Općenito, svaka jednačina je matematički model vage za čaše (poluga, ravnokraka, klackalica - ima mnogo naziva), izumljene u starom Babilonu prije 7000 godina ili čak ranije. Štaviše, čak mislim da su vage koje su se koristile u drevnim bazarima postale prototip jednačina. A ako na bilo koju jednadžbu gledate ne kao na nerazumljiv skup brojeva i slova povezanih sa dva paralelna štapa, već kao na vagi, onda neće biti problema sa svim ostalim:
Svaka jednadžba je poput uravnotežene skale
Desilo se da je svakim danom sve više jednačina u našem životu, a sve je manje razumijevanja šta je jednačina i šta je njeno značenje. U svakom slučaju, takav sam utisak stekao kada sam pokušao da svojoj najstarijoj ćerki objasnim značenje jednostavne matematičke jednačine kao što je:
x + 2 = 8 (500.1)
One. u školi, naravno, objašnjavaju da u ovakvim slučajevima, da bi pronašli X, trebate oduzeti 2 sa desne strane:
x = 8 - 2 (500.3)
Ovo je, naravno, apsolutno ispravna radnja, ali zašto je potrebno oduzimati, a ne, na primjer, zbrajati ili dijeliti, u školskim udžbenicima nema objašnjenja. Postoji samo pravilo koje morate glupo naučiti:
Kada se član jednačine prenese iz jednog dijela u drugi, njegov predznak se mijenja u suprotan.
A kako ovo pravilo treba da shvati učenik od 10 godina i šta je njegovo značenje, vi sami razmislite i odlučite. Štaviše, ispostavilo se da ni moji bliski rođaci nikada nisu shvatili značenje jednačina, već su jednostavno zapamtili ono što se traži (a posebno gornje pravilo) i tek onda to primijenili, kako im je Bog dao na dušu. Nije mi se svidjelo ovakvo stanje stvari pa sam odlučio da napišem ovaj članak (najmlađi odrasta, morat će to opet objašnjavati za koju godinu, a možda će i ovo biti od koristi nekolicini čitalaca moje stranice) .
Odmah želim da kažem da iako sam učio u školi 10 godina, nikada nisam predavao nikakva pravila i definicije u vezi tehničkih disciplina. One. ako je nesto jasno onda ce se ionako upamtiti, a ako nesto nije jasno, koja je onda svrha trpati bez razumevanja znacenja, ako se ionako zaboravi? A osim toga, ako nešto ne razumijem, onda mi to i ne treba (tek nedavno sam shvatio da ako nešto nisam razumio u školi, onda nisam ja kriv, već učitelji, udžbenici i općenito obrazovni sistem).
Ovakav pristup mi je omogućio dosta slobodnog vremena, koje mi je u djetinjstvu toliko nedostajalo za sve vrste igara i zabave. Istovremeno sam učestvovao na raznim olimpijadama iz fizike, hemije, čak sam pobedio na jednom okružnom takmičenju iz matematike. Ali kako je vrijeme odmicalo, broj disciplina koje rade s apstraktnim konceptima samo se povećavao i, shodno tome, moje ocjene su se smanjivale. U prvoj godini instituta, broj disciplina koje rade sa apstraktnim konceptima bio je apsolutna većina, a ja sam naravno bio potpuni student C. Ali onda, kada sam se iz niza razloga morao baviti čvrstoćom materijala bez pomoći predavanja i bilješki, i nekako sam to shvatio, sve je išlo glatko i završilo se crvenom diplomom. No, ne radi se sada o tome, već o tome da se zbog navedenih specifičnosti moji pojmovi i definicije mogu značajno razlikovati od onih koje se uče u školi.
A sada da nastavimo
Najjednostavnije jednadžbe, analogija sa težinama
Zapravo, djeca se uče da upoređuju različite predmete predškolskog uzrasta kada ne znaju ni da govore. Obično počinju geometrijskim poređenjem. Na primjer, pokažu djetetu dvije kocke i dijete mora odrediti koja je kocka veća, a koja manja. A ako su isti, onda je to jednakost u veličini. Tada se zadatak usložnjava, djetetu se pokazuju predmeti raznih oblika, različitih boja, a djetetu postaje sve teže birati iste predmete. Međutim, nećemo toliko komplicirati zadatak, već ćemo se fokusirati na samo jednu vrstu jednakosti - novčanu težinu.
Kada su skale skale na istom horizontalnom nivou (strelice skale, prikazane na slici 500.1 narandžastom i plavom bojom, poklapaju se, horizontalni nivo je prikazan crnom podebljanom linijom), to znači da je opterećenje na desni pan vaga kao na lijevom pan . U najjednostavnijem slučaju, to mogu biti utezi težine 1 kg:
Slika 500.1.
I tada dobijamo najjednostavniju jednačinu 1 = 1. Međutim, ova jednačina je samo za mene, u matematici se takvi izrazi zovu jednakost, ali suština ovoga se ne mijenja. Ako skinemo uteg s lijeve strane vage i stavimo bilo što na nju, čak i jabuke, čak i nokte, čak i crveni kavijar, a pritom je vaga na istom horizontalnom nivou, onda će to i dalje značiti da 1 kg bilo kojeg od navedenih proizvoda jednak je 1 kg težine preostale na desnoj strani vage. Ostaje samo platiti ovaj kilogram prema cijeni koju je odredio prodavac. Druga stvar je da vam se možda ne sviđa cijena, ili postoje sumnje u tačnost pondera - ali to su već pitanja ekonomskih i pravnih odnosa koja nemaju direktnu vezu sa matematikom.
Naravno, u tim dalekim vremenima, kada su se pojavile vage, sve je bilo mnogo jednostavnije. Prvo, nije postojala takva mjera težine kao kilogram, ali su postojale novčane jedinice koje su odgovarale mjerama težine, na primjer, talenti, šekeli, funte, grivne itd. (usput, dugo sam bio iznenađen što postoji funta - novčana jedinica i funta - mjera težine, postoji grivna - novčana jedinica, a nekada je grivna bila mjera težine, a tek nedavno, kada sam naučio da talenat nije samo novčana jedinica starih Jevreja, spomenuta u Starom zavetu, ali i mera za težinu usvojena u starom Vavilonu, sve je došlo na svoje mesto).
Tačnije, prvo su postojale težine, po pravilu, zrna žitarica, a tek onda se pojavio novac, koji je odgovarao ovim težinama. Na primjer, 60 zrna je odgovaralo jednom šekelu (sikl), 60 šekela je odgovaralo jednoj mini, a 60 minuta je odgovaralo jednom talentu. Stoga su se u početku vagama provjeravala da li je ponuđeni novac lažan, a tek onda su se pojavili utezi kao ekvivalent novca, body kitovi i prečice, elektronske vage i plastične kartice, ali to ne mijenja suštinu stvari.
U tim dalekim vremenima prodavač nije trebao detaljno objašnjavati koliko će koštati ovaj ili onaj proizvod. Bilo je dovoljno staviti robu koja se prodaje na jednu vagu, a kupac je stavio novac na drugu - vrlo jednostavno i jasno, pa čak ni poznavanje lokalnog dijalekta nije potrebno, možete trgovati bilo gdje u svijetu. Ali da se vratimo na jednačine.
Ako jednačinu (500.1) posmatramo sa položaja vage, onda to znači da se na lijevoj tavi vage nalazi nepoznat broj kilograma i još 2 kilograma, a na desnoj tavi 8 kilograma:
x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)
Bilješka: U ovom slučaju, podvučena crta simbolizira dno vage, kada se računa na papiru, ova linija može više podsjećati na dno vage. Štaviše, matematičari su odavno smislili posebne simbole - zagrade, pa se bilo koje zagrade mogu smatrati stranicama skale, barem u prvoj fazi razumijevanja značenja jednačina. Ipak, ostaviću donju crtu radi veće jasnoće.
Dakle, šta trebamo učiniti da saznamo nepoznati broj kilograma? Tačno! Uklonite 2 kilograma s lijeve i desne strane vage, tada će vaga ostati na istoj horizontalnoj razini, tj. i dalje ćemo imati jednakost:
x + 2 kg, - 2 kg = 8 kg, - 2 kg (500.2.2)
Odnosno
x, = 8kg - 2kg, (500.3.2)
x, = 6 kg, (500.4.2)
Slika 500.2.
Često matematika ne operira s kilogramima, već s nekim apstraktnim bezdimenzionalnim jedinicama, a onda će rješenje jednadžbe (500.1), na primjer, u nacrtu izgledati ovako:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x, = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Što je prikazano na slici 500.2.
Bilješka: Formalno, radi još boljeg razumijevanja, nakon jednačine (500.2) treba slijediti još jedna jednačina oblika: x + 2 - 2, = 8 - 2,što znači da je akcija završena i opet imamo posla sa ravnotežnim posudama težine. Međutim, po mom mišljenju, nema potrebe za tako potpuno kompletnom evidencijom rješenja.
U čistim knjigama obično se koristi skraćeni zapis rješenja jednadžbe, a ne reduciraju se ne samo simboli skala, koji su, po mom mišljenju, toliko potrebni u početnoj fazi proučavanja jednačina, već čak i cijele jednačine . Tako će skraćeni zapis rješenja jednačine (500.1) u čistoj kopiji, prema primjerima navedenim u udžbenicima, izgledati ovako:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Kao rezultat toga, koristeći analogiju sa ponderima, napravili smo dodatnu jednačinu (500.2) u poređenju sa predloženim udžbenicima, bilo po metodu rješenja, bilo po obliku zapisa ovog rješenja. Po mom mišljenju, ovo je jednačina, štaviše, napisana otprilike u ovom obliku, tj. sa simboličkom oznakom skale - ovo je karika koja nedostaje, važna za razumevanje značenja jednačina.
One. pri rješavanju jednadžbi ne prenosimo nigdje ništa sa suprotnim predznakom, ali izvodimo iste matematičke operacije s lijevom i desnom stranom jednačine.
Upravo je sada uobičajeno pisati rješenja jednačina u gore navedenom skraćenom obliku. Nakon jednačine (500.1.1) odmah slijedi jednačina (500.3.1), pa slijedi pravilo inverznih predznaka, koje je, međutim, mnogima lakše zapamtiti nego udubljivati se u značenje jednačina.
Bilješka: Protiv skraćenog oblika snimanja nemam ništa, štaviše. napredni korisnici mogu još više skraćivati ovaj oblik, ali to treba učiniti tek nakon što je opšte značenje jednačina već jasno shvaćeno.
A proširena notacija vam omogućava da shvatite glavna pravila za rješavanje jednadžbi:
1. Ako izvršimo iste matematičke operacije sa lijevom i desnom stranom jednadžbe, onda je jednakost sačuvana.
2. Nije bitno koji dio u razmatranoj jednačini je lijevi, a koji desni, možemo ih slobodno zamijeniti.
Ove matematičke operacije mogu biti bilo koje. Možemo oduzeti isti broj sa lijeve i desne strane, kao što je prikazano gore. Možemo dodati isti broj lijevoj i desnoj strani jednačine, na sljedeći način:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x, = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Oba dijela možemo podijeliti ili pomnožiti istim brojem, na primjer:
3x, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x, = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, \u003d 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3x, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Možemo integrirati ili razlikovati oba dijela. Sa lijevom i desnom stranom možemo raditi šta god hoćemo, ali ako su ove radnje iste za lijevu i desnu stranu, onda će jednakost biti očuvana (vaga će ostati na istom horizontalnom nivou).
Naravno, morate odabrati radnje koje će vam omogućiti da brzo i jednostavno odredite nepoznatu vrijednost.
Sa ove tačke gledišta, klasična metoda obrnute akcije je takoreći jednostavnija, ali šta ako dijete još nije naučilo negativne brojeve? U međuvremenu, rezultirajuća jednačina ima sljedeći oblik:
5 - x = 3 (500.8)
One. pri rješavanju ove jednadžbe klasičnom metodom, jedan od opcije rješenje koje daje najkraći unos je sljedeće:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
I što je najvažnije – kako objasniti djetetu zašto je jednačina (500.8.3) identična jednačini (500.8.4)?
To znači da u ovom slučaju, čak i kada koristite klasičnu metodu, nema smisla štedjeti na snimanju i prvo se morate riješiti nepoznate vrijednosti na lijevoj strani, koja ima negativan predznak.
5 - x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5 - 3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
U ovom slučaju, kompletan zapis će izgledati ovako:
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Dodaću ponovo. Kompletna evidencija rješenja nije potrebna za nastavnike, već za bolje razumijevanje metode rješavanja jednačina. A kada zamenimo levu i desnu stranu jednačine, to je kao da menjamo pogled na vagu sa tačke gledišta kupca na gledište prodavca, ipak, jednakost se održava.
Nažalost, nikada nisam uspio natjerati kćer da zapiše kompletno rješenje, čak ni u nacrtima. Ona ima gvozdeni argument: "Nisu nas tako učili." U međuvremenu se povećava složenost jednačina koje se sastavljaju, smanjuje se procenat pogađanja koja radnja treba da se izvrši da bi se odredila nepoznata vrijednost, a procjene padaju. Ne znam sta da radim sa tim...
Bilješka: u savremenoj matematici uobičajeno je razlikovati jednakosti i jednačine, tj. 1 \u003d 1 je samo numerička jednakost, a ako jedan od dijelova jednakosti ima nepoznanicu koju treba pronaći, onda je to već jednadžba. Što se mene tiče, takvo razlikovanje značenja nema previše smisla, već samo otežava percepciju materijala. Vjerujem da se svaka jednakost može nazvati jednačinom, a svaka se jednačina zasniva na jednakosti. I osim toga, postavlja se pitanje x = 6, je li to već jednakost ili je još uvijek jednadžba?
Najjednostavnije jednadžbe, analogija s vremenom
Naravno, analogija s ponderima u rješavanju jednačina daleko je od jedine. Na primjer, rješenje jednačina može se razmatrati iu vremenskom aspektu. Tada će uvjet opisan jednadžbom (500.1) zvučati ovako:
Nakon što smo dodali nepoznati iznos X Još 2 jedinice, imamo 8 jedinica (prisutno). Međutim, iz ovog ili onog razloga, ne zanima nas koliko ih je postalo, već nas zanima koliko ih je bilo u prošlom vremenu. Shodno tome, da bismo saznali koliko smo ovih istih jedinica imali, potrebno je izvršiti suprotnu radnju, tj. oduzmi 2 od 8 (jednačina 500.3). Ovaj pristup tačno odgovara onome što je navedeno u udžbenicima, ali po mom mišljenju nije tako jasan kao analogija sa tegovima. Međutim, mišljenja o ovom pitanju mogu se razlikovati.
Primjer rješavanja jednadžbe sa zagradama
Ovaj članak sam napisao u ljeto kada je moja kćerka završila 4. razred, ali nije prošlo ni pola godine od kada su ih u školi zamolili da rješavaju jednačine sljedećeg oblika:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Nitko u klasi nije mogao riješiti ovu jednačinu, ali u međuvremenu, nema ništa komplikovano u rješavanju pomoću metode koju sam predložio, samo će puni oblik notacije zauzeti previše prostora:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), \u003d 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), \u003d 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), \u003d 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75, \u003d 3 (50 - 5x), (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, \u003d 50 - 5x, (500.10.11)
25, \u003d 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, \u003d 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Međutim, u ovoj fazi nema potrebe za tako potpunom notacijom. Pošto smo došli do dvostrukih zagrada, nije potrebno pisati posebnu jednačinu za matematičke operacije na lijevoj i desnoj strani, pa bi unos rješenja u nacrtu mogao izgledati ovako:
97 + 75: (50 - 5x) : 3 = 300 : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), \u003d 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 \u003d 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x) , (50 - 5x) = 3 , (50 - 5x) (500.10.8)
75, \u003d 3 (50 - 5x), (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, \u003d 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Ukupno je u ovoj fazi bilo potrebno zapisati 14 jednačina da bi se riješila prvobitna.
U ovom slučaju, zapis rješenja jednadžbe u čistoj kopiji može izgledati ovako:
97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x=25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
One. u skraćenom obliku, još moramo napraviti 12 jednačina. Istovremeno, uštede na snimanju su minimalne, ali učenik petog razreda zaista može imati problema s razumijevanjem potrebnih radnji.
P.S. Tek kada je reč o duplim zagradama, ćerka se zainteresovala za metod koji sam predložio za rešavanje jednačina, ali u isto vreme u njenoj formi pisanja, čak i u nacrtu, ima još 2 puta manje jednačina, jer preskače završnicu. jednadžbi poput (500.10.4), (500.10. 7) i slično, a prilikom pisanja odmah ostavlja prostor za narednu matematičku operaciju. Kao rezultat toga, unos u njenom nacrtu izgledao je otprilike ovako:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 : 3 = 300 : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 \u003d 100, - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x) , (50 - 5x) = 3 , (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Kao rezultat, dobijeno je samo 8 jednačina, što je čak i manje nego što je potrebno za skraćeno rješenje. U principu, nemam ništa protiv, to bi samo bilo korisno.
To je zapravo sve što sam htio reći o rješenju najjednostavnijih jednačina koje sadrže jednu nepoznatu veličinu. Da biste riješili jednadžbe koje sadrže dvije nepoznate veličine, trebate
1.2. Mjerenje vremena u astronomiji
1.2.1. Opće odredbe
Jedan od zadataka geodetske astronomije, astrometrije i geodezije svemira je određivanje koordinata nebeskih tijela u datom trenutku vrijeme. Bave se izradom astronomskih vremenskih skala nacionalne službe vrijeme i Međunarodni ured za vrijeme.
Sve poznate metode za konstruisanje kontinualnih vremenskih skala su zasnovane na batch procesi, na primjer:
- rotacija Zemlje oko svoje ose;
- Zemljina orbita oko Sunca;
- rotacija Mjeseca oko Zemlje u orbiti;
- njihanje klatna pod dejstvom gravitacije;
- elastične vibracije kristala kvarca pod djelovanjem naizmjenične struje;
- elektromagnetne oscilacije molekula i atoma;
- radioaktivni raspad atomskih jezgara i drugi procesi.
Vremenski sistem se može podesiti sa sljedećim parametrima:
1) mehanizam - pojava koja obezbeđuje periodično ponavljajući proces (na primer, dnevna rotacija Zemlje);
2) skala - vremenski period za koji se proces ponavlja;
3) početna tačka, nulta tačka - trenutak početka ponavljanja procesa;
4) način računanja vremena.
U geodetskoj astronomiji koriste se astrometrija, nebeska mehanika, sistemi sideralnog i solarnog vremena, zasnovani na rotaciji Zemlje oko svoje ose. Ovo periodično kretanje je najviši stepen jednolične, vremenski neograničene i kontinuirane tokom čitavog postojanja čovečanstva.
Osim toga, u astrometriji i nebeskoj mehanici,
Efemeride i dinamički vremenski sistemi , kao ideal
struktura ujednačene vremenske skale;
Sistem atomsko vrijeme– praktična implementacija idealno ujednačene vremenske skale.
1.2.2. zvezdano vreme
Sideralno vrijeme je označeno sa s. Parametri sistema zvezdanog vremena su:
1) mehanizam - rotacija Zemlje oko svoje ose;
2) skala - zvezdani dan, jednak vremenskom intervalu između dva uzastopna gornja vrhunca tačke prolećne ravnodnevice
in osmatračnica;
3) početna tačka na nebeskoj sferi je tačka prolećnog ekvinocija, nulta tačka (početak zvezdanog dana) je trenutak gornjeg vrhunca tačke;
4) metoda brojanja. Mjera sideralnog vremena je satni ugao tačke
proljetna ravnodnevica, t. Nemoguće ga je izmjeriti, ali izraz je istinit za svaku zvijezdu
dakle, znajući pravu ascenziju zvijezde i računajući njen satni ugao t, može se odrediti sideralno vrijeme s.
Razlikovati istinito, prosječno i kvazi-tačno gama tačke (razdvajanje je zbog nutacije astronomskog faktora, vidi paragraf 1.3.9), u odnosu na koje se meri istinito, srednje i kvazi-istinito siderično vrijeme.
Sistem sideralnog vremena koristi se za određivanje geografskih koordinata tačaka na površini Zemlje i azimuta pravca ka zemaljskim objektima, u proučavanju nepravilnosti. dnevna rotacija Zemlja, prilikom uspostavljanja nultih tačaka skala drugih sistema mjerenja vremena. Ovaj sistem, iako se široko koristi u astronomiji, u Svakodnevni život neugodno. Smjena dana i noći, zbog vidljivog dnevnog kretanja Sunca, stvara vrlo određen ciklus u ljudskoj aktivnosti na Zemlji. Stoga se računanje vremena dugo temeljilo na dnevnom kretanju Sunca.
1.2.3. Pravo i srednje solarno vrijeme. Jednadžba vremena
Pravi solarni vremenski sistem (ili pravo solarno vrijeme- m ) koristi se za astronomska ili geodetska posmatranja Sunca. Sistemski parametri:
1) mehanizam - rotacija Zemlje oko svoje ose;
2) skala - pravi solarni dan- vremenski interval između dvije uzastopne niže kulminacije centra pravog Sunca;
3) početna tačka - centar diska pravog Sunca - , nulta tačka - istinita ponoć, ili trenutak donje kulminacije centra diska pravog Sunca;
4) metoda brojanja. Mjera pravog sunčevog vremena je geocentrični satni ugao pravog Sunca t plus 12 sati:
m = t + 12h .
Jedinica pravog solarnog vremena - sekunda, jednaka 1/86400 pravog solarnog dana, ne zadovoljava osnovni zahtjev za jedinicom vremena - nije konstantna.
Razlozi za nepostojanost prave solarne vremenske skale su
1) neravnomerno kretanje Sunca po ekliptici zbog eliptičnosti Zemljine orbite;
2) neravnomjerno povećanje pravog uspona Sunca tokom godine, budući da je Sunce nagnuto duž ekliptike prema nebeskom ekvatoru pod uglom od približno 23,50.
Zbog ovih razloga, upotreba sistema pravog sunčevog vremena u praksi je nezgodna. Prelazak na jednoliku solarnu vremensku skalu odvija se u dvije faze.
Faza 1 prijelaz na lutku srednje ekliptično sunce. na dan-
U ovoj fazi je isključeno neravnomjerno kretanje Sunca duž ekliptike. Neravnomjerno kretanje u eliptičnoj orbiti se zamjenjuje sa ravnomerno kretanje u kružnoj orbiti. Pravo Sunce i srednje ekliptično Sunce se poklapaju kada Zemlja prolazi kroz perihel i afel svoje orbite.
Faza 2 prelazak na srednje ekvatorijalno sunce, krećući se jednako
numerisan duž nebeskog ekvatora. Ovdje je isključeno neravnomjerno povećanje pravog uspona Sunca, zbog nagiba ekliptike. Pravo Sunce i srednje ekvatorijalno Sunce istovremeno prolaze tačke prolećne i jesenje ravnodnevice.
Kao rezultat ovih radnji, novi sistem mjerenja vremena - srednje solarno vrijeme.
Srednje solarno vrijeme je označeno sa m. Parametri srednjeg solarnog vremenskog sistema su:
1) mehanizam - rotacija Zemlje oko svoje ose;
2) skala - prosečan dan - vremenski interval između dva uzastopna niža klimaksa srednjeg ekvatorijalnog Sunca ekv ;
3) početna tačka - srednje ekvatorijalno Sunce equiv , nullpoint - srednja ponoć , ili trenutak donjeg klimaksa srednjeg ekvatorijalnog Sunca;
4) metoda brojanja. Mjera srednjeg vremena je geocentrični satni ugao srednjeg ekvatorijalnog Sunca t ekvivalent plus 12 sati.
m = t ekviv + 12h.
Nemoguće je odrediti srednje sunčevo vrijeme direktno iz posmatranja, pošto je srednje ekvatorijalno Sunce fiktivna tačka na nebeskoj sferi. Srednje solarno vrijeme se izračunava iz pravog solarnog vremena, određenog iz posmatranja pravog sunca. Razlika između pravog solarnog vremena m i srednjeg solarnog vremena m naziva se jednadžba vremena i označava se:
M - m = t - t sr.ekv. .
Jednačina vremena je izražena sa dvije sinusoide sa godišnjim i polugodišnjim
novi periodi:
1 + 2 -7,7m sin (l + 790 )+ 9,5m sin 2l,
gdje je l ekliptička dužina srednjeg ekliptičkog Sunca.
Graf je kriva sa dva maksimuma i dva minimuma, koja u kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu ima oblik prikazan na sl. 1.18.
Fig.1.18. Grafikon jednadžbe vremena
Vrijednosti jednačine vremena kreću se od +14m do –16m.
U Astronomskom godišnjaku za svaki datum je data vrijednost E, jednaka
E \u003d + 12 h.
OD date vrijednosti, odnos između srednjeg sunčevog vremena i satnog ugla pravog Sunca određen je izrazom
m = t -E.
1.2.4. Julijanski dani
At tacna definicija brojčanu vrijednost vremenskog intervala između dva udaljena datuma, zgodno je koristiti kontinuirano brojanje dana, što se u astronomiji naziva Julijanski dani.
Početak računanja julijanskih dana je srednje podne po Griniču 1. januara 4713. godine prije nove ere, od početka ovog perioda, prosječni solarni dan se broji i numeriše tako da svaki kalendarski datum odgovara određenom julijanskom danu, skraćeno JD. Dakle, epoha 1900, januar 0.12h UT odgovara julijanskom datumu JD 2415020.0, a epoha 2000, 1. januar, 12h UT - JD2451545.0.
Matematička strana glavnog zadatka strukturne mehanike zasniva se na zavisnostima dobijenim u čvrstoći materijala. Podsjetimo ih na primjeru naponsko-deformacijskog stanja elementa okvira, za koji je, za razliku od grede, poprečno savijanje praćeno dodatnim zatezanjem ili kompresijom.
Neka takav element dužine dx nalazi u lokalnom koordinatnom sistemu Oxy, gdje je os Ox je usmjerena duž ose štapa i opterećena je raspoređenim opterećenjem intenziteta q x I q y zajedno Ox I Oy odnosno (slika 1.20).
Stanje naprezanja i deformacije šipke određeno je sa devet komponenti:
- unutrašnji napori M, Q, N,);
– pokreti ( u, v, );
– deformacije (κ, , ).
Jednadžbe za određivanje ovih funkcija mogu se podijeliti u tri grupe:
Statičke jednačine- povezati unutrašnje sile (slika 1.20, b) sa datim opterećenjem:
dN/dx = – q x ;
dQ/dx= q y; ý (1.10)
dM/dx= Q .
Geometrijske jednačine- izraziti deformacije kroz pomake prikazane na sl. 1.20, b, c:
κ = d/ dx;
= dv/dx; (1.11)
= du/dx.
Physical Equations- predstavljaju odnos između unutrašnjih sila i deformacija:
κ = M/EJ;
= Q/GF; (1.12)
= N/EF;
gdje E– Youngov modul;
G je modul smicanja;
F je površina poprečnog presjeka štapa;
J je njegov moment inercije;
je koeficijent koji uzima u obzir neravnomjernu raspodjelu posmičnog naprezanja u poprečnom presjeku štapa.
Imajte na umu da izrazi EJ I EF u (1.12) se nazivaju krutost štapa pri savijanju i zatezanju (kompresiji) respektivno.
Prilikom rješavanja sistema jednačina (1.10) - (1.12) moguće su dvije opcije:
1) unutrašnji napori M, Q, N, može se naći iz sistema jednačina (1.10) bez pozivanja na ostale jednačine - ovo je SOS;
2) unutrašnje sile se mogu naći samo zajedničkim rješavanjem svih devet jednačina - ovo je SNA.
U potonjem slučaju, prilikom rješavanja ovih jednačina, moguća su dva pristupa:
– napori su izabrani kao glavne nepoznanice M, Q, N, izražavajući sve ostalo u terminima njih - to je rješenje u obliku metode sile;
– pomaci se biraju kao glavne nepoznanice u, v, je rješenje u obliku metode pomaka.
Sistemi opisani linearnim jednačinama (1.10) - (1.12) nazivaju se linearno deformabilni. Pošteno prema njima princip superpozicije, prema kojem:
Unutrašnje sile, pomaci i deformacije od datog opterećenja (ili drugog udara) mogu se naći kao zbir odgovarajućih vrijednosti od svakog opterećenja posebno.
napomene:
1. Prva od statičkih jednačina (1.10) dobija se iz uslova ravnoteže razmatranog elementa okvira. Pretpostavljajući u njemu q x= const, i izrada jednačine X= 0, dobijamo:
– N+ q x dx+ (N+dN) = 0,
odakle sledi željena zavisnost. Druge dvije jednadžbe iz (1.10) su diferencijalne zavisnosti Žuravskog.
2. Prva od fizičkih jednačina (1.12) je diferencijalna jednadžba savijene ose grede:
κ = d/ dx = d 2 v/dx 2 = M /EJ.
Druga jednadžba pod pretpostavkom ujednačene raspodjele posmičnih naprezanja u poprečnom presjeku šipke ( =1) izražava Hookeov zakon u smicanju:
= Q/F= G.
Istovremeno, ne navodimo značenje koeficijenta iz razloga koji će biti naznačen u § 3.5. Posljednja od fizičkih jednačina (1.12) je Hookeov zakon u CRS-u:
= N/F= E.
3. Od sada, osim ako nije drugačije navedeno, nastavit ćemo koristiti notaciju Oxy za globalni koordinatni sistem povezan sa strukturom kao celinom.
Jednadžba vremena razlika između srednjeg i pravog solarnog vremena; jednaka razlici između pravog uspona pravog i srednjeg Sunca. Često U. vijeka. definirana kao razlika između pravog i prosječnog vremena; u ovom slučaju ima suprotan predznak, što se mora imati na umu kada se koriste imenici.
U. in. se stalno mijenja. To je zbog činjenice da pravo Sunčevo vrijeme, mjereno satnim uglom pravog Sunca, teče neravnomjerno zbog, prvo, neravnomjernog kretanja Zemlje u njenoj orbiti i, drugo, zbog nagiba ekliptike prema ekvator. Stoga, U. c. se dobija dodavanjem dva talasa približno sinusoidnog oblika i skoro jednake amplitude (vidi Sl. pirinač. ). Jedan od ovih talasa ima jednogodišnji period, drugi polugodišnji. Četiri puta godišnje, i to: oko 16. aprila, 14. juna, 1. septembra i 25. decembra, U. c. jednaka je nuli i dostiže 4 puta najveću vrijednost (u apsolutnoj vrijednosti): oko 12. februara + 14,3 min, 15. maj - 3.8 min, 27. jul + 6.4 min i 4. novembar - 16.4 min. Uz pomoć U. vijeka. prosječno lokalno solarno vrijeme se može pronaći ako je poznato pravo solarno vrijeme, određeno iz posmatranja Sunca, na primjer, korištenjem sunčanog sata; dok koristite formulu:
m = m 0+h ,
gdje m- prosječno vrijeme, m 0 – pravo vrijeme, h - U. v. Vrijednosti U. in. za svaki dan dati su u astronomskim godišnjacima i kalendarima. Cm. Vrijeme.
Grafikon jednačine vremena: 1 - komponenta jednačine vremena, određena neravnomjernim kretanjem Zemlje u orbiti; 2 - komponenta jednačine vremena, određena nagibom ekliptike prema ekvatoru; 3 - jednadžba vremena.
Velika sovjetska enciklopedija M.: " Sovjetska enciklopedija", 1969-1978
Grafikon jednadžbe vremena (plava linija) i njene dvije komponente kada je ova jednačina definirana kao SW = SNE - WIS.
Jednadžba vremena- razlika između srednjeg solarnog vremena (SST) i pravog solarnog vremena (TSV), odnosno SW = SST - WIS. Ova razlika u bilo kom određenom trenutku je ista za posmatrača u bilo kojoj tački na Zemlji. Jednadžba vremena se može naći u specijalizovanim astronomskim publikacijama, astronomskim programima ili izračunati pomoću formule u nastavku.
U publikacijama kao što je Astronomski kalendar, jednadžba vremena se definiše kao razlika između satnih uglova srednjeg ekvatorijalnog sunca i pravog sunca, odnosno sa ovom definicijom SW = NNE - WIS.
U publikacijama na engleskom jeziku često se koristi drugačija definicija jednadžbe vremena (tzv. "obrnuta"): SW \u003d WIS - SV, odnosno razlika između pravog solarnog vremena (WIS) i srednjeg solarnog vremena (SSV).
Malo pojašnjenja definicije
Definiciju jednadžbe vremena možete pronaći kao razliku između "lokalnog pravog solarnog vremena" i "lokalnog srednjeg solarnog vremena" (u engleskoj literaturi - lokalno prividno solarno vrijeme I lokalno srednje solarno vrijeme). Ova definicija formalno tačnije, ali ne utiče na rezultat, jer je ova razlika ista za bilo koju tačku na Zemlji.
Osim toga, ni "lokalno pravo solarno vrijeme" ni "lokalno srednje solarno vrijeme" ne treba brkati sa službenim lokalnim vremenom ( standardno vrijeme).
Objašnjenje nepravilnog kretanja pravog Sunca
Za razliku od zvijezda, čije je prividno dnevno kretanje gotovo ujednačeno i nastaje samo zbog rotacije Zemlje oko svoje ose, dnevno kretanje Sunca nije ravnomjerno, jer je zbog rotacije Zemlje oko svoje ose, a okretanja Zemlje oko Sunca i nagiba Zemljine ose u ravni Zemljine orbite.
Nepravilnost zbog eliptičnosti orbite
Zemlja se okreće oko Sunca po eliptičnoj orbiti. Prema drugom Keplerovom zakonu, takvo kretanje je neravnomjerno, brže je u području perihela i sporije u području afela. Za posmatrača na Zemlji, to se izražava u činjenici da se prividno kretanje Sunca duž ekliptike u odnosu na nepokretne zvijezde ili ubrzava ili usporava.
Nepravilnost zbog nagiba zemljine ose
Jednačina vremena ide na nulu četiri puta godišnje: 14. aprila, 14. juna, 2. septembra i 24. decembra.
Shodno tome, u svakoj sezoni postoji maksimum jednačine vremena: oko 12. februara - +14,3 minuta, 15. maja - -3,8 minuta, 27. jula - +6,4 minuta i 4. novembra - -16,4 minuta. Tačne vrijednosti jednačine vremena date su u astronomskim godišnjacima.
Može se koristiti kao dodatna funkcija u nekim modelima satova.
Plaćanje
Jednačina se može aproksimirati segmentom Fourierove serije kao zbirom dvije sinusoidalne krive s periodima od godinu i šest mjeseci, respektivno:
E = 7,53 cos (B) + 1,5 sin (B) − 9,87 sin (2 B) (\displaystyle E=7,53\cos(B)+1,5\sin(B)-9,87\sin(2B)) B = 360 ∘ (N − 81) / 365 (\displaystyle B=360^(\circ )(N-81)/365) ako su uglovi izraženi u stepenima. B = 2 π (N − 81) / 365 (\displaystyle B=2\pi (N-81)/365) ako su uglovi izraženi u radijanima. Gdje N (\displaystyle N)- broj dana u godini, na primjer: N = 1 (\displaystyle N=1) 1. januara N = 2 (\displaystyle N=2) 2. januaraRuby kalkulator za trenutni datum
#!/usr/bin/ruby =početak izračunavanja jednadžbe vremena ***Nikakve garancije se ne podrazumijevaju. Koristite na vlastitu odgovornost *** Napisao E. Sevastjanov, 14.05.2017 Zasnovano na članku WikiPedia "Jednačina vremena" od 28.11.2016 (koji opisuje uglove u zbunjujućoj mješavini stupnjeva i radijana) i Del Smith, 29.11.2016 Čini se da daje dobar rezultat, ali ne tvrdim da je tačnost.=end pi = (Matematika :: PI ) # pi delta = (Vrijeme . sada . getutc . yday - 1 ) # (Trenutni dan u godini - 1) yy = vrijeme. sad. getutc. yearnp = slučaj yy #Broj np je broj dana od 1. januara do datuma Zemljinog perihela. (http://www.astropixels.com/ephemeris/perap2001.html) kada2017; 3 kada2018; 2when2019; 2when2020 ; 4when2021; 1when2022 ; 3when2023; 3when2024 ; 2when2025 ; 3when2026 ; 2when2027 ; 2when2028 ; 4when2029; 1when2030 ; 2 ostalo; 2 kraj a = Vrijeme . sad. getutc. to_a ; delta = delta + a [2]. to_f / 24 + a [ 1 ]. do_f / 60 / 24 # Ispravka za frakcijski dio dana lambda = 23 . 4406*pi/180; # Zemljin nagib u radijanima omega = 2 * pi / 365 . 2564 # ugaona brzina godišnje obrtaje (radijani/dan) alfa = omega * ((delta + 10 ) % 365 ) # ugao u (srednjoj) kružnoj orbiti, solarna godina počinje 21. decembra beta = alfa + 0 . 033405601 88317 * Matematika . grijeh (omega * ((delta - np ) % 365 )) # ugao u eliptičnoj orbiti, od perigeja (radijani) gamma = (alpha - Math. atan (Math. tan (beta) / Math. cos (lambda ))) / pi # ugaona korekcija eot = (43200 * (gama - gama. round)) # jednadžba vremena u sekundama stavlja " EOT =" + (- 1 * eot ) . to_s + "sekunde"