3.3.1. Potopna centrifugalna pumpa U ovom odeljku ćemo razmotriti opciju sa potopljenom centrifugalnom pumpom NPTs-750. Koristim vodu sa izvora od aprila do oktobra. Pumpam ga potopnom centrifugalnom pumpom NPTs-750 / 5nk (prva znamenka označava potrošnju energije u vatima,

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA.

Kao što iskustvo pokazuje, otpornost šipke na različite deformacije ne ovisi samo o dimenzijama poprečnog presjeka, već i o obliku.

Dimenzije i oblik poprečnog presjeka karakteriziraju različite geometrijske karakteristike: površina poprečnog presjeka, statički momenti, momenti inercije, momenti otpora itd.

1. Statički moment površine(moment inercije prvog stepena).

Statički moment inercije površina u odnosu na bilo koju osu, je zbir proizvoda elementarnih površina na udaljenosti od ove ose, proširene na cijelu površinu (slika 1)

Svojstva statičkog momenta površine:

1. Statički moment površine mjeri se u jedinicama dužine trećeg stepena (na primjer, cm 3).

2. Statički moment može biti manji od nule, veći od nule i, prema tome, jednak nuli. Osi prema kojima je statički moment jednak nuli prolaze kroz težište presjeka i nazivaju se centralne ose.

Ako a x c i yc su koordinate centra gravitacije, onda

3. Statički moment inercije složenog presjeka oko bilo koje ose jednak je zbiru statičkih momenata sastavnih prostih presjeka oko iste ose.

Koncept statičkog momenta inercije u nauci o snazi ​​koristi se za određivanje položaja težišta presjeka, iako se mora imati na umu da u simetričnim presjecima centar gravitacije leži na presjeku osi simetrije.

2. Moment inercije ravnim sekcijama(figure) (momenti inercije drugog stepena).

a) aksijalni(ekvatorijalni) moment inercije.

Aksijalni moment inercije površina figure u odnosu na bilo koju osu je zbir proizvoda elementarnih površina po kvadratu udaljenosti do ove ose raspodjele po cijeloj površini (slika 1)

Osobine aksijalnog momenta inercije.

1. Aksijalni moment inercije površine mjeri se u jedinicama dužine četvrtog stepena (na primjer, cm 4).

2. Aksijalni moment inercije je uvijek veći od nule.

3. Aksijalni moment inercije složenog presjeka u odnosu na bilo koju osu jednak je zbroju aksijalnih momenata sastavnih jednostavnih presjeka u odnosu na istu osu:

4. Vrijednost aksijalnog momenta inercije karakterizira sposobnost šipke (grede) određenog poprečnog presjeka da se odupre savijanju.

b) Polarni moment inercije.

Polarni moment inercije Površina figure u odnosu na pol je zbir proizvoda elementarnih površina po kvadratu udaljenosti do pola, proširen na cijelo područje (slika 1).

Svojstva polarnog momenta inercije:

1. Polarni moment inercije površine mjeri se u jedinicama dužine četvrtog stepena (na primjer, cm 4).

2. Polarni moment inercije je uvijek veći od nule.

3. Polarni moment inercije složenog presjeka u odnosu na bilo koji pol (centar) jednak je zbiru polarnih momenata komponenti jednostavnih presjeka u odnosu na ovaj pol.

4. Polarni moment inercije presjeka jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije ovog presjeka oko dvije međusobno okomite ose koje prolaze kroz pol.

5. Veličina polarnog momenta inercije karakterizira sposobnost šipke (grede) određenog oblika poprečnog presjeka da se odupre torziji.

c) centrifugalni moment inercije.

CENTRIFUGALNI MOMENT INTERCIJE površine figure u odnosu na bilo koji koordinatni sistem je zbir proizvoda elementarnih površina po koordinatama, proširenih na čitavu površinu (slika 1)

Svojstva centrifugalnog momenta inercije:

1. Centrifugalni moment inercije površine mjeri se u jedinicama dužine četvrtog stepena (na primjer, cm 4).

2. Centrifugalni moment inercije može biti veći od nule, manji od nule i jednak nuli. Osi oko kojih je centrifugalni moment inercije jednak nuli nazivaju se glavne osi inercije. Dvije međusobno okomite ose, od kojih je barem jedna os simetrije, bit će glavne ose. Glavne ose koje prolaze kroz težište površine nazivaju se glavne centralne ose, a aksijalni momenti inercije površine se nazivaju glavnim centralne tačke inercija.

3. Centrifugalni moment inercije složenog presjeka u bilo kojem koordinatnom sistemu jednak je zbiru centrifugalnih momenata inercije sastavnih figura u istoj koordinatnoj shemi.

MOMENTI INERCIJE U ODNOSU NA PARALELNE OS.

Fig.2

Dato: sjekire x, y- centralno;

one. aksijalni moment Inercija u presjeku oko ose paralelne sa središnjom jednaka je aksijalnom momentu oko njegove središnje ose plus proizvod površine i kvadrata udaljenosti između osa. Iz toga slijedi da aksijalni moment inercije presjeka u odnosu na centralnu osu ima minimalnu vrijednost u sistemu paralelnih osa.

Nakon što smo napravili slične proračune za centrifugalni moment inercije, dobijamo:

Jx1y1=Jxy+Aab

one. centrifugalni moment inercije presjeka oko osa paralelnih centralnom koordinatnom sistemu jednak je centrifugalnom momentu u centralnom koordinatnom sistemu plus proizvod površine i rastojanja između osa.

MOMENTI INERCIJE U ROTIRANOM KOORDINATNOM SISTEMU

one. zbir aksijalnih momenata inercije presjeka je konstantna vrijednost, ne ovisi o kutu rotacije koordinatnih osa i jednak je polarnom momentu inercije oko ishodišta. Centrifugalni moment inercije može promijeniti svoju vrijednost i okrenuti se na "0".

Osi oko kojih je centrifugalni moment jednak nuli bit će glavne osi inercije, a ako prolaze kroz centar gravitacije, tada se nazivaju glavne osi inercije i označavaju se " u" i "".

Trenuci inercije oko principala centralne osovine nazivaju se glavnim centralnim momentima inercije i označavaju se , a glavni centralni momenti inercije imaju ekstremne vrijednosti, tj. jedno je "min", a drugo "max".

Neka ugao "a 0" karakterizira položaj glavnih osa, tada:

prema ovoj zavisnosti određujemo položaj glavnih osa. Vrijednost glavnih momenata inercije nakon nekih transformacija određena je sljedećom ovisnošću:

PRIMJERI ODREĐIVANJA AKSIJALNIH MOMENTA INTERCIJE, POLARNIH MOMENTA INTERCIJE I MOMENTA OTPORA JEDNOSTAVNIH FIGURA.

1. Pravokutni presjek

sjekire x i y - ovdje i u drugim primjerima - glavne centralne osi inercije.

Odredimo aksijalne momente otpora:

2. Okrugla čvrsta presjeka. momenti inercije.

Pretpostavimo da postoji koordinatni sistem sa ishodištem u tački O i osovinama OX; OY; oz. U odnosu na ove ose, centrifugalni momenti inercije (proizvodi inercije) nazivaju se veličine, koje su određene jednakostima:

gde su mase materijalne tačke u koje je tijelo razbijeno; - koordinate odgovarajućih materijalnih tačaka.

Centrifugalni moment inercije ima svojstvo simetrije, što slijedi iz njegove definicije:

Centrifugalni momenti tijela mogu biti pozitivni i negativni, uz određeni izbor OXYZ osi, mogu nestati.

Za centrifugalne momente inercije postoji analog Steinbergove teoreme. Ako uzmemo u obzir dva koordinatna sistema: i . Jedan od ovih sistema ima porijeklo koordinata u centru mase tijela (tačka C), osi koordinatnih sistema su parno paralelne (). Neka su koordinate centra mase tijela u koordinatnom sistemu (), tada:

gdje je masa tijela.

Glavne ose inercije tela

Neka homogeno tijelo ima os simetrije. Konstruirajmo koordinatne ose tako da os OZ bude usmjerena duž ose simetrije tijela. Tada, kao posljedica simetrije, svaka tačka tijela sa masom i koordinatama odgovara tački koja ima drugačiji indeks, ali istu masu i koordinate: . Kao rezultat, dobijamo:

budući da u ovim zbirovima svi članovi imaju jednake veličine, ali suprotne po predznaku. Izrazi (4) su ekvivalentni pisanju:

Dobili smo da aksijalnu simetriju raspodjele mase u odnosu na osu OZ karakterizira nula od dva centrifugalna momenta inercije (5), koji među svojim indeksima sadrže naziv ove ose. U ovom slučaju, os OZ se naziva glavnom osom inercije tijela za tačku O.

Glavna osa inercije nije uvijek osa simetrije tijela. Ako tijelo ima ravan simetrije, tada je svaka os koja je okomita na ovu ravninu glavna os inercije za tačku O, u kojoj osa siječe ravninu koja se razmatra. Jednačine (5) odražavaju uslove da je OZ osa glavna osa inercije tijela za tačku O (početak koordinata). Ako su ispunjeni uslovi:

tada će osa OY biti glavna osa inercije za tačku O.

Ako su jednakosti zadovoljene:

tada su sve tri koordinatne ose OXYZ koordinatnog sistema glavne ose inercije tela za ishodište.

Momenti inercije tijela u odnosu na glavne osi inercije nazivaju se glavnim momentima inercije tijela. Glavne ose inercije, koje su izgrađene za centar mase tela, nazivaju se glavnim centralnim osama inercije tela.

Ako tijelo ima os simetrije, onda je to jedna od glavnih centralnih osi inercije tijela, jer se centar mase nalazi na ovoj osi. U slučaju da tijelo ima ravan simetrije, tada je os normalna na ovu ravan i koja prolazi kroz centar mase tijela jedna od glavnih centralnih osi inercije tijela.

Koncept glavnih osi inercije u dinamici krutog tijela je bitan. Ako su koordinatne ose OXYZ usmjerene duž njih, tada svi centrifugalni momenti inercije postaju jednaki nuli, dok su formule koje treba koristiti u rješavanju zadataka dinamike znatno pojednostavljene. Koncept glavnih osi inercije povezan je sa rješavanjem zadataka o dinamičkoj jednadžbi tijela u rotaciji i o centru udara.

Moment inercije tijela (uključujući i centrifugalnog) u međunarodnom sistemu jedinica mjeri se u:

Centrifugalni moment inercije presjeka

Centrifugalni moment inercije presjeka (ravne figure) oko dvije međusobno normalne ose (OX i OY) naziva se vrijednost jednaka:

izraz (8) kaže da je centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na međusobno okomite ose zbir proizvoda elementarnih površina () na udaljenosti od njih do razmatranih osa, na cijeloj površini S.

Jedinica mjerenja momenata inercije presjeka u SI je:

Centrifugalni moment inercije složenog presjeka u odnosu na bilo koje dvije međusobno normalne ose jednak je zbroju centrifugalnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova u odnosu na ove ose.

Primjeri rješavanja problema

PRIMJER 1

Razmotrimo još nekoliko geometrijskih karakteristika ravnih figura. Jedna od ovih karakteristika se zove aksijalni ili ekvatorijalni moment inercije. Ova karakteristika u odnosu na osi i
(Sl.4.1) ima oblik:

;
. (4.4)

Glavno svojstvo aksijalnog momenta inercije je da ne može biti manji ili jednak nuli. Ovaj moment inercije je uvijek veći od nule:
;
. Jedinica mjerenja aksijalnog momenta inercije je (dužina 4).

Povežite početak koordinata sa pravim segmentom sa beskonačno malom površinom
a ovaj segment označimo slovom (Sl.4.4). Moment inercije figure u odnosu na pol - ishodište - naziva se polarni moment inercije:

. (4.5)

Ovaj moment inercije, kao i aksijalni, uvijek je veći od nule (
) i ima dimenziju – (dužina 4).

Hajde da zapišemo uslov invarijantnosti zbira ekvatorijalnih momenata inercije oko dvije međusobno okomite ose. Slika 4.4 to pokazuje
.

Zamenimo ovaj izraz u formulu (4.5) i dobićemo:

Uvjet invarijantnosti je formuliran na sljedeći način: zbir aksijalnih momenata inercije oko bilo koje dvije međusobno okomite ose je konstantna vrijednost i jednaka je polarnom momentu inercije oko točke presjeka ovih osa.

Moment inercije ravne figure oko dvije međusobno okomite ose istovremeno se naziva biaxial ili centrifugalna moment inercije. Centrifugalni moment inercije ima sljedeći oblik:

. (4.7)

Centrifugalni moment inercije ima dimenziju - (dužina 4). Može biti pozitivan, negativan ili nula. Osi oko kojih je centrifugalni moment inercije jednak nuli se nazivaju glavne osi inercije. Dokažimo da je osa simetrije ravne figure glavna osa.

Razmotrite ravnu figuru prikazanu na slici 4.5.

Biramo lijevo i desno od ose simetrije dva elementa sa beskonačno malom površinom
. Težište cijele figure je u tački C. Postavimo ishodište u tačku C i označimo vertikalne koordinate odabranih elemenata slovom “ “, horizontalno – za lijevi element “
“, za desni element “ ". Izračunajmo zbir centrifugalnih momenata inercije za odabrane elemente s beskonačno malom površinom u odnosu na osi i :

Ako integriramo izraz (4.8) lijevo i desno, dobićemo:

, (4.9)

budući da je os je osa simetrije, tada za bilo koju tačku koja leži lijevo od ove ose, uvijek će postojati tačka simetrična njoj.

Analizirajući dobijeno rješenje dolazimo do zaključka da je osa simetrije je glavna osa inercije. centralna osovina je također glavna osa, iako nije os simetrije, jer je centrifugalni moment inercije izračunat istovremeno za dvije ose i i ispostavilo se da je nula.

Aksijalni moment inercije jednak je zbroju proizvoda elementarnih površina i kvadrata udaljenosti do odgovarajuće ose.

(8)

Znak je uvijek "+".

Nije jednako 0.

Nekretnina: Prihvata minimalna vrijednost kada se tačka preseka koordinatnih osa poklapa sa težištem preseka.

Aksijalni moment inercije presjeka se koristi u proračunima za čvrstoću, krutost i stabilnost.

1.3. Polarni moment inercije presjeka Jρ

(9)

Odnos između polarnih i aksijalnih momenata inercije:

(10)

(11)

Polarni moment inercije presjeka jednak je zbiru aksijalnih momenata.

Nekretnina:

kada se osi rotiraju u bilo kojem smjeru, jedan od aksijalnih momenata inercije se povećava, dok se drugi smanjuje (i obrnuto). Zbir aksijalnih momenata inercije ostaje konstantan.

1.4. Centrifugalni moment inercije presjeka Jxy

Centrifugalni moment inercije presjeka jednak je zbroju proizvoda elementarnih površina na udaljenostima od obje ose

(12)

Mjerna jedinica [cm 4 ], [mm 4 ].

Znak "+" ili "-".

, ako su koordinatne osi osi simetrije (primjer - I-greda, pravougaonik, krug), ili se jedna od koordinatnih osa poklapa sa osom simetrije (primjer - kanal).

Dakle, za simetrične figure, centrifugalni moment inercije je 0.

Koordinatne ose u i v , prolazeći kroz težište presjeka, u odnosu na koji je centrifugalni moment jednak nuli, nazivaju se glavne centralne osi inercije presjeka. Zovu se glavni jer je centrifugalni moment u odnosu na njih jednak nuli, a centralni jer prolaze kroz težište presjeka.

Za presjeke koji nemaju simetriju u odnosu na ose x ili y , na primjer na uglu, neće biti nula. Za ove sekcije odredite položaj osi u i v izračunavanjem ugla rotacije osi x i y

(13)

Centrifugalni moment oko osi u i v -

Formula za određivanje aksijalnih momenata inercije oko glavnih središnjih osa u i v :

(14)

gdje
- aksijalni momenti inercije oko centralnih ose,

- centrifugalni moment inercije oko centralnih ose.

1.5. Moment inercije oko ose paralelne centralnoj (Steinerova teorema)

Steinerova teorema:

Moment inercije oko ose paralelne središnjoj jednak je središnjem aksijalnom momentu inercije plus umnožak površine cijele figure i kvadrata udaljenosti između osi.

(15)

Dokaz Steinerove teoreme.

Prema sl. 5 udaljenost at na osnovnu platformu dF

Zamjenjiva vrijednost at u formulu, dobijamo:

termin
, budući da je tačka C težište presjeka (vidi svojstvo statičkih momenata površine presjeka u odnosu na centralne ose).

Za pravougaonik sa visinomh i širinab :

Aksijalni moment inercije:

Moment savijanja:

moment otpora savijanju jednak je omjeru momenta inercije i udaljenosti najudaljenijeg vlakna od neutralne linije:

jer
, onda

za krug:

Polarni moment inercije:

Aksijalni moment inercije:

Torzioni moment:

Jer
, onda

Moment savijanja:

Primjer 2. Odrediti moment inercije pravokutnog presjeka oko centralne ose OD x .

Rješenje. Podijelite površinu pravokutnika na elementarne pravokutnike s dimenzijama b (širina) i dy (visina). Tada je površina takvog pravokutnika (zasjenjena na slici 6) jednaka dF=bdy. Izračunajte vrijednost aksijalnog momenta inercije J x

Po analogiji, pišemo

- aksijalni moment inercije presjeka u odnosu na središnji

centrifugalni moment inercije

, budući da su sjekire OD x i C y su ose simetrije.

Primjer 3. Odrediti polarni moment inercije kružnog poprečnog presjeka.

Rješenje. Razbijmo krug na beskonačno tanke prstenove debljine
radijus , površina takvog prstena
. Zamjenjiva vrijednost
integrirajući u izraz za polarni moment inercije, dobijamo

S obzirom na jednakost aksijalnih momenata kružnog poprečnog presjeka
i

, dobijamo

Aksijalni momenti inercije za prsten su

With je omjer prečnika izreza i vanjskog prečnika osovine.

Predavanje br. 2 „Glavne osi iističeinercija

Razmotrite kako se momenti inercije mijenjaju kada se rotiraju koordinatne osi. Pretpostavimo da su momenti inercije određenog presjeka oko osi 0 X, 0at(ne nužno centralno) - ,- aksijalni momenti inercije presjeka. Obavezno definirati ,- aksijalni momenti u odnosu na ose u,v, rotirano u odnosu na prvi sistem za ugao
(sl. 8)

Pošto je projekcija izlomljene linije OABS jednaka projekciji završne, nalazimo:

(15)

Isključimo u i v u izrazima za momente inercije:

(18)

Razmotrite prve dvije jednačine. Zbrajajući ih pojam po pojam, dobijamo

Dakle, zbir aksijalnih momenata inercije oko dvije međusobno okomite ose ne zavisi od kuta
i ostaje konstantan kada se ose rotiraju. Napominjemo u isto vrijeme da

Gdje - udaljenost od početka koordinata do elementarne površine (vidi sliku 5). Na ovaj način

Gdje - nama već poznati polarni moment inercije:

Odredimo aksijalni moment inercije kružnice u odnosu na prečnik.

Budući da, zbog simetrije
ali, kao što znate,

Dakle, za krug

Sa promjenom ugla rotacije osi
trenutne vrijednosti i promijeniti, ali iznos ostaje isti. Dakle, postoji takva vrijednost
, pri čemu jedan od momenata inercije dostiže svoju maksimalnu vrijednost, dok drugi moment poprima svoju minimalnu vrijednost. Razlikovanje izraza po uglu
i izjednačavajući derivaciju sa nulom, nalazimo

(19)

Sa ovom vrijednošću ugla
jedan od aksijalnih momenata će biti najveći, a drugi najmanji. Istovremeno, centrifugalni moment inercije
nestaje, što se lako može provjeriti izjednačavanjem formule za centrifugalni moment inercije na nulu
.

Osi oko kojih je centrifugalni moment inercije jednak nuli, a aksijalni momenti poprimaju ekstremne vrijednosti, nazivaju se mainsjekire. Ako su i oni centralni (početna tačka se poklapa sa težištem preseka), onda se nazivaju glavne centralne ose (u; v). Aksijalni momenti inercije oko glavnih osa nazivaju se glavni momenti inercijei

A njihova vrijednost je određena sljedećom formulom:

(20)

Znak plus odgovara maksimalnom momentu inercije, znak minus - minimalnom.

Postoji još jedna geometrijska karakteristika - radijus rotacije sekcije. Ova vrijednost se često koristi u teorijskim zaključcima i praktičnim proračunima.

Radijus rotacije presjeka u odnosu na neku osu, na primjer 0 x , naziva se količina , određena iz jednakosti

(21)

F - površina poprečnog presjeka,

- aksijalni moment inercije presjeka,

Iz definicije slijedi da je polumjer rotacije jednak udaljenosti od ose 0 X do tačke u kojoj (uslovno) površina presjeka F treba biti koncentrisana tako da je moment inercije ove jedne tačke jednak momentu inercije cijelog presjeka. Znajući moment inercije presjeka i njegovu površinu, možemo pronaći polumjer inercije oko ose 0 X:

(22)

Polumjeri inercije koji odgovaraju glavnim osama nazivaju se glavni radijusi inercije a određuju se formulama

(23)

Predavanje 3. Torzija okruglih šipki.