrukcija gradi na osnovu naznačenih zakona i formulacija i tvrdnje o jednakosti gravitacijske i inercijalne mase koja još nije To je u teoriji čvrstoće materijala još jednostavnije, koliko god paradoksalno zvučalo.
A jednostavnije je jer se pri rješavanju određenih problema ne može uzeti u obzir cijelo tijelo, već samo njegov presjek, a po potrebi i nekoliko presjeka. Ali u ovim dijelovima isto fizičke sile, iako ima malo drugačiju prirodu. Dakle, ako uzmemo u obzir određeno tijelo čija je dužina konstantna, a samo tijelo homogeno, onda ako ne uzmemo u obzir konstantne parametre - dužinu i gustinu ( l = konst, ρ = konst) - dobićemo model poprečnog presjeka. Za takav poprečni presek, sa matematičke tačke gledišta, važiće jednačina:
I p \u003d ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)
gdje Ip- polarni moment inercije poprečnog presjeka, m 4 . Kao rezultat, dobili smo formulu s kojom smo krenuli (ali ne znam da li je postalo jasnije koji je moment inercije presjeka).
Budući da se pravokutni presjeci često razmatraju u teoriji čvrstoće materijala, a pravokutni koordinatni sistem je pogodniji, prilikom rješavanja problema obično se uzimaju u obzir dva aksijalna momenta inercije poprečnog presjeka:
Iz = ∫y 2dF (2.2.1)
I y = ∫z 2dF (2.2.2)
Slika 1. Vrijednosti koordinata pri određivanju aksijalnih momenata inercije.
Ovdje se može postaviti pitanje zašto se koriste sjekire z i at nego poznatije X i at? Desilo se da su određivanje sila u poprečnom presjeku i odabir presjeka koji može izdržati naprezanja jednaka primijenjenim silama dva različita zadatka. Prvi zadatak - određivanje sila - rješava konstrukcijska mehanika, drugi zadatak - izbor presjeka - teorija otpornosti materijala. Istovremeno, u strukturnoj mehanici, pri rješavanju jednostavnih problema, često se razmatra štap (za ravne konstrukcije), koji ima određenu dužinu l, a visina i širina presjeka se ne uzimaju u obzir, dok se pretpostavlja da je os X samo prolazi kroz težišta svih poprečnih presjeka i tako, kada se crtaju dijagrami (ponekad prilično složeni), dužina l samo odbačen duž ose X, i duž ose at vrijednosti parcela se odgađaju. Istovremeno, teorija čvrstoće materijala uzima u obzir poprečni presjek, za koji su bitne širina i visina, a dužina se ne uzima u obzir. Naravno, pri rješavanju problema teorije čvrstoće materijala, također ponekad prilično složenih, koriste se sve iste poznate osi. X i at. Meni se ovakvo stanje ne čini sasvim ispravnim, budući da su to, uprkos razlici, ipak povezani zadaci i stoga bi bilo prikladnije koristiti zajedničke ose za proračunsku strukturu.
Vrijednost polarnog momenta inercije u pravokutnom koordinatnom sistemu bit će:
I p \u003d ∫r 2 dF \u003d∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)
Pošto je u pravougaonom koordinatnom sistemu poluprečnik hipotenuza pravougaonog trougla, a kao što znate, kvadrat hipotenuze je jednak zbiru kvadrata kateta. A tu je i koncept centrifugalnog momenta inercije poprečnog presjeka:
Ixz = ∫xzdF(2.4)
Među osama pravokutnog koordinatnog sistema koje prolaze kroz težište poprečnog presjeka, postoje dvije međusobno okomite ose, u odnosu na koje aksijalni momenti inercije uzimaju maksimum i minimalna vrijednost, dok je centrifugalni moment inercije presjeka Izy = 0. Takve ose se nazivaju glavne centralne ose poprečnog preseka, a momenti inercije oko takvih osa se nazivaju glavnim centralnim momentima inercije.
Kada se u teoriji otpora materijala radi o momentima inercije, onda se po pravilu misli na glavne centralne momente inercije poprečnog presjeka. Za kvadratne, pravokutne, okrugle presjeke, glavne osi će se poklapati sa osama simetrije. Zovu se i momenti inercije poprečnog presjeka geometrijski momenti inercija ili momenti inercije područja, ali se suština toga ne mijenja.
U principu, nema velike potrebe za određivanjem vrijednosti glavnih središnjih momenata inercije za poprečne presjeke najčešćih geometrijskih oblika - kvadrata, pravokutnika, kruga, cijevi, trokuta i nekih drugih. . Takvi momenti inercije odavno su utvrđeni i nadaleko poznati. A kada se računaju aksijalni momenti inercije za presjeke složenog geometrijskog oblika, vrijedi Huygens-Steinerova teorema:
I \u003d I c + r 2 F (2.5)
dakle, ako su površine i težišta jednostavni geometrijski oblici, koji čini složeni presjek, onda neće biti teško odrediti vrijednost aksijalnog momenta inercije cijelog presjeka. A da bi se odredilo težište složenog presjeka, koriste se statički momenti poprečnog presjeka. Statički momenti se detaljnije razmatraju u drugom članku, ovdje ću samo dodati. fizičko značenje statičkog momenta je kako slijedi: statički moment tijela je zbir momenata za materijalne tačke koje čine tijelo, u odnosu na neku tačku (polarni statički moment) ili u odnosu na osu (aksijalni statički moment), a pošto je moment proizvod sile na kraku (1.9), tada je i statički moment tijela određen, respektivno:
S = ∑M = ∑r i m i= ∫rdm (2.6)
i tada će polarni statički moment poprečnog presjeka biti:
S p = ∫rdF (2.7)
Kao što vidite, definicija statičkog momenta je slična definiciji momenta inercije. Ali postoji i fundamentalna razlika. Statički moment se stoga naziva statičkim, jer je za tijelo na koje djeluje sila gravitacije, statički moment jednak nuli u odnosu na centar gravitacije. Drugim riječima, takvo tijelo je u stanju ravnoteže ako je oslonac primijenjen na težište tijela. A prema prvom Newtonovom zakonu, takvo tijelo ili miruje ili se kreće konstantnom brzinom, tj. ubrzanje \u003d 0. A s čisto matematičke točke gledišta, statički moment može biti jednak nuli iz jednostavnog razloga što je pri određivanju statičkog momenta potrebno uzeti u obzir smjer trenutka. Na primjer, u odnosu na koordinatne ose koje prolaze kroz težište pravokutnika, površine gornjeg i donjeg dijela pravokutnika bit će pozitivne, jer simboliziraju silu gravitacije koja djeluje u jednom smjeru. U ovom slučaju, rastojanje od ose do centra gravitacije može se smatrati pozitivnim (uslovno: moment sile teže gornjeg dela pravougaonika pokušava da rotira presek u smeru kazaljke na satu), a do centra gravitacije donji dio - kao negativan (uslovno: moment sile gravitacije donjeg dijela pravougaonika pokušava zarotirati dio u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). A budući da su takve površine brojčano jednake i jednake udaljenostima od težišta gornjeg dijela pravokutnika i donjeg dijela pravokutnika, tada će zbroj momenta djelovanja biti željena 0.
S z = ∫ydF = 0 (2.8)
A ova velika nula također vam omogućava da odredite reakcije podrške građevinskih konstrukcija. Ako uzmemo u obzir građevinsku konstrukciju na koju je, na primjer, u određenoj tački primijenjeno koncentrisano opterećenje Q, onda se takva građevinska konstrukcija može smatrati tijelom s težištem u tački primjene sile i osloncem reakcije se u ovom slučaju smatraju silama koje se primjenjuju na tačkama oslonca. Dakle, znajući vrijednost koncentriranog opterećenja Q i udaljenosti od mjesta primjene opterećenja do nosača građevinske konstrukcije, moguće je odrediti reakcije nosača. Na primjer, za zglobnu gredu na dva nosača, vrijednost reakcija potpore bit će proporcionalna udaljenosti do točke primjene sile, a zbroj reakcija nosača bit će jednak primijenjenom opterećenju. Ali u pravilu, kada se određuju reakcije oslonca, to je još jednostavnije: jedan od oslonaca se uzima kao težište, a tada je zbroj momenata primijenjenog opterećenja i ostalih reakcija oslonca i dalje nula. . U ovom slučaju, moment iz reakcije oslonca u odnosu na koji se sastavlja jednačina momenta jednak je nuli, jer je krak sile = 0, što znači da u zbroju momenata ostaju samo dvije sile: primijenjeno opterećenje i nepoznato reakcija podrške(za statički određene konstrukcije).
Dakle, fundamentalna razlika između statičkog momenta i momenta inercije je u tome što statički moment karakterizira presjek koji gravitacija pokušava prepoloviti u odnosu na centar gravitacije ili os simetrije, a moment inercije karakterizira tijelo. , čije se sve materijalne tačke kreću (ili pokušavaju da se kreću u jednom pravcu). Možda će sljedeće prilično uvjetne sheme dizajna za pravokutni presjek pomoći da se ova razlika jasnije vizualizira:
Slika 2. Vizuelna razlika između statičkog momenta i momenta inercije.
A sada da se vratimo na kinematiku kretanja. Ako povučemo analogije između naprezanja nastalih u poprečnim presjecima građevinskih konstrukcija i različitih tipova pomicanja, tada nastaju ujednačena naprezanja u centralno rastegnutim i centralno stisnutim elementima po cijeloj površini poprečnog presjeka. Ova naprezanja se mogu uporediti sa dejstvom određene sile na telo, pri čemu će se telo kretati pravolinijski i translatorno. A najzanimljivije je da se poprečni presjeci centralno rastegnutih ili centralno stisnutih elemenata zaista pomiču, jer djelujući naponi uzrokuju deformacije. I veličina takvih deformacija može se odrediti za bilo koji poprečni presjek konstrukcije. Da biste to učinili, dovoljno je znati vrijednost napona koji djeluju, dužinu elementa, površinu poprečnog presjeka i modul elastičnosti materijala od kojeg je konstrukcija izrađena.
Kod elemenata za savijanje poprečni presjeci također ne ostaju na mjestu, već se pomiču, dok je kretanje poprečnih presjeka elemenata za savijanje slično rotaciji određenog tijela oko određene ose. Kao što ste vjerojatno pretpostavili, moment inercije vam omogućava da odredite i kut nagiba poprečnog presjeka i pomak Δ l za krajnje tačke sekcije. Ove ekstremne tačke za pravougaoni presjek su na udaljenosti jednakoj polovini visine presjeka (zašto - dovoljno je detaljno opisano u članku "Osnove čvrstoće materijala. Određivanje ugiba"). A to vam zauzvrat omogućava da odredite otklon strukture.
A moment inercije vam omogućava da odredite moment otpora presjeka. Da biste to učinili, moment inercije se jednostavno mora podijeliti s udaljenosti od težišta presjeka do najudaljenije tačke presjeka, za pravokutni presjek sa h / 2. A kako ispitivani presjeci nisu uvijek simetrični, vrijednost momenta otpora može biti različita za različitim dijelovima sekcije.
A sve je počelo banalnom jabukom... mada ne, sve je počelo jednom rečju.
Prilikom određivanja momenata inercije kompozitnog presjeka, potonji se dijeli na jednostavne figure, u kojima su poznati položaji težišta i momenti inercije u odnosu na vlastite središnje ose. Prema formulama (2.5), koordinate težišta cijelog presjeka nalaze se u sistemu proizvoljno odabranih pomoćnih osa. Paralelno s tim osama povučene su središnje osi u odnosu na koje se pomoću formula (2.6) određuju aksijalni i centrifugalni momenti inercije. Momenti inercije oko glavnih centralnih osa određeni su formulom (2.12), a položaj glavnih centralnih osa - formulama (2.11).
Primjer 2.1. Odredimo momente inercije oko glavnih središnjih osa poprečnog presjeka I-grede 130, ojačane sa dva čelična lima presjeka 200 x 20 mm (sl. 2.12).
Osi simetrije Ooh, ooh su glavne centralne ose čitave sekcije. Iz asortimana (vidi Dodatak) ispisujemo vrijednosti površine i momente inercije presjeka I-grede u odnosu na osi Ooh, ooh
Momenti inercije presjeka limova u odnosu na njihove vlastite središnje ose određuju se formulama (2.14):
Površina cijelog presjeka je jednaka F= 46,5 + 2 20 2 = 126,5 cm 2.
Momenti inercije presjeka oko glavnih centralnih ose Ooh, ooh određene su formulama (2.6):
Primjer 2.2. Odredimo momente inercije oko glavnih središnjih osa poprečnog presjeka nosača rešetke iz dva jednakokračna ugla 1_70x70x8, izrađena poprečno (slika 2.13). Spojni rad uglova je obezbeđen spojnim trakama.
Koordinate težišta kutnog presjeka, vrijednosti površine i momenta inercije u odnosu na vlastite središnje ose Oh^ i Oy 0 dati su u asortimanu (vidi prilog):
Udaljenost od centra gravitacije O cijeli presjek do centra gravitacije ugla je jednak a\u003d (2,02 + 0,4) l / 2 \u003d 3,42 cm.
Površina cijelog presjeka je jednaka F= 2 10,7 = 21,4 cm 2.
Momenti inercije oko glavnih centralnih ose, koje su ose simetrije Ooh, ooh određene su formulama (2.6):
Primjer 2.3. Određujemo položaj težišta i momente inercije u odnosu na glavne centralne ose poprečnog presjeka grede, sastavljene od dva kanala x] i Oh x y ( . Tada po formulama (2.5) dobijamo:
Ove vrijednosti i koordinate centara gravitacije kanala i ugla u koordinatnom sistemu Ohu prikazano na sl. 2.16 i jednaki su:
Odredimo formulama (2.6) momente inercije presjeka oko centralnih ose Oh i OU
Koristeći formule (2.12) i (2.11), nalazimo vrijednosti glavnih momenata inercije i uglova nagiba glavnih osi 1 i 2 prema osi Oh:
Iz integralnih izraza za momente inercije (5.4), (5.5), (5.6) dobijaju se sljedeće formule za određivanje momenata inercije jednostavnih presjeka oko njihovih središnjih ose:
1
. Pravougaonik
(5.10)
(5.11)
budući da su ose Z i Y osi simetrije.
2. Krug
(5.12)
(5.13)
Evo 
je polarni moment inercije presjeka.
3. Polukrug
(5.14)
(5.15)
4. Jednakokraki trougao
(5.16)
(5.17)
5. Pravokutni trokut
(5.18)
(5.19)
(5.20)
Korisno je zapamtiti da je u formulama (5.10), (5.11) i (5.16)–(5.19) veličina stranice figure koja je okomita na razmatranu osu kockasta.
U formuli (5.20), pri određivanju centrifugalnog momenta inercije, znak minus se stavlja kada su oštri uglovi trougla u negativnim četvrtinama (tj. 2. i 4.). U slučajevima kada su ovi uglovi u pozitivnim četvrtinama (tj. 1. i 3.), u formulu (5.20) se stavlja znak plus.
5.3. Glavni centralni momenti inercije složenih simetričnih presjeka
Položaj glavnih središnjih osi i vrijednosti glavnih središnjih momenata inercije za simetrične presjeke određuju se sljedećim redoslijedom:
1. Složeni presjek se dijeli na jednostavne oblike (krug, pravougaonik, I-greda, ugao, itd.) i crtaju se njihove središnje ose Z i i Y i (u pravilu horizontalno i okomito).
2. Položaj težišta cijelog presjeka određen je formulama (5.3), a kroz ovu tačku povučene su njegove centralne ose Z i Y. Ako postoje dvije ose simetrije, težište cijelog presjeka se nalazi na tački njihovog ukrštanja.
Ako presjek ima samo jednu os simetrije, tada se formulama (5.3) određuje samo jedna koordinata centra gravitacije. Objasnimo ovo za sliku prikazanu na Sl. 5.8:
a) ose Z" i Y" biraju se tako da se os Y" poklapa sa osom simetrije figure, a osa Z" - tako da je zgodno odrediti udaljenost do ove ose od centralnih osa figure jednostavne figure;
b) određujemo statički moment površine poprečnog presjeka u odnosu na proizvoljnu osu Z" formulom:
\u003d A 1 y 1 + A 2 y 2,
gdje su A i površine poprečnog presjeka jednostavnih figura; y i - udaljenosti od proizvoljne ose Z" do centralnih osa jednostavnih figura Z i. Udaljenosti y i moraju se uzeti u obzir uzimajući u obzir predznake;
c) odrediti koordinatu y C centra gravitacije prema formuli (5.3):
=
d) na udaljenosti y C od ose Z nacrtamo drugu centralnu osu Z. Prva centralna osa je Y osa simetrije.
3. Momenti inercije oko glavnih centralnih osa Z i Y (slika 5.8) određeni su formulama (5.9), koje će se u proširenom obliku napisati na sljedeći način:
budući da jedna od razmatranih osa
(Y osa) je osa simetrije.
U ovim formulama:
- aksijalni momenti inercije prostih figura oko njihovih centralnih ose (intrinzični momenti inercije), koji se određuju formulama (5.10) - (5.19) ili prema tabelama sortimenata za valjane elemente;
- udaljenosti od zajedničkih centralnih osa presjeka Z i Y do centralnih osa jednostavnih figura. U ovom primjeru 
i 
prikazano na sl. 5.8;
A i su površine jednostavnih figura. Ako je jednostavna figura figura izrezana iz opšte, tj. "prazna" figura, zatim u odgovarajuće formule za površinu takvih figura A i njihove vlastite momente inercije 
zamjenjuju se znakom minus.
PRIMJER 5.1
Potrebno je odrediti glavne središnje momente inercije presjeka prikazanog na sl. 5.9.
1. Presjek podijelimo na jednostavne figure i nacrtamo njihove horizontalne i vertikalne središnje ose Z i i Y i
2. Crtamo centralne ose za cijelu figuru, tj. ose simetrije Z i Y.
3. Odredite udaljenosti od zajedničkih centralnih osa Z i Y do centralnih osa jednostavnih figura i površine ovih figura:
4. Izračunavamo sopstvene centralne momente figura koristeći formule (5.10)–(5.17):
5. Odrediti aksijalne momente inercije cijelog presjeka u odnosu na centralne ose Z i Y:
centrifugalni moment inercije 
pošto su Z i Y osi simetrije. Stoga su I Z i I Y koje smo mi izračunali stoga glavne centralne osi:
PRIMJER 5.2
Obavezno odrediti glavne centralne momente inercije presjeka prikazanog na (sl. 5.10).
1. Podijelimo dio na jednostavne figure i nacrtamo njihove središnje ose 
i Y i .
2. Crtamo Y osu simetrije.To je glavna centralna os datog preseka.
3. Da biste odredili položaj 2. glavne centralne ose, izaberite proizvoljnu Z os okomitu na osu simetrije. Neka se ova os poklapa sa osom Z 3.
4. Prema formuli (5.3) određujemo ordinatu y iz težišta poprečnog presjeka duž Y ose:
Postavljamo dimenziju na C prema gore od Z-ose" i crtamo 2. glavnu središnju os Z.
5. Odrediti aksijalne momente inercije jednostavnih figura u odnosu na njihove vlastite središnje ose (vidi formule (5.10)–(5.17)):
6. Izračunavamo udaljenosti od centralnih osa čitavog preseka Z i Y do centralnih osa pojedinih figura (slika 5.10):
pošto se ose Y 1, Y 2, Y 3 poklapaju sa osom simetrije Y.
7. Aksijalne momente inercije cijelog presjeka u odnosu na centralne ose Z i Y izračunavamo prema formulama (5.9):
Centrifugalni moment inercije I ZY cijelog presjeka je nula, jer je Y osa osa simetrije, tj. osi Z i Y su glavne centralne osi inercije presjeka, a izračunati aksijalni momenti inercije su glavni središnji momenti inercije:
PRIMJER 5.3
Obavezno odrediti glavne centralne momente inercije kompozitnog presjeka prikazanog na (sl. 5.11).
Postupak rješenja je detaljno opisan u primjeru 5.2.
1. Odsjek dijelimo na zasebne figure čije su geometrijske karakteristike date u tabeli asortimana (I-greda i kanal) ili se lako izračunavaju pomoću formula (5.10) - (5.20) (u ovom primjeru pravougaonik) i nacrtati njihove centralne ose.
2. Crtamo os simetrije Y. Težište cijelog presjeka leži na ovoj osi.
3. Odaberite proizvoljnu Z os. Neka se u ovom primjeru ova os poklapa sa osom Z 3 .
4. Udaljenost u točki C je određena od proizvoljne ose Z do centra gravitacije cijelog presjeka:
Udaljenosti od proizvoljno odabrane Z ose "do centralnih ose svake figure (y 1, y 2, y 3) prikazane su na slici 5.11.
Površine poprečnog presjeka kanala A 1 i I-grede A 2 ispisuju se iz odgovarajućih tablica asortimana, a izračunava se površina pravokutnika A 3:
A 1 = 23,4 cm 2, A 2 = 46,5 cm 2, A 3 \u003d 24 
2 = 48 cm 2.
Nacrtajmo vrijednost y C prema gore od Z-ose" (pošto je y C > 0) i nacrtajmo glavnu središnju os Z na ovoj udaljenosti.
5. Geometrijske karakteristike valjanih profila ispisujemo iz tabele asortimana, uzimajući u obzir razliku u orijentaciji osa u tabeli asortimana i na sl. 5.12a, c.
1. Kanal broj 20 
GOST 8240-89 
(Sl. 5.12a) 
;
I-greda br. 30 
GOST 8239-89 
(Sl. 5.12b) 
h= 30 cm.
Slovo "c" u indeksu aksijalnih momenata inercije I označava referencu na oznaku osovina u rasponu.
Momenti inercije pravougaonika (slika 5.12c) izračunavaju se posebno pomoću formula (5.10) i (5.11):
6. Odredite udaljenosti od zajedničkih centralnih osa Y i Z do centralnih osa pojedinačnih figura (prikazane su na slici 5.11):
pošto se ose Y 1, Y 2, Y 3 poklapaju sa osom simetrije čitavog preseka Y.
7. Određujemo aksijalne momente inercije kompleksne figure u odnosu na centralne ose Z i Y prema formulama (5.9):
centrifugalni moment inercije 
pošto je Y-osa osa simetrije. Stoga su Z i Y ose glavne centralne ose.
Momenti inercije presjeka su integrali sljedećeg oblika:
at;
- aksijalni moment inercije presjeka oko ose z;
je centrifugalni moment inercije presjeka;
je polarni moment inercije presjeka.
3.2.1. Osobine momenta inercije presjeka
Dimenzija momenata inercije je [dužina 4], obično [ m 4 ] ili [ cm 4 ].
Aksijalni i polarni momenti inercije su uvijek pozitivni. Centrifugalni moment inercije može biti pozitivan, negativan ili nula.
Osi oko kojih je centrifugalni moment inercije jednak nuli se nazivaju glavne osi inercije sekcije.
Ose simetrije su uvijek glavne. Ako je barem jedna od dvije međusobno okomite ose os simetrije, tada su obje ose glavne.
Moment inercije kompozitnog presjeka jednak je zbiru momenata inercije elemenata ovog presjeka.
Polarni moment inercije jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije.
Dokažimo posljednju osobinu. U presjeku sa površinom ALI za osnovnu platformu dA radijus vektor ρ i koordinate at i z(Sl. 6) povezani su Pitagorinom teoremom: ρ 2 = at 2 + z 2. Onda
Rice. 6. Odnos između polarnih i kartezijanskih koordinata
osnovno igralište
3.2.2. Trenuci inercije najjednostavnijih figura
AT pravougaonog presjeka(slika 7) izaberite elementarnu oblast dA sa koordinatama y i z i područje dA = dydz.
Rice. 7. Pravougaoni presjek
Aksijalni moment inercije oko ose at
.
Slično, dobijamo moment inercije oko ose z:
Ukoliko at i z su osi simetrije, zatim centrifugalni moment D zy = 0.
Za krug prečnika d proračuni su pojednostavljeni ako se uzme u obzir kružna simetrija i koriste se polarne koordinate. Uzmimo kao elementarnu površinu beskonačno tanak prsten poluprečnika ρ i debljine dρ (slika 8). Njegova oblast dA= 2πρ dρ. Tada je polarni moment inercije:
.
Rice. 8. Okrugli presjek
Kao što je gore prikazano, aksijalni momenti inercije oko bilo koje centralne ose su isti i jednaki
.
Moment inercije prstenje nalazimo kao razliku između momenata inercije dvije kružnice - one vanjske (prečnika D) i unutrašnji (sa promjerom d):
Moment inercije I z trougao definiramo u odnosu na osu koja prolazi kroz centar gravitacije (slika 9). Očigledno, širina elementarne trake koja se nalazi na udaljenosti at van ose z, je jednako
dakle,
Rice. 9. Trouglasti presjek
3.3. Odnosi između momenata inercije oko paralelnih osa
Sa poznatim vrijednostima momenata inercije oko osi z i at odrediti momente inercije u odnosu na druge ose z 1 i y 1 paralelno sa datim. Koristeći opću formulu za aksijalne momente inercije, nalazimo
Ako osi z i y onda centralno 
, i
Iz dobijenih formula se vidi da su momenti inercije oko centralnih ose (kada 
) imaju najmanje vrijednosti u odnosu na momente inercije u odnosu na bilo koji drugi paralelne ose.
3.4. Glavne ose i glavni momenti inercije
Kada se osi zarotiraju za ugao α, centrifugalni moment inercije postaje jednak
.
Odredimo položaj glavnih glavnih osi inercije u,
v o čemu 
,
gdje je α 0 ugao za koji se ose moraju rotirati y i z da oni budu glavni.
Budući da formula daje dvije vrijednosti ugla 
i 
, tada postoje dvije međusobno okomite glavne ose. Maksimalna os uvijek čini manji ugao ( 
) jednom od osi ( z ili y), u odnosu na koji aksijalni moment inercija je važnija. Podsjetimo da su pozitivni uglovi iscrtani sa ose z
suprotno od kazaljke na satu.
Zovu se momenti inercije oko glavnih osa glavni momenti inercije. Može se pokazati da su
.
Znak plus ispred drugog člana odnosi se na maksimalni moment inercije, a znak minus na minimum.
Aksijalni (ili ekvatorijalni) moment inercije presjeka oko neke ose naziva se preuzeta preko čitave njene površine F dF kvadratima njihovih udaljenosti od ove ose, tj.
Polarni moment inercije presjeka u odnosu na određenu tačku (pol) uzima se na cijelom njegovom području F zbir proizvoda elementarnih površina dF kvadratima njihovih udaljenosti od ove tačke, tj.
Centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na neke dvije međusobno okomite ose naziva se preuzetim na cijeloj njegovoj površini F zbir proizvoda elementarnih površina dF na njihovim udaljenostima od ovih osa, tj.
Momenti inercije se izražavaju u cm 4, m 4 itd. Aksijalni i polarni momenti inercije su uvijek pozitivni, jer njihovi izrazi pod predznacima integrala uključuju vrijednosti površina dF(uvijek pozitivan) i kvadrate udaljenosti ovih mjesta od date ose ili pola.
Slika 2.3 prikazuje poprečni presjek sa površinom F i pokazivanje osi at i x.
Rice. 2.3. Područje odjeljka F.
Aksijalni momenti inercije ovog presjeka u odnosu na ose at i x:
Zbir ovih momenata inercije
dakle,
Zbir aksijalnih momenata inercije presjeka oko dvije međusobno okomite ose jednak je polarnom momentu inercije ovog presjeka oko točke presjeka ovih osa.
Centrifugalni momenti inercije mogu biti pozitivni ili nula. Centrifugalni moment inercije presjeka oko osa, od kojih se jedna ili obje poklapaju s njegovim osama simetrije, jednak je nuli. Aksijalni moment inercije složenog presjeka oko određene ose jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova oko iste ose. Slično, centrifugalni moment inercije složenog presjeka oko bilo koje dvije međusobno okomite ose jednak je zbroju centrifugalnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova oko istih osa. Također, polarni moment inercije složenog presjeka u odnosu na određenu tačku jednak je zbiru polarnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova u odnosu na istu tačku. Treba imati na umu da se momenti inercije izračunati u odnosu na različite ose i tačke ne mogu zbrajati.
Za pravougaonik
Za krug
Za prsten
Često je prilikom rješavanja praktičnih problema potrebno odrediti momente inercije presjeka u odnosu na osi orijentirane na različite načine u njegovoj ravnini. U ovom slučaju, prikladno je koristiti već poznate vrijednosti momenata inercije cijelog presjeka (ili pojedinih njegovih dijelova) u odnosu na druge osi, date u tehničkoj literaturi, posebnim referentnim knjigama i tablicama, kao i kako je izračunato korištenjem dostupnih formula. Stoga je vrlo važno uspostaviti odnos između momenata inercije istog presjeka u odnosu na različite ose.
U najopćenitijem slučaju, prijelaz sa bilo kojeg star to bilo koji novo koordinatni sistem se može posmatrati kao dve uzastopne transformacije starog koordinatnog sistema:
1) od strane paralelni transfer koordinatne ose na novu poziciju;
2) rotirajući ih u odnosu na novo ishodište.
dakle,
Ako os X prolazi kroz težište presjeka, zatim statički moment S x= 0 i
Od svih momenata inercije oko paralelnih osa, aksijalni moment inercije ima najmanju vrijednost oko ose koja prolazi kroz težište presjeka.
Moment inercije oko ose at
U posebnom slučaju kada os / prolazi kroz težište presjeka,
centrifugalni moment inercije
U posebnom slučaju, kada je ishodište starog koordinatnog sistema y0x nalazi se u težištu sekcije,
Ako je presjek simetričan i jedna od starih osa (ili obje) poklapa se s osom simetrije, tada