Osi koje prolaze kroz težište ravne figure nazivaju se centralne ose.
Moment inercije oko centralne ose se naziva centralna tačka inercija.

Teorema

Moment inercije oko bilo koje osi jednak je zbroju momenta inercije oko središnje osi paralelne datoj i umnožak površine figure kvadratom udaljenosti između osa .

Da bismo dokazali ovu teoremu, razmotrimo proizvoljnu ravan figuru čija je površina jednaka ALI , centar gravitacije se nalazi u tački OD , i centralni moment inercije oko ose x bice I x .
Izračunajte moment inercije figure oko neke ose x 1 , paralelno sa središnjom osom i udaljeno od nje na udaljenosti a (pirinač).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Analizirajući rezultirajuću formulu, napominjemo da je prvi član - aksijalni moment inercije oko središnje ose, drugi član je statički moment površine ove figure u odnosu na središnju os (dakle, jednak je nuli), a treći član nakon integracije može se predstaviti kao proizvod a 2 A , tj. kao rezultat dobijamo formulu:

I x1 \u003d I x + a 2 A- teorema je dokazana.

Na osnovu teoreme može se zaključiti da sa broja paralelne ose aksijalni moment inercije ravne figure će biti najmanji u odnosu na centralnu osu .

Glavne ose i glavni momenti inercije

Zamislimo ravnu figuru čiji su momenti inercije oko koordinatnih osa I x i I y , a polarnog trenutka inercija oko porekla je I ρ . Kako je ranije utvrđeno,

I x + I y = I ρ.

Ako se koordinatne ose rotiraju u svojoj ravni oko ishodišta, tada će polarni moment inercije ostati nepromijenjen, a aksijalni momenti će se promijeniti, dok će njihov zbir ostati konstantan. Pošto je zbroj varijabli konstantan, jedna od njih opada, a druga raste, i obrnuto.
Stoga će na određenom položaju osi jedan od aksijalnih momenata dostići maksimalnu vrijednost, a drugi - minimalnu.

Osi u odnosu na koje momenti inercije imaju minimalne i maksimalne vrijednosti nazivaju se glavne osi inercije.
Moment inercije oko glavne ose naziva se glavnim momentom inercije.

Ako glavna os prolazi kroz težište figure, naziva se glavna središnja os, a moment inercije oko takve ose se naziva glavnim središnjim momentom inercije.
Može se zaključiti da ako je figura simetrična oko neke ose, onda će ta os uvijek biti jedna od glavnih središnjih osi inercije ove figure.

centrifugalni moment inercije

Centrifugalni moment inercije ravne figure je zbir proizvoda elementarnih površina uzetih na cijeloj površini na udaljenosti dvije međusobno okomite ose:

I xy = Σ xy dA,

gdje x , y - udaljenost od lokacije dA to axes x i y .
Centrifugalni moment inercije može biti pozitivan, negativan ili nula.

Centrifugalni moment inercije uključen je u formule za određivanje položaja glavnih osi asimetričnih presjeka.
Tablice standardnih profila sadrže karakteristiku tzv radijus rotacije presjeka , izračunato po formulama:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (u daljem tekstu znak"√"- korijenski znak)

gdje I x , I y - aksijalni momenti inercije presjeka u odnosu na centralne ose; ALI - površina poprečnog presjeka.
Ova geometrijska karakteristika se koristi u proučavanju ekscentrične napetosti ili kompresije, kao i izvijanja.

Torziona deformacija

Osnovni koncepti torzije. Torzija okrugle šipke.

Torzija je vrsta deformacije u kojoj se samo zakretni moment javlja u bilo kojem poprečnom presjeku grede, odnosno faktor sile koji uzrokuje kružno pomicanje presjeka u odnosu na osu okomitu na ovaj presjek, ili sprječava takvo pomicanje. Drugim riječima, torzijske deformacije nastaju ako se par ili parovi sila primjenjuju na ravnu gredu u ravninama okomitim na njegovu os.
Momenti ovih parova sila nazivaju se uvijanjem ili rotacijom. Obrtni moment je označen T .
Takva definicija uslovno dijeli faktore sile torzijske deformacije na vanjske (uvijanje, momenti momenta T ) i unutrašnji (moment M cr ).

U strojevima i mehanizmima, okrugla ili cjevasta osovina najčešće su podvrgnuta torziji, stoga se za takve jedinice i dijelove najčešće izvode proračuni čvrstoće i krutosti.

Razmotrite torziju okrugle cilindrične osovine.
Zamislite cilindrično gumeno vratilo s jednim krajem čvrsto učvršćenim, a na površinu je nanesena mreža uzdužnih linija i poprečnih krugova. Primjenjujemo nekoliko sila na slobodni kraj osovine, okomito na os ove osovine, odnosno uvijamo ga duž osi. Ako pažljivo razmotrite linije mreže na površini osovine, primijetit ćete da:
- osa osovine, koja se naziva osa torzije, ostat će ravna;
- prečnici krugova će ostati isti, a razmak između susjednih krugova neće se promijeniti;
- uzdužne linije na osovini će se pretvoriti u spiralne linije.

Iz ovoga se može zaključiti da hipoteza o ravnim presjecima vrijedi za vrijeme torzije okrugle cilindrične šipke (osovine), a također se može pretpostaviti da polumjeri kružnica ostaju ravni tokom deformacije (jer se njihovi prečnici nisu promijenili). A budući da u dijelovima osovine nema uzdužnih sila, razmak između njih je očuvan.

Stoga se torzijska deformacija okrugle osovine sastoji u rotaciji poprečnih presjeka jedan u odnosu na drugi oko torzione osi, a njihovi uglovi rotacije su direktno proporcionalni udaljenostima od fiksnog presjeka - što je dalje od fiksnog kraja osovina je bilo koji presjek, što je veći ugao u odnosu na os osovine koju uvija.
Za svaki dio osovine, kut rotacije jednak je kutu uvrtanja dijela osovine zatvorenog između ovog dijela i završetka (fiksnog kraja).


Ugao ( pirinač. jedan) rotacija slobodnog kraja osovine (krajnjeg preseka) naziva se ukupni ugao uvijanja cilindrične šipke (osovine).
Relativni ugao uvijanja φ 0 se naziva omjer ugla uvijanja φ 1 na distancu l 1 od ove sekcije do završetka (fiksna sekcija).
Ako je cilindrična greda (osovina) sa dužinom l ima konstantan poprečni presjek i opterećen je torzijskim momentom na slobodnom kraju (tj. sastoji se od homogenog geometrijskog presjeka), tada je tvrdnja tačna:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konst - vrijednost je konstantna.

Ako uzmemo u obzir tanak sloj na površini gornje gumene cilindrične šipke ( pirinač. jedan) ograničena ćelijom mreže cdef , napominjemo da se ova ćelija iskrivljuje tokom deformacije, a njena strana, udaljena od fiksnog presjeka, pomiče se prema uvrtanju grede, zauzimajući poziciju cde 1 f 1 .

Treba napomenuti da se slična slika uočava i tijekom posmične deformacije, samo što je u ovom slučaju površina deformirana zbog translacijskog pomaka presjeka jedan u odnosu na drugi, a ne zbog rotacijskog pomaka, kao kod torzijske deformacije. Na osnovu ovoga možemo zaključiti da prilikom torzije u poprečnim presjecima nastaju samo tangente unutrašnje sile(naprezanje) koje stvara obrtni moment.

Dakle, moment je rezultujući moment u odnosu na os grede unutrašnjih tangencijalnih sila koje djeluju u poprečnom presjeku.

Slika 7

,

,

,

gdje I x , I y su aksijalni momenti inercije u odnosu na referentne ose;

Ixy– centrifugalni moment inercija u odnosu na originalne ose;

I xc , I yc su aksijalni momenti inercije oko centralnih osa;

I xcyc je centrifugalni moment inercije oko centralnih osa;

a, b- razmak između osovina.

Određivanje momenata inercije presjeka pri rotaciji ose

Poznate su sve geometrijske karakteristike presjeka u odnosu na centralne ose x C,u C(Sl. 8). Odrediti momente inercije oko osi x 1,1 rotirani u odnosu na centralne za neki ugao a.

Slika 8

,

gdje I x 1 , I y 1 su aksijalni momenti inercije oko osi x 1,1 ;

I x 1 y 1 je centrifugalni moment inercije oko osi x 1,1 .

Određivanje položaja glavnih centralnih osi inercije

Položaj glavnih središnjih osi inercije presjeka određuje se formulom:

,

gdje a 0 je ugao između centralne i glavne osi inercije.

Određivanje glavnih momenata inercije

Glavni momenti inercije presjeka određeni su formulom:

Redoslijed izračunavanja složenog presjeka

1) Podijelite složeni dio na jednostavne geometrijske figure [S1, S2,…;x 1, y 1; x2, y2, …]

2) Odaberite proizvoljne osi XOY .

3) Odredite položaj težišta presjeka [x c , y c].

4) Nacrtajte centralne ose X c OY c.

5) Izračunajte momente inercije x c, Iy c , koristeći teoremu paralelnog prevođenja osa.

6) Izračunajte centrifugalni moment inercije Ix c y c.

7) Odrediti položaj glavnih osa inercije tg2a 0.

8) Izračunajte glavne momente inercije Imax, Ja sam za.

PRIMJER 2

Za sliku prikazanu na slici 13, odredite glavne tačke

inercija i položaj glavnih osi inercije.

1) Složeni presjek razbijamo na jednostavne geometrijske oblike

S 1 = 2000 mm 2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.

2) Odaberite proizvoljne XOY osi.

3) Odrediti položaj težišta presjeka

x c = 25 mm, y c=35 mm.

4) Nacrtajte centralne ose X c OY c

5) Izračunajte momente inercije Ix c , Iy c

6) Izračunajte centrifugalni moment inercije Ix c y c

7) Odrediti položaj glavnih osa inercije

Ako a I x >I y i a 0 >0 , zatim ugao a 0 van ose X s u smeru suprotnom od kazaljke na satu.

8) Izračunajte glavne momente inercije Imax, Ja sam za

PRIMJER 3

Za sliku prikazanu na sl. 8 odredite položaj glavnih osi

Slika 8

inercija i glavni momenti inercije.

1) Za svaku figuru ispisujemo glavne početne podatke

Kanal

S 1 = 10,9 cm2

I x = 20,4 cm 4

I y = 174 cm 4

y 0= 1,44 cm

h= 10 cm

nejednak ugao

S 3 = 6,36 cm2

I x = 41,6 cm 4

I y = 12,7 cm 4

I min = 7,58 cm 4

tga= 0,387

x0= 1,13 cm

y 0= 2,6 cm

Pravougaonik

S2 = 40 cm 2

cm 4

cm 4

2) Nacrtamo dio na mjerilu

3) Nacrtajte proizvoljne koordinatne ose

4) Odrediti koordinate težišta presjeka

5) Nacrtajte centralne ose

6) Odrediti aksijalne momente inercije oko centralnih ose

7) Odrediti centrifugalni moment inercije oko centralnih ose

Centrifugalni moment inercije za kutno valjani čelik u odnosu na njegovo težište određuje se iz jednog od sledeće formule:

-4

Predznak centrifugalnog momenta inercije za kutno valjani čelik određen je prema sl. 9, dakle I xy 3\u003d -13,17 cm 4.

8) Odrediti položaj glavnih osa inercije

a0 = 21,84°

9) Odrediti glavne momente inercije

ZADATAK 4

Za date šeme (tabela 6) potrebno je:

1) Nacrtajte poprečni presjek u strogoj mjeri.

2) Odrediti položaj težišta.

3) Pronađite vrijednosti aksijalnih momenata inercije oko središnjih osa.

4) Odrediti vrijednost centrifugalnog momenta inercije oko centralnih osa.

5) Odrediti položaj glavnih osi inercije.

6) Pronađite glavne momente inercije.

Uzmite numeričke podatke iz tabele. 6.

Dizajn šeme za zadatak br. 4

Tabela 6

Početni podaci za zadatak br.4

№	Ugao jednake police	Ugao nejednak	I-beam	Kanal	Pravougaonik	broj šeme
	30´5	50´32´4			100´30
	40´6	56´36´4			100´40
	50´4	63´40´8			100´20
	56´4	70´45´5			80´40
	63´6	80´50´6		14a	80´60
	70´8	90´56´6			80´100
	80´8	100´63´6	20a	16a	80´20
	90´9	90´56´8			60´40
	75´9	140´90´10	22a	18a	60´60
	100´10	160´100´12			60´40
	d	a	b	in	G	d

Upute za zadatak 5

Savijanje je vrsta deformacije u kojoj se u poprečnom presjeku šipke javlja V.S.F. - moment savijanja.

Za proračun grede za savijanje potrebno je znati vrijednost najvećeg momenta savijanja M i položaj sekcije u kojoj se to dešava. Na isti način, morate znati najveću bočnu silu Q. U tu svrhu grade se grafikoni momenata savijanja i posmičnih sila. Iz dijagrama je lako procijeniti gdje će se nalaziti maksimalna vrijednost moment ili poprečna sila. Za određivanje vrijednosti M i Q koristeći metodu sekcije. Razmotrimo kolo prikazano na sl. 9. Sastavite zbroj sila na osovinu Y djelujući na odsječeni dio grede.

Slika 9

Poprečna sila jednaka je algebarskom zbiru svih sila koje djeluju na jednoj strani presjeka.

Sastavite zbir momenata koji djeluju na odsječeni dio grede u odnosu na presjek.

Moment savijanja jednak je algebarskom zbroju svih momenata koji djeluju na odsječeni dio grede, u odnosu na težište presjeka.

Da bi se moglo izračunati sa bilo kojeg kraja grede, potrebno je prihvatiti pravilo predznaka za faktore unutrašnje sile.

Za silu smicanja Q.

Slika 10.

Ako vanjska sila rotira odsječeni dio grede u smjeru kazaljke na satu, tada je sila pozitivna, ako vanjska sila rotira odsječeni dio grede u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je sila negativna.

Za trenutak savijanja M.

Slika 11.

Ako je pod uticajem spoljna sila zakrivljena os grede ima oblik konkavne posude, tako da će je kiša koja dolazi odozgo napuniti vodom, tada je moment savijanja pozitivan (slika 11a). Ako pod djelovanjem vanjske sile savijena os grede poprimi oblik konveksne posude, tako da je kiša koja pada odozgo neće ispuniti vodom, tada je moment savijanja negativan (slika 11b).

Između intenziteta raspoređenog opterećenja q, poprečna sila Q i moment savijanja M, djelujući u određenom dijelu, postoje sljedeće diferencijalne zavisnosti:

Ove diferencijalne zavisnosti u savijanju nam omogućavaju da ustanovimo neke karakteristike dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja.

1) U onim područjima gdje nema raspoređenog opterećenja, dijagram Q je ograničen na prave linije paralelne osi dijagrama i dijagrama M , u opštem slučaju, su kose prave (sl. 19).

2) U onim područjima gdje se na gredu primjenjuje ravnomjerno raspoređeno opterećenje, dijagram Q ograničen kosim pravim linijama i dijagramom M – kvadratne parabole(Sl. 20). Prilikom crtanja M na komprimiranim vlaknima, konveksnost parabole je okrenuta u smjeru suprotnom djelovanju raspoređenog opterećenja (sl. 21a, b).

Slika 12.

Slika 13.

3) U onim dijelovima gdje Q= 0, tangenta na dijagram M paralelno sa osom dijagrama (sl. 12, 13). Moment savijanja u takvim dijelovima grede je ekstremne veličine ( M max,Mmin).

4) U područjima gdje Q > 0, M povećava, odnosno s lijeva na desno, pozitivne ordinate dijagrama M povećanje, negativno - smanjenje (sl. 12, 13); u onim oblastima gde Q < 0, M opada (sl. 12, 13).

5) U onim dijelovima gdje se na gredu primjenjuju koncentrisane sile:

a) na parceli Q doći će do skokova u veličini iu smjeru primijenjenih sila (sl. 12, 13).

b) na parceli M doći će do loma (sl. 12, 13), vrh loma je usmjeren protiv djelovanja sile.

6) U onim presjecima gdje se koncentrirani momenti primjenjuju na gredu, na dijagramu M doći će do skokova u veličini ovih trenutaka, na parceli Q neće biti promena (slika 14).

Slika 14.

Slika 15.

7) Ako je koncentrisan

momenta, tada je u ovom presjeku moment savijanja jednak vanjskom momentu (presjeci C i B na sl. petnaest).

8) Dijagram Q je dijagram derivacije dijagrama M. Dakle, ordinate Q proporcionalno tangenti nagiba tangente na dijagram M(Sl. 14).

Redoslijed crtanja Q i M:

1) Izrađuje se proračunski dijagram grede (u obliku ose) sa slikom opterećenja koja na njega djeluju.

2) Uticaj oslonaca na gredu se zamenjuje odgovarajućim reakcijama; naznačene su oznake reakcija i njihovi prihvaćeni pravci.

3) Sastavljaju se jednadžbe ravnoteže za gredu čije rješenje određuje vrijednosti reakcija oslonca.

4) Greda je podeljena na preseke čije su granice tačke primene spoljašnjih koncentrisanih sila i momenata, kao i tačke početka i kraja dejstva ili promene prirode raspoređenih opterećenja.

5) Sastavljeni izrazi momenata savijanja M i poprečne sile Q za svaki dio grede. Shema proračuna pokazuje početak i smjer brojanja udaljenosti za svaku dionicu.

6) Na osnovu dobijenih izraza izračunavaju se ordinate dijagrama za određeni broj presjeka grede u količini dovoljnoj za prikaz ovih dijagrama.

7) Određuju se presjeci u kojima su poprečne sile jednake nuli i u kojima, dakle, djeluju momenti Mmax ili Mmin za ovaj dio grede; izračunavaju se vrijednosti ovih momenata.

8) Dijagrami se grade prema dobijenim vrijednostima ordinata.

9) Konstruisani dijagrami se provjeravaju međusobnom poređenjem.

Dijagrami unutrašnjih faktora sile pri savijanju grade se radi određivanja opasnog presjeka. Nakon što se pronađe opasna dionica, greda se izračunava za snagu. Uglavnom poprečno savijanje, kada u presjecima grede djeluju moment savijanja i poprečna sila, u presjeku grede nastaju normalni i posmični naponi. Stoga je logično uzeti u obzir dva uvjeta snage:

a) normalnim naprezanjima

b) naponi smicanja

Budući da su glavni destruktivni faktor za grede normalna naprezanja, tada se dimenzije poprečnog presjeka grede prihvaćenog oblika određuju iz uvjeta čvrstoće za normalna naprezanja:

Zatim se provjerava da li odabrani presjek grede zadovoljava uvjet čvrstoće posmičnog naprezanja.

Međutim, takav pristup proračunu greda još ne karakterizira snagu grede. U mnogim slučajevima postoje točke u presjecima grede u kojima istovremeno djeluju velika normalna i posmična naprezanja. U takvim slučajevima postaje potrebno provjeriti čvrstoću grede za glavna naprezanja. Za takvu provjeru najprikladnije su treća i četvrta teorija čvrstoće:

, .

PRIMJER 1

Izgradite grafikone smične sile Q i moment savijanja M za gredu prikazanu na sl. 16 ako: F1= 3 kN F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, a = 2m, b = 1 m, With = 3m.

Slika 16.

1) Odredite reakcije podrške.

;

pregled:

Reakcije pronađene ispravno

2) Podijelite gredu na dijelove CA,AD,DE,EK,KB.

3) Odredite vrijednosti Q i M u svakoj oblasti.

SA

, ; , .

AD

, ;

, .

DE

, ;

, .

HF

, , ;

, , .

Pronađite maksimalni moment savijanja na presjeku KB.

Izjednačite jednačinu Q na ovoj sekciji na nulu i izrazite koordinate zmax , s kojim Q= 0, a moment ima maksimalnu vrijednost. Zatim vršimo zamjenu zmax u jednadžbu trenutka na ovom dijelu i pronađite Mmax.

EC

, ;

, .

4) Pravimo dijagrame (slika 16)

PRIMJER 2

Za gredu prikazanu na sl. 16 odredite dimenzije okruglog, pravougaonog ( h/b = 2) i I-presjek. Provjerite čvrstoću I-grede prema glavnim naprezanjima, ako [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) Određujemo traženi moment otpora iz stanja čvrstoće

2) Odredite dimenzije kružnog presjeka

3) Odredite dimenzije pravougaonog preseka

4) Odabiremo I-gredu br. 10 prema asortimanu (GOST 8239-89)

W X\u003d 39,7 cm 3, S X * \u003d 23 cm 3, I X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.

Za provjeru čvrstoće grede u smislu glavnih napona potrebno je u opasnom presjeku nacrtati normalna i posmična naprezanja. Budući da veličina glavnih napona zavisi i od normalnih i od posmičnog naprezanja, ispitivanje čvrstoće treba izvesti u onom dijelu grede gdje je M i Q su dovoljno veliki. na osloncu AT(sl. 16) sila smicanja Q ima maksimalnu vrijednost, ali ovdje M= 0. stoga smatramo da je dio o osloncu opasan ALI, gdje je moment savijanja maksimalan, a poprečna sila relativno velika.

Normalni naponi, koji se mijenjaju po visini presjeka, poštuju linearni zakon:

gdje y- koordinata tačke preseka (Sl. 24).

at at= 0, s = 0;

at ymax ,

Zakon promjene posmičnih naprezanja određen je zakonom promjene statičkog momenta površine, koji se, pak, mijenja po visini presjeka prema paraboličkom zakonu. Nakon izračunavanja vrijednosti za karakteristične točke presjeka, konstruiramo dijagram posmičnih naprezanja. Prilikom izračunavanja vrijednosti t koristimo notaciju za dimenzije presjeka usvojene na Sl. 17.

Uslov čvrstoće za sloj 3-3 je zadovoljen.

ZADATAK 5

Za date sheme greda (tablica 12) izgraditi dijagrame poprečne sile Q i moment savijanja M. Odaberite poprečni presjek za shemu a) okrugli [s]= 10 MPa; b) I-zraka [s]= 150 MPa.

Uzmite numeričke podatke iz tabele. 7.

Tabela 7

Početni podaci za zadatak br. 6

№

a, m

q 1 = q 3, kN / m

q 2 , kN/m

F 1 , kN

F 2 , kN

F 3 , kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

broj šeme

0,8

1,2

Tabela 12 se nastavlja

Često je prilikom rješavanja praktičnih problema potrebno odrediti momente inercije presjeka u odnosu na osi orijentirane na različite načine u njegovoj ravnini. U ovom slučaju, prikladno je koristiti već poznate vrijednosti momenata inercije cijelog presjeka (ili njegovih pojedinačnih dijelova) u odnosu na druge osi, date u tehničkoj literaturi, posebnim referentnim knjigama i tablicama, kao i izračunati korištenjem dostupnih formula. Stoga je vrlo važno uspostaviti odnos između momenata inercije istog presjeka u odnosu na različite ose.

U najopćenitijem slučaju, prijelaz sa bilo kojeg starog na bilo koji novi sistem koordinate se mogu posmatrati kao dvije uzastopne transformacije starog koordinatnog sistema:

1) paralelnim prenošenjem koordinatnih osa u novi položaj i

2) rotirajući ih u odnosu na novo ishodište. Razmotrimo prvu od ovih transformacija, tj. paralelno prevođenje koordinatne ose.

Pretpostavimo da su momenti inercije datog presjeka u odnosu na stare ose (slika 18.5) poznati.

Uzmimo novi koordinatni sistem čije su ose paralelne sa starim. Neka a i b označavaju koordinate tačke (tj. novo ishodište) u starom koordinatnom sistemu

Razmotrimo elementarnu oblast čije koordinate u starom koordinatnom sistemu su y i . U novom sistemu su jednaki

Zamijenimo ove koordinate u izraz za aksijalni moment inercije oko ose

U rezultirajućem izrazu, moment inercije, statički moment presjeka oko ose jednak je površini F presjeka.

shodno tome,

Ako z osa prolazi kroz težište presjeka, tada je statički moment i

Iz formule (25.5) se može vidjeti da je moment inercije oko bilo koje ose koja ne prolazi kroz težište veći od momenta inercije oko ose koja prolazi kroz centar gravitacije, za iznos koji je uvijek pozitivan . Dakle, od svih momenata inercije oko paralelnih osa, aksijalni moment inercije ima najmanju vrijednost u odnosu na osu koja prolazi kroz centar gravitacije presjeka.

Moment inercije oko ose [po analogiji sa formulom (24.5)]

U posebnom slučaju kada y-osa prolazi kroz težište presjeka

Formule (25.5) i (27.5) se široko koriste u proračunu aksijalnih momenata inercije složenih (kompozitnih) presjeka.

Zamijenimo sada vrijednosti u izraz za centrifugalni moment inercije oko osi

Zadati su: momenti inercije figure oko osa z, y; udaljenosti između ovih i paralelnih osa z 1, y 1 - a, b.

Odrediti: momente inercije oko osa z 1, y 1 (slika 4.7).

Koordinate bilo koje tačke u novom sistemu z 1 Oy 1 mogu se izraziti u terminima koordinata u starom sistemu na sledeći način:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Ove vrijednosti zamjenjujemo u formule (4.6) i (4.8) i integriramo pojam po član:

U skladu sa formulama (4.1) i (4.6) dobijamo

,

, (4.13)

Ako su početni podaci ose zCy centralni, tada su statički momenti S z i

S y su jednaki nuli i formule (4.13) su pojednostavljene:

,

, (4.14)

.

Primjer: odrediti aksijalni moment inercije pravokutnika oko z-ose 1 koja prolazi kroz bazu (slika 4.6, a). Po formuli (4.14)

4.4. Odnos između momenata inercije pri okretanju osi

Zadati su: momenti inercije proizvoljne figure u odnosu na koordinatne ose z, y; ugao rotacije ovih osa α (slika 4.8). Smatramo da je ugao rotacije u smjeru suprotnom od kazaljke na satu pozitivan.

Odrediti: momente inercije figure u odnosu na z 1 , y 1 .

Koordinate proizvoljne elementarne površine dF u novim osama izražavaju se u koordinatama starog sistema osa na sljedeći način:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC - BC = AC - ED = ycos α - zsin α.

Ove vrijednosti zamjenjujemo u (4.6) i (4.8) i integriramo pojam po član:

,

,

Uzimajući u obzir formule (4.6) i (4.8), konačno nalazimo:

. (4.16)

Zbrajanjem formula (4.15) dobijamo: (4.17)

Na ovaj način, kada se osi rotiraju, zbroj aksijalnih momenata inercije ostaje konstantan. U ovom slučaju, svaki od njih se mijenja u skladu sa formulama (4.15). Jasno je da će za neki položaj osi momenti inercije imati ekstremne vrijednosti: jedan od njih će biti najveći, drugi najmanji.

4.5. Glavne ose i glavni momenti inercije

Od najveće praktične važnosti su glavne centralne ose, centrifugalni moment inercije oko kojih je jednak nuli. Takve ose ćemo označavati slovima u, u. Prema tome, J uυ = 0. Početni proizvoljni koordinatni sistem z, y mora biti rotiran za takav ugao α 0 da centrifugalni moment inercije postane jednak nuli. Izjednačavajući (4.16) sa nulom, dobijamo

. (4.18)

Ispada da su teorija momenata inercije i teorija ravnog naponskog stanja opisane istim matematičkim aparatom, budući da su formule (4.15) - (4.18) identične formulama (3.10), (3.11) i (3.18) . Samo umjesto normalnih napona σ upisuju se aksijalni momenti inercije J z i J y, a umjesto posmičnih napona τ zy - centrifugalni moment inercije J zy . Stoga su formule za glavne aksijalne momente inercije date bez izvođenja, po analogiji sa formulama (3.18):

.(4.19)

Dvije vrijednosti ugla α 0 dobijene iz (4.18) razlikuju se jedna od druge za 90 0 , manji od ovih uglova ne prelazi 45 0 u apsolutnoj vrijednosti.

Radijus inercije i moment otpora

Moment inercije figure oko bilo koje ose može se predstaviti kao proizvod površine figure na kvadrat određene veličine, tzv. radijus rotacije:

, (4.20)

gdje je i z polumjer inercije u odnosu na osu z.

Iz izraza (4.20) slijedi da

,
. (4.21)

Glavne centralne osi inercije odgovaraju glavnim poluprečnikima inercije

,
. (4.22)

Poznavajući glavne polumjere rotacije, možete grafički pronaći polumjer rotacije (i, posljedično, moment inercije) oko proizvoljne ose.

Razmotrite još jednu geometrijsku karakteristiku koja karakterizira snagu šipke u torziji i savijanju - moment otpora. Moment otpora jednak je momentu inercije podijeljen s udaljenosti od ose (ili od pola) do najudaljenije tačke presjeka. Dimenzija momenta otpora je jedinica dužine u kocki (cm 3).

Za pravougaonik (slika 4.6, a)
,
, pa aksijalni momenti otpora

,
. (4.23)

Za krug
(Sl. 4.6, b),
, dakle polarni moment otpora

. (4.24)

Za krug
,
, dakle aksijalni moment otpora

. (4.25)