Dakle, problem proučavanja sistema vektora za linearnu zavisnost svodi se na problem nalaženja ranga matrice sastavljene od vektora ovog sistema.

Treba napomenuti da će za p>n sistem vektora biti linearno zavisan.

Komentar: pri kompajliranju matrice A, sistemski vektori se mogu uzeti ne kao redovi, već kao stupci.

Algoritam za proučavanje sistema vektora za linearnu zavisnost.

Analizirajmo algoritam na primjerima.

Primjeri proučavanja sistema vektora za linearnu ovisnost.

Primjer.

Dat sistem vektora. Ispitajte ga radi linearnog odnosa.

Rješenje.

Pošto je vektor c nula, originalni sistem vektora je linearno zavisan zbog trećeg svojstva.

odgovor:

Sistem vektora je linearno zavisan.

Primjer.

Ispitati sistem vektora za linearnu zavisnost.

Rješenje.

Nije teško vidjeti da su koordinate vektora c jednake odgovarajućim koordinatama vektora pomnoženim sa 3, odnosno, . Prema tome, originalni sistem vektora je linearno zavisan.

Vektori, njihova svojstva i radnje s njima

Vektori, vektorske akcije, linearne vektorski prostor.

Vektori su uređena kolekcija konačnog broja realnih brojeva.

Akcije: 1. Množenje vektora brojem: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * xn). (3.4, 0. 7) * 3 = (9, 12,0.21 )

2. Sabiranje vektora (oni pripadaju istom vektorskom prostoru) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenzionalni (linearni prostor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. Da bi sistem od n vektora u n-dimenzionalnom linearnom prostoru bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da jedan od vektora bude linearna kombinacija ostalih.

Teorema. Bilo koji skup od n+ 1. vektora n-dimenzionalnog linearnog prostora yavl. linearno zavisna.

Sabiranje vektora, množenje vektora brojevima. Oduzimanje vektora.

Zbir dva vektora je vektor usmjeren od početka vektora do kraja vektora, pod uslovom da se početak poklapa sa krajem vektora. Ako su vektori dati njihovim proširenjima u terminima baznih vektora, tada se zbrajanjem vektora zbrajaju njihove odgovarajuće koordinate.

Razmotrimo ovo na primjeru kartezijanskog koordinatnog sistema. Neka bude

Hajde da to pokažemo

Slika 3 to pokazuje

Zbir bilo kojeg konačnog broja vektora može se pronaći pomoću pravila poligona (slika 4): da bi se konstruirao zbir konačnog broja vektora, dovoljno je poklapati početak svakog sljedećeg vektora s krajem prethodnog. i konstruisati vektor koji povezuje početak prvog vektora sa krajem poslednjeg.

Svojstva vektorske operacije sabiranja:

U ovim izrazima m, n su brojevi.

Razlika vektora se naziva vektor.Drugi član je vektor suprotan vektoru po pravcu, ali mu je jednak po dužini.

Dakle, operacija vektorskog oduzimanja je zamijenjena operacijom sabiranja

Vektor čiji je početak u početku koordinata, a kraj u tački A (x1, y1, z1), naziva se radijus vektor tačke A i označava se ili jednostavno. Pošto se njene koordinate poklapaju sa koordinatama tačke A, njeno proširenje u smislu vektora ima oblik

Vektor koji počinje u tački A(x1, y1, z1) i završava u tački B(x2, y2, z2) može se napisati kao

gdje je r 2 radijus vektor tačke B; r 1 - radijus vektor tačke A.

Prema tome, ekspanzija vektora u smislu ortova ima oblik

Njegova dužina jednaka je udaljenosti između tačaka A i B

MNOŽENJE

Tako u slučaju problem sa avionom proizvod vektora sa a = (ax; ay) i broja b nalazi se po formuli

a b = (ax b; ay b)

Primjer 1. Pronađite proizvod vektora a = (1; 2) sa 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Tako u slučaju prostorni problem proizvod vektora a = (ax; ay; az) i broja b nalazi se po formuli

a b = (ax b; ay b; az b)

Primjer 1. Pronađite proizvod vektora a = (1; 2; -5) sa 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Tačkasti proizvod vektora i gdje je ugao između vektora i ; ako bilo , onda

Iz definicije skalarnog proizvoda slijedi da

gdje je, na primjer, vrijednost projekcije vektora na smjer vektora .

Skalarni kvadrat vektora:

Svojstva tačkastog proizvoda:

Točkasti proizvod u koordinatama

Ako onda

Ugao između vektora

Ugao između vektora - ugao između pravaca ovih vektora (najmanji ugao).

Vektorski proizvod (Vektorski proizvod dva vektora.)- je pseudovektor okomit na ravan konstruisan sa dva faktora, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" na vektorima u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Proizvod nije ni komutativan ni asocijativan (antikomutativan je) i razlikuje se od dot proizvoda vektora. U mnogim inženjerskim i fizičkim problemima, potrebno je biti u stanju izgraditi vektor okomit na dva postojeća - vektorski proizvod pruža tu mogućnost. Unakrsni proizvod je koristan za "mjerenje" okomitosti vektora - dužina unakrsnog proizvoda dva vektora jednaka je proizvodu njihovih dužina ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Vektorski proizvod je definiran samo u trodimenzionalnim i sedmodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog proizvoda, kao i skalarni proizvod, zavisi od metrike euklidskog prostora.

Za razliku od formule za izračunavanje skalarnog proizvoda iz koordinata vektora u trodimenzionalnom pravougaonom koordinatnom sistemu, formula za vektorski proizvod zavisi od orijentacije pravougaonog koordinatnog sistema, odnosno, drugim rečima, njegove „kiralnosti“

Kolinearnost vektora.

Dva vektora različita od nule (nisu jednaka 0) nazivaju se kolinearnim ako leže na paralelnim linijama ili na istoj liniji. Dozvoljavamo, ali ne preporučujemo, sinonim - "paralelne" vektore. Kolinearni vektori mogu biti usmjereni u istom smjeru ("ko-usmjereni") ili suprotno usmjereni (u posljednjem slučaju ponekad se nazivaju "antikolinearni" ili "antiparalelni").

Mješoviti proizvod vektora ( a,b,c)- skalarni proizvod vektora a i vektorski proizvod vektora b i c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

ponekad se naziva trostrukim skalarni proizvod vektori, očigledno zbog činjenice da je rezultat skalar (tačnije, pseudoskalar).

geometrijskog smisla: Modul mješovitog proizvoda je numerički jednak volumenu paralelepipeda formiranog od vektora (a,b,c) .

Svojstva

mješoviti proizvod koso-simetrično u odnosu na sve svoje argumente: tj. e. permutacija bilo koja dva faktora mijenja predznak proizvoda. Iz toga slijedi da je mješoviti proizvod u desnom Dekartovom koordinatnom sistemu (u ortonormalnoj bazi) jednak determinanti matrice sastavljene od vektora i:

Mješoviti proizvod u lijevom kartezijanskom koordinatnom sistemu (u ortonormalnoj bazi) jednak je determinanti matrice sastavljene od vektora i uzete sa predznakom minus:

posebno,

Ako su bilo koja dva vektora paralelna, onda sa bilo kojim trećim vektorom formiraju mješoviti proizvod jednak nuli.

Ako su tri vektora linearno zavisna (tj. koplanarna, leže u istoj ravni), onda je njihov mješoviti proizvod nula.

Geometrijsko značenje - Mješoviti proizvod u apsolutnoj vrijednosti jednak je zapremini paralelepipeda (vidi sliku) formiranog od vektora i; znak zavisi od toga da li je ova trojka vektora desna ili leva.

Komplanarnost vektora.

Tri vektora (ili više) nazivaju se komplanarnim ako, svedeni na zajedničko ishodište, leže u istoj ravni

Svojstva komplanarnosti

Ako je barem jedan od tri vektora nula, tada se i tri vektora smatraju komplanarnim.

Trojka vektora koja sadrži par kolinearnih vektora je komplanarna.

Mješoviti proizvod komplanarnih vektora. Ovo je kriterijum za komplanarnost tri vektora.

Koplanarni vektori su linearno zavisni. Ovo je takođe kriterijum za komplanarnost.

U 3-dimenzionalnom prostoru, 3 nekoplanarna vektora čine osnovu

Linearno zavisni i linearno nezavisni vektori.

Linearno zavisni i nezavisni sistemi vektora.Definicija. Sistem vektora se zove linearno zavisna, ako postoji barem jedna netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru. Inače, tj. ako je samo trivijalna linearna kombinacija datih vektora jednaka nultom vektoru, vektori se pozivaju linearno nezavisna.

Teorema (kriterijum linearne zavisnosti). Da bi sistem vektora u linearnom prostoru bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da barem jedan od ovih vektora bude linearna kombinacija ostalih.

1) Ako među vektorima postoji barem jedan nulti vektor, onda je cijeli sistem vektora linearno zavisan.

Zaista, ako, na primjer, , onda, pod pretpostavkom , imamo netrivijalnu linearnu kombinaciju .▲

2) Ako neki od vektora formiraju linearno zavisan sistem, onda je ceo sistem linearno zavisan.

Zaista, neka su vektori , , linearno zavisni. Dakle, postoji netrivijalna linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Ali onda, pod pretpostavkom , takođe dobijamo netrivijalnu linearnu kombinaciju jednaku nultom vektoru.

2. Osnova i dimenzija. Definicija. Sistem je linearan nezavisni vektori vektorski prostor se zove osnovu ovaj prostor, ako se bilo koji vektor iz može predstaviti kao linearna kombinacija vektora ovog sistema, tj. za svaki vektor postoje realni brojevi takva da vrijedi jednakost. Ova jednakost se zove vektorska dekompozicija prema osnovi , i brojevima pozvao vektorske koordinate u odnosu na bazu(ili u osnovi) .

Teorema (o jedinstvenosti ekspanzije u smislu baze). Svaki vektor prostora može se proširiti u smislu baze jedini način, tj. koordinate svakog vektora u bazi definisani su nedvosmisleno.

Glavna vrijednost baze leži u činjenici da se operacije sabiranja vektora i množenja s brojevima prilikom postavljanja baze pretvaraju u odgovarajuće operacije na brojevima - koordinate ovih vektora. Naime, istina je sljedeće.

Teorema. Prilikom sabiranja bilo koja dva vektora linearnog prostora, njihove koordinate (u odnosu na bilo koju osnovu prostora) se sabiraju; kada se proizvoljni vektor množi bilo kojim brojem, sve koordinate ovog vektora se množe sa .

Definicija -dimenzionalno, ako sadrži linearno nezavisne vektore, a svi vektori su već linearno zavisni. Broj je pozvan dimenzija prostori.

Pretpostavlja se da je dimenzija vektorskog prostora koji se sastoji od jednog nultog vektora nula.

Dimenzija prostora se obično označava simbolom .

Definicija. Vektorski prostor se zove beskonačno-dimenzionalni, ako sadrži bilo koji broj linearno nezavisnih vektora. U ovom slučaju napišite .

Pojasnimo vezu između pojmova osnove i dimenzije prostora.

Teorema. Ako je vektorski prostor dimenzije , tada bilo koji linearno nezavisni vektori ovog prostora čine njegovu osnovu.

Teorema. Ako vektorski prostor ima osnovu koja se sastoji od vektora, onda .

Slične informacije.

Neka bude L je linearni prostor iznad polja R . Neka bude A1, a2, ... , an (*) konačan sistem vektora iz L . Vector IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) zvao Linearna kombinacija vektora ( *), ili recimo vektor IN linearno izraženo kroz sistem vektora (*).

Definicija 14. Sistem vektora (*) se zove linearno zavisna , ako i samo ako postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se poziva sistem (*). linearno nezavisna.

Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti.

10. Ako sistem vektora sadrži nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

Zaista, ako je u sistemu (*) vektor A1 = 0, Zatim 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ako sistem vektora sadrži dva proporcionalna vektora, onda je on linearno zavisan.

Neka bude A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× ALI N= 0.

30. Konačan sistem vektora (*) za n ³ 2 je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih vektora ovog sistema.

Þ Neka je (*) linearno zavisna. Tada postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× ALI N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + bn ALI N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn ALI N= 0 , tj. (*) je linearno zavisna.

Komentar. Koristeći posljednju osobinu, može se definirati linearna zavisnost i nezavisnost beskonačnog sistema vektora.

Definicija 15. Vektorski sistem A1, a2, ... , an , … (**) se poziva linearno zavisna, Ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. U suprotnom, poziva se sistem (**). linearno nezavisna.

40. Konačan sistem vektora je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od njegovih vektora ne može biti linearno izražen u terminima njegovih drugih vektora.

50. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, tada je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

60. Ako je neki podsistem datog sistema vektora linearno zavisan, onda je i cijeli sistem linearno zavisan.

Neka su data dva sistema vektora A1, a2, ... , an , … (16) i V1, v2, … , vs, … (17). Ako se svaki vektor sistema (16) može predstaviti kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sistema (17), onda kažemo da je sistem (17) linearno izražen kroz sistem (16).

Definicija 16. Dva sistema vektora se nazivaju ekvivalentan , ako je svaki od njih linearno izražen u terminima drugog.

Teorema 9 (osnovna teorema o linearnoj zavisnosti).

Neka i - dva krajnji sistemi vektori iz L . Ako je prvi sistem linearno nezavisan i linearno izražen u terminima drugog, onda N£s.

Dokaz. Pretvarajmo se to N> S. Prema teoremi

joint. Pošto je broj jednačina više broja nepoznanica, onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Prema tome, ima različitu od nule x10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti će biti tačna jednakost (18), što je u suprotnosti sa činjenicom da je sistem vektora linearno nezavisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. shodno tome, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sistema vektora konačna i linearno nezavisna, onda sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Sistem vektora se zove Maksimalni linearno nezavisni sistem vektora linearni prostor L , ako je linearno nezavisan, ali mu dodaje bilo koji vektor iz L nije uključen u ovaj sistem, postaje linearno zavisan.

Teorema 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno nezavisna sistema vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz proizilazi iz činjenice da su bilo koja dva maksimalna linearno nezavisna sistema vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da je bilo koji linearno nezavisan sistem vektora prostora L može se kompletirati do maksimalnog linearno nezavisnog sistema vektora ovog prostora.

primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora, svaki sistem koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno nezavisan.

2. U skupu svih komplanarnih geometrijskih vektora, bilo koja dva nekolinearna vektora čine maksimalni linearno nezavisan sistem.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora, svaki sistem od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno nezavisan.

4. U skupu svih polinoma, stepen je najviše N Sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, sistem polinoma 1, x, x2, …, xn Maksimalno je linearno nezavisna.

5. U skupu svih polinoma sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, primjeri maksimalnog linearno nezavisnog sistema su

ali) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. Skup matrica dimenzija M´ N je linearni prostor(provjeri ovo). Primer maksimalnog linearno nezavisnog sistema u ovom prostoru je sistem matrica E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Neka je zadan sistem vektora C1, c2, ... , up (*). Poziva se podsistem vektora iz (*). Maksimalno linearno nezavisno Podsistem sistemi ( *) , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sistema, postaje linearno zavisan. Ako je sistem (*) konačan, onda bilo koji od njegovih maksimalnih linearno nezavisnih podsistema sadrži isti broj vektora. (Dokaz sami.) Poziva se broj vektora u maksimalnom linearno nezavisnom podsistemu sistema (*). rang Ovaj sistem. Očigledno, ekvivalentni sistemi vektora imaju iste rangove.

Izražavanje forme pozvao linearna kombinacija vektora A 1 , A 2 ,...,A n sa koeficijentima λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Određivanje linearne zavisnosti sistema vektora

Vektorski sistem A 1 , A 2 ,...,A n pozvao linearno zavisna, ako postoji skup brojeva koji nije nula λ 1, λ 2 ,...,λ n, pod kojim je linearna kombinacija vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n jednak nultom vektoru, odnosno sistem jednačina: ima rješenje različito od nule.
Skup brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n je različit od nule ako je barem jedan od brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n različito od nule.

Određivanje linearne nezavisnosti sistema vektora

Vektorski sistem A 1 , A 2 ,...,A n pozvao linearno nezavisna, ako je linearna kombinacija ovih vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n jednak je nultom vektoru samo za nulti skup brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n , odnosno sistem jednačina: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ima jedinstveno nulto rješenje.

Provjerite je li sistem vektora linearno zavisan

Rješenje:

1. Sastavljamo sistem jednačina:

2. Rješavamo ga Gaussovom metodom. Jordanske transformacije sistema date su u tabeli 29.1. Prilikom izračunavanja, pravi dijelovi sistema se ne zapisuju, jer su jednaki nuli i ne mijenjaju se u Jordanovim transformacijama.

3. Iz posljednja tri reda tabele pišemo dozvoljeni sistem ekvivalentan originalu sistem:

4. Dobijamo opšte rešenje sistema:

5. Podesite po sopstvenom nahođenju vrednost slobodne varijable x 3 =1, dobijamo određeno rešenje različito od nule X=(-3,2,1).

Odgovor: Dakle, sa skupom brojeva koji nije nula (-3,2,1), linearna kombinacija vektora jednaka je nultom vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. shodno tome, sistem vektora linearno zavisan.

Osobine vektorskih sistema

Nekretnine (1)
Ako je sistem vektora linearno zavisan, onda je barem jedan od vektora raščlanjiv u ostatku, i obrnuto, ako je barem jedan od vektora sistema razložen u ostatku, tada je sistem vektora linearno zavisan .

Nekretnine (2)
Ako je bilo koji podsistem vektora linearno zavisan, onda je cijeli sistem linearno zavisan.

Nekretnina (3)
Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda je bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

Nekretnina (4)
Svaki sistem vektora koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

Nekretnine (5)
Sistem m-dimenzionalnih vektora je uvijek linearno zavisan ako je broj vektora n veći od njihove dimenzije (n>m)

Osnova vektorskog sistema

Osnova sistema vektora A 1 , A 2 ,..., A n takav podsistem B 1 , B 2 ,...,B r(svaki od vektora B 1 ,B 2 ,...,B r je jedan od vektora A 1 , A 2 ,..., A n) koji zadovoljava sljedeće uslove:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r linearno nezavisni sistem vektora;
2. bilo koji vektor Aj sistema A 1 , A 2 ,..., A n se linearno izražava u terminima vektora B 1 ,B 2 ,...,B r

r je broj vektora uključenih u bazu.

Teorema 29.1 O jediničnoj osnovi sistema vektora.

Ako sistem m-dimenzionalnih vektora sadrži m različitih jedinični vektori E 1 E 2 ,..., E m , tada čine osnovu sistema.

Algoritam za pronalaženje osnove sistema vektora

Da bi se pronašla osnova sistema vektora A 1 ,A 2 ,...,A n potrebno je:

• Sastavite odgovarajući sistem vektora homogeni sistem jednačine A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• doneti ovaj sistem