Pošto je masa tačke konstantna, a njeno ubrzanje, jednačina (2), koja izražava osnovni zakon dinamike, može se predstaviti kao

Jednačina (32) istovremeno izražava teoremu o promjeni količine gibanja tačke u diferencijalnom obliku: vremenski izvod količine gibanja tačke jednak je zbiru sila koje djeluju na tačku.

Neka pokretna tačka ima brzinu u trenutku i brzinu u trenutku. Tada oba dijela jednakosti (32) pomnožimo sa i uzmemo od njih određeni integrali. U ovom slučaju, s desne strane, gdje je integracija tokom vremena, granice integrala će biti, a lijevo, gdje je brzina integrirana, granice integrala će biti odgovarajuće vrijednosti brzine

Pošto je integral jednak, kao rezultat dobijamo

Integrali na desnoj strani, kao što slijedi iz formule (30), predstavljaju impulse djelujućih sila. Stoga će konačno

Jednačina (33) izražava teoremu o promjeni količine gibanja tačke u njenom konačnom obliku: promjena količine gibanja tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa svih sila koje djeluju na tačku. u istom vremenskom periodu.

Prilikom rješavanja zadataka, umjesto vektorske jednačine (33), često se koriste jednačine u projekcijama. Projektovanjem oba dijela jednakosti (33) na koordinatne ose dobijamo

Kada pravolinijsko kretanje koja se dešava duž ose teoreme izražava se prvom od ovih jednačina.

Rješavanje problema. Jednadžbe (33) ili (34) omogućavaju, znajući kako se njena brzina mijenja kada se tačka kreće, odrediti impuls djelujućih sila (prvi problem dinamike) ili, znajući impulse djelujućih sila, odrediti kako je brzina promjene tačke pri kretanju (drugi problem dinamike). Prilikom rješavanja drugog zadatka, kada su sile zadate, potrebno je izračunati njihove impulse.Kao što se vidi iz jednačina (30) ili (31), to se može učiniti samo kada su sile konstantne ili zavise samo od vremena.

Dakle, jednadžbe (33), (34) se mogu direktno koristiti za rješavanje drugog problema dinamike, kada broj podataka i potrebnih veličina u zadatku uključuje: djelujuće sile, vrijeme kretanja tačke i njeno početno i konačne brzine (tj. količine), a sile moraju biti konstantne ili zavise samo od vremena.

Problem 95

Rješenje. Prema teoremi o promjeni impulsa sistema, geometrijski razliku između ovih količina kretanja (sl. 222), nalazimo iz rezultirajućeg pravouglog trougla

Ali prema uslovima problema, dakle,

Za analitički proračun, koristeći prve dvije jednačine (34), možemo pronaći

Zadatak 96. Teret koji ima masu i leži na horizontalnoj ravni dobija (guranjem) početnu brzinu.Naknadno kretanje tereta usporava se konstantnom silom F. Odredi koliko dugo će teret stati,

Rješenje. Prema podacima problema, jasno je da se dokazana teorema može koristiti za određivanje vremena kretanja. Opterećenje prikazujemo u proizvoljnom položaju (Sl. 223). Na njega utiču sila gravitacije R, reakcija ravni N i sila kočenja F. Usmeravanjem ose u pravcu kretanja sastavljamo prvu od jednačina (34)

U ovom slučaju - brzina u trenutku zaustavljanja), i . Od sila, samo sila F daje projekciju na osu.Pošto je konstantna, gdje je vrijeme kočenja. Zamjenom svih ovih podataka u jednačinu (a), dobijamo željeno vrijeme iz

Pošto je masa tačke konstantna, a njeno ubrzanje, jednačina koja izražava osnovni zakon dinamike može se predstaviti kao

Jednačina istovremeno izražava teoremu o promjeni impulsa tačke u diferencijalnom obliku: vremenski derivat na impuls tačke jednaka je geometrijski zbir sile koje deluju na tačku.

Hajde da integrišemo ovu jednačinu. Neka masa poentira m, koji se kreće pod dejstvom sile (slika 15), trenutno ima t\u003d 0 brzina, i trenutno t 1 - brzina.

Fig.15

Pomnožimo tada obje strane jednakosti sa i uzmimo od njih određene integrale. U ovom slučaju, na desnoj strani, gdje je integracija tokom vremena, granice integrala će biti 0 i t 1 , a na lijevoj strani, gdje je brzina integrirana, granice integrala će biti odgovarajuće vrijednosti brzine i . Pošto je integral od je , tada kao rezultat dobijamo:

.

Integrali sa desne strane su impulsi delujućih sila. Tako da završavamo sa:

.

Jednačina izražava teoremu o promjeni impulsa tačke u konačnom obliku: promjena impulsa tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je geometrijskom zbiru impulsa svih sila koje djeluju na tačku u istom vremenskom periodu ( pirinač. 15).

Prilikom rješavanja zadataka, umjesto vektorske jednačine, često se koriste jednadžbe u projekcijama.

U slučaju pravolinijskog kretanja duž ose Oh teorema je izražena prvom od ovih jednačina.

Pitanja za samoispitivanje

Formulirajte osnovne zakone mehanike.

Koja se jednačina naziva osnovnom jednačinom dinamike?

Koja je mjera inercije čvrstih tijela u translatornom kretanju?

Da li težina tijela zavisi od lokacije tijela na Zemlji?

Koji referentni okvir se naziva inercijskim?

Na koje tijelo djeluje sila inercije? materijalna tačka i koji je njegov modul i smjer?

Objasnite razliku između pojmova "inercija" i "sila inercije"?

Na koja tijela se primjenjuje sila inercije, kako je usmjerena i po kojoj formuli se može izračunati?

Koji je princip kinetostatike?

Koji su moduli i smjerovi tangencijalne i normalne sile inercije materijalne tačke?

Šta je tjelesna težina? Koja je SI jedinica za mjerenje mase?

Koja je mjera inercije tijela?

Zapišite osnovni zakon dinamike u vektorskom i diferencijalnom obliku?

Na materijalnu tačku djeluje konstantna sila. Kako se tačka kreće?

Koje će ubrzanje tačka dobiti ako na nju djeluje sila jednaka dvostrukoj sili gravitacije?

Nakon sudara dvije materijalne tačke sa masama m 1 =6 kg i m 2 \u003d 24 kg, prva točka je dobila ubrzanje od 1,6 m / s. Koliko je ubrzanje dobiveno drugom tačkom?

Pri kojem kretanju materijalne tačke je njena tangencijalna sila inercije jednaka nuli i pri čemu je normalna?

Koje se formule koriste za izračunavanje modula rotacije i centrifugalna sila inercija tačke koja pripada krutom tijelu koje rotira oko fiksne ose?

Kako je formulisan osnovni zakon dinamike tačaka?

Dajte formulaciju zakona nezavisnosti djelovanja sila.

Zapišite diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke u vektorskom i koordinatnom obliku.

Formulirajte suštinu prvog i drugog glavnog zadatka dinamike tačaka.

Navedite uslove iz kojih se određuju konstante integracije diferencijalnih jednačina kretanja materijalne tačke.

Koje jednačine dinamike se nazivaju prirodnim jednačinama kretanja materijalne tačke?

Koja su dva glavna problema dinamike tačke koja se rješavaju uz pomoć diferencijalnih kretanja materijalne tačke?

Diferencijalne jednadžbe kretanja slobodne materijalne tačke.

Kako se određuju konstante pri integraciji diferencijalnih jednadžbi kretanja materijalne tačke?

Određivanje vrijednosti proizvoljnih konstanti koje se pojavljuju pri integraciji diferencijalnih jednadžbi kretanja materijalne tačke.

Koji su zakoni slobodan pad tijelo?

Koji su zakoni koji regulišu horizontalno i vertikalno kretanje tijela bačenog pod uglom u odnosu na horizont u vakuumu? Koja je putanja njegovog kretanja i pod kojim uglom tijelo ima najveći domet leta?

Kako izračunati impuls promjenljive sile u konačnom vremenskom periodu?

Koliki je impuls materijalne tačke?

Kako izraziti elementarni rad sile kroz elementarnu putanju tačke primene sile i kako - kroz prirast lučne koordinate ove tačke?

Na kojim pomacima je rad gravitacije: a) pozitivan, b) negativan, c) jednak nuli?

Kako izračunati snagu sile primijenjene na materijalnu tačku koja rotira oko fiksne ose ugaonom brzinom?

Formulirajte teoremu o promjeni količine gibanja materijalne tačke.

Pod kojim uslovima se impuls materijalne tačke ne menja? Pod kojim uslovima se njegova projekcija na neku osu ne menja?

Dajte formulaciju teoreme o promjeni kinetičke energije materijalne točke u diferencijalnom i konačnom obliku.

Šta se naziva momentom količine gibanja materijalne tačke u odnosu na: a) centar, b) osu?

Kako se formuliše teorema o promeni ugaonog momenta tačke u odnosu na centar i u odnosu na osu?

Pod kojim uslovima ugaoni moment tačke oko ose ostaje nepromenjen?

Kako se određuju momenti količine gibanja materijalne tačke u odnosu na centar i u odnosu na osu? Kakav je odnos između njih?

Na kojoj je lokaciji vektora momenta materijalne tačke njen moment u odnosu na osu jednak nuli?

Zašto trajektorija materijalne tačke koja se kreće pod dejstvom centralne sile leži u jednoj ravni?

Koje kretanje tačke se naziva pravolinijskim? zapiši diferencijalna jednadžba pravolinijsko kretanje materijalne tačke.

Zapišite diferencijalne jednadžbe za ravno kretanje materijalne tačke.

Koje kretanje materijalne tačke opisuje Lagrangeove diferencijalne jednadžbe prve vrste?

U kojim slučajevima se materijalna tačka naziva neslobodnom i koje su diferencijalne jednačine kretanja te tačke?

Dajte definicije stacionarnih i nestacionarnih, holonomskih i neholonomskih ograničenja.

Šta su dvosmjerni odnosi? Jednostrano?

Koja je suština principa oslobađanja od obveznica?

Kakav oblik imaju diferencijalne jednadžbe kretanja neslobodne materijalne tačke u Lagrangeovom obliku? Šta je Lagrangeov množitelj?

Dajte formulaciju dinamičke Coriolisove teoreme.

Šta je suština Galileo-Newtonovog principa relativnosti?

Navedite kretanja u kojima je Coriolisova sila inercije nula.

Kolika je veličina i smjer translacijske i Coriolisove sile inercije?

Koja je razlika između diferencijalnih jednadžbi relativnih i apsolutnih kretanja materijalne tačke?

Kako se određuju prenosive i Coriolisove sile inercije u različitim slučajevima prijenosnog kretanja?

Šta je suština principa relativnosti klasične mehanike?

Koji se referentni sistemi nazivaju inercijskim?

Koji je uslov za relativni mir materijalne tačke?

U kojim tačkama zemljine površine gravitacija ima najveću i najmanju vrijednost?

Šta objašnjava odstupanje tijela koja padaju na istok?

U kom smjeru se tijelo bačeno okomito prema gore skreće?

Kanta se ubrzano spušta u rudnik ali\u003d 4 m / s 2. Gravitacija u kadi G=2 kN. Odredite napetost užeta koji podupire kadu?

Dvije materijalne tačke kreću se pravolinijski sa konstantnim brzinama od 10 i 100 m/s. Može li se tvrditi da se na ove tačke primjenjuju ekvivalentni sistemi sila?

1) nemoguće je;

Na dvije materijalne tačke mase 5 i 15 kg primjenjuju se jednake sile. Usporedite numeričke vrijednosti ubrzanja ovih tačaka?

1) ubrzanja su ista;

2) ubrzanje tačke mase 15 kg je tri puta manje od ubrzanja tačke mase 5 kg.

Da li je moguće riješiti probleme dinamike korištenjem jednadžbi ravnoteže?

Slično, kao za jednu materijalnu tačku, izvodimo teoremu o promjeni impulsa za sistem u različitim oblicima.

Transformišemo jednačinu (teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema)

na sljedeći način:

;

;

Rezultirajuća jednačina izražava teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku: vremenski izvod količine kretanja mehaničkog sistema jednak je glavnom vektoru vanjskih sila koje djeluju na sistem. .

U projekcijama na kartezijanske koordinatne ose:

; ; .

Uzimajući integrale oba dijela posljednje jednačine u vremenu, dobijamo teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema u integralnom obliku: promjena količine gibanja mehaničkog sistema jednaka je impulsu glavnog vektora spoljne sile koje deluju na sistem .

.

Ili u projekcijama na kartezijanske koordinatne osi:

; ; .

Posljedice iz teoreme (zakoni održanja impulsa)

Zakon održanja količine gibanja dobijen je kao posebni slučajevi teoreme o promjeni impulsa za sistem u zavisnosti od karakteristika sistema vanjskih sila. Unutrašnje sile mogu biti bilo koje, jer ne utiču na promjene momenta.

Moguća su dva slučaja:

1. Ako je vektorski zbir svih vanjskih sila primijenjenih na sistem jednak nuli, tada je impuls sistema konstantan po veličini i smjeru

2. Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju koordinatna osa i/ili i/ili , tada je projekcija količine kretanja na iste ose konstantna vrijednost, tj. i/ili i/ili respektivno.

Slični zapisi se mogu napraviti za materijalnu tačku i za materijalnu tačku.

Zadatak. Iz pištolja čija masa M, projektil mase izleti u horizontalnom smjeru m brzinom v. Pronađite brzinu V puške nakon pucanja.

Rješenje. Sve spoljne sile djelujući na mehanički sistem top-projektil, vertikalni. Dakle, na osnovu posledica teoreme o promeni količine kretanja sistema, imamo: .

Količina kretanja mehaničkog sistema prije metka:

Količina kretanja mehaničkog sistema nakon metka:

.

Izjednačavanjem pravih delova izraza dobijamo to

.

Znak "-" u rezultirajućoj formuli označava da će se nakon metka pištolj otkotrljati u smjeru suprotnom od osi Ox.

PRIMJER 2. Mlaz tekućine gustine izlazi brzinom V iz cijevi poprečnog presjeka F i udara u vertikalni zid pod uglom. Odredite pritisak tečnosti na zidu.

RJEŠENJE. Teoremu o promjeni količine gibanja u integralnom obliku primjenjujemo na zapreminu tekućine s masom m udaranje o zid tokom određenog vremenskog perioda t.

JEDNAČINA MEŠČERSKOG

(osnovna jednadžba dinamike tijela promjenljive mase)

U modernoj tehnologiji nastaju slučajevi kada masa tačke i sistema ne ostaju konstantni u procesu kretanja, već se mijenjaju. Tako, na primjer, tokom leta svemirskih raketa, zbog izbacivanja produkata izgaranja i pojedinačnih nepotrebnih dijelova raketa, promjena mase dostiže 90-95% ukupne početne vrijednosti. Ali ne samo svemirska tehnologija može biti primjer dinamike kretanja promjenljive mase. U tekstilnoj industriji dolazi do značajne promjene u masi raznih vretena, kalemova, rolni pri savremenim mašinskim i mašinskim brzinama.

Razmotrite glavne karakteristike povezane s promjenom mase, koristeći primjer translacijskog kretanja tijela promjenjive mase. Osnovni zakon dinamike ne može se direktno primijeniti na tijelo promjenljive mase. Dakle, dobijamo diferencijalne jednačine kretanja tačke promenljive mase, primenom teoreme o promeni količine gibanja sistema.

Neka tačka mase m+dm kreće se brzinom. Zatim dolazi do odvajanja od tačke neke čestice sa masom dm krećući se brzinom.

Količina kretanja tijela prije odvajanja čestice:

Količina kretanja sistema koji se sastoji od tijela i odvojene čestice nakon njenog odvajanja:

Tada je promjena momenta:

Na osnovu teoreme o promjeni impulsa sistema:

Označimo vrijednost - relativnu brzinu čestice:

Označiti

vrijednost R zove se reaktivna sila. Mlazna sila je potisak motora, zbog ispuštanja plina iz mlaznice.

Konačno dobijamo

-

Ova formula izražava osnovnu jednačinu dinamike tijela promjenljive mase (formula Meščerskog). Iz posljednje formule slijedi da diferencijalne jednadžbe kretanja tačke promjenljive mase imaju isti oblik kao i za tačku konstantne mase, osim dodatne reaktivne sile koja se primjenjuje na tačku zbog promjene mase.

Osnovna jednadžba dinamike tijela promjenljive mase pokazuje da se ubrzanje ovog tijela ne formira samo zbog vanjskih sila, već i zbog reaktivne sile.

Reaktivna sila je sila slična onoj koju osjeća osoba koja puca - kada puca iz pištolja, osjeti se rukom; pri pucanju iz puške percipira se po ramenu.

Prva formula Ciolkovskog (za jednostepenu raketu)

Neka se tačka promenljive mase ili raketa kreće pravolinijski pod dejstvom samo jedne reaktivne sile. Budući da je za mnoge moderne mlazne motore , gdje je maksimalna reaktivna sila dozvoljena konstrukcijom motora (potisak motora); - sila gravitacije koja djeluje na motor koji se nalazi na površini zemlje. One. gore navedeno omogućava da se zanemari komponenta u jednadžbi Meščerskog i da se za dalju analizu prihvati ova jednačina u obliku: ,

označiti:

Rezerva goriva (za mlazne motore na tečno gorivo - suha masa rakete (njena preostala masa nakon što sve gorivo izgori);

Masa čestica odvojenih od rakete; smatra se varijabla koja varira od do .

Zapišimo jednačinu pravolinijskog gibanja tačke promjenjive mase u sljedećem obliku:

Pošto je formula za određivanje promenljive mase rakete

Dakle, jednačine kretanja tačke Uzimajući integrale oba dijela, dobijamo

gdje - karakteristična brzina- ovo je brzina koju raketa postiže pod dejstvom potiska nakon erupcije svih čestica iz rakete (za mlazne motore na tečno gorivo - nakon što je svo gorivo izgorelo).

Izvađeno iz integralnog znaka (što se može uraditi na osnovu poznatog višu matematiku teorema srednje vrijednosti) je prosječna brzinačestice izbačene iz rakete.

Koji se sastoji od n materijalne tačke. Izdvojimo neku tačku iz ovog sistema Mj sa masom mj. Poznato je da na ovu tačku djeluju vanjske i unutrašnje sile.

Nanesite na tačku Mj rezultat svega unutrašnje sile F j i i rezultanta svih vanjskih sila F j e(Slika 2.2). Za odabranu materijalnu tačku Mj(kao za slobodnu tačku) zapisujemo teoremu o promjeni količine kretanja u diferencijalnom obliku (2.3):

Slične jednačine pišemo za sve tačke mehaničkog sistema (j=1,2,3,…,n).

Slika 2.2

Hajde da sve spojimo n jednadžbe:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)

Evo ∑mj ×Vj =Q je impuls mehaničkog sistema;
∑ F j e = R e – glavni vektor sve vanjske sile koje djeluju na mehanički sistem;
∑ F j i = R i =0- glavni vektor unutrašnjih sila sistema (prema svojstvu unutrašnjih sila jednak je nuli).

Konačno, za mehanički sistem dobijamo

dQ/dt = Re. (2.11)

Izraz (2.11) je teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku (u vektorskom izrazu): vremenski izvod vektora zamaha mehaničkog sistema jednak je glavnom vektoru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.

Projektovanjem vektorske jednakosti (2.11) na kartezijanske koordinatne ose, dobijamo izraze za teoremu o promeni momenta kretanja mehaničkog sistema u koordinatnom (skalarnom) izrazu:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

one. vremenski izvod projekcije impulsa mehaničkog sistema na bilo koju osu jednak je projekciji na ovu osu glavnog vektora svih vanjskih sila koje djeluju na ovaj mehanički sistem.

Množenje obje strane jednakosti (2.12) sa dt, dobijamo teoremu u drugom diferencijalnom obliku:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

one. diferencijal impulsa mehaničkog sistema jednak je elementarnom impulsu glavnog vektora (zbir elementarnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.

Integrisanje jednakosti (2.13) unutar vremenskog raspona od 0 do t, dobijamo teoremu o promjeni impulsa mehaničkog sistema u konačnom (integralnom) obliku (u vektorskom izrazu):

Q - Q 0 \u003d S e,

one. promjena količine kretanja mehaničkog sistema u konačnom vremenskom periodu jednaka je ukupnom impulsu glavnog vektora (zbir ukupnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sistem u istom vremenskom periodu.

Projektovanjem vektorske jednakosti (2.14) na kartezijanske koordinatne ose dobijamo izraze za teoremu u projekcijama (u skalarnom izrazu):

one. promjena projekcije impulsa mehaničkog sistema na bilo koju osu tokom konačnog vremenskog perioda jednaka je projekciji na istu osu ukupnog impulsa glavnog vektora (zbir ukupnih impulsa) svih vanjskih sila djelujući na mehanički sistem u istom vremenskom periodu.

Iz razmatrane teoreme (2.11) - (2.15) slijede sljedeće posljedice:

1. Ako R e = ∑ F j e = 0, onda Q = konst– imamo zakon održanja vektora momenta mehaničkog sistema: ako je glavni vektor Re svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sistem jednaka je nuli, tada vektor momenta ovog sistema ostaje konstantan po veličini i smjeru i jednak svojoj početnoj vrijednosti Q0, tj. Q = Q0.
2. Ako R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), onda Q x = konst- imamo zakon održanja projekcije na osu momenta kretanja mehaničkog sistema: ako je projekcija glavnog vektora svih sila koje djeluju na mehanički sistem na bilo koju osu jednaka nuli, tada je projekcija na istu osu vektor momenta ovog sistema će biti konstantna vrijednost i jednak projekciji na ovu osu inicijalnog vektora momenta, tj. Qx = Q0x.

Diferencijalni oblik teoreme o promjeni impulsa materijalnog sistema ima važne i zanimljive primjene u mehanici kontinuuma. Iz (2.11) može se dobiti Ojlerova teorema.

Količina kretanja sistema, kao vektorska veličina, određena je formulama (4.12) i (4.13).

Teorema. Vremenski izvod količine kretanja sistema jednak je geometrijskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na njega.

U projekcijama kartezijanskih osa dobijamo skalarne jednadžbe.

Možete napisati vektor

(4.28)

i skalarne jednačine

Koji izražavaju teoremu o promjeni količine gibanja sistema u integralnom obliku: promjena impulsa sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa za isti vremenski period. Prilikom rješavanja zadataka češće se koriste jednačine (4.27).

Zakon održanja impulsa

Promjena teorema ugaoni moment

Teorema o promjeni ugaonog momenta tačke u odnosu na centar: vremenski izvod ugaonog momenta tačke u odnosu na fiksni centar jednak je vektorskom momentu koji djeluje na tačku sile u odnosu na isti centar.

ili (4.30)

Upoređujući (4.23) i (4.30), vidimo da su momenti vektora i povezani istom zavisnošću kao i sami vektori i povezani (slika 4.1). Ako projektiramo jednakost na osu koja prolazi kroz centar O, dobićemo

(4.31)

Ova jednakost izražava teoremu momenta momenta momenta tačke oko ose.

Rice. 4.1.

Teorema o promjeni glavnog momenta zamaha ili kinetičkog momenta mehaničkog sistema u odnosu na centar: vremenski izvod kinetičkog momenta sistema u odnosu na neko fiksno središte jednak je zbiru momenata sve vanjske sile u odnosu na isti centar.

(4.32)

Ako projiciramo izraz (4.32) na osu koja prolazi kroz centar O, onda ćemo dobiti jednakost koja karakterizira teoremu o promjeni ugaonog momenta u odnosu na osu.

(4.33)

Zamjenom (4.10) u jednakost (4.33) može se zapisati diferencijalna jednačina rotirajućeg krutog tijela (točkovi, osovine, vratila, rotori, itd.) u tri oblika.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Stoga je preporučljivo koristiti teoremu o promjeni kinetičkog momenta za proučavanje kretanja krutog tijela, što je vrlo uobičajeno u tehnici, njegova rotacija oko fiksne ose.

Zakon održanja ugaonog momenta sistema

1. Neka u izrazu (4.32) .

Tada iz jednačine (4.32) slijedi da , tj. ako je zbir momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sistem relativan ovaj centar je jednak nuli, tada će ugaoni moment sistema u odnosu na ovaj centar biti numerički i u pravcu će biti konstantan.

2. Ako , onda . Dakle, ako je zbir momenata vanjskih sila koje djeluju na sistem u odnosu na neku osu jednak nuli, tada će kinetički moment sistema u odnosu na ovu osu biti konstantna vrijednost.

Ovi rezultati izražavaju zakon održanja ugaonog momenta.

U slučaju rotirajućeg krutog tijela, iz jednakosti (4.34) slijedi da ako , onda . Odavde dolazimo do sljedećih zaključaka:

Ako je sistem nepromjenjiv (apsolutno solidan), zatim , dakle, i i kruto tijelo rotira oko fiksne ose sa konstantnom ugaonom brzinom.

Ako je sistem promjenjiv, onda . Sa povećanjem (tada se pojedini elementi sistema udaljavaju od ose rotacije), ugaona brzina opada, jer , a raste sa smanjenjem, tako da je u slučaju promjenljivog sistema, uz pomoć unutrašnjih sila, moguće promijeniti ugaonu brzinu.

Drugi zadatak D2 kontrolni rad je posvećena teoremi o promjeni kinetičkog momenta sistema oko ose.

Zadatak D2

Homogena horizontalna platforma (okrugla poluprečnika R ili pravougaona sa stranicama R i 2R, gde je R = 1,2 m) mase kg rotira ugaonom brzinom oko vertikalne ose z, koja je udaljena od centra mase C platforme na a rastojanje OC = b (sl. D2.0 – D2.9, tabela D2); dimenzije za sve pravougaone platforme su prikazane na sl. D2.0a (pogled odozgo).

U trenutku vremena teret D mase kg počinje da se kreće duž platforme (pod dejstvom unutrašnjih sila) prema zakonu, gde je s izraženo u metrima, t u sekundama. U isto vrijeme, par sila s momentom M (datim u njutonometrima) počinje djelovati na platforme; na M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Odrediti, zanemarujući masu osovine, zavisnost tj. ugaona brzina platforme kao funkcija vremena.

Na svim slikama, opterećenje D je prikazano u poziciji gdje je s > 0 (kada je s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Upute. Zadatak D2 - o primjeni teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema. Kada se teorema primjenjuje na sistem koji se sastoji od platforme i tereta, ugaoni moment sistema oko z-ose definira se kao zbir momenata platforme i opterećenja. U ovom slučaju treba uzeti u obzir da je apsolutna brzina opterećenja zbir relativnih i prenosive brzine, tj. . Dakle, količina kretanja ovog tereta . Tada možemo koristiti Varignonovu teoremu (statiku), prema kojoj ; ovi momenti se računaju na isti način kao i momenti sila. Tok rješenja je detaljnije objašnjen u primjeru D2.

Prilikom rješavanja problema korisno je na pomoćnom crtežu prikazati pogled na platformu odozgo (sa kraja z), kao što je urađeno na sl. D2.0,a - D2.9,a.

Moment inercije ploče mase m oko ose Cz, okomite na ploču i koja prolazi kroz njeno središte mase, jednak je: za pravougaonu ploču sa stranicama i

;

Za okrugli umetak poluprečnika R

Broj uslova	b	s = F(t)	M
	R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2	-0,4 0,6 0,8 10t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

	Rice. D2.0		Rice. D2.0a

	Rice. D2.1		Rice. D2.1a

	Rice. D2.2		Rice. D2.2a

	Rice. D2.3		Rice. D2.3a

	Rice. D2.4
		Rice. D2.4a

		Rice. D2.5a
	Rice. D2.5

	Rice. D2.6		Rice. D2.6a

	Rice. D2.7		Rice. D2.7a

	Rice. D2.8		Rice. D2.8a

	Rice. D2.9		Rice. D2.9a

	Rice. D 2

Primjer D2. Homogena horizontalna platforma (pravokutna sa stranicama 2l i l), koja ima masu, čvrsto je pričvršćena na okomitu osovinu i rotira se s njom oko osi z sa ugaonom brzinom (slika E2a ). U tom trenutku na osovinu počinje djelovati obrtni moment M, usmjeren suprotno ; istovremeno teret D masa koja se nalazi u oluku AB u tački OD, počinje da se kreće duž žlijeba (pod dejstvom unutrašnjih sila) po zakonu s = CD = F(t).

Dato: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l\u003d 0,5 m, \u003d 2, s \u003d 0,4t 2 (s - u metrima, t - u sekundama), M= kt, gdje k=6 Nm/s. Definirati: - zakon promjene ugaona brzina platforme.

Rješenje. Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od platforme i tereta D. Da bismo odredili w, primjenjujemo teoremu o promjeni ugaonog momenta sistema oko ose z:

(1)

Opišimo vanjske sile koje djeluju na sistem: sile gravitacije reakcije i momenta M. Kako su sile i paralelne sa osom z, a reakcije sijeku ovu os, njihovi momenti u odnosu na osu z su jednaki na nulu. Zatim, uzimajući u obzir pozitivni smjer za trenutak (tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), dobijamo i jednačina (1) će poprimiti ovaj oblik.