vektor(ili linearno) prostor- matematička struktura, koja je skup elemenata, koji se nazivaju vektori, za koje se definiraju operacije međusobnog sabiranja i množenja brojem - skalarom. Ove operacije podliježu osam aksioma. Skalari mogu biti elementi realnog, kompleksnog ili bilo kojeg drugog brojevnog polja. Poseban slučaj takvog prostora je uobičajeni trodimenzionalni euklidski prostor, čiji se vektori koriste, na primjer, za predstavljanje fizičkih sila. Treba napomenuti da vektor, kao element vektorskog prostora, ne mora biti specificiran kao usmjereni segment. Generalizacija koncepta "vektora" na element vektorskog prostora bilo koje prirode ne samo da ne uzrokuje zbrku pojmova, već nam omogućava da razumijemo ili čak predvidimo niz rezultata koji vrijede za prostore proizvoljne prirode. .

Vektorski prostori su predmet proučavanja linearne algebre. Jedna od glavnih karakteristika vektorskog prostora je njegova dimenzija. Dimenzija je maksimalni broj linearno nezavisnih elemenata prostora, odnosno, pribjegavanjem gruboj geometrijskoj interpretaciji, broj pravaca koji se međusobno ne mogu izraziti samo operacijama sabiranja i množenja skalarom. Vektorski prostor može biti obdaren dodatnim strukturama, kao što su norma ili tačkasti proizvod. Takvi se prostori prirodno pojavljuju u računanju, pretežno kao prostori funkcija beskonačne dimenzije (engleski), gdje su vektori funkcije . Mnogi problemi u analizi zahtijevaju otkrivanje da li niz vektora konvergira datom vektoru. Razmatranje ovakvih pitanja moguće je u vektorskim prostorima sa dodatnom strukturom, u većini slučajeva odgovarajućom topologijom, koja omogućava da se definišu koncepti blizine i kontinuiteta. Takvi topološki vektorski prostori, posebno Banahovi i Hilbertovi prostori, omogućavaju dublje proučavanje.

Prvi radovi koji su predviđali uvođenje koncepta vektorskog prostora datiraju iz 17. stoljeća. Tada se razvija analitička geometrija, doktrina matrica, sistema linearnih jednačina i euklidskih vektora.

Definicija

Linearno ili vektorski prostor V (F) (\displaystyle V\lijevo(F\desno)) preko terena F (\displaystyle F) je uređena četvorka (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), gdje

• V (\displaystyle V)- neprazan skup elemenata proizvoljne prirode, koji se nazivaju vektori;
• F (\displaystyle F)- polje čiji se elementi pozivaju skalarima;
• Definisana operacija dopune vektori V × V → V (\displaystyle V\puta V\to V), koji odgovara svakom paru elemenata x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) setovi V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) zove ih suma i označeno x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Definisana operacija množenje vektora skalarima F × V → V (\displaystyle F\puta V\to V), koji odgovara svakom elementu λ (\displaystyle \lambda ) polja F (\displaystyle F) i svaki element x (\displaystyle \mathbf (x) ) setovi V (\displaystyle V) jedini element skupa V (\displaystyle V), označeno λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) ili λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Vektorski prostori definirani na istom skupu elemenata, ali na različitim poljima bit će različiti vektorski prostori (na primjer, skup parova realnih brojeva R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) može biti dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem realnih brojeva ili jednodimenzionalni - nad poljem kompleksnih brojeva).

Najjednostavnija svojstva

1. Vektorski prostor je abelova grupa sabiranjem.
2. neutralni element 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) za bilo koga.
4. Za bilo koga x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) suprotni element − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) je jedini koji slijedi iz svojstava grupe.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) za bilo koga x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) za bilo koji i x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) za bilo koga α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Povezane definicije i svojstva

podprostor

Algebarska definicija: Linearni podprostor ili vektorski podprostor je neprazan podskup K (\displaystyle K) linearni prostor V (\displaystyle V) takav da K (\displaystyle K) je sam linearan prostor u odnosu na one definirane u V (\displaystyle V) operacije sabiranja i množenja skalarom. Skup svih podprostora se obično označava kao L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Da bi podskup bio podprostor, potrebno je i dovoljno da

Posljednje dvije izjave su ekvivalentne sljedećem:

Za bilo koje vektore x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \u K) vektor α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) takođe pripadao K (\displaystyle K) za bilo koji α , β ∈ F (\displaystyle \alpha,\beta \u F).

Konkretno, vektorski prostor koji se sastoji od samo jednog nultog vektora je podprostor bilo kojeg prostora; svaki prostor je sam po sebi podprostor. Podprostori koji se ne poklapaju sa ova dva se nazivaju vlastiti ili netrivijalan.

Svojstva podprostora

Linearne kombinacije

Krajnji zbroj pogleda

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α nxn (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

Linearna kombinacija se naziva:

Osnova. Dimenzija

Vektori x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) pozvao linearno zavisna, ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija, čija je vrijednost jednaka nuli; tj

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α nxn = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

sa nekim koeficijentima α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,) i najmanje jedan od koeficijenata α i (\displaystyle \alpha _(i)) različito od nule.

Inače, ovi vektori se nazivaju linearno nezavisna.

Ova definicija dozvoljava sljedeću generalizaciju: beskonačan skup vektora iz V (\displaystyle V) pozvao linearno zavisna, ako neki final njegov podskup, i linearno nezavisna, ako iko final podskup je linearno nezavisan.

Osobine osnove:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α nxn (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Linearna školjka

Linearna školjka podskupovi X (\displaystyle X) linearni prostor V (\displaystyle V)- presek svih podprostora V (\displaystyle V) koji sadrži X (\displaystyle X).

Linearna ljuska je podprostor V (\displaystyle V).

Linearna ljuska se također naziva generiran podprostor X (\displaystyle X). Takođe se kaže da je linearni raspon V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- prostor, ispružen preko mnogo X (\displaystyle X).

Neka biti sistem vektora iz . Linearna školjka vektorski sistemi skup svih linearnih kombinacija vektora datog sistema naziva se, tj.

Svojstva linearne ljuske: Ako , onda za i .

Linearna ljuska ima svojstvo zatvorenosti u odnosu na linearne operacije (operacije sabiranja i množenja brojem).

Podskup prostora koji ima svojstvo zatvorenosti u odnosu na operacije sabiranja i množenja brojevima naziva selinearni podprostor prostora .

Linearni raspon sistema vektora je linearni podprostor prostora.

Sistem vektora iz naziva se baza ,ako

Bilo koji vektor se može izraziti kao linearna kombinacija baznih vektora:

2. Sistem vektora je linearno nezavisan.

Lema Koeficijenti vektorske ekspanzije su jedinstveno definisane u smislu osnove.

Vector , sastavljen od koeficijenata ekspanzije vektora na bazi naziva se koordinatni vektor vektora u osnovi .

Oznaka . Ovaj unos naglašava da koordinate vektora zavise od baze.

Linearni prostori

Definicije

Neka je dat skup elemenata proizvoljne prirode. Neka su dvije operacije definirane za elemente ovog skupa: zbrajanje i množenje bilo kojim pravi broj : , i set zatvoreno u vezi sa ovim operacijama: . Neka se ove operacije pridržavaju aksioma:

3. postoji nulti vektor sa svojstvom za ;

4. za svaki postoji inverzni vektor sa svojstvom ;

6. za , ;

7. za , ;

Tada se takav skup naziva linearni (vektorski) prostor, njegovi elementi se nazivaju vektori, i - da bi se naglasila njihova razlika od brojeva iz - potonji se nazivaju skalarima jedan) . Prostor koji se sastoji od samo jednog nultog vektora se zove trivijalan .

Ako u aksiomima 6 - 8 dopustimo množenje kompleksnim skalarima, onda se takav linearni prostor naziva sveobuhvatan. Da bismo pojednostavili rezonovanje, svuda u nastavku ćemo razmatrati samo realne prostore.

Linearni prostor je grupa u odnosu na operaciju sabiranja i Abelova grupa.

Elementarno je dokazati jedinstvenost nultog vektora i jedinstvenost vektora inverznog vektoru: , obično se naziva .

Podskup linearnog prostora koji je i sam linearni prostor (tj. zatvoren pod vektorskim sabiranjem i množenjem proizvoljnim skalarom) naziva se linearni podprostor prostori. Trivijalni podprostori linearni prostor naziva se sam i prostor koji se sastoji od jednog nultog vektora.

Primjer. Prostor uređenih trojki realnih brojeva

operacije definisane jednakostima:

Geometrijska interpretacija je očigledna: vektor u prostoru, "vezan" za ishodište, može se dati u koordinatama njegovog kraja. Slika takođe prikazuje tipičan podprostor prostora: ravan koja prolazi kroz ishodište. Tačnije, elementi su vektori koji počinju od početka i završavaju u tačkama u ravni. Zatvaranje takvog skupa pri sabiranju vektora i njihovom proširenju 2) je očigledno.

Na osnovu ove geometrijske interpretacije, često se govori o vektoru proizvoljnog linearnog prostora kao tačka u prostoru. Ova tačka se ponekad naziva "kraj vektora". Osim pogodnosti asocijativne percepcije, ovim riječima nije pridato nikakvo formalno značenje: koncept „kraja vektora“ odsutan je u aksiomatici linearnog prostora.

Primjer. Na osnovu istog primjera moguće je dati još jedno tumačenje vektorskog prostora (inherentno, inače, već u samom porijeklu riječi "vektor" 3) - on definira skup "pomaka" tačaka u prostor. Ovi pomaci - ili paralelni prijevodi bilo koje prostorne figure - biraju se da budu paralelni s ravninom.

Uopšteno govoreći, s ovakvim tumačenjima koncepta vektora stvari nisu tako jednostavne. Pokušava da se apeluje na njegovo fizičko značenje - kao predmet koji ima vrijednost I smjer- izazivaju pošteno odbijanje strogih matematičara. Definicija vektora kao elementa vektorskog prostora veoma podsjeća na epizodu s sepulcs iz poznate fantastične priče Stanisław Lem (vidi ☞OVDJE). Hajde da se ne zadržavamo na formalizmu, već istražimo ovaj rasplinuti objekat u njegovim posebnim manifestacijama.

Primjer. Prirodna generalizacija je prostor: vektorski prostor redova ili kolone . Jedan od načina da se definira podprostor u je definiranje skupa ograničenja.

Primjer. Skup rješenja sistema linearnih homogenih jednačina:

formira linearni podprostor prostora. Zaista, ako

Rešenje sistema, dakle

Isto rješenje za bilo koje. Ako

Onda drugo rešenje za sistem

To će također biti njeno rješenje.

Zašto mnogo sistemskih rješenja heterogena jednadžbe ne formiraju linearni podprostor?

Primjer. Uopštavajući dalje, možemo razmotriti prostor "beskonačnih" nizova ili sekvence , što je obično predmet matematičke analize - kada se razmatraju nizovi i serije. Možete smatrati nizove (sekvence) "beskonačnim u oba smjera" - oni se koriste u TEORIJI SIGNALA.

Primjer. Skup -matrica sa realnim elementima sa operacijama sabiranja i množenja matrice realnim brojevima formira linearni prostor.

U prostoru matrica kvadratnog reda mogu se razlikovati dva podprostora: podprostor simetričnih matrica i podprostor koso-simetričnih matrica. Osim toga, podprostori formiraju svaki od skupova: gornje trokutaste, donje trokutaste i dijagonalne matrice.

Primjer. Skup polinoma jednog promjenljivog stepena tačno jednak koeficijentima iz (gdje je bilo koji od skupova ili ) sa uobičajenim operacijama sabiranja polinoma i množenja brojem iz ne formira linearni prostor. Zašto? - Zato što nije zatvoren pod sabiranjem: zbir polinoma i neće biti polinom th stepena. Ali ovdje je skup stepenskih polinoma ne viši

linearni prostorni oblici; samo ovom skupu mora biti dat i identično nulti polinom 4) . Očigledni podprostori su . Pored toga, podprostori će biti skup parnih i skup neparnih polinoma stepena najviše . Skup svih mogućih polinoma (bez ograničenja na stupnjeve) također čini linearni prostor.

Primjer. Generalizacija prethodnog slučaja je prostor polinoma od nekoliko varijabli najvišeg stepena sa koeficijentima od . Na primjer, skup linearnih polinoma

formira linearni prostor. Skup homogenih polinoma (oblika) stepena (sa identično nultim polinomom pridruženim ovom skupu) je takođe linearan prostor.

U smislu gornje definicije, skup nizova sa cjelobrojnim komponentama

razmatrane s obzirom na operacije sabiranja i množenja po komponentama sa cijeli broj skalarima, nije linearan prostor. Međutim, svi aksiomi 1 - 8 će vrijediti ako dozvolimo samo množenje cijelim skalarima. U ovom dijelu nećemo se fokusirati na ovaj objekt, ali je prilično koristan u diskretnoj matematici, na primjer u ☞ TEORIJA KODIRANJA. O linearnim prostorima nad konačnim poljima raspravlja se ☞ OVDJE.

Varijabla je izomorfna prostoru simetričnih matrica th reda. Izomorfizam je uspostavljen korespondencijom, koju ćemo ilustrovati za slučaj:

Koncept izomorfizma se uvodi tako da se proučavanje objekata koji nastaju u različitim oblastima algebre, ali sa "sličnim" svojstvima operacija, izvodi na primjeru jednog uzorka, na njemu se obrađuju rezultati, koji se potom mogu jeftino replicirano. Koji linearni prostor uzeti "za uzorak"? - Vidite kraj sljedećeg pasusa

1. Skup polinoma P n (x) stepeni ne viši n.

2. Mnogo n-termin sekvence (sa pojmovnim sabiranjem i množenjem skalarom).

3 . Puno mogućnosti C [ ali , b ] kontinuirano na [ ali, b] i sa sabiranjem po tačkama i množenjem skalarom.

4. Skup funkcija definiranih na [ ali, b] i nestaje u nekoj fiksnoj unutrašnjoj tački c: f (c) = 0 i sa tačkastim operacijama sabiranja i množenja skalarom.

5. Skup R + if x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Definicija podprostora

Neka set W je podskup linearnog prostora V (W  V) i tako to

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Operacije sabiranja i množenja ovdje su iste kao u prostoru V(oni se nazivaju prostorno inducirani V).

Toliko mnoštvo W naziva se podprostor prostora V.

7  . podprostor W sam po sebi je prostor.

◀ Da bismo to dokazali, dovoljno je dokazati postojanje neutralnog elementa i suprotnog elementa. Jednakosti 0⊙ x=  i (–1)⊙ X = –X dokazati šta je potrebno.

Podprostor koji se sastoji samo od neutralnog elementa () i podprostora koji se poklapa sa samim prostorom V, nazivaju se trivijalni podprostori prostora V.

§devet. Linearna kombinacija vektora. Linearni raspon sistema vektora

Neka vektori e 1 ,e 2 , …e n V i  1 ,  2 , …  n .

Vector x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = zove se linearna kombinacija vektora e 1 , e 2 , … , e n sa koeficijentima  1 ,  2 , …  n .

Ako su svi koeficijenti u linearnoj kombinaciji nula, onda je linearna kombinacija pozvao trivijalan.

Mnoge moguće linearne kombinacije vektora
naziva se linearni raspon ovaj sistem vektora i označava se sa:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Ispravnost sabiranja i množenja skalarom proizlazi iz činjenice da je ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) je skup svih mogućih linearnih kombinacija. Neutralni element je trivijalna linearna kombinacija. Za element X=
suprotni element je x =
. Zadovoljeni su i aksiomi koje operacije moraju zadovoljiti. Dakle, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) je linearni prostor.

Svaki linearni prostor sadrži, u opštem slučaju, beskonačan broj drugih linearnih prostora (podprostora) - linearne ljuske

Ubuduće ćemo nastojati da odgovorimo na sljedeća pitanja:

Kada se linearni rasponi različitih sistema vektora sastoje od istih vektora (tj. poklapaju)?

2) Koliki je minimalni broj vektora koji definira isti linearni raspon?

3) Da li je originalni prostor linearni raspon nekog sistema vektora?

§10. Kompletni sistemi vektora

Ako u svemiru V postoji konačan skup vektora
tako da,ℒ
 V, zatim sistem vektora
nazvan kompletnim sistemom V, a za prostor se kaže da je konačno dimenzionalan. Dakle, sistem vektora e 1 , e 2 , …, e n V naziva se kompletnim V sistem, tj. ako

XV   1 ,  2 , …  n takav da x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Ako u svemiru V ne postoji konačan kompletan sistem (a kompletan sistem uvek postoji - na primer, skup svih vektora prostora V), zatim razmak V se naziva beskonačnim.

9  . Ako
pun in V sistem vektora i y V, zatim ( e 1 , e 2 , …, e n , y) je također kompletan sistem.

◀ Dovoljno u linearnim kombinacijama y uzeti jednako 0.

Neka je sistem vektora iz vektorskog prostora V preko terena P.

2. definicija: Linearna školjka L sistemi A je skup svih linearnih kombinacija vektora sistema A. Oznaka L(A).

Može se pokazati da za bilo koja dva sistema A I B,

A linearno izražena kroz B ako i samo ako . (jedan)

A je ekvivalentno B ako i samo ako L(A)=L(B). (2)

Dokaz slijedi iz prethodnog svojstva

3 Linearni raspon bilo kojeg sistema vektora je podprostor prostora V.

Dokaz

Uzmite bilo koja dva vektora i L(A), koji ima sljedeće ekspanzije u vektorima iz A: . Hajde da proverimo izvodljivost uslova 1) i 2) kriterijuma:

Pošto je to linearna kombinacija vektora sistema A.

Pošto je to i linearna kombinacija vektora sistema A.

Razmotrimo sada matricu. Linearna ljuska redova matrice A naziva se prostor redova matrice i označava se L r (A). Linearni omotač matričnih kolona A naziva se prostor kolona i označava se L c (A). Imajte na umu da za prostor reda i stupca matrice A su podprostori različitih aritmetičkih prostora P n I pm respektivno. Koristeći tvrdnju (2) možemo doći do sljedećeg zaključka:

Teorema 3: Ako se jedna matrica dobije iz druge lancem elementarnih transformacija, tada se prostori redova takvih matrica poklapaju.

Zbir i presjek podprostora

Neka bude L I M- dva podprostora prostora R.

Iznos L+M se naziva skup vektora x+y , gdje x ∈L I y ∈M. Očigledno, bilo koja linearna kombinacija vektora iz L+M pripada L+M, Shodno tome L+M je podprostor prostora R(može se podudarati sa prostorom R).

prelaz L∩M podprostori L I M je skup vektora koji istovremeno pripadaju podprostorima L I M(može se sastojati samo od nul-vektora).

Teorema 6.1. Zbir dimenzija proizvoljnih podprostora L I M konačnodimenzionalni linearni prostor R jednaka je dimenziji zbira ovih podprostora i dimenziji presjeka ovih podprostora:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Dokaz. Označiti F=L+M I G=L∩M. Neka bude G g-dimenzionalni podprostor. U njemu biramo osnovu. Jer G⊂L I G⊂M, dakle osnova G može se dodati bazi L i do baze M. Neka je osnova podprostora L i neka je osnova podprostora M. Pokažimo da su vektori

(6.1) čine osnovu F=L+M. Da bi vektori (6.1) formirali osnovu prostora F moraju biti linearno nezavisni i bilo koji vektor prostora F može se predstaviti linearnom kombinacijom vektora (6.1).

Dokažimo linearnu nezavisnost vektora (6.1). Neka je nulti vektor prostora F je predstavljen linearnom kombinacijom vektora (6.1) sa nekim koeficijentima:

Lijeva strana (6.3) je vektor potprostora L, a desna strana je vektor podprostora M. Otuda vektor

(6.4) pripada podprostoru G=L∩M. S druge strane, vektor v može biti predstavljen linearnom kombinacijom baznih vektora podprostora G:

(6.5) Iz jednačina (6.4) i (6.5) imamo:

Ali vektori su osnova podprostora M, dakle oni su linearno nezavisni i . Tada (6.2) poprima oblik:

Zbog linearne nezavisnosti osnove podprostora L imamo:

Pošto se pokazalo da su svi koeficijenti u jednačini (6.2) jednaki nuli, vektori

su linearno nezavisne. Ali bilo koji vektor z od F(po definiciji zbira potprostora) može se predstaviti zbirom x+y , gdje x ∈ Ly ∈ M. Zauzvrat x je predstavljen linearnom kombinacijom vektora a y - linearna kombinacija vektora. Stoga vektori (6.10) generiraju podprostor F. Otkrili smo da vektori (6.10) čine osnovu F=L+M.

Proučavanje baza potprostora L I M i podprostornu osnovu F=L+M(6.10), imamo: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. posljedično:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Direktan zbir podprostora

Definicija 6.2. Prostor F je direktan zbir podprostora L I M, ako je svaki vektor x prostor F može se predstaviti samo kao zbir x=y+z , gdje y ∈L i z ∈M.

Direktan zbir je označen L⊕M. Kažu da ako F=L⊕M, onda F dekomponuje na direktan zbir svojih podprostora L I M.

Teorema 6.2. Da bi n-dimenzionalni prostor R bio direktan zbir podprostora L I M, dovoljno je da raskrsnica L I M sadrži samo nulti element i da je dimenzija R jednaka zbroju dimenzija podprostora L I M.

Dokaz. Odaberimo neku bazu u podprostoru L i neku bazu u podprostoru M. Dokažimo to

(6.11) je osnova prostora R. Po hipotezi teoreme, dimenzija prostora R n jednak je zbiru podprostora L I M (n=l+m). Dovoljno je dokazati linearnu nezavisnost elemenata (6.11). Neka je nulti vektor prostora R je predstavljen linearnom kombinacijom vektora (6.11) sa nekim koeficijentima:

(6.13) Budući da je lijeva strana (6.13) vektor potprostora L, a desna strana je vektor podprostora M I L∩M=0 , onda

(6.14) Ali vektori i su baze podprostora L I M respektivno. Stoga su linearno nezavisni. Onda

(6.15) Utvrdili smo da (6.12) vrijedi samo pod uvjetom (6.15), a to dokazuje linearnu nezavisnost vektora (6.11). Stoga oni čine osnovu u R.

Neka je x∈R. Proširujemo ga u smislu osnove (6.11):

(6.16) Iz (6.16) imamo:

(6.18) Iz (6.17) i (6.18) slijedi da bilo koji vektor iz R može biti predstavljen zbirom vektora x 1 ∈L I x 2 ∈M. Ostaje dokazati da je ovaj prikaz jedinstven. Neka pored reprezentacije (6.17) ima i sljedeći prikaz:

(6.19) Oduzimanjem (6.19) od (6.17) dobijamo

(6.20) Budući da , i L∩M=0 , zatim i . Stoga i . ■

Teorema 8.4 o dimenziji zbira potprostora. Ako su i podprostori konačno-dimenzionalnog linearnog prostora , tada je dimenzija zbira potprostora jednaka zbroju njihovih dimenzija bez dimenzije njihovog presjeka ( Grassmannova formula):

(8.13)

Doista, neka bude osnova raskrižja . Dopunimo ga uređenim skupom vektora do osnove podprostora i uređenim skupom vektora do baze podprostora . Takav dodatak je moguć prema teoremi 8.2. Od ova tri skupa vektora sastavit ćemo uređeni skup vektora. Pokažimo da su ovi vektori generatori prostora . Zaista, svaki vektor ovog prostora može se predstaviti kao linearna kombinacija vektora iz uređenog skupa

Shodno tome, . Dokažimo da su generatori linearno nezavisni i stoga su osnova prostora. Zaista, napravimo linearnu kombinaciju ovih vektora i izjednačimo je sa nultim vektorom: . Svi koeficijenti ove ekspanzije su nula: podprostori vektorskog prostora bilinearne forme su skup svih vektora ortogonalnih na svaki vektor iz . Ovaj skup je vektorski podprostor, koji se obično označava sa .

L- raskrsnica M svi podprostori L koji sadrži X .

Linearna ljuska se također naziva generiran podprostor X. Obično se označava. Takođe se kaže da je linearni raspon ispružen preko mnogo X .

Svojstva

vidi takođe

Linkovi

Wikimedia fondacija. 2010 .

• Jangar
• Stanje plaćanja

Pogledajte šta je "Linearna školjka" u drugim rječnicima:

LINEAR SHELL- presek M svih podprostora koji sadrže skup Avektorskog prostora E. U ovom slučaju, Mnas. također podprostor koji je generirao A. M. I. Voitsekhovsky ... Mathematical Encyclopedia

Linearni omotač vektora

Linearni omotač vektora- skup linearnih kombinacija ovih vektora ∑αiai sa svim mogućim koeficijentima (α1, …, αn) … Ekonomsko-matematički rječnik

linearni raspon vektora- Skup linearnih kombinacija ovih vektora ??iai sa svim mogućim koeficijentima (?1, ..., ?n). Teme ekonomija EN linearni trup…

linearna algebra- Matematička disciplina, grana algebre, koja sadrži, posebno, teoriju linearnih jednačina, matrica i determinanti, kao i teoriju vektorskih (linearnih) prostora. Linearna zavisnost "odnos oblika: a1x1 + a2x2 + ... + ... ... Priručnik tehničkog prevodioca

Linearna zavisnost- “relacija oblika: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, gdje su a1, a2, …, an brojevi, od kojih je barem jedan različit od nule; x1, x2, …, xn su određeni matematički objekti za koje su definirane operacije sabiranja… Ekonomsko-matematički rječnik

školjka- vidi Linearna školjka... Ekonomsko-matematički rječnik

Linearna zavisnost

Linearna kombinacija- Linearni prostor ili vektorski prostor je glavni predmet proučavanja linearne algebre. Sadržaj 1 Definicija 2 Najjednostavnija svojstva 3 Povezane definicije i svojstva ... Wikipedia

LINE GROUP je grupa linearnih transformacija vektorskog prostora V konačne dimenzije n nad nekim tijelom K. Izborom baze u prostoru V ostvaruje se L. r. Mathematical Encyclopedia

Knjige

• Linearna algebra. Udžbenik i radionica za softver otvorenog koda Kupite za 1471 UAH (samo za Ukrajinu)
• Linearna algebra. Udžbenik i radionica za akademsku maturu, Kremer N.Sh.. Ovaj udžbenik uključuje niz novih pojmova i dodatnih pitanja, kao što su norma matrice, metoda dopunjavanja bazi, izomorfizam linearnih prostora, linearni podprostori, linearni ...