Definicija osnove. Sistem vektora čini osnovu ako:

1) linearno je nezavisna,

2) bilo koji vektor prostora kroz njega je linearno izražen.

Primjer 1 Osnova prostora: .

2. U sistemu vektora vektori su osnova: , jer linearno izraženo u terminima vektora.

Komentar. Da biste pronašli osnovu datog sistema vektora, potrebno je:

1) upisati koordinate vektora u matricu,

2) preko elementarne transformacije dovesti matricu u trouglasti oblik,

3) redovi matrice različiti od nule će biti sistemsku osnovu,

4) broj vektora u bazi je jednak rangu matrice.

Kronecker-Capelli teorema

Kronecker-Capelli teorema daje iscrpan odgovor na pitanje konzistentnosti proizvoljan sistem linearne jednačine sa nepoznatim

Kronecker–Capelli teorem. Sistem linearnih algebarskih jednačina je konzistentan ako i samo ako je rang proširene matrice sistema jednak rangu glavne matrice, .

Algoritam za pronalaženje svih rješenja konzistentnog sistema linearnih jednačina slijedi iz Kronecker–Capellijeve teoreme i sljedećih teorema.

Teorema. Ako je rang zglobnog sistema jednak je broju nepoznato, onda sistem ima jedinstveno rješenje.

Teorema. Ako je rang zglobnog sistema manje od broja nepoznato, onda sistem ima beskonačan broj rješenja.

Algoritam za rješavanje proizvoljnog sistema linearnih jednačina:

1. Pronađite rangove glavne i proširene matrice sistema. Ako nisu jednaki (), onda je sistem nekonzistentan (nema rješenja). Ako su rangovi jednaki ( , onda je sistem konzistentan.

2. Za kompatibilan sistem, nađimo neki minor, čiji redosled određuje rang matrice (takav minor se zove osnovni). Hajde da komponujemo novi sistem iz jednadžbi u kojima su koeficijenti nepoznatih uključeni u osnovni minor (ove nepoznate se nazivaju glavnim nepoznanicama), odbacujemo ostale jednačine. Glavne nepoznanice sa koeficijentima ostavljamo na lijevoj strani, a preostale nepoznanice (one se nazivaju slobodne nepoznanice) prenosimo na desnu stranu jednadžbe.

3. Nađimo izraze glavnih nepoznanica u terminima slobodnih. Dobijamo opšte rešenje sistema.

4. Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobijamo odgovarajuće vrijednosti glavnih nepoznanica. Na taj način nalazimo određena rješenja originalnog sistema jednačina.

Linearno programiranje. Osnovni koncepti

Linearno programiranje je smjer matematičkog programiranja koji proučava metode za rješavanje ekstremnih problema, koje karakterizira linearni odnos između varijabli i linearnog kriterija.

Neophodan uslov Izjava o problemu linearnog programiranja su ograničenja dostupnosti resursa, veličine potražnje, proizvodnog kapaciteta preduzeća i drugih faktora proizvodnje.

Suština linearnog programiranja je pronalaženje tačaka najvećeg ili najmanju vrijednost neka funkcija sa određenim skupom ograničenja nametnutih argumentima i generatorima sistem ograničenja , koji obično ima beskonačan broj rješenja. Svaki skup varijabilnih vrijednosti (argumenata funkcije F ) koji zadovoljavaju sistem ograničenja naziva se prihvatljiv plan problemi linearnog programiranja. Funkcija F , čiji je maksimum ili minimum određen, naziva se ciljna funkcija zadataka. Dopušteni plan na kojem se postiže maksimum ili minimum funkcije F , zove se optimalan plan zadataka.

Sistem ograničenja koji definiše skup planova diktiran je uslovima proizvodnje. Problem linearnog programiranja ( ZLP ) je izbor najprofitabilnijeg (optimalnog) iz skupa izvodljivih planova.

Opća formulacija problema linearnog programiranja je sljedeća:

Postoje neke varijable x \u003d (x 1, x 2, ... x n) i funkcija ovih varijabli f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , koji nosi ime cilj funkcije. Postavljen je zadatak: pronaći ekstrem (maksimum ili minimum) funkcije cilja f(x) pod uslovom da su varijable x pripadaju nekom području G :

Ovisno o vrsti funkcije f(x) i oblasti G i razlikuju sekcije matematičkog programiranja: kvadratno programiranje, konveksno programiranje, cjelobrojno programiranje, itd. Linearno programiranje karakteriše činjenica da
a) funkcija f(x) je linearna funkcija varijable x 1, x 2, ... x n
b) područje G određuje sistem linearno jednakosti ili nejednakosti.

Linearna kombinacija vektora je vektor
, gdje su λ 1 , ... , λ m proizvoljni koeficijenti.

Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koji ima najmanje jedan koeficijent različit od nule.

Vektorski sistem
naziva se linearno nezavisnim ako u bilo kojem od svojih linearna kombinacija jednak , svi koeficijenti su nula.

Osnova sistema vektora
poziva se njegov neprazan linearno nezavisan podsistem kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sistema.

Primjer 2. Naći osnovu sistema vektora = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) i izraziti preostale vektore u terminima baze.

Rješenje: Gradimo matricu u kojoj raspoređujemo koordinate ovih vektora u stupce. Dovodimo ga u stepenasti oblik.

~
~
~
.

Osnovu ovog sistema čine vektori ,,, koji odgovaraju vodećim elementima redova označenih kružićima. Za vektorski izraz riješiti jednačinu x 1 +x2 +x4 =. On se svodi na sistem linearnih jednadžbi, čija se matrica dobija iz originala permutacijom stupca koji odgovara , umjesto kolone slobodnih članova. Stoga, da bismo riješili sistem, koristimo rezultujuću matricu u postupnom obliku, praveći potrebne permutacije u njoj.

Sukcesivno nalazimo:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Napomena 1. Ako je potrebno izraziti više vektora kroz bazu, onda se za svaki od njih konstruiše odgovarajući sistem linearnih jednačina. Ovi sistemi će se razlikovati samo u kolonama slobodnih članova. Stoga se za njihovo rješavanje može sastaviti jedna matrica u kojoj će biti nekoliko kolona slobodnih članova. U ovom slučaju, svaki sistem se rješava nezavisno od ostalih.

Napomena 2. Za izražavanje bilo kojeg vektora dovoljno je koristiti samo bazne vektore sistema koji mu prethode. U ovom slučaju nema potrebe za preoblikovanjem matrice, dovoljno je postaviti vertikalnu liniju na pravo mjesto.

Vježba 2. Pronađite osnovu sistema vektora i izrazite ostale vektore kroz bazu:

ali) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

u) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Osnovni sistem odlučivanja

Sistem linearnih jednačina naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

Fundamentalni sistem odlučivanja homogeni sistem linearne jednadžbe se nazivaju osnovom skupa njenih rješenja.

Neka je dat nehomogen sistem linearnih jednačina. Homogeni sistem pridružen datom je sistem koji se dobija iz datog zamenom svih slobodnih termina nulama.

Ako je nehomogen sistem konzistentan i neodređen, onda njegovo proizvoljno rješenje ima oblik f o1 +  1 f o1 + ... +  kf ok , gdje je fo određeno rješenje nehomogenog sistema i f o1 , ... , fok je osnovna sistemska rješenja pridruženog homogenog sistema.

Primjer 3. Pronađite određeno rješenje za nehomogeni sistem iz primjera 1 i fundamentalni sistem rješenja povezanog homogenog sistema.

Rješenje Zapisujemo rješenje dobiveno u primjeru 1 u vektorskom obliku i rezultujući vektor proširimo u zbir slobodnih parametara koje sadrži i fiksnih numeričkih vrijednosti:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).

Dobijamo f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Komentar. Slično se rješava i problem nalaženja fundamentalnog sistema rješenja za homogeni sistem.

Vježba 3.1 Pronađite osnovni sistem rješenja homogenog sistema:

ali)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

VJEŽBA 3.2. Pronađite određeno rješenje nehomogenog sistema i fundamentalni sistem rješenja pridruženog homogenog sistema:

ali)

b)

U geometriji se pod vektorom podrazumeva usmereni segment, a vektori dobijeni jedan od drugog paralelni transfer, smatraju se jednakim. Svi jednaki vektori se tretiraju kao isti vektor. Početak vektora može se postaviti u bilo koju tačku u prostoru ili ravni.

Ako su koordinate krajeva vektora date u prostoru: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), zatim

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Slična formula vrijedi i u ravnini. To znači da se vektor može napisati kao koordinatni niz. Operacije nad vektorima, - sabiranje i množenje brojem, nad nizovima se izvode komponentu po komponentu. Ovo omogućava proširenje koncepta vektora, razumijevajući vektor kao bilo koji niz brojeva. Na primjer, rješenje sistema linearnih jednačina, kao i bilo koji skup vrijednosti sistemske varijable, može se posmatrati kao vektor.

Na žicama iste dužine, operacija sabiranja se izvodi prema pravilu

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Množenje niza brojem vrši se prema pravilu

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Skup vektora reda zadane dužine n sa naznačenim operacijama vektorskog sabiranja i množenja brojem formira algebarsku strukturu tzv n-dimenzionalni linearni prostor.

Linearna kombinacija vektora je vektor , gdje je λ 1 , ... , λ m su proizvoljni koeficijenti.

Sistem vektora se naziva linearno zavisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koja ima najmanje jedan koeficijent različit od nule.

Sistem vektora naziva se linearno nezavisnim ako su u bilo kojoj od njegovih linearnih kombinacija jednakih , svi koeficijenti jednaki nuli.

Dakle, rješenje pitanja linearne zavisnosti sistema vektora svodi se na rješenje jednačine

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Ako ova jednačina ima rješenja različita od nule, tada je sistem vektora linearno zavisan. Ako je nulto rješenje jedinstveno, onda je sistem vektora linearno nezavisan.

Za rješavanje sistema (4), radi jasnoće, vektori se mogu napisati ne u obliku redova, već u obliku kolona.

Zatim, nakon izvođenja transformacija na lijevoj strani, dolazimo do sistema linearnih jednačina ekvivalentnih jednačini (4). Glavna matrica ovog sistema je formirana koordinatama originalnih vektora raspoređenih u kolone. Kolona slobodnih članova ovde nije potrebna, pošto je sistem homogen.

Osnova sistem vektora (konačnih ili beskonačnih, posebno svih linearni prostor) je njegov neprazan linearno nezavisan podsistem, kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sistema.

Primjer 1.5.2. Pronađite osnovu sistema vektora = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) i izraziti druge vektore kroz bazu.

Rješenje. Gradimo matricu u kojoj su koordinate ovih vektora raspoređene u stupce. Ovo je matrica sistema x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Dovodimo matricu u stepenasti oblik:

~ ~ ~

Osnovu ovog sistema vektora čine vektori , , , koji odgovaraju vodećim elementima redova označenih kružićima. Da bismo izrazili vektor, rješavamo jednačinu x 1 + x 2 + x 4 = . Svodi se na sistem linearnih jednačina, čija se matrica dobija iz originala preuređivanjem stupca koji odgovara , na mjesto stupca slobodnih članova. Stoga, kada se svodi na stepenasti oblik, na matrici će se izvršiti iste transformacije kao gore. To znači da rezultujuću matricu možemo koristiti u stepenastom obliku tako što ćemo napraviti potrebne permutacije stupaca u njoj: stupci s kružićima se postavljaju lijevo od okomite trake, a stupac koji odgovara vektoru se postavlja desno bara.

Sukcesivno nalazimo:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Komentar. Ako je potrebno izraziti više vektora kroz bazu, tada se za svaki od njih konstruiše odgovarajući sistem linearnih jednačina. Ovi sistemi će se razlikovati samo u kolonama slobodnih članova. U ovom slučaju, svaki sistem se rješava nezavisno od ostalih.

VJEŽBA 1.4. Pronađite osnovu sistema vektora i izrazite ostale vektore u terminima baze:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

U datom sistemu vektora, baza se obično može razlikovati na različite načine, ali sve baze će imati isti broj vektora. Broj vektora u bazi linearnog prostora naziva se dimenzija prostora. Za n-dimenzionalni linearni prostor n je dimenzija prostora, pošto ovaj prostor ima standardnu ​​osnovu = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Kroz ovu bazu, bilo koji vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) se izražava na sljedeći način:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Dakle, komponente u redu vektora = (a 1 , a 2 , … , a n) su njegovi koeficijenti u ekspanziji u smislu standardne osnove.

Prave linije u avionu

Problem analitičke geometrije - primjena na geometrijski problemi koordinatni metod. Ovo prevodi zadatak u algebarski oblik a rješava se pomoću algebre.

U članku o n-dimenzionalnim vektorima došli smo do koncepta linearnog prostora generiranog skupom n-dimenzionalnih vektora. Sada moramo razmotriti ništa manje važne koncepte, kao što su dimenzija i osnova. vektorski prostor. Oni su direktno povezani sa konceptom linearno nezavisnog sistema vektora, pa se dodatno preporučuje da se podsetite i na osnove ove teme.

Hajde da uvedemo neke definicije.

Definicija 1

Dimenzija vektorskog prostora- broj koji odgovara maksimalan broj linearno nezavisni vektori u ovom prostoru.

Definicija 2

Vektorska prostorna osnova- skup linearno nezavisnih vektora, uređenih i po broju jednakih dimenziji prostora.

Razmotrimo određeni prostor od n -vektora. Njegova dimenzija je respektivno jednaka n. Uzmimo sistem n-jediničnih vektora:

e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Koristimo ove vektore kao komponente matrice A: to će biti jedinica sa dimenzijom n po n. Rang ove matrice je n. Dakle, vektorski sistem e (1) , e (2) , . . . , e (n) je linearno nezavisan. U ovom slučaju, nemoguće je dodati jedan vektor sistemu a da se ne naruši njegova linearna nezavisnost.

Pošto je broj vektora u sistemu n, onda je dimenzija prostora n-dimenzionalnih vektora n, i jedinični vektori e (1) , e (2) , . . . , e (n) su osnova specificiranog prostora.

Iz dobijene definicije zaključujemo: bilo koji sistem n-dimenzionalnih vektora, u kojem je broj vektora manji od n, nije baza prostora.

Ako zamijenimo prvi i drugi vektor, dobićemo sistem vektora e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Također će biti osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Sastavimo matricu, uzimajući vektore rezultujućeg sistema kao njegove redove. Matrica se može dobiti iz matrice identiteta zamjenom prva dva reda, njen rang će biti jednak n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e (n) je linearno nezavisna i osnova je n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Preuređivanjem drugih vektora u originalnom sistemu dobijamo još jednu osnovu.

Možemo uzeti linearno nezavisan sistem vektora koji nisu jedinični, a to će također predstavljati osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Definicija 3

Vektorski prostor s dimenzijom n ima onoliko baza koliko ima linearno nezavisnih sistema n-dimenzionalnih vektora sa brojem n.

Ravan je dvodimenzionalni prostor - njena osnova će biti bilo koja dva nekolinearna vektora. Bilo koja tri nekoplanarna vektora će poslužiti kao osnova trodimenzionalnog prostora.

Razmotrite primjenu ove teorije na konkretnim primjerima.

Primjer 1

Početni podaci: vektori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Potrebno je utvrditi da li su navedeni vektori osnova trodimenzionalnog vektorskog prostora.

Rješenje

Da bismo riješili problem, proučavamo dati sistem vektora za linearnu zavisnost. Napravimo matricu, gdje su redovi koordinate vektora. Odredimo rang matrice.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R ank (A) = 3

Prema tome, vektori zadani uslovom zadatka su linearno nezavisni, a njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora – oni su osnova vektorskog prostora.

odgovor: ovi vektori su osnova vektorskog prostora.

Primjer 2

Početni podaci: vektori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Potrebno je utvrditi da li navedeni sistem vektora može biti osnova trodimenzionalnog prostora.

Rješenje

Sistem vektora specificiran u uslovu problema je linearno zavisan, jer maksimalni broj linearno nezavisnih vektora je 3. Dakle, ovaj sistem vektora ne može poslužiti kao osnova za trodimenzionalni vektorski prostor. Ali vrijedi napomenuti da je podsistem originalnog sistema a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) osnova.

odgovor: naznačeni sistem vektora nije osnova.

Primjer 3

Početni podaci: vektori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Mogu li oni biti osnova četverodimenzionalnog prostora?

Rješenje

Sastavite matricu koristeći koordinate datih vektora kao redove

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Koristeći Gaussovu metodu, određujemo rang matrice:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R ank (A) = 4

Dakle, sistem datih vektora je linearno nezavisan i njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora – oni su osnova četvorodimenzionalnog vektorskog prostora.

odgovor: dati vektori su osnova četverodimenzionalnog prostora.

Primjer 4

Početni podaci: vektori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Da li oni čine osnovu 4-dimenzionalnog prostora?

Rješenje

Originalni sistem vektora je linearno nezavisan, ali broj vektora u njemu nije dovoljan da postane osnova četvorodimenzionalnog prostora.

odgovor: ne, nemaju.

Dekompozicija vektora u smislu baze

Prihvatamo da proizvoljni vektori e (1) , e (2) , . . . , e (n) su osnova vektorskog n-dimenzionalnog prostora. Dodajmo im neki n-dimenzionalni vektor x →: rezultujući sistem vektora će postati linearno zavisan. Svojstva linearne zavisnosti navode da se barem jedan od vektora takvog sistema može linearno izraziti u terminima ostalih. Reformulišući ovu tvrdnju, možemo reći da se barem jedan od vektora linearno zavisnog sistema može proširiti na druge vektore.

Tako smo došli do formulacije najvažnije teoreme:

Definicija 4

Bilo koji vektor n-dimenzionalnog vektorskog prostora jedini načinširi preko osnove.

Dokaz 1

Dokažimo ovu teoremu:

postaviti osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Učinimo sistem linearno zavisnim dodavanjem n-dimenzionalnog vektora x → na njega. Ovaj vektor se može linearno izraziti u terminima originalnih vektora e:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , gdje je x 1 , x 2 , . . . , x n - neki brojevi.

Sada dokazujemo da je takva dekompozicija jedinstvena. Pretpostavimo da to nije slučaj i da postoji još jedno slično proširenje:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , gdje je x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - neki brojevi.

Oduzmite od lijevog i desnog dijela ove jednakosti, redom, lijevi i desni dio jednakosti x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . Dobijamo:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

Sistem baznih vektora e (1) , e (2) , . . . , e (n) je linearno nezavisan; Po definiciji linearne nezavisnosti sistema vektora, gornja jednakost je moguća samo kada su svi koeficijenti (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) će biti jednako nuli. Od čega će biti pošteno: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . I ovo dokazuje jedini način da se vektor proširi u smislu osnove.

U ovom slučaju, koeficijenti x 1 , x 2 , . . . , x n se nazivaju koordinate vektora x → u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Provjerena teorija razjašnjava izraz „dat je n-dimenzionalni vektor x = (x 1, x 2, . . . , xn)“: razmatra se vektorski x → n-dimenzionalni vektorski prostor, a njegove koordinate su date u neke osnove. Također je jasno da će isti vektor u različitoj bazi n-dimenzionalnog prostora imati različite koordinate.

Razmotrimo sljedeći primjer: pretpostavimo da je u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora dat sistem od n linearno nezavisnih vektora

a takođe je dat vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vektori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) u ovom slučaju su također osnova ovog vektorskog prostora.

Pretpostavimo da je potrebno odrediti koordinate vektora x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , označeno kao x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Vektor x → će biti predstavljen na sledeći način:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Ovaj izraz pišemo u koordinatnom obliku:

(x 1 , x 2 , . . . , xn) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . .. + x ~ ne 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ ne 2 (n) , . . , x ~ 1 hr (1) + x ~ 2 en (2) + . . . + x ~ nen (n))

Rezultirajuća jednakost je ekvivalentna sistemu od n linearnih algebarskih izraza sa n nepoznatih linearnih varijabli x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matrica ovog sistema će izgledati ovako:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Neka je ovo matrica A, a njeni stupci vektori linearno nezavisnog sistema vektora e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . Rang matrice je n i njena determinanta nije nula. To ukazuje da sistem jednačina ima jedinstveno rješenje, određeno na bilo koji pogodan način: na primjer, Cramerovom metodom ili matrična metoda. Na ovaj način možemo odrediti koordinate x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n vektora x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Primijenimo razmatranu teoriju na konkretnom primjeru.

Primjer 6

Početni podaci: vektori su dati u osnovi trodimenzionalnog prostora

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Potrebno je potvrditi činjenicu da sistem vektora e (1) , e (2) , e (3) takođe služi kao osnova datog prostora, kao i odrediti koordinate vektora x u datoj bazi .

Rješenje

Sistem vektora e (1) , e (2) , e (3) će biti osnova trodimenzionalnog prostora ako je linearno nezavisan. Otkrijmo ovu mogućnost određivanjem ranga matrice A, čiji su redovi dati vektori e (1) , e (2) , e (3) .

Koristimo Gaussovu metodu:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Dakle, sistem vektora e (1) , e (2) , e (3) je linearno nezavisan i baza je.

Neka vektor x → u bazi ima koordinate x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Veza ovih koordinata određena je jednadžbom:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Primijenimo vrijednosti prema uslovima problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Sistem jednačina rješavamo Cramerovom metodom:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Dakle, vektor x → u bazi e (1) , e (2) , e (3) ima koordinate x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

odgovor: x = (1, 1, 1)

Veza između baza

Pretpostavimo da su u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora data dva linearno nezavisna sistema vektora:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . , cn (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , cn (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , cn (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , en (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , en (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , en (n))

Ovi sistemi su ujedno i baze datog prostora.

Neka je c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinate vektora c (1) u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) , tada će odnos koordinata biti dat sistemom linearnih jednačina:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

U obliku matrice, sistem se može prikazati na sljedeći način:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . , cn (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … hr (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

Napravimo istu notaciju za vektor c (2) po analogiji:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , cn (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … hr (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , cn (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … hr (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

Matrične jednakosti se kombinuju u jedan izraz:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ cn (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ en (n)

On će odrediti odnos vektora dvije različite baze.

Koristeći isti princip, moguće je izraziti sve bazne vektore e (1) , e (2) , . . . , e (3) kroz bazu c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ cn (n)

Dajemo sljedeće definicije:

Definicija 5

Matrica c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze e (1) , e (2) , . . . , e(3)

bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definicija 6

Matrica e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze c (1) , c (2) , . . . ,c(n)

bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Iz ovih jednakosti je jasno da

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (2) e (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

one. matrice prelaza su međusobno inverzne.

Razmotrimo teoriju na konkretnom primjeru.

Primjer 7

Početni podaci: potrebno je pronaći prijelaznu matricu iz baze

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Takođe morate odrediti odnos koordinata proizvoljnog vektora x → u datim bazama.

Rješenje

1. Neka je T prijelazna matrica, tada će jednakost biti tačna:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Pomnožite obje strane jednačine sa

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobiti:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definirajte prijelaznu matricu:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definirajte odnos koordinata vektora x → :

pretpostavimo da je u bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → ima koordinate x 1 , x 2 , x 3 , tada:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

i u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) ima koordinate x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , tada:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Jer lijevi dijelovi ovih jednakosti su jednaki, možemo izjednačiti i desne dijelove:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Pomnožite obje strane na desnoj strani

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobiti:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

S druge strane

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Posljednje jednakosti pokazuju odnos koordinata vektora x → u obje baze.

odgovor: tranzicijska matrica

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinate vektora x → u datim bazama povezane su relacijom:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter