Segment N prirodnog niza je skup prirodnih brojeva koji ne prelazi prirodni broj a, tj. N = (x|x N i x a).
Na primjer, N je skup prirodnih brojeva koji ne prelazi 7, tj. N =(1,2,3,4,5,6,7).
Napominjemo dva važna svojstva segmenata prirodnog niza:
1) Svaki segment N sadrži jedinicu. Ovo svojstvo proizlazi iz definicije segmenta prirodnog niza.
2) Ako je broj x sadržan u segmentu N i x a, tada je i broj x + 1 koji odmah iza njih također sadržan u N.
Skup A se naziva konačnim ako je po veličini ekvivalentan nekom segmentu N prirodnog niza. Na primjer, skup A vrhova trougla, skup slova B u riječi "svijet" su konačni skupovi, jer oni su ekvivalentni segmentu N = (1,2,3), tj. A~B~N .
Ako je neprazan konačni skup A ekvivalentan segmentu N, tada se prirodni broj a naziva brojem elemenata skupa A i piše n(A) = a. Na primjer, ako je A skup vrhova trougla, tada je n(A) = 3.
Svaki neprazan konačni skup je ekvivalentan jednom i samo jednom segmentu prirodnog niza, tj., svaki konačni skup A može biti pridružen jednoznačno definiranom broju a, tako da je skup A jedan prema jedan preslikan na segment N.
Uspostavljanje korespondencije jedan prema jedan između elemenata nepraznog konačnog skupa A i segmenta prirodnog niza naziva se brojanjem elemenata skupa A. Pošto samo jedan prirodni broj odgovara bilo kojem ne- prazan konačni skup, cijeli skup konačnih skupova je podijeljen u klase jednako moćnih skupova. Jedna klasa će sadržavati sve skupove od jednog elementa, druga će sadržavati skupove od dva elementa, itd. I ovaj broj se može smatrati kao zajedničko vlasništvo klasa konačnih ekvivalentnih skupova. Dakle, sa stanovišta teorije skupova, prirodni broj je opšte svojstvo klase konačnih ekvipotentnih skupova.
Broj 0 ima i teoretsku interpretaciju skupova - stavlja se u korespondenciju sa praznim skupom: n() = 0.
Dakle, prirodni broj a kao karakteristika količine može se posmatrati sa dve pozicije:
1) kao broj elemenata u skupu A, dobijen prebrojavanjem;
2) kao opšte svojstvo klase konačnih ekvivalentnih skupova.
Uspostavljena veza između konačnih skupova i prirodnih brojeva omogućava nam da damo teoretsko tumačenje relacije "manje od".
Ako je a = n(A), b = n(B), onda je broj a manji od broja b ako i samo ako je skup A ekvivalentan svom podskupu skupa B, tj. A ~ B, gdje je B B, B B, B (slika 1) . Ili kada je segment prirodnog niza N pravi podskup segmenta N, tj. N N .
Brojevi a i b su jednaki ako su određeni jednakim skupovima: a = k A~B, gdje je n(A) = a, n (B) = k. Na primjer, 2 = 2, jer n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Svojstva relacije „manje od“ za prirodne brojeve takođe dobijaju teoretsko tumačenje skupova: tranzitivnost i antisimetrija ove relacije su povezani sa činjenicom da je relacija „biti podskup“ tranzitivna i antisimetrična.
Pokažimo, koristeći teorijsku interpretaciju relacije "manje od" za prirodne brojeve, da je 2
Uzmite skup A koji sadrži 2 elementa i skup B koji sadrži 5 elemenata, tj. n(A) = 2, n(B) = 5. Na primjer, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Iz skupa B može se izdvojiti podskup B, koji je ekvivalentan skupu A: na primjer, B = (c, d) i A~B. Prema definiciji "manje od", 2
Valjanost ove nejednakosti proizlazi i iz činjenice da je N
Ova nejednakost se može vidjeti na slici 2. Neka je 2 broj krugova, a 5 broj kvadrata. Ako prekrijemo krugove na kvadrate, vidjet ćemo da neki od kvadrata ostaju nepokriveni.
To znači da je broj krugova manji od broja kvadrata, tj. 2
Teorijski množina nejednakosti 0
Upoređivanje brojeva u primarni kurs izvodi se matematika Različiti putevi- zasniva se na svim pristupima koje smo razmatrali tumačenju relacije "manje".
Teoreme o "najvećem" i "najmanjem" cijelom broju
Teorema 4 (o ''najmanjem'' cijelom broju). Svaki neprazan skup cijelih brojeva ograničen ispod sadrži najmanje wuslo. (Ovdje se, kao iu slučaju prirodnih brojeva, koristi riječ "skup" umjesto riječi "podskup"
Dokaz. Neka su O A C Z i A ograničeni odozdo, tj. 36? Zva? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Neka sada b A.
Zatim Wa e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).
Formiramo skup M od svih brojeva oblika a - b, pri čemu a prolazi kroz skup A, tj. M \u003d (c [ c \u003d a - b, a E A)
Očigledno je da skup M nije prazan, pošto je A 74 0
Kao što je gore navedeno, M C N . Prema tome, prema teoremi o prirodnom broju (54, poglavlje III), skup M sadrži najmanji prirodni broj m. Tada je m = a1 - b za neki broj a1? A, a pošto je m najmanji u M, onda je Va? A(t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teorema 5 (o „najvećem“ cijelom broju). Svaki neprazan, odozgo ograničen skup cijelih brojeva sadrži najveći broj.
Dokaz. Neka su O 74 A C Z i A odozgo ograničeni brojem b, tj. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b za sve brojeve a? ALI.
Prema tome, skup M (sa r = -a, a? A) nije prazan i omeđen je odozdo brojem (-6). Dakle, prema prethodnoj teoremi, skup M sadrži najmanji broj, tj. as? MUs? M (sa< с).
Ovo znači wah? A(s< -а), откуда Уа? А(-с >a)
3. Različiti oblici metode matematičke indukcije za cijele brojeve. Teorema dijeljenja s ostatkom
Teorema 1 (prvi oblik metode matematičke indukcije). Neka je P(c) predikat na jednom mjestu definiran na skupu Z cijelih brojeva, 4 . Tada ako za neki BROJ a Z prijedlog P(o) i za proizvoljni cijeli broj K > a iz P(K) slijedi P(K -4- 1), onda prijedlog P(r) vrijedi za sve cijeli brojevi, t brojevi c > a (tj. na skupu Z je tačno sledeća formula predikatski račun:
P(a) luk > + 1)) Vc > aP(c)
za bilo koji fiksni cijeli broj a
Dokaz. Pretpostavimo da je za rečenicu P(c) tačno sve što je rečeno u uslovu teoreme, tj.
1) P(a) - tačno;
2) UK SC na + je također tačno.
Naprotiv. Pretpostavimo da postoji takav broj
b > a, da je RF) - netačno. Očigledno je da je b a, pošto je P(a) tačno. Formiramo skup M = (z? > a, P(z) je netačan).
Tada je skup M 0 , pošto b? M i M- je odozdo ograničen brojem a. Dakle, prema teoremi najmanjeg cijelog broja (teorema 4, 2), skup M sadrži najmanji cijeli broj c. Otuda c > a, što opet implicira c - 1 > a.
Dokažimo da je P(c-1) tačno. Ako je c-1 = a, onda je P(c-1) istinit na osnovu uslova.
Neka je c-1 > a. Onda pretpostavka da je P(c - 1) lažna implicira članstvo sa 1? M, što ne može biti, pošto je broj c najmanji u skupu M.
Dakle, c - 1 > a i P(c - 1) je tačno.
Dakle, na osnovu uslova ove teoreme, rečenica R((s- 1) + 1) je tačna, tj. R(s) je tačno. Ovo je u suprotnosti sa izborom broja c, pošto c? M Teorema je dokazana.
Imajte na umu da ova teorema generalizira korolar 1 iz Peanovih aksioma.
Teorema 2 (drugi oblik metode matematičke indukcije za cijele brojeve). Neka je P(c) neki jednomjesni prefiks definiran na skupu Z cijelih brojeva. Tada ako je prijedlog P(c) važeći za neki cijeli broj K i za proizvoljan cijeli broj s K iz valjanosti prijedloga P(c) za sve cijele brojeve koji zadovoljavaju nejednakost K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >TO.
Dokaz ove teoreme u velikoj mjeri ponavlja dokaz slične teoreme za prirodne brojeve (teorema 1, 55, poglavlje III).
Teorema 3 (treći oblik metode matematičke indukcije). Neka je P(c) predikat na jednom mjestu definiran na skupu Z cijelih brojeva. Zatim, ako je P(c) istinit za sve brojeve nekog beskonačnog podskupa M skupa prirodnih brojeva i za proizvoljan cijeli broj a, istinitost P(a) implicira istinitost P (a - 1), tada je prijedlog P(c) vrijedi za sve cijele brojeve brojeva.
Dokaz je sličan dokazu odgovarajuće teoreme za prirodne brojeve.
Nudimo ga kao zanimljivu vježbu.
Imajte na umu da je u praksi treći oblik matematičke indukcije rjeđi od ostalih. Ovo se objašnjava činjenicom da je za njegovu primjenu potrebno poznavati beskonačan podskup M skupa prirodnih brojeva", koji se spominje u teoremi. Pronalaženje takvog skupa može biti težak zadatak.
Ali prednost trećeg oblika nad ostalima je u tome što se uz njegovu pomoć dokazuje tvrdnja P(c) za sve cijele brojeve.
U nastavku dajemo zanimljiv primjer primjene trećeg oblika. Ali prvo, hajde da damo jedan veoma važan koncept.
Definicija. Apsolutna vrijednost cijelog broja a je broj određen pravilom
0 ako je a O a ako je a > O
I ako a< 0.
Dakle, ako je a 0, onda ? N.
Pozivamo čitaoca kao vježbu da dokaže sljedeća svojstva apsolutne vrijednosti:
Teorema (o dijeljenju s ostatkom). Za bilo koje cijele brojeve a i b, gdje je b 0, postoji, i štaviše, samo jedan par brojeva q U m takav da je a r: bq + T A D.
Dokaz.
1. Postojanje para (q, m).
Neka a, b? Z i 0. Pokažimo da postoji par brojeva q koji zadovoljava uslove
Dokaz se izvodi indukcijom u trećem obliku na broj a za fiksni broj b.
M = (mlm = n lbl, n? N).
Očigledno, M C lt je preslikavanje f: N M definisano pravilom f(n) = nlbl za bilo koje n? N, je bijekcija. To znači da je M N, tj. M je beskrajan.
Dokažimo to za proizvoljan broj a? M (i b-fiksno) tvrdnja teoreme o postojanju para brojeva q i m je tačna.
Zaista, neka je a (- M. Onda a pf! za neko n? N.
Ako je b > 0, onda je a = n + 0. Sada postavljajući q = n i m 0, dobijamo traženi par brojeva q i m. Ako je b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Hajde da sada napravimo induktivnu pretpostavku. Pretpostavimo da je za proizvoljan cijeli broj c (i proizvoljan fiksni b 0) tvrdnja teoreme tačna, tj. postoji par brojeva (q, m) tako da
Dokažimo da je to tačno i za broj (sa 1) . Jednakost c = bq -4- implicira bq + (m - 1). (jedan)
Mogući su slučajevi.
1) m > 0. Tada je 7" - 1 > 0. U ovom slučaju, postavljanjem - m - 1, dobijamo c - 1 - bq + Tl, gdje par (q, 7" 1,) očigledno zadovoljava uslov
0. Tada je s - 1 bq1 + 711 , gdje je q1
Lako možemo dokazati da je 0< < Д.
Dakle, izjava je tačna i za par brojeva
Prvi dio teoreme je dokazan.
P. Jedinstvenost para q, itd.
Pretpostavimo da za brojeve a i b 0 postoje dva para brojeva (q, m) i (q1, koji tada zadovoljavaju uslove (*)
Dokažimo da se poklapaju. Pa neka
i a bq1 L O< Д.
To implicira da je b(q1 -q) m - 7 1 1. Iz ove jednakosti slijedi da
Ako sada pretpostavimo da je q ql , onda je q - q1 0, odakle je lq - q1l 1. Množenjem ovih nejednakosti član po član brojem lbl, dobijamo φ! - q11 D. (3)
Istovremeno, iz nejednakosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
vježbe:
1. Dovršite dokaze teorema 2 i 3 od 5 1.
2. Dokazati korolar 2 teoreme 3, 1.
3. Dokazati da je podskup H ⊂ Z koji se sastoji od svih brojeva oblika< п + 1, 1 >(n? N), zatvorena je pri sabiranju i množenju.
4. Neka H znači isti skup kao u vježbi 3. Dokažite da preslikavanje j : M zadovoljava uslove:
1) j - bijekcija;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) i j(nm) = j(n) j(m) za bilo koje brojeve n, m (tj. j izvodi izomorfizam algebri ( N, 4 i (H, + ,).
5. Dovršite dokaz teoreme 1 od 2.
6. Dokažite da su za bilo koje cijele brojeve a, b, c tačne sljedeće implikacije:
7. Dokažite drugu i treću teoremu iz 3.
8. Dokazati da prsten Z cijelih brojeva ne sadrži djelioce nule.
Književnost
1. Bourbaki N. Teorija skupova. M.: Mir, 1965.
2. I. M. Vinogradov, Osnove teorije brojeva. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov, I. T. Osnove aritmetike. Moskva: Učpedgiz, 1963.
4. M. I. Kargapolov i Yu. I. Merzlyakov, Osnove teorije grupa.
Moskva: Nauka, 1972.
5. A. I. Kostrikin, Uvod u algebru. Moskva: Nauka, 1994.
b. Kulikov L. Ya. Algebra i teorija brojeva. M.: Više. škola, 1979.
7. Kurosh A.G. Kurs više algebre. Moskva: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Osnovni koncepti školske matematike. M.: Prosvjeta, 1987.
9. Lyapin EU. i druge vježbe iz teorije grupa. Moskva: Nauka, 1967.
10. Maltsev A. I. Algebarski sistemi. Moskva: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Uvod u matematičku logiku. Moskva: Nauka, 1971.
12. Nechaev V.I. Numerički sistemi. M.: Obrazovanje, 1975.
13. Novikov P.S. Elementi matematičke logike. M.. Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Predavanja iz algebre i geometrije.: U 14 časova.
CHL. M.: Vladoš, 1999.
15. Savremeni temelji školskog predmeta matematike Avt. saradnik: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. Moskva: Obrazovanje, 1980.
16. L. A. Skornjakov, Elementi algebre. Moskva: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Skup, logika, aksiomatske teorije. M.; Prosvjeta, 1968.
18. Stolyar A. A. Logički uvod u matematiku. Minsk: VYSHEYSH. škola, 1971.
19. V. P. Filippov, Algebra i teorija brojeva. Volgograd: vgpi, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hiel I. Osnove teorije skupova. M.: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Djelomično uređeni sistemi. M.: Mir, 1965.
Edukativno izdanje
Vladimir Konstantinovič Kartašov
UVOD U MATEMATIKU
Urednička priprema O. I. Molokanova Originalni izgled pripremio A. P. Boščenko
„PR 020048 od 20.12.96
Potpisano za objavljivanje 28. avgusta 1999. Format 60x84/16. Kancelarijsko štampanje. Bum. tip. M 2. Uel. pećnica l. 8.2. Uč.-ed. l. 8.3. Tiraž 500 primjeraka. Narudžba 2
Izdavačka kuća "Promena"
Prirodni broj je broj koji se koristi u brojanju objekata. Nastala je iz praktičnih potreba čovjeka. Razvoj koncepta prirodnog broja može se podijeliti u nekoliko faza: 1. stari ljudi, da bi uporedili skup, uspostavljali su korespondencije: na primjer, koliko prst na ruci. Nedostatak je što su upoređivani skupovi morali biti vidljivi u isto vrijeme. 2. Mnogi - posrednici, na primjer, kamenje, školjke, štapovi. Koncept broja još nije formiran. I brojevi su vezani za određene stavke. 3. Izgled broja (Označavanje broja u obliku brojeva). Poreklo aritmetike. Aritmetika kao nauka nastala je u zemljama Drevnog Istoka - Kini, Indiji, Egiptu, dalje se razvijala u Grčkoj. Termin "prirodni broj" prvi je upotrebio rimski naučnik Boetije. Brojanje je potrebno da bi se odredila količina seta. Podijelimo sve kvantitativne skupove u klase ekvivalencije, na primjer, u jednu klasu eq. uključivat će skupove vrhova trouglova, stranice kvadrata, skup slova u svijetu riječi. Ako nastavimo sa ovim procesom, onda zbog činjenice da je u odnosu na ekvivalentnost - sve jednako moćan odnos. Konačni skupovi će biti po klasama. To. teoretski - množinsko značenje kvantitativnog prirodnog broja - je opšte svojstvo klase konačnih ekvivalentnih skupova. Svaka klasa ima svoju numeričku vrijednost. Nula je postavljena da odgovara praznom skupu.
Za brojeve A i B kažemo da su jednaki ako su određeni jednakim skupovima.
Ova metoda se koristi u osnovnim razredima.
Metodologija rada na zadacima koji otkrivaju specifično značenje aritmetičke operacije.
Aritmetički zadaci u nastavi matematike zauzimaju značajno mjesto. Gotovo polovina vremena na časovima matematike posvećena je rješavanju problema. To je zbog njihove velike odgojne i obrazovne uloge koju imaju u podučavanju djece. Rješavanje aritmetičkih zadataka pomaže u otkrivanju glavnog značenja aritmetičkih operacija, konkretiziranju i povezivanju s određenom životnom situacijom. Zadaci doprinose asimilaciji matematičkih pojmova, odnosa, obrazaca. Prilikom rješavanja problema djeca razvijaju voljnu pažnju, zapažanje, logičko razmišljanje, govor, inteligencija. Rješavanje problema doprinosi razvoju ovakvih procesa kognitivna aktivnost poput analize, sinteze, poređenja, generalizacije.
U procesu rješavanja aritmetičkih zadataka učenici uče planirati i kontrolirati svoje aktivnosti, ovladavaju tehnikama, samokontrolom (provjera zadatka, procjenjivanje problema i sl.), razvijaju istrajnost, volju, razvijaju interesovanje za pronalaženje rješenja za problem. Velika je uloga rješavanja problema u pripremi djece za život, za njihovu dalju radnu aktivnost. Prilikom rješavanja zapleta, učenici uče da odnose između objekata i veličina prevedu na „jezik matematike“. U aritmetičkim zadacima koristi se numerički materijal koji odražava uspjehe zemlje u različitim sektorima nacionalne ekonomije, kulture, nauke itd. To pomaže da se prošire horizonti učenika, obogaćujući ih novim saznanjima o okolnoj stvarnosti. Sposobnost rješavanja aritmetičkih zadataka učenici savladavaju sa velikim poteškoćama.
Razlozi za pogrešno rješavanje problema djece leže prvenstveno u posebnostima njihovog razmišljanja. U procesu učenja rješavanja problema treba izbjegavati treniranje u rješavanju problema određenog tipa, naučiti se svjesnom pristupu rješavanju problema, naučiti se snalaziti u određenoj životnoj situaciji opisanoj u problemu, naučiti svjesnom odabiru podataka zadatka , svjestan izbor radnji. U procesu rada na bilo kojem aritmetičkom problemu mogu se razlikovati sljedeće faze:
1. Radite na sadržaju zadatka.
2. Potražite rješenje problema.
3. Rješenje problema.
4. Formulacija odgovora.
5. Provjera rješenja problema.
6. Nastavak rada na riješenom problemu.
Mnogo pažnje treba posvetiti radu na sadržaju zadatka, tj. preko razumijevanja situacije postavljene u problemu, uspostavljanja odnosa između podataka i željenog. Redoslijed rada na savladavanju sadržaja zadatka;
a) raščlanjivanje nerazumljivih riječi ili izraza;
b) čitanje teksta zadatka od strane nastavnika i učenika;
c) evidentiranje stanja problema;
d) ponavljanje zadatka na pitanja.
Učenike treba naučiti izražajnom čitanju teksta problema. Treba imati na umu da djecu posebno treba podučavati izražajnom čitanju, ne mogu sama pravilno pročitati problem, ne mogu staviti logičke naglaske itd.
Uz specifikaciju sadržaja zadatka uz pomoć predmeta, šablona i crteža, u praksi nastavnika u školama široko se koriste i sljedeći oblici snimanja sadržaja zadatka:
1. Skraćeni oblik pisanja, u kojem se iz teksta zadatka ispisuju brojčani podaci i samo one riječi i izrazi koji su potrebni za razumijevanje logičkog značenja problema.
2. Skraćeni strukturalni oblik zapisa, u kojem se svaki logički dio problema piše iz novog reda.
3. Šematski oblik pisanja.
4. Grafički oblik snimanja.
Budući da je funkcija kontrole kod djece oslabljena, provjera rješenja problema ima ne samo edukativnu, već i edukativnu vrijednost. U nižim razredima potrebno je:
1. Provjerite verbalno formulirane zadatke izvođenjem radnje na objektima.
2. Provjerite realnost odgovora.
3. Provjerite usklađenost odgovora sa uslovom i pitanjem zadatka. Provjera rješenja zadatka na druge načine rješavanja moguća je od 4. razreda.
Za kontrolu ispravnosti rješenja zadatka koriste se i neki elementi programiranog učenja. Ovaj element je vrlo koristan u tome što učenik odmah dobije pojačanje za ispravnost ili, obrnuto, zabludu svojih postupaka. Ako je odluka pogrešna, traži nova rješenja.
Nastavnik u školi često ne može biti siguran da rješenje problema razumiju svi učenici. Stoga je vrlo korisno raditi na rješavanju ovog problema. Rad na rješavanju problema može se izvesti na različite načine.
1. Postavljaju se čvorna pitanja u vezi sa sadržajem zadatka.
2. Predlaže se da se ispriča ceo tok rešavanja problema sa obrazloženjem za izbor radnji.
3. Pitanja se postavljaju u odvojene radnje ili pitanja. Za studente nije bitan broj riješenih sličnih zadataka, već razumijevanje predmetne situacije u odnosu na podatke. Ovom cilju služi naknadni rad na riješenom problemu, koji se može smatrati važnom tehnikom koja formira vještine rješavanja problema ovog tipa. Bolje razumijevanje predmetnog sadržaja zadataka, odnosa između podataka i željenog olakšava se rješavanjem zadataka s brojčanim podacima koji su suvišni ili nedostaju, napisanim ne brojevima, već riječima. Zapažanja pokazuju da najbolji nastavnici široko koriste, kao jednu od metoda nastavnog rješavanja problema, kompilaciju problema od strane samih učenika.
Sastavljanje zadataka pomaže djeci da bolje razumiju vitalni i praktični značaj zadatka, da bolje razumiju njegovu strukturu, kao i da razlikuju zadatke različitih vrsta, da razumiju metode za njihovo rješavanje. Formulacija problema se provodi paralelno sa rješenjem spremni zadaci. Iskustvo i zapažanje pokazuju da je učenicima najlakše sastavljati zadatke dijelom. Učenike treba ohrabriti da sastavljaju zadatke sa različitim zapletima. To doprinosi razvoju njihove mašte, genijalnosti, inicijativi. Veoma je korisno kada učenici za sastavljanje zadataka crpe materijal koji „dobiju“ na ekskurziji, iz priručnika, novina, časopisa itd. Srednjoškolce treba naučiti kako da popunjavaju i pišu poslovnu dokumentaciju vezanu za određene obračune. Na primjer, napišite punomoć, ispunite obrazac za prijenos novca itd. Sve gore navedene metode mogu se široko koristiti u rješavanju svih vrsta problema.
Jednostavan aritmetički problem je problem koji se može riješiti jednom aritmetičkom operacijom. Jednostavni zadaci igraju izuzetnu ulogu u nastavi matematike za učenike. To su jednostavni zadaci koji omogućavaju otkrivanje glavnog značenja i konkretiziranje aritmetičkih operacija, formiranje određenih matematičkih pojmova. Jednostavni zadaci su sastavni dio složenih zadataka, pa stoga, formiranjem sposobnosti za njihovo rješavanje, nastavnik priprema učenike za rješavanje složenih problema.
U svakoj akademskoj godini studenti se upoznaju sa novim tipovima jednostavnih zadataka. Njihovo postepeno uvođenje objašnjava se različitim stepenom težine matematičkih pojmova, mjestom proučavanja tih aritmetičkih operacija čije specifično značenje otkrivaju. Ništa manje pomna pažnja nastavnika pri odabiru zadataka ovog tipa ne zaslužuje i konkretizaciju i sadržaj. Na kraju, nastavnik uči da konkretizuje sadržaj problema, otkrivajući odnos između podataka i željenog koristeći različite oblike kratkog pisanja.
Iskustvo najboljih nastavnika pokazuje da pripremu za rješavanje aritmetičkih zadataka treba započeti obogaćivanjem i razvojem praktičnog iskustva učenika, njihovom orijentacijom u okolnoj stvarnosti. Učenike je potrebno uvesti u tu životnu situaciju u kojoj moraju brojati, rješavati aritmetičke zadatke i mijenjati. Štaviše, ove situacije u početku ne treba stvarati umjetno, već ih samo treba privući i usmjeriti na pažnju učenika. Nastavnik organizuje uočavanje promene broja elemenata predmetnih skupova sadržaja posuda i sl., što doprinosi razvoju predstava učenika o broju kako bi ih upoznao sa određenom terminologijom koja će kasnije biti susreću se u verbalnoj formulaciji zadataka: postalo je, sve je ostalo, uzeli su, povećali, smanjili itd. Potrebno je organizovati igranje i praktične aktivnosti učenika na način da, kao neposredni učesnici u ovoj aktivnosti, kao i posmatrajući, sami učenici mogu da donesu zaključak u svakom pojedinačnom slučaju; broj elemenata skupa se povećao ili smanjio, a koja operacija i verbalni izraz odgovara tom povećanju ili smanjenju. Ova faza pripremnog rada poklapa se sa početkom rada na brojevima prve desetice i upoznavanjem sa računskim operacijama, sa rješavanjem i sastavljanjem primjera operacija sa predmetnim skupovima.
Prije nego počne učiti rješavanje aritmetičkih zadataka, nastavnik mora jasno zamisliti koja znanja, vještine i sposobnosti treba dati učenicima. Za rješavanje zadatka učenici moraju riješiti aritmetičke primjere, poslušati i pročitati zadatak, ponoviti zadatak po pitanjima, iz kratke bilješke, po sjećanju, istaknuti komponente u zadatku, riješiti zadatak i provjeriti njegovu ispravnost rješenja. . U 1. razredu učenici uče rješavati zadatke za pronalaženje zbroja i ostatka. Ovi zadaci se prvi put uvode pri učenju brojeva od prvih deset. U nastavi rješavanja zadataka za pronalaženje zbira identičnih članova, dijeljenje na jednake dijelove ili dijeljenje po sadržaju, treba se osloniti na razumijevanje učenika o suštini računskih operacija množenja i dijeljenja. Prije rješavanja zadatka za različito poređenje, učenici treba da daju pojam poređenja objekata jednog skupa, dva predmetna skupa, veličina, brojeva, uspostavljanje odnosa jednakosti i nejednakosti među njima. Složeni ili složeni aritmetički problem je problem koji se rješava sa dva ili veliki broj aritmetičke operacije. Psihološka istraživanja na proučavanju osobina rješavanja složenih aritmetičkih zadataka pokazuju da djeca ne prepoznaju poznate jednostavne probleme u kontekstu novog složenog problema. Pripremni radovi za rješavanje složenih zadataka treba da bude sistem vježbi, tehnika, koji ciljano vode učenike ka ovladavanju rješavanjem složenih zadataka. Nastavnik može preći na rješavanje složenih zadataka kada se uvjeri da su učenici savladali tehnike rješavanja jednostavnih zadataka koji će biti uključeni u složeni zadatak, sami mogu sastaviti jednostavan zadatak određene vrste. Kada rješavaju složene probleme, učenici moraju ili postaviti pitanja podacima ili odabrati podatke za pitanje. Dakle, u pripremnom periodu, tj. tokom prve i na početku druge godine studija studentima treba dati zadatke da:
1. Za spremno stanje, pokupite pitanja.
2. U vezi sa problemom kreirajte zadatak odabirom numeričkih podataka koji nedostaju.
Sastavljanjem jednostavnih i složenih zadataka učenici će postepeno naučiti da prepoznaju jednostavne probleme u složenom zadatku, a vježbe koje su već bile u iskustvu njihovog rješavanja su vrlo korisne vježbe za sastavljanje složenih zadataka. To će doprinijeti boljoj asimilaciji tipova jednostavnih zadataka, sposobnosti njihovog prepoznavanja u složenom zadatku i pomoći će učenicima da svjesnije analiziraju zadatke. Prilikom rješavanja složenih zadataka učenike treba podučiti općim metodama rada na problemu; sposobnost analize sadržaja zadatka, isticanje poznatih podataka, željenih (tj. utvrđivanje onoga što trebate znati u zadatku), utvrđivanje koji podaci nedostaju da biste odgovorili na glavno pitanje u zadatku. U praksi rada škole opravdao se način rada sa karticama kojim se utvrđuje redoslijed rada na zadatku. Prilikom rješavanja problema, dizajn njegovog rješenja se bilježi pitanjima ili se svaka radnja bilježi i objašnjava. Razvoj generalizovane metode za rešavanje zadataka ovog tipa obezbeđuje se višestrukim rešavanjem zadataka sa različitim tipovima, dijagramima, rešavanjem zadataka koje učenici sami pripremaju i sastavljaju, upoređujući zadatke ovog tipa sa prethodno rešenim tipovima zadataka, itd.
1. Objasniti tehniku računanja za slučajeve 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3, sve računske tehnike iz koncentratora sto.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d=2d=20
3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4ed=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4ed + 2ed \u003d 3d 6ed \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8ed-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18
6) 48-3= 4d+8w-3w=4d 5w=45
Sve metode računanja su usmene i izvode se na osnovu cifara sabiranja i oduzimanja.
Kao što znate, skup prirodnih brojeva može se urediti koristeći relaciju "manje od". Ali pravila za konstruisanje aksiomatske teorije zahtevaju da se ovaj odnos ne samo definiše, već i da se radi na osnovu koncepata koji su već definisani u datoj teoriji. Ovo se može uraditi definisanjem omjera "manje od" dodavanjem.
Definicija. Broj a je manji od broja b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Pod ovim uslovima se takođe kaže da broj b više a i pisati b > a.
Teorema 12. Za bilo koje prirodne brojeve a i b odvija se jedna i samo jedna od sljedeće tri relacije: a = b, a > b, a < b.
Izostavljamo dokaz ove teoreme.. Iz ove teoreme slijedi da ako
a ¹ b, bilo a< b, ili a > b one. relacija "manje od" ima svojstvo povezanosti.
Teorema 13. Ako a a< b i b< с. onda a< с.
Dokaz. Ova teorema izražava svojstvo tranzitivnosti relacije "manje od".
As a< b i b< с. onda, po definiciji relacije "manje od", postoje takvi prirodni brojevi to i šta b = a + k i c = b + I. Ali onda c = (a + k)+ / i na osnovu svojstva asocijativnosti sabiranja dobijamo: c = a + (k +/). Ukoliko k + I - prirodni broj, dakle, prema definiciji "manje od", a< с.
Teorema 14. Ako a a< b, to nije istina b< а. Dokaz. Ova teorema izražava svojstvo antisimetrija"manje" odnos.
Dokažimo prvo to za bilo koji prirodan broj a ne ti-!>! ■ )njen stav a< a. Pretpostavimo suprotno, tj. šta a< а odvija. Zatim, prema definiciji relacije "manje od", postoji takav prirodan broj sa,šta a+ sa= a, a to je u suprotnosti sa teoremom 6.
Hajde da sada dokažemo da ako a< b, onda to nije tačno b < a. Pretpostavimo suprotno, tj. šta ako a< b , onda b< а izvedeno. Ali iz ovih jednakosti, prema teoremi 12, imamo a< а, što je nemoguće.
Budući da je relacija “manje od” koju smo definirali antisimetrična i tranzitivna i ima svojstvo povezanosti, to je relacija linearni poredak, i skup prirodnih brojeva linearno uređen skup.
Iz definicije "manje od" i njegovih svojstava, mogu se izvesti poznata svojstva skupa prirodnih brojeva.
Teorema 15. Od svih prirodnih brojeva, jedan je najmanji broj, tj. I< а для любого натурального числа a¹1.
Dokaz. Neka bude a - bilo koji prirodan broj. Tada su moguća dva slučaja: a = 1 i a ¹ 1. Ako a = 1, onda postoji prirodan broj b, praćeno a: a \u003d b " \u003d b + I = 1 + b, tj. po definiciji "manje od", 1< a. Prema tome, svaki prirodni broj jednak je 1 ili veći od 1. Ili, jedan je najmanji prirodan broj.
Relacija "manje od" povezana je sa sabiranjem i množenjem brojeva svojstvima monotonosti.
Teorema 16.
a = b => a + c = b + c i a c = b c;
a< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c i ac > bc.
Dokaz. 1) Valjanost ove izjave proizilazi iz jedinstvenosti sabiranja i množenja.
2) Ako a< b,
onda postoji prirodan broj k,šta a
+ k = b.
Onda b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ do)= (a + c) + k. Jednakost b+ c = (a + c) + k znači da a + c< b
+ sa.
Na isti način je dokazano da a< b =>as< bс.
3) Dokaz je sličan.
Teorema 17(konverzno sa teoremom 16).
1) a+ c = b + c ili ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с ili as< bcÞ a< Ь:
3) a + c > b+ sa ili ac > bcÞ a > b.
Dokaz. Dokažimo, na primjer, to as< bс trebalo bi a< b Pretpostavimo suprotno, tj. da zaključak teoreme ne vrijedi. Onda to ne može biti a = b. jer bi tada važila jednakost ac = bc(Teorema 16); ne može biti a> b, jer bi onda ac > bc(Teorema!6). Prema tome, prema teoremi 12, a< b.
Iz teorema 16 i 17 mogu se izvesti dobro poznata pravila za sabiranje i množenje nejednačina po članu. Bacimo ih.
Teorema 18. Za bilo koje prirodne brojeve a i b; postoji prirodan broj n takav da n b> a.
Dokaz. Za bilo koga a postoji takav broj P, šta n > a. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti n = a + 1. Množenje pojma po član nejednakosti P> a i b> 1, dobijamo pb > a.
Razmatrana svojstva relacije "manje od" impliciraju bitne karakteristike skupa prirodnih brojeva koje prikazujemo bez dokaza.
1. Ne za bilo koji prirodan broj a ne postoji takav prirodan broj P,šta a< п < а +
1. Ovo svojstvo se zove imovine
diskretnost skupovi prirodnih brojeva i brojevi a i a + 1 pozvao susjedni.
2.
Svaki neprazan podskup prirodnih brojeva sadrži
najmanji broj.
3. Ako M- neprazan podskup skupa prirodnih brojeva
i postoji broj b, da za sve brojeve x iz M nije izvedeno
jednakost x< b, zatim u mnoštvu M je najveći broj.
Ilustrujmo svojstva 2 i 3 na primjeru. Neka bude M je skup dvocifrenih brojeva. As M je podskup prirodnih brojeva i za sve brojeve ovog skupa nejednakost x< 100, то в множестве M je najveći broj 99. Najmanji broj sadržan u datom skupu M, - broj 10.
Dakle, relacija "manje od" nam je omogućila da razmotrimo (i u nekim slučajevima dokažemo) značajan broj svojstava skupa prirodnih brojeva. Konkretno, linearno je uređena, diskretna, ima najmanji broj 1.
Sa omjerom "manje" ("veće") za prirodne brojeve, mlađi učenici se upoznaju na samom početku obuke. I često se, uz njeno teoretsko tumačenje skupova, implicitno koristi definicija koju smo dali u okviru aksiomatske teorije. Na primjer, učenici mogu objasniti da je 9 > 7 jer je 9 7+2. Često se i implicitno koristi svojstva monotonosti sabiranja i množenja. Na primjer, djeca objašnjavaju da je „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Vježbe
1 Zašto se skup prirodnih brojeva ne može poredati relacijom "odmah slijedi"?
Formulirajte definiciju odnosa a > b i dokazati da je tranzitivan i antisimetričan.
3. Dokažite da ako a, b, c su prirodni brojevi, onda:
a) a< b Þ ас < bс;
b) a+ sa< b + su> a< Ь.
4. Koje teoreme o monotonosti sabiranja i množenja mogu
koristiti mlađih školaraca, izvršavajući zadatak "Uporedi bez izvođenja proračuna":
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27-18.
5. Koja svojstva skupa prirodnih brojeva implicitno koriste mlađi učenici pri izvođenju sljedećih zadataka:
A) Zapišite brojeve koji su veći od 65 i manji od 75.
B) Imenujte prethodni i naredni broj u odnosu na broj 300 (800.609.999).
C) Koji je najmanji, a koji najveći trocifreni broj.
Oduzimanje
U aksiomatskoj konstrukciji teorije prirodnih brojeva, oduzimanje se obično definira kao inverzna operacija sabiranja.
Definicija. Oduzimanje prirodnih brojeva a i b je operacija koja zadovoljava uvjet: a - b \u003d c ako i samo ako je b + c \u003d a.
Broj a - b naziva se razlika između brojeva a i b, broj a- smanjenje, broj b- subtractable.
Teorema 19. Razlika prirodnih brojeva a- b postoji ako i samo ako b< а.
Dokaz. Pusti razliku a- b postoje. Tada, po definiciji razlike, postoji prirodan broj sa,šta b + c = a, a to znači da b< а.
Ako b< а, onda, prema definiciji relacije "manje od", postoji prirodan broj c takav da b + c = a. Zatim, po definiciji razlike, c \u003d a - b, one. razlika a - b postoje.
Teorema 20. Ako je razlika prirodnih brojeva a i b postoji, onda je jedinstven.
Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije različite vrijednosti razlike između brojeva a i b;: a - b= c₁ i a - b= c₂, i c₁ ¹ c₂ . Tada, po definiciji razlike, imamo: a = b + c₁, i a = b + c₂ : . Otuda to slijedi b+ c ₁ = b + c₂ : i na osnovu teoreme 17 zaključujemo, c₁ = c₂.. Došli smo do kontradikcije sa pretpostavkom, što znači da je netačna, a ova teorema je tačna.
Na osnovu definicije razlike prirodnih brojeva i uslova za njeno postojanje, moguće je potkrijepiti poznata pravila za oduzimanje broja od zbira i zbira od broja.
Teorema 21. Neka bude a. b i sa- cijeli brojevi.
i ako a > c, tada (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Ako b > c. onda (a + b) - c - a + (b - c).
c) Ako a > c i b > c. tada možete koristiti bilo koju od ovih formula.
Dokaz. U slučaju a) razlika brojeva a i c postoji jer a > c. Označimo ga sa x: a - c \u003d x. gdje a = c + x. Ako a (a+ b) - c = y. onda, po definiciji razlike, a+ b = sa+ at. Zamenimo ovu jednakost umjesto a izraz c + x:(c + x) + b = c + y. Koristimo svojstvo asocijativnosti sabiranja: c + (x + b) = c+ at. Ovu jednakost transformiramo na osnovu svojstva monotonosti sabiranja, dobijamo:
x + b = y..Zamjena x u ovoj jednadžbi sa izrazom a - c,će imati (a - G) + b = y. Tako smo dokazali da ako a > c, tada (a + b) - c = (a - c) + b
Dokaz se izvodi na sličan način u slučaju b).
Dokazana teorema može se formulisati kao pravilo koje se lako pamti: da bi se oduzeo broj od zbira, dovoljno je da se od jednog člana zbira oduzme ovaj broj i dobijenom rezultatu doda još jedan član.
Teorema 22. Neka bude a, b i c - cijeli brojevi. Ako a a > b+ c, onda a- (b + c) = (a - b) - c ili a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
Dokaz ove teorije je sličan dokazu teoreme 21.
Teorema 22 se može formulisati po pravilu, da bi se od broja oduzeo zbir brojeva, dovoljno je oduzeti od ovog broja sukcesivno svaki član jedan za drugim.
U osnovnoj nastavi matematike definicija oduzimanja kao inverza sabiranja, u opšti pogled, u pravilu se ne daje, ali se stalno koristi, počevši od izvođenja operacija nad jednocifrenim brojevima. Učenici treba da budu dobro svjesni da je oduzimanje povezano sa sabiranjem i da koriste ovaj odnos prilikom računanja. Oduzimajući, na primjer, broj 16 od broja 40, učenici razmišljaju na sljedeći način: „Oduzmite broj 16 od 40 – šta znači pronaći broj koji, kada se doda broju 16, daje 40; ovaj broj će biti 24, pošto je 24 + 16 = 40. Dakle. 40 - 16 = 24".
Pravila za oduzimanje broja od zbira i zbira od broja u predmetu osnovne matematike su teorijske osnove razne metode obračuna. Na primjer, vrijednost izraza (40 + 16) - 10 može se pronaći ne samo izračunavanjem sume u zagradama, a zatim oduzimanjem broja 10 od njega, već i na ovaj način;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Vježbe
1. Da li je tačno da se svaki prirodan broj dobija od neposrednog sledećeg oduzimanjem jedan?
2. Koja je posebnost logičke strukture teoreme 19? Može li se formulisati riječima "neophodan i dovoljan"?
3. Dokažite da:
i ako b > c, onda (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) ako a > b + c, onda a - (b+ c) = (a - b) - c.
4. Da li je moguće, bez izvođenja proračuna, reći koji će izrazi biti jednaki:
a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16 - 14.
5. Koja svojstva oduzimanja su teorijska osnova sljedećih metoda računanja koje se proučavaju u početnom kursu matematike:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Opišite moguće načine izračunavanja vrijednosti izraza forme. a - b- sa i ilustrirajte ih konkretnim primjerima.
7. Dokažite to za b< а i svaka prirodna c jednakost (a - b) c \u003d ac - bc.
Uputstvo. Dokaz je zasnovan na aksiomu 4.
8. Odredite vrijednost izraza bez izvođenja pismenih proračuna. Obrazložite odgovore.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; c) 12 × 36 - 7 × 36.
divizija
U aksiomatskoj konstrukciji teorije prirodnih brojeva, deljenje se obično definiše kao inverzna operacija množenja.
Definicija. Podjela prirodnih brojeva a i b je operacija koja zadovoljava uvjet: a: b = c ako i samo ako, to kada b× c = a.
Broj a:b pozvao privatni brojevi a i b, broj a djeljiv, broj b- razdjelnik.
Kao što je poznato, podjela na skup prirodnih brojeva ne postoji uvijek, i ne postoji tako pogodan kriterij za postojanje količnika kao što postoji za razliku. Postoji samo neophodno stanje privatno postojanje.
Teorema 23. Da bi postojao količnik dva prirodna broja a i b, potrebno je da b< а.
Dokaz. Neka je količnik prirodnih brojeva a i b postoji, tj. postoji prirodan broj c takav da bc = a. Budući da za bilo koji prirodan broj 1 vrijedi nejednakost 1 £ sa, zatim, množenjem oba njegova dijela prirodnim brojem b, dobijamo b£ bc. Ali bc \u003d a, dakle, b£ a.
Teorema 24. Ako je količnik prirodnih brojeva a i b postoji, onda je jedinstven.
Dokaz ove teoreme sličan je dokazu teoreme o jedinstvenosti razlike prirodnih brojeva.
Na osnovu definicije parcijalnih prirodnih brojeva i uslova za njegovo postojanje, moguće je potkrijepiti poznata pravila za dijeljenje zbira (razlike, proizvoda) brojem.
Teorema 25. Ako brojevi a i b podijeljeno brojem sa, zatim njihov zbir a + b je djeljiv sa c, i količnik dobijen dijeljenjem sume a+ b po broju sa, jednak je zbroju količnika dobijenih dijeljenjem a na sa i b na sa, tj. (a + b):c \u003d a: c + b:sa.
Dokaz. Od broja a podijeljena sa, onda postoji prirodan broj x = a; s tim a = cx. Slično, postoji prirodan broj y = b:sa,šta
b= su. Ali onda a + b = cx+ su = - c(x + y). To znači da a + b je djeljiv sa c, i količnik dobijen dijeljenjem sume a+ b na broj c, jednako x + y, one. ax + b: c.
Dokazana teorema može se formulisati kao pravilo za dijeljenje zbira brojem: da bi se zbir podijelio brojem, dovoljno je svaki član podijeliti ovim brojem i sabrati dobijene rezultate.
Teorema 26. Ako su prirodni brojevi a i b podijeljeno brojem sa i a > b onda razlika a - b je djeljiv sa c, a količnik koji se dobije dijeljenjem razlike brojem c jednak je razlici količnika dobivenih dijeljenjem a na sa i b do c, tj. (a - b):c \u003d a:c - b:c.
Dokaz ove teoreme izvodi se slično kao i dokaz prethodne teoreme.
Ova teorema se može formulirati kao pravilo za dijeljenje razlike brojem: za Da bi se razlika podijelila brojem, dovoljno je ovaj broj podijeliti minus i oduzeti, a od prvog količnika oduzeti drugi.
Teorema 27. Ako je prirodan broj a je djeljiv prirodnim brojem c, tada za bilo koji prirodan broj b rad ab je podijeljen na str. U ovom slučaju, količnik dobiven dijeljenjem proizvoda ab na broj od , jednak je umnošku količnika dobivenog dijeljenjem a na sa, i brojevi b: (a × b):c - (a:c) × b.
Dokaz. As a podijeljena sa, onda postoji prirodan broj x takav da a:s= x, odakle a = cx. Množenje obje strane jednačine sa b, dobijamo ab = (cx)b. Pošto je množenje asocijativno, onda (cx) b = c(x b). Odavde (a b): c \u003d x b = (a: c) b. Teorema se može formulirati kao pravilo za dijeljenje proizvoda brojem: da bi se proizvod podijelio brojem, dovoljno je podijeliti jedan od faktora ovim brojem i rezultat pomnožiti drugim faktorom.
U osnovnom matematičkom obrazovanju definicija dijeljenja kao operacije inverza množenja, po pravilu, nije data u općem obliku, već se stalno koristi, počevši od prvih lekcija upoznavanja s dijeljenjem. Učenici treba da budu svjesni da je dijeljenje povezano sa množenjem i da koriste ovaj odnos u proračunima. Prilikom dijeljenja, na primjer, 48 sa 16, učenici razmišljaju ovako: „Dijeljenje 48 sa 16 znači pronalaženje broja koji će, kada se pomnoži sa 16, biti 48; ovaj broj će biti 3, pošto je 16 × 3 = 48. Dakle, 48: 16 = 3.
Vježbe
1. Dokažite da:
a) ako je količnik prirodnih brojeva a i b postoji, onda je jedinstven;
b) ako brojevi a i b se dijele na sa i a > b onda (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Da li je moguće tvrditi da su sve date jednakosti tačne:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 = 850:10:17.
Koje pravilo je generalizacija ovih slučajeva? Formulirajte to i dokažite.
3. Koja svojstva podjele su teorijska osnova
ispunjavanje sljedećih zadataka koji se nude školarcima osnovna škola:
da li je moguće, bez dijeljenja, reći koji će izrazi imati iste vrijednosti:
a) (40+ 8): 2; c) 48:3; e) (20+ 28): 2;
b) (30 + 16):3; d)(21+27):3; f) 48:2;
Jesu li tačne jednakosti:
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Opišite moguće načine izračunavanja vrijednosti izraza
tip:
a) (a+ b):c; b) a:b: with; u) ( a × b): sa .
Ilustrirajte predložene metode konkretnim primjerima.
5. Pronađite vrijednosti izraza na racionalan način; njihov
opravdati akcije:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Obrazložite sljedeće metode dijeljenja dvocifrenim brojem:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560×2 = 1120.
7. Bez dijeljenja ugla, pronađite najracionalnije
privatni način; opravdati odabranu metodu:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Predavanje 34 nenegativni brojevi
1. Skup nenegativnih cijelih brojeva. Svojstva skupa nenegativnih cijelih brojeva.
2. Pojam segmenta prirodnog niza brojeva i brojanje elemenata konačnog skupa. Redni i kvantitativni prirodni brojevi.
To državni ispit po specijalnosti
1. Linearni (vektorski) prostor iznad polja. Primjeri. Podprostori, najjednostavnija svojstva. Linearna zavisnost i vektorsku nezavisnost.
2. Osnova i dimenzija vektorski prostor. Koordinatna matrica sistema vektora. Prelazak sa jedne osnove na drugu. Izomorfizam vektorskih prostora.
3. Algebarska zatvorenost polja kompleksni brojevi.
4. Prsten cijelih brojeva. Redoslijed cijelih brojeva. Teoreme o "najvećem" i "najmanjem" cijelom broju.
5. Grupa, primjeri grupa. Najjednostavnija svojstva grupa. Podgrupe. Homomorfizam i izomorfizam grupa.
6. Osnovna svojstva djeljivosti cijelih brojeva. Jednostavni brojevi. Beskonačnost skupa prostih brojeva. Kanonska dekompozicija kompozitni broj i njegovu jedinstvenost.
7. Kronecker-Capelli teorem (kriterijum za kompatibilnost sistema linearne jednačine).
8. Osnovna svojstva poređenja. Kompletni i redukovani sistemi ostataka po modulu. Modulo prsten klase ostataka. Ojlerove i Fermatove teoreme.
9. Primjena teorije poređenja na izvođenje kriterija djeljivosti. Pretvaranje razlomka u decimalu i određivanje dužine njegovog perioda.
10. Konjugacija imaginarnih korijena polinoma s realnim koeficijentima. Nesvodivo preko polja realni brojevi polinomi.
11. Linearna poređenja sa jednom varijablom (kriterijum razlučivosti, metode rješenja).
12. Ekvivalentni sistemi linearnih jednačina. Metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih.
13. Prsten. primjeri prstena. Najjednostavnija svojstva prstenova. Subring. Homomorfizmi i izomorfizmi prstenova. Polje. Primjeri na terenu. Najjednostavnija svojstva. Minimalnost polja racionalnih brojeva.
14. Prirodni brojevi (osnove aksiomatske teorije prirodnih brojeva). Teoreme o "najvećem" i "najmanjem" prirodnom broju.
15. Polinomi nad poljem. Teorema dijeljenja s ostatkom. Najveći zajednički djelitelj dva polinoma, njegova svojstva i metode pronalaženja.
16. Binarni odnosi. Relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije, skup faktora.
17. Matematička indukcija za prirodne i cijele brojeve.
18. Svojstva relativno prostih brojeva. Najmanji zajednički višekratnik cijelih brojeva, njegova svojstva i metode pronalaženja.
19. Polje kompleksnih brojeva, brojevna polja. Geometrijski prikaz i trigonometrijski oblik kompleksni broj.
20. Teorema dijeljenja s ostatkom za cijele brojeve. Najveći zajednički djelitelj cijelih brojeva, njegova svojstva i metode pronalaženja.
21. Linearni operatori vektorskog prostora. Kernel i slika linearnog operatora. Algebra linearnih operatora vektorskog prostora. Svojstvene vrijednosti i sopstveni vektori linearnog operatora.
22. Afine transformacije ravni, njihova svojstva i metode dodjeljivanja. Grupa afine transformacije ravan i njene podgrupe.
23. Poligoni. Površina poligona. Teorema postojanja i jedinstvenosti.
24. Ekvivalentni poligoni jednake veličine.
25. Geometrija Lobačevskog. Konzistentnost Lobačevskog sistema aksioma geometrije.
26. Koncept paralelizma u geometriji Lobačevskog. Međusobni dogovor prave linije na ravni Lobačevskog.
27. Formule kretanja. Klasifikacija ravninskih kretanja. Prijave za rješavanje problema.
28. Međusobni raspored dvije ravni, prave i ravni, dvije prave u prostoru (u analitičkom prikazu).
29. Projektivne transformacije. Teorema postojanja i jedinstvenosti. Formule za projektivne transformacije.
30. Skalar, vektor i mješoviti radovi vektori, njihova primjena u rješavanju problema.
31. Sistem Weylovih aksioma trodimenzionalnog euklidskog prostora i njegova smislena konzistentnost.
32. Kretanja u ravnini i njihova svojstva. Grupa kretanja ravnine. Teorema postojanja i jedinstvenosti kretanja.
33. Projektivna ravan i njeni modeli. Projektivne transformacije, njihova svojstva. Grupa projektivnih transformacija.
34. Transformacije sličnosti ravni, njihova svojstva. Grupa transformacije sličnosti ravnine i njene podgrupe.
35. Glatke površine. Prvi oblik kvadratne površine i njegove primjene.
36. Paralelni dizajn i njegova svojstva. Slika ravnih i prostornih figura u paralelnoj projekciji.
37. Glatke linije. Zakrivljenost prostorne krive i njen proračun.
38. Elipsa, hiperbola i parabola kao konusni presjeci. Kanonske jednadžbe.
39. Svojstvo imenika elipse, hiperbole i parabole. Polarne jednačine.
40. Dvostruki odnos četiri tačke prave, njegove osobine i proračun. Harmonično razdvajanje parova tačaka. Potpuni četverougao i njegova svojstva. Primjena za rješavanje građevinskih problema.
41. Pascalove i Brianchonove teoreme. Polovi i polari.
Uzorci pitanja za matematička analiza