Definicija. Karakteristična jednačina linearnog operatora f je jednačina oblika , gdje je λ bilo koji pravi broj, A je matrica linearnog operatora, E je matrica identiteta istog reda.

Polinom pozvao karakteristični polinom matrica A (linearni operator f). U matričnom obliku, karakteristična jednadžba ima sljedeći oblik:

ili

.

Stoga, izjednačavanjem karakterističnog polinoma sa nulom, dobijamo jednačinu stepena n, gdje λ djeluje kao nepoznanica, dobijamo vrijednosti njegovih korijena - karakteristični brojevi ovu matricu. Karakteristični korijeni igraju velika uloga u mnogim oblastima matematike. Razmotrite jednu od primjena karakterističnih korijena - vrlo važnog alata u proučavanju linearni prostori, kao i u rješavanju mnogih primijenjenih problema linearne algebre.

Skup svih korijena karakteristične jednadžbe naziva se spektar operatora f(svaki korijen se razmatra sa višestrukim brojem koji ima u karakterističnoj jednadžbi).

Primjer. Pronađite karakteristične korijene matrice.

Napravimo matricu

Izjednačavajući karakteristični polinom sa nulom, dobijamo kvadratna jednačina

Tada su korijeni jednadžbe .

Definicija. Neka je f linearni prostorski operator i neki vektor različit od nule koji zadovoljava jednakost

gdje je pravi broj. Tada se vektor naziva svojstveni vektor operatora i matrica njegovog definiranja, - svojstvena vrijednost, ili svojstvena vrijednost transformacije. U ovom slučaju se kaže da se svojstveni vektor odnosi na svojstvenu vrijednost.

Svojstveni vektori igraju veliku ulogu, kako u samoj matematici tako i u njenim primjenama. Na primjer, rezonancija u kojoj se prirodne frekvencije oscilacija sistema poklapaju sa frekvencijom oscilacija spoljne sile. U matematici sopstveni vektori korisno u rješavanju sistema diferencijalne jednadžbe.

Teorema. Ako linearni operator f u bazi (prva baza) ima matricu A, au bazi (druga baza) - matricu B, tada se ostvaruje jednakost: .

Posljedično, kada se prijeđe na novu bazu, karakterističan polinom linearnog operatora se ne mijenja.

◌ Ako je T matrica prijelaza s prve baze na drugu, onda . Zatim transformiramo desnu stranu jednakosti ●

Teorema. Da bi broj λ 0 iz polja R bio sopstvena vrijednost vektora prostora L n nad R potrebno je i dovoljno da broj λ 0 bude karakteristični korijen operatora f.

Doc. I. Need. Neka λ 0 vlastita vrijednost operatora f, zatim unutra L n postoji svojstveni vektor takav da .

Neka je onda njegov koordinatni niz u nekoj bazi

S druge strane, pošto , gdje je matrica linearnog operatora u datoj bazi, onda

Izjednačavanjem pravih dijelova (1) i (2) dobijamo:

(3)

Jednačine (3) znače da je numerički vektor sa koordinatama je rješenje sljedećeg sistema jednačina (4).

(4)

Vektor je različit od nule (jer je pravilan), pa sistem (4) ima rješenje različito od nule, pa mu je determinanta 0.

(5)

i stoga je transponovana determinanta 0.

(6)

Na ovaj način, λ 0 je korijen karakteristične jednadžbe.

II. Adekvatnost. Neka λ 0 je karakteristični korijen operatora u nekoj bazi . Dokažimo to λ 0 je vlastita vrijednost operatora A.

Zaista, ako λ 0 je karakteristični korijen, tada će vrijediti jednakost (6), a time i jednakost (5), što će značiti da sistem (4) ima rješenja različita od nule.

Odaberimo neko rješenje različito od nule sistema (4): numerički vektor . Tada vrijede jednakosti (3).

Razmotrimo vektor i za njega će vrijediti jednakost (2) i, na osnovu formule, jednakost (1) je tačna, gdje je matrica operatora u bazi AT. To implicira jednakost , što znači da je vektor svojstveni vektor operatora , koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ 0 . To je ono što je trebalo dokazati. Teorema je dokazana.

Komentar. Da bi se pronašle vlastite vrijednosti operatora, potrebno je sastaviti i riješiti jednačinu (5). Da biste pronašli svojstvene vektore operatora, potrebno je sastaviti sistem jednačina (4) i pronaći osnovni skup rješenja za ovaj sistem.

Za kontrolu ispravnosti izračuna vlastitih vrijednosti (mogu biti podudarne, složene) koriste se dvije činjenice:

1) , gdje je posljednji zbir matrice zbir dijagonalnih elemenata.

2) .

Primjer. Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore .

Izjednačavanjem sa nulom dobijamo . .

3) . , .

Neka je slobodna varijabla, tada ćemo dobiti vektor .

Vježba. Provjerite vektor.

.

Karakteristična jednačina ima oblik:

Za određivanje vrste slobodne komponente potrebno je sastaviti i riješiti karakterističnu jednačinu: z(p) = 0. Za pisanje karakteristične jednačine potrebno je nacrtati dijagram u kojem treba zamijeniti sve izvore EMF i struje. svojim unutrašnjim otpora i otpora induktivnost i kapacitivnost, respektivno, uzeti jednake Pl i tada je potrebno prekinuti bilo koju granu ovog kola, zapisati njegov početni otpor u odnosu na tačke prekida, izjednačiti ga sa nulom, riješiti i odrediti korijene p, ako su korijeni ispostavilo se da je stvarno negativan, a zatim slobodna komponenta željene funkcije:

, gdje je m broj korijena jednadžbe;

Roots; -konstantna integrabilna.

Ako se ispostavi da su korijeni jednadžbe karaktera kompleksno konjugirani, tada će slobodno stanje izgledati ovako:

gdje je frekvencija slobodne vibracije;

Početna faza slobodnih oscilacija.

8. Prolazno vrijeme. Definicija praktično t pp. Proračun vremena procesa tranzicije.

Vrijeme procesa tranzicije ovisi o koeficijentu slabljenja. Recipročna vrijednost od , naziva se vremenska konstanta i iznosi vrijeme, tokom pri čemu će se vrijednost slobodne komponente tranzijenta smanjiti za e=2,72 puta. Vrijednost zavisi od kola i parametara.Tako za kolo sa serijskom vezom r i L = , i sa serijskom vezom

95% kraj prelaznog stanja 3 .

Krivulje slobodnih komponenti prolaznog procesa najlakše je konstruirati postavljanjem vremena t na vrijednosti 0, ,2..... Ako postoji nekoliko realnih korijena, onda se rezultujuća kriva dobija se zbrajanjem ordinata pojedinačnih pojmova (slika 1.)

Slika 1:

9.10, Prolazni proces u r, C - krugovima kada su uključeni na izvor konstantnog napona. Analiza se vrši klasičnom metodom; dati analitičke izraze za U C (t); i C (t); grafikoni. (Klasična metoda).

Jednačina stanja rC kola nakon prebacivanja je sljedeća:

(1) ili rC (2)

Njegovo rešenje:

Kapacitivnost C nakon zatvaranja ključa na t će biti napunjena na stabilnu vrijednost. Slobodna komponenta

Pošto su početni uslovi jednaki nuli, prema komutacionom zakonu na t=0, ili 0=A, odakle je A=-E.

Rješenje jednadžbe (2) će poprimiti oblik:

Struja u kolu i(t)=C

Slika 1.

Slika 2.

Grafikoni promene napona i struje i(t) prikazani su na slikama 1 i 2. Iz slika se vidi da napon na kondenzatoru eksponencijalno raste od 0 do E, dok jačina struje u trenutku uključivanja naglo dostiže vrijednost E / r, a zatim se smanjuje na nulu.

11.12 Prelazni proces u r, C - krugovima kada je priključen na sinusni izvor napona. Analiza se vrši klasičnom metodom; dati analitičke izraze za U C (t); i C (t); grafikoni. (Klasična metoda).

Jednačina stanja za rC kolo u prolaznom modu je sljedeća

rc .

Rješenje ove jednačine:

Besplatna komponenta

gdje je =rC

Budući da je kolo linearno, onda sa sinusoidnim djelovanjem iu stacionarnom stanju, napon na kapacitivnosti će se također mijenjati prema sinusoidnom zakonu s frekvencijom ulaznog djelovanja, stoga, za određivanje =, koristimo metodu kompleksnih amplituda :

;

S obzirom da je j= , dobijamo:

Konstanta integracije A slobodne komponente

Find from početni uslovi u kolu, uzimajući u obzir komutacijski zakon:

.Kada je t=0, posljednji izraz ima oblik

Gdje je A=-

Zbrajanjem komponenti i , dobijamo konačni izraz za napon na kapacitivnosti u prolaznom modu:

= + = - (1)

Analiza izraza (1) pokazuje da prelazni proces u rC-kolu pod sinusoidnim dejstvom zavisi od početne faze EMF izvora u trenutku uključivanja i od vremenske konstante rC-kola.

Ako je , tada je = 0 i u kolu će odmah nakon prebacivanja nastupiti stabilno stanje, tj.

Kada je napon \u003d -, tj. napon na kapacitivnosti odmah nakon prebacivanja može dostići gotovo dvostruku vrijednost pozitivnog predznaka, a zatim se postepeno približavati = .

Fazna razlika će dovesti jednačinu (1) u oblik:

Razlika između ovog načina rada i prethodnog je u tome što napon na kapacitivnosti odmah nakon prebacivanja može dostići gotovo dvostruko negativni predznak.

Za razmatrano Rc-kolo sa sinusoidnim izvorom struje u stacionarnom stanju, početna faza ulaznog napona ne igra nikakvu ulogu, ali je njen uticaj značajan u prelaznom procesu.

13. Prolazni proces u r, L, C - krugovima kada je priključen na izvor konstantnog napona. periodični proces. Analitički izrazi za i(t), grafika. (Klasična metoda).

Korijeni su stvarni, negativni, različiti.

I(t)=I postavim +A1e p 1 t +A2e p 2 t

Periodični proces:

t=0 (i(0)=A1+A2; A1=-A2

{

t=0 i l (0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2= ()

i l (t)= ( )

14. Prolazni proces u r, L, C - krugovima kada je priključen na izvor konstantnog napona. kritični proces. Analitički izrazi za i(t), grafika. (Klasična metoda).

i l (t)=i set +(B1+B2*t)*

t=0: i l (0)=β1=0

Ako se ispostavi da su korijeni stvarni, negativni, jednaki, tada je proces kritičan.

15. Prolazni proces u r, L, C - krugovima kada je priključen na izvor konstantnog napona. oscilatorni proces. Analitički izraz za i(t), grafika. (Klasična metoda).

P t = -δ±j*ω sv ω sv=

Korijeni su negativni realni, djelomično složeni konjugati.

i l (t)=i skup A1e - δt *sin(ω st t+ψ)

i l (t)=i set +(M*cos ω St t+N*sin ω St t)*

i l (t)= * = *

16. Prolazni proces u r, L, C - krugovima kada je priključen na sinusni izvor napona. aperiodični proces. Analitički izraz za i(t), grafika. (Klasična metoda).

R(t)=Emax *sin(ωt+ψ)

2.

U klasičnom slučaju, broj jednačina u ovom slučaju jednak je broju grana kola

Metoda pronalazi rješenje u obliku zbira opšteg i posebnog rješenja. Proračun prolaznog procesa opisan je sistemom običnih diferencijalnih jednadžbi, sastavljenih jednom od metoda proračuna za trenutne vrijednosti vremenskih funkcija. Rješenje za svaku varijablu ovog sistema nalazi se kao zbir općih i posebnih rješenja. Za sastavljanje jednačine mogu se koristiti: metoda zasnovana na primjeni Kirchhoffovih zakona, metoda čvornih potencijala, metoda struja u petlji itd. Na primjer, sistem diferencijalnih jednadžbi, sastavljen nakon prebacivanja prema prvom i drugom Kirchhoffovom zakonu, ima oblik:

Na primjer,

Broj jednačina u ovom slučaju jednak je broju grana kola. Neka je potrebno pronaći struju i k u grani sa brojem K. Eliminirajući struje grana u nizu, kao rezultat dobijamo struju i k i njene derivate do reda n:

Redoslijed diferencijalne jednadžbe n određen je brojem nezavisnih elemenata reaktivnog kola (m). Obično je n=m, ali ovisno o načinu povezivanja, može biti da je n

Serijski spojeni kapacitivni elementi mogu se zamijeniti jednim elementom, kao što se paralelno povezani induktivni elementi mogu zamijeniti jednim ekvivalentnim elementom. Slika 9.5 prikazuje zamenu 2 rezervoara u seriji sa jednim ekvivalentnim.

U opštem slučaju, red diferencijalne jednadžbe n je: n=n lc -n ce -n lj , gde je n lc broj reaktivnih elemenata (L i C) u kolu, n ce je broj kapacitivnih kola, n lj je broj induktivnih čvorova ili sekcija.

Kapacitivnim se razumijeva kolo koje se sastoji od kapacitivnih elemenata ili kapacitivnih elemenata i idealnih izvora EMF-a, slika 9.6.a. Induktivnim se razumijeva čvor u koji konvergiraju induktivne grane ili induktivne grane i izvori struje (slika 9.6.b), ili sekcije koje prelaze samo induktivne grane ili induktivne grane i izvore struje.

Imajte na umu da faza sastavljanja diferencijalne jednadžbe nije obavezna i da se prolazna struja ili napon mogu pronaći bez sastavljanja jednadžbe. Kao što je naznačeno, u klasičnoj metodi za proračun prolaznih procesa, rješavanje jednačina je predstavljen kao zbir opštih i partikularnih rešenja.

Određeno rješenje opisuje način rada koji se naziva prisilno. Rješenje homogene jednadžbe (desna strana je jednaka nuli) opisuje proces u odsustvu vanjskih EMF i izvora struje i naziva se slobodnim. Shodno tome, razmatraju se slobodne i prisilne struje, naponi i naboji.

Dakle, struja u grani sa brojem K je predstavljena kao zbir.

Karakteristična jednačina se sastavlja za kolo nakon prebacivanja. Može se dobiti na sljedeće načine:

Neposredno na osnovu diferencijalne jednadžbe oblika (1.2), tj. isključivanjem iz sistema jednačina koje opisuju elektromagnetno stanje kola na osnovu Kirchhoffovih zakona, svih nepoznatih veličina, osim jedne, u odnosu na koju je jednačina napisana;

Koristeći izraz za ulazni otpor kola na sinusnoj struji;

Na osnovu izraza glavne determinante.

Prema prvoj metodi u 1.4.1, dobijena je diferencijalna jednačina s obzirom na napon u C na kondenzatoru za seriju r-L-C-lanci (vidi sliku 1.6):

na osnovu koje je napisana karakteristična jednačina

.

Treba napomenuti da, budući da je linearni krug pokriven jednim prolaznim procesom, korijeni karakteristične jednadžbe su zajednički za sve komponente slobodnog napona i struje grana kola, čiji su parametri uključeni u karakterističnu jednadžbu. Prema tome, prema prvoj metodi sastavljanja karakteristične jednadžbe, bilo koja vrijednost se može odabrati kao veličina u odnosu na koju je zapisana.

Sastavljanje karakteristične jednadžbe prema metodi ulaznog otpora je kako slijedi:

1. Izraz za ulazni otpor kola na naizmjeničnu struju napisan je u složenom obliku;

2. U rezultirajućem izrazu jω zamjenjuje operater R;

3. Rezultirajući izraz je postavljen na nulu.

Jednačina se poklapa sa karakterističnom.

Treba naglasiti da se ulazni otpor može zapisati u odnosu na tačku prekida bilo koje grane kola. U ovom slučaju, izvori energije su isključeni iz kruga, a njihovi unutrašnji otpori ostaju na svom mjestu.

Ova metoda sastavljanja karakteristične jednačine pretpostavlja odsustvo magnetno spregnutih grana u električnom kolu. Ako ih ima, potrebno je izvršiti magnetno razdvajanje.

Za krug koji se razmatra (vidi sliku 1.6), prema metodi ulaznog otpora, imamo:

;

;

.

Prilikom sastavljanja karakteristične jednačine na osnovu izraza glavne determinante, broj algebarskih jednačina na osnovu kojih je napisana jednak je broju nepoznatih komponenti slobodne struje.

Algebraizacija originalnog sistema integro-diferencijalnih jednadžbi, sastavljenih, na primjer, na osnovu Kirchhoffovih zakona ili metodom struja petlje, izvodi se zamjenom operacija diferencijacije, odnosno integracije množenjem i dijeljenjem sa operater R. Karakteristična jednačina se dobija izjednačavanjem zapisane determinante sa nulom.

Pošto izraz za glavnu determinantu ne zavisi od desne strane sistema nehomogenih jednačina, može se sastaviti na osnovu sistema jednačina napisanih za ukupne struje.

Za šemu koja se razmatra (vidi sliku 1.6) za slobodni način rada imamo:

.

Zamjenom izvoda i integrala u jednadžbi, kao što je gore spomenuto, dobijamo algebarsku jednačinu

ili .

Gde da stignemo

ili .

Karakteristična jednačina se sastavlja za kolo nakon prebacivanja. Može se dobiti na sljedeće načine:

• direktno na osnovu diferencijalne jednačine oblika (2) (vidi predavanje br. 24), tj. isključivanjem iz sistema jednačina koje opisuju elektromagnetno stanje kola na osnovu prvog i drugog Kirchhoffovog zakona, svih nepoznatih veličina, osim jedne, za koju je napisana jednačina (2);
• korištenjem izraza za ulazni otpor kola na sinusnoj struji;
• na osnovu izraza glavne determinante.

Prema prvoj metodi, u prethodnom predavanju dobijena je diferencijalna jednačina za napon na kondenzatoru za serijski R-L-C kolo, na osnovu koje je napisana karakteristična jednačina.

Treba napomenuti da, budući da je linearni krug pokriven jednim prolaznim procesom, korijeni karakteristične jednadžbe su zajednički za sve komponente slobodnog napona i struje grana kola, čiji su parametri uključeni u karakterističnu jednadžbu. Dakle, prema prvoj metodi sastavljanja karakteristične jednačine, bilo koja se može izabrati kao varijabla u odnosu na koju se zapisuje.

Primjena druge i treće metode za sastavljanje karakteristične jednadžbe će se razmotriti na primjeru kola na sl. jedan.

Sastavljanje karakteristične jednadžbe prema metodi ulaznog otpora je kako slijedi:

snima se ulazna impedancija kola na naizmjeničnu struju;

jw je zamijenjen operatorom p;

rezultirajući izraz je postavljen na nulu.

Jednačina

odgovara karakteristici.

Treba naglasiti da se ulazni otpor može zapisati u odnosu na tačku prekida bilo koje grane kola. U ovom slučaju, aktivna mreža s dva terminala zamjenjuje se pasivnom, po analogiji s metodom ekvivalentnog generatora. Ova metoda sastavljanja karakteristične jednačine pretpostavlja odsustvo magnetno spregnutih grana u kolu; ako ih ima potrebno je izvršiti njihovo prethodno odvezivanje.

Za kolo na sl. 1 u odnosu na izvorne terminale

.

Zamijenimo jw sa p i izjednačimo rezultirajući izraz sa nulom, pišemo

.

(1)

Prilikom sastavljanja karakteristične jednačine na osnovu izraza glavne determinante, broj algebarskih jednačina na osnovu kojih je napisana jednak je broju nepoznatih komponenti slobodne struje. Algebraizacija originalnog sistema integro-diferencijalnih jednačina, sastavljenih, na primjer, na osnovu Kirchhoffovih zakona ili metodom struja petlje, izvodi se zamjenom simbola diferencijacije, odnosno integracije, množenjem i dijeljenjem sa p operator. Karakteristična jednačina se dobija izjednačavanjem zapisane determinante sa nulom. Pošto izraz za glavnu determinantu ne zavisi od desne strane sistema nehomogenih jednačina, može se sastaviti na osnovu sistema jednačina napisanih za ukupne struje.

Za kolo na sl. 1, algebraizovani sistem jednačina zasnovan na metodi struja petlje ima oblik

Otuda i izraz za glavnu determinantu ovog sistema

Izjednačavajući D sa nulom, dobijamo rezultat sličan (1).

Opća metodologija za proračun tranzijenta klasičnom metodom

U opštem slučaju, metoda za proračun prolaznih procesa klasičnom metodom uključuje sljedeće korake:

Primjeri proračuna prelaznih procesa klasičnom metodom

1. Tranzijenti u krugu R-L kada je spojen na izvor napona

Takvi se procesi odvijaju, na primjer, kada su elektromagneti, transformatori, elektromotori itd. povezani na izvor napajanja.

Razmotrite dva slučaja:

Prema razmatranoj metodi za struju u kolu na sl. 2 se može napisati

Karakteristična jednačina

odakle i vremenska konstanta .

Na ovaj način,

.

(5)

Zamjenjujući (4) i (5) u relaciju (3), pišemo

.

U skladu sa prvim komutacijskim zakonom. Onda

,

Dakle, struja u krugu u prolaznom procesu je opisana jednadžbom

,

a napon na induktoru - po izrazu

.

Kvalitativni oblik krivulja i odgovarajući dobijenim rješenjima prikazan je na Sl. 3.

Kod drugog tipa izvora, prisilna komponenta se izračunava pomoću simboličke metode:

,

Izraz za slobodnu komponentu ne zavisi od vrste izvora napona. shodno tome,

.

Jer, onda

Dakle, konačno dobijamo

.

(6)

Analiza rezultirajućeg izraza (6) pokazuje:

Ako je značajna po veličini, onda se slobodna komponenta ne smanjuje značajno tokom pola perioda. U ovom slučaju, maksimalna vrijednost prelazne struje može značajno premašiti amplitudu struje ustaljenog stanja. Kao što se može vidjeti sa sl. 4, gdje

, maksimalna struja se javlja otprilike nakon . U limitu na .

Dakle, za linearni krug, maksimalna vrijednost prolazne struje ne može premašiti dvostruku amplitudu prisilne struje: .

Slično za linearni krug s kondenzatorom: ako je u trenutku uključivanja prisilni napon jednak vrijednosti njegove amplitude i vremenska konstanta kola dovoljno velika, tada nakon otprilike polovine perioda napon na kondenzatoru dostiže svoju maksimalnu vrijednost , koji ne može premašiti dvostruku amplitudu prinudnog napona: .

2. Tranzijenti kada je induktor isključen iz izvora napajanja

Kada se ključ otvori u kolu na sl. 5 je prisilna komponenta struje kroz induktor.

Karakteristična jednačina

,

gdje i .

Prema prvom zakonu o zamjenama

.

Dakle, izraz za struju u prolaznom modu

i napon na induktoru

.

(7)

Analiza (7) pokazuje da pri otvaranju kola sa induktivnim elementima može doći do velikih prenapona koji, bez poduzimanja posebnih mjera, mogu oštetiti opremu. Zaista, kod naponski modul na induktoru u trenutku prebacivanja će biti višestruko veći od napona izvora: . U nedostatku otpornika za gašenje R, navedeni napon se primjenjuje na otvorne kontakte ključa, zbog čega između njih nastaje luk.

3. Punjenje i pražnjenje kondenzatora

Kada se ključ okrene u položaj 1 (vidi sliku 6), počinje proces punjenja kondenzatora:

.

Prisilna komponenta napona na kondenzatoru.

Iz karakteristične jednačine

korijen je određen . Otuda i vremenska konstanta.