Slobodne oscilacije sistema sa distribuiranim parametrima
Glavna karakteristika procesa slobodne vibracije sistema sa beskonačnim brojem stepeni slobode izražava se beskonačnim brojem prirodnih frekvencija i modova vibracija. Ovo je takođe povezano sa karakteristikama matematičke prirode: umesto običnim diferencijalnim jednačinama koje opisuju oscilacije sistema sa konačnim brojem stepeni slobode, ovde se treba baviti parcijalnim diferencijalnim jednačinama. Pored početnih uslova koji određuju početne pomake i brzine, potrebno je uzeti u obzir i početne uslove granični uslovi karakterizira fiksiranje sistema.
6.1. Uzdužne vibracije šipki
Prilikom analize uzdužnih vibracija pravolinijskog štapa (Sl. 67, a), pretpostavit ćemo da poprečni presjeci ostaju ravni i da se čestice štapa ne pomiču poprečno, već se kreću samo u uzdužnom smjeru.
Neka bude u - uzdužni pomak strujnog presjeka šipke tokom vibracija; ovaj pomak zavisi od lokacije presjeka (x koordinate) i od vremena t. Dakle, postoji funkcija dvije varijable; njegova definicija je glavni zadatak. Pomak beskonačno bliskog presjeka je jednak, dakle, apsolutno izduženje beskonačno malog elementa je jednako (slika 67,b), a njegovo relativno izduženje je .
U skladu s tim, uzdužna sila u presjeku sa koordinatom X može se napisati u obliku
,(173)
gdje je vlačna (tlačna) krutost štapa. Sila N je također funkcija dvaju argumenata - koordinata X i vrijeme t.
Razmotrimo element štapa koji se nalazi između dva beskonačno bliska dijela (slika 67, c). Na lijevu stranu elementa primjenjuje se sila N, a na desnu stranu. Ako je označeno gustinom materijala štapa, tada je masa elementa koji se razmatra je . Dakle, jednadžba kretanja u projekciji na osu X
,
Uzimajući u obzir(173) i pretpostavivši A= const , dobijamo
Prateći Furijeovu metodu, tražimo posebno rješenje diferencijalne jednadžbe (175) u obliku
,(177)
one. Pretpostavimo da se kreće u može se predstaviti kao proizvod dvije funkcije, od kojih jedna ovisi samo o argumentu X, a drugi samo iz argumenta t . Zatim, umjesto definiranja funkcije dvije varijable u (x, t), potrebno je definirati dvije funkcije X(x) i T(t), od kojih svaka ovisi samo o jednoj varijabli.
Zamjenom (177) u (174) dobijamo
gdje prosti brojevi označavaju operaciju diferencijacije u odnosu na x, i tačke na t. Zapišimo ovu jednačinu ovako:
Ovdje lijeva strana zavisi samo od x, a desna samo od t. Za identično ispunjenje ove jednakosti (za bilo koje x i t ) potrebno je da svaki njegov dio bude jednak konstanti, koju označavamo sa:
; .(178)
Iz ovoga slijede dvije jednadžbe:
;
.(179)
Prva jednadžba ima rješenje:
,(180)
što ukazuje na oscilatorni karakter, a iz (180) je jasno da nepoznata veličina ima značenje frekvencije slobodnih oscilacija.
Druga jednačina (179) ima rješenje:
,(181)
određivanje oblika vibracija.
Jednačina frekvencije koja određuje vrijednost , kompajlira se korištenjem graničnih uvjeta. Ova jednadžba je uvijek transcendentna i ima beskonačan broj korijena. Dakle, broj prirodnih frekvencija je beskonačan, a svaka vrijednost frekvencije odgovara vlastitoj funkciji T n (t ), određenoj ovisnošću (180), i vlastitoj funkciji Xn (x ), određenoj ovisnošću (181). Rješenje (177) je samo djelomično i ne daje potpuni opis kretanja. Kompletno rješenje se dobija superponiranjem svih pojedinačnih rješenja:
.
Pozivaju se funkcije X n (x ). vlastite funkcije zadataka i opisuju vlastite načine osciliranja. One ne zavise od početnih uslova i zadovoljavaju uslov ortogonalnosti, koji za A=const ima oblik
, ako .
Razmotrimo neke varijante graničnih uslova.
Fiksni kraj šipke(Sl. 68, a). U krajnjem dijelu, pomak u mora biti jednak nuli; stoga slijedi da u ovom dijelu
X=0(182)
Slobodan kraj šipke(Sl. 68b). U krajnjem dijelu, uzdužna sila
(183)
mora biti identično jednak nuli, što je moguće ako je X"=0 u krajnjem dijelu.
elastično fiksiran kraj šipke(Sl. 68, c).
Prilikom kretanja u krajnje šipke dolazi do elastične reakcije oslonca 
, gdje je C o - krutost oslonca. Uzimajući u obzir (183) za uzdužnu silu, dobijamo granični uslov
ako se oslonac nalazi na lijevom kraju šipke (Sl. 68, c), i
ako se oslonac nalazi na desnom kraju šipke (Sl. 68, d).
Koncentrisana masa na kraju štapa.
Sila inercije koju razvija masa:
.
Budući da, prema prvoj od jednadžbi (179), , tada se sila inercije može zapisati kao . Dobijamo granični uslov
,
ako je masa na lijevom kraju (sl. 68, e), i
, (184)
ako je masa spojena na desni kraj (sl. 68, f).
Odredimo prirodne frekvencije konzolne šipke (slika 68, a").
Prema (182) i (183), granični uslovi
X=0 pri x=0;
X"=0 kada x= .
Zamjenjujući ove uslove jedan po jedan u rješenje (181), dobijamo
Uslov C0 dovodi do frekvencijske jednačine:
Korijeni ove jednadžbe
(n=1,2,…)
odrediti prirodne frekvencije:
(n=1,2,…).(185)
Prva (najniža) frekvencija na n=1:
.
Druga frekvencija (kada je n=2):
Odredimo prirodne frekvencije štapa sa masom na kraju (Sl. 68, f).
Prema (182) i (184) imamo
X=0 pri x=0;
na x=.
Zamjenom ovih uslova u rješenje (181) dobijamo:
D=0; 
.
Shodno tome, jednačina frekvencije, uzimajući u obzir (176), ima oblik
.
Ovdje je desna strana omjer mase šipke i mase krajnjeg opterećenja.
Za rješavanje rezultirajuće transcendentne jednadžbe potrebno je koristiti neku približnu metodu.
Za i vrijednosti najvažnijeg najnižeg korijena bit će 0,32 odnosno 0,65.
Uz mali odnos, opterećenje ima odlučujući uticaj i dobri rezultati daje približno rješenje
.
Za šipke promjenjivog poprečnog presjeka, tj. na Acconst , iz (173) i (174) jednačina kretanja se dobija u obliku
.
Ova diferencijalna jednadžba se ne može riješiti u zatvorenom obliku. Stoga se u takvim slučajevima mora pribjeći aproksimativnim metodama za određivanje prirodnih frekvencija.
6.2. Torzione vibracije vratila
Torzione vibracije osovine s kontinuirano raspoređenom masom (Sl. 69, a) opisane su jednadžbama koje se strukturno potpuno podudaraju s jednadžbama uzdužnih vibracija šipki datim gore.
Moment M u presjeku sa apscisom X je povezan s kutom rotacije diferencijalnom ovisnošću sličnom (173):
gdje Jp je polarni moment inercije poprečnog presjeka.
U dijelu na udaljenosti dx, obrtni moment je (slika 69, b):
Označavajući kroz (gdje je gustina materijala osovine) intenzitet momenta inercije mase osovine u odnosu na njegovu osu (tj. momenta inercije jedinične dužine), jednadžba gibanja elementarnog presjeka osovine osovina se može napisati na sljedeći način:
,
ili kao (174):
.
Zamjenjujući izraz (186) ovdje, sa Jp=const dobijamo, slično kao (175):
, (187)
Opće rješenje jednačine (187), kao i jednačine (175), ima oblik
,
(188)
Vlastite frekvencije i vlastite funkcije određene su specifičnim graničnim uvjetima.
U glavnim slučajevima pričvršćivanja krajeva, slično kao kod uzdužnih vibracija, dobijamo
a) fiksni kraj (=0): X=0;
b) slobodni kraj (M=0): X"=0;
u) elastično fiksiran lijevi kraj: SoH=GJpX" (koeficijent krutosti);
G) elastično fiksiran desni kraj: -CoX=GJpX ";
e) disk na lijevom kraju: 
(Jo je moment inercije diska u odnosu na osu štapa);
f) disk na desnom kraju: 
.
Ako je osovina fiksirana na lijevom kraju (x=0), a desni kraj (x= ) je slobodan, tada je X=0 na x=0 i X"=0 na x=; prirodne frekvencije se određuju slično (185 ):
(n=1,2,…).
Ako je lijevi kraj fiksiran, a na desnom je disk, dobijamo transcendentnu jednačinu:
.
Ako su oba kraja osovine fiksirana, tada će granični uvjeti biti X=0 na x=0 i x= . U ovom slučaju iz (188) dobijamo
one.
(n=1,2,…),
odavde nalazimo prirodne frekvencije:
Ako je lijevi kraj osovine slobodan, a na desnom je disk, tada je X"=0 na x=0; Jo X=GJpX" na x=.
Koristeći (188), nalazimo
C=0; 
,
ili jednadžba transcendentalne frekvencije:
.
6.3 Savojne vibracije greda
6.3.1 Osnovna jednadžba
Iz toka otpora materijala poznate su diferencijalne zavisnosti za savijajuće grede:
gdje je EJ - krutost na savijanje; y \u003d y (x, t) - otklon; M=M(x, t) - moment savijanja; q je intenzitet raspoređenog opterećenja.
Kombinujući (189) i (190), dobijamo
.(191)
U problemu slobodnih oscilacija, opterećenje za elastični kostur su distribuirane sile inercije:
gdje je m intenzitet mase zraka (masa po jedinici dužine), a jednačina (191) postaje
.
U posebnom slučaju konstantnog poprečnog presjeka, kada je EJ = const, m = const, imamo:
.(192)
Za rješavanje jednačine (192), pretpostavljamo, kao što je gore navedeno,
y=X( x )× T( t ).(193)
Zamjenom (193) u (192) dolazimo do jednačine:
.
Da bi ova jednakost bila identična, potrebno je da svaki od dijelova jednakosti bude konstantan. Označavajući ovu konstantu sa , dobijamo dve jednačine:
.(195)
Prva jednadžba pokazuje da je kretanje oscilatorno sa frekvencijom.
Druga jednačina definira oblik oscilacija. Rješenje jednadžbe (195) sadrži četiri konstante i ima oblik
Pogodno je koristiti varijantu pisanja općeg rješenja koje je predložio A.N. Krylov:
(198)
su funkcije A.N.Krylova.
Obratimo pažnju na činjenicu da je S=1, T=U=V=0 na x=0. S,T,U,V funkcije su međusobno povezani na sljedeći način:
Stoga su derivatni izrazi (197) zapisani u obliku
(200)
U problemima klase koja se razmatra, broj sopstvenih frekvencija je beskonačno velik; svaka od njih ima svoju vremensku funkciju T n i svoju osnovnu funkciju X n . Opće rješenje se dobiva nametanjem parcijalnih rješenja oblika (193)
.(201)
Da bi se odredile prirodne frekvencije i formule, potrebno je uzeti u obzir granične uslove.
6.3.2. Granični uslovi
Za svaki kraj šipke mogu se specificirati dva granična uvjeta .
Slobodan kraj šipke(Sl. 70, a). Poprečna sila Q=EJX"""T i moment savijanja M=EJX""T jednaki su nuli. Prema tome, granični uslovi imaju oblik
X""=0; X"""=0 .(202)
Preklopni kraj šipke(Sl. 70b). Otklon y=XT i moment savijanja M=EJX""T jednaki su nuli. Prema tome, granični uslovi su:
X=0 ; X""=0 .(203)
uklješteni kraj(Sl. 70, c). Otklon y=XT i ugao rotacije jednaki su nuli. Granični uslovi:
X=0; X"=0 . (204)
Na kraju štapa nalazi se tačkasta masa(Sl. 70d). Njegova snaga inercije 
može se napisati pomoću jednačine (194) na sljedeći način: ; mora biti jednaka poprečnoj sili Q=EJX"""T , tako da granični uslovi imaju oblik
; X""=0 .(205)
U prvom uslovu, znak plus se prihvata u slučaju kada je tačkasti uteg spojen na lijevi kraj štapa, a znak minus kada je spojen na desni kraj štapa. Drugi uslov proizlazi iz odsustva momenta savijanja.
Elastično podržan kraj šipke(Sl. 70, e). Ovdje je moment savijanja jednak nuli, a poprečna sila Q=EJX"""T jednaka je reakciji oslonca 
(C o -koeficijent krutosti oslonca).
Granični uslovi:
X""=0 ; (206)
(znak minus se uzima kada je elastični oslonac lijevi, a znak plus kada je desni).
6.3.3. Frekvencijska jednačina i svojstveni oblici
Prošireni zapis graničnih uslova dovodi do homogenih jednačina za konstante C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Da ove konstante ne bi bile jednake nuli, determinanta sastavljena od koeficijenata sistema mora biti jednaka nuli; ovo dovodi do frekvencijske jednačine. U toku ovih operacija otkrivaju se odnosi između C 1 , C 2 , C 3 , C 4, tj. određuju se sopstveni modovi oscilacija (do konstantnog faktora).
Pratimo kompilaciju frekvencijskih jednačina koristeći primjere.
Za gredu sa zglobnim krajevima prema (203) imamo sljedeće granične uslove: X=0; X""=0 kada je x=0 i x= . Uz pomoć (197)-(200) iz prva dva uslova dobijamo: C 1 =C 3 =0. Preostala dva uslova mogu se zapisati kao
Da C 2 i C 4 ne bi bili jednaki nuli, determinanta mora biti jednaka nuli:
.
Dakle, jednadžba frekvencija ima oblik
.
Zamjenom izraza T i U dobijamo
Budući da je , tada se konačna frekvencijska jednačina piše na sljedeći način:
. (207)
Korijeni ove jednadžbe su:
,(n=1,2,3,...).
Uzimajući u obzir (196), dobijamo
.(208)
Idemo dalje na definiranje vlastitih oblika. Iz gore napisanih homogenih jednadžbi slijedi sljedeća relacija između konstanti C 2 i C 4:
.
Prema tome, (197) poprima oblik
Prema (207), imamo
,(209)
gdje je nova konstanta, čija vrijednost ostaje neodređena sve dok se početni uslovi ne uvedu u razmatranje.
6.3.4. Definicija kretanja po početnim uslovima
Ako je potrebno odrediti kretanje nakon početne perturbacije, tada je potrebno specificirati i početne pomake i početne brzine za sve tačke grede:
(210)
i koristi svojstvo ortogonalnosti vlastitih oblika:
.
Opće rješenje (201) pišemo na sljedeći način:
.(211)
Brzina je određena izrazom
.(212)
Zamjenom u desnim dijelovima jednadžbi (211) i (212) , au lijevim dijelovima - pretpostavljenim poznatim početnim pomacima i brzinama, dobijamo
.
Pomnožimo ove izraze sa i integrišemo po cijeloj dužini, imamo
(213)
Beskonačne sume na desnim stranama su nestale zbog svojstva ortogonalnosti. Iz (213) slijede formule za konstante i
(214)
Sada se ovi rezultati moraju zamijeniti u rješenje (211).
Ponovo naglašavamo da izbor skale odgovarajućih oblika nije bitan. Ako, na primjer, u izrazu vlastitog oblika (209) umjesto toga uzmemo vrijednost koja je puta veća, tada će (214) dati rezultate koji su puta manji; nakon zamjene u rješenje (211), ove razlike jedna drugu poništavaju. Ipak, često se koriste normalizirane vlastite funkcije, birajući njihovu skalu tako da su nazivnici izraza (214) jednaki jedan, što pojednostavljuje izraze i .
6.3.5. Utjecaj stalne uzdužne sile
Razmotrimo slučaj kada oscilirajući snop doživljava djelovanje uzdužne sile N, čija se vrijednost ne mijenja tokom procesa oscilovanja. U ovom slučaju, jednadžba statičke savijanja postaje složenija i poprima oblik (pod pretpostavkom da se tlačna sila smatra pozitivnom)
.
Uz pretpostavku i pretpostavku da je krutost konstantna, dobijamo jednačinu slobodnih vibracija
.(215)
Još uvijek uzimamo određeno rješenje u obliku
Tada se jednačina (215) dijeli na dvije jednačine:
Prva jednadžba izražava oscilatornu prirodu rješenja, druga određuje oblik oscilacija, a također vam omogućava da pronađete frekvencije. Hajde da to prepišemo ovako:
(216)
gdje K određuje se formulom (196), i
Rješenje jednačine (216) ima oblik
Razmotrite slučaj kada oba kraja šipke imaju šarke. Uslovi na lijevom kraju 
dati . Zadovoljavanje istih uslova na pravom kraju, dobijamo
Izjednačavajući sa nulom determinantu, sastavljenu od koeficijenata na vrijednostima i , dolazimo do jednačine
Korijeni ove frekvencijske jednačine su:
Stoga se prirodna frekvencija određuje iz jednačine
.
Dakle, uzimajući u obzir (217), nalazimo
.(219)
Kada se rastegne, frekvencija se povećava, kada se kompresuje, smanjuje. Kada se tlačna sila N približi kritičnoj vrijednosti, korijen teži nuli.
6.3.6. Utjecaj lančanih sila
Ranije se smatralo da je uzdužna sila data i nezavisna od pomaka sistema. U nekim praktičnim problemima, uzdužna sila koja prati proces poprečnih vibracija nastaje zbog savijanja grede i u prirodi je reakcije oslonca. Razmotrimo, na primjer, gredu na dva zglobno fiksirana nosača. Kada je savijen, dolazi do horizontalnih reakcija nosača, što uzrokuje rastezanje grede; naziva se odgovarajuća horizontalna sila lančana sila. Ako greda pravi poprečne vibracije, tada će se sila lanca mijenjati s vremenom.
Ako je u trenutku t progib grede određen funkcijom , tada se izduženje ose može naći po formuli
.
Odgovarajuća lančana sila može se pronaći pomoću Hookeovog zakona
.
Ovaj rezultat zamjenjujemo u (215) umjesto uzdužne sile N (uzimajući u obzir predznak)
.(220)
Rezultirajuća nelinearna integro-diferencijalni jednadžba se pojednostavljuje zamjenom
,(221)
gdje je bezdimenzionalna funkcija vremena, maksimalna vrijednost koji se može postaviti jednakim bilo kojem broju, na primjer, jedan; amplituda oscilacije.
Zamjenom (221) u (220) dobijamo običnu diferencijalnu jednačinu
,(222)
čiji koeficijenti imaju sljedeće vrijednosti:
;.
Diferencijalna jednadžba (222) je nelinearna, pa frekvencija slobodnih oscilacija zavisi od njihove amplitude.
Tačno rješenje za frekvenciju poprečnih vibracija ima oblik
gdje je frekvencija poprečnih oscilacija, izračunata bez uzimanja u obzir lančanih sila; faktor korekcije u zavisnosti od odnosa amplitude oscilovanja i poluprečnika rotacije poprečnog preseka; vrijednost je data u referentnoj literaturi.
Kada su amplituda i radijus rotacije poprečnog presjeka uporedivi, korekcija frekvencije postaje značajna. Ako je, na primjer, amplituda oscilovanja štapa kružnog poprečnog presjeka jednaka njegovom promjeru, tada je , a frekvencija je gotovo dva puta veća nego u slučaju slobodnog pomaka nosača.
Slučaj odgovara nultoj vrijednosti radijusa inercije, kada je krutost grede na savijanje nestajuća mala - struna. U ovom slučaju, formula za daje nesigurnost. Otkrivajući ovu nesigurnost, dobijamo formulu za frekvenciju vibracija strune
.
Ova formula se odnosi na slučaj kada je napetost nula u ravnotežnom položaju. Problem vibracija strune često se postavlja pod drugim pretpostavkama: pretpostavlja se da su pomaci mali, a zatezna sila je data i ostaje nepromijenjena tijekom vibracija.
U ovom slučaju, formula za frekvenciju ima oblik
gdje je N konstantna vlačna sila.
6.4. Utjecaj viskoznog trenja
Prethodno se pretpostavljalo da je materijal šipki idealno elastičan i da nema trenja. Razmotrite efekat unutrašnjeg trenja, pod pretpostavkom da je viskozno; tada se odnos između napona i deformacija opisuje relacijama
;
.(223)
Neka štap sa raspoređenim parametrima izvodi slobodne uzdužne vibracije. U ovom slučaju, uzdužna sila će biti zapisana u obliku
Iz jednačine kretanja štapnog elementa dobijena je relacija (174).
Zamjenom (224) ovdje dolazimo do glavne diferencijalne jednačine
,(225)
koji se od (175) razlikuje po drugom članu, koji izražava uticaj sila viskoznog trenja.
Prateći Fourierovu metodu, tražimo rješenje jednačine (225) u obliku
,(226)
gdje je funkcija samo x koordinate, a funkcija samo vrijeme t.
U ovom slučaju, svaki član niza mora zadovoljiti granične uslove problema, a cijeli zbir također mora zadovoljiti početne uslove. Zamjena (226) u (225) i zahtijevanje da jednakost bude zadovoljena za bilo koji broj r, dobijamo
,(227)
gdje prosti brojevi označavaju diferencijaciju u odnosu na koordinatu x, a tačke su diferencijacija u odnosu na vrijeme t.
Dijeljenje (227) sa proizvodom 
, dolazimo do jednakosti
,(228)
leva strana, koja može zavisiti samo od koordinata x, a desna - samo od vremena t. Za identično ispunjenje jednakosti (228) potrebno je da oba dijela budu jednaka istoj konstanti, koju označavamo sa .
Iz ovoga slijede jednačine
(229)
.(230)
Jednačina (229) ne zavisi od koeficijenta viskoznosti K i, posebno, ostaje ista u slučaju savršeno elastičnog sistema, kada je . Stoga se brojevi potpuno poklapaju s onima koji su ranije pronađeni; međutim, kao što će biti pokazano u nastavku, vrijednost daje samo približnu vrijednost prirodne frekvencije. Imajte na umu da su svojstveni oblici potpuno nezavisni od viskoznih svojstava štapa, tj. oblici slobodnih prigušenih oscilacija poklapaju se sa oblicima slobodnih neprigušenih oscilacija.
Sada pređimo na jednačinu (230), koja opisuje proces prigušenih oscilacija; njegovo rješenje izgleda
.(233)
Izraz (232) određuje brzinu prigušenja, a (233) određuje frekvenciju oscilovanja.
dakle, kompletno rješenje jednačine problema
.(234)
Konstantan i uvijek se može naći prema datim početnim uslovima. Neka su početni pomaci i početne brzine svih presjeka štapa dati na sljedeći način:
;
,(235)
gdje su i poznate funkcije.
Tada za , prema (211) i (212), imamo
množeći oba dijela ovih jednakosti i integrirajući po cijeloj dužini štapa, dobijamo
(236)
U skladu sa uslovom ortogonalnosti svojstvenih oblika, svi ostali članovi uključeni u desne strane ovih jednakosti nestaju. Sada je lako naći iz jednakosti (236) za bilo koji broj r.
Uzimajući u obzir (232) i (234), primjećujemo da što je veći broj modusa vibracija, to je brže njegovo prigušivanje. Osim toga, pojmovi u (234) opisuju prigušene oscilacije ako postoji realan broj. Iz (233) se može vidjeti da se to događa samo za nekoliko početnih vrijednosti r sve dok je nejednakost
Za dovoljno velike vrijednosti r nejednakost (237) je narušena i količina postaje imaginarna. U ovom slučaju, odgovarajući članovi općeg rješenja (234) više neće opisivati prigušene oscilacije, već će predstavljati aperiodično prigušeno kretanje. Drugim riječima, fluktuacije, u uobičajenom smislu riječi, izražavaju samo neki konačni dio zbira (234).
Svi ovi kvalitativni zaključci odnose se ne samo na slučaj uzdužnih vibracija, već i na slučajeve torzijskih i savijajućih vibracija.
6.5. Vibracije šipki promjenjivog poprečnog presjeka
U onim slučajevima kada su raspoređena masa i poprečni presjek štapa promjenjivi duž njegove dužine, umjesto jednačine uzdužnih vibracija (175) treba poći od jednačine
.(238)
Jednačinu torzionih vibracija (187) treba zamijeniti jednadžbom
,(239)
a jednadžbu poprečnih oscilacija (192) - po jednačini
.(240)
Jednadžbe (238)-(240) uz pomoć supstitucija istog tipa ;; mogu se svesti na obične diferencijalne jednadžbe za funkciju
1Predložena je frekventna metoda za rješavanje problema uzdužnih vibracija šipki stepenasto promjenjivog poprečnog presjeka, sa ili bez uzimanja u obzir disipacije energije pri udaru o krutu prepreku. Jednačina uzdužnih vibracija štapa se transformiše prema Laplaceu u prisustvu početnih uslova koji nisu nula. riješeno problem graničnih vrijednosti, koji se sastoji u pronalaženju Laplace-transformiranih uzdužnih sila ruba kao funkcije pomaka rubova. Zatim se sastavlja sistem jednadžbi za ravnotežu čvorova, čijim se rešavanjem grade amplitudno-fazno-frekventne karakteristike (APFC) za preseke štapa od interesa. Izvođenjem inverzne Laplaceove transformacije konstruiše se prolazni proces. Kao testni primjer razmatra se šipka konstantnog presjeka konačne dužine. Dato je poređenje sa poznatim talasnim rešenjem. Predložena metoda za dinamički proračun štapa u sudaru sa krutom preprekom omogućava generalizacije na proizvoljan sistem štapa u prisustvu neograničenog broja elastično vezanih masa, sa proizvoljnom silom primijenjenom na krajevima i duž dužine šipke. rod.
frekvencijska metoda
uzdužne vibracije štapa
1. Biderman, V.L. Primijenjena teorija mehaničke vibracije/ V.L. Biderman. – M.: postdiplomske škole, 1972. - 416 str.
2. Lavrentiev, M.A. Metode teorije funkcija kompleksne varijable / M.A. Lavrentijev, B.V. Šabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 str.
3. Sankin, Yu.N. Dinamičke karakteristike viskoelastičnih sistema sa distribuiranim parametrima / Yu.N. Sankin. - Saratov: Izdavačka kuća Sarat. un-ta, 1977. - 312 str.
4. Sankin, Yu.N. Nestacionarne vibracije štapnih sistema u sudaru sa preprekom / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; ispod totala ed. Yu.N. Sankin. - Uljanovsk: UlGTU, 2010. - 174 str.
5. Sankin, Y.N. Uzdužne vibracije elastičnih šipki promjenjivog poprečnog presjeka pri sudaru sa krutom preprekom \ Yu. N. Sankin i N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, br. 3, str. 427-433, 2001.
Razmotrimo frekvencijsku metodu za rješavanje problema uzdužnih vibracija šipki stepenasto promjenjivog poprečnog presjeka, sa ili bez uzimanja u obzir disipacije energije pri udaru o krutu prepreku, koju ćemo uporediti sa poznatim valnim rješenjem i rješenjem u obliku niza modova vibracija (14) .
Diferencijalna jednadžba uzdužnih vibracija štapa, uzimajući u obzir sile unutrašnjeg otpora, ima oblik:
Postavimo sljedeće granične i početne uslove:
. (2)
Transformirajmo jednačinu (1) i granične uslove (2) prema Laplaceu za dato početni uslovi(2). Tada će jednačina (2) i granični uslovi (2) biti zapisani na sljedeći način:
; (3)
,
gdje su Laplace-transformirani pomaci točaka štapa; p je parametar Laplaceove transformacije.
Jednačina (3) bez uzimanja u obzir disipacije energije (at = 0) će poprimiti oblik:
. (4)
Za rezultirajuću nehomogenu diferencijalnu jednadžbu riješen je granični problem koji se sastoji u pronalaženju Laplace-transformiranih uzdužnih sila ruba kao funkcije pomaka rubova.
Za ovo razmatramo homogenu jednadžbu uzdužnih vibracija štapa, uzimajući u obzir disipaciju energije
(5)
označavajući
i prelazeći na novu promenljivu, dobijamo umesto (5)
(6)
Ako je, gdje je parametar frekvencije, onda
.
Odluka homogena jednačina(6) ima oblik:
Konstante integracije c1 i c2 nalaze se iz početnih uslova:
u = u0 ; N = N0,
One. 
;
Ovo rješenje odgovara sljedećoj matrici prijenosa:
. (7)
Zamjenom dobijenih izraza za elemente matrice prijenosa u formule metode pomaka, dobijamo:
;
(8)
;
Indeksi n i k označavaju početak i kraj preseka štapa, respektivno. A geometrijske i fizičke konstante s indeksima nk i kn odnose se na određeni dio štapa.
Razbijajući štap na elemente, koristeći formule (8), sastavit ćemo jednadžbe dinamičke ravnoteže čvorova. Ove jednadžbe su sistem jednadžbi za nepoznate pomake čvorova. Pošto se odgovarajući koeficijenti dobijaju tačnim integrisanjem, dužina preseka štapa nije ograničena.
Rješavajući rezultujući sistem jednačina za , gradimo amplitudsko-fazno-frekventne karakteristike za presjeke štapa koji nas zanimaju. Ovi AFC se mogu posmatrati kao grafička slika jednostrane Fourierove transformacije, koja se poklapa sa Laplaceovom transformacijom pod impulsivnim radnjama. Kako sve singularne tačke odgovarajućih izraza leže lijevo od imaginarne ose, inverzna transformacija se može izvesti postavljanjem , tj. koristeći konstruisani AFC. Zadatak konstruisanja AFC-a, gde se polje početnih brzina pomnoženo sa gustinom štapa pojavljuje kao sila, je pomoćni. Obično se AFC konstruišu na osnovu uticaja remetalnih sila, zatim se inverzna Laplasova transformacija izvodi numeričkom integracijom ili na neki drugi način.
Kao jednostavan primjer, uzmimo ravan štap dužine l, koji se uzdužno sudara sa krutom preprekom brzinom V0 (slika 1).
Odredimo pomak tačaka štapa nakon udara. Pretpostavljamo da se nakon udara održava kontakt između prepreke i štapa, tj. ne dolazi do odskoka štapa. Ako je veza nezadrživa, onda se problem može smatrati komadno linearnim. Kriterijum za prelazak na drugo rješenje je promjena predznaka brzine u tački kontakta.
U monografiji Lavrentieva M.A., Shabat B.V. dato je valno rješenje jednadžbe (4):
i pronašao svoj original
, (9)
gdje je funkcija jediničnog koraka.
Drugi pristup rješavanju ovog problema može se provesti frekvencijskom metodom opisanom u . Za ovaj problem imaćemo:
; 
;
; ;
; 
;
. (10)
Nađimo original (11)
Rešimo isti problem na frekvencijski način. Iz jednadžbe ravnoteže 1. čvora:
(12)
dobijamo formulu za pomeranje kraja štapa.
Sada, ako se ispitni štap konstantnog poprečnog presjeka podijeli na dva proizvoljna dijela dužine l1 i l2 (vidi sliku 1), tada će uslovi za ravnotežu čvorova biti sljedeći:
(13)
Kao rezultat rješavanja sistema (13) dobijamo grafike faznog odziva za pomake u 1. i 2. presjeku (U1 i U2, respektivno). Dakle, slika za pomak ivice u zatvorenom obliku, uzimajući u obzir disipaciju energije, u slučaju (12) i (13) se poklapa i ima oblik:
. (14)
Provjerimo podudarnost rezultata na kraju štapa. Na sl. Na slici 2 prikazani su grafovi rješenja (10) za x = l0.1 i kao rezultat rješavanja sistema (13). Savršeno se slažu.
Diskretna Fourierova transformacija se može koristiti za dobijanje prelaznog procesa. Rezultat se može dobiti izvođenjem numeričke integracije pri t=0… po formuli
. (15)
Na AFC-u (vidi sliku 2), samo jedan vidljivi kalem se značajno manifestuje. Dakle, treba uzeti jedan član niza (15). Iz grafikona na slici 3. može se vidjeti koliko se rješenje (9) i rješenje prema modovima oscilacija (11) tačno poklapaju sa predloženim frekventnim rješenjem. Greška ne prelazi 18%. Nastala neslaganja se objašnjava činjenicom da rješenja (9) i (11) ne uzimaju u obzir disipaciju energije u materijalu štapa.
Rice. 3. Prolazni proces za kraj štapa; 1, 2, 3 - grafovi konstruisani prema formulama (9), (11), (15), respektivno.
kao više složen primjer Razmotrimo problem uzdužnih vibracija stepenastog štapa (slika 4) sa opterećenjem na kraju, sudarajući se sa krutom preprekom brzinom V0, i neka je masa tereta jednaka masi susjednog presjeka. štapa:.
Rice. 4. Proračunska shema uzdužnih vibracija stepenaste šipke sa opterećenjem na kraju
Uvodimo karakteristične presjeke 1,2,3 štapa, u kojima ćemo izračunati pomake. Sastavljamo sistem rješavanja jednačina:
(16)
Kao rezultat rješavanja sistema (16), dobijamo AFC grafike (slika 5) za pomake u drugom i trećem presjeku (U2 () i U3 (), respektivno. Proračuni su rađeni sa sljedećim vrijednostima konstanti: l = 2 m; E = 2,1×1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. Na dobijenim AFC-ima samo dva vidljiva zavoja se značajno pokazuju. Stoga, pri konstruisanju prelaznog procesa u odabranim presecima, uzimamo dva člana serije (16). Da biste to učinili, prvo morate definirati
Rice. Slika 5. AFC pomaka u drugom i trećem dijelu stepenastog štapa (vidi sliku 4)
Slično, prema formuli (15) se konstruiše prolazni proces.
Zaključak: razvijena je metoda za proračun uzdužnih vibracija štapova pri udaru o prepreku.
Recenzenti:
Lebedev A.M., doktor tehničkih nauka, vanredni profesor, profesor Visoke škole Uljanovsk škola vazduhoplovstva(Institut), Uljanovsk.
Antonets I.V., doktor tehničkih nauka, profesor države Uljanovsk tehnički univerzitet, Uljanovsk.
Bibliografska veza
Yuganova N.A. UZDUŽNE VIBRACIJE ŠTAPOVA U SUDARU SA KRUGIM PREPREKAMA // Contemporary Issues nauke i obrazovanja. - 2014. - br. 2.;URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (datum pristupa: 15.01.2020.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Academy of Natural History"
U ovom dijelu ćemo razmotriti problem uzdužnih vibracija homogene šipke. Štap je tijelo cilindričnog (posebno prizmatičnog) oblika, za rastezanje ili sabijanje na koje se mora primijeniti poznata sila. Pretpostavićemo da sve sile deluju duž ose štapa i da se svaki od poprečnih preseka štapa (slika 23) kreće translaciono samo duž ose štapa.
Ova pretpostavka je obično opravdana ako su poprečne dimenzije štapa male u odnosu na njegovu dužinu, a sile koje djeluju duž ose štapa relativno male. U praksi se uzdužne vibracije najčešće javljaju kada se šipka prvo lagano rastegne ili, obrnuto, stisne, a zatim prepusti sama sebi. U tom slučaju u njemu nastaju slobodne uzdužne vibracije. Hajde da izvedemo jednačine za ove oscilacije.
Usmjerimo osu apscise duž ose štapa (slika 23); u mirovanju, krajevi štapa imaju apscise, respektivno. - njegova apscisa miruje.
Pomak ovog odsjeka u bilo kojem trenutku t će biti okarakterisan funkcijom da bismo pronašli koju moramo sastaviti diferencijalnu jednačinu. Prije svega, nalazimo relativno izduženje presjeka štapa omeđenog presjecima ako je apscisa presjeka u mirovanju višeg reda jednaki
Dakle, relativno izduženje štapa u presjeku sa apscisom u trenutku t je jednako
Uz pretpostavku da su sile koje uzrokuju ovo izduživanje pokorava Hookeovom zakonu, nalazimo veličinu sile zatezanja T koja djeluje na poprečni presjek:
(5.2)
gdje je površina poprečnog presjeka štapa, a modul elastičnosti (Youngov modul) materijala štapa. Formula (5.2) treba da bude dobro poznata čitaocu iz toka čvrstoće materijala.
Prema tome, sila koja djeluje na presjek je jednaka
Budući da sile zamjenjuju djelovanje odbačenih dijelova štapa, njihova rezultanta je jednaka razlici
S obzirom na odabrani dio štapa materijalna tačka sa masom , gdje je nasipna gustina štapa, i primjenom drugog Newtonovog zakona na njega sastavljamo jednačinu
Smanjenjem i uvođenjem oznake, dobijamo diferencijalnu jednadžbu slobodnih uzdužnih vibracija štapa
Ako dodatno pretpostavimo da se na štap primjenjuje vanjska sila izračunata po jedinici volumena i koja djeluje duž ose štapa, tada će se desnoj strani relacije (5 3) dodati član i jednačina (5.4) će uzeti formu
što se tačno poklapa sa jednačinom prinudnih vibracija strune.
Pređimo sada na utvrđivanje početnih i graničnih uslova problema i razmotrimo najzanimljiviji slučaj u praksi, kada je jedan kraj štapa fiksiran, a drugi slobodan.
Na slobodnom kraju, granični uvjet će imati drugačiji oblik. Jer na ovom kraju spoljne sile su odsutne, tada sila T koja djeluje u presjeku također mora biti jednaka nuli, tj.
Oscilacije nastaju jer je u početnom trenutku štap deformisan (rastegnut ili sabijen) i određene početne brzine date su tačkama štapa. Stoga moramo znati pomake poprečnih presjeka štapa u ovom trenutku
kao i početne brzine tačaka štapa
Dakle, problem slobodnih uzdužnih vibracija štapa fiksiranog na jednom kraju, nastalih zbog početne kompresije ili napetosti, doveo nas je do jednačine
sa početnim uslovima
i granični uslovi
To je posljednji uslov koji sa matematičke tačke gledišta razlikuje problem koji se razmatra od problema vibracija žice pričvršćene na oba kraja.
Formulirani problem ćemo riješiti Furijeovom metodom, odnosno pronaći pojedina rješenja jednadžbe koja zadovoljavaju granične uslove (5.8), u obliku
Budući da je dalji tok rješenja analogan onom već opisanom u § 3, ograničavamo se na kratke naznake. Diferenciranjem funkcije, zamjenom rezultirajućih izraza u (5.6) i odvajanjem varijabli, dobijamo
(Ostavljamo čitaocu da sam utvrdi da, zbog graničnih uslova, konstanta na desnoj strani ne može biti pozitivan broj ili nula.) Opšte rješenje jednačine ima oblik
Zbog uslova nametnutih funkciji, imat ćemo
Rješenja koja nisu identično jednaka nuli dobiće se samo ako je ispunjen uslov, tj. za , gdje k može uzeti vrijednosti
Dakle, sopstvene vrijednosti problema su brojevi
Svaki ima svoju funkciju
Kao što već znamo, množenjem bilo koje od sopstvenih funkcija sa proizvoljnom konstantom, dobićemo rešenje jednačine sa postavljenim graničnim uslovima. Lako je provjeriti da, davanjem negativnih vrijednosti broju k, nećemo dobiti nove svojstvene funkcije (na primjer, kada dobijemo funkciju koja se razlikuje od svojstvene funkcije) samo u znaku),
Dokažimo prvo da su svojstvene funkcije (5.11) ortogonalne u intervalu . Zaista, kod
Ako onda
Ortogonalnost svojstvenih funkcija je moguće dokazati i na drugi način, ne oslanjajući se na njihove eksplicitne izraze, već koristeći samo diferencijalnu jednadžbu i granične uslove. Neka i budu dva različita sopstvene vrijednosti, i jesu vlastite funkcije koje im odgovaraju. Po definiciji, ove funkcije zadovoljavaju jednačine
i ivičnim uslovima. Pomnožite prvu od jednačina drugom sa i oduzmite jednu od druge.
> Longitudinalni talasi
Naučite širenje, smjer i brzinu longitudinalni talas: koji su valovi longitudinalni, kako se šire, primjeri i fluktuacije, kako nastaju, grafikon.
Ponekad se longitudinalni valovi nazivaju kompresijskim valovima. osciliraju u smjeru širenja.
Zadatak učenja
- Odrediti svojstva i primjere tipa longitudinalnog talasa.
Ključne točke
- Oscilacije uzdužnih talasa vrše se u pravcu prostiranja, ali su premale i imaju ravnotežne položaje, tako da ne pomeraju masu.
- Ovaj tip se može smatrati impulsima koji prenose energiju duž ose propagacije.
- Oni se takođe mogu percipirati kao talasi pritiska sa karakterističnom kompresijom i razrjeđivanjem.
Uslovi
- Razrjeđivanje je smanjenje gustine materijala (prvenstveno za tekućinu).
- Uzdužno - u smjeru dužine ose.
- Kompresija je povećanje gustine.
Primjer
Šta su longitudinalni talasi? Najbolji primjer je zvučni val. On prihvata impulse koji nastaju kompresijom zraka.
Longitudinalni talasi
U smjeru vibracije, uzdužni valovi se poklapaju sa smjerom kretanja. Odnosno, kretanje medija se nalazi u istom smjeru kao i kretanje valova. Neki longitudinalni valovi se također nazivaju kompresijski. Ako želite eksperimentirati, onda samo uzmite Slinky igračku (oprugu) i držite je na oba kraja. U trenutku kompresije i slabljenja, impuls će se pomaknuti do kraja.
Komprimirani Slinky je primjer longitudinalnog vala. Proširuje se u istom smjeru kao i vibracije
Uzdužno (kao i poprečno) ne pomjeraju masu. Razlika je u tome što je svaka čestica u mediju kroz koji se širi longitudinalni talas, osciliraće duž ose propagacije. Ako razmišljate o Slinkyju, onda zavojnice osciliraju u tačkama, ali se neće kretati duž dužine opruge. Ne zaboravite da se ovdje ne prenosi masa, već energija u obliku impulsa.
U nekim slučajevima takvi talasi deluju kao talasi pritiska. Zvuk je odličan primjer. Nastaju kada se medij (najčešće zrak) sabije. Longitudinalni zvučni valovi - naizmjenična odstupanja tlaka od uravnoteženog tlaka, što dovodi do lokalnih područja kompresije i razrjeđivanja.
Materija u medijumu se periodično pomera zvučnim talasom i osciluje. Da biste proizveli zvuk, morate komprimirati čestice zraka do određene količine. Tako nastaju poprečni talasi. Uši osetljivo reaguju na različite pritiske i prevode talase u tonove.
Pod šipkom podrazumijevamo cilindar P=0h[O, /], kada ja" diamD. Evo D- područje uključeno koordinatnu ravan Oh 2 x 3 (sl. 62). Materijal štapa je homogen i izotropan, a os Ox prolazi kroz težište presjeka D. Polje vanjskih tjelesnih sila f(r, ja)\u003d / (X |, /) e, gdje je e jedinični vektor ose Ox. Neka su vanjske površinske sile na bočnoj površini cilindra jednake nuli, tj. Ra= 0 uključeno dd X
Tada iz (4.8) slijedi za 1=0 jednakost
Vlastiti obrasci X k(j) zgodno je normalizirati korištenjem norme prostora /^() kojem funkcija pripada v(s, I), budući da u svakom trenutku vremena postoji i ograničeno je funkcionalnom kinetičkom energijom
gdje S- područje regije D. Imamo
X*(s) = Jj- sin^-l u prostoru brzina R 0 = ji)(s, /): v(s,t)e
Kao rezultat, dobijamo ortonormalnu bazu |l r *(^)| ,
gdje b do „- Kronecker simbol: funkcije X k *(s), k= 1,2, su normalni oblici prirodnih oscilacija, a u*, k= 1, 2, ..., - frekvencije prirodnih oscilacija sistema sa beskonačnim brojem stepeni slobode.
U zaključku, napominjemo da funkcija u(s, /) pripada konfiguracijskom prostoru sistema H, = (v(s, t): v(s, t) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) \u003d 0), gdje je U ^ "OO, /]) Sobolevljev prostor funkcija zbrojenih zajedno s kvadratima prvih derivacija na segmentu. Prostor R, je domen definicije funkcionalne potencijalne energije elastičnih deformacija
i sadrži generalizirana rješenja problema koji se razmatra.