Ako se čvrsto tijelo nalazi blizu površine Zemlje, onda se gravitacija primjenjuje na svaku materijalnu tačku ovog tijela. Istovremeno, dimenzije tijela u odnosu na veličinu Zemlje su toliko male da se sile gravitacije koje djeluju na sve čestice tijela mogu smatrati paralelnim jedna s drugom.

Centar (tačka OD) sistem paralelnih sila gravitacije svih tačaka tela naziva se centar gravitacije čvrsto telo , a zbir sila gravitacije svih njegovih materijalnih tačaka naziva se gravitacije postupajući po tome

Koordinate težišta krutog tijela određene su formulama:

gdje su koordinate tačaka primjene gravitacije na koje djeluje k-ta materijalna tačka.

Za homogeno telo:

gdje je V zapremina cijelog tijela;

V k- volumen k-ta čestica.

Za ujednačenu tanku ploču:

gdje je S površina ploče;

S k- kvadrat k- o dio tanjira.

Za liniju:

gdje L- dužina cijele linije;

L k- dužina k dio linije.

Metode za određivanje koordinata težišta tijela:

Teorijski

Simetrija. Ako homogeno tijelo ima ravan, os ili centar simetrije, onda njegovo težište leži, odnosno u ravnini simetrije, ili na osi, ili u centru simetrije.

Razdvajanje. Ako se tijelo može podijeliti na konačan broj takvih dijelova, za svaki od kojih je poznat položaj težišta, tada se koordinate težišta cijelog tijela mogu direktno izračunati pomoću gornjih formula.

Dodatak. Ova metoda je poseban slučaj metode particioniranja. Primjenjuje se na tijela sa izrezima ako su poznati centri gravitacije tijela bez izreza i izreza. Oni su uključeni u proračune sa znakom “-”.

Integracija. Kada se tijelo ne može podijeliti na sastavne dijelove, čiji su centri gravitacije poznati, koristi se metoda integracije koja je univerzalna.

eksperimentalni

metoda vješanja. Tijelo je obješeno za dvije ili tri točke, povlačeći okomite linije od njih. Tačka njihovog preseka je centar mase.

Metoda vaganja. Tijelo različitim dijelovima postavljen na skali, čime se određuje reakcije podrške. Sastaviti jednadžbe ravnoteže, iz kojih se određuju koordinate težišta.

Koristeći teorijske metode, formule za određivanje koordinate centra gravitacije najčešći homogena tela:

luk kružnice

Pogledaj: ovaj članak je pročitan 11269 puta

Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski

Kratka recenzija

Kompletan materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika

Pregled

Ruka poluge je kruto tijelo koje ima nepokretnu os rotacije i pod djelovanjem je sila koje leže u ravni okomitoj na ovu os.

Ako poluga miruje, tada je algebarski zbir momenata svih sila primijenjenih na polugu u odnosu na referentnu tačku nula

Proizvoljni ravan sistem sila - ovo je sistem sila čije se linije djelovanja nalaze u ravni nezavisno.

Koristeći Poinsotovu metodu u centru redukcije O, dobiće se sistem sila i sistem parova, od kojih su momenti svakog jednaki momentima odgovarajuće sile u odnosu na centar redukcije.

Glavni vektorski sistem naziva se vektor koji je jednak geometrijski zbir sve sile sistema.

Glavna tačka sistema u odnosu na centar O u ravni naziva se algebarski zbir momenata sila sistema u odnosu na centar redukcije O.

Glavni vektor ne zavisi od izbora centra redukcije O. Glavni moment sila zavisi od centra redukcije.

Osnovna teorema statike o dovođenju sistema sila na ovaj centar : Svaki planarni proizvoljni sistem sila koje djeluju na apsolutno kruto tijelo, kada se svede na proizvoljno odabrano središte O, može se zamijeniti jednom silom jednakom glavnom vektoru sistema i primijenjenom na centar redukcije O, i jednim parom sa moment jednak glavnom momentu sistema oko centra O.

Slučajevi smanjenja ravni sistem sile u jednostavniji oblik

Uslovi ravnoteže za proizvoljni ravan sistem sila.

1. Uslovi geometrijske ravnoteže : za balans ravno proizvoljan sistem snage su neophodne i dovoljne da glavni vektor i glavni moment sistema bili su jednaki nuli

2. Uslovi analitičke ravnoteže .

Osnovni oblik uslova ravnoteže: Za ravnotežu proizvoljnog planarnog sistema sila, potrebno je i dovoljno da zbir projekcija svih sila na koordinatne ose a zbir njihovih momenata oko bilo kojeg centra koji se nalazi u ravni djelovanja sila bio je jednak nuli.

Drugi oblik uslova ravnoteže: Za ravnotežu proizvoljnog planarnog sistema sila, potrebno je i dovoljno da zbir momenata svih sila oko bilo koja dva centra A i B i zbir njihovih projekcija na osu koja nije okomita na pravu AB budu jednak nuli.

Treći oblik uslova ravnoteže (jednačina tri momenta): Za ravnotežu ravnog proizvoljnog sistema sila, potrebno je i dovoljno da zbir momenata svih sila oko bilo koja tri centra A, B i C, koji ne leže na jednoj pravoj liniji, bude jednak nuli.

Centar paralelnih snaga

Sistem paralelnih sila usmjerenih u jednom smjeru ne može se uravnotežiti ili svesti na par sila, uvijek ima rezultantu.

Linija djelovanja rezultante je paralelna sa silama. Položaj tačke njene primene zavisi od veličine i položaja tačaka primene sila sistema.

Centar paralelnih snaga - tačka C je tačka primene rezultantnog sistema paralelnih sila.
Položaj centra paralelnih sila - tačke C, određen je koordinatama ove tačke

Težište krutog tijela i njegove koordinate

Težište tijela - geometrijska tačka koja je uvek povezana sa ovim telom, na koju se primenjuje rezultanta gravitacionih sila pojedinih čestica tela, tj. telesne težine u svemiru.

Koordinate centra gravitacije određuju se slično koordinatama centra paralelnih sila C (), sastavljene od sila gravitacije čestica tijela.

Položaj težišta homogenog tijela ovisi samo o njegovom geometrijskom obliku i veličini, a ne ovisi o svojstvima materijala od kojeg je tijelo napravljeno.

Zbir proizvoda elementarnih površina koje čine ravnu figuru i algebarskih vrijednosti njihovih udaljenosti do određene ose naziva se statički moment površine ravne figure.

Statički momenat površina ravne figure jednaka je umnošku površine figure na algebarsku udaljenost od centra gravitacije do ove ose. Jedinica mjere za statički moment je [cm3].
statički moment površine ravne figure u odnosu na osu koja prolazi kroz centar gravitacije figure jednak je nuli.

Tjelesna težina je rezultanta sila gravitacije pojedinih čestica tijela.

Metode za određivanje položaja centra gravitacije .

1. Metoda simetrije : Ako homogeno tijelo ima ravan, os ili centar simetrije, tada težište leži, odnosno u ravnini simetrije, ili na osi simetrije, ili u centru simetrije. linija dužine je u sredini. Težište kružnice (ili kruga) poluprečnika je u njegovom centru, tj. u tački preseka prečnika. Težište paralelograma, romba ili paralelepipeda nalazi se u tački presjeka dijagonala. Težište pravilnog poligona nalazi se u središtu upisanog ili opisanog kruga.
2. Metoda iskolčenja : Ako se tijelo može podijeliti na konačan broj elemenata (zapremina, ravnina, linija), za svaki od kojih je poznat položaj težišta, tada se koordinate težišta cijelog tijela mogu odrediti pomoću poznavanje vrijednosti za elemente direktno po formulama
3. Metoda komplementa (negativne ravni): Ako tijelo ima izrezane elemente, tada se pri cijepanju na elemente od ukupne količine oduzima sečeni dio (površina, zapremina), tj. rezanim elementima daju se negativne vrijednosti površine ili zapremine

Format: pdf

Veličina: 700 KV

Jezik: ruski, ukrajinski

Primjer proračuna cilindričnog zupčanika
Primjer proračuna cilindričnog zupčanika. Proveden je izbor materijala, proračun dopuštenih naprezanja, proračun kontaktne i savijajuće čvrstoće.

Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su nacrtani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran I-greda. U zadatku je analizirana konstrukcija dijagrama koristeći diferencijalne zavisnosti, komparativna analiza različiti poprečni presjeci grede.

Primjer rješavanja problema torzije osovine
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine za dati promjer, materijal i dopuštena naprezanja. U toku rješavanja grade se dijagrami momenta, posmičnih napona i uglova uvijanja. Vlastita težina osovine se ne uzima u obzir

Primjer rješavanja problema zatezanja-kompresije štapa
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične šipke pri zadanim dopuštenim naprezanjima. Tokom rješavanja grade se dijagrami uzdužnih sila, normalnih napona i pomaka. Vlastita težina šipke se ne uzima u obzir

Primjena teoreme o očuvanju kinetičke energije
Primjer rješavanja problema primjene teoreme o očuvanju kinetička energija mehanički sistem

Određivanje brzine i ubrzanja tačke prema datim jednačinama kretanja
Primjer rješavanja zadatka određivanja brzine i ubrzanja tačke po date jednačine pokreta

Određivanje brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela tokom ravnoparalelnog kretanja
Primjer rješavanja problema određivanja brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela pri ravnoparalelnom kretanju

Tema je relativno laka za savladavanje, ali je izuzetno važna pri proučavanju toka čvrstoće materijala. Ovdje glavnu pažnju treba posvetiti rješavanju problema kako sa ravnim i geometrijskim oblicima, tako i sa standardnim valjanim profilima.

Pitanja za samokontrolu

1. Šta je centar paralelnih sila?

Centar paralelnih sila je tačka kroz koju je linija rezultujućeg sistema paralelnih sila primenjena u date bodove, za svaku promjenu smjera ovih sila u prostoru.

2. Kako pronaći koordinate centra paralelnih sila?

Za određivanje koordinata centra paralelnih sila koristimo Varignonovu teoremu.

Relativna osovina x

Mx(R) = ΣMx(Fk), - y C R = Σy kFk i y C = Σy kFk /Σ Fk .

Relativna osovina y

M y (R) = ΣM y (Fk), - x C R = Σx kFk i x C = Σx kFk /Σ Fk .

Za određivanje koordinata z C , zarotirajte sve sile za 90° tako da postanu paralelne s osi y (Slika 1.5, b). Onda

M z (R) = ΣM z (Fk), - z C R = Σz kFk i z C = Σz kFk /Σ Fk .

Stoga formula za određivanje radijus vektora centra paralelnih sila poprima oblik

r C = Σr kFk /Σ Fk.

3. Šta je težište tijela?

Centar gravitacije - tačka koja je uvek povezana sa čvrstim telom kroz koju rezultanta gravitacionih sila koja deluje na čestice ovog tela prolazi u bilo kom položaju tela u prostoru. Za homogeno tijelo sa centrom simetrije (krug, lopta, kocka, itd.), težište se nalazi u centru simetrije tijela. Položaj težišta krutog tijela poklapa se sa položajem njegovog centra mase.

4. Kako pronaći težište pravougaonika, trougla, kružnice?

Da biste pronašli težište trokuta, morate nacrtati trokut - figuru koja se sastoji od tri segmenta povezana jedan s drugim u tri tačke. Prije nego što pronađete težište figure, trebate pomoću ravnala izmjeriti dužinu jedne strane trokuta. Na sredini stranice stavite oznaku, nakon čega spojite suprotni vrh i sredinu segmenta linijom koja se zove medijana. Ponovite isti algoritam sa drugom stranom trougla, a zatim sa trećom. Rezultat vašeg rada će biti tri medijane koje se sijeku u jednoj tački, koja će biti težište trougla. Ako je potrebno odrediti težište okruglog diska homogene strukture, tada prvo pronađite točku presjeka promjera kruga. Ona će biti centar gravitacije dato telo. Uzimajući u obzir figure kao što su lopta, obruč i uniforma kuboid, sa sigurnošću se može reći da će težište obruča biti u centru figure, ali izvan njegovih tačaka, težište lopte je geometrijsko središte sfere, au potonjem slučaju, težište je presjek dijagonala pravokutnog paralelepipeda.

5. Kako pronaći koordinate težišta ravnog kompozitnog presjeka?

Metoda particije: ako se ravna figura može podijeliti na konačan broj takvih dijelova, za svaki od kojih je poznat položaj težišta, tada se koordinate težišta cijele figure određuju formulama:

X C = ( s k x k) / S; Y C = ( s k y k) / S,

gdje su x k, y k koordinate centara gravitacije dijelova figure;

s k - njihove površine;

S \u003d s k - površina cijele figure.

6. Težište

1. U kom slučaju je za određivanje težišta dovoljno izračunati jednu koordinatu?

U prvom slučaju, za određivanje centra gravitacije, dovoljno je odrediti jednu koordinatu.Tijelo je podijeljeno na konačan broj dijelova, za svaki od kojih je položaj centra gravitacije C i područje S poznato. Na primjer, projekcija tijela na ravan xOy (Slika 1.) može se predstaviti kao dvije ravne figure sa površinama S1 i S2 (S = S 1 + S 2 ). Centri gravitacije ovih figura su u tačkama C 1 (x 1 , y 1) i C 2 (x 2 , y 2) . Tada su koordinate težišta tijela

Budući da centri figura leže na y-osi (x = 0), nalazimo samo koordinatu Nas.

2 Kako se površina rupe na slici 4 uzima u obzir u formuli za određivanje težišta figure?

Metoda negativne mase

Ova metoda se sastoji u činjenici da se tijelo sa slobodnim šupljinama smatra čvrstim, a masa slobodnih šupljina negativnom. Oblik formula za određivanje koordinata težišta tijela se ne mijenja.

Dakle, pri određivanju težišta tijela sa slobodnim šupljinama treba koristiti metodu pregrađivanja, ali masu šupljina treba smatrati negativnom.

imati ideju o centru paralelnih sila i njegovim svojstvima;

znam formule za određivanje koordinata težišta ravnih figura;

biti u mogućnosti odrediti koordinate težišta ravnih figura prostih geometrijski oblici i standardnih valjanih profila.

ELEMENTI KINEMATIKA I DINAMIKA
Nakon proučavanja kinematike tačke, obratite pažnju na činjenicu da pravolinijsko kretanje tačke, i neravnomerno i ravnomerno, uvek karakteriše prisustvo normalnog (centripetalnog) ubrzanja. At kretanje napred tijela (karakterizirano kretanjem bilo koje njegove tačke), primjenjive su sve formule kinematike tačke. Formule za određivanje ugaonih vrijednosti tijela koje rotira oko fiksne ose imaju potpunu semantičku analogiju sa formulama za određivanje odgovarajućih linearnih vrijednosti translacijskog tijela.

Tema 1.7. Kinematika tačke
Prilikom proučavanja teme obratite pažnju na osnovne pojmove kinematike: ubrzanje, brzina, putanja, udaljenost.

Pitanja za samokontrolu

1. Koja je relativnost pojmova mirovanja i kretanja?

Mehaničko kretanje je promjena kretanja tijela ili (njegovih dijelova) u prostoru u odnosu na druga tijela tokom vremena. Let bačenog kamena, rotacija točka - primjeri mehaničko kretanje.

2. Definisati osnovne pojmove kinematike: putanja, udaljenost, putanja, brzina, ubrzanje, vrijeme.

Brzina je kinematička mjera kretanja točke koja karakterizira brzinu promjene njenog položaja u prostoru. Brzina je vektorska veličina, odnosno karakteriše je ne samo modul (skalarna komponenta), već i pravac u prostoru.

Kao što je poznato iz fizike, kod ravnomjernog kretanja, brzina se može odrediti dužinom puta koji se prijeđe u jedinici vremena: v = s / t = const (pretpostavlja se da se početak puta i vrijeme poklapaju). At pravolinijsko kretanje brzina je konstantna i po modulu i po pravcu, a vektor joj se poklapa sa putanjom.

Jedinica za brzinu u sistemu SI određuje se omjerom dužina/vrijeme, tj. m/s.

Ubrzanje je kinematička mjera promjene brzine određene tačke u vremenu. Drugim riječima, ubrzanje je stopa promjene brzine.
Kao i brzina, ubrzanje je vektorska veličina, odnosno karakteriše ga ne samo modul, već i smjer u prostoru.

Kod pravolinijskog kretanja, vektor brzine se uvijek poklapa sa putanjom, pa se stoga vektor promjene brzine poklapa i sa putanjom.

Iz kursa fizike je poznato da je ubrzanje promjena brzine u jedinici vremena. Ako se za kratak vremenski period Δt brzina tačke promijeni za Δv, tada je prosječno ubrzanje za ovaj vremenski period bilo: a cp = Δv/Δt.

Prosječno ubrzanje ne daje predstavu o pravoj veličini promjene brzine u svakom trenutku vremena. Istovremeno, očigledno je da što je kraći razmatrani vremenski period tokom kojeg je došlo do promjene brzine, to će vrijednost ubrzanja biti bliža pravoj (trenutnoj).
Otuda definicija: pravo (trenutačno) ubrzanje je granica kojoj teži prosječno ubrzanje kada Δt teži nuli:

a = lim a cf na t→0 ili lim Δv/Δt = dv/dt.

S obzirom da je v = ds / dt, dobijamo: a = dv / dt = d 2 s / dt 2.

True Acceleration kod pravolinijskog kretanja jednak je prvom izvodu brzine ili drugom izvodu koordinate (udaljenost od početka kretanja) u odnosu na vrijeme. Jedinica ubrzanja je metar podijeljen sa sekundom na kvadrat (m/s 2).

Putanja- linija u prostoru duž koje se kreće materijalna tačka.
Put je dužina puta. Prijeđeni put l jednak je dužini luka putanje koju tijelo pređe za neko vrijeme t. Putanja je skalarna vrijednost.

Razdaljina određuje položaj tačke na njenoj putanji i meri se od nekog ishodišta. Udaljenost je algebarska veličina, jer, ovisno o položaju tačke u odnosu na ishodište i prihvaćenom smjeru ose udaljenosti, može biti i pozitivna i negativna. Za razliku od udaljenosti, putanja koju prelazi tačka uvijek je određena pomoću pozitivan broj. Putanja se poklapa sa apsolutnom vrijednošću udaljenosti samo ako kretanje tačke počinje od početka i prati putanju u jednom smjeru.

U opštem slučaju kretanja tačke, putanja je jednaka zbroju apsolutnih vrednosti udaljenosti koje je tačka prešla za dati vremenski period:

3. Na koje načine se može dati zakon kretanja tačke?

1. Prirodan način postavljanja kretanja tačke.

Prirodnom metodom specificiranja kretanja pretpostavlja se da se određuju parametri kretanja tačke u pokretnom referentnom sistemu, čiji se početak poklapa sa pokretnom tačkom, a osi su tangenta, normalna i binormalna na putanja tačke u svakoj od njenih pozicija. Da bi se zakon kretanja tačke postavio na prirodan način, potrebno je:

1) poznaje putanju kretanja;

2) postaviti referentnu tačku na ovoj krivoj;

3) uspostavi pozitivan pravac kretanja;

4) dati zakon kretanja tačke duž ove krive, tj. izražavaju udaljenost od početka do položaja tačke na krivoj u datom trenutku ∪OM=S(t) .

2.Vektorski način zadaci kretanja tačke

U ovom slučaju, položaj tačke na ravni ili u prostoru je određen vektorskom funkcijom. Ovaj vektor je iscrtan iz fiksne tačke odabrane kao ishodište, njegov kraj određuje položaj pokretne tačke.

3. Metoda koordinata za određivanje kretanja tačke

U odabranom koordinatnom sistemu koordinate pokretne tačke su date kao funkcija vremena. U pravougaoniku Kartezijanski sistem koordinate, to će biti jednadžbe:

4. Kako je vektor prave brzine tačke usmjeren za vrijeme krivolinijskog kretanja?

Kod neravnomjernog kretanja tačke, modul njene brzine se mijenja tokom vremena.
Zamislite tačku čije je kretanje na prirodan način dato jednačinom s = f(t).

Ako je tačka u kratkom vremenskom intervalu Δt prešla putanju Δs, tada je njena prosječna brzina je jednako:

vav = ∆s/∆t.

Prosječna brzina ne daje predstavu o pravoj brzini u bilo kojem trenutku (prava brzina se inače naziva trenutna). Očigledno, što je kraći vremenski interval za koji se određuje prosječna brzina, to će njena vrijednost biti bliža trenutnoj brzini.

Prava (trenutna) brzina je granica kojoj teži prosječna brzina kada Δt teži nuli:

v = lim v cf na t→0 ili v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Dakle, numerička vrijednost prave brzine je v = ds/dt.
Prava (trenutna) brzina za bilo koje kretanje tačke jednaka je prvom izvodu koordinate (tj. udaljenosti od početka kretanja) u odnosu na vrijeme.

Kada Δt teži nuli, Δs također teži nuli, a, kao što smo već saznali, vektor brzine će biti usmjeren tangencijalno (odnosno, poklopit će se sa pravim vektorom brzine v). Iz ovoga sledi da je granica vektora uslovne brzine v p, jednaka granici odnosa vektora pomaka tačke i beskonačno malog vremenskog intervala, jednaka vektoru prave brzine tačke.

5. Kako su usmjerene tangentno i normalno ubrzanje tačke?

Smjer vektora ubrzanja poklapa se sa smjerom promjene brzine Δ = - 0

Tangencijalno ubrzanje u datoj tački je usmjereno tangencijalno na putanju točke; ako je kretanje ubrzano, tada se smjer vektora tangencijalnog ubrzanja poklapa sa smjerom vektora brzine; ako je kretanje sporo, tada je smjer vektora tangencijalnog ubrzanja suprotan smjeru vektora brzine.

6. Kakvo kretanje čini tačka ako je tangencijalno ubrzanje nula, a normalno se ne mijenja tokom vremena?

Ujednačeno krivolinijsko kretanje karakterizira činjenica da je brojčana vrijednost brzine konstantna ( v= konst), brzina se mijenja samo u smjeru. U ovom slučaju, tangencijalno ubrzanje je nula, jer v= konst(sl.b),

a normalno ubrzanje nije jednako nuli, jer r - konačna vrijednost.

7. Kako izgledaju kinematički grafovi sa uniformnim i ravnomerno kretanje?

Ujednačenim kretanjem, tijelo prelazi jednake udaljenosti u bilo kojim jednakim vremenskim intervalima. Za kinematički opis ravnomjernog pravolinijskog kretanja, koordinatna osa OX pogodno za postavljanje duž linije kretanja. Položaj tijela pri ravnomjernom kretanju određuje se postavljanjem jedne koordinate x. Vektor pomaka i vektor brzine su uvijek usmjereni paralelno s koordinatnom osom OX. Stoga se pomak i brzina za vrijeme pravolinijskog kretanja mogu projicirati na osu OX i razmatraju njihove projekcije kao algebarske veličine.

Kod ravnomjernog kretanja, putanja se mijenja prema linearna zavisnost. u koordinatama. Grafikon je nagnuta linija.

Kao rezultat proučavanja teme, student mora:

imati ideju o prostoru, vremenu, putanji; prosječna i prava brzina;

znam načini specificiranja kretanja tačke; parametri kretanja tačke duž date putanje.

Težište krutog tijela

centar gravitacije Kruto tijelo je geometrijska tačka koja je čvrsto povezana sa ovim tijelom i predstavlja centar paralelnih sila gravitacije koje se primjenjuju na pojedinačne elementarne čestice tijela (slika 1.6).

Radijus vektor ove tačke

Slika 1.6

Za homogeno tijelo položaj težišta tijela ne ovisi o materijalu, već je određen geometrijskim oblikom tijela.

Ako je specifična težina homogenog tijela γ , težina elementarne čestice tijela

Pk = γΔVk (P = γV)

zamijenite u formuli za određivanje r C , imamo

Odakle, projektujući na osi i prelazeći do granice, dobijamo koordinate težišta homogenog volumena

Slično, za koordinate težišta homogene površine sa površinom S (Slika 1.7, a)

Slika 1.7

Za koordinate težišta homogene dužine L (Slika 1.7, b)

Metode za određivanje koordinata centra gravitacije

Na osnovu ranije dobijenih općih formula, moguće je naznačiti metode za određivanje koordinata težišta čvrstih tijela:

Slika 1.8

Slika 1.9

11. Osnovni pojmovi kinematike. Kinematika tačke. Metode za određivanje kretanja tačke. Tačkasta brzina i ubrzanje.

Osnovni pojmovi kinematike

Kinematika- grana mehanike koja proučava kretanje tijela ne uzimajući u obzir uzroke koji su izazvali ovo kretanje.

Glavni zadatak kinematike je pronaći položaj tijela u bilo kojem trenutku vremena, ako su poznati njegov položaj, brzina i ubrzanje u početnom trenutku vremena.

mehaničko kretanje- ovo je promjena položaja tijela (ili dijelova tijela) jedno u odnosu na drugo u prostoru tokom vremena.

Da bismo opisali mehaničko kretanje, moramo odabrati referentni okvir.

Referentno tijelo- tijelo (ili grupa tijela), uzeto u ovom slučaju kao nepomično, u odnosu na koje se razmatra kretanje drugih tijela.

Referentni sistem- ovo je koordinatni sistem povezan sa referentnim tijelom i odabrani metod mjerenja vremena (slika 1).

Položaj tijela se može odrediti pomoću radijus vektora r⃗ r→ ili pomoću koordinata.

Radijus vektor r⃗ r→ bodova Μ - usmjereni pravi segment koji povezuje ishodište O sa tačkom Μ (Sl. 2).

Koordinate x bodova Μ je projekcija kraja radijus vektora tačke Μ po osovini Oh. Obično se koristi pravougaoni koordinatni sistem. U ovom slučaju, pozicija tačke Μ na pravoj, ravni i u prostoru određuju se jednim ( x), dva ( X, at) i tri ( X, at, z) brojevi - koordinate (slika 3).

U osnovnom kursu fizičari proučavaju kinematiku kretanja materijalne tačke.

Materijalna tačka- tijelo čije se dimenzije pod datim uslovima mogu zanemariti.

Ovaj model se koristi u slučajevima kada su linearne dimenzije tijela koja se razmatraju mnogo manje od svih drugih udaljenosti u datom problemu ili kada se tijelo kreće naprijed.

Translational naziva se kretanje tijela, u kojem se ravna linija koja prolazi kroz bilo koje dvije točke tijela kreće, ostajući paralelna sama sa sobom. U translatornom kretanju, sve tačke tijela opisuju iste putanje i u svakom trenutku imaju iste brzine i ubrzanja. Stoga je za opisivanje takvog kretanja tijela dovoljno opisati kretanje njegove jedne proizvoljne tačke.

U daljem tekstu, reč "telo" će se razumeti kao "materijalna tačka".

Prava koju tijelo u pokretu opisuje u određenom referentnom okviru naziva se putanja. U praksi se oblik putanje postavlja pomoću matematičkih formula ( y = f(x) - jednačina putanje) ili prikazano na slici. Vrsta putanje zavisi od izbora referentnog sistema. Na primjer, putanja slobodnog padajućeg tijela u automobilu koji se kreće ravnomjerno i pravolinijski je ravna okomita linija u okviru automobila i parabola u okviru Zemlje.

U zavisnosti od vrste putanje, razlikuju se pravolinijsko i krivolinijsko kretanje.

Put s- skalar fizička količina, određen dužinom putanje koju tijelo opisuje za određeni vremenski period. Put je uvek pozitivan: s > 0.

kreće seΔr⃗ Δr→ tijela za određeni vremenski period - usmjereni odsječak prave linije koja spaja početnu (tačku M 0) i konačni (tač M) položaj tela (vidi sliku 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

gdje su r⃗ r→ i r⃗ 0 r→0 radijus vektori tijela u tim vremenima.

Projekcija pomaka na osu Ox

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Gdje x 0 i x- koordinate tijela u početnom i završnom trenutku vremena.

Modul pomaka ne može biti više od putanje

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Znak jednakosti se odnosi na slučaj pravolinijskog kretanja ako se smjer kretanja ne mijenja.

Znajući pomak i početni položaj tijela, možemo pronaći njegov položaj u trenutku t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Brzina

Prosječna brzina hυ⃗ i hυ→i je vektorska fizička veličina, numerički jednaka omjeru pomaka i vremenskog intervala tokom kojeg se dogodio, a usmjerena je duž pomaka (slika 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt;hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

SI jedinica za brzinu je metri u sekundi (m/s).

Prosječna brzina pronađena ovom formulom karakterizira kretanje samo u onom dijelu putanje za koji je definirana. Na drugom dijelu putanje može biti drugačije.

Ponekad koriste prosječnu brzinu puta

hυi=sΔt hυi=sΔt

Gdje je s put pređen u vremenskom intervalu Δ t. Prosječna brzina putanje je skalarna vrijednost.

Instant Speed υ⃗ υ→ tijelo - brzina tijela u datom trenutku (ili u datoj tački putanje). Jednaka je granici kojoj prosječna brzina teži u beskonačno malom vremenskom intervalu υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Ovdje je r⃗ ′ r→ ′ vremenski izvod radijus vektora.

U projekciji na os Oh:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Trenutna brzina tijela je usmjerena tangencijalno na putanju u svakoj tački u smjeru kretanja (vidi sliku 4).

Ubrzanje

Prosečno ubrzanje- fizička veličina brojčano jednaka omjeru promjene brzine i vremena u kojem se dogodila:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Vektor ha⃗ i ha→i je usmjeren paralelno sa vektorom promjene brzine Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) prema konkavnosti putanje (slika 5).

Instant Boost:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

SI jedinica za ubrzanje je metara u sekundi na kvadrat (m/s2).

Uglavnom trenutno ubrzanje usmjerena pod uglom u odnosu na brzinu. Poznavajući putanju, možete odrediti smjer brzine, ali ne i ubrzanje. Smjer ubrzanja određen je smjerom rezultantnih sila koje djeluju na tijelo.

U pravolinijskom kretanju sa povećanjem modulo brzine (slika 6, a), vektori a⃗ a→ i υ⃗ 0 υ→0 su kousmjereni (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) i projekcija ubrzanja na smjer kretanje je pozitivno.

Pri pravolinijskom kretanju sa opadajućim modulom brzine (slika 6, b), smjerovi vektora a⃗ a→ i υ⃗ 0 υ→0 su suprotni (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) i projekcija ubrzanja na smjer kretanja je negativan.

Vektor a⃗ a→ at krivolinijsko kretanje može se razložiti na dvije komponente usmjerene duž brzine a⃗ τ a→τ i okomito na brzinu a⃗ n a→n (slika 1.7), a⃗ τ a→τ - tangencijalno ubrzanje, koji karakteriše brzinu promene modula brzine tokom krivolinijskog kretanja, a⃗ n a→n - normalno ubrzanje, karakteriše brzinu promene smera vektora brzine tokom krivolinijskog kretanja Modul ubrzanja a=a2τ+a2n−−−−−− √ a=aτ2+an2.

Metode za određivanje kretanja tačke

Možete koristiti jednu od sljedeća tri metoda da odredite kretanje točke:

1) vektor, 2) koordinatni, 3) prirodni.

1. Vektorska metoda za određivanje kretanja tačke.

Pusti poentu M kreće se u odnosu na neki referentni okvir Oxyz. Položaj ove tačke u bilo kom trenutku može se odrediti postavljanjem njenog radijus vektora povučenog iz ishodišta O upravo M(Sl. 3).

Fig.3

Kada se tačka pomeri M vektor će se vremenom mijenjati i po apsolutnoj vrijednosti i po smjeru. Dakle, je promjenjivi vektor (vektor funkcije) ovisno o argumentu t:

Jednakost definira zakon kretanja točke u vektorskom obliku, budući da vam omogućava da konstruirate odgovarajući vektor u bilo kojem trenutku i pronađete položaj pokretne tačke.

Lokus krajeva vektora, tj. hodograph ovog vektora određuje putanju pokretne tačke.

2. Metoda koordinata za određivanje kretanja tačke.

Položaj tačke može se direktno odrediti njenim kartezijanskim koordinatama x, y, z(Sl. 3), koji će se, kada se tačka pomeri, vremenom menjati. Poznavati zakon kretanja tačke, tj. svoj položaj u prostoru u bilo kojem trenutku vremena, potrebno je znati vrijednosti koordinata tačke za svaki trenutak vremena, tj. poznaju zavisnosti

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Jednačine su jednačine kretanja tačke u pravougaoniku Kartezijanske koordinate. Oni određuju zakon kretanja tačke u koordinatni način zadaci kretanja.

Da bi se dobila jednačina putanje, potrebno je isključiti parametar t iz jednačina kretanja.

Lako je uspostaviti odnos između vektorske i koordinatne metode definisanja kretanja.

Vektor razlažemo na komponente duž koordinatnih osa:

gdje je r x , r y , r z - vektorske projekcije na osu; – jedinični vektori usmjereni duž osa, orths osi.

S obzirom da je početak vektora u početku, projekcije vektora će biti jednake koordinatama tačke M. Zbog toga

Ako je kretanje tačke navedeno u polarne koordinate

r=r(t), φ = φ(t),

gdje je r polarni radijus, φ je ugao između polarnu os i polarni radijus, onda ove jednačine izražavaju jednačinu putanje tačke. Eliminacijom parametra t dobijamo

r = r(φ).

Primjer 1 Kretanje tačke je dato jednačinama

Fig.4

Da biste isključili vrijeme, parametar t, nalazimo iz prve jednačine sin2t=x/2, iz druge cos2t=y/3. Zatim ga kvadriramo i dodajemo. Budući da je sin 2 2t+cos 2 2t=1, dobijamo . Ovo je jednačina elipse sa poluosama od 2 cm i 3 cm (slika 4).

Početni položaj tačke M 0 (kada t\u003d 0) određen je koordinatama x 0 = 0, y 0 = 3 cm.

Nakon 1 sek. tačka će biti na poziciji M 1 sa koordinatama

x 1 = 2sin2 = 2 ∙ 0,91 = 1,82 cm, y 1 = 2cos2=3 ∙ (-0,42) = -1,25 cm.

Bilješka.

Kretanje tačke može se odrediti i pomoću drugih koordinata. Na primjer, cilindrični ili sferni. Među njima će biti ne samo linearne dimenzije, već i uglovi. Ako je potrebno, možete se upoznati sa zadatkom kretanja po cilindričnim i sfernim koordinatama iz udžbenika.

3. Prirodan način za određivanje kretanja tačke.

Sl.5

Pogodno je koristiti prirodni način specificiranja kretanja u slučajevima kada je putanja pokretne tačke poznata unaprijed. Pustite krivu AB je putanja tačke M kada se pomera u odnosu na referentni sistem Oxyz(sl.5) Odaberimo neku fiksnu tačku na ovoj putanji O", koji ćemo uzeti kao ishodište, i postaviti pozitivne i negativne referentne smjerove na putanji (kao na koordinatnoj osi).

Zatim pozicija tačke M na trajektoriji će biti jednoznačno određena krivolinijskom koordinatom s, što je jednako udaljenosti od tačke o' do tačke M mjereno duž luka putanje i uzeto sa odgovarajućim predznakom. Prilikom pomicanja dot M prelazi na pozicije M 1 , M 2 ,... . dakle udaljenost sće se vremenom promijeniti.

Da znate poziciju tačke M na putanji u bilo kom trenutku, morate znati zavisnost

Jednačina izražava zakon kretanja tačke M duž putanje. Funkcija s= f(t) mora biti jednoznačna, kontinuirana i diferencibilna.

Za pozitivan smjer reference koordinate luka s uzima se smjer kretanja točke u trenutku kada zauzima položaj O. Treba imati na umu da jednadžba s = f (t) ne određuje zakon kretanje tačke u prostoru, jer da biste odredili položaj tačke u prostoru, morate znati više putanju tačke sa početnim položajem tačke na njoj i fiksnim pozitivnim smerom. Dakle, smatra se da je kretanje tačke dato na prirodan način, ako su putanja i jednačina (ili zakon) kretanja tačke duž putanje poznati.

Važno je napomenuti da je lučna koordinata tačke s različita od putanje σ koju prolazi tačka duž putanje. Tokom svog kretanja, tačka prolazi određenu putanju σ, koja je funkcija vremena t. Međutim, pređeni put σ se poklapa sa udaljenosti s samo kada se funkcija s = f(t) monotono mijenja s vremenom, tj. kada se tačka kreće u istom pravcu. Pretpostavimo da tačka M ide od M 1 do M 2 . Položaj tačke u M 1 odgovara vremenu t 1 , a pozicija tačke u M 2 odgovara vremenu t 2 . Razložimo vremenski interval t 2 - t 1 na vrlo male vremenske intervale ∆t 1 (i = 1,2, …n) tako da se u svakom od njih tačka kreće u jednom smjeru. Označimo odgovarajući prirast koordinata luka kao ∆s i . Putanja σ koju pređe tačka bit će pozitivna vrijednost:

Ako je kretanje tačke dato na koordinatni način, tada se pređena udaljenost određuje formulom

gdje je dx=xdt, dy=ydt, dz=zdt.

shodno tome,

Primjer 2 Tačka se kreće pravolinijski, po zakonu s=2t+3 (cm) (sl. 6).

Fig.6

Na početku kretanja, na t=0 s=OM 0 =s 0 =3 cm Položaj tačke M 0 se poziva početni položaj. Pri t=1 s, s=OM 1 =5 cm.

Naravno, za 1 sek. tačka je prešla udaljenost M 0 M 1 = 2 cm, dakle s- ovo nije put koji prelazi tačka, već udaljenost od početka do tačke.

Vektor brzine tačke

Jedna od glavnih kinematičkih karakteristika kretanja tačke je vektorska veličina koja se zove brzina tačke. Koncept brzine tačke u ravnomernom pravolinijskom kretanju jedan je od elementarnih pojmova.

Brzina- mjera mehaničkog stanja tijela. Karakterizira brzinu promjene položaja tijela u odnosu na dati referentni sistem i vektorska je fizička veličina.

Jedinica mjerenja brzine je m/s. Često se koriste i druge jedinice, na primjer, km/h: 1 km/h=1/3,6 m/s.

Kretanje tačke naziva se ravnomerno ako su priraštaji vektora radijusa tačke za iste vremenske intervale jednaki jedan drugom. Ako je putanja tačke prava linija, tada se kretanje tačke naziva pravolinijski.

Za ravnomjerno pravolinijsko kretanje

∆r= v∆t, (1)

gdje v je konstantni vektor.

Vector v naziva se brzina prave i ravnomerno kretanje u potpunosti ga definiše.

Iz relacije (1) se vidi da je brzina pravolinijskog i ravnomjernog kretanja fizička veličina koja određuje kretanje tačke u jedinici vremena. Iz (1) imamo

vektorski pravac v prikazano na sl. 6.1.

Sl.6.1

Kod neravnomjernog kretanja ova formula nije prikladna. Hajde da prvo uvedemo koncept prosečne brzine tačke u nekom vremenskom periodu.

Neka pokretna tačka bude u trenutku t trudna M, određen radijus vektorom , i u trenutku t 1 dolazi u poziciju M 1 određen vektorom (slika 7). Tada je kretanje tačke u vremenskom periodu ∆t=t 1 -t određeno vektorom koji ćemo nazvati vektor kretanja tačke. Iz trougla OMM 1 pokazuje da ; shodno tome,

Rice. 7

Omjer vektora pomaka tačke i odgovarajućeg vremenskog intervala daje vektorsku vrijednost, nazvanu prosječna brzina tačke u apsolutnoj vrijednosti i smjeru u vremenskom intervalu ∆t:

Brzina tačke u datom vremenu t je vektorska veličina v, kojoj teži prosječna brzina v cf kada vremenski interval ∆t teži nuli:

Dakle, vektor brzine tačke u datom trenutku je jednak prvom izvodu vektora radijusa tačke u odnosu na vreme.

Budući da je granični smjer sekansa MM 1 je tangenta, tada je vektor brzine tačke u datom trenutku usmjeren tangencijalno na putanju tačke u smjeru kretanja.

Određivanje brzine tačke koordinatnom metodom zadavanja kretanja

Vektor brzine tačke, s obzirom da je r x =x, r y =y, r z =z, nalazimo:

Dakle, projekcije brzine tačke na koordinatne ose jednake su prvim derivacijama odgovarajućih koordinata tačke u odnosu na vreme.

Poznavajući projekcije brzine, nalazimo njegov modul i smjer (tj. uglove α, β, γ koje vektor v formira sa koordinatnim osa) koristeći formule

Dakle, brojčana vrijednost brzine tačke u datom trenutku jednaka je prvom izvodu udaljenosti (krivolinijska koordinata) s tačke u vremenu.

Vektor brzine je usmjeren duž tangente na putanju, koju znamo unaprijed.

Određivanje brzine tačke prirodnim načinom određivanja kretanja

Vrijednost brzine se može definirati kao granica (∆r je dužina tetive MM 1):

gdje je ∆s dužina luka MM jedan . Prva granica je jednaka jedan, druga granica je izvod ds/dt.

Dakle, brzina tačke je prvi vremenski izvod zakona kretanja:

Vektor brzine je usmjeren, kao što je ranije utvrđeno, tangencijalno na putanju. Ako je vrijednost brzine trenutno veća od nule, tada je vektor brzine usmjeren u pozitivnom smjeru.

Vektor ubrzanja tačke

Ubrzanje- vektorska fizička veličina koja karakteriše brzinu promjene brzine. Pokazuje koliko se brzina tijela mijenja u jedinici vremena.

SI jedinica za ubrzanje je metar u sekundi na kvadrat. na odgovarajući vremenski interval ∆t određuje vektor srednjeg ubrzanja tačke u ovom vremenskom intervalu:

Vektor srednjeg ubrzanja ima isti smjer kao i vektor , tj. usmjerena prema konkavnosti putanje.

Ubrzanje tačke u datom trenutku t naziva se vektorska vrijednost kojoj teži prosječno ubrzanje kada vremenski interval ∆t teži nuli: Vektor ubrzanja tačke u datom trenutku je jednak prvom izvodu vektora brzine ili drugom izvodu polumjera -vektor tačke u odnosu na vrijeme.

Ubrzanje tačke je nula samo kada je brzina tačke v je konstantan i po veličini i po smjeru: ovo odgovara samo pravolinijskom i ravnomjernom kretanju.

Pronađimo kako se vektor nalazi u odnosu na putanju tačke. Kod pravolinijskog kretanja vektor je usmjeren duž prave linije duž koje se tačka kreće. je usmjeren prema udubljenosti putanje i leži u ravni koja prolazi kroz tangentu putanje u tački M i prava paralelna sa tangentom u susjednoj tački M 1 (sl. 8). U granici kada je tačka M teži da M, ova ravan zauzima poziciju takozvane susedne ravni, tj. ravan u kojoj se javlja beskonačno mala rotacija tangente na putanju sa elementarnim pomakom pokretne tačke. Stoga, u opštem slučaju, vektor ubrzanja leži u susednoj ravni i usmeren je prema udubljenosti krive.

Određivanje ubrzanja koordinatnom metodom zadavanja kretanja

Vektor ubrzanja tačke u projekciji na osu dobijamo:

one. projekcije ubrzanja tačke na koordinatne ose jednake su prvim derivacijama projekcija brzine ili drugim derivacijama odgovarajućih koordinata tačke u vremenu. Modul i smjer ubrzanja mogu se naći iz formula

Fig.10

Projekcije ubrzanja a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2 . Budući da je projekcija vektora ubrzanja na os x jednaka je nuli, a na osi y- je negativan, tada je vektor ubrzanja usmjeren vertikalno naniže, a njegova vrijednost je konstantna, ne ovisi o vremenu.

Prvo Arhimedovo otkriće u mehanici bilo je uvođenje koncepta centra gravitacije, tj. dokaz da u bilo kojem tijelu postoji jedna tačka u kojoj se njegova težina može koncentrirati bez narušavanja stanja ravnoteže.

Težište tijela je tačka krutog tijela kroz koju u bilo kojem položaju u prostoru prolazi rezultanta svih sila gravitacije koje djeluju na elementarne mase ovog tijela.

Težište mehaničkog sistema naziva se tačka, u odnosu na koju je ukupni moment gravitacije koji djeluje na sva tijela sistema jednak nuli.

jednostavno rečeno, centar gravitacije- ovo je tačka na koju se primenjuje sila gravitacije, bez obzira na položaj samog tela. Ako je tijelo jednolično, centar gravitacije obično se nalazi u geometrijskom centru tijela. Dakle, centar gravitacije u homogenoj kocki ili homogenoj sferi poklapa se sa geometrijski centar ova tijela.

Ako su dimenzije tijela male u odnosu na polumjer Zemlje, onda možemo pretpostaviti da sile gravitacije svih čestica tijela čine sistem paralelnih sila. Njihova rezultanta se zove gravitacije, a centar ovih paralelnih sila je težište tela.

Koordinate centra gravitacije tijela mogu se odrediti formulama (slika 7.1):

, , ,

gdje - tjelesna težina x i, y i, z i– koordinate elementarne čestice, težina P i;.

Formule za određivanje koordinata težišta tijela su tačne, strogo govoreći, samo kada se tijelo podijeli na beskonačan broj beskonačno malih elementarnih čestica težine P i. Ako je broj čestica na koje je tijelo mentalno podijeljeno konačan, tada će u općem slučaju ove formule biti približne, budući da su koordinate x i , y i , z i u ovom slučaju, oni se mogu odrediti samo s točnošću veličina čestica. Što su ove čestice manje, to ćemo manju grešku napraviti prilikom izračunavanja koordinata težišta. Do tačnih izraza se može doći samo kao rezultat prijelaza do granice, kada veličina svake čestice teži nuli, a njihov broj neograničeno raste. Kao što znate, takva granica se naziva definitivnim integralom. Stoga, stvarno određivanje koordinata težišta tijela u opštem slučaju zahtijeva zamjenu zbira odgovarajućim integralima i primjenu metoda integralnog računa.

Ako je masa unutar krutog tijela ili mehaničkog sistema raspoređena neravnomjerno, tada se težište pomjera na dio gdje je teže.

Težište tijela ne mora uvijek biti čak ni unutar samog tijela. Tako, na primjer, centar gravitacije bumeranga je negdje na sredini između krajeva bumeranga, ali izvan samog tijela bumeranga.

Za osiguranje tereta veoma je važan položaj težišta. U tom trenutku se primjenjuju sile gravitacije i inercijalne sile koje djeluju na teret u procesu kretanja. Što je više težište tijela ili mehaničkog sistema, to je sklonije prevrtanju.

Težište tijela poklapa se sa centrom mase.