Glavne, tri međusobno okomite ose povučene kroz c.-l. tačka tijela i posjeduju osobinu da ako se uzmu kao koordinatne ose, tada će centrifugalni momenti inercije tijela oko ovih osa biti jednaki nuli. Ako tv. tijelo fiksirano u jednoj tački se dovodi u rotaciju oko ose, koja je u datoj tački yavl. glavni O. i., tada će tijelo, u nedostatku vanjskih sila, nastaviti da se okreće oko ove ose, kao oko fiksne. Koncept glavnog O. i. plays važnu ulogu u TV zvučniku tijelo.
Fizički enciklopedijski rječnik. - M.: Sovjetska enciklopedija..1983 .
OS INERCIJE
Glavne su tri međusobno okomite ose povučene kroz dr.sc. tačka tela, koja se poklapa sa osom elipsoida inercije tela u ovoj tački. Glavni O. i. imaju svojstvo da ako se uzmu kao koordinatne ose, tada će centrifugalni momenti inercije tijela oko ovih osa biti jednaki nuli. Ako jedna od koordinatnih osa, npr. osa Oh, je za poen O glavni O. i., zatim centrifugalni momenti inercije, čiji indeksi uključuju naziv ove ose, tj. Ixy I I xz, jednaki su nuli. Ako se čvrsto tijelo, fiksirano u jednoj tački, dovede u rotaciju oko ose, ivica u datoj tački je glavni O. i., tada tijelo u odsustvu vanjskog. sile će nastaviti da se rotiraju oko ove ose, kao oko fiksne.
Fizička enciklopedija. U 5 tomova. - M.: Sovjetska enciklopedija.Glavni i odgovorni urednik A. M. Prokhorov.1988 .
Osi, u odnosu na koje centrifugalni moment inercije je nula, nazivaju se glavni, a momenti inercije oko ovih osa se nazivaju glavni momenti inercije.
Prepišimo formulu (2.18) uzimajući u obzir poznate trigonometrijske odnose:
; 
u ovom obliku
Da bismo odredili položaj glavnih centralnih osa, diferenciramo jednakost (2.21) u odnosu na ugao α kada dobijemo
Pri određenoj vrijednosti ugla α=α 0 , centrifugalni moment inercije može ispasti nula. Stoga, uzimajući u obzir derivat ( in), aksijalni moment inercije poprimiće ekstremnu vrijednost. Izjednačavanje
,
dobijamo formulu za određivanje položaja glavnih osi inercije u obliku:
(2.22)
U formuli (2.21) izvlačimo cos2 iz zagrada α
0 i tu zamijeniti vrijednost (2.22) i, uzimajući u obzir dobro poznatu trigonometrijsku zavisnost 
dobijamo:
Nakon pojednostavljenja, konačno dobijamo formulu za određivanje vrijednosti glavnih momenata inercije:
(2.23)
Formula (20.1) se koristi za određivanje momenata inercije oko glavnih osa. Formula (2.22) ne daje direktan odgovor na pitanje o kojoj će osi moment inercije biti maksimalan ili minimalan. Po analogiji sa teorijom proučavanja ravnog naponskog stanja, predstavljamo pogodnije formule za određivanje položaja glavnih osi inercije:
(2.24)
Ovdje α 1 i α 2 određuju položaj osi u odnosu na koje su momenti inercije jednaki J 1 i J 2. U ovom slučaju treba imati na umu da je zbir modula uglova α 01 i α 02 mora biti jednako π/2:
Uslov (2.24) je uslov ortogonalnosti za glavne osi inercije ravnog presjeka.
Treba napomenuti da kada se koriste formule (2.22) i (2.24) za određivanje položaja glavnih osi inercije, mora se poštovati sljedeći obrazac:
Glavna os, u odnosu na koju je moment inercije maksimalan, čini najmanji ugao sa prvobitnom osom u odnosu na koju je moment inercije veći.
Primjer 2.2.
Odredite geometrijske karakteristike ravnih presjeka grede u odnosu na glavne središnje osi:
 |
Rješenje
Predloženi dio je asimetričan. Dakle, položaj centralnih osa će biti određen sa dve koordinate, glavne centralne ose će se rotirati u odnosu na centralne ose pod određenim uglom. To podrazumijeva takav algoritam za rješavanje problema određivanja glavnih geometrijskih karakteristika.
1. Presjek dijelimo na dva pravougaonika sa takvim površinama i momentima inercije oko njihovih središnjih osa:
F 1 = 12 cm 2, F 2 = 18 cm 2;
2. Postavljamo sistem pomoćnih osa X 0 at 0 počevši od tačke ALI. Koordinate centara gravitacije pravougaonika u ovom sistemu osa su sledeće:
X 1 =4 cm; X 2 =1 cm; at 1 \u003d 1,5 cm; at 2 \u003d 4,5 cm.
3. Odredite koordinate težišta presjeka prema formulama (2.4):
Primjenjujemo centralne ose (crveno na slici 2.9).
4. Izračunavamo aksijalne i centrifugalne momente inercije oko centralnih ose X sa i at c prema formulama (2.13) primijenjenim na kompozitni presjek:
5. Glavne momente inercije nalazimo prema formuli (2.23)
6. Odrediti položaj glavnih centralnih osi inercije X I at po formuli (2.24):
Glavne centralne ose su prikazane na (sl. 2.9) plavom bojom.
7. Provjerimo izvršene proračune. Da bismo to učinili, izvršit ćemo sljedeće proračune:
Zbir aksijalnih momenata inercije oko glavne središnje i središnje ose mora biti isti:
Zbir modula uglova α X i α y,, definiranje položaja glavnih centralnih osa:
Osim toga, odredba da je glavna središnja osovina X, u odnosu na koji je moment inercije J x Ima maksimalna vrijednost, čini manji ugao sa centralnom osom, u odnosu na koju je moment inercije veći, tj. sa osovinom X od.
Glavne ose inercije i glavni momenti inercije.
Kada se kut promijeni, mijenjaju se vrijednosti Ix1, Iy1 i Ix1y1. Odrediti vrijednost ugla pod kojim Ix1 i Iy1 imaju ekstremne vrijednosti; da bismo to učinili, uzimamo prvi izvod u odnosu na Ix1 ili Iy1 i postavljamo ga jednakim nuli: ili odakle (1.28)
Ova formula određuje položaj dvije ose, u odnosu na jednu od kojih je aksijalni moment inercije maksimalan, a u odnosu na drugu minimalan.
Takve osi se nazivaju glavnim. Momenti inercije oko glavnih osa nazivaju se glavni momenti inercije.
Vrijednosti glavnih momenata inercije pronalazimo iz formula (1.23) i (1.24), zamjenjujući ih iz formule (1.28), koristeći poznate trigonometrijske formule za funkcije dvostrukih uglova.
Nakon transformacija dobijamo sljedeću formulu za određivanje glavnih momenata inercije: (1.29)
Ispitivanjem drugog izvoda može se utvrditi da je za ovaj slučaj (Ix< Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси х, а минимальный момент инерции - относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.
Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne ose.
U mnogim slučajevima moguće je odmah odrediti položaj glavnih centralnih osa. Ako figura ima os simetrije, onda je to jedna od glavnih središnjih osa, druga prolazi kroz težište presjeka okomitog na prvu. Prethodno proizilazi iz činjenice da je u odnosu na os simetrije i bilo koju os okomitu na nju, centrifugalni moment inercije jednak nuli.
Ako su dva glavna središnja momenta inercije presjeka jednaka jedan drugom, tada je za ovaj presjek svaka središnja os glavna, a svi glavni središnji momenti inercije su isti (krug, kvadrat, šesterokut, jednakostranični šesterokut) .
9. Osnovne geometrijske karakteristike presjeka
ovdje: C- težište ravnih sekcija;
A- površina poprečnog presjeka;
I x , I y- aksijalni momenti inercije presjeka u odnosu na glavne ose;
I xI , I yI- aksijalni momenti inercije u odnosu na pomoćne ose;
I str- polarni moment inercije presjeka;
W x , W y- aksijalni momenti otpora;
W str- polarni moment otpora
Pravokutni presjek
Poprečni presjek jednakokračnog trougla
10. Glavne vrste sila koje djeluju na tijelo. Moment sile oko centra. Svojstva momenta.
Kada se razmatraju mehanički problemi, većina sila koje djeluju na tijela može se pripisati trima glavnim varijantama:
Sila gravitacije;
Sila trenja;
Elastična sila.
Sva tijela oko nas privlače Zemlju, to je zbog djelovanja sila univerzalne gravitacije. Ako zanemarimo otpor zraka, tada već znamo da sva tijela padaju na Zemlju istim ubrzanjem – ubrzanjem slobodnog pada.
Kao i svaki predmet, tijelo okačeno na oprugu ima tendenciju pada zbog gravitacije Zemlje, ali kada se opruga istegne do određene dužine, tijelo se zaustavlja, odnosno dolazi u stanje mehaničke ravnoteže. Već znamo da mehanička ravnoteža nastaje kada je zbir sila koje djeluju na tijelo jednak nuli. To znači da sila gravitacije koja djeluje na teret mora biti u ravnoteži s nekom silom koja djeluje sa strane opruge. Ova sila, usmjerena protiv sile gravitacije i koja djeluje sa strane opruge, naziva se elastična sila.
Nakon prelaska određene udaljenosti tijelo se zaustavlja, brzina tijela se smanjuje sa početne vrijednosti na nulu, odnosno ubrzanje tijela je negativna vrijednost. Posljedično, na tijelo djeluje sila sa strane površine, koja teži da zaustavi ovo tijelo, odnosno djeluje suprotno njegovoj brzini. Ova sila se naziva sila trenja.
Moment sile oko centra (tačke).
Moment sile F u odnosu na centar (tačku) O zove se vektor m o (Ž) jednaka vektorski proizvod vektorski radijus r izvučeno iz centra O upravo ALI primjena sile, na vektor sile F:
gdje je rame h okomito spušteno iz centra O na liniju sile F.
Momenat m o (Ž) karakterizira rotacijski učinak sile F oko centra (tačke) O.
Svojstva momenta sile:
1. Moment sile oko centra se ne mijenja prilikom prenosa snage duž linije akcije do bilo koje tačke;
2. Ako linija akcije sila prolazi kroz centar O(h = 0), zatim moment sile oko centra O nula.
Ako se bilo koje tijelo dovede u rotaciju oko proizvoljne ose, a zatim prepusti samo sebi, tada će se položaj ose rotacije u prostoru, općenito govoreći, promijeniti: os će se ili rotirati ili kretati u odnosu na inercijski referentni okvir. Da bi se proizvoljno uzeta os držala u stalnom položaju, na nju se moraju primijeniti određene sile.
Osa rotacije tijela, čiji se položaj u prostoru održava bez primjene bilo kakvih sila izvana, naziva se slobodna osovina tijelo.
Može se pokazati da kroz centar mase tijela prolaze najmanje tri međusobno okomite ose, koje mogu poslužiti kao slobodne ose. Takve osovine se nazivaju glavne osi inercije tijelo.
Zovu se momenti inercije tijela oko glavnih osa glavni momenti inercije.
Za tijela sa aksijalnom simetrijom (na primjer, homogeni cilindar), jedna od glavnih osa se poklapa sa osom simetrije, a bilo koje dvije ose okomite na os simetrije i jedna na drugu i prolaze kroz centar mase tijela su takođe glavni (slika 7.15) . Momenti inercije oko zadnje dvije ose su međusobno jednaki, a moment inercije oko ose simetrije je različit od njih
Takvo tijelo se zove simetričan vrh.
Rice. 7.15. Glavne ose homogenog cilindra
Za tijelo sa centralnom simetrijom (na primjer, za homogenu loptu), glavne su bilo koje tri međusobno okomite ose koje prolaze kroz centar simetrije. Za njih
Takva tijela se nazivaju loptasti vrhovi. Svaka os sfernog vrha koja prolazi kroz centar simetrije je glavna (i stoga slobodna).
U opštem slučaju, glavni momenti inercije tela su različiti, tj.
Takvo tijelo se zove asimetrični vrh. Primjer asimetričnog vrha je homogeni pravougaoni paralelepiped (slika 7.16).
Rice. 7.16. Glavne ose homogenog paralelepipeda
Sa "skoro" slobodnom rotacijom, male perturbacije mogu djelovati na tijelo. Ako pri takvim perturbacijama os rotacije malo promijeni svoj položaj, tada se rotacija naziva održivo. Inače, pričajte o tome nestabilno rotacija.
Neka, radi određenosti, vrijedi sljedeća relacija između glavnih momenata inercije za asimetrični vrh:
Može se pokazati da će rotacija oko osi 1 i 3 (odnosno osa sa maksimalnim i minimalnim momentima inercije) biti stabilna, a oko ose 2 (sa srednjim momentom inercije) - nestabilna.
Video 7.4. Stabilnost leta u vazduhu kuboid
Neka se tijelo rotira oko jedne od glavnih osi, na primjer, oko z-ose. Zatim vektor ugaona brzina ima oblik
Aksijalni momenti inercije presjeka o sekirama X I at(vidi sliku 32, ali) nazivaju se definitivnim integralima oblika
Prilikom određivanja aksijalnih momenata inercije, u nekim slučajevima se mora susresti s još jednom novom geometrijskom karakteristikom presjeka - centrifugalnim momentom inercije.
centrifugalni moment inercije presjeci oko dvije međusobno okomite ose x y(vidi sliku 32, ali)
Polarni moment inercije presek u odnosu na poreklo O(vidi sliku 32, ali) pozvao definitivni integral vrsta
gdje R- udaljenost od početka koordinata do elementarne površine d.A.
Aksijalni i polarni momenti inercije su uvijek pozitivni, a centrifugalni moment, ovisno o izboru osi, može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli. Jedinice za označavanje momenata inercije - cm 4, mm 4.
Postoji sljedeći odnos između polarnih i aksijalnih momenata inercije:
Prema formuli (41), zbir aksijalnih momenata inercije oko dvije međusobno okomite ose jednak je polarnom momentu inercije oko točke presjeka ovih osa (početka).
Momenti inercije presjeka u odnosu na paralelne ose, od kojih su neki centralni (x s, us)> određuju se iz izraza: 
gdje i iv- koordinate težišta C presjeka (sl. 34).
Formule (42) sa velikim praktična upotreba, čitaju se na sljedeći način: moment inercije presjeka oko bilo koje ose jednak je momentu inercije oko ose koja je paralelna s njom i koja prolazi kroz težište presjeka, plus umnožak površine presjeka na kvadrat udaljenosti između osa.
Bilješka: koordinate a i c treba zamijeniti u formule (42) date gore, uzimajući u obzir njihove predznake.
Rice. 34.
Iz formule (42) slijedi da će od svih momenata inercije oko paralelnih osa najmanji moment biti oko ose koja prolazi kroz težište presjeka, odnosno središnji moment inercije.
Formule za određivanje čvrstoće i krutosti konstrukcije uključuju momente inercije, koji se izračunavaju u odnosu na osi koje nisu samo središnje, već i glavne. Da bi se utvrdilo koje su osi koje prolaze kroz težište glavne, mora se znati odrediti momente inercije oko osi koje su jedna u odnosu na drugu rotirane pod određenim kutom.
Zavisnosti između momenata inercije tokom rotacije koordinatnih osa (slika 35) imaju sledeći oblik:
gdje ali- ugao rotacije osi I I v o sekirama henna respektivno. Razmatra se ugao a pozitivno ako je rotacija osi I i ideš u smeru suprotnom od kazaljke na satu.
Rice. 35.
Zbir aksijalnih momenata inercije oko bilo koje međusobno okomite osi se ne mijenja kada se rotiraju:
Kada se osi rotiraju oko ishodišta, mijenja se centrifugalni moment inercije kontinuirano, dakle, na određenom položaju osa, postaje jednaka nuli.
Dvije međusobno okomite ose u odnosu na koje je centrifugalni moment inercije presjeka jednak nuli nazivaju se glavne osi inercije.
Smjer glavne osi inercije može se odrediti na sljedeći način:
Dvije vrijednosti ugla dobijene iz formule (43) ali razlikuju jedan od drugog za 90° i daju položaj glavnih osi. Kao što možete vidjeti, manji od ovih uglova ne prelazi u apsolutnoj vrijednosti l /4. U budućnosti ćemo koristiti samo manji ugao. Izvedeno pod ovim uglom glavna osovinaće biti označeno slovom I. Na sl. 36 prikazuje neke primjere označavanja glavnih osa u skladu s ovim pravilom. Početne ose su označene slovima hee w.
Rice. 36.
U problemima savijanja, važno je poznavati aksijalne momente inercije presjeka u odnosu na one glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka.
Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne ose. U nastavku ćemo, po pravilu, radi sažetosti ove ose jednostavno zvati glavne osovine, izostavljajući riječ "centralni".
Osa simetrije ravnog presjeka je glavna središnja os inercije ovog presjeka, druga osa je okomita na nju. Drugim riječima, osa simetrije i bilo koja okomita na nju čine sistem glavnih osa.
Ako ravan presjek ima najmanje dvije ose simetrije koje nisu okomite jedna na drugu, tada su sve ose koje prolaze kroz težište takvog presjeka njegove glavne središnje osi inercije. Dakle, na sl. 37 prikazuje neke vrste presjeka (krug, prsten, kvadrat, pravilan šesterokut, itd.), koji imaju sljedeće svojstvo: svaka os koja prolazi kroz njihovo težište je glavna.
Rice. 37.
Treba napomenuti da nas necentralne glavne ose ne zanimaju.
U teoriji savijanja najveća vrijednost imaju momente inercije oko glavnih centralnih ose.
Main centralni momenti inercija ili glavni momenti inercije su momenti inercije oko glavnih centralnih ose. Štaviše, u odnosu na jednu od glavnih osa, moment inercije maksimum, u odnosu na drugu - minimalno:
Aksijalni momenti inercije presjeka prikazanih na sl. 37, izračunate u odnosu na glavne centralne ose, jednake su jedna drugoj: J y , onda: J u = J x cos 2 a + J y sin a = J x .
Momenti inercije složenog presjeka jednaki su zbiru momenata inercije njegovih dijelova. Stoga, da bismo odredili momente inercije složenog presjeka, možemo napisati:
gdje eJ xi , J y „ J xiyi - momenti inercije pojedinih dijelova presjeka.
Napomena: ako sekcija ima rupu, onda je zgodno smatrati je presjekom s negativnom površinom.
Da bismo u budućnosti izvršili proračune čvrstoće, uvodimo novu geometrijsku karakteristiku čvrstoće šipke koja radi u direktnom zavoju. Ova geometrija se zove aksijalni moment otpornost ili modul savijanja.
Omjer momenta inercije presjeka oko ose i udaljenosti od ove ose do najudaljenije tačke presjeka naziva se aksijalni moment otpora:
Moment otpora ima dimenziju mm 3, cm 3.
Najčešći momenti inercije i momenti otpora jednostavne sekcije određuju se formulama datim u tabeli. 3.
Za valjane čelične grede (I-grede, kanalne grede, ugaone grede itd.) momenti inercije i momenti otpora dati su u tabelama sortimenta valjanih čelika, pri čemu je pored dimenzija i poprečni presek date su oblasti, položaji centara gravitacije i druge karakteristike.
U zaključku, predstavljamo koncept radijus rotacije preseci u odnosu na koordinatne ose X I at - i x I i y odnosno, koje su određene slijedećim formulama.