Na youtube kanal naše stranice stranice da budete upoznati sa svim novim video lekcijama.

Prvo, prisjetimo se osnovnih formula stupnjeva i njihovih svojstava.

Proizvod broja a dešava na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe- ovo su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

U ovom primjeru, broj 6 je baza, uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili mera.

Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?

Uzmimo jednostavnu jednačinu:

2 x = 2 3

Takav primjer se može riješiti čak i u umu. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako treba donijeti ovu odluku:

2 x = 2 3
x = 3

Da bismo riješili ovu jednačinu, uklonili smo iste osnove(odnosno dvojke) i zapisao ono što je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.

Sada da sumiramo naše rješenje.

Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li su osnove jednadžbe na desnoj i na lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što su baze iste, izjednačiti stepena i riješiti rezultirajuću novu jednačinu.

Sada da riješimo neke primjere:

Počnimo jednostavno.

Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da možemo odbaciti bazu i izjednačiti njihove stupnjeve.

x+2=4 Pokazala se najjednostavnija jednačina.
x=4 - 2
x=2
Odgovor: x=2

U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite, to su 3 i 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Za početak, prenosimo devetku na desnu stranu, dobijamo:

Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2 . Koristimo formulu snage (a n) m = a nm .

3 3x = (3 2) x + 8

Dobijamo 9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2 x + 16

3 3x = 3 2x + 16 sada je jasno da su baze na lijevoj i desnoj strani iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stupnjeve.

3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x-2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Pogledajmo sljedeći primjer:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Prije svega, gledamo baze, baze su različite dvije i četiri. I mi treba da budemo isti. Transformišemo četvorku prema formuli (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodajte u jednačinu:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate, možete vidjeti da na lijevoj strani ponavljamo 2 2x, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz u zagradama:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:

Zamislite 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze su iste, odbacite ih i izjednačite stupnjeve.
Pokazalo se da je 2x = 2 najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo jednačinu:

9 x - 12*3 x +27= 0

transformirajmo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primeru je jasno da prva trojka ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju možete odlučiti metoda zamjene. Broj s najmanjim stepenom zamjenjuje se sa:

Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Zamjenjujemo sve stupnjeve sa x-ovima u jednadžbi sa t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dobijamo kvadratnu jednačinu. Rešavamo kroz diskriminant, dobijamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Povratak na varijablu x.

Uzimamo t 1:
t 1 = 9 = 3 x

To je,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog, od t 2:
t 2 \u003d 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stranici možete u rubrici POMOĆI ODLUČITI postaviti pitanja koja vas zanimaju, mi ćemo vam svakako odgovoriti.

Pridružite se grupi

Sudeći po početku publikacije, koju ćemo ovdje izostaviti, tekst je napisao Yuri Ignatievich. I dobro je napisano, a problemi su aktuelni, samo tako nazvati Rusiju, kako to radi Mukhin...

Kako god se ko odnosio prema antinarodnoj vlasti, Rusija je iznad nje i ne zaslužuje uvrede. Čak i od talentovanog prevaranta američke agencije NASA.

*

Apel druže. Mukhin Yu.I.

Dragi Yuri Ignatievichu! Znam da posjećujete ove stranice. Stoga vam se obraćam direktno.

Svi cijenimo vaš nesebičan rad na polju razotkrivanja laži Zapada, laži Amerike, laži pseudo-naučnika, laži liberala. Sa zadovoljstvom i koristima za sebe i društvo razmišljamo o ozbiljnim temama koje nam s vremena na vrijeme dobacite, bilo meritokratija ili metafizika, ljubav prema nacionalne istorije ili obnova pravde.

Međutim, vaše definicije naše zajedničke domovine sa vama su zbunjujuće i veoma uznemirene.

Međutim, prosudite sami: kako biste okarakterisali osobu koja je počela da vređa svoju majku koja se razbolela i zbog toga privremeno prestala da radi?

Ali Rusija, ma kako se zvala i koliko god dobra ili odvratna moć bila, Rusija je naša domovina. Domovina. Za nju su naši djedovi krv prolili i živote položili.

Stoga, staviti ga u ravan sa moći znači spustiti duhovno uzvišeno na nivo materijalnog, pa čak i niskog. One. uspoređujete potpuno različite kategorije. Neprihvatljiva stvar za svakog zdravog čoveka.

Preklinjem te dragi druže. Mukhin, razmisli ozbiljno o ovome.

**

... A sa jednadžbama (ovo nisam znao), situacija je sljedeća. Kako pronaći korijene kvadratna jednačina nagađa se još u starom Egiptu.

Kako pronaći korijene kubične jednačine i jednačine četvrtog stepena pronađeno je u šesnaestom vijeku, ali nisu mogli pronaći korijene jednačine petog stepena sve do 2016. godine. I daleko od običnih ljudi pokušali.

U šesnaestom veku, osnivač simboličke algebre François Viet pokušao je da pronađe korene jednačine petog stepena; u devetnaestom veku je to pokušao da uradi osnivač moderne više algebre, francuski matematičar Evariste Galois; nakon njega , norveški matematičar Niels Henrik Abel pokušao je pronaći korijene jednačina petog stepena, koji je na kraju odustao i dokazao nemogućnost rješavanja jednačine petog stepena u opštem obliku.

Čitamo na Wikipediji o Abelovim zaslugama: „Abel je završio briljantnu studiju drevnog problema:dokazao nemogućnost da se u opštem obliku (u radikalima) reši jednačina 5. stepena...

U algebri je Abel pronašao neophodno stanje tako da je korijen jednadžbe izražen "u radikalima" kroz koeficijente ove jednačine. Dovoljan uslov je ubrzo otkrio Galois, čija su dostignuća bila zasnovana na Abelovom delu.

Abel je dao konkretne primjere jednadžbe 5. stepena čiji se korijeni ne mogu izraziti u radikalima i tako je u velikoj mjeri zatvorio drevni problem.

Kao što vidite, ako su sve vrijeme pokušavali dokazati Poincaréovu teoremu i Perelman se pokazao uspješnijim od drugih matematičara, onda nakon Abela, matematika nije preuzela jednačine petog stepena.

I 2014 matematičar iz Tomska Sergej Zaikov, što se po fotografiji može suditi da je već u godinama, a prema podacima iz članka o njemu da je diplomac Fakulteta primijenjene matematike i kibernetike u Tomsku državni univerzitet, u toku svog rada dobio je jednačine petog stepena. Slijepa ulica? Da, slijepa ulica! Ali Sergej Zaikov se obavezao da ga probije.

A 2016. godine pronašao je načine da u opštem obliku riješi jednačine petog stepena! Učinio je ono što su matematičari Galois i Abel dokazali nemogućnost.

Pokušao sam da pronađem informacije o Sergeju Zaikovu na Wikipediji, ali jebi se! O matematičaru Sergeju Zaikovu i o njegovom pronalaženju rješenja jednačina petog stepena nema informacija!

Pikantnost stvari daje i činjenica da za matematičare postoji analog Nobelove nagrade - Abelova nagrada(Nobel je zabranio dodjelu nagrade matematičarima, a sada se dodjeljuje za matematičko pražnjenje crijeva, nazivajući ih "fizikom").

Ova matematička nagrada je u čast istog Abela koji dokazao nemogućnost onoga što je Zaikov uradio. Međutim, samonominacija za ovu nagradu nije dozvoljena. Ali Zaikov je matematičar usamljen i ne postoje organizacije koje bi ga mogle nominirati za ovu nagradu.

Istina, imamo Akademiju nauka, ali uostalom, akademici tamo ne sjede zbog razvoja matematike, već „da sjeku plijen“. Kome treba taj Zaikov tamo?

Pa, za novinske agencije, Zaikov nije Perelman za vas! Stoga otkriće Zaikova za medije nije senzacija.

Evo i činjenica da je Porošenko pogrešio sa vratima - da! Ovo je prava senzacija!

Tomski matematičar je rešio problem koji se nije mogao rešiti dvesta godina

Sa pojavom algebre, smatralo se da je njen glavni zadatak rješavanje algebarskih jednačina. Rješenje jednačine drugog stepena bilo je poznato već u Babilonu i Starom Egiptu. Prolazimo kroz ove jednačine u školi. Sjećate se jednačine x2 + ax + b = 0 i diskriminanta?

Sergej Zaikov sa knjigom

Rješenje algebarskih jednačina trećeg i četvrtog stepena pronađeno je u šesnaestom vijeku. Ali nije bilo moguće riješiti jednačinu petog stepena. Razlog je pronašao Lagrange. Pokazao je da je rješenje jednačina trećeg i četvrtog stepena postalo moguće jer se mogu svesti na jednačine koje su već ranije bile riješene. Jednačina trećeg stepena se može svesti na jednačinu drugog stepena, a jednačina četvrtog stepena se može svesti na jednačinu trećeg stepena. Ali jednačina petog stepena se svodi na jednačinu šestog, odnosno složeniju, tako da tradicionalne metode rješavanja nisu primjenjive.

Pitanje rješavanja jednadžbe petog stepena krenulo je naprijed tek prije dvije stotine godina, kada je Abel dokazao da se sve jednačine petog stepena ne mogu riješiti u radikalima, odnosno u kvadratnim, kubičnim i drugim korijenima poznatim nama iz škole. A Galois je ubrzo, dakle prije dvije stotine godina, pronašao kriterij za određivanje koje jednačine petog stepena mogu biti riješene u radikalima, a koje ne. Ona leži u činjenici da Galoisova grupa radikalno rješivih jednačina petog stepena mora biti ili ciklična ili metaciklična. Ali Galois nije pronašao način da u radikalima riješi one jednačine petog stepena koje su rješive u radikalima. Galois teorija je veoma poznata, o njoj su napisane mnoge knjige.

Do sada su pronađena samo posebna rješenja za jednačine petog stepena rješive u radikalima. I tek ove godine je matematičar iz Tomska Sergej Zaikov riješio problem koji nije mogao biti riješen dvije stotine godina. Objavio je knjigu "Kako se algebarske jednačine petog stepena rešavaju u radikalima", u kojoj je ukazao na metodu za rešavanje bilo koje jednačine petog stepena koje je moguće rešiti u radikalima. Zaikov je diplomirao na Fakultetu primijenjene matematike i kibernetike Tomskog državnog univerziteta. Uspjeli smo da ga intervjuišemo.

— Sergej, zašto si počeo da rešavaš ovaj problem?

— Trebalo mi je rješenje jednačine petog stepena da bih riješio problem iz druge grane matematike. Počeo sam smišljati kako to pronaći i otkrio sam da nisu svi riješeni u radikalima. Tada sam pokušao u naučnoj literaturi pronaći način da riješim one jednačine koje su rješive u radikalima, ali sam našao samo kriterij po kojem se može odrediti koje su rješive, a koje nisu. Nisam algebarista, ali, naravno, kao diplomac FPMK-a mogu da primenjujem i algebarske metode. Stoga sam od 2014. godine ozbiljno počeo tražiti rješenje i sam ga našao.

Metodu sam pronašao prije dvije godine, pripremio sam knjigu u kojoj je opisana ne samo ona, već i metode za rješavanje nekih jednačina stupnjeva većih od petog. Ali nisam imao novca da to objavim. Ove godine sam odlučio da će biti lakše objaviti samo dio ovog rada i uzeo sam samo polovinu, posvećenu metodi rješavanja jednačine petog stepena u radikalima.

Postavio sam za cilj da objavim nešto poput vodiča za rješavanje ovog problema, razumljivog za matematičare koji trebaju riješiti određenu jednačinu. Stoga sam ga pojednostavio tako što sam uklonio mnogo dugih formula i značajan dio teorije, smanjio ga za više od pola, ostavivši samo ono što je potrebno. Stoga sam dobio nešto poput knjige "za lutke", prema kojoj matematičari koji nisu upoznati s Galoisovom teorijom mogu riješiti potrebnu jednačinu.

- Za ovo veliko hvala Vladislavu Beresnjevu, kojeg poznajemo dugi niz godina. Sponzorirao je izdavanje knjige.

Da li je moguće da dobijete neku nagradu iz matematike za rješavanje ovog problema? Na primjer, spomenuli ste Abela. Ali postoji Abelova nagrada za matematiku, koja se smatra analogom Nobelove nagrade?

“Ta mogućnost se ne može u potpunosti isključiti. Ali ne treba se ni tome nadati.

Na primjer, prijave za kandidate za Abelovu nagradu za 2019. podnose se do 15. septembra. Štaviše, samoimenovanje nije dozvoljeno. Ja sam usamljeni matematičar. Ne postoje organizacije niti poznati matematičari koji će me nominirati. Stoga se neće razmatrati bez obzira da li moj rad zaslužuje ovu nagradu i da li je u duhu ove nagrade da se ona dodijeli onima koji nastavljaju Abelovo djelo. Ali čak i da se predstavi, sve zavisi i od nivoa rada drugih kandidata.

Knjiga je namijenjena onima koji nisu upoznati sa Galoisovom teorijom. Osnove Galoisove teorije date su samo u dijelu u kojem su neophodne za rješavanje jednadžbe, detaljno je opisana metoda rješenja i prikazane tehnike koje pojednostavljuju rješenje. Značajan dio knjige posvećen je primjeru rješavanja određene jednačine. Recenzenti knjige su doktor tehničkih nauka Genadij Petrovič Agibalov i doktor fizike. mat. nauka, profesor Petr Andrejevič Krilov.

PRIPREMLJENO ANASTASIA SKIRNEVSKAYA

Općenito, jednačina koja ima stepen veći od 4 ne može se riješiti u radikalima. Ali ponekad još uvijek možemo pronaći korijene polinoma s lijeve strane u jednadžbi najvišeg stepena, ako je predstavimo kao proizvod polinoma u stepenu ne većem od 4. Rješenje takvih jednačina zasniva se na dekompoziciji polinoma na faktore, pa vam savjetujemo da pregledate ovu temu prije proučavanja ovog članka.

Najčešće se morate baviti jednadžbama višim stepenima sa cjelobrojnim koeficijentima. U tim slučajevima možemo pokušati pronaći racionalni koreni, a zatim faktoring polinoma da bi se zatim pretvorio u jednadžbu nižeg stepena, što će biti lako riješiti. U okviru ovog materijala razmotrit ćemo upravo takve primjere.

Jednačine višeg stepena sa celobrojnim koeficijentima

Sve jednadžbe oblika a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , možemo svesti na jednačinu istog stepena množenjem obje strane sa a n n - 1 i promjenom varijable oblika y = a n x:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n x n + a n - 1 a n n - 1 x n - 1 + ... + a 1 (a n) n - 1 x + a 0 (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Rezultirajući koeficijenti će također biti cijeli brojevi. Stoga ćemo morati riješiti gornju jednačinu n-ti stepen sa cjelobrojnim koeficijentima, koji imaju oblik x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Izračunavamo cjelobrojne korijene jednadžbe. Ako jednadžba ima cjelobrojne korijene, trebate ih potražiti među djeliteljima slobodnog člana a 0. Zapišimo ih i zamijenimo ih u izvornu jednakost jedan po jedan, provjeravajući rezultat. Nakon što smo dobili identitet i pronašli jedan od korijena jednadžbe, možemo ga zapisati u obliku x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Ovdje je x 1 korijen jednadžbe, a P n - 1 (x) je količnik x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 podijeljen sa x - x 1 .

Zamijenite preostale djelitelje u P n - 1 (x) = 0 , počevši od x 1 , jer se korijeni mogu ponoviti. Nakon dobijanja identiteta, korijen x 2 se smatra pronađenim, a jednačina se može napisati kao (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) = 0. Ovdje je P n - 2 (x ) će biti količnik od dijeljenja P n - 1 (x) sa x - x 2 .

Nastavljamo da sortiramo djelitelje. Pronađite sve cjelobrojne korijene i označite njihov broj sa m. Nakon toga, originalna jednačina se može predstaviti kao x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Ovdje je P n - m (x) polinom n - m -tog stepena. Za proračun je zgodno koristiti Hornerovu shemu.

Ako naša originalna jednadžba ima cjelobrojne koeficijente, ne možemo završiti s razlomačnim korijenima.

Kao rezultat, dobili smo jednačinu P n - m (x) = 0, čiji se korijeni mogu pronaći na bilo koji pogodan način. One mogu biti iracionalne ili složene.

Pokažimo na konkretnom primjeru kako se takva shema rješenja primjenjuje.

Primjer 1

Stanje: naći rješenje jednačine x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .

Odluka

Počnimo s pronalaženjem cjelobrojnih korijena.

Imamo presek jednak minus tri. Ima djelitelje jednake 1, -1, 3 i -3. Zamijenimo ih u originalnu jednačinu i vidimo koja će od njih dati identitete kao rezultat.

Za x jednako jedan, dobijamo 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 = 0, tako da će jedan biti korijen zadata jednačina.

Sada podijelimo polinom x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 sa (x - 1) u stupac:

Dakle, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Dobili smo identitet, što znači da smo pronašli drugi korijen jednačine, jednak - 1.

Polinom x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 dijelimo sa (x + 1) u stupcu:

Shvatili smo to

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Zamjenjujemo sljedeći djelitelj u jednadžbu x 2 + x + 3 = 0, počevši od - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Rezultirajuće jednakosti će biti netačne, što znači da jednačina više nema cjelobrojne korijene.

Preostali korijeni bit će korijeni izraza x 2 + x + 3 .

D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0

Iz ovoga slijedi da je ovo kvadratni trinom nema pravih korijena, ali ima kompleksno konjugiranih: x = - 1 2 ± i 11 2 .

Pojasnimo da se umjesto podjele u kolonu može koristiti Hornerova shema. To se radi ovako: nakon što smo odredili prvi korijen jednačine, popunjavamo tabelu.

U tabeli koeficijenata odmah možemo vidjeti koeficijente kvocijenta iz dijeljenja polinoma, što znači x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Nakon pronalaženja sljedećeg korijena, jednakog -1, dobijamo sljedeće:

odgovor: x \u003d - 1, x = 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2.

Primjer 2

Stanje: riješiti jednačinu x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Odluka

Slobodni član ima djelitelje 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .

Provjerimo ih redom:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Dakle, x = 2 će biti korijen jednadžbe. Podijelite x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 sa x - 2 koristeći Hornerovu šemu:

Kao rezultat, dobijamo x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Dakle, 2 će opet biti korijen. Podijelite x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 sa x - 2:

Kao rezultat, dobijamo (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Provjera preostalih djelitelja nema smisla, jer je jednakost x 2 + 3 x + 3 = 0 brže i pogodnije za rješavanje pomoću diskriminanta.

Rešimo kvadratnu jednačinu:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Dobijamo kompleksno konjugirani par korijena: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Odgovori: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Primjer 3

Stanje: pronađite prave korijene za jednadžbu x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Odluka

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Izvodimo množenje 2 3 oba dijela jednačine:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Zamijenjujemo varijable y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

Kao rezultat, dobili smo standardnu ​​jednačinu 4. stepena, koja se može riješiti prema standardnoj šemi. Provjerimo djelitelje, podijelimo i na kraju dobijemo da ima 2 realna korijena y = - 2, y = 3 i dva kompleksna. Ovdje nećemo predstavljati cjelokupno rješenje. Na osnovu zamjene, pravi korijeni ove jednadžbe će biti x = y 2 = - 2 2 = - 1 i x = y 2 = 3 2 .

odgovor: x 1 = - 1, x 2 = 3 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U 16. veku matematičari su skoro slučajno naišli na kompleksne brojeve (vidi 11. poglavlje). To XVIII vijek kompleksni brojevi su smatrani ekstenzijom domene realni brojevi, ali rad s njima je ipak doveo do greške u paritetu, jer je Leonard E, u svom velikom radu na teoriji brojeva, Aritmetička istraživanja (1801), izbjegao korištenje takozvanih "imaginarnih brojeva". Čini mi se da je najvažniji dio ovog rada prvi dokaz osnovne teoreme algebre. Gauss je shvatio koliko je ova teorema važna, stvarajući nekoliko dodatnih dokaza tokom narednih godina. Godine 1849. revidirao je prvu verziju, ovaj put koristeći kompleksne brojeve. Koristeći moderne termine, možemo reći da će za bilo koju konačnu polinomsku jednadžbu sa realnim ili kompleksnim koeficijentima svi njeni korijeni biti realni ili kompleksni brojevi. Tako dobijamo negativan odgovor na prastaro pitanje da li rješenje polinomskih jednadžbi zahtijeva high order stvaraju brojeve višeg reda od složenih.

Jedan od najtežih problema u algebri tog vremena bilo je pitanje da li algebarske metode, odnosno, koristeći konačan broj algebarskih koraka, polinom petog reda je kvintik. Sada se u školi uči formule za rješavanje kvadratnih jednačina, a od 16. stoljeća poznate su slične metode za rješavanje jednačina trećeg i četvrtog stepena (poglavlje 11). Ali nije pronađena metoda za kvintike. Možda se čini da osnovna teorema algebre sadrži obećanje pozitivnog odgovora, ali zapravo jednostavno garantuje postojanje rješenja, ne govori ništa o postojanju formula koje daju tačna rješenja (približne numeričke i grafičke metode koje su već postojale od tog vremena). A onda su tu bila dva matematička genija sa tragičnom sudbinom.

Niels Henrik Abel (1802–1829) rođen je u velikoj siromašnoj porodici koja živi u malom selu u Norveškoj, zemlji razorenoj dugim godinama rata sa Engleskom i Švedskom. Učitelj, koji je bio prijateljski nastrojen prema dječaku, davao mu je privatne časove, ali nakon smrti njegovog oca, u osamnaestoj godini, uprkos njegovoj mladosti i krhkom zdravlju, Abel je bio prisiljen izdržavati svoju porodicu. 1824. objavio je naučni članak, u kojem je izjavio da kvintik nije rješiv algebarskim sredstvima, kao, zapravo, bilo koji polinom višeg reda. Abel je vjerovao da će mu ovaj članak poslužiti kao propusnica za naučni svijet i poslao ga je Gausu na Univerzitet u Getingenu. Nažalost, Gauss se nikada nije snašao da seče stranice nožem (to je morao svaki čitalac tih dana) i nije pročitao članak. Godine 1826. norveška vlada je konačno obezbijedila sredstva da Abel putuje po Evropi. U strahu da mu lični kontakt sa Gausom neće doneti veliku radost, matematičar je odlučio da ne poseti Getingen i otišao je u Berlin. Tamo se sprijateljio s Augustom Leopoldom Crelleom (1780–1855), matematičarem, arhitektom i inženjerom koji je savjetovao prusko ministarstvo obrazovanja o pitanjima matematike. Krell je trebao osnovati časopis za čistu i primijenjenu matematiku. Tako je Abel dobio priliku da distribuira svoj rad i mnogo je objavljivao, posebno u prvim brojevima časopisa, koji je odmah počeo da se smatra veoma prestižnom i autoritativnom naučnom publikacijom. Norvežanin je tamo objavio proširenu verziju svog dokaza da je kvintik nerješiv algebarskim metodama. A onda je otišao u Pariz. Ovo putovanje je jako uznemirilo Abela, jer praktično nije dobio podršku francuskih matematičara koja mu je bila toliko potrebna. Zbližio se sa Augustinom Louisom Cauchyjem (1789-1857), koji je u to vrijeme bio glavna svjetiljka matematička analiza ali je bilo veoma kompleksno. Kako je sam Abel rekao, "Cauchy je lud i ništa se ne može učiniti povodom toga, iako je trenutno jedini sposoban za bilo šta u matematici." Ako se pokuša opravdati nepoštovanje i omalovažavanje koje proizilazi iz Gaussa i Cauchyja, može se reći da je Kvintik postigao određenu slavu i privukao pažnju i uglednih matematičara i originala. Abel se vratio u Norvešku, gdje je sve više bolovao od tuberkuloze. Nastavio je da šalje svoje radove u Crelle, ali je umro 1829. godine, nesvjestan do koje je mjere porastao njegov ugled u naučnom svijetu. Dva dana nakon smrti, Abel je dobio ponudu da preuzme naučnu poziciju u Berlinu.

Abel je pokazao da bilo koji polinom iznad četvrtog reda ne može se riješiti radikalima kao što su kvadratni korijeni, kubni korijeni ili više. Međutim, eksplicitne uslove pod kojima, u posebnim slučajevima, ovi polinomi mogu biti rešeni, kao i metod za njihovo rešavanje, formulisao je Galois. Évariste Galois (1811–1832) živio je kratak i bogat životom. Bio je neverovatno nadaren matematičar. Galois je bio neumoljiv prema onima koje je smatrao manje talentovanim od sebe, a istovremeno nije podnosio društvenu nepravdu. Nije pokazao nikakve sklonosti za matematiku sve dok nije pročitao Legendreove elemente geometrije (objavljene 1794. godine, ova knjiga je bila glavni udžbenik narednih sto godina). Tada je bukvalno progutao ostala djela Legendrea, a kasnije i Abela. Njegov entuzijazam, samopouzdanje i netrpeljivost doveli su do zaista strašnih posljedica u ophođenju s nastavnicima i ispitivačima. Galois je učestvovao na konkursu za upis u Politehničku školu - kolijevku francuske matematike, ali je zbog nepripremljenosti pao na ispitu. Neko vrijeme nakon što je upoznao novog učitelja koji je prepoznao njegov talenat, uspio je zadržati svoj temperament pod kontrolom. U martu 1829. Galois je objavio svoj prvi rad o kontinuiranim razlomcima, koji je smatrao svojim najznačajnijim radom. Poslao je poruku o svojim otkrićima Akademiji nauka, a Cauchy je obećao da će ih predstaviti, ali je zaboravio. Štaviše, jednostavno je izgubio rukopis.

Galoisov drugi neuspjeh da uđe u Politehničku školu ušao je u matematički folklor. Bio je toliko navikao da mu u glavi stalno stoje složene matematičke ideje da je bio ljut zbog sitnih gnjavaža ispitivača. Kako su ispitivači imali poteškoća da razumiju njegova objašnjenja, on je jednom od njih bacio krpu za brisanje u lice. Ubrzo nakon toga, njegov otac je umro, počinivši samoubistvo kao rezultat crkvenih intriga. Na njegovoj sahrani umalo je izbila pobuna. U februaru 1830. Galois je napisao sljedeća tri članka, poslavši ih Akademiji nauka za Grand Prix iz matematike. Joseph Fourier, tadašnji sekretar akademije, umro je ne pročitavši ih, a nakon njegove smrti članci nisu pronađeni među njegovim papirima. Takav tok razočarenja svakoga bi srušio. Galois se pobunio protiv onih na vlasti jer je smatrao da ne priznaju njegove zasluge i ubio mu je oca. Uronio je bezglavo u politiku, postavši vatreni republikanac - što nije bila najmudrija odluka u Francuskoj 1830. U poslednjem očajničkom pokušaju, poslao je naučni rad poznatom francuskom fizičaru i matematičaru Siméonu Denisu Poasonu (1781–1840), koji je u odgovoru tražio dodatne dokaze.

Ovo je bila posljednja kap. Godine 1831. Galois je dva puta hapšen - prvo zbog navodnog pozivanja na atentat na kralja Luja Filipa, a zatim da bi ga zaštitili - vlasti su se plašile republikanske pobune! Ovoga puta osuđen je na šest mjeseci zatvora zbog izmišljene optužbe za nedozvoljeno nošenje uniforme rasformiranog artiljerijskog diviziona kojem je pristupio. Pušten na uslovnu slobodu, bavio se poslom koji mu se gadio kao i sve ostalo u životu. U pismima za odani prijatelj Chevalier osjeća svoje razočaranje. 29. maja 1832. prihvatio je izazov na dvoboj, čiji razlozi nisu u potpunosti razjašnjeni. “Pao sam žrtva nečasne kokete. Moj život nestaje u jadnoj svađi”, piše on u pismu svim republikancima. Galoisov najpoznatiji rad skiciran je noć prije kobnog duela. Pritužbe su razbacane po marginama: "Nemam više vremena, nemam više vremena." Morao je drugima prepustiti detalje međukoraka koji nisu bili bitni za razumijevanje glavne ideje. Morao je da na papiru iznese osnovu svojih otkrića - porijeklo onoga što se danas zove Galoisova teorema. Svoj testament je završio tražeći od Chevaliera da "zatraži od Jacobija i Gausa da javno daju svoje mišljenje, ne o ispravnosti, već o važnosti ovih teorema". Rano ujutru, Galois je otišao u susret svom rivalu. Morali su pucati sa udaljenosti od 25 koraka. Galois je ranjen i umro je u bolnici sledećeg jutra. Imao je samo dvadeset godina.

Galois se oslanjao na rad Lagrangea i Cauchyja, ali je razvio opštiju metodu. Ovo je bilo izuzetno važno dostignuće na polju rješavanja kvintika. Naučnik je manje obraćao pažnju na originalne jednadžbe ili grafičku interpretaciju, a više je razmišljao o prirodi samih korijena. Da pojednostavimo, Galois je razmatrao samo takozvane ireducibilne kvintike, odnosno one koje se ne mogu faktorizirati u obliku polinoma nižeg reda (kao što smo rekli, za sve polinomske jednadžbe do četvrtog reda postoje formule za pronalaženje njihovi koreni). Općenito, nesvodljivi polinom s racionalnim koeficijentima je polinom koji se ne može rastaviti na jednostavnije polinome koji imaju racionalne koeficijente. Na primjer, (x 5 - 1) može se faktorizirati (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), dok (x 5 - 2) nesvodivo. Galoisov cilj je bio odrediti uslove pod kojima se sva rješenja opće nesvodljive polinomske jednadžbe mogu naći u terminima radikala.

Ključ rješenja je da korijeni bilo koje nesvodljive algebarske jednadžbe nisu nezavisni, već se mogu izraziti jedan u drugom. Ove relacije su formalizovane u grupu svih mogućih permutacija, takozvanu grupu korenske simetrije - za kvintik ova grupa sadrži 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elemenata. Matematički algoritmi Galoisove teorije su vrlo složeni i, najvjerovatnije, dijelom zbog toga, u početku su s velikim poteškoćama shvaćeni. Ali nakon što je nivo apstrakcije omogućio prelazak sa algebarskih rješenja jednadžbi na algebarsku strukturu grupa povezanih s njima, Galois je mogao predvidjeti rješivost jednadžbe na osnovu svojstava takvih grupa. Štaviše, njegova teorija je također pružila metodu pomoću koje se sami ovi korijeni mogu pronaći. Što se tiče kvintika, matematičar Joseph Liouville (1809–1882), koji je 1846. godine objavio većinu Galoisovog rada u svom Journal of Pure and Applied Mathematics, primijetio je da je mladi naučnik dokazao "lijepu teoremu", a da bi " Ako je nesvodljiva jednadžba izvornog stepena rješiva ​​u terminima radikala, potrebno je i dovoljno da svi njeni korijeni budu racionalne funkcije bilo koje dvije od njih. Pošto je to za kvintika nemoguće, ne može se riješiti radikalima.

Za tri godine, matematički svijet je izgubio dvije svoje najsjajnije nove zvijezde. Uslijedile su međusobne optužbe i pretresanja, a Abel i Galois su dobili zasluženo priznanje, ali tek posthumno. Godine 1829. Carl Jacobi je preko Legendrea saznao za Abelov "izgubljeni" rukopis, a 1830. je izbio diplomatski skandal kada je norveški konzul u Parizu zahtijevao da se pronađe članak njegovog sunarodnika. Na kraju je Cauchy pronašao članak, da bi se ponovo izgubio u urednicima akademije! Iste godine, Abel je dobio Grand Prix iz matematike (zajedno sa Jacobijem) - ali je već bio mrtav. Godine 1841. objavljena je njegova biografija. Godine 1846. Liouville je uredio neke od Galoisovih rukopisa za objavljivanje i u svom uvodu izrazio žaljenje što je akademija u početku odbacila Galoisov rad zbog njegove složenosti - "zaista, jasnoća prezentacije je neophodna kada autor odvede čitaoca s utabanog puta u neistražene divlje teritorije." On nastavlja: „Galoisa više nema! Nemojmo upadati u beskorisne kritike. Odbacimo nedostatke i pogledajmo vrline! Voće kratak život Galois je stao na samo šezdeset stranica. Urednik matematičkog časopisa za kandidate za École Normale i Ecole Polytechnique prokomentarisao je slučaj Galois na sljedeći način: „Kandidata s visokom inteligencijom izbacio je ispitivač s nižim nivoom razmišljanja. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis."

Prije svega, druga stranica ovog djela nije opterećena imenima, prezimenima, opisima položaja u društvu, titulama i elegijama u čast nekog škrtog princa, čija će torbica biti otvorena ovim tamjanom - uz prijetnju zatvaranja. kad prođu pohvale. Ovdje nećete vidjeti pohvale s poštovanjem, ispisane slovima tri puta većim od samog teksta, upućene onima koji imaju visok položaj u nauci, nekom mudrom pokrovitelju - nešto obavezno (rekla bih neizbježno) za nekoga u godinama od dvadeset koji hoće nešto da napišu. Ne govorim nikome ovdje da sam zahvalna njihovim savjetima i podršci za sve dobro u mom radu. Ne kažem ovo jer bi to bila laž. Kad bih morao spomenuti nekog od velikana u društvu ili nauci (trenutno je razlika između ove dvije klase ljudi gotovo neprimjetna), kunem se da to ne bi bio znak zahvalnosti. Dugujem im što sam tako kasno objavio prvi od ova dva rada, i što sam sve ovo napisao u zatvoru - na mjestu koje se teško može smatrati pogodnim za naučnu refleksiju, a često sam zadivljen svojom uzdržanošću i sposobnošću da Ne govorim o zamku u odnosu na glupe i zlobne Zoilse. Čini mi se da mogu da koristim reč "Zojls" bez straha da ću biti optužen za nepristojnost, jer tako govorim o svojim protivnicima. Neću ovdje pisati kako i zašto sam poslat u zatvor, ali moram reći da su se moji rukopisi najčešće jednostavno gubili u fasciklama gospode akademije, iako, istinu govoreći, ne mogu zamisliti takvu indiskreciju od strane ljudi na čijoj savesti je Abelova smrt. Po mom mišljenju, svako bi volio da se uporedi sa ovim briljantnim matematičarem. Dovoljno je reći da je moj članak o teoriji jednačina poslat Akademiji nauka u februaru 1830. godine, da su izvodi iz njega poslani u februaru 1829. godine, a ipak ništa od toga nije štampano, pa se čak ispostavilo da je rukopis bio nemoguće vratiti.

galoa, neobjavljeni predgovor, 1832

klasa: 9

Osnovni ciljevi:

1. Konsolidirati koncept cjelobrojne racionalne jednadžbe th stepena.
2. Formulirajte glavne metode za rješavanje jednačina viših stupnjeva (n > 3).
3. Naučiti osnovne metode za rješavanje jednačina viših stupnjeva.
4. Učiti pomoću oblika jednadžbe odrediti najviše efikasan metod njegove odluke.

Oblici, metode i pedagoške tehnike koje nastavnik koristi u nastavi:

• Predavačko-seminarski sistem obuke (predavanja - objašnjenje novog materijala, seminari - rješavanje problema).
• Informaciono-komunikacione tehnologije (frontalna anketa, usmeni rad sa razredom).
• Diferencirana obuka, grupni i individualni oblici.
• Upotreba istraživačke metode u obuci usmjerenoj na razvoj matematički aparat i mentalne sposobnosti svakog pojedinog učenika.
• Štampani materijal - pojedinačni sažetak lekcije (osnovni pojmovi, formule, iskazi, materijal za predavanje je komprimiran u obliku dijagrama ili tabela).

Plan lekcije:

1. Organiziranje vremena.
   Svrha bine: uključiti učenike u aktivnosti učenja definisati sadržaj lekcije.
2. Ažuriranje znanja učenika.
   Svrha etape: ažuriranje znanja učenika o prethodno proučavanim srodnim temama
3. Učenje nove teme (predavanje). Svrha faze: formulisati glavne metode za rješavanje jednačina viših stupnjeva (n > 3)
4. Rezimirajući.
   Svrha faze: još jednom istaći ključne tačke u materijalu koji se proučava na lekciji.
5. Zadaća.
   Svrha etape: formulisati domaći zadatak za učenike.

Sažetak lekcije

1. Organizacioni momenat.

Formulacija teme časa: „Jednačine viših stepeni. Metode za njihovo rješavanje”.

2. Aktuelizacija znanja učenika.

Teorijski pregled - razgovor. Ponavljanje nekih prethodno proučavanih informacija iz teorije. Studenti formulišu osnovne definicije i daju iskaze potrebnih teorema. Navedeni su primjeri koji pokazuju nivo prethodno stečenog znanja.

• Koncept jednadžbe s jednom promjenljivom.
• Koncept korijena jednadžbe, rješenje jednadžbe.
• koncept linearna jednačina sa jednom promenljivom, koncept kvadratne jednadžbe sa jednom promenljivom.
• Koncept ekvivalencije jednačina, jednačina-posljedice (koncept stranih korijena), tranzicija ne posljedično (slučaj gubitka korijena).
• Koncept čitavog racionalnog izraza sa jednom promenljivom.
• Koncept cijele racionalne jednadžbe n th stepen. Standardni oblik cijele racionalne jednadžbe. Redukovana cijela racionalna jednačina.
• Prijelaz na skup jednačina nižih stupnjeva faktoringom izvorne jednačine.
• Koncept polinoma n stepen od x. Bezoutov teorem. Posljedice iz Bezoutove teoreme. Korijenske teoreme ( Z-korijeni i Q-korijeni) cijele racionalne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima (reduciranim i nereduciranim).
• Hornerova šema.

3. Učenje nove teme.

Razmotrit ćemo cijelu racionalnu jednačinu n stepen standardnog oblika sa jednom nepoznatom promenljivom x:Pn(x)= 0 , gdje P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinom n stepen od x, a n ≠ 0 . Ako a a n = 1, onda se takva jednačina naziva redukovana cijela racionalna jednačina n th stepen. Razmotrimo takve jednadžbe za različite vrijednosti n i navesti glavne metode njihovog rješavanja.

n= 1 je linearna jednadžba.

n= 2 je kvadratna jednadžba. Diskriminantna formula. Formula za izračunavanje korijena. Vietin teorem. Odabir punog kvadrata.

n = 3 – kubna jednačina.

metod grupisanja.

primjer: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x2 = 1,x 3 = -1.

Recipročna kubna jednačina oblika sjekira 3 + bx 2 + bx + a= 0. Rješavamo kombinovanjem članova sa istim koeficijentima.

primjer: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Izbor Z-korijena na osnovu teoreme. Hornerova šema. Prilikom primjene ove metode potrebno je naglasiti da je nabrajanje u ovom slučaju konačno, a korijene biramo prema određenom algoritmu u skladu s teoremom o Z-korijeni svedene cijele racionalne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima.

primjer: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Jednačina je redukovana. Zapisujemo djelitelje slobodnog člana ( + 1; + 3; + 5; + petnaest). Primijenimo Hornerovu shemu:

	x 3	x 2	x 1	x 0	zaključak
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 - 15 = 0	1 - korijen
	x 2	x 1	x 0

Dobijamo ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Jednadžba sa cjelobrojnim koeficijentima. Izbor Q-korijena na osnovu teoreme. Hornerova šema. Prilikom primjene ove metode potrebno je naglasiti da je nabrajanje u ovom slučaju konačno i da biramo korijene prema određenom algoritmu u skladu s teoremom o Q-korijeni nereducirane cijele racionalne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima.

Primjer: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Jednačina se ne reducira. Zapisujemo djelitelje slobodnog člana ( + 1; + 3). Napišimo djelitelje koeficijenta na najvećem stepenu nepoznate. ( + 1; + 3; + 9) Stoga ćemo tražiti korijene među vrijednostima ( + 1; + ; + ; + 3). Primijenimo Hornerovu shemu:

	x 3	x 2	x 1	x 0	zaključak
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 nije korijen
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 nije korijen
	9	x9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	root
	x 2	x 1	x 0

Dobijamo ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Radi lakšeg izračunavanja pri odabiru Q -korijeni može biti zgodno napraviti promjenu varijable, prijeći na gornju jednačinu i podesiti Z -korijeni.

• Ako je presretanje 1

.

• Ako je moguće koristiti zamjenu obrasca y=kx

.

Formula Cardano. Postoji univerzalna metoda za rješavanje kubnih jednadžbi - ovo je Cardano formula. Ova formula je povezana sa imenima italijanskih matematičara Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557), Scipion del Ferro (1465–1526). Ova formula je izvan okvira našeg kursa.

n= 4 je jednačina četvrtog stepena.

metod grupisanja.

primjer: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x- 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Varijabilna metoda zamjene.

• Bikvadratna jednadžba oblika sjekira 4 + bx 2+s = 0 .

primjer: x 4 + 5x 2 - 36 = 0. Zamjena y = x 2. Odavde y 1 = 4, y 2 = -9. Dakle x 1,2 = + 2 .

• Recipročna jednačina četvrtog stepena oblika sjekira 4 + bx 3+c x 2 + bx + a = 0.

Rješavamo kombiniranjem članova sa istim koeficijentima zamjenom oblika

• sjekira 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Uopštena jednačina unatrag četvrtog stepena oblika sjekira 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

• Opća zamjena. Neke standardne zamjene.

Primjer 3 . Zamjena generalnog izgleda(proizlazi iz oblika određene jednačine).

n = 3.

Jednadžba sa cjelobrojnim koeficijentima. Izbor Q-korijena n = 3.

Opća formula. Postoji univerzalna metoda za rješavanje jednačina četvrtog stepena. Ova formula je povezana s imenom Ludovica Ferrarija (1522-1565). Ova formula je izvan okvira našeg kursa.

n > 5 - jednačine petog i višeg stepena.

Jednadžba sa cjelobrojnim koeficijentima. Izbor Z-korijena na osnovu teoreme. Hornerova šema. Algoritam je sličan onom za koji je gore razmotreno n = 3.

Jednadžba sa cjelobrojnim koeficijentima. Izbor Q-korijena na osnovu teoreme. Hornerova šema. Algoritam je sličan onom za koji je gore razmotreno n = 3.

Simetrične jednačine. Svaka recipročna jednačina neparnog stepena ima korijen x= -1 i nakon što ga razložimo na faktore, dobijamo da jedan faktor ima oblik ( x+ 1), a drugi faktor je recipročna jednačina parnog stepena (njen stepen je za jedan manji od stepena originalne jednačine). Bilo koja recipročna jednačina parnog stepena zajedno sa korenom oblika x = φ također sadrži korijen forme . Koristeći ove tvrdnje, rješavamo problem snižavanjem stepena jednačine koja se proučava.

Varijabilna metoda zamjene. Upotreba homogenosti.

Ne postoji opšta formula za rešavanje čitavih jednačina petog stepena (to su pokazali italijanski matematičar Paolo Rufini (1765–1822) i norveški matematičar Nils Henrik Abel (1802–1829)) i viših sila (to su pokazali Francuzi matematičar Evariste Galois (1811–1832) )).

• Podsjetimo još jednom da je u praksi moguće koristiti kombinacije gore navedene metode. Pogodno je prijeći na skup jednačina nižih stupnjeva faktorizacija originalne jednačine.
• Izvan okvira naše današnje rasprave, one se široko koriste u praksi grafičke metode rješavanje jednačina i metode približnih rješenja jednačine viših stepeni.
• Postoje situacije kada jednadžba nema R-korijene.
Tada se rješenje svodi na to da pokažemo da jednačina nema korijena. Da bismo to dokazali, analiziramo ponašanje razmatranih funkcija na intervalima monotonosti. Primjer: Jednačina x 8 – x 3 + 1 = 0 nema korijena.
• Korištenje svojstva monotonosti funkcija
. Postoje situacije kada nam korištenje različitih svojstava funkcija omogućuje pojednostavljenje zadatka.
Primjer 1: Jednačina x 5 + 3x– 4 = 0 ima jedan korijen x= 1. Po svojstvu monotonosti analiziranih funkcija nema drugih korijena.
Primjer 2: Jednačina x 4 + (x– 1) 4 = 97 ima korijen x 1 = -2 i x 2 = 3. Analizirajući ponašanje odgovarajućih funkcija na intervalima monotonosti, zaključujemo da nema drugih korijena.

4. Sumiranje.

Rezime: Sada smo savladali osnovne metode za rješavanje različitih jednačina viših stupnjeva (za n > 3). Naš zadatak je da naučimo kako efikasno koristiti gore navedene algoritme. U zavisnosti od vrste jednačine, moraćemo da naučimo kako da odredimo koja metoda rešenja je u ovom slučaju najefikasnija, kao i da pravilno primenimo odabranu metodu.

5. Domaći.

: tačka 7, str. 164–174, brojevi 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Moguće teme izvještaja ili sažetaka na ovu temu:

• Formula Cardano
• Grafička metoda rješavanja jednačina. Primjeri rješenja.
• Metode aproksimativnog rješavanja jednačina.

Analiza asimilacije gradiva i interesovanja učenika za temu:

Iskustvo pokazuje da je interes studenata na prvom mjestu mogućnost odabira Z-korijeni i Q-korijene jednadžbi koristeći prilično jednostavan algoritam koristeći Hornerovu šemu. Studenti su zainteresovani i za različite standardne vrste zamjene varijabli, koje mogu značajno pojednostaviti tip problema. Grafičke metode rješavanja obično su od posebnog interesa. U tom slučaju možete dodatno raščlaniti zadatke u grafičku metodu za rješavanje jednačina; Diskusija opšti oblik grafika za polinom od 3, 4, 5 stepeni; analizirati kako je broj korijena jednadžbi od 3, 4, 5 stepeni povezan sa vrstom odgovarajućeg grafa. Ispod je lista knjiga u kojima možete pronaći dodatne informacije o ovoj temi.

Bibliografija:

1. Vilenkin N.Ya. itd. “Algebra. Udžbenik za učenike 9. razreda sa detaljnim proučavanjem matematike ”- M., Obrazovanje, 2007. - 367 str.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.„Iza stranica udžbenika matematike. Aritmetika. Algebra. 10-11 razredi” – M., Prosvjeta, 2008 – 192 str.
3. Vygodsky M.Ya."Matematički priručnik" - M., AST, 2010 - 1055 str.
4. Galitsky M.L.“Zbirka zadataka iz algebre. Tutorial za 8-9 razrede sa detaljnim proučavanjem matematike ”- M., Obrazovanje, 2008. - 301 str.
5. Zvavich L.I. et al. „Algebra i počeci analize. 8–11 ćelija Priručnik za škole i razrede sa detaljnim proučavanjem matematike ”- M., Drofa, 1999. - 352 str.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.“Zadaci iz matematike za pripremu za pismeni ispit u 9. razredu” - M., Prosveta, 2007 - 112 str.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tematski testovi za sistematizaciju znanja iz matematike” 1. dio - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 str.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tematski testovi za sistematizaciju znanja iz matematike” 2. dio - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 str.
9. Ivanov A.P.“Testovi i test papiri matematike. Tutorial". - M., Fizmatkniga, 2008. - 304 str.
10. Leibson K.L.“Zbirka praktičnih zadataka iz matematike. Dio 2–9 razred” – M., MTsNMO, 2009 – 184 str.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.„Algebra. Dodatna poglavlja za udžbenik za 9. razred. Udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike.” - M., Obrazovanje, 2006. - 224 str.
12. Mordkovich A.G.„Algebra. Dubinska studija. 8. razred. Udžbenik” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 str.
13. Savin A.P. “enciklopedijski rječnik mladi matematičar” – M., Pedagogija, 1985 – 352 str.
14. Survillo G.S., Simonov A.S. “Didaktički materijali iz algebre za 9. razred sa detaljnim proučavanjem matematike” – M., Prosvjeta, 2006 – 95 str.
15. Chulkov P.V.„Jednačine i nejednačine u školskom predmetu matematike. Predavanja 1–4” – M., Prvi septembar 2006. – 88 str.
16. Chulkov P.V.„Jednačine i nejednačine u školskom predmetu matematike. Predavanja 5–8” – M., Prvi septembar 2009. – 84 str.