Glavna pitanja.

1. Vektorski linearni prostor.

2. Osnova i dimenzija prostora.

3. Orijentacija prostora.

4. Dekompozicija vektora u smislu baze.

5. Vektorske koordinate.

1. Vektorski linearni prostor.

Skup koji se sastoji od elemenata bilo koje prirode, u kojem su definirane linearne operacije: zbrajanje dva elementa i množenje elementa brojem nazivaju se prostori, a njihovi elementi su vektori ovaj prostor i označavaju se na isti način kao vektorske veličine u geometriji: . Vektori takvi apstraktni prostori, po pravilu, nemaju ništa zajedničko sa običnim geometrijskim vektorima. Elementi apstraktnih prostora mogu biti funkcije, sistem brojeva, matrice itd., au konkretnom slučaju i obični vektori. Stoga se takvi prostori nazivaju vektorski prostori .

Vektorski prostori su, na primjer, skup kolinearnih vektora, označen sa V1 , skup komplanarnih vektora V2 , skup običnih vektora (realnog prostora). V3 .

Za ovaj konkretan slučaj možemo dati sljedeću definiciju vektorskog prostora.

Definicija 1. Skup vektora se zove vektorski prostor, ako je linearna kombinacija bilo kojeg vektora skupa također vektor ovog skupa. Sami vektori se nazivaju elementi vektorski prostor.

Važniji i teorijski i primijenjen je opći (apstraktni) koncept vektorskog prostora.

Definicija 2. Mnogo R elementi , u kojima je za bilo koja dva elementa i zbir definiran i za bilo koji element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> tzv. vektor(ili linearni) prostor, a njegovi elementi su vektori, ako operacije sabiranja vektora i množenja vektora brojem zadovoljavaju sljedeće uslove ( aksiome) :

1) sabiranje je komutativno, tj..gif" width="184" height="25">;

3) postoji takav element (nulti vektor) da za bilo koji https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"height="27">;

5) za sve vektore i i bilo koji broj λ vrijedi jednakost;

6) za sve vektore i brojeve λ I µ jednakost vrijedi https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> i bilo koji brojevi λ I µ fer ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Od aksioma koji definiraju vektorski prostor slijedi najjednostavniji posljedice :

1. U vektorskom prostoru postoji samo jedna nula - element - nulti vektor.

2. U vektorskom prostoru, svaki vektor ima jedinstven suprotan vektor.

3. Za svaki element, jednakost je ispunjena.

4. Za bilo koji realan broj λ i nulti vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> je vektor koji zadovoljava jednakost https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Dakle, zaista, skup svih geometrijskih vektora je i linearni (vektorski) prostor, pošto su za elemente ovog skupa definisane akcije sabiranja i množenja brojem koje zadovoljavaju formulisane aksiome.

2. Osnova i dimenzija prostora.

Osnovni koncepti vektorskog prostora su koncepti baze i dimenzije.

Definicija. Skup linearno nezavisnih vektora, uzetih određenim redoslijedom, kroz koji se linearno izražava bilo koji vektor prostora, naziva se osnovu ovaj prostor. Vektori. Prostori koji čine osnovu nazivaju se osnovni .

Osnova skupa vektora smještenih na proizvoljnoj liniji može se smatrati jednom kolinearnom ovom linijskom vektoru.

Osnova u avionu nazovimo dva nekolinearna vektora na ovoj ravni, snimljena određenim redoslijedom https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Ako su bazni vektori po paru okomiti (ortogonalni), onda se baza naziva ortogonalno, i ako ovi vektori imaju dužinu jednaku jedan, onda se baza naziva ortonormalno .

Najveći broj linearno nezavisni vektori prostora nazivamo dimenzija ovaj prostor, tj. dimenzija prostora poklapa se sa brojem baznih vektora ovog prostora.

Dakle, prema ovim definicijama:

1. Jednodimenzionalni prostor V1 je prava linija, a osnova se sastoji od jedan kolinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Običan prostor je trodimenzionalni prostor V3 , čiju osnovu čine tri nekoplanarne vektori .

Odavde vidimo da se broj baznih vektora na pravoj liniji, na ravni, u realnom prostoru poklapa sa onim što se u geometriji obično naziva brojem dimenzija (dimenzija) prave linije, ravni, prostora. Stoga je prirodno uvesti opštiju definiciju.

Definicija. vektorski prostor R pozvao n- dimenzionalan ako sadrži najviše n linearno nezavisni vektori i označava se R n. Broj n pozvao dimenzija prostor.

U skladu sa dimenzijom prostori se dijele na konačno-dimenzionalan I beskonačno-dimenzionalni. Dimenzija nultog prostora se, po definiciji, pretpostavlja nula.

Napomena 1. U svakom prostoru možete navesti onoliko baza koliko želite, ali sve baze ovog prostora se sastoje od istog broja vektora.

Napomena 2. IN n- u dimenzionalnom vektorskom prostoru, osnova je svaka uređena kolekcija n linearno nezavisni vektori.

3. Orijentacija prostora.

Neka su osnovni vektori u prostoru V3 imati zajednički početak I naredio, tj. naznačeno je koji se vektor smatra prvim, koji - drugim, a koji - trećim. Na primjer, u bazi su vektori poredani prema indeksaciji.

Za to za orijentaciju prostora potrebno je postaviti neku osnovu i proglasiti je pozitivnim .

Može se pokazati da skup svih baza prostora spada u dvije klase, odnosno u dva podskupa koji se ne sijeku.

a) sve baze koje pripadaju jednom podskupu (klasi) imaju isto orijentacija (istoimene baze);

b) bilo koje dvije baze koje pripadaju razne podskupovi (klase), imaju suprotno orijentacija, ( različita imena baze).

Ako se jedna od dvije klase baza prostora proglasi pozitivnom, a druga negativnom, onda kažemo da je ovaj prostor orijentisan .

Često se prilikom orijentacije prostora nazivaju neke baze u pravu, dok drugi jesu ljevičari .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> zove se u pravu, ako se pri posmatranju s kraja trećeg vektora, najkraća rotacija prvog vektora https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> se sprovodi u smeru suprotnom od kazaljke na satu(Sl. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Rice. 1.8. Desna osnova (a) i lijeva osnova (b)

Obično se prava osnova prostora proglašava pozitivnom osnovom

Desna (lijeva) osnova prostora se također može odrediti pomoću pravila "desnog" ("lijevog") zavrtnja ili gimleta.

Po analogiji s ovim, koncept desnog i lijevog trojke nekomplementarni vektori koji moraju biti uređeni (slika 1.8).

Dakle, u općem slučaju, dvije uređene trojke nekoplanarnih vektora imaju istu orijentaciju (imaju isto ime) u prostoru V3 ako su oba desna ili oba lijeva, i - suprotne orijentacije (suprotne), ako je jedan od njih desni, a drugi lijevo.

Isto se radi iu slučaju prostora V2 (avioni).

4. Dekompozicija vektora u smislu baze.

Radi jednostavnosti zaključivanja, ovo pitanje ćemo razmotriti na primjeru trodimenzionalnog vektorskog prostora R3 .

Neka https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> bude proizvoljan vektor ovog prostora.

VEKTORSKI PROSTOR, linearni prostor, nad poljem K, je aditivno zapisana Abelova grupa E, u kojoj je definisano množenje elemenata skalarima, tj. preslikavanje

K × E → E: (λ, x) → λx,

zadovoljava sljedeće aksiome (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Aksiome 1)-4) impliciraju sljedeće važne osobine vektorskog prostora (0 ∈ E):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

Elementi V. str. tačke V. p., ili vektori, a elementi polja K su skalari.

Najrasprostranjeniji u matematici i aplikacijama su V. p. preko polja ℂ kompleksni brojevi ili iznad polja ℝ realni brojevi; oni se nazivaju odnosno kompleksna V. p. ili realna V. p.

Aksiomi V. p. otkrivaju određene algebarske svojstva mnogih klasa funkcija koje se često susreću u analizi. Od primjera V. p., najosnovniji i najraniji su n-dimenzionalni euklidski prostori. Gotovo jednako važni primjeri su mnogi funkcionalni prostori: prostor kontinuirane funkcije, prostor mjerljivih funkcija, prostor sabirljivih funkcija, prostor analitičkih. funkcije, prostor funkcija ograničene varijacije.

Koncept CV je poseban slučaj koncepta modula nad prstenom, naime, CV je unitarni modul nad poljem. Unitarni modul nad nekomutativnim tijelom se također naziva. vektorski prostor preko tela; teorija takvih VP je u mnogim aspektima komplikovanija od teorije VP nad poljem.

Jedan od važnih problema povezanih sa VP je proučavanje geometrije VP, odnosno proučavanje linija u VP, ravnih i konveksnih skupova u VP, podprostora VP i baza u VP. str.

Vektorski podprostor, ili jednostavno podprostor, V. p. E nad poljem K koje se zove. podskup F ⊂ E zatvoren pod djelovanjem sabiranja i množenja skalarom. Podprostor koji se razmatra odvojeno od prostora koji ga sadrži je B.p. nad istim poljem.

Prava koja prolazi kroz dvije tačke x i y B. p. E, tzv. skup elemenata z ∈ E oblika z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Skup G ∈ E se zove. ravan skup ako, zajedno sa bilo koje dvije tačke, sadrži pravu koja prolazi kroz ove tačke. Svaki ravni skup se dobija iz nekog podprostora uz pomoć pomaka ( paralelni transfer): G = x + F; to znači da je svaki element z ∈ G reprezentativan jedini način u obliku z = x + y, y ∈ F, a ova jednakost daje korespondenciju jedan prema jedan između F i G.

Skup svih pomaka F x = x + F datog podprostora F formira B.p. nad K, tzv. količnik prostor E/F ako definiramo operacije na sljedeći način:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.

Neka je M = (h α ) α∈A proizvoljan skup vektora iz E; linearna kombinacija vektora x α ∈ E naziva. vektor x definisan formulom

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

u kojoj se samo konačan broj koeficijenata razlikuje od nule. Skup svih linearnih kombinacija vektora datog skupa M je najmanji podprostor koji sadrži M i zove se. linearna školjka skupovi M. Poziva se linearna kombinacija. trivijalan ako su svi koeficijenti λ α jednaki nuli. Skup M je pozvao. linearno nezavisan skup ako su sve netrivijalne linearne kombinacije vektora iz M različite od nule.

Svaki linearno nezavisan skup sadržan je u nekom maksimalnom linearno nezavisnom skupu M 0 , tj. u takvom skupu koji prestaje biti linearno nezavisan nakon što mu se doda bilo koji element iz E.

Svaki element x ∈ E može se jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija elemenata maksimalnog linearno nezavisnog skupa:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

S tim u vezi, naziva se maksimalni linearno nezavisni skup. osnova V. p. (algebarska osnova). Sve baze datog V. p. imaju istu kardinalnost, koje se nazivaju. dimenzija B. p. Ako je ova kardinalnost konačna, prostor se naziva. konačno-dimenzionalni V. p.; inače se zove. beskonačno-dimenzionalni V. p.

Polje K se može posmatrati kao jednodimenzionalni VC nad poljem K; osnova ovog V. p. sastoji se od jednog elementa; može biti bilo koji element osim nule. Konačnodimenzionalni C. p. sa osnovom od n elemenata se zove. n-dimenzionalni prostor.

U teoriji realnog i kompleksnog V. str. važnu ulogu igra teoriju konveksnih skupova. Skup M u realnom V. p. konveksan skup ako, zajedno sa bilo koje dvije njegove tačke x, y, segment tx + (1 - t)y, t ∈ , također pripada M.

Veliko mjesto u teoriji VC zauzima teorija linearnih funkcionala na VC n i s njom povezana teorija dualnosti. Neka je Ε CV nad poljem K. Linearni funkcional na Ε se zove aditivno i homogeno preslikavanje f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Skup Ε* svih linearnih funkcionala na Ε formira CV nad poljem K u odnosu na operacije

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1 , f 2 , f ∈ E*.

Ovo je V. p. dualni (ili dualni) prostor (do E). Koncept dualnog prostora povezan je sa nizom geometrijskih uslovi. Neka je D ⊂ E (odnosno, Γ ⊂ E*); naziva se anihilator skupa D, odnosno ortogonalni komplement skupa D (odnosno skupa G). mnogo

D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 za sve h ∈ D)

(respektivno G ⊥ = (h ∈ E: f(x) = 0 za sve f ∈ G)); ovdje su D ⊥ i G ⊥ podprostori prostora E* i E, respektivno. ponekad hipersubprostor; pomak takvog podprostora se zove. hiperravan u E; svaka hiperravan ima oblik

(x: f(x) = λ), gdje je f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Ako je F podprostor B.p. E, tada postoje prirodni izomorfizmi između F* i

E*/F ⊥ i između (E/F)* i F ⊥ .

Poziva se podskup G ⊂ E*. ukupni podskup nad E ako njegov anihilator sadrži samo nulti element: G ⊥ = (0).

Svaki linearno nezavisan skup (x α ) α∈A ⊂ E može biti pridružen konjugovanom skupu (f α ) α∈A ⊂ E*, tj. takav skup da je f α (x β) = δ αβ (Kroneckerov simbol) za sve α, β ∈ A. Skup parova p (x α , f α ) se zove. sa biortogonalnim sistemom. Ako je skup (x α ) baza u E, tada je (f α ) potpuno iznad E.

Theory of linearne transformacije V. p. Neka su E 1, E 2 dva V. p. nad istim poljem K. Linearno preslikavanje, ili linearni operator, T, preslikavanje V. p. E 1 u V. p. E 2 (ili linearni operator od E 1 do E 2), tzv. aditivno i homogeno preslikavanje prostora E 1 u E 2:

T(x + y) = Tx + Tu; T(λh) = λT(h); x, y ∈ E 1 .

Poseban slučaj ovog koncepta je linearna funkcionalna, ili linearni operator od E 1 do K. Linearno preslikavanje je, na primjer, prirodno preslikavanje B. p. E na količnik prostor E/F, koje svakom elementu x ∈ E dodjeljuje ravan skup F x ∈ E/F. Skup ℒ(E 1 , E 2) svih linearnih operatora T: E 1 → E 2 formira V. p. u odnosu na operacije

(T 1 + T 2) x \u003d T 1 x + T 2 x; (λT)h = λTh; x ∈ E 1 ; λ ∈ K; T 1 , T 2 , T ∈ ℒ(E 1 , E 2).

Dva V. p. E 1 i E 2 su pozvani. izomorfni V. p., ako postoji linearni operator ("izomorfizam"), koji implementira korespondenciju jedan-na-jedan između njihovih elemenata. E 1 i E 2 su izomorfni ako i samo ako njihove baze imaju istu kardinalnost.

Neka je T linearni operator koji preslikava E 1 u E 2 . Pridruženi linearni operator, ili dualni linearni operator, u odnosu na T, se zove. linearni operator T* od E* 2 do E* 1 definisan jednakošću

(T*φ)h = φ(Th) za sve h ∈ E 1 , φ ∈ E* 2 .

Postoje relacije T* -1 (0) = ⊥ , T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ , odakle slijedi da je T* izomorfizam ako i samo ako je T izomorfizam.

Teorija bilinearnih preslikavanja i multilinearnih preslikavanja V. p. usko je povezana sa teorijom linearnih preslikavanja V. p.

Važnu grupu datih teorija VP čine problemi proširenja linearnih preslikavanja. Neka je F podprostor B.p. E 1 , E 2 je linearni prostor nad istim poljem kao E 1 , i neka je T 0 linearno preslikavanje F u E 2 ; potrebno je pronaći proširenje T preslikavanja T 0 , koje je definirano na cijelom E 1 i koje je linearno preslikavanje E 1 u E 2 . Takvo proširenje uvijek postoji, ali dodatna ograničenja na funkcije (povezana s dodatnim strukturama u C.P.-u, na primjer, topologija ili odnosi poretka) mogu učiniti problem nerješivim. Primjeri rješavanja problema nastavka su Hahn-Banachova teorema i teoreme o nastavku pozitivnih funkcionala u prostorima sa konusom.

Važna grana teorije VP je teorija operacija nad VP, odnosno metode za konstruisanje novih VP od poznatih. Primjeri takvih operacija su dobro poznate operacije uzimanja podprostora i formiranja kvocijentnog prostora iz podprostora. Druge važne operacije su konstrukcija direktnog zbira, direktnog proizvoda i tenzorskog proizvoda V. p.

Neka je (E α ) α∈I porodica C.e nad poljem K. Skup E, proizvod skupova E α - može se pretvoriti u C.e nad poljem K uvođenjem operacija

(xα) + (yα) = (xα + yα); λ(xα) = (λxα); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

primio V. p. E pozvan. direktni proizvod V. p. E α i označava se sa P α∈I E α . Podprostor V. p. E, koji se sastoji od svih onih kolekcija (x α), za koje je svaki skup (α: x α ≠ 0) konačan, naziva se. direktni zbir V. p. E α i označava se sa Σ α E α ili Σ α + E α ; Za konačan broj pojmova, ove definicije se poklapaju; u ovom slučaju se koristi notacija:

Neka su E 1 , E 2 dva V. p. nad poljem K; E" 1 , E" 2 -ukupni podprostori B. p. E* 1 , E* 2 i E 1 □ E 2 -B. koji za osnovu ima skup svih elemenata prostora E 1 × E 2 . Svaki element x □ y ∈ E 1 □ E 2 povezan je sa bilinearnom funkcijom b = T(x, y) na E" 1 × E 2 formulom b(f, g) = f(x)g(y) , f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2 . Ovo preslikavanje baznih vektora x □ y ∈ E 1 □ E 2 može se proširiti na linearno preslikavanje T Bp E 1 □ E 2 u Bp svih bilinearnih funkcionala na E" 1 × E" 2. Neka je E 0 = T -1 (0). Tenzorski proizvod B. p. E 1 i E 2 je količnik prostor E 1 ○ E 2 = (E 1 □ E 2)/E 0 ; slika elementa x □ y je označena sa x ○ y. VP E 1 ○ E 2 je izomorfna VP bilinearnih funkcionala na E 1 × E 2 (vidi Tenzorski proizvod vektorskih prostora).

Lit.: Bourbaki N., Algebra. Algebarske strukture. Linearna i multilinearna algebra, trans. iz francuskog, Moskva, 1962; Raikov D. A., Vektorski prostori, Moskva, 1962; Dan M. M., Normirani linearni prostori, prev. sa engleskog, M., 1961; , Edward R., Funkcionalna analiza, trans. sa engleskog, M., 1969; Halmos P., Konačno-dimenzionalni vektorski prostori, transl. sa engleskog, M., 1963; Glazman I. M., Lyubich Yu. I., Linearna analiza konačnih dimenzija u problemima, Moskva, 1969.

M. I. Kadets.

Izvori:

Mathematical Encyclopedia. T. 1 (A - D). Ed. kolegijum: I. M. Vinogradov (glavni urednik) [i drugi] - M., " Sovjetska enciklopedija“, 1977, 1152 stb. od ill.

vektor(ili linearno) prostor- matematička struktura, koja je skup elemenata, koji se nazivaju vektori, za koje su definirane operacije međusobnog sabiranja i množenja brojem - skalarom.

1) X+y=y+x ( komutativnost sabiranja)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( asocijativnost sabiranja)

3) postoji takav element 0êV da je x+0=x

4) za bilo koje x êV postoji takav element - x êV , da je x+(-x)=0? zove se vektor, suprotno vektor x.

5) α(βx)= (αβ)x ( asocijativnost množenja skalarom)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Slobodni vektori u prostoru R 3

2) Matrice dimenzije nxm

3) Skup svih polinoma čiji stepen ne prelazi n

4) Primjeri linearni prostor je:

5) - prostor realnih brojeva.

6) je skup geometrijskih vektora na ravni.

7) - prostor matrica fiksne dimenzije.

8) - prostor rješenja homogenih linearnih sistema itd.

Osnovne definicije

N-dimenzionalni vektor naziva se niz od n brojeva. Ovi brojevi se zovu koordinate vektor. Poziva se broj koordinata vektora n dimenzija vektor.

Možete dodati samo vektore iste dimenzije.

Vektori su jednaki ako imaju istu dimenziju i njihove odgovarajuće koordinate su jednake.

Bilo koji n-dimenzionalni vektor A može biti pomnoži sa bilo kojim brojemλ, dok su sve njegove koordinate pomnožene ovim brojem:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Mogu se dodati dva vektora iste dimenzije i dodati im odgovarajuće koordinate:

Šta je linearna kombinacija vektora?

Linearna kombinacija vektora a1,a2,…,an nazvan izrazom kao što je:

Gdje a1,a2,…,an - proizvoljnim brojevima

Koji vektori se nazivaju linearno zavisni (nezavisni)?

Vektori koji nisu nula a1,a2,…,an pozvao linearno zavisna, ako je netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru:

Vektori koji nisu nula a1,a2,…,an pozvao linearno nezavisna, osim ako je trivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru.

Primjeri linearno nezavisnih vektora

Kako je pitanje linearna zavisnost vektori?

Teorema 1. Da bi sistem vektora bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da barem jedan od njih bude predstavljen kao linearna kombinacija ostalih.

Teorema 2. U n-dimenzionalnom prostoru, svaki sistem koji sadrži više od n vektora je linearno zavisan.

Teorema 3.Ako je determinanta, sastavljena od koordinata vektora, različita od nule, onda je sistem vektora linearno nezavisan. Ako ove teoreme ne daju odgovor na pitanje linearne zavisnosti ili nezavisnosti vektora, tada je potrebno riješiti sistem jednačina u odnosu na , ili odrediti rang sistema vektora.

Koliki je omjer koordinata dvaju linearno zavisnih vektora?

Navedite primjer dva linearno zavisna vektora

: Vektori i su kolinearni kada postoji takav broj , što je jednakost:
.

Definicija osnove linearnog prostora

Skup od n linearno nezavisnih elemenata u prostoru dimenzije n naziva se baza ovog prostora.

Određivanje dimenzije linearnog prostora.

Definicija 3.1. linearni prostor R naziva se n-dimenzionalnim ako sadrži n linearno nezavisni elementi, i bilo koji ( n+1) elementi su već linearno zavisni. Istovremeno, broj n naziva se dimenzija prostora R.

Dimenzija prostora se označava simbolom dim.

Definicija 3.2. linearni prostor R naziva se beskonačno-dimenzionalnim ako sadrži bilo koji broj linearno nezavisnih elemenata.

Teorema 3.4. Neka je linearni prostor R ima osnovu koja se sastoji od n elementi. Zatim dimenzija R je jednako n(dim R=n).

Koncept n-dimenzionalnog prostora

Linearni prostor V naziva se n-dimenzionalni prostor ako sadrži sistem od n linearno nezavisnih elemenata, a bilo koji n+1 element je linearno zavisan.

Formule koje povezuju vektore stare i nove baze

U članku o n-dimenzionalnim vektorima došli smo do koncepta linearnog prostora generiranog skupom n-dimenzionalnih vektora. Sada moramo razmotriti ništa manje važne koncepte, kao što su dimenzija i osnova vektorskog prostora. Oni su direktno povezani sa konceptom linearnog zavisni sistem vektora, pa je dodatno preporučljivo podsjetiti se i na osnove ove teme.

Hajde da uvedemo neke definicije.

Definicija 1

Dimenzija vektorskog prostora- broj koji odgovara maksimalan broj linearno nezavisni vektori u ovom prostoru.

Definicija 2

Vektorska prostorna osnova- skup linearno nezavisnih vektora, uređenih i po broju jednakih dimenziji prostora.

Razmotrimo određeni prostor od n -vektora. Njegova dimenzija je respektivno jednaka n. Uzmimo sistem n-jediničnih vektora:

e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Koristimo ove vektore kao komponente matrice A: to će biti jedinica sa dimenzijom n po n. Rang ove matrice je n. Dakle, vektorski sistem e (1) , e (2) , . . . , e (n) je linearno nezavisan. Istovremeno, nemoguće je dodati jedan vektor sistemu a da se on ne naruši. linearnu nezavisnost.

Pošto je broj vektora u sistemu n, onda je dimenzija prostora n-dimenzionalnih vektora n, i jedinični vektori e (1) , e (2) , . . . , e (n) su osnova specificiranog prostora.

Iz dobijene definicije zaključujemo: bilo koji sistem n-dimenzionalnih vektora, u kojem je broj vektora manji od n, nije baza prostora.

Ako zamijenimo prvi i drugi vektor, dobićemo sistem vektora e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Također će biti osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Sastavimo matricu, uzimajući vektore rezultujućeg sistema kao njegove redove. Matrica se može dobiti iz matrice identiteta zamjenom prva dva reda, njen rang će biti jednak n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e (n) je linearno nezavisna i osnova je n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Preuređivanjem drugih vektora u originalnom sistemu dobijamo još jednu osnovu.

Možemo uzeti linearno nezavisan sistem vektora koji nisu jedinični, a to će također predstavljati osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Definicija 3

Vektorski prostor s dimenzijom n ima onoliko baza koliko ima linearno nezavisnih sistema n-dimenzionalnih vektora sa brojem n.

Ravan je dvodimenzionalni prostor - njena osnova će biti bilo koja dva nekolinearna vektora. Bilo koja tri nekoplanarna vektora će poslužiti kao osnova trodimenzionalnog prostora.

Razmotrite primjenu ove teorije na konkretnim primjerima.

Primjer 1

Početni podaci: vektori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Potrebno je utvrditi da li su navedeni vektori osnova trodimenzionalnog vektorskog prostora.

Rješenje

Da bismo riješili problem, proučavamo dati sistem vektora za linearnu zavisnost. Napravimo matricu, gdje su redovi koordinate vektora. Odredimo rang matrice.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R ank (A) = 3

Prema tome, vektori zadani uslovom zadatka su linearno nezavisni, a njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora – oni su osnova vektorskog prostora.

odgovor: ovi vektori su osnova vektorskog prostora.

Primjer 2

Početni podaci: vektori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Potrebno je utvrditi da li navedeni sistem vektora može biti osnova trodimenzionalnog prostora.

Rješenje

Sistem vektora specificiran u uslovu problema je linearno zavisan, jer maksimalni broj linearno nezavisnih vektora je 3. Dakle, ovaj sistem vektora ne može poslužiti kao osnova za trodimenzionalni vektorski prostor. Ali vrijedi napomenuti da je podsistem originalnog sistema a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) osnova.

odgovor: naznačeni sistem vektora nije osnova.

Primjer 3

Početni podaci: vektori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Mogu li oni biti osnova četverodimenzionalnog prostora?

Rješenje

Sastavite matricu koristeći koordinate datih vektora kao redove

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Koristeći Gaussovu metodu, određujemo rang matrice:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R ank (A) = 4

Dakle, sistem datih vektora je linearno nezavisan i njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora – oni su osnova četvorodimenzionalnog vektorskog prostora.

odgovor: dati vektori su osnova četverodimenzionalnog prostora.

Primjer 4

Početni podaci: vektori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Da li oni čine osnovu 4-dimenzionalnog prostora?

Rješenje

Originalni sistem vektora je linearno nezavisan, ali broj vektora u njemu nije dovoljan da postane osnova četvorodimenzionalnog prostora.

odgovor: ne, nemaju.

Dekompozicija vektora u smislu baze

Prihvatamo da proizvoljni vektori e (1) , e (2) , . . . , e (n) su osnova vektorskog n-dimenzionalnog prostora. Dodajmo im neki n-dimenzionalni vektor x →: rezultujući sistem vektora će postati linearno zavisan. Svojstva linearne zavisnosti navode da se barem jedan od vektora takvog sistema može linearno izraziti u terminima ostalih. Reformulišući ovu tvrdnju, možemo reći da se barem jedan od vektora linearno zavisnog sistema može proširiti u terminima drugih vektora.

Tako smo došli do formulacije najvažnije teoreme:

Definicija 4

Svaki vektor n-dimenzionalnog vektorskog prostora je jedinstveno dekomponovan u smislu baze.

Dokaz 1

Dokažimo ovu teoremu:

postaviti osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Učinimo sistem linearno zavisnim dodavanjem n-dimenzionalnog vektora x → na njega. Ovaj vektor se može linearno izraziti u terminima originalnih vektora e:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , gdje je x 1 , x 2 , . . . , x n - neki brojevi.

Sada dokazujemo da je takva dekompozicija jedinstvena. Pretpostavimo da to nije slučaj i da postoji još jedno slično proširenje:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , gdje je x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - neki brojevi.

Oduzmite od lijevog i desnog dijela ove jednakosti, redom, lijevi i desni dio jednakosti x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . Dobijamo:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

Sistem baznih vektora e (1) , e (2) , . . . , e (n) je linearno nezavisan; Po definiciji linearne nezavisnosti sistema vektora, gornja jednakost je moguća samo kada su svi koeficijenti (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) će biti jednako nuli. Od čega će biti pošteno: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . I ovo dokazuje jedini način da se vektor proširi u smislu osnove.

U ovom slučaju, koeficijenti x 1 , x 2 , . . . , x n se nazivaju koordinate vektora x → u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Provjerena teorija razjašnjava izraz „dat je n-dimenzionalni vektor x = (x 1, x 2, . . . , xn)“: razmatra se vektorski x → n-dimenzionalni vektorski prostor, a njegove koordinate su date u neke osnove. Također je jasno da će isti vektor u različitoj bazi n-dimenzionalnog prostora imati različite koordinate.

Razmotrimo sljedeći primjer: pretpostavimo da je u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora dat sistem od n linearno nezavisnih vektora

a takođe je dat vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vektori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) u ovom slučaju su također osnova ovog vektorskog prostora.

Pretpostavimo da je potrebno odrediti koordinate vektora x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , označeno kao x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Vektor x → će biti predstavljen na sledeći način:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Ovaj izraz pišemo u koordinatnom obliku:

(x 1 , x 2 , . . . , xn) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . .. + x ~ ne 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ ne 2 (n) , . . , x ~ 1 hr (1) + x ~ 2 en (2) + . . . + x ~ nen (n))

Rezultirajuća jednakost je ekvivalentna sistemu od n linearnih algebarskih izraza sa n nepoznatih linearnih varijabli x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matrica ovog sistema će izgledati ovako:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Neka je ovo matrica A, a njeni stupci vektori linearno nezavisnog sistema vektora e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . Rang matrice je n i njena determinanta nije nula. To ukazuje da sistem jednačina ima jedinstveno rješenje, određeno na bilo koji pogodan način: na primjer, Cramerovom metodom ili matrična metoda. Na ovaj način možemo odrediti koordinate x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n vektora x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Primijenimo razmatranu teoriju na konkretnom primjeru.

Primjer 6

Početni podaci: vektori su dati u osnovi trodimenzionalnog prostora

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Potrebno je potvrditi činjenicu da sistem vektora e (1) , e (2) , e (3) takođe služi kao osnova datog prostora, kao i odrediti koordinate vektora x u datoj bazi .

Rješenje

Sistem vektora e (1) , e (2) , e (3) će biti osnova trodimenzionalnog prostora ako je linearno nezavisan. Otkrijmo ovu mogućnost određivanjem ranga matrice A, čiji su redovi dati vektori e (1) , e (2) , e (3) .

Koristimo Gaussovu metodu:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Dakle, sistem vektora e (1) , e (2) , e (3) je linearno nezavisan i baza je.

Neka vektor x → u bazi ima koordinate x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Veza ovih koordinata određena je jednadžbom:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Primijenimo vrijednosti prema uslovima problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Sistem jednačina rješavamo Cramerovom metodom:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Dakle, vektor x → u bazi e (1) , e (2) , e (3) ima koordinate x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

odgovor: x = (1, 1, 1)

Veza između baza

Pretpostavimo da su u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora data dva linearno nezavisna sistema vektora:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . , cn (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , cn (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , cn (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , en (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , en (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , en (n))

Ovi sistemi su ujedno i baze datog prostora.

Neka je c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinate vektora c (1) u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) , tada će odnos koordinata biti dat sistemom linearnih jednačina:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

U obliku matrice, sistem se može prikazati na sljedeći način:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . , cn (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … hr (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

Napravimo istu notaciju za vektor c (2) po analogiji:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , cn (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … hr (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , cn (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … hr (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

Matrične jednakosti se kombinuju u jedan izraz:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ cn (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ en (n)

On će odrediti odnos vektora dvije različite baze.

Koristeći isti princip, moguće je izraziti sve bazne vektore e (1) , e (2) , . . . , e (3) kroz bazu c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ cn (n)

Dajemo sljedeće definicije:

Definicija 5

Matrica c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze e (1) , e (2) , . . . , e(3)

bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definicija 6

Matrica e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze c (1) , c (2) , . . . ,c(n)

bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Iz ovih jednakosti je jasno da

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (2) e (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

one. matrice prelaza su međusobno inverzne.

Razmotrimo teoriju na konkretnom primjeru.

Primjer 7

Početni podaci: potrebno je pronaći prijelaznu matricu iz baze

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Takođe morate odrediti odnos koordinata proizvoljnog vektora x → u datim bazama.

Rješenje

1. Neka je T prijelazna matrica, tada će jednakost biti tačna:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Pomnožite obje strane jednačine sa

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobiti:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definirajte prijelaznu matricu:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definirajte odnos koordinata vektora x → :

pretpostavimo da je u bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → ima koordinate x 1 , x 2 , x 3 , tada:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

i u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) ima koordinate x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , tada:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Jer lijevi dijelovi ovih jednakosti su jednaki, možemo izjednačiti i desne dijelove:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Pomnožite obje strane na desnoj strani

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobiti:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

S druge strane

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Posljednje jednakosti pokazuju odnos koordinata vektora x → u obje baze.

odgovor: tranziciona matrica

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinate vektora x → u datim bazama povezane su relacijom:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka je V neprazan skup čije ćemo elemente nazvati vektorima i označavati ih sa … i tako dalje. Neka su dvije operacije zadane i određene na neki način na V. Prva operacija je binarna aditivna operacija (ili, grubo rečeno, operacija sabiranja). Ova operacija će biti označena znakom + (međutim, nije neophodno da ova operacija bude 100% definisana na isti način kao što je definisana operacija sabiranja za obične brojeve, sada ne proučavamo brojeve, već vektore, tako da ova operacija sabiranja vektora može se označiti i nekim svojim posebnim znakom, na primjer: (). Druga operacija je množenje vektora nekim elementom? takvog skupa, a to je polje, kao rezultat čega se stvara novi dobija se vektor (). Elementi polja se još nazivaju skalarima. (Ko je lijen da pogleda kakvo je takvo polje, reći ću da skup realnih ili takođe kompleksnih brojeva može poslužiti kao primjer algebarskih polja.) (4)

Dakle, hajde da formulišemo aksiome vektorskog prostora. (3)

1. a) zbir bilo koja dva elementa iz V i b) proizvod skalara i proizvoljnog elementa od V su neki elementi iz V (vektori).

2. sabiranje bilo koja tri elementa iz V poštuje zakon kombinacije (ili, kako kažu, vektorsko sabiranje je asocijativno):

3. sabiranje bilo koja dva elementa iz V podliježe komutativnom zakonu (sabiranje vektora je komutativno): .

4. postoji takav element iz V (nulti vektor) da za bilo koji.

5. za bilo koji element iz V postoji element iz V čiji je zbir sa originalnim elementom jednak, tj. (.

Za bilo koje skalare (brojeve)? I? i za bilo koja dva vektora iz V

vektorski podprostor

Vektorski podprostor, ili jednostavno podprostor, vektorski prostor E nad poljem K je skup koji je zatvoren operacijama sabiranja i množenja skalarom. Podprostor koji se razmatra odvojeno od prostora koji sadrži je vektorski prostor nad istim poljem. (pet)

Prava linija koja prolazi kroz dvije tačke x i y vektorskog prostora E je skup elemenata oblika ??. Skup G naziva se ravan skup ako, zajedno sa bilo koja dva, sadrži pravu koja prolazi kroz ove tačke. Svaki ravni skup se dobija iz nekog podprostora pomoću pomaka (paralelno prevođenje): G=x+F, što znači da se svaki element od z može jedinstveno predstaviti u obliku y, a jednakost daje korespondenciju jedan prema jedan između F i G.

Skup svih pomaka datog podprostora F formira vektorski prostor nad K, naziva se količnik prostor E/F, ako je determinanta operacije sljedeća:

Neka je M = proizvoljan skup vektora E; linearna kombinacija vektora je vektor x definisan formulom

u kojoj je samo konačan broj koeficijenata različit od nule. Skup svih linearnih kombinacija vektora datog skupa M je najmanji podprostor koji sadrži M i naziva se linearni raspon skupa M. Linearna kombinacija se naziva trivijalna ako su svi koeficijenti jednaki nuli. Skup M se naziva linearno zavisnim skupom ako su sve netrivijalne linearne kombinacije vektora iz M različite od nule.

Teorija konveksnih skupova igra važnu ulogu u teoriji realnih i kompleksnih vektorskih prostora. Skup M u realnom vektorskom prostoru naziva se konveksan skup ako, zajedno sa bilo koje dvije njegove tačke x, y, segment također pripada M.

Veliko mjesto u teoriji vektorskih prostora zauzima teorija linearnih funkcionala na vektorskom prostoru i s njom povezana teorija dualnosti. Neka je E vektorski prostor nad poljem K. Linearni funkcional na E je aditivno i homogeno preslikavanje, a E je vektorski prostor nad poljem K. Linearni funkcional na E je aditivno i homogeno preslikavanje

Skup svih linearnih funkcionala na E formira vektorski prostor nad poljem K u odnosu na operacije

Ovaj vektorski prostor naziva se dualni (ili dualni) prostor (do E). Brojni geometrijski pojmovi povezani su s konceptom dualnog prostora. Neka se D?E (odnosno, skup G) zove skup

(odnosno); ovdje i su podprostori prostora i E, respektivno f je element različit od nule, tada ( f) je maksimalni pravi linearni podprostor E, koji se ponekad naziva hiperpodprostor; pomak takvog podprostora naziva se hiperravan u E; svaka hiperravan ima oblik

{x: f(x)=??), gdje f? 0, f, TO.

Podskup se naziva ukupnim podskupom nad E ako njegov anihilator sadrži samo nulti element =(0).

Svaki linearno nezavisan skup može biti povezan sa konjugiranim podskupom, tj. skup takav da (Kronecker simbol) za sve. Skup parova naziva se biortogonalni sistem. Ako je skup baza u E, onda je potpuno iznad E.

Značajno mjesto u teoriji vektorskih prostora zauzima teorija linearnih transformacija vektorskog prostora. Neka su dva vektorska prostora nad istim poljem K. Linearno preslikavanje, ili linearni operator, T, preslikavanje vektorskog prostora u vektorski prostor (ili linearni operator iz a.

Dva vektorska prostora i nazivaju se izomorfnim vektorskim prostorima ako postoji linearni operator ("izomorfizam") koji vrši korespondenciju jedan-na-jedan između njihovih elemenata i.

Teorija bilinearnih preslikavanja i multilinearnih preslikavanja vektorskog prostora usko je povezana sa teorijom linearnih preslikavanja vektorskog prostora.

Važnu grupu problema u teoriji vektorskog prostora čine problemi proširenja linearnih preslikavanja. Neka je F podprostor vektorskog prostora – linearni prostor nad istim poljem kao i neka je – linearno preslikavanje F u; potrebno je pronaći ekstenziju T preslikavanja koja je definirana na svemu i koja je linearno preslikavanje u. Takvo proširenje uvijek postoji, ali dodatna ograničenja na funkcije (povezana s dodatnim strukturama u vektorskom prostoru, kao što su topologija ili odnosi reda) mogu učiniti problem nerješivim. Primjeri rješavanja problema nastavka su Hahn-Banachova teorema i teoreme o nastavku pozitivnih funkcionala u prostorima sa konusom.

Važna grana teorije vektorskih prostora je teorija operacija na vektorskim prostorima, tj. načini konstruisanja novih vektorskih prostora od poznatih. Primjeri takvih operacija su dobro poznate operacije uzimanja podprostora i formiranja kvocijentnog prostora iz podprostora. Druge važne operacije su konstrukcija direktnog zbira, direktnog proizvoda i tenzorskog proizvoda vektorskog prostora.