I zašto je to potrebno. Već znamo šta su referentni okvir, relativnost kretanja i materijalna tačka. Pa, vrijeme je da krenemo dalje! Ovdje ćemo pregledati osnovne pojmove kinematike, okupiti najkorisnije formule o osnovama kinematike i dati praktičan primjer rješavanja problema.
Hajde da rešimo sledeći problem: Tačka se kreće u krugu poluprečnika 4 metra. Zakon njegovog kretanja izražava se jednačinom S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. U kom trenutku je normalno ubrzanje tačke jednako 9 m/s^2? Pronađite brzinu, tangencijalno i ukupno ubrzanje tačke za ovaj trenutak u vremenu.
Rješenje: znamo da da bismo pronašli brzinu, moramo uzeti prvi vremenski izvod zakona kretanja, a normalno ubrzanje je jednako privatnom kvadratu brzine i polumjera kružnice po kojoj se tačka kreće . Naoružani ovim znanjem, pronalazimo željene vrijednosti.
Trebate pomoć u rješavanju problema? Profesionalni studentski servis je spreman da to pruži.
Kretanje materijalna tačka duž zakrivljene putanje je uvijek ubrzan, jer čak i ako se brzina ne mijenja u brojčanoj vrijednosti, uvijek se mijenja u smjeru.
U opštem slučaju, ubrzanje tokom krivolinijskog kretanja može se predstaviti kao vektorska suma tangencijalno (ili tangencijalno) ubrzanje t i normalno ubrzanje n: =t+n- pirinač. 1.4.
Tangencijalno ubrzanje karakterizira brzinu promjene brzine po modulu. Vrijednost ovog ubrzanja će biti:
Normalno ubrzanje karakterizira brzinu promjene brzine u smjeru. Numerička vrijednost ovog ubrzanja, gdje r- poluprečnik susedne kružnice, tj. kružnica kroz tri beskonačno bliske tačke B¢ , A, B leži na krivini (slika 1.5). Vector n usmjerena duž normale na putanju do centra zakrivljenosti (središte susjedne kružnice).
Numerička vrijednost punog ubrzanja
gdje - ugaona brzina.
gdje je ugaono ubrzanje.
Kutno ubrzanje je numerički jednako promjeni ugaone brzine u jedinici vremena.
U zaključku dajemo tabelu u kojoj je uspostavljena analogija između linearnih i ugaonih kinematičkih parametara kretanja.
Kraj rada -
Ova tema pripada:
Kratki kurs fizike
Ministarstvo obrazovanja i nauke Ukrajine Nacionalna pomorska akademija Odesa.
Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:
Šta ćemo sa primljenim materijalom:
Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:
| tweet |
Sve teme u ovoj sekciji:
Osnovne SI jedinice
Trenutno je općeprihvaćeno Međunarodni sistem jedinice - SI. Ovaj sistem sadrži sedam osnovnih jedinica: metar, kilogram, sekundu, mol, amper, kelvin, kandelu i dvije dodatne -
Mehanika
Mehanika - nauka o mehaničkom kretanju materijalna tela i interakcije koje se odvijaju između njih. Ispod mehaničko kretanje razumiju promjenu u međusobnom seksu tokom vremena
Newtonovi zakoni
Dinamika je grana mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela pod utjecajem sila koje se na njih primjenjuju. Mehanika je zasnovana na Newtonovim zakonima. Prvi Newtonov zakon
Zakon održanja impulsa
Razmotrimo izvođenje zakona održanja impulsa na osnovu Newtonovog drugog i trećeg zakona.
Odnos rada i promjene kinetičke energije
Rice. 3.3 Neka se tijelo mase m kreće duž ose x ispod
Odnos rada i promjene potencijalne energije
Rice. 3.4 Ovu vezu uspostavit ćemo na primjeru rada sile gravitacije
Zakon održanja mehaničke energije
Razmotrimo zatvoreni konzervativni sistem tijela. To znači da vanjske sile ne djeluju na tijela sistema, već unutrašnje sile su inherentno konzervativni. Kompletan mehanički
sudara
Razmotrimo važan slučaj interakcije krutih tijela - sudara. Sudar (udar) je fenomen konačne promjene brzina čvrstih tijela u vrlo kratkim vremenskim periodima kada nisu
Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja
Rice. 4.3 Da bismo izveli ovaj zakon, razmotrimo najjednostavniji slučaj
Zakon održanja ugaonog momenta
Razmotrimo izolovano tijelo, tj. tijelo na koje ne djeluje vanjski moment sile. Tada je Mdt = 0 i (4.5) implicira d(Iw)=0, tj. iw=const. Ako je izolovani sistem
Žiroskop
Žiroskop je simetričan solidan, rotirajući oko ose koja se poklapa sa osom simetrije tela, koja prolazi kroz centar mase i odgovara najvećem unutrašnjem momentu inercije.
Opće karakteristike oscilatornih procesa. Harmonične vibracije
Oscilacije se nazivaju pokreti ili procesi koji imaju jedan ili drugi stepen ponavljanja u vremenu. U tehnici, uređaji koji koriste oscilatorne procese mogu izvoditi op
Oscilacije opružnog klatna
Rice. 6.1 Na kraju opruge fiksiramo tijelo mase m koje može
Energija harmonijskih oscilacija
Razmotrimo sada, na primjeru opružnog klatna, procese promjene energije u harmonijskoj oscilaciji. Očigledno, ukupna energija opružnog klatna je W=Wk+Wp, pri čemu je kinetička
Sabiranje harmonijskih oscilacija istog smjera
Rješenje niza pitanja, posebno sabiranja nekoliko oscilacija istog smjera, uvelike je olakšano ako se oscilacije prikažu grafički, u obliku vektora na ravni. Primio to
prigušene vibracije
U realnim uslovima, u sistemima koji osciluju, uvek postoje sile otpora. Kao rezultat toga, sistem postepeno troši svoju energiju da izvrši rad protiv sila otpora i
Prisilne vibracije
U realnim uslovima oscilirajući sistem postepeno gubi energiju da bi savladao sile trenja, pa su oscilacije prigušene. Da bi oscilacije bile neprigušene potrebno je na neki način
Elastični (mehanički) valovi
Proces širenja poremećaja u tvari ili polju, praćen prijenosom energije, naziva se val. Elastični valovi - proces prostiranja u elastičnom mediju mehanički
Interferencija talasa
Interferencija je fenomen superpozicije talasa iz dva koherentna izvora, što rezultira preraspodjelom intenziteta talasa u prostoru, tj. dolazi do smetnji
stajaći talasi
Poseban slučaj interferencije je formiranje stajaćih talasa. Stojeći talasi nastaju interferencijom dva suprotna koherentna talasa iste amplitude. Takva situacija može
Doplerov efekat u akustici
Zvučni talasi se nazivaju elastičnim talasima sa frekvencijama od 16 do 20.000 Hz, koje percipira ljudsko uho. Zvučni valovi u tekućim i plinovitim medijima su longitudinalni. Tesko
Osnovna jednadžba molekularne kinetičke teorije plinova
Razmotrite idealan plin kao najjednostavniji fizički model. Idealan gas je onaj gas za koji su ispunjeni sledeći uslovi: 1) dimenzije molekula su toliko male da h
Raspodjela brzina molekula
Slika 16.1 Pretpostavimo da smo uspjeli izmjeriti brzine svih
barometrijska formula
Razmotrimo ponašanje idealnog gasa u gravitacionom polju. Kao što znate, kako se dižete sa površine Zemlje, pritisak atmosfere opada. Nađimo zavisnost atmosferskog pritiska od visine
Boltzmannova distribucija
Izrazimo pritisak gasa na visinama h i h0 u smislu odgovarajućeg broja molekula po jedinici zapremine ap u0, uz pretpostavku da je na različitim visinama T=const: P =
Prvi zakon termodinamike i njegova primjena na izoprocese
Prvi zakon termodinamike je generalizacija zakona održanja energije, uzimajući u obzir toplotne procese. Njegova formulacija: količina toplote koja se prenosi na sistem troši se na obavljanje posla
Broj stepeni slobode. Unutrašnja energija idealnog gasa
Broj stupnjeva slobode je broj nezavisnih koordinata koje opisuju kretanje tijela u prostoru. Materijalna tačka ima tri stepena slobode, od kada se kreće u n
adijabatski proces
Adijabatski proces je proces koji se odvija bez razmene toplote sa okolinom. U adijabatskom procesu, dQ = 0, tako da je prvi zakon termodinamike primijenjen na ovaj proces
Reverzibilni i ireverzibilni procesi. Kružni procesi (ciklusi). Princip rada toplotnog motora
Reverzibilni procesi su oni koji zadovoljavaju sljedeće uslove. 1. Nakon prolaska kroz ove procese i vraćanja termodinamičkog sistema u prvobitno stanje u
Carnotov idealan toplotni motor
Rice. 25.1 Godine 1827. francuski vojni inženjer S. Carnot, re
Drugi zakon termodinamike
Prvi zakon termodinamike, koji je generalizacija zakona održanja energije, uzimajući u obzir toplinske procese, ne ukazuje na smjer toka različitih procesa u prirodi. Da, prvi
Nije moguć nijedan proces čiji bi jedini rezultat bio prenos toplote sa hladnog tela na toplo.
U frižideru se toplota prenosi sa hladnog tela (zamrzivača) na toplije. okruženje. Čini se da je to u suprotnosti s drugim zakonom termodinamike. Zapravo protiv
Entropija
Hajde da sada uvedemo novi parametar stanja termodinamičkog sistema - entropiju, koji se suštinski razlikuje od ostalih parametara stanja u pravcu svoje promene. Elementarna izdaja
Diskretno električno punjenje. Zakon održanja električnog naboja
izvor elektrostatičko polje služi kao električni naboj - unutrašnja karakteristika elementarne čestice, koja određuje njenu sposobnost da ulazi u elektromagnetne interakcije.
Energija elektrostatičkog polja
Nađimo prvo energiju nabijenog ravnog kondenzatora. Očigledno, ova energija je numerički jednaka radu koji se mora obaviti da bi se kondenzator ispraznio.
Glavne karakteristike struje
Električna struja je uređeno (usmjereno) kretanje nabijenih čestica. Jačina struje je numerički jednaka naboju koji je prošao poprečni presjek vodiča po jedinici
Ohmov zakon za homogeni dio lanca
Dio kola koji ne sadrži izvor emf naziva se homogenim. Ohm je eksperimentalno utvrdio da je jačina struje u homogenom dijelu kola proporcionalna naponu i obrnuto proporcionalna
Joule-Lenzov zakon
Joule i, nezavisno od njega, Lenz eksperimentalno su ustanovili da je količina toplote koja se oslobađa u provodniku otpora R za vrijeme dt, proporcionalna kvadratu jačine struje, otpora
Kirchhoff pravila
Rice. 39.1 Za proračun složenih jednosmjernih kola, koristite
Razlika potencijala kontakta
Ako se dva različita metalna provodnika dovedu u kontakt, tada se elektroni mogu kretati s jednog vodiča na drugi i natrag. Stanje ravnoteže takvog sistema
Seebeck efekat
Rice. 41.1 U zatvorenom krugu od dva različita metala po g
Peltierov efekat
Drugi termoelektrični fenomen - Peltierov efekat je onaj pri prolasku električna struja kroz kontakt dva različita provodnika, oslobađa ili upija
Brzina. Way.
Neka se materijalna tačka kreće u odabranom CO. Poziva se vektor povučen od početne pozicije tačke do konačne pozicije kreće se(). Tada se zove vektorska veličina prosječna brzina putovanja. Dužina dionice putanje koju prelazi tačka u intervalu naziva se kroz S(). prosječna brzina karakterizira brzinu i smjer kretanja čestica. Prosječna brzina tijela duž putanje karakterizira prosječna brzina tla. Koliko brzo i u kom pravcu se telo kreće u datom trenutku karakteriše t trenutnu brzinu 
. Trenutna brzina tla. Kada je modul trenutne brzine jednak trenutnoj brzini na zemlji, trenutna brzina je uvijek usmjerena tangencijalno na putanju. Za beskonačno mali pomak. Za male intervale se izvodi približno.
Brzina je vektorska veličina, pa se može zapisati kao 
. S druge strane . Dakle, projekcija brzine ... Vrijednost (modul) brzine.
Izraz za brzinu u polarne koordinate(): , . Smjer je zadan kutom ili jediničnim vektorom. Radijus vektor tačke, 
, je jedinični vektor okomit na . 
.
Put koji je prešla čestica od do .
Ubrzanje. Normalna i tangencijalna ubrzanja.
Kada se materijalna tačka kreće, njena brzina se menja i po veličini i po pravcu. Koliko brzo se to dešava u proizvoljnom trenutku karakteriše vektorska veličina ubrzanje. . Projekcija vektora ubrzanja 
…
Razmotrimo kretanje čestice u ravni. Brzina je usmjerena duž tangentne putanje, tako da možemo napisati . Ovdje jedinični vektor specificira smjer tangente, .
Ubrzanje, usmjereno tangencijalno na putanju, određeno brzinom, promjenom veličine brzine ili modula, naziva se tangencijalno ubrzanje.
– normalno ubrzanje(karakterizira brzinu promjene smjera brzine), jedinični je vektor, okomit i usmjeren unutar krive, R je polumjer zakrivljenosti linije.
Njutnov treći zakon. Galilejev princip relativnosti.
Njutnov treći zakon: sile kojima 2 tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini, suprotne po smjeru, leže na istoj pravoj liniji koja prolazi kroz tijela i imaju istu fizičku prirodu.
Tri Newtonova zakona nam omogućavaju da ih riješimo glavni zadatak dinamike: on dodeljene snage, početni položaj i početne brzine tijela, možete odrediti dalje kretanje mehanički sistem. 1. zakon daje kriterijum za pronalaženje ISO; 2. zakon daje dinamičku jednačinu kretanja; 3. zakon omogućava vam da u obzir uzmete sve sile koje djeluju u sistemu. Prilikom prelaska jednog ISO u drugi ISO, brzine se transformišu po zakonu, a ubrzanje - tj. ubrzanje tijela se ne mijenja, kao ni sile, stoga jednačina 2. zakona ostaje nepromijenjena. Dakle, za isto početni uslovi(koordinate i brzine) dobijamo isto rješenje u oba slučaja. Dakle, ISO-i su ekvivalentni.
Galilejev princip relativnosti: sve mehaničke pojave u različitim IFR-ima odvijaju se na isti način pod istim početnim uslovima, usled čega je nemoguće izdvojiti bilo koji IFR kao apsolutno mirujući.
Zakon održanja impulsa.
U mehanici postoje 3 osnovna zakon o konzervaciji(je neka funkcija koordinata brzina i vremena čestica, koja ostaje konstantna tokom kretanja). Zakoni održanja omogućavaju rješavanje problema korištenjem diferencijalnih jednadžbi 1. reda. Vektorska veličina se naziva zamah materijalna tačka (momentum - impuls). Iz 2. Newtonovog zakona proizilazi da je brzina promjene količine gibanja mehaničkog sistema jednaka zbiru vanjskih sila koje djeluju na sistem. N je broj materijalnih tačaka. Sistem na koji ne djeluju vanjske sile naziva se zatvoreno ili izolovano. Za zatvoreni sistem, desna strana jednačine je 0. Dakle, 
. Dobijamo zakon održanja impulsa: Zamah zatvorenog sistema se održava (ne mijenja) s vremenom.
Zakon održanja impulsa je posljedica homogenosti prostora. napomene: 1) Zamah otvorenog sistema će biti sačuvan ako se spoljne sile međusobno kompenzuju, a njihova rezultanta = 0; 2) ako je rezultanta spoljnih sila , ali = 0 njena projekcija na određeni pravac (npr. OX), tada će projekcija količine kretanja na ovaj pravac biti sačuvana; 3) ako su prisutne vanjske sile, ali se razmatra kratkotrajni proces (udar, eksplozija), tada se djelujuće vanjske sile mogu zanemariti i koristiti zakon održanja količine kretanja, , jer dt je mali, tada je impuls vanjskih sila mali i može se zanemariti.
Neka je zadan sistem materijalnih tačaka, sa masama , čiji radijus vektori u odnosu na neki početak O . Tačka C, čiji je radijus vektor određen izrazom, naziva se centar mase, ili centar inercije sistema. Njegov položaj u odnosu na tijela ne zavisi od izbora O. Centar mase brzine 
. ISO povezan sa centrom mase naziva se sistem centra gravitacije.
konzervativne snage.
Interakcija između tijela koja se nalaze na određenoj udaljenosti jedno od drugog vrši se pomoću polja sila stvorenih u cijelom okolnom prostoru. Ako se polje ne promijeni, onda se takvo polje poziva stacionarno. Neka postoji tačka O (centar polja sila) takva da u bilo kojoj tački prostora sila koja deluje na česticu leži na pravoj liniji koja prolazi kroz dati poen prostor i centar moći. Ako modul sila zavisi samo od udaljenosti između ovih tačaka, onda imamo centralno polje sile(npr. Kulonovo polje). Ako je u svim tačkama u prostoru sila ista po veličini i pravcu, onda kažu oko jednolično polje sile. Ako rad koji na čestici vrše sile stacionarnog polja ne zavisi od izbora putanje kretanja, određen je samo početnim i konačnim položajem tela, onda se takvo polje naziva konzervativan.
1) gravitaciono polje se naziva stacionarno homogeno. . Dakle, gravitaciono polje je konzervativno.
2) polje elastične sile. . Dakle, polje elastične sile je konzervativno.
3) Pokažimo da je svako centralno polje sila konzervativno. 
, . . Ovdje je rad određen početnim i krajnjim položajem tačaka, a ne vrstom putanje. Stoga je centralno polje sile konzervativno. Centralne sile su:
1) Kulonova interakcijska sila , .
2) gravitaciona sila interakcije, 
.
Ekvivalentna definicija konzervativnih sila je: sila se zove konzervativan, ako je njegov rad na proizvoljnoj zatvorenoj putanji = 0.
Zadatak 2 tijela.
Zadatak 2 tijela na kretanju izolovanog sistema od 2 materijalne tačke koje međusobno djeluju. Zbog izolacije sistema, njegov impuls je očuvan, a centar mase se kreće konstantnom brzinom u odnosu na referentni okvir K'. Ovo vam omogućava da odete do sistema centra mase (biće inercijalan, kao K'). je radijus vektor u odnosu na . su radijus vektori i u odnosu na C. Sastavljamo sistem: 
. Rješavajući sistem, dobijamo: , . Kretanje tijela je određeno silama , . Uzmite u obzir Newtonov 3. zakon i izotropija prostora(ako rotacija CO pod proizvoljnim uglom ne dovodi do promjene rezultata mjerenja). Dobijamo jednadžbe: 
, 
. Rješavamo, kao rezultat dobijamo: 
.
Centar mase krutog tijela kreće se na isti način kao što bi se kretala materijalna tačka mase m pod djelovanjem svih vanjskih sila koje djeluju na kruto tijelo.
Žiroskopi.
Žiroskop(ili vrh) - masivno čvrsto tijelo, simetrično nekoj osi, rotira oko sebe velikom ugaonom brzinom. Zbog simetrije žiroskopa, . Prilikom pokušaja rotacije rotirajućeg žiroskopa oko određene ose, neko zapaža žiroskopski efekat- pod dejstvom sila koje su, čini se, trebale prouzrokovati rotaciju ose žiroskopa OO oko prave O'O', os žiroskopa rotira oko prave O''O'' (osa OO Pretpostavlja se da prava O'O' leži u ravni crteža, a prava O''O'' i sile f1 i f2 su okomite na ovu ravan). Objašnjenje efekta zasniva se na korištenju jednadžbe momenta. Ugaoni moment rotira oko ose OX zbog relacije . Zajedno sa žiroskopom rotira oko OX. Zbog žiroskopskog djelovanja na ležaj na kojem se žiroskop rotira, oni počinju djelovati žiroskopske sile. Pod dejstvom žiroskopskih sila, os žiroskopa teži da zauzme položaj paralelan sa ugaonom brzinom Zemljine rotacije.
Opisano ponašanje žiroskopa je osnova žiroskopski kompas. Prednosti žiroskopa: pokazuje tačan smjer prema geografskom sjeverni pol, na njegov rad ne utiču metalni predmeti.
Žiro precesija – posebna vrsta Kretanje žiroskopa se odvija ako se moment vanjskih sila koje djeluju na žiroskop, ostajući konstantne veličine, rotira istovremeno s osom žiroskopa, čineći s njom pravi ugao cijelo vrijeme. Razmotrimo kretanje žiroskopa sa jednom fiksnom točkom na osi pod dejstvom gravitacije, je rastojanje od fiksne tačke do centra inercije žiroskopa, je ugao između žiroskopa i vertikale. moment je usmjeren okomito na vertikalnu ravan koja prolazi kroz osu žiroskopa. Jednačina kretanja: prirast momenta = Dakle, mijenja svoj položaj u prostoru na način da njegov kraj opisuje kružnicu u horizontalnoj ravni. Neko vreme se žiroskop okretao pod uglom 
osa žiroskopa opisuje konus oko vertikalne ose sa ugaonom brzinom 
je ugaona brzina precesije.
Harmonične vibracije.
fluktuacije- procesi koje karakteriše različit stepen ponovljivosti u vremenu. U zavisnosti od fizičke prirode procesa koji se ponavlja, razlikuju se oscilacije: mehaničke, elektromagnetne, elektromehaničke i druge. Svi ovi procesi, uprkos njihovoj različitoj fizičkoj prirodi, opisuju se istim matematičkim jednadžbama i imaju niz zajednička svojstva. Zamislite malu kuglicu mase m okačenu na laganu elastičnu oprugu krutosti k. U ravnotežnom položaju (x=0), zbir sila koje djeluju na loptu je 0, tj. . Kada lopta odstupi od ravnotežnog položaja, njeno kretanje će biti opisano jednadžbom: . Zapisujemo jednačinu u sljedećem obliku: . Položaj tijela opisuje se kosinusnom (ili sinusnom) funkcijom, koja se naziva harmonijska, pa se takve oscilacije nazivaju harmonično. – amplituda oscilacije- daje maksimalno odstupanje iz ravnotežnog položaja. - faza oscilovanja - određena je pomakom tijela u datom trenutku. - početna faza. Kosinusna funkcija ima period. To znači da se stanje oscilirajućeg tijela ponavlja kada se faza promijeni za . Poziva se vremenski interval tokom kojeg se faza mijenja period oscilovanja . Period je vrijeme potrebno za jednu potpunu oscilaciju. Frekvencija oscilacije je broj oscilacija u jedinici vremena, 
. 
– kružna (ciklička) frekvencija, tj. broj vibracija u sekundi. Poznavajući početni položaj i brzinu tijela, možemo odrediti amplitudu i početnu fazu: 
.Kretanje tijela prilikom harmonijskog oscilovanja nastaje pod djelovanjem kvazielastična sila: , što je konzervativno, a samim tim i zakon održanja energije , . Prosječna vrijednost kinetičke i potencijalne energije po vremenu: 
.
prigušene vibracije.
U realnim fizičkim sistemima uvijek djeluju sile otpora, zbog čega se amplituda oscilacija s vremenom smanjuje. Razmotrimo kretanje tijela u viskoznoj sredini, kada su sile otpora suprotne brzini tijela: , je koeficijent otpora. . Umjesto toga zamijenite - diferencijalna jednadžba 2. reda se reducira na kvadratnu algebarska jednačina. Oscilatorni proces je moguć ako su sile otpora dovoljno male. To znači da uslov mora biti ispunjen. U ovom slučaju . Stoga će generalno rješenje naše jednadžbe biti funkcija - kinematičkog zakona prigušenih oscilacija. Možemo reći da se harmonijske oscilacije opažaju sa frekvencijom , dok se amplituda oscilacija smanjuje po eksponencijalnom zakonu. Brzina raspada je određena vrijednošću faktor prigušenja. Slabljenje je također karakterizirano dekrement prigušenja, koji pokazuje koliko se puta smanjila amplituda oscilacija tokom vremena jednakog periodu: . Logaritam ovog izraza se zove logaritamski dekrement prigušenja: . U prigušenim sistemima, takva vrijednost se također koristi kao faktor kvaliteta: .
talasna jednačina.
Jednačina bilo kojeg vala je rješenje nekog diferencijalna jednadžba pozvao talas. Na osnovu fizičkih svojstava sredine i osnovnih zakona mehanike, dobijamo talasnu jednačinu iz eksplicitnog izraza za ravan talasnu jednačinu.
Može se napisati:- talasna jednačina. Talasna jednačina će biti zadovoljena bilo kojim talasom proizvoljne frekvencije koji se širi brzinom . odlučan fizička svojstva okruženje. U slučaju ravnog talasa koji se širi u pravcu x, talasna jednačina se piše kao: 
.
Energija elastičnog talasa.
Neka ravno longitudinalni talasširi se u pravcu OX u nekom elastičnom mediju. Njena jednadžba je: Čestice medija, odstupajući od ravnotežnog položaja, kreću se određenim brzinama. Stoga imaju kinetičku i potencijalnu energiju. Izdvojimo cilindrični volumen V u mediju sa površinom baze S i visinom x. Njegova vrijednost je takva da možemo uzeti u obzir brzina čestica i o relativni pomak isto. energija, priloženo u ovoj svesci. Na ovaj način, gustoća energije elastičnog talasa 
. U nju zamjenjujemo jednadžbu ravnih valova, transformiramo i koristimo činjenicu da : . Zatim pronađite sa period-prosečna gustina energije: . Iz izraza za gustinu energije se vidi da se njena vrijednost mijenja s vremenom od 0 do određene maksimalne vrijednosti, što znači da se energija iz izvora oscilacija prenosi valom s jednog mjesta u prostoru na drugo brzinom Talas vrši proces prenošenja energije, ali ne i materije. Prijenos energije se vrši kroz sile elastične interakcije između čestica medija. Količina energije koja se prenese kroz određenu površinu u jedinici vremena naziva se protok energije kroz ovu površinu: . Za detaljniji opis procesa prijenosa energije koristi se vektor gustina energetskog toka. Po veličini, jednak je protoku energije koji se prenosi kroz područje okomito na smjer širenja valova, podijeljenom s površinom ove površine: 
- zadnja stvar - Umov vektor. U pravcu se poklapa sa pravcem širenja talasa. Prosječna 
. Modul ovog izraza se zove intenzitet talasa.
Sabiranje brzina u SRT.
U 19. veku, klasična mehanika se suočila sa problemom proširenja ovog pravila za dodavanje brzina optičkim (elektromagnetnim) procesima. U suštini, došlo je do sukoba između dvije ideje klasične mehanike, prenesene u novo polje elektromagnetnih procesa. Na primjer, ako razmotrimo primjer valova na površini vode iz prethodnog odjeljka i pokušamo ga generalizirati na elektromagnetne valove, onda ćemo dobiti kontradikciju sa zapažanjima (vidi, na primjer, Michelsonov eksperiment). Klasično pravilo za dodavanje brzina odgovara transformaciji koordinata iz jednog sistema osa u drugi sistem, krećući se u odnosu na prvi bez ubrzanja. Ako takvom transformacijom zadržimo koncept istovremenosti, odnosno možemo smatrati da su dva događaja istovremena ne samo kada su registrovani u jednom koordinatnom sistemu, već iu bilo kom drugom inercijskom sistemu, tada se transformacije nazivaju Galilejevi . Osim toga, s Galilejevom transformacijom, prostorna udaljenost između dvije tačke – razlika između njihovih koordinata u jednom IFR-u – uvijek je jednaka njihovoj udaljenosti u drugom inercijskom okviru. Druga ideja je princip relativnosti. Na brodu koji se kreće jednoliko i pravolinijski, nemoguće je detektovati njegovo kretanje nekim unutrašnjim mehaničkim efektima. Proširuje li se ovaj princip na optičke efekte? Zar je nemoguće otkriti apsolutno kretanje sistema optičkim ili, šta je isto, elektrodinamičkim efektima uzrokovanim ovim kretanjem? Intuicija (prilično eksplicitno povezana sa klasičnim principom relativnosti) kaže da se apsolutno kretanje ne može detektovati bilo kojom vrstom posmatranja. Ali ako se svjetlost širi određenom brzinom u odnosu na svaki od pokretnih inercijalnih okvira, tada će se ta brzina promijeniti kada se kreće iz jednog okvira u drugi. Ovo slijedi iz klasičnog pravila za zbrajanje brzina. Matematički govoreći, veličina brzine svjetlosti neće biti nepromjenjiva prema Galilejevim transformacijama. Time se krši princip relativnosti, odnosno ne dozvoljava da se princip relativnosti proširi na optičke procese. Tako je elektrodinamika uništila vezu između dvije naizgled očigledne odredbe klasične fizike - pravila sabiranja brzina i principa relativnosti. Štaviše, ispostavilo se da su ove dvije pozicije primijenjene na elektrodinamiku nespojive. Teorija relativnosti daje odgovor na ovo pitanje. On proširuje koncept principa relativnosti, proširujući ga i na optičke procese. U ovom slučaju, pravilo za sabiranje brzina se uopće ne poništava, već se samo rafinira za velike brzine korištenjem Lorentzove transformacije.
Ako neki objekt ima komponente brzine u odnosu na sistem S i - u odnosu na S", tada postoji sljedeći odnos između njih:
U ovim relacijama, relativna brzina referentnih okvira v je usmjerena duž x ose. Relativističko sabiranje brzina, poput Lorentzove transformacije, pri malim brzinama () ide u klasični zakon sabiranja brzina.
Ako se objekt kreće brzinom svjetlosti duž x-ose u odnosu na sistem S, tada će imati istu brzinu u odnosu na S": . To znači da je brzina nepromjenjiva (ista) u svim IFR-ovima.
barometrijska formula.
Barometrijska formula daje zavisnost atmosferski pritisak od visine mjerene od površine Zemlje. Pretpostavlja se da se temperatura atmosfere ne mijenja sa visinom. Za izvođenje formule biramo vertikalni cilindar: poprečni presjek S. U njemu je dodijeljena mala cilindrična zapremina visine dh. U ravnoteži je: na njega utiču sila gravitacije mg, vertikalno usmerena sila pritiska gasa F1 i vertikalno usmerena sila pritiska F2. Njihov zbir = 0. U projekciji: -mg+ F1-. F2=0 . Iz Clapeyron-Mendeljejevske jednadžbe 
. Integriramo u rasponu od 0 do i dobijamo: - barometrijska formula Koristi se za određivanje visine. Promjene u temperaturi mogu se zanemariti.
pritisak gasa na zidu.
Maxwellova distribucija.
Neka postoji n identičnih molekula u stanju nasumičnog toplotnog kretanja na određenoj temperaturi. Nakon svakog sudara između molekula, njihove brzine se nasumično mijenjaju. Kao rezultat, nezamislivo veliki broj sudara, uspostavlja se stacionarno stanje ravnoteže, kada broj molekula u datom rasponu brzina ostaje konstantan.
Kao rezultat svakog sudara, projekcije brzine molekula doživljavaju nasumične promjene za , , , a promjene u svakoj projekciji brzine su nezavisne jedna od druge. Pretpostavit ćemo da polja sila ne djeluju na čestice. Nađimo pod ovim uslovima koji broj čestica dn od ukupnog broja n ima brzinu u opsegu od υ do υ+Δυ. Istovremeno, ne možemo reći ništa određeno o tačnoj vrijednosti brzine jedne ili druge čestice υi, budući da je nemoguće pratiti sudare i kretanja svakog od molekula ni eksperimentalno ni teoretski. Takve detaljne informacije teško da bi imale praktičnu vrijednost.
Brzina je vektorska veličina. Za projekciju brzine na x-osu (x-ta komponenta brzine), tada imamo 
gdje je A1 konstanta jednaka
Grafički prikaz funkcije prikazan je na slici. Može se vidjeti da udio molekula sa brzinom nije jednak nuli. Na , (u ovom fizičko značenje konstanta A1).
Gornji izraz i grafikon vrijede za raspodjelu molekula plina po komponentama x-brzine. Očigledno, iz y- i z-komponenti brzine, također se može dobiti: 
Verovatnoća da brzina molekula istovremeno zadovoljava tri uslova: x-komponenta brzine leži u opsegu od , do + ,; y-komponenta, u rasponu od do + ; z-komponenta, u rasponu od do +d, bit će jednaka proizvodu vjerovatnoća svakog od uslova (događaja) posebno: 
gdje , ili 
) je broj molekula u paralelepipedu sa stranicama , , d , odnosno u zapremini dV= d koja se nalazi na udaljenosti od početka u prostoru brzina. Ova vrijednost () ne može ovisiti o smjeru vektora brzine. Stoga je potrebno dobiti funkciju raspodjele molekula u smislu brzina, bez obzira na njihov smjer, odnosno u smislu apsolutne vrijednosti brzine. Ako spojimo sve molekule po jedinici zapremine, čije su brzine u rasponu od υ do υ + dυ u svim smjerovima, i pustimo ih van, tada će se za jednu sekundu naći u sfernom sloju debljine dυ i radijus od υ. Ovaj sferni sloj se sastoji od onih paralelepipeda oko kojih 
spomenuto iznad.
Zapremina ovog sfernog sloja je . Ukupan broj molekula u sloju: 
ovo implicira zakon raspodjele molekula po apsolutnim vrijednostima Maxwellovih brzina: 
gdje je udio svih čestica u sfernom sloju zapremine dV čije se brzine nalaze u rasponu od υ do υ+dυ. Za dv = 1 dobijamo gustina vjerovatnoće, ili funkcija raspodjele brzina molekula: 
Ova funkcija označava udio molekula jedinične zapremine gasa čije su apsolutne brzine sadržane u intervalu jedinične brzine uključujući datu brzinu. označiti: 
i dobiti: 
Grafikon ove funkcije prikazan je na slici. To je ono što je Maxwellova distribucija. Ili na drugi način
.
Entropija.
Termodinamička entropija S, često jednostavno nazivan entropijom, u hemiji i termodinamici je funkcija stanja termodinamičkog sistema. Pojam entropije prvi je uveo Rudolf Clausius, koji je definisao promjena entropije termodinamičkog sistema pri reverzibilni proces kao omjer promjene ukupne količine topline ΔQ i vrijednosti apsolutne temperature T (tj. promjene topline pri konstantnoj temperaturi): . Na primjer, na 0 °C, voda može biti unutra tečno stanje a uz blagi vanjski udar, počinje brzo da se pretvara u led, a pritom oslobađa određenu količinu topline. U tom slučaju temperatura tvari ostaje 0 °C. Stanje materije se mijenja, praćeno promjenom topline, zbog promjene strukture.
Ova formula je primjenjiva samo za izotermni proces (koji se odvija na konstantnoj temperaturi). Njegova generalizacija na slučaj proizvoljnog kvazistatičkog procesa izgleda ovako: , gdje je dS prirast (diferencijal) entropije, a δQ je beskonačno mali prirast količine topline. Treba napomenuti da je razmatrana termodinamička definicija primjenjiva samo na kvazi-statički procesi(sastoji se od kontinuirano uzastopnih ravnotežnih stanja).
Entropija je aditivna veličina, tj. Entropija sistema jednaka je zbiru entropija njegovih pojedinačnih delova.
Boltzmann set odnos entropije sa vjerovatnoćom datog stanja. Kasnije je ovaj odnos predstavljen u obliku Plankove formule: 
, gdje se konstanta k = 1,38×10−23 J/K naziva Boltzmannova konstanta od strane Plancka, a Ω je (termodinamička vjerovatnoća) statistička težina stanja, broj mogućih mikrostanja (načina) kojima se može ići do datog makroskopskog stanja. Ovaj postulat, nazvan Boltzmannov princip od strane Alberta Einsteina, doveo je do statističke mehanike, koja opisuje termodinamički sistemi, koristeći statističko ponašanje njihovih sastavnih komponenti. Boltzmanov princip povezuje mikroskopska svojstva sistema (Ω) sa jednim od njegovih termodinamičkih svojstava (S). Entropija je, prema definiciji, funkcija stanja, odnosno ne zavisi od načina na koji se do tog stanja dolazi, već je određena parametrima tog stanja. Pošto Ω može biti samo prirodni broj(1, 2, 3, ...), onda Boltzmannova entropija mora biti nenegativna - na osnovu svojstava logaritma.
Entropija u otvorenim sistemima:
Na osnovu drugog zakona termodinamike, entropija Si zatvorenog sistema ne može da se smanji ( zakon neopadajuće entropije). Matematički, ovo se može napisati na sljedeći način: , indeks i označava takozvanu unutrašnju entropiju koja odgovara zatvorenom sistemu. U otvorenom sistemu toplota teče i iz sistema i u njega. Ako postoji protok toplote, količina toplote δQ1 ulazi u sistem na temperaturi T1, a količina toplote δQ2 odlazi na temperaturi T2. Povećanje entropije povezano sa ovim toplotnim tokovima je: 
U stacionarnim sistemima, obično δQ1 = δQ2, T1 > T2, tako da je dSo< 0. Поскольку здесь изменение энтропии отрицательно, то часто употребляют выражение «приток негэнтропии», вместо оттока энтропии из системы. Negentropija je stoga definiran kao recipročna vrijednost entropije.
Ukupna promjena entropije otvoreni sistemće biti jednako: dS = dSi + dSo.
Vrste ubrzanja u SRT-u.
Dakle, pokazali smo da postoje dvije vrste mjerljivih brzina. Osim toga, vrlo je zanimljiva i brzina mjerena istim jedinicama. Za male vrijednosti, sve ove brzine su jednake.
Koliko ima ubrzanja? Koje bi ubrzanje trebalo biti konstantno ravnomerno ubrzano kretanje relativističke rakete, tako da astronaut uvek deluje istom silom na pod rakete, da ne postane bestežinski, ili da ne umre od preopterećenja?
Uvodimo definicije različite vrste ubrzanja.
Koordinatno-koordinatno ubrzanje d v/dt je promjena koordinatna brzina, mjereno sinkronizirano koordinatni sat
d v/dt=d2 r/dt 2 .
Gledajući unaprijed, primjećujemo da d v/dt = 1 d v/dt = g 0 d v/dt.
Koordinate vlastitog ubrzanja d v/dt je promjena koordinata brzina mjerena po sopstveni sat
d v/dt=d(d r/dt)/dt = gd 2 r/dt 2 .
d v/dt = g 1 d v/dt.
Samokoordinatno ubrzanje d b/dt je promjena vlastiti brzina mjerena sinkroniziranim koordinatni sat, postavljen u smjeru kretanja ispitnog tijela:
d b/dt = d(d r/dt)/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt.
Ako v|| d v/dt, zatim d b/dt = g 3 d v/dt.
Ako v okomito na d v/dt, zatim d b/dt=gd v/dt.
Vlastito ubrzanje d b/dt je promjena vlastiti brzina mjerena po sopstveni sat povezano sa pokretnim tijelom:
d b/dt = d(d r/dt)/dt = g 4 v(v d v/dt)/c 2 + g 2 d v/dt.
Ako v|| d v/dt, zatim d b/dt = g 4 d v/dt.
Ako v okomito na d v/dt, zatim d b/dt = g 2 d v/dt.
Upoređujući performanse pri koeficijentu g u četiri tipa ubrzanja napisana iznad, primjećujemo da u ovoj grupi nema člana s koeficijentom g 2 pri paralelnim ubrzanjima. Ali još nismo uzeli derivate brzine. To je i brzina. Uzmimo vremenski izvod brzine koristeći formulu v/c = th(r/c):
dr/dt = (c arth(v/c))" = g 2 dv/dt.
A ako uzmemo dr/dt, dobijamo:
dr/dt = g 3 dv/dt,
ili dr/dt = db/dt.
Stoga imamo dvije mjerljive brzine v I b, i još jednu, nemjerljivu, ali najsimetričniju, brzinu r. I šest vrsta ubrzanja, od kojih su dvije dr/dt i db/dt iste. Koje je od ovih ubrzanja ispravno, tj. osjetio tijelo koje ubrzava?
U nastavku ćemo se vratiti na naše vlastito ubrzanje, ali za sada ćemo saznati kakva je vrsta ubrzanja uključena u drugi Newtonov zakon. Kao što je poznato, u relativističkoj mehanici drugi zakon mehanike, napisan u obliku f=m a, ispostavilo se da nije u redu. Umjesto toga, sila i ubrzanje su povezani jednadžbom
f= m (g 3 v(va)/c 2 + g a),
što je osnova za inženjerske proračune relativističkih akceleratora. Ako uporedimo ovu jednačinu sa upravo dobivenom jednadžbom za ubrzanje d b/dt:
d b/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt,
tada primjećujemo da se razlikuju samo po faktoru m. Odnosno, možete napisati:
f= m d b/dt.
Posljednja jednačina vraća masi status mjere inercije u relativističkoj mehanici. Sila koja djeluje na tijelo proporcionalna je ubrzanju d b/dt. Koeficijent proporcionalnosti je invarijantna masa. Vektori sile f i ubrzanje d b/dt su kosmjerne za bilo koju orijentaciju vektora v I a, ili b i d b/dt.
Formula napisana u terminima ubrzanja d v/dt ne daje takvu proporcionalnost. Sila i koordinatno-koordinatno ubrzanje uglavnom se ne poklapaju u smjeru. Oni će biti paralelni samo u dva slučaja: ako su vektori v i d v/dt su međusobno paralelne i ako su okomite jedna na drugu. Ali u prvom slučaju moć f=mg 3 d v/dt, au drugom - f=mgd v/dt.
Dakle, u Newtonovom zakonu, moramo koristiti ubrzanje d b/dt, tj. promjena vlastiti brzina b, mjereno sinhroniziranim satom.
Možda će se istim uspjehom to i dokazati f= md r/dt, gdje je d r/dt je vektor unutrašnjeg ubrzanja, ali brzina je nemjerljiva vrijednost, iako se lako izračunava. Da li će vektorska jednakost biti tačna, ne mogu reći, ali je skalarna jednakost tačna zbog činjenice da je dr/dt=db/dt i f=md b/dt.
Ubrzanje je vrijednost koja karakterizira brzinu promjene brzine.
Na primjer, automobil, udaljavajući se, povećava brzinu kretanja, odnosno kreće se ubrzanim tempom. U početku je njegova brzina nula. Počevši od mirovanja, automobil postepeno ubrzava do određene brzine. Ako se na putu upali crveno svjetlo na semaforu, auto će stati. Ali to neće prestati odmah, već nakon nekog vremena. Odnosno, njegova brzina će se smanjiti na nulu - automobil će se kretati polako dok se potpuno ne zaustavi. Međutim, u fizici ne postoji termin "usporavanje". Ako se tijelo kreće, usporava, onda će to biti i ubrzanje tijela, samo sa znakom minus (kao što se sjećate, brzina je vektorska veličina).
Prosečno ubrzanje
Prosečno ubrzanje> je omjer promjene brzine i vremenskog intervala tokom kojeg se ta promjena dogodila. Prosečno ubrzanje se može odrediti formulom:
gdje - vektor ubrzanja.
Smjer vektora ubrzanja poklapa se sa smjerom promjene brzine Δ = - 0 (ovdje je 0 početna brzina, odnosno brzina kojom je tijelo počelo ubrzavati).
U trenutku t1 (vidi sliku 1.8) tijelo ima brzinu od 0 . U trenutku t2 tijelo ima brzinu . Prema pravilu vektorskog oduzimanja nalazimo vektor promjene brzine Δ = - 0 . Tada se ubrzanje može definirati na sljedeći način:
Rice. 1.8. Prosečno ubrzanje.
u SI jedinica za ubrzanje je 1 metar u sekundi u sekundi (ili metar u sekundi na kvadrat), tj
Metar u sekundi na kvadrat jednak je ubrzanju tačke koja se kreće pravolinijski, pri čemu se u jednoj sekundi brzina ove tačke povećava za 1 m/s. Drugim riječima, ubrzanje određuje koliko se brzina tijela mijenja u jednoj sekundi. Na primjer, ako je ubrzanje 5 m/s 2, to znači da se brzina tijela povećava za 5 m/s svake sekunde.
Instant Boost
Trenutačno ubrzanje tijela (materijalna tačka) u ovom trenutku je fizička količina, jednako granici kojoj teži prosječno ubrzanje kada vremenski interval teži nuli. Drugim riječima, ovo je ubrzanje koje tijelo razvija u vrlo kratkom vremenskom periodu:
Smjer ubrzanja se također poklapa sa smjerom promjene brzine Δ za vrlo male vrijednosti vremenskog intervala tokom kojeg dolazi do promjene brzine. Vektor ubrzanja se može postaviti projekcijama na odgovarajuće koordinatne ose u datom referentnom sistemu (projekcije a X, a Y, a Z).
Sa ubrzanim pravolinijsko kretanje brzina tijela raste u apsolutnoj vrijednosti, tj.
V2 > v1
a smjer vektora ubrzanja poklapa se sa vektorom brzine 2 .
Ako se modulo brzina tijela smanji, tj
V 2< v 1
tada je smjer vektora ubrzanja suprotan smjeru vektora brzine 2 . Drugim riječima, u ovom slučaju, usporavanje, dok će ubrzanje biti negativno (i< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Rice. 1.9. Trenutačno ubrzanje.
Kada se krećete krivolinijskom putanjom, ne mijenja se samo modul brzine, već i njegov smjer. U ovom slučaju, vektor ubrzanja je predstavljen kao dvije komponente (pogledajte sljedeći odjeljak).
Tangencijalno ubrzanje
Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje je komponenta vektora ubrzanja usmjerena duž tangente na putanju u datoj tački putanje. Tangencijalno ubrzanje karakterizira promjenu brzine po modulu tokom krivolinijskog kretanja.
Rice. 1.10. tangencijalno ubrzanje.
Smjer vektora tangencijalnog ubrzanja τ (vidi sliku 1.10) poklapa se sa smjerom linearna brzina ili suprotno od toga. To jest, tangencijalni vektor ubrzanja leži na istoj osi kao i tangentni krug, što je putanja tijela.
Normalno ubrzanje
Normalno ubrzanje je komponenta vektora ubrzanja usmjerena duž normale na putanju kretanja u datoj tački na putanji kretanja tijela. Odnosno, vektor normalnog ubrzanja je okomit na linearnu brzinu kretanja (vidi sliku 1.10). Normalno ubrzanje karakterizira promjenu brzine u smjeru i označava se slovom n. Vektor normalnog ubrzanja usmjeren je duž radijusa zakrivljenosti putanje.
Puno ubrzanje
Puno ubrzanje u krivolinijskom kretanju, sastoji se od tangencijalnog i normalnog ubrzanja duž pravilo vektorskog sabiranja a određuje se formulom:
(prema Pitagorinoj teoremi za pravougaoni pravougaonik).
Određuje se i smjer punog ubrzanja pravilo vektorskog sabiranja:
= τ + nUbrzanje razgradnje a (t) (\displaystyle \mathbf (a) (t)\ \ ) u tangencijalnu i normalnu a n (\displaystyle \mathbf (a) _(n)); (τ (\displaystyle \mathbf (\tau) )- jedinični tangentni vektor).
Tangencijalno ubrzanje- komponenta ubrzanja usmjerena tangencijalno na putanju kretanja. Karakterizira promjenu modula brzine, za razliku od normalne komponente, koja karakterizira promjenu smjera brzine. Tangencijalno ubrzanje je jednako proizvodu jedinični vektor, usmjeren u odnosu na brzinu kretanja, na derivaciju modula brzine u odnosu na vrijeme. Dakle, on je usmjeren u istom smjeru kao i vektor brzine za vrijeme ubrzanog kretanja (pozitivni izvod) i u suprotnom smjeru za vrijeme usporenog kretanja (negativan izvod).
Obično se označava simbolom odabranim za ubrzanje, uz dodatak indeksa koji označava tangencijalnu komponentu: a τ (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau )\ \ ) ili a t (\displaystyle \mathbf (a) _(t)\ \ ), w τ (\displaystyle \mathbf (w) _(\tau )\ \ ),u τ (\displaystyle \mathbf (u) _(\tau )\ \ ) itd.
Ponekad se ne koristi vektorski oblik, već skalarni oblik - a τ (\displaystyle a_(\tau )\ \ ), označavajući projekciju vektora punog ubrzanja na jedinični vektor tangente na putanju, što odgovara koeficijentu ekspanzije u pratećoj bazi .
Encyclopedic YouTube
-
1 / 5
Vrijednost tangencijalnog ubrzanja kao projekcije vektora ubrzanja na tangentu putanje može se izraziti na sljedeći način:
a τ = d v d t , (\displaystyle a_(\tau )=(\frac (dv)(dt)),)gdje v = d l / d t (\displaystyle v\ =dl/dt)- prizemna brzina duž putanje, koja se poklapa sa apsolutnom vrijednošću trenutne brzine u datom trenutku.
Ako koristimo notaciju za jedinični tangentni vektor e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )\ ), tada možemo zapisati tangencijalno ubrzanje u vektorskom obliku:
a τ = d v d t e τ . (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau )=(\frac (dv)(dt))\mathbf (e) _(\tau ).)Izlaz
Zaključak 1
Izraz za tangencijalno ubrzanje može se naći diferenciranjem s obzirom na vrijeme vektora brzine predstavljenog kao v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) kroz jedinični tangentni vektor e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )):
a = dvdt = d (ve τ) dt = dvdte τ + vde τ dt = dvdte τ + vde τ dldldt = dvdte τ + v 2 R en , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\,\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d ) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\ mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))= (\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ,)gdje je prvi član tangencijalno ubrzanje, a drugi normalno ubrzanje.
Ovdje koristimo notaciju e n (\displaystyle e_(n)\ ) za jedinični vektor normale na putanju i l (\displaystyle l\ )- za trenutnu dužinu putanje ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); posljednja tranzicija također koristi očigledno
d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )i, iz geometrijskih razmatranja,
d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).)Zaključak 2
Ako je putanja glatka (što se pretpostavlja), tada:
Oba proizlaze iz činjenice da ugao vektora prema tangenti neće biti niži od prvog reda u . Iz ovoga odmah slijedi tražena formula.
Manje strogo govoreći, projekcija v (\displaystyle \mathbf (v) \ ) na tangentu na malom d t (\displaystyle dt\ )će se skoro poklopiti sa dužinom vektora v (\displaystyle \mathbf (v) \ ), budući da je ugao odstupanja ovog vektora od tangente na malom d t (\displaystyle dt\ ) je uvijek mali, što znači da se kosinus ovog ugla može smatrati jednakim jedan.
Napomene
Apsolutna vrijednost tangencijalnog ubrzanja ovisi samo o ubrzanju tla, što se poklapa s njegovom apsolutnom vrijednošću, za razliku od apsolutne vrijednosti normalnog ubrzanja, koje ne ovisi o ubrzanju tla, već ovisi o brzini tla.