(ili prirodne vibracije) su oscilacije oscilatornog sistema, koje se vrše samo zbog inicijalno prijavljene energije (potencijalne ili kinetičke) u odsustvu vanjskih utjecaja.
Potencijalni ili kinetička energija može se prenijeti, na primjer, u mehaničkim sistemima preko početnog pomaka ili početne brzine.
Slobodno oscilirajuća tijela uvijek stupaju u interakciju s drugim tijelima i zajedno sa njima formiraju sistem tijela tzv oscilatorni sistem.
Na primjer, opruga, kugla i vertikalni stup na koji je pričvršćen gornji kraj opruge (vidi sliku ispod) su uključeni u oscilatorni sistem. Ovdje lopta slobodno klizi duž tetive (sile trenja su zanemarljive). Ako uzmete loptu udesno i ostavite je samoj sebi, ona će slobodno oscilirati oko ravnotežnog položaja (tačka O) zbog djelovanja elastične sile opruge usmjerene prema ravnotežnom položaju.
Još jedan klasičan primjer mehaničkog oscilatornog sistema je matematičko klatno (vidi sliku ispod). U tom slučaju lopta vrši slobodne oscilacije pod djelovanjem dvije sile: gravitacije i elastične sile niti (Zemlja također ulazi u oscilatorni sistem). Njihova rezultanta je usmjerena na ravnotežni položaj.
Sile koje djeluju između tijela oscilatornog sistema nazivaju se unutrašnje sile. Spoljne sile nazivaju se sile koje na sistem djeluju iz tijela koja u njega nisu uključena. Sa ove tačke gledišta, slobodne oscilacije se mogu definisati kao oscilacije u sistemu pod dejstvom unutrašnje sile nakon što se sistem izvuče iz ravnoteže.
Uslovi za nastanak slobodnih vibracija su:
1) pojava sile u njima koja vraća sistem u položaj stabilne ravnoteže nakon što je izveden iz ovog stanja;
2) nema trenja u sistemu.
Dinamika slobodnih oscilacija.
Vibracije tijela pod djelovanjem elastičnih sila. Jednačina oscilatornog kretanja tijela pod djelovanjem elastične sile F() može se dobiti uzimajući u obzir Newtonov drugi zakon ( F = ma) i Hookeov zakon ( F kontrola = -kx), gdje m je masa lopte i ubrzanje koje lopta postiže djelovanjem elastične sile, k- koeficijent krutosti opruge, X je pomak tijela iz ravnotežnog položaja (obje jednadžbe su napisane u projekciji na horizontalnu osu Oh). Izjednačavajući desne strane ovih jednačina i uzimajući u obzir da je ubrzanje a je drugi izvod koordinate X(offsets), dobijamo:
.
Slično, izraz za ubrzanje a dobijamo razlikovanjem ( v = -v m sin ω 0 t = -v m x m cos (ω 0 t + π/2)):
a \u003d -a m cos ω 0 t,
gdje a m = ω 2 0 x m je amplituda ubrzanja. Dakle, amplituda brzine harmonijskih oscilacija je proporcionalna frekvenciji, a amplituda ubrzanja proporcionalna kvadratu frekvencije oscilovanja.
Svako oscilatorno kretanje je kretanje koje se događa s ubrzanjem, stoga sile moraju djelovati na oscilirajuća tijela koja im daju ta ubrzanja. Konkretno, ako točkasto tijelo s masom vrši harmonijsku oscilaciju, tada je, prema drugom zakonu mehanike, sila jednaka
gdje se smjer sile poklapa sa smjerom ubrzanja, a vektor ubrzanja za harmonijske oscilacije, prema formuli (4.5), uvijek je usmjeren prema ravnotežnom položaju. Dakle, da bi tijelo izvršilo harmonijsko oscilatorno kretanje, na njega mora djelovati sila, uvijek usmjerena prema ravnotežnom položaju, a po veličini - direktno proporcionalna pomaku iz ovog položaja. Prilikom istraživanja oscilatorni sistemi lako se može naći koeficijent proporcionalnosti između sile koja djeluje na tijelo i pomaka x ovog tijela iz ravnotežnog položaja; tada, znajući i masu oscilirajućeg tijela, može se izračunati frekvencija i period osciliranja; iz omjera slijedi:
Sile koje su uvijek usmjerene ka ravnotežnom položaju nazivaju se povratne sile. Pogledajmo nekoliko primjera:
1. Oscilatorni sistem koji se sastoji od mase i opruge (vidi sliku 1.36, b). Sila vraćanja je sila elastičnosti koja djeluje na tijelo iz deformirane opruge. Ova sila pri malim deformacijama je direktno proporcionalna promjeni dužine opruge.Primjenom vanjskih sila na oprugu i mjerenjem istezanja uzrokovanih njima
(ili kompresije) opruge, možete pronaći koeficijent elastičnosti opruge i, koristeći formulu (4.10), izračunati frekvenciju vibracija tijela pričvršćenih na krajeve opruge. U tom slučaju oscilacije će biti harmonijske i konstantne) samo ako na oscilirajuće tijelo ne djeluju druge sile, osim povratne, a koeficijent od kojeg prema formuli (4.10) ovisi frekvencija oscilovanja mora uvijek ostati konstantan. Konkretno, ako se temperatura opruge promijeni, onda se, prema tome, mijenja i frekvencija oscilacija; vibracije nisu harmonične.
2. Sistem koji vrši torzijske (rotacione) vibracije (vidi sliku 1.38, b). Prilikom torzijskih vibracija na tijelo djeluje povratni moment, koji zaustavlja odstupanje tijela od stanja ravnoteže, a zatim mu daje obrnuti pokret. Moment vraćanja nastaje kada dođe do deformacije (torzije) opruge (ili šipke) na koju je pričvršćeno oscilirajuće tijelo. Pri malim uglovima otklona, ovaj moment je direktno proporcionalan kutu otklona.
Ako su torzijske vibracije harmonične, tj.
onda ugaona brzina i ugaona ubrzanja tokom rotacije takođe se menjaju prema harmonijskom zakonu:
Moment vraćanja nalazimo kao proizvod ugaonog ubrzanja i momenta inercije oscilirajućeg tijela:
gdje je konstantna vrijednost (ako se moment inercije tijela ne mijenja tokom oscilacija). Ovaj koeficijent se može naći primjenom vanjskih torzijskih momenata na oprugu (ili šipku) i mjerenjem uglova uvijanja a:
tada se frekvencija i period oscilacija određuju formulama:
Prema izrazu (4.13), kod harmonijskih torzijskih vibracija, moment vraćanja mora biti tačno proporcionalan kutu otklona; ako se ova proporcionalnost ne poštuje (na primjer, pri vrlo velikim uglovima rotacije), tada oscilacije neće biti harmonijske (iako će u odsustvu trenja biti neprigušene).
3. Fizičko klatno (slika 1.40). Trenutak vraćanja je trenutak gravitacije, koji ima predznak,
suprotno od predznaka ugla otklona a i jednako
gdje je rastojanje od uporišta do centra gravitacije tijela.
Pri malim uglovima otklona (ugao a - u radijanima); zatim trenutak povratka
je proporcionalan kutu otklona i oscilacije klatna će biti harmonijske.
Upoređujući sa izrazom (4.13), dobijamo, dakle,
Pri velikim uglovima otklona, kao i kada se tijelo deformira tijekom oscilacija (promjenjive oscilacije ispadaju neharmonične, iako mogu biti neublažene u odsustvu ili kompenzaciji trenja.
4. Matematičko klatno je tačkasto tijelo sa masom okačenom na bestežinsku i nerastegljivu nit dužine I (slika 1.41). Obnavljajuća sila je projekcija gravitacije na smjer kretanja tijela; imamo:
u radijanima). Napominjemo da se ovdje također ne poštuje uvjet proporcionalnosti između sile vraćanja i pomaka iz ravnotežnog položaja x, pa oscilacije ovog klatna nisu harmonijske. Ali ako su uglovi a mali, onda
budući da je ova sila uvijek usmjerena prema ravnotežnom položaju i stoga ima predznak suprotan tome
U ovom slučaju, oscilacije se mogu smatrati harmonijskim; upoređujući sa izrazom (4.9), dobijamo:
tj. frekvencija i period oscilacija ne zavise od mase oscilirajućeg tijela, već su određeni samo dužinom niti i ubrzanjem gravitacije (oscilacije klatna se koriste za određivanje Za konstantni koeficijent i, posljedično, frekvencije oscilacija neophodna je konstantnost.U međuvremenu sila koja djeluje duž niti može uzrokovati njeno izduženje, koje će biti minimalno u ekstremnim položajima, a maksimalno kada tijelo prođe kroz tačku O. Dakle, da bi klatno bilo harmonično, potrebno je, pored malenosti uglova otklona, dodatno imati uslov nerastegljivosti navoja.
Ovi primjeri pokazuju da je pri malim amplitudama frekvencija (ili period) oscilacija određena samo svojstvima sistema. Međutim, za velika odstupanja od ravnotežnog položaja linearna zavisnost sila vraćanja od pomaka kao i rastući moment iz kuta rotacije se ne poštuju striktno, a frekvencija oscilacije u određenoj mjeri ovisi i o amplitudi oscilacije ili
Vibracijski pokreti su široko rasprostranjeni u životu oko nas. Primjeri oscilacija su: kretanje igle šivaće mašine, zamah, klatno sata, krila insekata tokom leta i mnoga druga tijela.
Mnoge razlike mogu se naći u kretanju ovih tijela. Na primjer, zamah se kreće krivolinijski, dok se igla šivaće mašine kreće pravolinijski; klatno sata oscilira u većoj skali od krila vilinog konjica. U isto vrijeme, neka tijela mogu napraviti više fluktuacije od drugih.
Ali uz svu raznolikost ovih pokreta, oni imaju važnu zajedničku osobinu: nakon određenog vremenskog perioda, pokret bilo kojeg tijela se ponavlja.
Zaista, ako se lopta odvoji od ravnotežnog položaja i pusti, tada će, prošavši kroz ravnotežni položaj, skrenuti u suprotnom smjeru, zaustaviti se, a zatim se vratiti na mjesto gdje je kretanje počelo. Nakon ove oscilacije slijedi druga, treća, itd., slično prvom.
Vremenski period nakon kojeg se kretanje ponavlja naziva se periodom oscilovanja.
Stoga kažu da je oscilatorno kretanje periodično.
U kretanju oscilirajućih tijela, pored periodičnosti, postoji još jedna zajednička osobina.
Obrati pažnju!
Za vremenski period koji je jednak periodu oscilovanja, svako tijelo dvaput prođe kroz ravnotežni položaj (krećući se u suprotnim smjerovima).
Pokreti koji se ponavljaju u pravilnim intervalima, pri čemu tijelo više puta i u različitim smjerovima prelazi ravnotežni položaj, nazivaju se mehaničkim vibracijama.
Pod djelovanjem sila koje vraćaju tijelo u položaj ravnoteže, tijelo može oscilirati kao samo od sebe. U početku te sile nastaju zbog obavljanja nekog rada na tijelu (rastezanje opruge, podizanje u visinu i sl.), što dovodi do komunikacije određene količine energije tijelu. Zbog ove energije nastaju vibracije.
primjer:
Da bi zamah činio oscilatorne pokrete, prvo ih morate izbaciti iz ravnoteže tako što ćete se odgurnuti nogama ili to učiniti rukama.
Oscilacije koje nastaju samo zbog početne rezerve energije oscilirajućeg tijela u odsustvu vanjskih utjecaja na njega nazivaju se slobodne vibracije.
primjer:
Primjer slobodnih vibracija tijela su vibracije tereta okačenog na oprugu. U početku neuravnotežen spoljne sile u budućnosti će opterećenje fluktuirati samo zbog unutrašnjih sila sistema "opterećenje-opruga" - gravitacije i elastičnih sila.
Uslovi za nastanak slobodnih oscilacija u sistemu:
a) sistem mora biti u položaju stabilne ravnoteže: kada sistem odstupi od ravnotežnog položaja, mora nastati sila koja teži da vrati sistem u ravnotežni položaj – sila koja vraća;
b) sistem ima višak mehaničke energije u odnosu na njegovu energiju u ravnotežnom položaju;
c) višak energije koji sistem primi kada se pomjeri iz ravnotežnog položaja ne treba u potpunosti potrošiti na savladavanje sila trenja pri vraćanju u ravnotežni položaj, tj. sile trenja u sistemu moraju biti dovoljno male.
Slobodno oscilirajuća tijela uvijek stupaju u interakciju sa drugim tijelima i zajedno sa njima formiraju sistem tijela koji se naziva oscilatorni sistem.
Sistemi tijela koji su sposobni da vrše slobodne oscilacije nazivaju se oscilatorni sistemi.
Jedan od glavnih zajednička svojstva svih oscilatornih sistema leži u nastanku sile u njima koja vraća sistem u položaj stabilne ravnoteže.
primjer:
U slučaju vibracija lopte na niti, lopta slobodno oscilira pod dejstvom dve sile: sile teže i sile elastičnosti niti. Njihova rezultanta je usmjerena na ravnotežni položaj.
Zemlja, postolje i tijelo okačeno sa postolja (vidi sliku 3) formiraju oscilatorni sistem koji se naziva fizičko klatno. Stalci, dvije opruge i tijelo m (vidi sliku 4) formiraju oscilatorni sistem, koji se obično naziva horizontalno opružno klatno. Svi oscilatorni sistemi imaju niz zajedničkih svojstava. Razmotrimo glavne.
1 Svaki oscilatorni sistem ima stanje stabilne ravnoteže. Za fizičko klatno, ovo je položaj u kojem je centar mase okačenog tijela na istoj vertikali s točkom ovjesa. Za vertikalno opružno klatno, ovo je položaj u kojem je sila gravitacije uravnotežena elastičnom silom opruge. Za horizontalno opružno klatno, ovo je položaj u kojem se obje opruge podjednako deformiraju.
2 Nakon što se oscilatorni sistem ukloni iz položaja stabilne ravnoteže, pojavljuje se sila koja vraća sistem u stabilan položaj. Poreklo ove sile može biti drugačije. Dakle, za fizičko klatno, ovo je rezultanta f gravitacije G i elastične sile T (slika 5), a za opružna klatna to je elastična sila opruga (slika 6).
 |
3 Vraćajući se u stabilno stanje, oscilatorni sistem se ne može odmah zaustaviti. U mehaničkim oscilatornim sistemima to ometa inercija oscilirajućeg tijela. Navedena svojstva dovode do činjenice da ako se oscilatorni sistem na ovaj ili onaj način izvede iz stanja stabilne ravnoteže, tada će u nedostatku vanjskih sila oscilacije nastati i potrajati neko vrijeme. Oscilacije koje su nastale mogle bi se nastaviti beskonačno da nema trenja (otpora) u oscilatornom sistemu. Upravo ove idealne oscilatorne sisteme ćemo razmotriti u mnogim slučajevima. Idealan oscilatorni sistem ima dve definišne karakteristike:
a) u njemu nema trenja (otpora) i, prema tome, ne dolazi do nepovratnih transformacija energije;
b) parametri takvog oscilatornog sistema (dužina navoja, masa oscilirajućeg tijela, krutost opruge) su konstantni.
Primjer idealnog oscilatornog sistema je takozvano matematičko klatno, koje je mali uteg okačen na fleksibilnu, bestežinsku i nerastegljivu oprugu. Dužina navoja i masa tereta ostaju nepromenjeni tokom oscilovanja klatna. Ako se nit smatra beskonačno tankom i idealno fleksibilnom, a dimenzije tereta beskonačno male, tačkasto, onda neće biti trenja prilikom oscilacija matematičkog klatna.
U pravim oscilatornim sistemima postoji trenje, a parametri sistema se neznatno menjaju tokom oscilatornog kretanja. Dakle, klatno, koje je teret konačne veličine okačen na svilenu nit, ne može se smatrati kao puni smisao idealan oscilatorni sistem, jer u procesu njegovog oscilatornog kretanja djeluju otpor zraka i trenje u tački ovjesa, a dužina konca se mijenja (iako vrlo malo). Ali s malim oscilacijama takvog klatna, otpor zraka je mali, a dužina niti se mijenja tako neznatno da se, uz određenu aproksimaciju, ovo klatno može smatrati gotovo idealnim oscilatornim sistemom. Ovo važi i za opružno klatno. Može se smatrati idealnim oscilatornim sistemom ako su masa oscilirajućeg tijela i krutost opruge konstantni, a trenje je toliko malo da se može zanemariti.
1 Besplatne vibracije. Oscilacije koje se javljaju u oscilatornom sistemu koji nije podložan djelovanju periodičnih vanjskih sila nazivaju se slobodne oscilacije. Za nastanak slobodnih oscilacija, na oscilatorni sistem se mora vršiti kratkotrajni uticaj spolja, dovodeći sistem iz ravnoteže (odstupanje od prosečnog položaja klatna, čelično lenjilo stegnuto u steg, konac, itd.).
2 Oscilogram oscilacija.Ako je težina klatna posuda sa mastilom, u kojoj se nalazi uska rupa, onda kada klatno oscilira.
OK-1 Mehaničke vibracije
Mehaničke vibracije su pokreti koji se tačno ili približno ponavljaju u određenim vremenskim intervalima.
Prisilne vibracije su vibracije koje nastaju pod djelovanjem vanjske sile koja se periodično mijenja.
Slobodne oscilacije su oscilacije koje se javljaju u sistemu pod dejstvom unutrašnjih sila nakon što je sistem iznet iz položaja stabilne ravnoteže.
Oscilatorni sistemi
Uslovi za nastanak mehaničkih vibracija
1. Prisustvo položaja stabilne ravnoteže u kojoj je rezultanta jednaka nuli.
2. Najmanje jedna sila mora ovisiti o koordinatama.
3. Prisustvo viška energije u oscilirajućoj materijalnoj tački.
4. Ako se tijelo izvuče iz ravnoteže, onda rezultanta nije jednaka nuli.
5. Sile trenja u sistemu su male.
Konverzija energije tokom oscilatornog kretanja
U nestabilnoj ravnoteži imamo: E p → E do → E p → E do → E P.
Za puni zamah 
.
Zakon održanja energije je ispunjen.
Parametri oscilatornog kretanja
1
.
Bias X- odstupanje oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja u datom trenutku.
2. Amplituda X 0 - najveći pomak od ravnotežnog položaja.
3. Period T je vrijeme jedne potpune oscilacije. Izraženo u sekundama (s).
4. Frekvencija ν je broj kompletnih oscilacija u jedinici vremena. Izražava se u hercima (Hz).
,
;
.
Slobodne oscilacije matematičkog klatna
Matematičko klatno - model - materijalna tačka okačena na nerastegljivu bestežinsku nit.
Snimanje kretanja oscilirajuće tačke u funkciji vremena.
AT 
izbaciti klatno iz ravnoteže. Rezultat (tangencijalno) F t = - mg grijeh α
, tj. F m je projekcija gravitacije na tangentu putanje tijela. Prema drugom zakonu dinamike ma t = F t. Od ugla α
onda veoma mali ma t = - mg grijeh α
.
Odavde a t = g grijeh α ,sin α =α =s/L,
.
shodno tome, a~s ka ravnoteži.
Ubrzanje a materijalne tačke matematičkog klatna proporcionalno je pomakus.
Na ovaj način, jednadžba gibanja opruge i matematičkog klatna imaju isti oblik: a ~ x.
Period oscilacije
Opružno klatno
Pretpostavimo da je prirodna frekvencija oscilovanja tijela pričvršćenog za oprugu 
.
Period slobodnih oscilacija 
.
Ciklična frekvencija ω = 2πν .
shodno tome, 
.
Dobijamo 
, gdje 
.
Matematičko klatno
OD 
prirodna frekvencija matematičkog klatna 
.
Ciklična frekvencija 
,
.
shodno tome, 
.
Zakoni oscilovanja matematičkog klatna
1. Sa malom amplitudom oscilacija, period oscilovanja ne zavisi od mase klatna i amplitude oscilacija.
2. Period oscilacije je direktno proporcionalan kvadratnom korijenu dužine klatna i obrnuto proporcionalan kvadratnom korijenu ubrzanja slobodnog pada.
Harmonične vibracije
P 
Najjednostavniji tip periodičnih oscilacija, u kojima se događaju periodične promjene u vremenu fizičkih veličina prema zakonu sinusa ili kosinusa, nazivaju se harmonijske oscilacije:
x=x 0 sin ωt ili x=x 0 cos( ωt+ φ 0),
gdje X- ofset u bilo koje vrijeme; X 0 - amplituda oscilacije;
ωt+ φ 0 - faza oscilovanja; φ 0 - početna faza.
Jednačina x=x 0 cos( ωt+ φ 0), koji opisuje harmonijske oscilacije, rješenje je diferencijalne jednadžbe x" +ω 2 x= 0.
Diferencirajući ovu jednačinu dvaput, dobijamo:
x" = −ω 0 sin( ωt+ φ 0),x" = −ω 2 x 0 cos( ωt+ φ 0),ω 2 x 0 cos( ωt+ φ 0) −ω 2 x 0 cos( ωt+ φ 0).
Ako se bilo koji proces može opisati jednadžbom x"
+ω
2 x= 0, tada dolazi do harmonijske oscilacije sa cikličnom frekvencijom ω
i tačka 
.
Na ovaj način, kod harmonijskih oscilacija, brzina i ubrzanje se također mijenjaju prema sinusnom ili kosinusnom zakonu.
Dakle, za brzinu v x =x" = (x 0 cos ωt)" =x 0 (cos ωt)" , tj. v= − ωx 0 sin ωt,
ili v= ωx 0 cos( ωt+π /2) =v 0 cos( ωt+π /2), gdje je v 0 = x 0 ω - amplitudna vrijednost brzine. Ubrzanje se mijenja u skladu sa zakonom: a x=v " x =x" = −(ωx 0 sin ωt)" = −ωx 0 (grijeh ωt)" ,
one. a= −ω 2 x 0 cos ωt=ω 2 x 0 cos( ωt+π ) =α 0 cos( ωt+π ), gdje α 0 =ω 2 x 0: - amplitudna vrijednost ubrzanja.
Konverzija energije tokom harmonijskih vibracija
Ako se vibracije tijela javljaju u skladu sa zakonom x 0 sin( ωt+ φ 0), onda kinetička energija tijela je:
.
Potencijalna energija tijela je:
.
Jer k=mω 2, dakle 
.
Ravnotežni položaj tela ( X= 0).
Ukupna mehanička energija sistema je: 
.
OK-3 Kinematika harmonijskih oscilacija
Faza oscilovanja φ - fizička veličina koja stoji pod predznakom sin ili cos i određuje stanje sistema u bilo kojem trenutku prema jednačini X=x 0 cos φ .
Pomjeranje x tijela u bilo kojem trenutku
x
=x 0 cos( ωt+
φ
0), gdje x 0 - amplituda; φ
0 - početna faza oscilacija u početnom trenutku vremena ( t= 0), određuje položaj oscilirajuće tačke u početnom trenutku vremena.
Brzina i ubrzanje u harmonijskim oscilacijama
E 
Ako tijelo vrši harmonijske oscilacije po zakonu x=x 0 cos ωt
duž ose Oh, zatim brzina tijela v x je definisan izrazom 
.
Striktno rečeno, brzina tijela je derivacija koordinate X po vremenu t:
v 
x =x"
(t)
= −xω grijeh ω
=x 0 ω
0 ω
cos( ωt+π
/2).
Projekcija ubrzanja: a x=v " x (t) = −x 0 ω cos ωt=x 0 ω 2 cos( ωt+π ),
v max = ωx 0 ,a max= ω 2 x.
Ako a φ 0 x= 0, onda φ 0 v = π /2,φ 0 a =π .
Rezonancija
R
Uzlazno x 0 u rezonanciji, veće je manje trenje u sistemu. Curves 1 ,2 ,3 odgovaraju slabom, jakom kritičnom prigušenju: F tr3 > F tr2 > F tr1 .
Pri malom trenju rezonancija je oštra, a pri velikom trenju tupa. Amplituda u rezonanciji je: 
, gdje F max - vrijednost amplitude vanjske sile; μ
- koeficijent trenja.
Korištenje Resonance
Swing swing.
Mašine za sabijanje betona.
Brojači frekvencija.
Fighting Resonance
Rezonancija se može smanjiti povećanjem sile trenja ili
Na mostovima se vozovi kreću određenom brzinom.