Linearna zavisnost i linearnu nezavisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U publici su kolica sa čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će pokriti dva odjeljka odjednom. višu matematiku, a vidjećemo kako će se slagati u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... dovraga, pa, svađanje gluposti. Iako u redu, neću bodovati, na kraju treba da postoji pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora, vektorsku osnovu a drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor zbog kojeg sam upravo otišao u Gismeteo: - temperatura i Atmosferski pritisak respektivno. Primjer je naravno netačan u pogledu svojstava vektorski prostor, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi termini (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) su primenljivi na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će primeri biti dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Izvan zadataka analitička geometrija razmotrićemo neke tipični zadaci algebra. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Uzmite u obzir ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno jasno da su za izgradnju osnove potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na tabeli.

Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite kažiprst lijeve ruke na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto mali prst desne ruke na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad sam smjer, dok ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

Referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednačinama, izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji ugao osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno ne su zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je primljena. Ne treba se sramiti što je osnova ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

I oni to kažu vektorpredstavljen u formi linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, možete reći da je vektor proširen u ortonormalnoj bazi ravni, ili možete reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Suština definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. baze Ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomjeriti na mjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim malim prljavim tačkicama na stolu koje su ostale od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takva referentna tačka je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sistema:

Počeću sa "školskim" sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada govorimo o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište koordinata, koordinatne ose i mjeri po osi. Pokušajte da u pretraživač ukucate „pravougaoni koordinatni sistem“ i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, stiče se utisak da se pravougaoni koordinatni sistem može dobro definisati u terminima ortonormalne baze. I skoro da jeste. Formulacija glasi ovako:

porijeklo, And ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem ravni . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato, vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijski problemičesto (ali nikako uvijek) crtaju i vektore i koordinatne ose.

Mislim da svi to razumiju uz pomoć tačke (porekla) i ortonormalne osnove BILO KOJA TAČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, "sve u avionu može biti numerisano".

Da li koordinatni vektori moraju biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrite tačku i dva ortogonalni vektori proizvoljna dužina različita od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka tačka ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori Uglavnom imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedan, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj osnovi, a također i ispod u afine baze razmatraju se ravni i prostorne jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica duž apscise sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinate sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna za pretvaranje „nestandardnih“ koordinata u „naše uobičajene centimetre“ ako je potrebno.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - da li je ugao između baznih vektora nužno jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, And nekolinearno vektori, , set afini koordinatni sistem ravni :

Ponekad se ovaj koordinatni sistem naziva koso sistem. Tačke i vektori su prikazani kao primjeri na crtežu:

Kao što razumete afini sistem koordinate su još manje zgodne, formule za dužine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, u njemu ne rade Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinog koordinatnog sistema kartezijanski pravougaoni sistem. Stoga se ona, njena, najčešće mora vidjeti. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati oblique (ili neku drugu, npr. polar) koordinatni sistem. Da, i humanoidi takvi sistemi mogu pasti na ukus =)

Pređimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U suštini, ovo je prečišćavanje očitog odnosa koordinata po koordinata.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Rješenje:
a) Saznajte da li postoji vektor koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti ispunjene:

Definitivno ću vam reći o “foppish” verziji primjene ovog pravila, koja u praksi dobro funkcionira. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Relacija se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje se može koristiti činjenica da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova ispravnost se može lako provjeriti elementarne radnje sa vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Izlaz: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, dakle, ovi vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako raditi kroz proporciju ovdje? (Zaista, ne možete podijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za nezavisna odluka:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearna?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i samo ga dodamo kao petu tačku:

Za dva ravan vektora, sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, jednaka je nuli.

Ja se jako, jako nadam da ste u ovom trenutku već razumjeli sve pojmove i izjave na koje ste naišli.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata, pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe graditi crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Četverougao se naziva u kojem su suprotne strane po paru paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i .

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi“ - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očigledna, ali bolje je donijeti odluku kako treba, sa aranžmanom. Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ovi vektori kolinearni, i .

Izlaz: Suprotne strane četvorougla su parno paralelne, pa je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se iz aviona polako krećemo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

ali) ;
b)
u)

Rješenje:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se utvrđuje provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti vektora prostora i putem determinante trećeg reda, ovuda obrađeno u članku Unakrsni proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnoge od pravilnosti koje smo razmatrali na avionu važiće i za prostor. Pokušao sam da minimiziram sažetak teorije, jer je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, ispitajmo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada u zatvorenom, neko je na otvorenom, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Dakle, za izgradnju osnove, tri prostorni vektor. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, ne morate to demonstrirati nastavnicima, ma kako zavrtili prste, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Zatim postavljamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na ploču stola računara. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jedno od mjerenja - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim očigledno, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, mogu biti u paralelnim ravnima (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali tako ispao =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno ako postoji ravan sa kojom su oni paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, opet zamislite da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo koplanarni, već mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redom, dok je bilo koji vektor prostora jedini način proširuje se u datoj bazi , gdje su koordinate vektora u datoj bazi

Podsjećamo, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao za ravno kućište, dovoljna je jedna tačka i bilo koja tri linearno nezavisna vektora:

porijeklo, And nekoplanarni vektori, uzeti određenim redom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava da definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, u afinom koordinatnom sistemu prostora, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi mogu pretpostaviti, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

tačka u prostoru tzv porijeklo, And ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematiziramo informacije:

Za tri vektora prostora, sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Suprotne izjave su, mislim, razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostali praktični zadaci će biti naglašene algebarske prirode. Vrijeme je da okačite geometrijski štap na nokat i rukujete bejzbol palicom za linearnu algebru:

Tri svemirska vektora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pažnju na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već iu redovima (vrijednost determinante se neće promijeniti od ovoga - pogledajte svojstva determinanti). Ali mnogo je bolje u kolonama, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili su možda uopće loše orijentirani, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:

U suštini, potrebno je riješiti jednačinu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti determinantu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Vršimo dalja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavnije linearna jednačina:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti, za to morate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da ponovnim otvaranjem.

U zaključku, razmotrimo još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u datoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje: Hajde da se prvo pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je osnova - nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje primjera 6, potrebno je provjeriti da li su vektori stvarno linearno nezavisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate obavezno zapiši u kolone determinanta, ne nizovi. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

Sistem vektora se zove linearno zavisna, ako postoje takvi brojevi , među kojima je barem jedan različit od nule, da je jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Ako ova jednakost vrijedi samo ako su sve , tada se zove sistem vektora linearno nezavisna.

Teorema. Sistem vektora će linearno zavisna ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih.

Primjer 1 Polinom je linearna kombinacija polinoma https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi čine linearno nezavisan sistem, budući da https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Primjer 2 Matrični sistem , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je linearno nezavisan, budući da je linearna kombinacija jednaka nulta matrica samo u kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearno zavisna.

Rješenje.

Hajde da komponujemo linearna kombinacija vektorski podaci https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22"> .

Izjednačavajući istoimene koordinate jednakih vektora, dobijamo https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Konačno dobijamo

I

Sistem ima jedinstveno trivijalno rješenje, tako da je linearna kombinacija ovih vektora nula samo ako su svi koeficijenti nula. Zbog toga ovaj sistem vektori je linearno nezavisan.

Primjer 4 Vektori su linearno nezavisni. Kakvi će biti sistemi vektora

a).;

b).?

Rješenje.

a). Sastavite linearnu kombinaciju i izjednačite je sa nulom

Koristeći svojstva vektorskih operacija u linearni prostor, prepisujemo posljednju jednakost u obliku

Pošto su vektori linearno nezavisni, koeficijenti za moraju biti jednaki nuli, tj.gif" width="12" height="23 src=">

Rezultirajući sistem jednačina ima jedinstveno trivijalno rješenje .

Od jednakosti (*) izvršava se samo na https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearno nezavisno;

b). Sastavite jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Primjenjujući slično razmišljanje, dobijamo

Rešavanjem sistema jednačina Gaussovom metodom dobijamo

ili

Poslednji sistem ima beskonačan broj rešenja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Dakle, postoji ne- nulti skup koeficijenata za koji je jednakost (**) . Dakle, sistem vektora je linearno zavisna.

Primjer 5 Vektorski sistem je linearno nezavisan, a vektorski sistem je linearno zavisan..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

U jednakosti (***) . Zaista, za , sistem bi bio linearno zavisan.

Iz odnosa (***) dobijamo ili Označiti .

Get

Zadaci za samostalno rješavanje (u učionici)

1. Sistem koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

2. Jednovektorski sistem ali, je linearno zavisna ako i samo ako, a=0.

3. Sistem koji se sastoji od dva vektora je linearno zavisan ako i samo ako su vektori proporcionalni (to jest, jedan od njih se dobija od drugog množenjem brojem).

4. Ako se linearno zavisnom sistemu doda vektor, onda se dobije linearno zavisan sistem.

5. Ako se vektor ukloni iz linearno nezavisnog sistema, onda je rezultujući sistem vektora linearno nezavisan.

6. Ako sistem S linearno nezavisan, ali postaje linearno zavisan kada se doda vektor b, zatim vektor b linearno izraženo u terminima vektora sistema S.

c). Sistem matrica , , u prostoru matrica drugog reda.

10. Neka sistem vektora a,b,c vektorski prostor je linearno nezavisan. Dokazati linearnu nezavisnost slijedeći sistemi vektora:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– proizvoljan broj

c).a+b, a+c, b+c.

11. Neka bude a,b,c su tri vektora u ravni koji se mogu koristiti za formiranje trougla. Hoće li ovi vektori biti linearno zavisni?

12. Zadana dva vektora a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Pokupite još dva 4D vektora a3 ia4 tako da sistem a1,a2,a3,a4 bio linearno nezavisan .

Zadatak 1. Saznajte da li je sistem vektora linearno nezavisan. Sistem vektora će biti definisan matricom sistema čije se kolone sastoje od koordinata vektora.

.

Rješenje. Neka linearna kombinacija jednako nuli. Napisavši ovu jednakost u koordinatama, dobijamo sljedeći sistem jednačina:

.

Takav sistem jednačina naziva se trouglasti. Ona ima jedino rešenje. . Otuda i vektori su linearno nezavisne.

Zadatak 2. Saznajte da li je sistem vektora linearno nezavisan.

.

Rješenje. Vektori su linearno nezavisne (vidi problem 1). Dokažimo da je vektor linearna kombinacija vektora . Vektorski koeficijenti ekspanzije određuju se iz sistema jednačina

.

Ovaj sistem, kao i trouglasti, ima jedinstveno rješenje.

Dakle, sistem vektora linearno zavisna.

Komentar. Pozivaju se matrice kao u zadatku 1 trouglasti , au zadatku 2 – stepenasto trouglasto . Pitanje linearne zavisnosti sistema vektora lako se rešava ako je matrica sastavljena od koordinata ovih vektora stepenasto trouglasta. Ako matrica nema poseban oblik, tada se koristi elementarne transformacije stringova , čuvajući linearne odnose između stupaca, može se svesti na stepenasti trouglasti oblik.

Elementarne transformacije linije matrice (EPS) nazivaju se sljedeće operacije na matrici:

1) permutacija linija;

2) množenje niza brojem koji nije nula;

3) dodavanje u niz još jednog niza, pomnoženog proizvoljnim brojem.

Zadatak 3. Pronađite maksimalni linearno nezavisan podsistem i izračunajte rang sistema vektora

.

Rješenje. Svedujmo matricu sistema uz pomoć EPS-a na stepenasto-trouglasti oblik. Da bismo objasnili postupak, linija sa brojem matrice koja se transformiše biće označena simbolom . Kolona iza strelice pokazuje radnje koje treba izvršiti na redovima konvertovane matrice da bi se dobili redovi nove matrice.

.

Očigledno, prva dva stupca rezultirajuće matrice su linearno nezavisna, treći stupac je njihova linearna kombinacija, a četvrti ne ovisi o prva dva. Vektori nazivaju se osnovnim. Oni čine maksimalno linearno nezavisan podsistem sistema , a rang sistema je tri.

Osnova, koordinate

Zadatak 4. Naći osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu geometrijskih vektora čije koordinate zadovoljavaju uvjet .

Rješenje. Skup je ravan koja prolazi kroz ishodište. Proizvoljna baza na ravni sastoji se od dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora u odabranoj bazi određuju se rješavanjem odgovarajućeg sistema linearnih jednačina.

Postoji još jedan način rješavanja ovog problema, kada možete pronaći osnovu po koordinatama.

Koordinate prostori nisu koordinate na ravni, jer su povezani relacijom , odnosno nisu nezavisni. Nezavisne varijable i (oni se nazivaju slobodnim) jednoznačno određuju vektor na ravni i stoga se mogu odabrati kao koordinate u . Zatim osnova sastoji se od vektora koji leže i odgovaraju skupovima slobodnih varijabli I , tj.

Zadatak 5. Pronađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih vektora u prostoru , čije su neparne koordinate jednake jedna drugoj.

Rješenje. Biramo, kao iu prethodnom zadatku, koordinate u prostoru.

Jer , zatim slobodne varijable jedinstveno definiraju vektor iz i, prema tome, su koordinate. Odgovarajuća baza se sastoji od vektora .

Zadatak 6. Pronađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih matrica oblika , gdje su proizvoljni brojevi.

Rješenje. Svaka matrica iz može se jedinstveno predstaviti kao:

Ova relacija je proširenje vektora iz u smislu baze
sa koordinatama .

Zadatak 7. Pronađite dimenziju i osnovu linearna školjka vektorski sistemi

.

Rješenje. Koristeći EPS, transformišemo matricu iz koordinata vektora sistema u stepenasti trouglasti oblik.

.

kolone posljednje matrice su linearno nezavisne, a stupci linearno se izražavaju kroz njih. Otuda i vektori čine osnovu , And .

Komentar. Osnova u izabran dvosmisleno. Na primjer, vektori takođe čine osnovu .

Definicija 1. Linearna kombinacija vektora je zbir proizvoda ovih vektora i skalara
:

Definicija 2. Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim sistemom ako njihova linearna kombinacija (2.8) nestane:

i među brojevima
postoji barem jedan osim nule.

Definicija 3. Vektori
nazivaju se linearno nezavisnim ako njihova linearna kombinacija (2.8) nestane samo ako su svi brojevi.

Iz ovih definicija mogu se dobiti sljedeće posljedice.

Zaključak 1. U linearno zavisnom sistemu vektora, barem jedan vektor može se izraziti kao linearna kombinacija ostalih.

Dokaz. Neka vrijedi (2.9) i neka, radi određenosti, koeficijent
. tada imamo:
. Imajte na umu da je i obrnuto tačno.

Posljedica 2. Ako je sistem vektora
sadrži nulti vektor, onda je ovaj sistem (nužno) linearno zavisan - dokaz je očigledan.

Zaključak 3. Ako među n vektori
bilo koji k(
) vektora su linearno zavisni, onda svi n vektori su linearno zavisni (izostavljamo dokaz).

2 0 . Linearne kombinacije dva, tri i četiri vektora. Razmotrimo pitanja linearne zavisnosti i nezavisnosti vektora na pravoj liniji, ravni i u prostoru. Predstavimo odgovarajuće teoreme.

Teorema 1. Da bi dva vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu kolinearni.

Need. Neka vektori I linearno zavisna. To znači da je njihova linearna kombinacija
=0 i (radi definicije)
. To implicira jednakost
, i (prema definiciji množenja vektora brojem) vektori I kolinearno.

Adekvatnost. Neka vektori I kolinearno ( ║) (pretpostavljamo da se razlikuju od nultog vektora; inače je njihova linearna zavisnost očigledna).

Prema teoremi (2.7) (vidi §2.1, tačka 2 0) onda
takav da
, ili
– linearna kombinacija je jednaka nuli, a koeficijent pri jednako 1 – vektori I linearno zavisna.

Iz ove teoreme slijedi sljedeći zaključak.

Posljedica. Ako vektori I nisu kolinearni, onda su linearno nezavisni.

Teorema 2. Da bi tri vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu koplanarni.

Need. Neka vektori ,I linearno zavisna. Pokažimo da su oni komplanarni.

Definicija linearne zavisnosti vektora implicira postojanje brojeva
I tako da je linearna kombinacija
, a u isto vrijeme (radi određenosti)
. Tada iz ove jednakosti možemo izraziti vektor :=
, odnosno vektor jednaka dijagonali paralelograma izgrađenog na vektorima na desnoj strani ove jednakosti (slika 2.6). To znači da su vektori ,I leže u istoj ravni.

Adekvatnost. Neka vektori ,I komplanarno. Pokažimo da su one linearno zavisne.

Isključimo slučaj kolinearnosti bilo kojeg para vektora (jer je tada ovaj par linearno zavisan, a posljedici 3 (vidi tačku 10) sva tri vektora su linearno zavisna). Imajte na umu da takva pretpostavka također isključuje postojanje nultog vektora među tri navedena.

Tri koplanarna vektora prenosimo u jednu ravan i dovodimo ih do zajedničkog ishodišta. Kroz kraj vektora nacrtati linije paralelne vektorima I ; dobijamo vektore I (Sl. 2.7) - njihovo postojanje je osigurano činjenicom da su vektori I vektori koji nisu kolinearni po pretpostavci. Iz toga slijedi da je vektor =+. Prepisujemo ovu jednakost kao (–1) ++=0, zaključujemo da su vektori ,I linearno zavisna.

Iz dokazane teoreme slijede dvije posljedice.

Zaključak 1. Neka bude I nekolinearni vektori, vektor – proizvoljan, koji leži u ravni definisanoj vektorima I , vektor. Zatim su tu brojevi I takav da

=+. (2.10)

Posljedica 2. Ako vektori ,I nisu komplanarni, onda su linearno nezavisni.

Teorema 3. Svaka četiri vektora su linearno zavisna.

Izostavljamo dokaz; uz neke modifikacije, on kopira dokaz teoreme 2. Predstavimo posljedicu ove teoreme.

Posljedica. Za bilo koje nekoplanarne vektore ,,i bilo koji vektor
I takav da

. (2.11)

Komentar. Za vektore u (trodimenzionalnom) prostoru, koncepti linearne zavisnosti i nezavisnosti imaju, kao što sledi iz gornjih teorema 1-3, jednostavno geometrijsko značenje.

Neka postoje dva linearno zavisna vektora I . U ovom slučaju, jedan od njih je linearna kombinacija drugog, to jest, jednostavno se razlikuje od njega brojčanim faktorom (na primjer,
). Geometrijski, to znači da su oba vektora na zajedničkoj liniji; mogu imati isti ili suprotan smjer (slika 2.8 xx).

Ako se dva vektora nalaze pod uglom jedan prema drugom (slika 2.9 xx), tada se u ovom slučaju jedan od njih ne može dobiti množenjem drugog brojem - takvi vektori su linearno nezavisni. Dakle, linearna nezavisnost dva vektora I znači da se ovi vektori ne mogu postaviti na istu pravu liniju.

Hajde da saznamo geometrijsko značenje linearne zavisnosti i nezavisnosti tri vektora.

Neka vektori ,I su linearno zavisne i neka (radi određenosti) vektor je linearna kombinacija vektora I , odnosno nalazi se u ravni koja sadrži vektore I . To znači da su vektori ,I leže u istoj ravni. Obrnuta izjava je također tačna: ako su vektori ,I leže u istoj ravni, onda su linearno zavisne.

Dakle, vektori ,I su linearno nezavisne ako i samo ako ne leže u istoj ravni.

3 0 . Koncept osnove. Jedan od najvažnijih koncepata linearne i vektorske algebre je koncept baze. Uvodimo definicije.

Definicija 1. Par vektora se naziva uređenim ako je specificirano koji se vektor ovog para smatra prvim, a koji drugim.

Definicija 2. Ordered Pair ,nekolinearnih vektora naziva se baza na ravni definisanoj datim vektorima.

Teorema 1. Bilo koji vektor na ravni se može predstaviti kao linearna kombinacija baznog sistema vektora ,:

(2.12)

i ova reprezentacija je jedinstvena.

Dokaz. Neka vektori I čine osnovu. Zatim bilo koji vektor može se predstaviti kao
.

Da bismo dokazali jedinstvenost, pretpostavimo da postoji još jedna dekompozicija
. Tada imamo =0, a barem jedna od razlika nije nula. Ovo poslednje znači da su vektori I linearno zavisna, odnosno kolinearna; ovo je u suprotnosti sa tvrdnjom da oni čine osnovu.

Ali tada je razlaganje jedinstveno.

Definicija 3. Trojka vektora se naziva uređena ako je naznačeno koji se vektor smatra prvim, koji je drugi, a koji treći.

Definicija 4. Uređena trojka nekoplanarnih vektora naziva se baza u prostoru.

Teorema dekompozicije i jedinstvenosti također vrijedi i ovdje.

Teorema 2. Bilo koji vektor može se predstaviti kao linearna kombinacija baznog vektorskog sistema ,,:

(2.13)

i ovaj prikaz je jedinstven (izostavljamo dokaz teoreme).

U proširenjima (2.12) i (2.13), količine nazivaju se koordinate vektora u datoj bazi (tačnije, u afinim koordinatama).

Za fiksnu osnovu
I
možeš pisati
.

Na primjer, ako je data osnova
i s obzirom na to
, onda to znači da postoji reprezentacija (dekompozicija)
.

4 0 . Linearne operacije nad vektorima u koordinatnom obliku. Uvođenje baze omogućava da se linearne operacije nad vektorima zamijene običnim linearnim operacijama nad brojevima - koordinatama ovih vektora.

Neka se da neka osnova
. Očigledno, postavljanje koordinata vektora u ovoj bazi u potpunosti određuje sam vektor. Postoje slijedeći prijedlozi:

a) dva vektora
I
su jednake ako i samo ako su njihove odgovarajuće koordinate jednake:

b) pri množenju vektora
po broju njegove koordinate se množe ovim brojem:

; (2.15)

c) prilikom sabiranja vektora, dodaju se njihove odgovarajuće koordinate:

Izostavljamo dokaze ovih svojstava; Dokazimo svojstvo b) samo kao primjer. Imamo

==

Komentar. U prostoru (na ravni) može se birati beskonačno mnogo baza.

Dajemo primjer prijelaza s jedne baze na drugu, uspostavljamo odnos između koordinata vektora u različitim bazama.

Primjer 1. U osnovnom sistemu
data su tri vektora:
,
I
. u osnovi ,,vektor ima razgradnju. Pronađite vektorske koordinate u osnovi
.

Rješenje. Imamo proširenja:
,
,
; shodno tome,
=
+2
+
= =
, tj
u osnovi
.

Primjer 2. Pustite neku osnovu
četiri vektora su data svojim koordinatama:
,
,
I
.

Saznajte da li se vektori formiraju
osnova; u slučaju pozitivnog odgovora, pronaći dekompoziciju vektora u ovoj osnovi.

Rješenje. 1) vektori čine osnovu ako su linearno nezavisni. Sastavite linearnu kombinaciju vektora
(
) i saznajte za šta
I nestaje:
=0. Imamo:

=
+
+
=

Definicijom jednakosti vektora u koordinatnom obliku dobijamo sljedeći sistem (linearnih homogenih algebarskih) jednadžbi:
;
;
, čija odrednica
=1
, odnosno sistem ima (jedino) trivijalno rješenje
. To znači da su vektori linearno nezavisni
i stoga čine osnovu.

2) proširiti vektor u ovoj osnovi. Imamo: =
ili u koordinatnom obliku.

Prelaskom na jednakost vektora u koordinatnom obliku, dobijamo sistem linearnih nehomogenih algebarskih jednadžbi:
;
;
. Rješavajući ga (na primjer, prema Cramerovom pravilu), dobijamo:
,
,
i (
)
. Imamo vektorsku dekompoziciju u osnovi
:=.

5 0 . Projekcija vektora na osu. Svojstva projekcije. Neka postoji neka osovina l, odnosno prava linija sa odabranim smjerom na njoj, i neka je zadan neki vektor .Definirati pojam projekcije vektora po osovini l.

Definicija. Vektorska projekcija po osovini l naziva se proizvod modula ovog vektora i kosinusa ugla između osi l i vektor (Sl.2.10):

. (2.17)

Posljedica ove definicije je izjava da jednaki vektori imaju jednake projekcije (na istoj osi).

Obratite pažnju na svojstva projekcija.

1) projekcija zbira vektora na neku osu l jednak je zbroju projekcija članova vektora na istoj osi:

2) projekcija proizvoda skalara i vektora jednaka je umnošku ovog skalara i projekcije vektora na istu osu:

=
. (2.19)

Posljedica. Projekcija linearne kombinacije vektora na os je jednaka linearnoj kombinaciji njihovih projekcija:

Izostavljamo dokaze svojstava.

6 0 . Pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u prostoru.Dekompozicija vektora u jedinične vektore osa. Neka se za osnovu izaberu tri međusobno okomita jedinična vektora; uvodimo posebnu notaciju za njih
. Postavljanjem počnite od tačke O, usmjeriti duž njih (prema jediničnim vektorima
) koordinatne ose Ox,Oy i O z(os na kojoj je odabran pozitivan smjer, referentna točka i jedinica dužine naziva se koordinatna osa).

Definicija. Uređeni sistem od tri međusobno okomite koordinatne ose sa zajedničkim ishodištem i zajedničkom jedinicom dužine naziva se pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u prostoru.

Osa Ox nazvana x-osa, Oy- y-osa i O z – applique axis.

Hajde da se pozabavimo ekspanzijom proizvoljnog vektora u smislu baze
. Iz teoreme (vidi §2.2, tačka 3 0 , (2.13)) slijedi da
može se jedinstveno proširiti u osnovi
(ovdje umjesto označavanja koordinata
koristiti
):

. (2.21)

U (2.21)
su (kartezijanske pravougaone) koordinate vektora . Značenje Kartezijanske koordinate utvrđuje sljedeću teoremu.

Teorema. Kartezijanske koordinate
vektor su projekcije ovog vektora, respektivno, na ose Ox,Oy i O z.

Dokaz. Postavimo vektor do početka koordinatnog sistema - tačke O. Tada će se njegov kraj poklopiti sa nekom tačkom
.

Hajdemo kroz tačku
tri ravni paralelne sa koordinatnim ravnima Oyz,Oxz I Oxy(Sl. 2.11 xx). Tada dobijamo:

. (2.22)

U (2.22) vektori
I
nazivaju se komponentama vektora
duž osi Ox,Oy i O z.

Pusti
I uglovi formirani vektorom su naznačeni respektivno sa orts
. Tada za komponente dobijamo sljedeće formule:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Iz (2.21), (2.22) (2.23) nalazimo:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinate
vektor postoje projekcije ovog vektora na koordinatne ose Ox,Oy i O z respektivno.

Komentar. Brojevi
se nazivaju kosinusi smjera vektora .

Vektorski modul (dijagonala pravokutnog paralelepipeda) se izračunava po formuli:

. (2.24)

Iz formula (2.23) i (2.24) slijedi da se kosinusi smjera mogu izračunati pomoću formula:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Podižući oba dijela svake od jednakosti u (2.25) i dodajući član po član lijevi i desni dio rezultirajućih jednakosti, dolazimo do formule:

- ne formiraju bilo koja tri ugla određeni pravac u prostoru, već samo oni čiji su kosinusi povezani relacijom (2.26).

7 0 . Radijus vektor i koordinate tačke.Određivanje vektora po njegovom početku i kraju. Hajde da uvedemo definiciju.

Definicija. Radijus vektor (označen ) se naziva vektor koji povezuje ishodište O sa ovom tačkom (slika 2.12 xx):

. (2.27)

Bilo kojoj tački u prostoru odgovara određeni radijus vektor (i obrnuto). Dakle, tačke u prostoru su predstavljene u vektorskoj algebri svojim radijus vektorima.

Očigledno koordinate
bodova M su projekcije njegovog radijus vektora
na koordinatnoj osi:

(2.28’)

i na taj način,

(2.28)

– radijus vektor tačke je vektor čije su projekcije na koordinatne ose jednake koordinatama ove tačke. Iz ovoga slijede dva unosa:
I
.

Dobivanje formula za izračunavanje vektorskih projekcija
po koordinatama njenog početka - tačke
i krajnja tačka
.

Nacrtajte radijus vektore
i vektor
(sl.2.13). Shvatili smo to

=
=(2.29)

– projekcije vektora na koordinatne vektore jednake su razlikama odgovarajućih koordinata kraja i početka vektora.

8 0 . Neki problemi na kartezijanskim koordinatama.

1) vektorski kolinearni uslovi . Iz teoreme (vidi §2.1, tačka 2 0 , formula (2.7)) slijedi da za kolinarnost vektora I neophodno i dovoljno da bi se održao sljedeći odnos: =. Iz ove vektorske jednakosti dobijamo tri jednakosti u koordinatnom obliku:, iz čega slijedi uvjet kolinarnosti vektora u koordinatnom obliku:

(2.30)

– za kolinearne vektore I neophodno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

2) udaljenost između tačaka . Iz prikaza (2.29) slijedi da je udaljenost
između tačaka
I
određuje se formulom

=
=. (2.31)

3) podjela na ovo poštovanje . Neka se daju bodovi
I
i stav
. Treba pronaći
- koordinate tačke M (sl.2.14).

Iz uslova kolinearnih vektora imamo:
, gdje
I

. (2.32)

Iz (2.32) dobijamo u koordinatnom obliku:

Iz formula (2.32') mogu se dobiti formule za izračunavanje koordinata sredine segmenta
, pod pretpostavkom
:

Komentar. Izbrojimo segmente
I
pozitivne ili negativne, ovisno o tome da li se njihov smjer poklapa sa smjerom od početka
iseći do kraja
, ili se ne poklapa. Zatim, koristeći formule (2.32) - (2.32"), možete pronaći koordinate tačke koja dijeli segment
eksterno, odnosno tako da tačku razdvajanja M je na produžetku
, ne unutar njega. Istovremeno, naravno,
.

4) jednadžba sferne površine . Sastavimo jednačinu sferne površine - geometrije tačaka
, jednako udaljena od udaljenosti iz nekog fiksnog centra - tačke
. Očigledno, u ovom slučaju
i uzimajući u obzir formulu (2.31)

Jednačina (2.33) je jednačina željene sferne površine.

Predstavili smo mi linearne operacije na vektorima omogućavaju stvaranje različitih izraza za vektorske veličine i transformirajte ih koristeći svojstva postavljena za ove operacije.

Na osnovu datog skupa vektora a 1, ... i n, možete sastaviti izraz oblika

gdje su a 1 , ... i n proizvoljni realni brojevi. Ovaj izraz se zove linearna kombinacija vektora a 1 , ..., a n . Brojevi α i , i = 1, n , su koeficijenti linearne kombinacije. Skup vektora se također naziva vektorski sistem.

U vezi sa uvedenim konceptom linearne kombinacije vektora, javlja se problem opisivanja skupa vektora koji se može napisati kao linearna kombinacija datog sistema vektora a 1 , ..., a n . Osim toga, prirodna su pitanja o uslovima pod kojima postoji predstava vektora u obliku linearne kombinacije i o jedinstvenosti takve reprezentacije.

Definicija 2.1. Vektori a 1, ... i n se nazivaju linearno zavisna, ako postoji takav skup koeficijenata α 1 , ... , α n da

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

i barem jedan od ovih koeficijenata je različit od nule. Ako navedeni skup koeficijenata ne postoji, vektori se pozivaju linearno nezavisna.

Ako je α 1 = ... = α n = 0, onda je, očigledno, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Imajući to na umu, možemo reći ovo: vektori a 1 , ..., i n su linearno nezavisne ako iz jednakosti (2.2) slijedi da su svi koeficijenti α 1 , ... , α n jednaki nuli.

Sljedeća teorema objašnjava zašto se novi koncept naziva terminom "zavisnost" (ili "nezavisnost") i daje jednostavan kriterij za linearnu ovisnost.

Teorema 2.1. Da bi vektori a 1, ..., i n, n > 1, bili linearno zavisni, potrebno je i dovoljno da jedan od njih bude linearna kombinacija ostalih.

◄ Nužnost. Pretpostavimo da su vektori a 1, ... i n linearno zavisni. Prema definiciji 2.1 linearne zavisnosti, u jednakosti (2.2) postoji najmanje jedan koeficijent koji nije nula na lijevoj strani, na primjer α 1 . Ostavljajući prvi član na lijevoj strani jednakosti, ostale pomjeramo na desnu stranu, mijenjajući njihove predznake kao i obično. Dijelimo rezultirajuću jednakost sa α 1

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

one. reprezentacija vektora a 1 kao linearne kombinacije preostalih vektora a 2 , ... i n .

Adekvatnost. Neka se, na primjer, prvi vektor a 1 može predstaviti kao linearna kombinacija preostalih vektora: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Prenoseći sve članove s desne strane na lijevu, dobijamo a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tj. linearna kombinacija vektora a 1 , ... i n sa koeficijentima α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , jednakim nulti vektor. U ovoj linearnoj kombinaciji, nisu svi koeficijenti jednaki nuli. Prema definiciji 2.1, vektori a 1, ... i n su linearno zavisni.

Definicija i kriterijum linearne zavisnosti formulisani su na način da impliciraju prisustvo dva ili više vektora. Međutim, može se govoriti i o linearnoj zavisnosti jednog vektora. Da bismo ostvarili ovu mogućnost, umjesto "vektori su linearno zavisni" trebamo reći "sistem vektora je linearno zavisan". Lako je provjeriti da izraz "sistem jednog vektora je linearno zavisan" to znači pojedinačni vektor je nula (u linearnoj kombinaciji postoji samo jedan koeficijent i ne smije biti nula).

Koncept linearne zavisnosti ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Ovo tumačenje pojašnjavaju sljedeće tri izjave.

Teorema 2.2. Dva vektora su linearno zavisna ako i samo ako su kolinearno.

◄ Ako su vektori a i b linearno zavisni, onda se jedan od njih, na primjer a, izražava kroz drugi, tj. a = λb za neki realni broj λ. Prema definiciji 1.7 radi vektori po broju, vektori a i b su kolinearni.

Neka su sada vektori a i b kolinearni. Ako su oba nula, onda je očito da su linearno zavisni, budući da je svaka njihova linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Neka jedan od ovih vektora nije jednak 0, na primjer vektor b. Označite sa λ odnos dužina vektora: λ = |a|/|b|. Kolinearni vektori mogu biti jednosmjeran ili suprotnim pravcima. U potonjem slučaju mijenjamo predznak λ. Zatim, provjeravajući definiciju 1.7, vidimo da je a = λb. Prema teoremi 2.1, vektori a i b su linearno zavisni.

Napomena 2.1. U slučaju dva vektora, uzimajući u obzir kriterijum linearne zavisnosti, dokazana teorema se može preformulisati na sledeći način: dva vektora su kolinearna ako i samo ako je jedan od njih predstavljen kao proizvod drugog brojem. Ovo je zgodan kriterij kolinearnosti dva vektora.

Teorema 2.3. Tri vektora su linearno zavisna ako i samo ako su komplanarno.

◄ Ako su tri vektora a, b, c linearno zavisna, onda je, prema teoremi 2.1, jedan od njih, na primjer a, linearna kombinacija ostalih: a = βb + γc. Kombinirajmo početak vektora b i c u tački A. Tada će vektori βb, γc imati zajedničko ishodište u tački A i paralelogram vlada njihov zbir, one. vektor a, biće vektor sa početkom A i kraj, koji je vrh paralelograma izgrađenog na sabirnim vektorima. Dakle, svi vektori leže u istoj ravni, odnosno koplanarni su.

Neka su vektori a, b, c komplanarni. Ako je jedan od ovih vektora nula, onda je očito da će to biti linearna kombinacija ostalih. Dovoljno je uzeti sve koeficijente linearne kombinacije jednakima nuli. Stoga možemo pretpostaviti da sva tri vektora nisu nula. Kompatibilan start ovi vektori u zajedničkoj tački O. Neka su njihovi krajevi, redom, tačke A, B, C (slika 2.1). Povucite prave kroz tačku C paralelno sa pravima koje prolaze kroz parove tačaka O, A i O, B. Označavajući tačke preseka sa A" i B", dobijamo paralelogram OA"CB", dakle, OC" = OA" + OB " . Vektor OA" i vektor različit od nule a= OA su kolinearni i stoga se prvi od njih može dobiti množenjem drugog sa pravi brojα:OA" = αOA. Slično, OB" = βOB , β ∈ R. Kao rezultat dobijamo da je OC" = α OA + βOB , tj. vektor c je linearna kombinacija vektora a i b. prema teoremi 2.1, vektori a, b, c su linearno zavisni.

Teorema 2.4. Svaka četiri vektora su linearno zavisna.

◄ Dokaz slijedi istu shemu kao u teoremi 2.3. Razmotrimo proizvoljna četiri vektora a, b, c i d. Ako je jedan od četiri vektora jednak nuli, ili među njima postoje dva kolinearna vektora, ili su tri od četiri vektora koplanarna, tada su ova četiri vektora linearno zavisna. Na primjer, ako su vektori a i b kolinearni, onda možemo sastaviti njihovu linearnu kombinaciju αa + βb = 0 sa koeficijentima koji nisu nula, a zatim dodati preostala dva vektora ovoj kombinaciji, uzimajući nule kao koeficijente. Dobijamo linearnu kombinaciju četiri vektora jednaka 0, u kojoj postoje koeficijenti različiti od nule.

Dakle, možemo pretpostaviti da među izabrana četiri vektora nema nultih vektora, dva nisu kolinearna i tri su komplanarna. Za njihov zajednički početak biramo tačku O. Tada će krajevi vektora a, b, c, d biti neke tačke A, B, C, D (slika 2.2). Nacrtaj tri ravni kroz tačku D, paralelno sa ravnima OBC, OCA, OAB i neka su A", B", C" tačke preseka ovih ravni sa pravima OA, OB, OS, redom. Dobijamo paralelepiped OA"C"B"C"B"DA ", a vektori a, b, c leže na njegovim rubovima koji izlaze iz vrha O. Pošto je četverougao OC"DC" paralelogram, onda je OD = OC" + OC" . Zauzvrat, segment OS" je dijagonala paralelograma OA"C"B", tako da je OC" = OA" + OB" , i OD = OA" + OB" + OC" .

Ostaje napomenuti da su parovi vektora OA ≠ 0 i OA" , OB ≠ 0 i OB" , OC ≠ 0 i OC" kolinearni, pa stoga možemo izabrati koeficijente α, β, γ tako da OA" = αOA , OB" = βOB i OC" = γOC . Konačno, dobijamo OD = αOA + βOB + γOC . Posljedično, vektor OD je izražen u terminima preostala tri vektora, a sva četiri vektora, prema teoremi 2.1, su linearno zavisna.