Ravni sistem proizvoljno lociranih sila.

Uslovi za ravnotežu parova sila.

Ako je uključeno solidan Budući da postoji nekoliko parova sila proizvoljno lociranih u prostoru, onda uzastopnom primjenom pravila paralelograma na svaka dva momenta parova sila, bilo koji broj parova sila može se zamijeniti jednim ekvivalentnim parom sila, čiji je moment jednak na zbir momenata datih parova sila.

Teorema. Da bi se uravnotežili parovi sila primijenjenih na kruto tijelo, potrebno je i dovoljno da algebarski zbir projekcija momenata parova sila na svaku od tri koordinatne ose bude jednak nuli.

Razmotrimo slučaj prijenosa sile na proizvoljnu tačku koja ne leži na liniji djelovanja sile.

Uzmite silu F primijenjenu u tački C. Potrebno je prenijeti ovu silu paralelnu sebi u neku tačku O. Primjenjujemo dvije sile F "i F" u tački O, suprotno usmjerene, jednake vrijednosti i paralelne datoj sili F, tj. F " \u003d F "\u003d F. Od primjene u tački O ovih sila, stanje tijela se ne mijenja, jer su međusobno uravnotežene. Rezultirajući sistem od tri sile se može smatrati da se sastoji od sile F" primijenjene u tački O, i para sila FF" sa momentom M = Fa. Ovaj par sila se zove u prilogu, a njegovo rame a jednako je ramenu sile F u odnosu na tačku O.

Dakle, kada se sila F svede na tačku koja ne leži na liniji djelovanja sile, dobija se ekvivalentan sistem koji se sastoji od sile koja je po veličini i smjeru iste kao sila F i pridružene par sila čiji je moment jednak momentu ove sile u odnosu na bačenu tačku:

Kao primjer smanjenja sile razmotrite djelovanje sile F na kraj C uklještene šipke (slika 28, b). Nakon što silu F dovedemo u tačku O stegnutog preseka, nalazimo u njoj silu F1 jednaku i paralelnu datoj, i pridruženi moment M, jednak momentu date sile F u odnosu na tačku redukcije. O,

1.4.2 Casting ravni sistem sile do određene tačke

Opisani metod dovođenja jedne sile u datu tačku može se primijeniti na bilo koji broj sila. Pretpostavimo da su na tačkama tela A, B, C i D (slika 30) primenjene sile F1, F2, F3, F4.

Potrebno je dovesti ove sile u tačku O ravni. Zadajmo prvo silu F1 primijenjenu u tački A. U tačku O primjenjujemo dvije sile F1 "i F1"", paralelne sa njom i usmjerene u suprotnim smjerovima. Kao rezultat dovođenja sile F1, dobijamo silu F1" primijenjena u tački O, i par sila F1 "F1" "sa ramenom a1. Uradeći isto sa silom F2 primijenjenom u tački B, dobijamo silu F2" primijenjenu u tački O, i par sila sa rame a2 itd.

Zamijenili smo ravan sistem sila primijenjenih u tačkama A, B, C i D sa konvergentnim silama F1, F2, F3, F4 primijenjenim u tački O i parovima sila sa momentima jednakim momentima date snage o tački O:

Sile koje konvergiraju u tački mogu se zamijeniti jednom silom F "ch, jednakom geometrijski zbir komponente,

Ova sila, jednaka geometrijskom zbiru datih sila, naziva se glavni vektor sistema sila i označavaju F "gl.

Na osnovu pravila za sabiranje parova sila, one se mogu zamijeniti rezultirajućim parom čiji je moment jednak algebarskom zbiru momenata datih sila oko tačke O i naziva se highlight u odnosu na referentnu tačku

Shodno tome, u opštem slučaju, ravan sistem sila, kao rezultat svođenja na datu tačku O, zamenjen je ekvivalentnim sistemom koji se sastoji od jedne sile (glavni vektor) i jednog para (glavni moment).

To je neophodno razumjeti glavni vektor F"ch je rezultanta ovog sistema sila, pošto ovaj sistem nije ekvivalentan jednoj sili F"ch. Samo u posebnom slučaju, kada glavni moment nestane, glavni vektor će biti rezultanta ovog sistema sila. Pošto je glavni vektor jednak geometrijskom zbiru sila datog sistema, ni modul ni njegov pravac ne zavise od izbora centra redukcije. Vrijednost i predznak glavnog momenta Mg zavise od položaja centra redukcije, budući da ramena sastavnih parova zavise od međusobnog položaja sila i tačke (centra) u odnosu na koju se momenti uzimaju.

Mogu se javiti sljedeći slučajevi smanjenja sistema snaga:
1. - opšti slučaj; sistem se svodi na glavni vektor i na glavni momenat.
2.; sistem se svodi na jednu rezultantu jednaku glavnom vektoru sistema.
3.; sistem se svodi na par sila čiji je moment jednak glavnom momentu.
četiri.; sistem je u ravnoteži, tj. za ravnotežu ravnog sistema sila potrebno je i dovoljno da njegov glavni vektor i glavni moment budu istovremeno jednaki nuli.

Može se dokazati da u opštem slučaju, kada, uvek postoji tačka u odnosu na koju je glavni moment sila jednak nuli.

Razmotrimo ravan sistem sila, koji je reduciran na tačku O, odnosno zamenjen glavnim vektorom primenjenim u tački O, i glavnim momentom. Radi određenosti, pretpostavljamo da je glavni moment usmjeren u smjeru kazaljke na satu, tj. Predstavimo ovaj glavni moment parom sila FF", čiji modul ćemo izabrati jednak modulu glavnog vektora, tj. Primijenit ćemo jednu od sila koje čine par u redukcionom centru O, druga sila u tački C čiji će se položaj odrediti iz uslova: . Dakle.

Postavimo par sila tako da sila F "" bude usmjerena u smjeru suprotnom od glavnog vektora F "ch. U tački O imamo dvije jednake međusobno suprotne sile F "ch i F" "usmjerene duž jedne prave linije ; mogu se odbaciti (prema trećem aksiomu). Dakle, u odnosu na tačku C, glavni moment razmatranog sistema sila jednak je nuli, a sistem se svodi na rezultantu.

Dovođenje sistema snaga u centar

Pitanja

Predavanje 6

3. Uslovi ravnoteže za proizvoljni sistem sila

1. Razmotrimo proizvoljan sistem sila. Odaberite proizvoljnu tačku O za centar redukcije i, koristeći teoremu o paralelni transfer sile, prenosimo sve sile sistema na dati poen, ne zaboravljajući dodati pridruženi par sila prilikom prijenosa svake sile.

Ovako dobijen sistem konvergirajućih sila zamjenjuje se jednom silom jednakom glavnom vektoru izvornog sistema sila. Sistem parova sila nastalih tokom prenosa zamenjen je jednim parom sa momentom jednakim geometrijskom zbiru momenata svih parova sila (tj. geometrijskom zbroju momenata prvobitnog sistema sila u odnosu na centar O).

Takav trenutak se zove glavni moment sistema sila oko centra O (Sl. 1.30).

Rice. 1.30. Dovođenje sistema snaga u centar

Dakle, svaki sistem sila uvijek može biti zamijenjen samo sa dva faktora sila - glavni vektor i glavni moment u odnosu na proizvoljno odabran referentni centar . Očigledno, glavni vektor sistema sila ne zavisi od izbora centra redukcije (kažu da je glavni vektor invarijantan u odnosu na izbor centra redukcije). Očigledno je i da glavni moment nema takvu osobinu, pa je uvijek potrebno naznačiti u odnosu na koji je centar određen glavni moment.

2. Dovođenje sistema sila na najjednostavniji oblik

Mogućnost daljeg uprošćavanja proizvoljnih sistema sila zavisi od vrednosti njihovog glavnog vektora i glavnog momenta, kao i od uspešnog izbora centra redukcije. U ovom slučaju mogući su sljedeći slučajevi:

a) , . U ovom slučaju, sistem se svodi na par sila sa momentom , čija vrijednost ne ovisi o izboru centra redukcije.

b) , . Sistem se svodi na rezultantu jednaku , čija linija djelovanja prolazi kroz centar O.

c), i međusobno su okomite. Sistem se smanjuje na rezultantu jednaku , ali ne prolazi kroz centar O(Sl. 1.31).

Rice. 1.31. Dovođenje sistema sila na rezultantu

Zamenimo glavni moment parom sila, kao što je prikazano na Sl. 1.31. Hajde da definišemo R iz uslova da M 0 = R h. Zatim, na osnovu drugog aksioma statike, odbacujemo uravnoteženi sistem dvije sile primijenjene u tački O.

d) su paralelne. Sistem je vođen na dinamički vijak, sa osom koja prolazi kroz centar O(Sl. 1.32).

Rice. 1.32. dinamički vijak

e) i nisu jednaki nuli, a istovremeno glavni vektor i glavni moment nisu paralelni i nisu okomiti jedan na drugi. Sistem je doveden do dinamičkog zavrtnja, ali os ne prolazi kroz centar O(Sl. 1.33).

Rice. 1.33. Najopštiji slučaj redukcije sistema sila

Teorema o redukciji sistema sila:

Svaki sistem sila koje djeluju na apsolutno kruto tijelo može se zamijeniti jednom silom R, jednak glavnom vektoru ovog sistema sila i primijenjen na proizvoljno odabrano središte O, i jedan par sila sa momentom L O, jednako glavnom momentu sistema sila oko centra O.

Takva ekvivalentna zamjena datog sistema sila silom R i par sila sa momentom L O call dovodeći sistem sila u centar O.

Razmotrimo ovdje poseban slučaj dovođenja ravnog sistema sila u centar O, koji leži u istoj ravni. U ovom slučaju, sistem sila je zamenjen jednom silom i jednim parom sila koje leže u ravni delovanja sila sistema. Moment ovog para sila može se smatrati algebarskom veličinom LO i prikazan na slikama lučnom strelicom (algebarski glavni moment ravnog sistema sila).

Kao rezultat dovođenja ravnog sistema sila u centar, mogući su sljedeći slučajevi:

1. ako R = 0, L O = 0, dakle ovaj sistem je ravnoteža;
2. ako je barem jedna od vrijednosti R ili L O nije jednako nuli, tada sistem sila nije u ravnoteži.
   pri čemu:

16 pitanje. Jednačina ravnoteže

Za ravnotežu krutog tijela pod djelovanjem ravnog sistema sila potrebno je i dovoljno da glavni vektor ovog sistema sila i njegov algebarski glavni moment budu jednaki nuli, tj. R\u003d 0, L O \u003d 0, gdje je O bilo koji centar koji se nalazi u ravni djelovanja sila sistema.

Rezultujući uslovi analitičke ravnoteže (jednačine ravnoteže) za ravan sistem sila mogu se formulisati u sledeća tri oblika:

1. Glavni oblik jednadžbi ravnoteže:

za ravnotežu proizvoljnog planarnog sistema sila, potrebno je i dovoljno da zbir projekcija svih sila na svaku od koordinatnih osa i zbir njihovih algebarskih momenata u odnosu na bilo koji centar koji leži u ravni djelovanja sile su jednake nuli:

Fix = 0; F iy = 0; M O ( F i) = 0. (I)

1. Drugi oblik jednadžbi ravnoteže:

za ravnotežu proizvoljnog planarnog sistema sila, potrebno je i dovoljno da zbir algebarskih momenata svih sila oko dva centra A i B i zbir njihovih projekcija na osu Ox, koja nije okomita na Ox osa, biti jednaka nuli:

Fix = 0; M A ( F i) = 0; M B ( F i) = 0. (II)

1. Treći oblik jednadžbi ravnoteže (jednadžbe tri momenta):

za ravnotežu proizvoljnog planarnog sistema sila, potrebno je i dovoljno da zbroji algebarskih momenata svih sila u odnosu na bilo koje tri centri A, B i C, koji ne leže na istoj pravoj liniji, bili su jednaki nuli:

M A ( F i) = 0; M B ( F i) = 0; M C ( F i) = 0. (III)

Jednadžbe ravnoteže u obliku (I) smatraju se osnovnim, jer pri njihovoj upotrebi nema ograničenja u izboru koordinatnih osa i centra momenata.

Pitanje

Varignon-ova teorema. Ako se ravan sistem sila koji se razmatra svede na rezultantu, tada je moment ove rezultante u odnosu na bilo koju tačku jednak algebarskom zbiru momenata svih sila datog sistema u odnosu na samu tačku. Pretpostavimo da je sistem sila sveden na rezultantu R koja prolazi kroz tačku O. Uzmimo sada drugu tačku O 1 kao centar redukcije. Glavni moment (5.5) oko ove tačke jednak je zbiru momenata svih sila: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). S druge strane, imamo M O1Z =M Olz (R), (5.12) pošto je glavni moment za centar redukcije O jednak nuli (M Oz =0). Upoređujući relacije (5.11) i (5.12), dobijamo M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) h.e.d. Koristeći Varignonovu teoremu, možete pronaći jednadžbu za liniju djelovanja rezultante. Neka se rezultantni R 1 primeni u nekoj tački O 1 sa koordinatama x i y (slika 5.5) i poznati su glavni vektor F o i glavni moment M Oya u centru redukcije na početku. Budući da je R 1 = F o, tada su komponente rezultanta duž x i y osa R lx = F Ox = F Ox i i R ly = F Oy = F oy j. Prema Varignon teoremi, moment rezultante u odnosu na ishodište jednak je glavnom momentu u centru redukcije na početku, tj. M oz = M Oz (R 1) \u003d xF Oy -yF Ox. (5.14). Vrijednosti M Oz , F Ox i F oy se ne mijenjaju kada se tačka primjene rezultante pomjeri duž njene linije djelovanja, stoga se koordinate x i y u jednadžbi (5.14) mogu posmatrati kao trenutne koordinate linije akcije rezultante. Dakle, jednadžba (5.14) je jednačina linije djelovanja rezultante. Za F ox ≠0, može se prepisati kao y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).

Pitanje

raskid jedno tijelo u drugo (na primjer, štap u fiksni zid) ne dozvoljava ovo tijelo pomerati i rotirati u odnosu na drugu. U slučaju prekida, reakcija sile R A nije jedini faktor u interakciji između tijela i oslonca. Pored ove sile, reakcija ugradnje je određena i parom sila sa momentom M A koji je unapred nepoznat. Ako sila R Prezentacija njegovih sastojaka X A , Y A , tada je za pronalaženje terminacijske reakcije potrebno odrediti tri nepoznate skalarne veličine: X A , Y A , M A .

Navedimo primjere zamjene ravnih sistema paralelno raspoređenih sila njihovim rezultantnim.

Za takav sistem sila, intenzitet ima konstantnu vrijednost: q = const.

Prilikom rješavanja problema statike, ovaj sistem sila može se zamijeniti koncentrisanom rezultantnom silom Q, jednak po apsolutnoj vrijednosti proizvodu intenziteta q i dužine segmenta AB = a (Q = q · a) i primijenjen na sredini segmenta AB.

Za takav sistem sila, intenzitet q je varijabla koja varira od nule do maksimalna vrijednost q max prema linearnom zakonu.

Rezultat Q ovog sistema sila jednaka je po apsolutnoj vrijednosti Q =0,5 a q max i primjenjuje se u tački K koja dijeli segment AB u odnosu na AK: KB = 2:1.

19. Proračun kompozitnih konstrukcija
1.1. Proračun sa podjelom sistema tijela na posebna tijela
1.1.1. Sistem tijela je podijeljen unutrašnjom vezom C na zasebna tijela i razmatra se njihova ravnoteža.
1.1.2. Sve veze se odbacuju iz svakog od tijela, zamjenjujući njihovo djelovanje reakcijama. U datim mehanizmima primjenjuju se sljedeće vrste veza: fiksna aksijalna šarka (reakcija se razlaže na komponente paralelne koordinatnim osama X, Y); pokretna aksijalna šarka (reakcija N je okomita na noseću površinu, usmjerena od nje); kruti završetak (reakcija je kombinacija reakcije fiksne šarke X, Y i para sila s reaktivnim
moment m). Komponente reakcije unutrašnje šarke C, primenjene na različita tela sistema, po principu delovanja i reakcije, jednake su po apsolutnoj vrednosti i usmerene suprotno. Raspodijeljeno opterećenje zamjenjuje se koncentriranom silom primijenjenom na sredini intervala i jednakom modulu proizvoda intenziteta opterećenja q i dužine intervala.
1.1.3. Sastaviti jednadžbe ravnoteže, uključujući jednadžbe projekcija na standardne ose i jednačine momenata (izračunate i provjerene). Središte izračunate jednadžbe momenata bira se na presjeku akcijskih linija maksimalan broj nepoznate reakcije, jednadžba testa - na sjecištu akcijskih linija poznate sile, kroz koji ne prolazi nijedna od neprovjerenih nepoznatih reakcija. Preporučuje se sastavljanje jednadžbi ravnoteže, uzimajući u obzir sile naizmjenično na sljedeći način: odrediti oštar ugao α između linije sile i linije jedne od osi; projekcija sile na ovu osu sadržaće cos α, na drugoj osi – sin α; projekcija je pozitivna ako je ugao poravnanja vektora sile sa osom oštar, a negativna ako je tup; odrediti rame sile, spuštajući okomicu iz središta na liniju djelovanja sile, i predznak momenta u smjeru rotacije ramena silom oko centra (kada je rame rotirano u smjeru kazaljke na satu, trenutak je negativan, suprotno od kazaljke na satu je pozitivan). Na proizvoljnom položaju sile, da bi se odredio moment, ona se razlaže na komponente paralelne s koordinatnim osama (njihove veličine su jednake odgovarajućim projekcijama sile) i zbroj momenata ovih komponenti se nalazi pomoću Varignona. teorema.
Tako se za svako od tijela sastavljaju 3 proračunske i 1 verifikacione jednačine.
1.1.4. Riješiti sistem od 6 proračunskih jednačina za nepoznate reakcije.
Pronađene reakcije se supstituiraju u verifikacijske jednačine, modul rezultirajućeg zbroja ne smije biti veći od 0,02 Rav, gdje je Rav prosječna vrijednost modula testiranih reakcija.
1.2. Proračun po principu solidifikacije
1.2.1. Zamijenite unutrašnju šarku krutim zglobom i razmotrite ravnotežu rezultirajućeg tijela. Drugi se smatra jednim od tijela sistema (tačka 1.1.1).
1.2.2. Napraviti crtež za svako od razmatranih tijela na isti način kao u tački 1.1.2.
1.2.3. Za prvo tijelo, 3 izračunate i 1 verifikacione jednačine su napravljene slično kao u klauzuli 1.1.3. Za drugo tijelo sastavlja se jedna proračunska jednačina momenata sila u odnosu na centar C.
1.2.4.Rješiti sistem od 4 računske jednačine i izvršiti provjeru sličnu paragrafu 1.1.4. 2.

2. Proračun po principu mogućih kretanja Reakcije veza određuju se njihovim redom razmatranjem.

20. Stanje ravnoteže poluge Stabilnost tijela pri prevrtanju. Udaljenost od tačke oslonca do prave linije duž koje sila djeluje naziva se rame ove sile. Neka F1 i F2 označavaju sile koje djeluju na polugu sa strane tereta (vidi dijagrame na desnoj strani slike 25.2). Označimo ramena ovih sila kao l1 i l2, respektivno. Naši eksperimenti su pokazali da je poluga u ravnoteži ako sile F1 i F2 primijenjene na polugu teže da je rotiraju u suprotnim smjerovima, a moduli sila su obrnuto proporcionalni ramenima ovih sila: F1 / F2 = l2 / 11. Stabilnost tijela pri prevrtanju. To su zadaci koji se javljaju pri projektovanju različitih mehanizama za podizanje i pri proračunu sigurnih uslova za njihov rad, predviđenih pravilima za rad sa ovim mehanizmima. Karakteristika rješavanja ovih ne baš teških problema za ravan sistem sila je da se pri njihovom rješavanju ne sastavljaju jednačine ravnoteže. Posebno se određuju: a) moment prevrtanja (Mopr) - zbir momenata sila koje teže da se predmetni mehanizam prevrne u odnosu na neku osu projektovanu na crtež (tačke oslonca); c) moment zadržavanja (blato) - zbir momenata sila koje sprečavaju prevrtanje. Za stabilan rad mehanizma potrebno je da moment držanja sa određenom marginom bude veći od momenta prevrtanja. Odnos Mud, / Mopr =k se obično naziva koeficijent stabilnosti. Vrijednost k mora, naravno, biti veća od jedan. Za različite mehanizme za podizanje i za različite uslove njihovog rada, vrijednost koeficijenta stabilnosti određuje se iz SNiP, TU i drugih izvora. Uzimajući u obzir ovaj koeficijent, izrađuju se proračuni vrijednosti opterećenja protutega ili njegovog položaja na mehanizmu, izračunavaju se opcije - na kojem dosegu grane i s kojim opterećenjima je siguran rad. U nastavku je dat primjer rješavanja jednog od problema stabilnosti. Posebno je važno moći izvršiti elementarne proračune stabilnosti u proizvodnim uvjetima, kada morate raditi s maksimalnim opterećenjima za raspoloživu dizalicu.

21 Trenje klizanja. Zakoni trenja. Koeficijent trenja. Sila trenja klizanja nastaje između tijela koja se kreću u ravnini njihovog kontakta. To je prvenstveno zbog hrapavosti dodirnih površina i prisutnosti prianjanja presovanih tijela. U inženjerskim proračunima obično se koriste empirijski utvrđene pravilnosti koje sa određenim stepenom tačnosti odražavaju djelovanje sile trenja. Ovi obrasci se nazivaju zakoni trenja klizanja (Coulomb). Mogu se formulisati na sljedeći način.
1. Prilikom pokušaja pomjeranja jednog tijela u odnosu na drugo u ravni njihovog kontakta, javlja se sila trenja F, čiji modul može poprimiti bilo koju vrijednost od nule do Fmax, tj. 0<=F<=Fmax . Сила трения приложена к телу и направлена в сторону, противоположную возможному направлению скорости точки приложения силы.
2. Maksimalna sila trenja jednaka je proizvodu koeficijenta trenja f i normalne sile pritiska N: Fmax=fN.
Koeficijent trenja f je bezdimenzionalna veličina koja ovisi o materijalima i stanju površina dodirujućih tijela (hrapavost, temperatura, vlažnost itd.). Odredite to empirijski.
Postoje koeficijenti statičkog trenja i trenja klizanja, a ovo drugo po pravilu zavisi i od brzine klizanja. Koeficijent statičkog trenja odgovara takvoj maksimalnoj sili trenja Fmax, pri kojoj postoji granično stanje ravnoteže. Najmanje povećanje vanjskih sila može uzrokovati kretanje. Koeficijent statičkog trenja je obično nešto veći od koeficijenta trenja klizanja. Sa povećanjem brzine klizanja, vrijednost koeficijenta trenja klizanja prvo se lagano smanjuje, a zatim ostaje praktički nepromijenjena. Vrijednosti koeficijenata trenja za neke parove trenja su sljedeće: drvo na drvo 0,4-0,7; metal na metal 0,15-0,25; čelik na ledu 0,027.
3. Maksimalna sila trenja u prilično širokom rasponu ne ovisi o površini dodirnih površina.
Sila trenja klizanja se ponekad naziva i sila suvog trenja.

Ugao i konus trenja

Reakcija prave (grube) veze će se sastojati od dvije komponente: od normalne reakcije i sile trenja koja je okomita na nju. Posljedično, ukupna reakcija će odstupiti od normale prema površini za neki ugao. Kada se sila trenja promijeni od nule do F pr, sila R će se promijeniti sa N na R pr, a njen ugao sa normalom će se povećati od nule do određene granične vrijednosti (Sl. 26).

Fig.26

Najveći ugao koji ukupna reakcija grube veze čini s normalom na površinu naziva se ugao trenja. Iz crteža se vidi da

Budući da , odavde nalazimo sljedeći odnos između ugla trenja i koeficijenta trenja:

U ravnoteži, ukupna reakcija R, ovisno o silama smicanja, može se odvijati bilo gdje unutar kuta trenja. Kada ravnoteža postane granična, reakcija će odstupiti od normale za ugao.

Konus trenja nazvan konus opisan graničnom silom reakcije grube veze oko smjera normalne reakcije.

Ako se na tijelo koje leži na hrapavoj površini primijeni sila P, formirajući ugao sa normalom (slika 27), tada će se tijelo kretati samo kada je posmična sila Psin veća (smatramo N=Pcos, zanemarujući težinu tijela). Ali nejednakost u kojoj je zadovoljena samo za , tj. u . Prema tome, nijedna sila koja formira ugao sa normalom manjim od ugla trenja ne može pomeriti telo duž date površine. Ovo objašnjava dobro poznate pojave zaglavljivanja ili samokočenja tijela.

Fig.27

Za ravnotežu čvrstog tijela na hrapavoj površini potrebno je i dovoljno da linija djelovanja rezultante aktivnih sila koje djeluju na čvrsto tijelo prolazi unutar konusa trenja ili duž njegove generatrike kroz njegov vrh.

Tijelo ne može biti neuravnoteženo ni jednom modulo aktivnom silom ako njegova linija djelovanja prolazi unutar konusa trenja.

trenje kotrljanja

Porijeklo trenja kotrljanja može se vizualizirati na sljedeći način. Kada se lopta ili cilindar kotrlja po površini drugog tijela, on se lagano utiskuje u površinu ovog tijela, dok se sam blago stisne. Tako se tijelo koje se kotrlja cijelo vrijeme, takoreći, kotrlja uzbrdo.

Fig.33

Istovremeno dolazi do odvajanja dijelova jedne površine od druge, a kohezivne sile koje djeluju između ovih površina to sprječavaju. Obje ove pojave uzrokuju sile trenja kotrljanja. Što su površine tvrđe, manje je udubljenja i manje trenja kotrljanja.

trenje kotrljanja naziva se otpor koji nastaje kada se jedno tijelo kotrlja po površini drugog.

Dok , klizalište miruje; kada valjanje počne.

Linearna veličina k uključena u formulu se zove koeficijent trenja kotrljanja. Vrijednost k se obično mjeri u centimetrima. Vrijednost koeficijenta k ovisi o materijalu tijela i određuje se empirijski.

Koeficijent trenja kotrljanja pri kotrljanju u prvoj aproksimaciji može se smatrati nezavisnim od ugaone brzine valjka i njegove brzine klizanja duž ravnine.

Za točak vagona uz šinu k=0,5 mm.

Razmotrite kretanje pogonskog točka.

Kotrljanje točka će početi kada se ispuni uslov QR>M ili Q>M max /R=kN/R

Proklizavanje točka će početi kada se ispuni uslov Q>F max =fN.

Obično stav i kotrljanje počinju prije klizanja.

Ako je , tada će kotač kliziti po površini, bez kotrljanja.

Omjer za većinu materijala je mnogo manji od statičkog koeficijenta trenja. To objašnjava zašto se u tehnologiji, kad god je to moguće, klizanje nastoji zamijeniti kotrljanjem (točkovi, valjci, kuglični ležajevi itd.).

Moment sile F u odnosu na datu tačku O je proizvod veličine sile na njenom ramenu, odnosno dužine okomice spuštene iz tačke O na liniju djelovanja ove sile.

Ako sila F teži da rotira tijelo oko date tačke O u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, tada se slažemo da se moment sile F u odnosu na tačku O smatra pozitivnim; ako sila teži da rotira tijelo oko točke O u smjeru koji se poklapa sa smjerom kretanja u smjeru kazaljke na satu, tada će se moment sile u odnosu na ovu tačku smatrati negativnim. shodno tome,

Ako linija djelovanja sile F prolazi kroz datu tačku O, tada je moment sile F oko ove tačke jednak nuli.

Sabiranje sila koje se proizvoljno nalaze na ravni može se izvesti na dva načina:

1) sekvencijalno sabiranje;

2) dovođenje datog sistema sila u proizvoljno izabran centar.

Prva metoda postaje glomazna kada veliki brojevi uslovima snaga i nije primjenjiv za prostorni sistem silama, drugi metod je opšti, jednostavniji i pogodniji.

Ako je dat sistem sila, lociran proizvoljno u jednoj ravni, onda, prebacujući sve ove sile u proizvoljno odabranu tačku O u ovoj ravni, koja se naziva središte redukcije, dobijamo silu primijenjenu u ovom centru

i par sa momentom

Geometrijski zbir sila datog sistema naziva se vektor jednakosti ovog sistema sila.

Algebarski zbir momenata sila ravnog sistema u odnosu na neku tačku O u ravni njihovog dejstva naziva se glavni moment ovog sistema sila u odnosu na ovu tačku O.

Glavni trenutak se mijenja sa promjenom centra redukcije; zavisnost glavnog momenta od izbora referentnog centra izražava se sljedećom formulom:

gdje su i dva različita referentna centra.

Budući da sila R i par sa momentom, koji su rezultat svođenja ovog sistema sila na centar O, leže u istoj ravni, mogu se svesti na jednu silu koja se primjenjuje u nekoj tački. Ova sila je rezultanta datog sistema sila.

Dakle, ako je , tada se sistem sila svodi na jednu rezultantu koja ne prolazi kroz centar redukcije O. U ovom slučaju, moment rezultante u odnosu na bilo koju tačku bit će jednak algebarskom zbroju momenata svih ove sile u odnosu na istu tačku (Varinjonov teorem).

Ako je ishodište koordinata odabrano u centru redukcije i poznate su projekcije svih sila na koordinatne ose i koordinate tačaka primjene tih sila, tada se moment rezultante nalazi po formuli

Ako se, kao rezultat dovođenja sistema sila u dato središte, ispostavi da je glavni vektor ovog sistema jednak nuli, a njegov glavni moment je različit od nule, tada je ovaj sistem ekvivalentan paru sila , a glavni moment sistema jednak je momentu ovog para i u ovom slučaju ne zavisi od izbora referalnog centra. Ako se tada sistem svodi na rezultantu primijenjenu na redukcijski centar O.

Ako i , tada je sistem sila u ravnoteži. Svi slučajevi koji se susreću pri sabiranju sila ravnog sistema mogu se prikazati u obliku tabele. 3.

Tabela 3

Razmotrićemo ravnotežu ravnog sistema sila u sledećem pasusu, a sada pređimo na rešavanje problema za sabiranje sila ravnog sistema.

Primjer 13. Dat je ravan sistem od četiri projekcije sila X i Y ovih sila na koordinatne ose, koordinate x, y tačaka njihove primjene date su u tabeli. četiri.

Tabela 4

Dovedite ovaj sistem do ishodišta, a zatim pronađite liniju djelovanja rezultante.

Rješenje. Nađimo projekcije glavnog vektora datog sistema sila na koordinatne ose prema formuli (14)

Glavni trenutak se nalazi po formuli (15)

Dopustiti biti točka linije djelovanja željene rezultante. Onda

S druge strane, prema Varignon teoremi imamo:

shodno tome,

Ovo je jednadžba linije djelovanja rezultante.

Primjer 14. Odrediti rezultantu četiri sile koje djeluju na stranice pravilnog šestougla, čiji je smjer prikazan na sl. 30 ako .

Rješenje. Odaberemo centar O šestougla kao centar redukcije i nađemo glavni vektor R i glavni moment ovog sistema sila u odnosu na centar O. Budući da je tada glavni vektor R jednak , a glavni moment

Da bismo pronašli moment sile, u odnosu na tačku O, spuštamo okomitu SM, iz tačke O na liniju djelovanja ove sile. Pošto sila teži da rotira šestougao oko tačke O u smeru kazaljke na satu, onda

Opisani metod dovođenja jedne sile u datu tačku može se primijeniti na bilo koji broj sila. Pretpostavimo da su na tačkama tela A, B, C i D (slika 30) primenjene sile F1, F2, F3, F4. Potrebno je dovesti ove sile u tačku O ravni. Zadajmo prvo silu F1 primijenjenu u tački A. Na tačku O primjenjujemo dvije sile F1 "i F1"", paralelne sa njom i usmjerene u suprotnim smjerovima. Kao rezultat dovođenja sile F1, dobijamo silu F1" primijenjena u tački O, i par sila F1 "F1"" sa ramenom a1. Učinivši isto sa silom F2 primijenjenom u tački B, dobijamo silu F2" primijenjenu u tački O, i par sila sa ramenom a2, itd. Ravni sistem sila primenjenih u tačkama A, B, C i D, zamenili smo konvergentne sile F1, F2, F3, F4, primenjene u tački O, i parove sila sa momentima jednakim momentima date sile oko tačke O:
Sile koje konvergiraju u tački mogu se zamijeniti jednom silom F"ch, jednakom geometrijskom zbiru komponenti,
Ova sila, jednaka geometrijskom zbiru datih sila, naziva se glavni vektor sistema sila i označavaju F "gl.

Na osnovu pravila za sabiranje parova sila, one se mogu zamijeniti rezultirajućim parom čiji je moment jednak algebarskom zbiru momenata datih sila oko tačke O i naziva se highlight u odnosu na referentnu tačku
Shodno tome, u opštem slučaju, ravan sistem sila, kao rezultat svođenja na datu tačku O, zamenjen je ekvivalentnim sistemom koji se sastoji od jedne sile (glavni vektor) i jednog para (glavni moment). Potrebno je naučiti da je glavni vektor F"ch rezultanta ovog sistema sila, jer ovaj sistem nije ekvivalentan jednoj sili F"ch. Samo u posebnom slučaju, kada glavni moment nestane, glavni vektor će biti rezultanta ovog sistema sila. Pošto je glavni vektor jednak geometrijskom zbiru sila datog sistema, ni modul ni njegov pravac ne zavise od izbora centra redukcije. Vrijednost i predznak glavnog momenta Mg zavise od položaja centra redukcije, budući da ramena sastavnih parova zavise od međusobnog položaja sila i tačke (centra) u odnosu na koju se momenti uzimaju.

Mogu se javiti sljedeći slučajevi smanjenja sistema snaga:
1. - opšti slučaj; sistem se svodi na glavni vektor i na glavni momenat.
2.; sistem se svodi na jednu rezultantu jednaku glavnom vektoru sistema.
3.; sistem se svodi na par sila čiji je moment jednak glavnom momentu.
četiri.; sistem je u ravnoteži, tj. za ravnotežu ravnog sistema sila potrebno je i dovoljno da njegov glavni vektor i glavni moment budu istovremeno jednaki nuli.

Može se dokazati da u opštem slučaju, kada, uvek postoji tačka u odnosu na koju je glavni moment sila jednak nuli.

Razmotrimo ravan sistem sila, koji je reduciran na tačku O, odnosno zamenjen glavnim vektorom primenjenim u tački O, i glavnim momentom. Radi određenosti, pretpostavljamo da je glavni moment usmjeren u smjeru kazaljke na satu, tj. Predstavimo ovaj glavni moment parom sila FF", čiji modul ćemo izabrati jednak modulu glavnog vektora, tj. Primijenit ćemo jednu od sila koje čine par u redukcionom centru O, druga sila u tački C čiji će se položaj odrediti iz uslova: . Dakle.

Postavimo par sila tako da sila F "" bude usmjerena u smjeru suprotnom od glavnog vektora F "ch. U tački O imamo dvije jednake međusobno suprotne sile F "ch i F" "usmjerene duž jedne prave linije ; mogu se odbaciti (prema trećem aksiomu). Dakle, u odnosu na tačku C, glavni moment razmatranog sistema sila jednak je nuli, a sistem se svodi na rezultantu. Teorema o momentu rezultante (Varinonova teorema) U opštem slučaju, proizvoljan ravan sistem sila svodi se na glavni vektor F"ch i na glavni moment Mgl u odnosu na izabrani centar redukcije, a glavni moment je jednak algebarskom zbroju momenata datog sile u odnosu na tačku O:

Pokazalo se da je moguće izabrati centar redukcije, u odnosu na koji će glavni moment sistema biti jednak nuli, a sistem sila svesti na jednu rezultantu jednaku po apsolutnoj vrijednosti glavnom vektoru. Odredimo moment rezultante u odnosu na tačku O. S obzirom da je OS krak sile F jednak , dobijamo .

Dvije veličine, odvojeno jednake trećoj, jednake su jedna drugoj, dakle, iz prethodnih jednačina nalazimo.

Rezultirajuća jednačina izražava Varignonovu teoremu: moment rezultantnog ravan sistema sila u odnosu na proizvoljnu tačku jednak je algebarskom zbiru momenata konstitutivnih sila u odnosu na istu tačku.

Iz Varignonove teoreme slijedi da je glavni moment ravnog sistema sila u odnosu na bilo koju tačku koja leži na liniji djelovanja njegove rezultante jednak nuli.

17. Statički moment površine poprečnog presjeka Statički momenti presjeka Sx i Sy se uglavnom koriste za određivanje položaja središta površine poprečnog presjeka i centralne ose.

Razmotrimo promjenu statičkih momenata s paralelnim prijenosom osi (slika 1.1). S obzirom na poznato F, Sx i Sy u koordinatnom sistemu 0XY definiramo statičke momente Sx1, S y1 u vezi novih osovina x 1, y 1.

Rice. 1.1

S obzirom na omjere x 1 \u003d x - a i y 1 = y - b dobijamo: ili S x 1 = Sx - bF; S y 1 = Sy - aF;(1.1) Ose x 1 , y 1 mogu se izabrati na način da su ispunjeni sljedeći uslovi: S x1 = 0, S y1 = 0. sjekire, u odnosu na koje su statički momenti presjeka jednaki nuli, nazivaju se centralnim. Točka presjeka centralnih osa naziva se težište preseka. Uzimajući S x1 = 0 i S y1 = 0, iz izraza (1.1) koordinate središta površine presjeka u odnosu na pomoćne ose x, y određuju se formulama (označavamo x c = a, y c = b ):

(1.2)

Prema tome, ako su poznata površina F i položaj centra površine presjeka (koordinate x c ​​, y c) u koordinatnom sistemu 0xy, tada se statički momenti presjeka u odnosu na ose x, y mogu odrediti iz izraza ( 1.2): Sx = F y c ; Sy = F x c. (1.3) Može se pokazati da je statički moment oko bilo koje ose koja prolazi kroz centar površine presjeka jednak nuli. Prilikom utvrđivanja centar području složena sekcija primenjuje se sledeći postupak: 1) presek se deli na n delova, oblasti (F i) i položaj centara (C i) čije su površine poznate; 2) postavlja se pomoćni koordinatni sistem u kome se određuju koordinate centara površina (x ci , y ci) ovih delova; 3) koordinate kompozitnog presjeka se izračunavaju pomoću formula: