Karakterističan i minimalni polinom. Karakteristični polinom i karakteristični brojevi matrice

Neka se da kvadratna matrica red n. Karakteristična matrica matrice A zove se matrica

=pri čemu varijabla λ uzima bilo koju numeričku vrijednost.

Odrednica ׀https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_113.gif" width="153" height="75 src="> matrice je polinom n-. stepen od λ. Ovaj polinom se naziva karakterističnim polinomom matrice ALI, jednadžba =0 je njena karakteristična jednadžba, a njeni korijeni https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> se nazivaju bilo koji nenula vektor X, koji zadovoljava uslov https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> je broj.

Broj se naziva vlastitom vrijednošću transformacije https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75"> (*)

Ako je vlastita vrijednost poznata λ , zatim svi svojstveni vektori matrice ALI koji pripadaju ovoj svojstvenoj vrijednosti nalaze se kao rješenja ovog sistema različita od nule. S druge strane, ovaj homogeni sistem sa kvadratnom matricom A–λE ima rješenja različita od nule X ako i samo ako je determinanta matrice ovog sistema jednaka nuli i λ pripada razmatranom polju R. Ali ovo znači to λ je korijen karakterističnog polinoma i pripada polju R. Dakle, karakteristični brojevi matrice koji pripadaju glavnom polju, i samo oni, su njene vlastite vrijednosti. Za pronalaženje svih svojstvenih vrijednosti matrice ALI potrebno je pronaći sve njegove karakteristične brojeve i odabrati samo one koji pripadaju glavnom polju R, i pronaći sve svojstvene vektore matrice ALI treba pronaći sve ne-nula sistemska rješenja (*) za svaku svojstvenu vrijednost λ matrice ALI.

Primjer 1 Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore realne matrice .

Rješenje. Karakteristični polinom matrice ALI izgleda kao:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(multiply (2)th kolona po broju (-2) i dodajte so (1m stupac) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(multiply (1)th kolona po broju (-1) i dodajte so (3m kolona) = =(množi (1)th red po broj (2) i dodajte so (2)th string) = =(množi (2)th kolona po broju (-2) i dodajte so (3m kolona) =
.

Dakle, karakteristični polinom ima korijene λ1=6, λ2=λ3= – 3. Svi su realni i stoga su vlastite vrijednosti matrice ALI.

Za λ=6 sistem ( A–λE)H=0 ima oblik https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src = ">.

Njegovo generalno rješenje je X=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, daje opšti oblik matrični sopstveni vektori ALI pripada vlastitoj vrijednosti λ= – 3.

Neka bude ALI- kvadratna realna ili kompleksna matrica n-tog reda. Matrix

pri čemu varijabla A uzima bilo koju numeričku vrijednost, poziva se karakteristična matrica matrice ALI. Njena odrednica

je polinom u varijabli L stepena P. Ovaj polinom se zove karakteristični polinom matrice ALI.

Da je karakteristični polinom u stvari polinom u varijabli A proizilazi direktno iz definicije determinante. najviši stepen jednako n među svim članovima determinante A - E ima proizvod

Preostali članovi determinante ne sadrže najmanje dva elementa matrice ALI- ALI E sa varijablom A i stoga imaju stepen ne veći od P - 2. Dakle, stepen polinoma je P. Imajte na umu da proizvod (5.9) određuje ne samo stepen karakterističnog polinoma, već i dva njegova člana sa višim stepenima

Slobodni član karakterističnog polinoma poklapa se sa njegovom vrijednošću na A = 0 i jednak je A - ALI E= |A|, tj. matrična determinanta ALI.

Dakle, karakterističan polinom matrice ALI red P ima oblik (vidi , str. 83 i , str. 55):

gdje pk- zbir glavnih minora A>-tog reda matrice ALI, posebno, Pi\u003d ats + "22 + - - + ftnn - zbir elemenata glavne dijagonale matrice ALI, naziva se tragom ove matrice i označava se sa Sp A, r p- determinanta |L| matrice ALI.

Korijeni karakterističnog polinoma |A - XE pozvao karakteristični koreni ili karakteristični brojevi matrice ALI. višestrukost do g karakteristični korijen A* u karakterističnom polinomu naziva se algebarska mnogostrukost ovaj korijen. Skup svih karakterističnih korijena matrice u kojem se svaki karakteristični korijen ponavlja onoliko puta koliko se naziva njegov multiplikat spektar matrice A. Ako su svi karakteristični korijeni matrice jednostavni (tj. imaju jedinični višestrukost), tada se spektar matrice naziva jednostavno.

U skladu s Vietinim formulama, koeficijenti karakterističnog polinoma povezani su s karakterističnim korijenima na sljedeći način:

Iz ovih formula, posebno, slijede često korištene relacije

Prema posljednjoj jednakosti, karakteristični polinom matrice ima nulte karakteristične korijene ako i samo ako je determinanta ove matrice jednaka nuli, tj. kada je matrica degenerisana.

Primjer 5.5. Izračunajte karakteristični polinom matrice

Rješenje. U skladu sa definicijom karakterističnog polinoma dobijamo:

Ako koristimo formulu (5.10), onda prvo nalazimo

a zatim napiši

Za metode za izračunavanje karakterističnog polinoma pogledajte dodatak na kraju knjige.

Teorema 5.7.Karakteristični polinomi sličnih matrica se poklapaju.

> Ako matrice ALI I IN slično, onda za neku nedegenerisanu matricu Q jednakost IN = Q ~ lAQ. shodno tome,

u proizvoljan polinom

umjesto varijable Λ, može se zamijeniti kvadratna matrica ALI red P. Kao rezultat, dobijamo matricu P(A) \u003d u A p + a A p ~ 1 -

N----+ a n _ 1 A + a p E, što se naziva vrijednošću polinoma R( L)

na L = ALI. Ako za datu matricu ALI istinska jednakost P(A)= O (vrijednost polinoma R( A) na L = ALI je nulta matrica), onda ALI pozvao matrica, korijen polinoma R( A), i sam polinom P(A) - polinom poništen matricom A.

Teorema 5.8. Svaka kvadratna matrica je korijen nekog polinoma različitog od nule.

> Skup svih kvadratnih matrica reda P sa elementima sa terena R iznad je linearni prostor R dimenzije n 2 . U tome linearni prostor bilo koji sistem sa najmanje p 2+1 elemenata, linearno je zavisna. Dakle, sistem A str , A str -1 , ..., ALI, E od n 2 + 1 matrica je linearno zavisna, tj. postoji takav skup brojeva ao, od, ..., a p 2 , koji ne nestaju u isto vrijeme, što zadovoljava jednakost

Ova jednakost znači da je matrica ALI je korijen polinoma

Dokazana teorema zapravo proizlazi iz sljedeće tvrdnje.

Teorema 5.9 (Hamiltonova teorema - Cayley).

Bilo koja kvadratna matrica je korijen njenog karakterističnog polinoma.

Prije dokazivanja ove teoreme uvodimo pojam X-matrice- matrica čiji su elementi polinomi u varijabli A. Bilo koja A-matrica se može predstaviti kao polinom u varijabli A, čiji su koeficijenti kvadratne matrice odgovarajućeg reda. Na primjer,

> Neka ALI je kvadratna matrica reda n. Razmotrite pridruženu matricu OD na matricu A - E. Njegovi elementi su algebarski komplementi elemenata determinante | ALI - E|, koji su polinomi u A stepena ne većeg od P- 1. Kao što je gore navedeno, matrica OD može se predstaviti kao

gdje Ci, S2, ..., C p - neke matrice brojeva. Prema glavnom svojstvu pridružene matrice (vidi Odjeljak 3.C, Korolar 3.2), imamo:

U ovoj jednakosti matricu C zamjenjujemo zbirom (5.11), a karakteristični polinom zbirom (5.10). Tada dobijamo jednakost

Otvarajući zagrade u oba dijela jednakosti i izjednačavajući koeficijente na istim potencijama A, dobijamo sistem iz P+ 1 jednakost:

Prvu jednakost sistema množimo sa A p, drugi - na L p_1, itd., n-e jednakost - na A, (str+ 1)-ta jednakost - na A° = E:

Sabiranjem ovih jednakosti na lijevoj strani dobijamo nultu matricu, a na desnoj strani izraz

Zbog toga f(A) = 0. ?

5.6. Karakterističan i minimalni polinom

Polinom 92(A) minimalnog stepena koji ima vodeći koeficijent jednak jedan i poništava ga matrica ALI, pozvao minimalni polinom ovu matricu.

Teorema 5 . 10 . Svaki polinom koji je poništen matricom A potpuno je djeljiv sa minimalnim polinomom ove matrice. Konkretno, karakteristični polinom matrice je djeljiv sa svojim minimalnim polinomom.

O Podijelite polinom R( K) na minimalni polinom 9?(L) sa ostatkom: R( A) = 99(A) g(A) + r(A), pri čemu polinom r(A) ima stepen manji od 92(A). Zamjena varijable A sa matricom ALI, dobijamo:

Jer P(A)= p(A) = 0 , zatim i G (ALI) = 0 . Ali ova jednakost je moguća samo ako je polinom g(A) null. U suprotnom nastaje kontradikcija sa definicijom minimalnog polinoma. Jednakost G = 0 znači da je polinom R( A) je potpuno djeljiv sa 92(A). ?

Posljedica 5 .1 . Svaki korijen minimalnog polinoma matrice je korijen njegovog karakterističnog polinoma.

O Kao što je utvrđeno u dokazu teoreme, karakteristični polinom /(A) povezan je sa minimalnim polinomom 92(A) jednakošću /(A) = 99(A) q(). Iz ove jednakosti slijedi tvrdnja korolarne. ?

Napomenimo još neke korisne činjenice (vidi [ 7 ], od. 100 ).

Karakteristični polinom | ALI - XE matrice A i njen minimalni polinom 92(A) povezani su relacijom

gdje Dn- 1 je najveći zajednički djelitelj svih minora matrice ALI - ALI E, imajući (n - 1 )th red.

Svi korijeni minimalnog polinoma 92(A) su različiti korijeni karakterističnog polinoma | ALI- ALI E i ako

gdje je 1^ p to ^ t k: k = 1,2

Formula (5.12) omogućava pronalaženje minimalnog polinoma matrice. Drugi način konstruisanja minimalnog polinoma matrice je razmotren u nastavku (vidi Odjeljak 6.5).

Primjer 5.6. Pronađite minimalni polinom matrice

Rješenje. U prethodnim primjerima za matricu ALI pronađen karakteristični polinom A - E\u003d - A 3 + 2 L 2 + L - 2. Zajednički najveći djelitelj D2 svih minora drugog reda matrice

jednaka je jedinici, budući da je njen minor

međusobno jednostavno. Zbog toga

Primjer 5.7. Naći karakteristične i minimalne polinome matrica

Rješenje Za matricu ALI direktnim proračunom determinante nalazimo karakteristični polinom

Ispisujemo sve minore drugog reda matrice ALI - ALI E:

Zajednički najveći djelitelj D2 od svih ovih minora je A - 4. Dakle, minimalni polinom matrice ALI izgleda kao:

primeti, to D2 može se naći drugačije. Zaista, ako je matrica A - E zamijenimo L = 4, onda dobijamo matricu

rang G - 1. Dakle, svi minori drugog reda ove matrice jednaki su nuli. To znači da su svi minori drugog reda matrice ALI - L E su djeljivi sa A - 4, a svi ovi minori se ne mogu podijeliti velikim stepenom binoma A - 4, jer je npr.

je djeljiv samo s prvim stepenom ovog binoma. Prema tome, in? > 2 uključuje faktor A -4 do prvog stepena. Ostali množitelji iz | ALI - A? ^ 1 in?> 2 ne unosite, jer, na primjer, upravo ispisani minor drugog reda nije djeljiv s njima. Dakle, Dg \u003d A - 4.

Za matricu ALI2 također direktnim proračunom determinante nalazimo karakteristični polinom

maloljetnici drugog reda

međusobno jednostavno. Zbog toga D2 = 1 i

Razmatrani primjer pokazuje da različite matrice mogu imati istu karakteristiku, ali različite minimalne polinome.

S obzirom da su matrice datog linearnog operatora u različitim bazama slične i imaju isti karakterističan polinom, logično je ovaj polinom nazvati karakteristični polinom linearnog operatora, i njegove korene karakteristični korijeni linearnog operatora.

Imajte na umu da je transponovana matrica A T ima istu matricu ALI karakteristični polinomi i karakteristični brojevi.

Razmotrimo kvadratnu matricu

Kao što je pokazano (6.1.), sve matrice su slične matrici ALI, tj. sve matrice oblika A*= T -1 AT, gdje T– bilo koja nesingularna matrica (kvadrat), ima istu determinantu | A|=| A*|.

Takve matrice imaju još jednu zajedničku karakteristiku za sve njih.

Zajedno sa matricom ALI razmotriti matricu

koji je formiran od ALI zamjena dijagonalnih elemenata a ij elementi
, gdje – proizvoljan broj. Odrednica ove matrice

je polinom stepena n relativno (koeficijent pri jednako (-1)n). Polinom
naziva se karakterističnim polinomom matrice ALI.

Pokažimo da sve slične matrice imaju isti karakterističan polinom, tj. šta misliš gde A*=T -1 AT.

Da bismo to učinili, koristimo identitet E*= T -1 ET. Zatim, zamjena u matrici
matrice ALI* I E odnosno na T -1 AT I T -1 ET, dobijamo:

Dakle, sve slične matrice imaju isti karakterističan polinom
.

Algebarska jednadžba n th stepen
naziva se karakteristična jednačina matrice ALI, a njegovi korijeni su karakteristični brojevi.

Karakteristična jednačina ima oblik

gdje - trag k matrica -tog reda ALI.

Praćenje k-th red zove zbir mogućih
glavni maloljetnici k-ti red:

Karakteristična jednačina ima n ne nužno različiti korijeni
. Svaki karakterističan korijen odgovara svojstvenom vektoru do konstantnog faktora.

Zbir karakterističnih korijena jednak je tragu matrice ALI:

a proizvod karakterističnih korijena jednak je determinanti matrice ALI:

Broj nenultih korijena poklapa se sa rangom matrice linearnog operatora.

Jedna od metoda za pronalaženje koeficijenata
karakteristična jednačina je Faddejev metoda. Neka je linearni operator dato matricom ALI. Zatim koeficijenti izračunavaju se prema sljedećoj shemi:

Primjer. Nađi svojstvene vrijednosti linearnog operatora , dato matricom

Rješenje. Karakteristična jednačina ima oblik

Kao rezultat, dobijamo sljedeću karakterističnu jednačinu:

ili odakle su sopstvene vrijednosti linearnog operatora .

Hamilton-Cayleyeva teorema. Svaka kvadratna matrica je korijen njenog karakterističnog polinoma.

Dokaz. Razmotrimo polinom

Matrični elementi IN su polinomi iz nema višeg stepena n-1 ). Dakle, matrica IN može se predstaviti u sljedećem obliku:

Izjednačavanje koeficijenata na istim stepenima u oba dijela jednakosti (6.2.4), dobijamo

Jednačine (6.2.5) množimo sa
i sumiramo rezultate:

odakle to sledi
. Teorema je dokazana.

Primjer. Linearni operator dato matricom

Naći
i pokaži to
.

Rješenje. Napravimo matricu

Polinom
ima oblik

6.3. Svojstveni vektor i svojstvena vrijednost linearnog operatora

Pustite u svemir dati linearni operator .

Definicija. Ne-nula vektor
, zadovoljavajući relaciju
, naziva se sopstveni vektor, a odgovarajući broj – svojstvena vrijednost operatora .

Od ovu definiciju slijedi da je slika svojstvenog vektora je kolinearni vektor
.

Uočavamo neka svojstva svojstvenih vektora operatora .

1. Svaki svojstveni vektor odgovara jednoj svojstvenoj vrijednosti. Pretpostavimo suprotno: neka je svojstveni vektor operater odgovaraju dvije vlastite vrijednosti
. To znači da

Ali iz ovoga proizilazi da

Pošto prema uslovu je onda vektor različit od nule
.

2. Ako I su sopstveni vektori operatora sa istom sopstvenom vrednošću , zatim njihov zbir
je također svojstveni vektor operatora sa sopstvenim brojem . Zaista, pošto
I
, onda

3. Ako je svojstveni vektor operatora sa sopstvenim brojem , zatim bilo koji vektor
, kolinearno vektoru , je također svojstveni vektor operatora sa istom sopstvenom vrednošću .

stvarno,

Dakle, svaka svojstvena vrijednost odgovara nebrojenom skupu kolinearnih vlastitih vektora. Iz svojstava 2 i 3 slijedi da je skup svojstvenih vektora operatora koji odgovara istoj svojstvenoj vrijednosti formira prostor koji je podprostor prostora .

Dokažimo teoremu o postojanju svojstvenog vektora.

Teorema. U kompleksnom linearnom prostoru svaki linijski operater ima barem jedan svojstveni vektor.

Dokaz. Neka bude je linearni operator definiran u prostoru , ali je svojstveni vektor ovog operatora sa svojstvenom vrijednošću , tj.
. Biramo proizvoljnu osnovu
i označimo koordinate vektora u ovoj osnovi kroz
. Onda ako
je matrica operatora u osnovi
, zatim, zapisujući relaciju u matričnom obliku, dobijamo

gdje
.

U koordinatnom obliku, matrična jednačina (6.3.1) ima oblik

Za pronalaženje svojstvenog vektora potrebno je pronaći rješenja različita od nule sistema (6.3.2), koja postoje ako i samo ako je determinanta sistema jednaka nuli, tj. kada
. Ovo implicira da je svojstvena vrijednost linearnog operatora je njegov karakterističan broj, koji uvijek postoji. Zamjenom ovog broja u sistem (6.3.2), on će pronaći rješenje koje nije nula za ovaj sistem, koje određuje željeni svojstveni vektor. Teorema je dokazana.

Iz ove teoreme slijedi da je pronalaženje svojstvene vrijednosti linearnog operatora i odgovarajući sopstveni vektor svodi na rješavanje karakteristične jednadžbe
. Neka bude
su različiti korijeni karakteristične jednadžbe. Zamjena nekog korijena u sistem (6.3.2), nalazimo sva njegova linearno nezavisna rješenja, koja određuju svojstvene vektore koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti . Ako je rang matrice
jednaki r I r< n, tada postoji k= n- r linearno nezavisni svojstveni vektori koji odgovaraju korijenu.

Primjer. Pronađite svojstvene vektore linearnog operatora , dato matricom

Rješenje. Sastavljamo karakterističnu jednačinu

ili
gdje
.

Zamjenjujemo korijene
u sistem (6.3.1). Nađimo svojstvene vektore operatora .

At
imamo

Get homogeni sistem tri linearne jednadžbe, od kojih je samo jedna (bilo koja) linearno nezavisna. Opšte rješenje sistema ima oblik
. Nađimo dva linearno nezavisna rješenja:

Zatim svojstveni vektori koji odgovaraju svojstvenim vrijednostima
, imaju oblik

gdje od je proizvoljan realan broj različit od nule.

At
imamo

Opšte rješenje ovog sistema ima oblik

Svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti
, je jednako

Teorema. Neka su svojstvene vrijednosti
operater razlikuju se u paru. Zatim odgovarajući sopstveni vektori
su linearno nezavisne.

Dokaz. Koristimo metodu indukcije na broj varijabli. Jer je vektor različit od nule, onda za str=1 tvrdnja teoreme je tačna.

Neka je tvrdnja teoreme tačna za m< str vektori
. Dodajmo ovim vektorima vektor
i pretpostavimo da je jednakost

Jer
, -svojstveni vektori, dakle
i stoga se jednakost (6.3.4) može prepisati na sljedeći način:

Uslovno sve
, različiti su, dakle
. Vektorski sistem
je linearno nezavisna. Dakle, iz (6.3.6) slijedi da. Zatim iz (6.3.3) i iz uslova da
je sopstveni vektor (
), dobijamo
. To znači da
je sistem linearno nezavisnih vektora. Indukcija obavljena. Teorema je dokazana.

Posljedica: ako su sve svojstvene vrijednosti
su parovi različiti, onda odgovarajući sopstveni vektori
čine osnovu prostora .

Teorema. Ako kao osnovu prostora prihvatiti n linearno nezavisni sopstveni vektori, zatim operator u ovoj osnovi odgovara dijagonalna matrica

Dokaz. Razmotrimo proizvoljan vektor
i osnovu sastavljenu od sopstvenih vektora
ovaj prostor. Onda gde
su vektorske koordinate u osnovi
.

Primjena na vektor operater , dobijamo
ili
.

Jer
, je onda sopstveni vektor
.

Iz (6.3.7) imamo

Jednačine (6.3.8) znače da je matrica linearnog operatora u osnovi
ima oblik

Teorema je dokazana.

Definicija. Linearni operator u svemiru R n se naziva operator jednostavne strukture ako ima n linearno nezavisni sopstveni vektori.

Očigledno, operatori jednostavne strukture, i samo oni, imaju dijagonalne matrice u nekoj bazi. Ova baza može biti sastavljena samo od sopstvenih vektora operatora . Radnja bilo kojeg operatora jednostavne strukture uvijek se svodi na "razvlačenje" koordinata vektora u datoj bazi.

Nastavljamo proučavanje linearnih operatora. Već znamo da je svaki operator A pridružen kvadratnoj matrici, koja je zauzvrat povezana sa svojom determinantom. Vrijednost determinante je skalar (broj). Stoga je funkcija koja dodjeljuje skalar operatoru A. Stoga, proučavanje svojstava determinante može pojednostaviti proučavanje svojstava operatora.

Definicija.Scalar l naziva se svojstvena vrijednost (eigenvalue) i vektor različit od nule x je svojstveni vektor linearnog operatora A koji djeluje u n-dimenzionalno vektorski prostor L, ako

Uzimajući u obzir vektor , bilo koji vektor , , je kolinearan x,će biti svojstveni vektor sa svojstvenom vrijednošću l. Ako je svojstvena vrijednost l odgovara dva vektora, x I y, tada će bilo koji vektor oblika različit od nule također biti svojstveni vektor. Pošto 0-vektor nije ispravan, skup M svi sopstveni vektori operatora A nije podprostor. Ako M komplement sa 0-vektorom, onda M postaje podprostor. višestrukost vlastita vrijednost l naziva se dimenzija podprostora M; vlastita vrijednost l pozvao jednostavno ako je njegov multiplicitet 1.

Vježba. Nađite sve svojstvene vrijednosti i vektore operatora nula - O i identičnih - E. Odredite njihov višestrukost ako linearni operator djeluje u n-dimenzionalni linearni prostor.

Teorema VI.1. Familija sopstvenih vektora operatora A koja odgovara sličnoj porodici sopstvenih vrednosti, , linearno je nezavisna.

Dokaz. Primijenimo metodu matematička indukcija. Za , teorema je tačna po definiciji svojstvenog vektora različitog od nule.

Neka za bilo , na primjer, za , teorema je istinita, ali nije istinita za . Zatim, ako je sistem vektora , , …, , linearno zavisan, to jest, postoje brojevi , , nisu svi jednaki 0, na primjer, , što je tačno

Primjenjujući na njega linearni operator A, uzimajući u obzir (VI.5), dobijamo

Množenjem (VI.6) sa (VI.7) i oduzimanjem od (VI.7), dobijamo

Primljeno linearna kombinacija zbog induktivne pretpostavke, linearno je nezavisna, odnosno svi koeficijenti pri jednaki su 0, uključujući , ali, po pretpostavci, , onda , ali onda , što je nemoguće, prema hipotezi teoreme. ▼

Posljedica. Linearni operater koji djeluje u n-dimenzionalni linearni prostor, ne može imati više od n parno različite svojstvene vrijednosti.

Iz definicije svojstvenog vektora linearnog operatora slijedi da su slika i predslika x su kolinearni. To znači da nije svaki linearni operator koji djeluje u linearnom prostoru nad poljem realni brojevi, ima barem jedan svojstveni vektor. Na primjer, za bilo koju rotaciju osi za ugao koji nije višekratnik str, nećemo dobiti kolinearne vektore.

Prijeđimo na izvođenje jednadžbe koju zadovoljavaju svi svojstveni vektori.

Neka djeluje linearni operator n-dimenzionalni realni linearni prostor L i neka je , , neka baza, i konačno matrica operatora A u ovoj bazi. Linearni operator je degenerisan ako i samo ako je njegova matrica degenerisana, tj. Stoga zaključujemo da je višestrukost l poklapa se sa defektom linearnog operatora .

Imajte na umu da, ako je B bilo koji invertibilni operator, onda se to može pokazati

odnosno, ako i samo ako , gdje . To znači da su svi spektralni koncepti (spektar, vlastite vrijednosti, višestrukost, dimenzija, itd.) invarijantni prema zamjeni A sličnim operatorom. Uzimajući u obzir da je, po definiciji, determinanta polinom svojih elemenata, dobijamo

gdje su koeficijenti funkcije elemenata determinante (ili matrice) i ne zavise od l. Max Degree l je uključen samo u jedan član determinante, sastavljen od proizvoda njegovih elemenata na glavnoj dijagonali, dakle . Tako dobijamo polinom

Proširujući determinantu, imamo

koji se zove karakteristični polinom operater A u realnom linearnom prostoru L.

Da broj bude svojstvena vrijednost operatora A potrebno je i dovoljno da zadovoljava jednačinu , odnosno da bi bio korijen karakterističnog polinoma.

Primjer VI.6. Da li je podudarnost karakterističnih polinoma znak jednakosti operatora?

Rješenje. Ne, nije, jer je karakteristični polinom isti za porodicu sličnih matrica. Zaista, linearni operatori se poklapaju ako se njihove matrice poklapaju. Razmotrimo dvije baze i . Neka operator A, ima matricu u bazi, au bazi - . Tada su ove matrice slične, tj , gdje Q je neka nedegenerirana matrica. Za bilo koje, s obzirom na to, imamo

Definicija

Za ovu matricu , , gdje E- matrica identiteta , je polinom u , koji se zove karakteristični polinom matrice A(ponekad i "sekularna jednačina" (sekularna jednačina)).

Vrijednost karakterističnog polinoma je da su svojstvene vrijednosti matrice njeni korijeni. Doista, ako jednadžba ima rješenje različito od nule, tada je matrica degenerirana i njena determinanta je jednaka nuli.

Povezane definicije

Svojstva

Linkovi

V. Yu Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Viša matematika. Linearna algebra . - Državni energetski univerzitet Ivanovo.

Wikimedia fondacija. 2010 .

Referentna karakteristična kriva
Harald III (kralj Norveške)

Pogledajte šta je "Karakteristični polinom matrice" u drugim rječnicima:

Karakteristični polinom- U matematici karakteristični polinom može značiti: karakteristični polinom matrice, karakterističan polinom linearnog rekurentnog niza, karakteristični polinom običnog diferencijalna jednadžba… … Wikipedia

KARAKTERISTIČNI POLINOM- matrice nad poljem K polinom nad poljem K Stepen X. m. jednak je redu kvadratne matrice A, koeficijent b1 jednak je tragu matrice glavni minori reda t, posebno bn= detA … Mathematical Encyclopedia

Minimalni polinom matrice- Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Minimalni polinom. Minimalni polinom matrice je uništeni unitarni polinom minimalnog stepena. Svojstva Minimalni polinom dijeli karakteristični polinom matrice ... ... Wikipedia

lambda matrice- Glavni članak: Funkcije matrica Lambda matrica (λ matrica, matrica polinoma) je kvadratna matrica čiji su elementi polinomi nad nekim brojevnim poljem. Ako postoji neki matrični element koji je polinom ... Wikipedia

MATRIX SPECTRUM- skup sopstvenih vrednosti. Vidi također Karakteristični polinom matrice... Mathematical Encyclopedia

Broj karakteristike matrice- Sopstveni vektor je označen crvenom bojom. On, za razliku od plavog, nije promijenio smjer i dužinu tokom deformacije, stoga je svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 1. Bilo koji vektor paralelan crvenom vektoru ... ... Wikipedia

Slične matrice- Za kvadratne matrice A i B istog reda se kaže da su slične ako postoji nesingularna matrica P istog reda tako da: Slične matrice se dobijaju navođenjem istog linearna transformacija matrica u različitim ... ... Wikipedia

Matrica karakteristika

Karakteristična jednačina- Karakteristični polinom je polinom koji definira svojstvene vrijednosti matrice. Drugo značenje: Karakteristični polinom linearnog ponavljanja je polinom. Sadržaj 1 Definicija ... Wikipedia

Hamiltonova teorema- Teorema Hamiltona Cayleya je poznata teorema u teoriji matrica, nazvana po Williamu Hamiltonu i Arthuru Cayleyju. Hamilton Cayley teorem Bilo koja kvadratna matrica zadovoljava svoje karakteristična jednačina. Ako... Wikipedia