Odgovor je putanja tačke B - astroid s t)
Cikloidne krive uključuju ne samo cikloid, epi- i hipocikloid, već i trohoid, kardioid, astroid, opisan u nastavku.
Koordinate X, y u ovom slučaju zadovoljavaju jednačinu astroida (slika 91)
Izuzetak daje (astroid)
Kada je p = r = (m = 3), hipocikloid se naziva astroid (slika 64), a jednadžbe imaju oblik x = R os i y = R sin "i ili x -y \u003d R.
Kada je p = r = - (m = 3) hipocikloida se naziva astroid (slika 64), a jednadžbe imaju oblik
Na sl. 72 segment AB = I je fiksiran na vezu AB = I pod uglom 0 = 180°. Prema tome, astroid povučen tačkom Bi rotira se u odnosu na astroidu povučenu tačkom B za ugao m6,
Analizirajmo pitanje povlačenja tangenti na ovu krivu koristeći mehanizam koji se razmatra. U skladu s gore formuliranim pravilom, tangenta na astroidu će odsjeći na liniji radilice OA segment jednak nazivniku razlomka na desnoj strani izraza (160). Što se tiče mehanizma prikazanog na sl. 72, veličina segmenta koji se treba odrezati određena je formulom (172)
U praksi, za konstrukciju astroida u proizvodnim uslovima, svaka prava linija u kojoj se kreće
Na sl. 72 prikazali smo mehanizam koji krajevima S i Si veze 10 omogućava kretanje duž dvije astroide koje su jedna u odnosu na drugu rotirane za 45°.
Kriva opisana jednadžbama (57) i (58) bit će kriva astroidnog tipa. Osi simetrije ove krive formiraju se sa osovinama Ax
Pokažimo, kao što je to urađeno u , izgled astroida na poluravni Re5>0
Uz pretpostavku a = p = 1, konstruiramo konturu u kojoj je astroid deformisan (slika 24).
Klizači / i 2 klize u fiksne vodilice p i q, čije su osi međusobno okomite. Grane a i 6 klizača 1 do 2 klize u krstastom klizaču 3, čije su ose takođe međusobno okomite. Karika 4 ulazi u rotacioni par C sa klizačem 3 i klizi u klizač u obliku krsta 5, koji klizi duž ose karike 6, koja je uključena u rotacione parove L i B sa klizačima / i 2. Kada se klizači I do 2 kreću duž vodilica a tačka K opisuje luk astroida, čija je jednačina = gdje je 1 - AB. U ovom slučaju, direktna linija se savija
Hipocikloida ima n - -1 kvržice, od kojih je svaka ekvivalentna u smislu koncentracije napona na kraju pukotine (astroid sa n = 3 prikazan je na slici PZO). Defekti ove vrste mogu odrediti čvrstoću lomljivosti
Pronađite jednadžbu tangente na astroidu.
Na sl. 72 prikazuje mehanizam sa deset karika dizajniran za igranje astroida. Astroida je obična hipocikloida sa modulom m = i algebarska je kriva 6. reda. Ime astroida
Tako će tangenta na jednu od astroida prikazanih na crtežu proći kroz tačke C i 5, a tangenta na drugu kroz tačke C i S. Ali tačke B i B su krajevi klipnjače B B lambda slična grupa u Hart pravoj liniji. Stoga će kraj B uvijek kliziti duž veze DDj, a kraj B - duž okomice vraćene na DDj iz tačke C. Iz toga slijedi da je astroid nacrtan tačkom B omotač svih pozicija veze DD. Prethodno se također može proširiti na astroide reproducirane tačkom B ili bilo kojom tačkom kružnice opisane od A poluprečnikom I.
Kao što je poznato, korijen astroida, ako je centar simetrije potonjeg odabran kao pol, je ruža s četiri latice. Dakle, dovoljno je produžiti segmente ABi = AB na sl. 72 (ili na sl. 73) na veličinu AB = ABi = L, da se ovim dobije
KULISIO-RY VAŽAN VYATKIN MEHANIZAM ZA REPRODUKCIJU ASTROIDA
Da bismo stavili tačku na rad koji je direktno vezan za teoriju krila, napominjemo rad G.N. Babaeva O Flettnerovim rotorima (Studija Saratskog državnog univerziteta, Pedagoški fakultet. Vol. VH. Izdanje 11, 1929), u kojoj autor primjenjuje uobičajeni metod proučavanja krila na slučaj dva Flettnerova rotora. Inače, autor je pokazao da je linija momenata u ovom slučaju astroid. U vezi
Linija (kriva) četvrtog reda nazovimo pravu definisanu algebarskom jednačinom četvrtog stepena u odnosu na kartezijanske pravougaone koordinate. Slično su definisane i linije (krive) petog, šestog i drugih reda.
Skup linija (krivulja) četvrtog reda više ne sadrži desetine, već hiljade linija određenog tipa. Skupovi redova petog i šestog reda su još raznovrsniji. Ovdje razmatramo određene vrste linija četvrtog i višeg reda, koje imaju zanimljiva svojstva i praktične primjene.
Lemniscate Bernoulli
Okrenimo se krivulji koju opisuje tačka M na ravni tako da proizvod p udaljenosti ove tačke do dve određene tačke F 1 i F 2 iste ravni ostane nepromenjen. Takva kriva se naziva lemniskata (lemniskata na grčkom znači "traka"). Ako je dužina segmenta F 1 F 2 c, tada su udaljenosti od sredine O segmenta F 1 F 2 do F1 i F2 jednake c / 2 i proizvod ovih udaljenosti je - c 2 /4. Zahtijevajmo prvo da vrijednost p nepromjenljivog proizvoda bude tačno jednaka 2/4; onda
linijski poredak transcendentna spirala
Rice. 8
tačka O će ležati na lemniskati, a sama lemniskata će izgledati kao „ležeća osmica“ (slika 8). Ako nastavimo odsječak F 1 F 2 u oba smjera do sjecišta sa lemniskatom, onda ćemo dobiti dvije tačke A 1 i A 2. Izražavamo udaljenost između A 1 A 2 \u003d x kroz poznatu udaljenost c:
Fokusi lemniskata su F1 (? c; 0) i F2 (c; 0). Uzmite proizvoljnu tačku M (x; y). Proizvod udaljenosti od žarišta do tačke M je
I po definiciji je jednako c2:
Kvadiramo obje strane jednadžbe:
Proširite zagrade na lijevoj strani:
Otvaramo zagrade i skupljamo novi kvadrat zbira:
Izvlačimo zajednički faktor i prenosimo:
U ovom slučaju, a je polumjer kružnice koja opisuje lemniskatu. Provodeći jednostavne transformacije, možemo dobiti eksplicitnu jednačinu:
Ukvadriramo i otvaramo zagrade:
Donosimo na pamet
Ovo je kvadratna jednačina s obzirom na y". Rješavajući to, dobijamo
Uzimajući korijen i odbacujući opciju s negativnim drugim članom, dobivamo:
gdje pozitivna varijanta definira gornju polovicu lemniskate, negativna varijanta definira donju.
Ako vrijednost konstantnog proizvoda p nije jednaka 2/4, onda će lemniskata promijeniti svoj oblik. A kada je p manji od c 2 /4, lemniskata se sastoji od dva ovala, od kojih svaki sadrži tačke F 1 i F 2, respektivno (slika 9).
Rice. 9
To. postavljanjem različitih uslova za p i c 2 /4, dobićemo lemniskate različitih tipova (slika 10).
Rice. 10
Uzmimo sada bilo koji broj tačaka na ravni. F 1 , F 2 ,…, F n Hajde da dobijemo krivu, čiji će oblik zavisiti od toga kako se nalaze tačke F 1 , F 2 ,…, F n jedna u odnosu na drugu i kolika je vrednost konstantnog proizvoda. Ova kriva se naziva lemniskata sa n žarišta.
Gore smo razmatrali lemniskate sa dva žarišta. Uzimanjem različitog broja žarišta, raspoređivanjem na različite načine i dodjeljivanjem ove ili one vrijednosti proizvodu udaljenosti, mogu se dobiti lemniskati najbizarnijih obrisa. Povedemo tačku olovke iz određene tačke A, ne skidajući je sa papira, tako da se konačno vrati u početnu tačku A. Tada će opisati određenu krivu; samo zahtijevamo da se ova kriva nigdje ne siječe
Rice. 11
sama. Očigledno, na ovaj način se mogu dobiti krivulje koje imaju, na primjer, obrise ljudske glave ili ptice (slika 11). Ispada da se, imajući takvu proizvoljnu krivulju, može izabrati broj n i raspored žarišta na takav način
F 1 , F 2 ,…, F n
i dodijeliti takvu vrijednost za konstantan proizvod udaljenosti
MF 1 MF 2 … MF n = str
da se odgovarajuća lemniskata na oko neće razlikovati od ove krive. Drugim riječima, moguća odstupanja tačke M, koja opisuje lemniskatu, od nacrtane krive - neće premašiti širinu poteza olovke (olovka se može unaprijed naoštriti kako želite tako da je potez vrlo usko). Ova izuzetna činjenica, koja govori o izuzetnoj raznolikosti i bogatstvu oblika lemniskata sa mnogo žarišta, dokazuje se prilično rigorozno, ali vrlo teško, uz pomoć više matematike.
Pascalov puž
Geografsko mjesto tačaka M i M" koje se nalazi na linijama olovke (čiji centar O leži na kružnici poluprečnika R) na udaljenosti a na obje strane tačke P presjeka pravih sa kružnicom; dakle, PM = PM" = a. jednadžba u pravokutnim koordinatama: (x2 + y2 - 2Rx)2 - a2(x2 + y2) = 0, u polarne koordinate: r = 2R cos j + a. Kada je a = 2R, petlja se skuplja do tačke, u kom slučaju se Pascalova pužnica pretvara u kardioid. Ime je dobilo po francuskom naučniku B. Pascalu (1588-1651), koji ga je prvi proučavao.
Cikloidne krive
Zamislite da se određena krivina kotrlja bez klizanja duž druge krivine; bilo koja tačka, koja je uvek povezana sa prvom krivom, opisaće novu krivu. Dakle, možete zamisliti elipsu koja se kotrlja po drugoj elipsi i istražiti liniju duž koje će se njeno središte kretati, ili odrediti putanju fokusa parabole koja se kotrlja pravolinijski, i tako dalje.
Među tako formiranim krivuljama izdvajaju se krivulje koje su putanje tačke koja je neizostavno povezana sa kružnicom koja se kotrlja bez klizanja duž druge kružnice. Rezultirajuće linije se pozivaju cikloidni.
Prilikom formiranja cikloidnih krivulja, tačka crtanja je odvojena od centra generirajuće (pokretne) kružnice na određenoj udaljenosti. U konkretnom slučaju, to se nalazi na obimu generirajuće kružnice. Pod ovim uvjetom, rezultirajuće krive se dijele na epicikloide i hipocikloide, ovisno o tome da li se generirajući krug nalazi na vanjskoj ili unutarnjoj strani fiksnog kruga.
Algebarske krive uključuju tako dobro poznate krive kao što su kardioid, astroid, razmotrimo ove krive.
Cardioid
1. Jednačina. Kardioid se može definisati kao putanja tačke koja leži na obodu kružnice poluprečnika r koja se kotrlja duž obima fiksne kružnice istog poluprečnika. Tako će to biti epicikloida sa modulom m jednakim 1.
Ova okolnost nam omogućava da odmah zapišemo parametarske jednačine kardioide, zamjenjujući modul m jednim u gornjim parametarskim jednačinama epicikloide. imat će:
Da bismo dobili polarnu jednačinu kardioida, zgodno je uzeti tačku A kao pol (slika 13), a polarnu osu usmjeriti duž apscise. Kako će četverougao AOO 1 M biti jednakokraki trapez, tada će polarni ugao tačke M biti jednak kutu rotacije generirajuće kružnice, tj. parametar t. Uzimajući u obzir ovu okolnost, zamijenimo y u drugoj jednačini sistema (1) kroz sin t. Smanjivanjem ovako dobijene jednakosti sa sin t, dobijamo polarnu jednačinu kardioida
Rice. 13
Prema ovoj jednačini
možemo zaključiti da je kardioid jedan od Pascalovih puževa. Stoga se može definirati kao konhoida kruga.
Prevodeći jednačinu (2) u pravougaoni koordinatni sistem, dobijamo:
Iz ove jednačine slijedi da je kardioid algebarska kriva 4. reda.
2. Svojstva. Pre svega, pošto je kardioida epicikloida sa m=1, na nju se mogu preneti sva svojstva epicikloida razmatranih u prethodnom paragrafu.
Ovdje su karakteristike i specifikacije.
1. Tangenta u proizvoljnoj tački kardioide prolazi kroz tačku kružnice generirajuće kružnice, dijametralno suprotnu tački kontakta kružnica, a normala prolazi kroz tačku njihovog dodira.
2. Ugao koji formira tangenta na kardioid sa radijus vektorom tačke dodira jednak je polovini ugla koji formira ovaj radijus vektor sa polarnu os. Zaista
Iz ove relacije direktno sledi da je ugao koji čini tangenta na kardioidu sa osom apscise jednak (kao spoljašnji ugao trougla AMN sl. 14). Imajući formulu, možemo dokazati da su tangente na kardioidu, povučene na krajevima tetive koja prolazi kroz pol, međusobno okomite.
Zaista, pošto
Rice. 14
Također napominjemo da je mjesto presjeka ovih tangenta kružnica.Zaista, jednačina prve tangente, zasnovana na jednadžbi (1) kardioide, imaće oblik
i druga tangenta Eliminirajući parametar iz ovih jednačina, dobijamo jednačinu navedene kružnice.
3. Poluprečnik zakrivljenosti u proizvoljnoj tački kardioide je određen formulom
Takođe se može pokazati da je radijus zakrivljenosti 2/3 polarne normale N u datoj tački.
Zaista, odakle, na osnovu (4), dobijamo Ova relacija se može koristiti za konstruisanje centra zakrivljenosti kardioide.
4. Evoluta kardioide, prema opštem svojstvu evolute epicikloida, takođe će biti kardioida slična datoj, sa koeficijentom sličnosti jednakim 1/3, a rotirana u odnosu na datu za ugao od 180°.
5. Dužina kardioidnog luka od tačke A do proizvoljne tačke M određena je formulom
Ako se dužina luka računa od tačke A 1, dijametralno suprotno od tačke A, onda se formula za određivanje dužine luka može napisati kao
6. Prirodna jednačina kardioide se dobija ako se parametar isključi iz jednakosti (4) i (6). To će izgledati
7. Površina ograničena kardioidom određena je formulom
i, kao što se može vidjeti, jednaka je površini sa šest kotača kruga generiranja.
Dužina cijelog kardioida određena je formulom
i, kao što se vidi, jednaka je osam prečnika generišućeg kruga. Zapremina tijela dobivena rotacijom kardioida oko svoje ose je jednaka
Površina tijela dobivena rotacijom kardioida oko svoje ose je jednaka
Vidjeli smo da je kardioid organski povezan s krugom. To je konhoida kruga i epicikloida. Ima drugačiji odnos sa krugom - kardioid je pod-era kruga u odnosu na tačku koja pripada ovoj kružnici.
Rice. 15
Zaista, neka je OM okomica spuštena na tangentu kružnice poluprečnika 2r povučena u tački N.
Budući da OM = OB + BM, ili \u003d\u003d 2r cos + 2r, tada će lokus tačaka M biti kardioid s jednadžbom = 2r (1 + cos)
U zaključku, napominjemo da kardioid također pripada porodici sinusoidnih spirala, a njegova pojedinačna svojstva se ponavljaju opšta svojstva ove krive. Iz ovih svojstava proizilazi, posebno, da inverzija kardioide, u odnosu na vrh, daje parabolu.
Astroid
1. Svojstva. Astroid je poseban slučaj hipocikloida, odnosno hipocikloida čiji je modul m jednak 1/4. To je, dakle, putanja tačke koja leži na kružnici kružnice poluprečnika r, koja se kotrlja po unutrašnjosti druge, nepokretne kružnice, čiji je poluprečnik R četiri puta veći.
Parametarske jednačine astroida se mogu dobiti stavljanjem hipocikloida u jednačine, m=1/4. Evo jednadžbi:
Rice. 16
gde je t, kao i ranije, ugao rotacije kruga generisanja (slika 16)
Eliminirajući parametar t iz jednadžbi (1), dobijamo:
Jednačina (2) implicira da je astroid algebarska kriva šestog reda.
Parametarske jednadžbe (1) astroida mogu se svesti na oblik
Eliminirajući parametar t iz ovih jednadžbi, dobijamo često korišteni oblik astroidne jednadžbe
Pretpostavljajući u prethodno izvedenim općim odnosima za cikloidne krive modul
m = -1/4, dobijamo odgovarajuće relacije za astroidu:
1) polumjer zakrivljenosti u proizvoljnoj tački astroida određen je formulom
2) dužina luka astroida od tačke A do proizvoljne tačke M(t) određena je formulom
dužina jedne grane je jednaka, a dužina cijele krive je 6R;
3) da bismo dobili prirodnu jednačinu astroida, prvo napominjemo da ako početna tačka za dužinu luka nije tačka A, za koju je t = 0, već tačka za koju je t = , tada dužina luka luk je određen formulom
izuzimajući parametar t iz jednadžbi (5) i (6), dobijamo prirodnu jednačinu astroida
4) evoluta astroida je takođe astroid sličan datom, sa koeficijentom sličnosti jednakim 2, zarotiran u odnosu na dati za ugao /4 (Sl. 16)
5) površina omeđena celim astroidom jednaka je zapremini tela dobijenom rotacijom astroida, jednaka je 32/105 R 3
površina tijela nastala rotacijom astroida je jednaka
Pređimo sada na razmatranje nekih posebnih svojstava astroida.
Astroid je omotač segmenta konstantne dužine, krajeva. koje klize duž dvije međusobno okomite prave linije.
Ove prave uzimamo kao koordinatne ose i, označavajući ugao nagiba kliznog segmenta ND=R kroz (slika 4), imaćemo jednačinu prave ND u obliku
Diferencirajući ovu jednačinu s obzirom na parametar, dobijamo:
Eliminirajući parametar iz posljednje jednačine i jednačine (7), imaćemo jednadžbu omotača u obliku tj. astroid.
U praksi se kretanje segmenta ND može izvesti pomoću takozvanih kardanskih krugova. Jedan od ovih krugova poluprečnika R je nepomičan, a drugi poluprečnika r, duplo manji, kotrlja se po unutrašnjoj strani nepokretnog kruga. Bilo koje dvije dijametralno suprotne točke N i D kotrljajućeg kruga kretat će se duž dva međusobno okomita prečnika Ox i Oy stacionarne kružnice. Jasno je da će omotač prečnika kotrljajućeg kruga biti astroid.
 Rice. 17 |
 Rice. 18 |
Razmatrani način formiranja astroida može se tumačiti i na sljedeći način. Pravougaonik ODCN čije dvije strane leže na dvije međusobno okomite prave je deformisan tako da njegova dijagonala zadrži dužinu jednaku R, omotač dijagonale će biti astroida. Budući da u ovom slučaju okomica spuštena iz vrha C na dijagonalu DN služi kao normala na omotnicu, astroida je mjesto baza okomica spuštenih iz vrha C pravokutnika na njegovu dijagonalu.
Na , ove jednadžbe izražavaju direktnu astroidu razmatranu ranije.
- (iz grčkog pogleda astron zvijezda i eidos) ravna kriva opisana točkom kružnice koja dodiruje fiksni krug od četiri puta većeg polumjera iznutra i kotrlja se duž njega bez klizanja. Pripada hipocikloidima. Astroid algebarski ... ... Veliko enciklopedijski rječnik
Postoji., Broj sinonima: 1 kriva (56) ASIS sinonimski rječnik. V.N. Trishin. 2013 ... Rečnik sinonima
- (iz grčkog pogleda ástron zvijezda i éidos), ravna kriva opisana točkom na kružnici koja dodiruje unutrašnjost fiksne kružnice od četiri puta većeg radijusa i kotrlja se duž nje bez klizanja. Pripada hipocikloidima. Astroid ... ... enciklopedijski rječnik
- (astro... gr. eidos pogled) mat. ravna krivulja opisana točkom kružnice koja se kotrlja bez klizanja duž unutrašnje strane druge, fiksne kružnice, polumjera četiri puta većeg od poluprečnika prvog; izgleda kao četvorokraka zvezda. Novi rječnik … Rečnik stranih reči ruskog jezika
Ravna algebra. kriva tiro reda, do ivice je opisana tačkom kruga poluprečnika r, koja se kotrlja duž unutrašnje strane kruga poluprečnika R=4r; hipocikloid sa modulom r=4. Jednadžba u kartezijanskim kartezijanskim koordinatama: parametarska. jednadžbe... Mathematical Encyclopedia
Kriva ili linija je geometrijski koncept koji je različito definiran u različitim presjecima.
KRIVINA (linija), trag koji ostavlja pokretna tačka ili tijelo. Obično se kriva predstavlja samo kao glatko zakrivljena linija, poput parabole ili kruga. Ali matematički koncept krive pokriva i ravnu liniju i figure sastavljene od segmenata, kao što su trokut ili kvadrat.
Krive se mogu podijeliti na ravne i prostorne. Ravan kriva, kao što je parabola ili prava linija, formira se na preseku dve ravni ili ravni i tela, i stoga leži u potpunosti u jednoj ravni. Prostorna kriva, na primjer, spirala u obliku spiralne opruge, ne može se dobiti kao presjek bilo koje površine ili tijela s ravninom i ne leži u jednoj ravni. Krivulje se također mogu podijeliti na zatvorene i otvorene. Zatvorena kriva, kao što je kvadrat ili krug, nema krajeve, tj. pokretna tačka koja stvara takvu krivu periodično ponavlja svoju putanju.
Kriva je lokus ili skup tačaka koje zadovoljavaju neki matematički uslov ili jednačinu.
Na primjer, krug je mjesto tačaka u ravni koje su jednako udaljene od date tačke. Definisane krive algebarske jednačine, nazivaju se algebarske krive.
Na primjer, jednadžba prave linije y = mx + b, gdje je m nagib, a b segment odsječen na y osi, je algebarska.
Krivulje čije jednadžbe sadrže transcendentne funkcije, kao što su logaritmi ili trigonometrijske funkcije, nazivaju se transcendentalne krive.
Na primjer, y = log x i y = tg x su jednadžbe transcendentalnih krivulja.
Oblik algebarske krive može se odrediti stepenom njene jednačine, koji se poklapa sa najvišim stepenom članova jednačine.
Ako je jednadžba prvog stepena, na primjer Ax + By + C = 0, tada kriva ima oblik prave linije.
Ako jednačina drugog stepena, na primjer,
Ax 2 + By + C = 0 ili Ax 2 + By 2 + C = 0, tada je kriva kvadratna, tj. predstavlja jedan od konusnih presjeka; takve krive uključuju parabole, hiperbole, elipse i kružnice.
Navodimo opšte oblike jednadžbi konusnih presjeka:
x 2 + y 2 \u003d r 2 - krug,
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 - elipsa,
y \u003d sjekira 2 - parabola,
x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 - hiperbola.
Krivulje koje odgovaraju jednadžbi treće, četvrte, pete, šeste, itd. stepeni se nazivaju krive trećeg, četvrtog, petog, šestog itd. red. Generalno, što je veći stepen jednačine, to je više krivina imaće otvorenu krivinu.
Mnoge složene krivulje dobile su posebna imena.
Cikloida je ravna kriva opisana fiksnom tačkom kružnice koja se kotrlja duž prave linije, koja se naziva generatrisa cikloide; cikloida se sastoji od niza lukova koji se ponavljaju.
Epicikloida je ravna krivulja opisana fiksnom točkom na kružnici koja se kotrlja duž druge fiksne kružnice izvan nje.
Hipocikloida je ravna krivulja opisana fiksnom točkom kružnice koja se kotrlja iznutra duž fiksne kružnice.
Spirala je ravna kriva koja se odmotava jedan za drugim od fiksne tačke (ili se vijuga oko nje).
Matematičari su proučavali svojstva krivulja od davnina, a imena mnogih neobičnih krivulja povezana su s imenima onih koji su ih prvi proučavali. Takvi su, na primjer, Arhimedova spirala, Agnezijev uvojak, Diokleov cisoid, Nikomedov kohoid i Bernulijeva lemniskata.
U okviru elementarne geometrije, koncept krivulje ne dobija posebnu formulaciju i ponekad se definiše kao "dužina bez širine" ili kao "granica figure". U suštini, u elementarnoj geometriji, proučavanje krivulja se svodi na razmatranje primjera (, , , i sl.). U nedostatku općih metoda, elementarna geometrija je prodrla prilično duboko u proučavanje svojstava specifičnih krivulja (, nekii takođe), koristeći posebne tehnike u svakom slučaju.
Najčešće se kriva definira kao kontinuirano preslikavanje od segmenta do:
U ovom slučaju, krive mogu biti različite, čak i ako jesumatch. Takve krive se nazivajuparametrizovane kriveili ako[ a , b ] = , načine.
Ponekad je kriva definirana do , odnosno do minimalne relacije ekvivalencije tako da parametarske krive
su ekvivalentni ako postoji kontinuirana (ponekad neopadajuća) h iz segmenta [ a 1 ,b 1 ] u segment [ a 2 ,b 2 ], tako da
One određene ovom relacijom nazivaju se ili jednostavno krive.
Analitičke definicije
U kursevima analitičke geometrije dokazano je da među linijama ispisanim u kartezijanskim pravokutnim (ili čak općenito afinim) koordinatama opšta jednačina drugi stepen
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
(gdje je barem jedan od koeficijenata A, B, C različit od nule) postoji samo sljedećih osam vrsta linija:
a) elipsa;
b) hiperbola;
c) parabola (nedegenerisane krive drugog reda);
d) par linija koje se seku;
e) par paralelnih pravih;
f) par podudarnih pravih (jedna linija);
g) jedna tačka (degenerisane prave drugog reda);
h) "linija" koja ne sadrži nikakve tačke.
Obrnuto, bilo koja linija svakog od ovih osam tipova zapisana je u kartezijanskim pravokutnim koordinatama nekom jednadžbom drugog reda. (U kursevima analitičke geometrije obično se govori o devet (a ne osam) tipova konusnih presjeka, budući da razlikuju "imaginarnu elipsu" i "par zamišljenih paralelnih pravih" - geometrijski su te "prave" iste, jer obje ne sadrže jednu tačku, ali su analitički zapisane različitim jednačinama.) Stoga se (degenerirani i nedegenerirani) konusni presjeci mogu definirati i kao prave drugog reda.
ATkriva u ravni je definirana kao skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinuF ( x , y ) = 0 . Istovremeno, za funkcijuF nameću se ograničenja koja garantuju da ova jednačina ima beskonačan broj nepodudarnih rješenja i
ovaj skup rješenja ne ispunjava "komad aviona".
Algebarske krive
Važna klasa krivulja su one za koje je funkcijaF ( x , y ) tu jeiz dvije varijable. U ovom slučaju, kriva definirana jednadžbomF ( x , y ) = 0 , zove se.
Algebarske krive date jednačinom 1. stepena su .
Jednačina 2. stepena, koja ima beskonačan broj rješenja, određuje, odnosno degenerisana i nedegenerirana.
Primjeri krivulja datih jednadžbama 3. stepena: , .
Primjeri krivulja 4. stepena: i .
Primjer krive 6. stepena: .
Primjer krivulje definirane parnom jednadžbom snage: (multifokalno).
Algebarske krive definirane jednadžbama višim stepenima, smatraju se u . Istovremeno, njihova teorija dobiva veći sklad ako se razmatranje provodi na . U ovom slučaju, algebarska kriva je određena jednadžbom oblika
F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,
gdje F je polinom od tri varijable koje su tačke.
Vrste krivulja
Ravna kriva je kriva čije sve tačke leže u istoj ravni.
(jednostavna linija ili jordanski luk, također kontura) je skup tačaka u ravni ili prostoru koje su u međusobnoj kontinualnoj korespondenciji sa segmentima linija.
Putanja - segment u .
analitičke krive koje nisu algebarske. Preciznije, krive koje se mogu definirati kroz liniju nivoa analitičke funkcije (ili, u višedimenzionalnom slučaju, sistema funkcija).
sinusoida,
cikloid,
Arhimedova spirala
traktor,
lanac,
Hiperbolička spirala itd.
Načini definiranja krivulja:
analitički - kriva je data matematičkom jednačinom;
grafički - kriva se vizualno postavlja na nosač grafičke informacije;
tabelarno - kriva je data koordinatama niza tačaka.
parametarski (najopštiji način za određivanje jednačine krive):
gdje - glatke funkcije parametarat, i
(x") 2 + (y") 2 + (z") 2 > 0 (uslov pravilnosti).
Često je zgodno koristiti invarijantnu i kompaktnu notaciju jednadžbe krivulje sa:
gdje se na lijevoj strani nalaze tačke krivulje, a na desnoj strani određuje njena ovisnost o nekom parametru t. Proširujući ovu notaciju u koordinatama, dobijamo formulu (1).
Cycloid.
Istorija proučavanja cikloida povezana je s imenima velikih naučnika, filozofa, matematičara i fizičara kao što su Aristotel, Ptolemej, Galileo, Huygens, Torricelli i drugi.
Cycloid(odκυκλοειδής - okrugli) - koji se može definirati kao putanja točke koja leži na granici kružnice koja se kotrlja bez klizanja u pravoj liniji. Ovaj krug se zove generirajući krug.
Jedan od najstarijih načina formiranja krivulja je kinematička metoda, u kojoj se kriva dobija kao putanja tačke. Krivulja, koja se dobija kao putanja tačke fiksirane na kružnici, koja se kotrlja bez klizanja duž prave linije, duž kružnice ili druge krive, naziva se cikloidna, što je prevedeno sa grčki znači kružno, podsjeća na krug.
Razmotrimo prvo slučaj kada se krug kotrlja duž prave linije. Krivulja opisana točkom fiksiranom na kružnici koja se kotrlja bez klizanja u pravoj liniji naziva se cikloida.
Neka se kružnica polumjera R kotrlja duž prave a. C je tačka fiksirana na kružnici, koja je u početnom trenutku vremena u poziciji A (slika 1). Stavimo na pravu isečak AB, jednak obimu kružnice, tj. AB \u003d 2 π R. Ovaj segment dijelimo na 8 jednakih dijelova točkama A1, A2, ..., A8 \u003d B.
Jasno je da kada krug, kotrljajući se po pravoj liniji a, napravi jedan okret, tj. rotira za 360, tada će zauzeti poziciju (8), a tačka C će se pomjeriti iz pozicije A u poziciju B.
Ako krug napravi pola punog okreta, tj. rotira za 180, tada će zauzeti poziciju (4), a tačka C će se pomeriti u najvišu poziciju C4.
Ako se kružnica rotira za ugao od 45, tada će se krug pomjeriti u poziciju (1), a tačka C će se pomjeriti u poziciju C1.
Na slici 1 su prikazane i druge tačke cikloide koje odgovaraju preostalim uglovima rotacije kruga, koji su višekratni od 45.
Povezujući konstruisane tačke glatkom krivuljom, dobijamo presek cikloide koji odgovara jednom potpunom obrtaju kružnice. Sa narednim obrtajima će se dobiti iste sekcije, tj. cikloida će se sastojati od periodično ponavljajućeg dijela koji se naziva cikloidni luk.
Obratimo pažnju na položaj tangente na cikloidu (slika 2). Ako biciklista vozi po mokrom putu, kapljice otkinute s točka će letjeti tangencijalno na cikloidu i, u nedostatku štitnika, mogu prskati biciklistu po leđima.
Prva osoba koja je proučavala cikloidu bio je Galileo Galilei (1564-1642). Smislio je i njegovo ime.
Svojstva cikloida:
Cikloida ima niz izvanrednih svojstava. Spomenimo neke od njih.
Nekretnina 1. (Ledena planina.) Godine 1696. I. Bernoulli je postavio zadatak da pronađe najstrmiju krivulju spuštanja, ili, drugim riječima, problem kakvog oblika treba da bude ledeno brdo da bi se napravio put od polazna tačka I do krajnje tačke B u najkraćem vremenu (sl. 3, a). Željena kriva se zvala "brahistohron", tj. krivulja najkraćeg vremena.
Jasno je da je najkraći put od tačke A do tačke B segment AB. Međutim, sa takvim pravolinijsko kretanje brzina se polako povećava i vrijeme utrošeno na spuštanje se pokazalo velikim (slika 3, b).
Brzina se postiže što je brže, što je spust strmiji. Međutim, strmim spuštanjem, staza duž krivine se produžava i time se povećava vrijeme njenog prolaska.
Među matematičarima koji su rješavali ovaj problem bili su: G. Leibniz, I. Newton, G. Lopital i J. Bernoulli. Oni su dokazali da je željena kriva obrnuta cikloida (slika 3, a). Metode koje su ovi naučnici razvili u rešavanju problema brahistohrone postavili su temelj za novi pravac u matematici - varijacioni račun.
Nekretnina 2. (Satovi sa klatnom.) Sat sa običnim klatnom ne može da radi tačno, pošto period oscilovanja klatna zavisi od njegove amplitude: što je veća amplituda, to je duži period. Holandski naučnik Kristijan Hajgens (1629 - 1695) pitao se koju krivulju treba da prati kugla na struni klatna da period njenog oscilovanja ne zavisi od amplitude. Imajte na umu da je kod običnog klatna kriva po kojoj se lopta kreće kružnica (slika 4).
Ispostavilo se da je željena kriva obrnuta cikloida. Ako se, na primjer, napravi korito u obliku obrnute cikloide i po njemu se provuče lopta, tada period kretanja lopte pod dejstvom gravitacije neće zavisiti od njenog početnog položaja i amplitude (Sl. 5) . Za ovo svojstvo, cikloida se naziva i "tautohron" - kriva jednakih vremena.
Huygens je napravio dvije drvene daske sa ivicama u obliku cikloida, ograničavajući kretanje konca lijevo i desno (sl. 6). U ovom slučaju, sama kugla će se kretati duž obrnute cikloide i stoga period njenih oscilacija neće zavisiti od amplitude.
Iz ovog svojstva cikloide, posebno, proizilazi da bez obzira sa kojeg mjesta ledenog tobogana u obliku obrnute cikloide počnemo spuštanje, isto vrijeme ćemo provesti sve do krajnje tačke.
Cikloidna jednadžba
1. Pogodno je zapisati cikloidnu jednačinu u terminima α - ugao rotacije kruga, izražen u radijanima, imajte na umu da je α takođe jednako putanji koju generišući krug pređe u pravoj liniji.
x=ra– r grijeh α
y=r - r cos α
2. Uzmimo horizontalnu koordinatnu osu kao pravu liniju duž koje se kotrlja stvarajući krug radijusa r.
Opisana je cikloida parametarske jednačine
x = rt – r grijeh t,
y = r – r cos t.
Jednadžba u:
Cikloida se može dobiti kao rastvor diferencijalna jednadžba:
Iz priče o cikloidi
Prvi od naučnika je skrenuo pažnju na cikloiduin, ali ozbiljno proučavanje ove krivulje počelo je tek godine.
Prvi koji je počeo proučavati cikloidu bio je Galileo Galilei (1564-1642), poznati italijanski astronom, fizičar i pedagog. Takođe je skovao naziv "cikloida", što znači: "podseća na krug". Sam Galileo nije pisao ništa o cikloidi, ali njegova djela u tom pravcu pominju Galilejevi učenici i sljedbenici: Vivijani, Toričeli i drugi. Toricelli, poznati fizičar, pronalazač barometra, posvetio je mnogo vremena matematici. U renesansi nije bilo uskih specijalista naučnika. Talentirana osoba bavila se filozofijom, fizikom i matematikom, i posvuda je dobijala zanimljive rezultate i dolazila do velikih otkrića. Nešto kasnije od Italijana, Francuzi su preuzeli cikloidu, nazvavši je "roll" ili "trochoid". Godine 1634. Roberval - pronalazač poznatog sistema težina sistema utega - izračunao je površinu ograničenu lukom cikloide i njegovom bazom. Značajno proučavanje cikloide izvršio je Galilejev savremenik. Među , odnosno krivuljama čija se jednačina ne može napisati u obliku x , y, cikloida je prva od proučavanih.
O cikloidi je napisao:
Rulet je linija toliko uobičajena da nakon ravne linije i kruga više nema zajedničke linije; tako se često crta svima pred očima da se mora čuditi što ga drevni ljudi nisu razmatrali... jer ovo nije ništa drugo do put opisan u vazduhu ekserom točka.
Nova kriva brzo je stekla popularnost i bila je podvrgnuta dubinskoj analizi, koja je uključivala, , Newton,, braće Bernuli i drugih svetila nauke XVII-XVIII veka. Na cikloidu, metode u nastajanju tih godina. Činjenica da se analitičko proučavanje cikloide pokazalo uspješnim kao i analiza algebarskih krivulja ostavilo je veliki utisak i postalo važan argument u prilog "izjednačavanju prava" algebarskih i transcendentalnih krivulja. Epicikloid
Neke vrste cikloida
Epicikloid - putanja tačke A, koja leži na kružnici prečnika D, koja se kotrlja bez klizanja po kružnici vodilice poluprečnika R (vanjski dodir).
Konstrukcija epicikloida se izvodi u sljedećem redoslijedu:
Iz centra 0 povučen je pomoćni luk poluprečnika 000=R+r;
Iz tačaka 01, 02, ... 012, kao i iz centara, povlače se krugovi poluprečnika r dok se ne seku sa pomoćnim lukovima u tačkama A1, A2, ... A12, koje pripadaju epicikloidi.
Hipocikloid
Hipocikloida - putanja tačke A, koja leži na kružnici prečnika D, koja se kotrlja bez klizanja duž vodećih krugova poluprečnika R (unutrašnji dodir).
Konstrukcija hipocikloida se izvodi u sljedećem redoslijedu:
Generirajući krug poluprečnika r i vodeća kružnica poluprečnika R nacrtani su tako da se dodiruju u tački A;
Generirajući krug je podijeljen na 12 jednakih dijelova, dobiju se tačke 1, 2, ... 12;
Iz centra 0 povučen je pomoćni luk poluprečnika 000=R-r;
Centralni ugao a određen je formulom a = 360r / R.
Podijelite luk vodećeg kruga, ograničen uglom a, na 12 jednakih dijelova, dobijete bodove 11, 21, ... 121;
Od centra 0 do tačaka 11, 21, ... 121 povučena je prava linija do raskrsnice sa pomoćnim lukom u tačkama 01, 02, ... 012;
Iz centra 0 povlače se pomoćni lukovi kroz podjelne tačke 1, 2, ... 12 generirajuće kružnice;
Iz tačaka 01, 02, ... 012, kao i iz centara, povlače se krugovi poluprečnika r dok se ne seku sa pomoćnim lukovima u tačkama A1, A2, ... A12, koje pripadaju hipocikloidi.
Cardioid.
Cardioid ( καρδία - srce, Kardioid je poseban slučaj Termin "kardioid" uveo je Castillon 1741. godine.
Ako kružnicu i tačku na njoj uzmemo kao pol, onda ćemo kardioidu dobiti samo ako odvojimo segmente jednake promjeru kružnice. Za ostale vrijednosti ucrtanih segmenata, konhoidi će biti izduženi ili skraćeni kardioidi. Ovi izduženi i skraćeni kardioidi se inače nazivaju Pascalovim puževima.
Cardioid ima razne aplikacije u tehnologiji. U obliku kardioida izrađuju ekscentrike, bregaste za automobile. Ponekad se koristi pri crtanju zupčanika. Osim toga, koristi se u optičkoj tehnologiji.
Svojstva kardioida
kardioid -U M na pokretnoj kružnici će opisati zatvorenu putanju. Ova ravna kriva se naziva kardioida.
2) Kardioid se može dobiti i na drugi način. Označite tačku na kružnici O i izvuci gredu iz nje. Ako iz tačke ALI presjek ove zrake s krugom, odgoditi segment prijepodne, duž dužine jednake prečniku kruga, i rotirati gredu oko tačke O, zatim poenta M kretaće se duž kardioide.
3) Kardioid se može predstaviti i kao kriva tangenta na sve kružnice sa centrom na datoj kružnici i koja prolazi kroz njegovu fiksnu tačku. Kada se izgradi nekoliko krugova, ispada da je kardioid izgrađen kao da je sam od sebe.
4) Postoji još jedan elegantan koliko i neočekivan način da se vidi kardioid. Na slici možete vidjeti tačkasti izvor svjetlosti na krugu. Nakon što se zraci svjetlosti po prvi put reflektiraju od kružnice, tangente na kardioidu. Zamislite sada da je krug ivice čaše, u jednom trenutku on reflektuje jaku sijalicu. Crna kafa se sipa u šolju, omogućavajući vam da vidite sjajne reflektovane zrake. Kao rezultat toga, kardioid je istaknut zracima svjetlosti. 
Astroid.
Astroid (od grčkog astron - zvijezda i eidos - pogled), ravna krivulja opisana točkom kružnice koja dodiruje fiksni krug od četiri puta većeg polumjera iznutra i kotrlja se duž njega bez klizanja. Pripada hipocikloidima. Astroid - algebarska kriva 6. reda.
Astroid. Dužina cijele astroide jednaka je šest radijusa fiksne kružnice, a površina njome ograničena je tri osmine fiksne kružnice.
Segment tangente na astroidu, zatvoren između dva međusobno okomita poluprečnika fiksne kružnice, povučen na vrhu astroide, jednak je poluprečniku fiksne kružnice, bez obzira na to kako je tačka izabrana.
astroid svojstva
Ima ih četiricusp .
Dužina luka od tačke 0 do omotača
porodice segmenata konstantne dužine, čiji su krajevi smješteni na dvije međusobno okomite linije.Astroid je 6. reda.
Astroidne jednadžbe
Jednadžba u kartezijanskim pravokutnim koordinatama je:| x | 2 / 3 + | y | 2/3 = R2/3parametarska jednadžba:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 tKako napraviti astroid
Crtamo dvije međusobno okomite ravne linije i crtamo niz segmenata dužineR čije krajnje tačke leže na ovim pravima. Na slici je prikazano 12 takvih segmenata (uključujući segmente samih međusobno okomitih linija). Što više segmenata nacrtamo, to će kriva biti preciznija. Konstruirajmo sada omotač svih ovih segmenata. Ova koverta će biti astroid.
Zaključak
U radu su dati primjeri zadataka s različitim tipovima krivulja, definiranih različitim jednadžbama ili koji zadovoljavaju neki matematički uvjet. Konkretno, cikloidne krivulje, načini za njihovo definiranje, razne načine konstrukcije, svojstva ovih krivulja.
Svojstva cikloidnih krivina se vrlo često koriste u mehanici u zupčanicima, što značajno povećava čvrstoću dijelova u mehanizmima.