Vektorski prostor. Primeri i najjednostavnija svojstva vektorskih prostora Linearna zavisnost i nezavisnost sistema vektora Osnova i rang konačnog sistema vektora.

Linearni ili vektorski prostor L(P) nad poljem P je neprazan skup L na kojem su uvedene operacije:

1. sabiranje, odnosno svakom paru elemenata skupa dodijeljen je element istog skupa, označen sa x + yϵL

2. množenje skalarom (tj. elementom polja P), to jest, bilo koji element λ ϵ P i bilo koji element x ϵ L su povezani sa jednim elementom iz L(P), označenim sa λx ϵ L( P).

U ovom slučaju, na operaciju se postavljaju sljedeći uvjeti:

1. x+ y= y+ x, za bilo koje x,y ϵ L.

2.x+ (y + z) = (x + y) + z, x, y, z ϵ L. (asocijativnost kontrakcije)

3. postoji takav θ ϵ L, koji x+ θ =x za bilo koji x ϵ L (postojanje neutralnog elementa u odnosu na sabiranje), posebno, nije prazan;

4. za bilo koje x ϵ L postoji element -x ϵ L takav da x+(-x)= θ (postojanje suprotnog elementa u odnosu na sabiranje).

5.(αβ)h=α(βh), (asocijativnost množenja skalarom)

6.1*x=x (jedinstvenost: množenje neutralnim (množenjem) elementom polja P čuva vektor).

7.(α+ β)* x= α* x+ β*x, (distributivnost množenja vektorom u odnosu na sabiranje skalara);

8. α * (x + y) = α*x+ α *y, (distributivnost množenja skalarom u odnosu na vektorsko sabiranje).

Elementi skupa L nazivaju se vektori, a elementi polja P nazivaju se skalari. Svojstva 1-4 poklapaju se sa aksiomima abelove grupe.

Najjednostavniji sveci:

1. Vektorski prostor je abelova grupa sabiranjem.

2. Za bilo koji x ϵ L, suprotni element -x ϵ L je jedini

3. 0*X=θ, za bilo koje x ϵ L

4. 1*(-x)=-x za bilo koga x ϵ L

5.α * θ = θ ,za bilo koje αϵ L

Primjer VP yav-Xia m \ u matricama sa realnim komponentama istog reda sa prirodnom definicijom operacija sabiranja i množenja. Matrice po broju supstance

Linearna zavisnost \ (ne) sistem vektora (definicije, svojstva)

Teorema. (Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost sistema vektora.)

Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno zavisan ako i samo ako je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema.

Dokaz. Need. Neka je sistem e 1 ..e n linearno zavisan. Zatim, po definiciji, predstavlja nulti vektor na netrivijalan način, tj. postoji netrivijalna linearna kombinacija ovog sistema vektora jednaka nultom vektoru:

α 1 e 1 +..+ α n e n =0, pri čemu barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka α k ≠0 ,kϵ 1,2…n Podijelimo oba dijela prethodne jednakosti sa ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnoži sa α k -1 *(α 1 e 1 +..+ αa n e n) =0

Označiti: α k -1 α m =β m gdje je mϵ 1,2…,k-1,k+1,..,n Tada je β 1 e 1+ … +β 1 e n =0, tj. jedan od vektora sistema je linearno izražen preko drugih vektora ovog sistema itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema: e k =γ 1 e 1+..+ γ n e n

Pošto je koeficijent na vektoru e k jednak -1≠0, onda imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sistemom vektora e 1 ..e n što znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan, itd.

Teorema je dokazana.

Posljedica.

1. Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od vektora sistema nije linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema.

2. Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Posljedica.

Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno nezavisan ako i samo ako je ovaj vektor različit od nule.

Osnova - skup vektora u vektorskom prostoru tako da može biti bilo koji vektor ovog prostora jedini način predstavljen kao linearna kombinacija vektora iz ovog skupa - baznih vektora.

Broj vektora uključenih u bilo koji maksimalni linearno nezavisni podsistem datog sistema vektora se naziva rang sistemi.

Teorema. Neka su data dva sistema P- dimenzionalni vektori:

a 1 ,a 2,¼, a r (9)

b 1 ,b 2,¼, bs, (10)

nije nužno linearno nezavisan, a rang sistema (9) jednak je broju k, rang sistema (10) je broj l. Ako je prvi sistem linearno izražen u terminima drugog, onda k £ l. Ako ovi sistemi su ekvivalentni, onda k = l.

Broj elemenata (kardinalnost) maksimalnog linearno nezavisnog podskupa prostora ne zavisi od izbora ovog podskupa i naziva se rang ili dimenzija prostora, a sam ovaj podskup naziva se baza

U ovom članku ćemo pokriti:

• šta su kolinearni vektori;
• koji su uslovi za kolinearne vektore;
• koja su svojstva kolinearnih vektora;
• kolika je linearna zavisnost kolinearnih vektora.

Definicija 1

Kolinearni vektori su vektori koji su paralelni sa istom linijom ili leže na istoj pravoj.

Primjer 1

Uslovi za kolinearne vektore

Dva vektora su kolinearna ako je tačan bilo koji od sljedećih uslova:

• stanje 1 . Vektori a i b su kolinearni ako postoji broj λ takav da je a = λ b ;
• stanje 2 . Vektori a i b su kolinearni sa jednakim omjerom koordinata:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• stanje 3 . Vektori a i b su kolinearni pod uslovom da su vektorski proizvod i nulti vektor jednaki:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Napomena 1

Stanje 2 nije primjenjivo ako je jedna od vektorskih koordinata nula.

Napomena 2

Stanje 3 primjenjiv samo na one vektore koji su dati u prostoru.

Primjeri problema za proučavanje kolinearnosti vektora

Primjer 1

Ispitujemo kolinearnost vektora a = (1; 3) i b = (2; 1).

Kako odlučiti?

U ovom slučaju potrebno je koristiti 2. uslov kolinearnosti. Za date vektore to izgleda ovako:

Jednakost je pogrešna. Iz ovoga možemo zaključiti da su vektori a i b nekolinearni.

Odgovori : a | | b

Primjer 2

Koja je vrijednost m vektora a = (1 ; 2) i b = (- 1 ; m) neophodna da bi vektori bili kolinearni?

Kako odlučiti?

Koristeći drugi kolinearni uvjet, vektori će biti kolinearni ako su njihove koordinate proporcionalne:

Ovo pokazuje da je m = - 2 .

odgovor: m = - 2 .

Kriterijumi za linearnu zavisnost i linearnu nezavisnost sistema vektora

Teorema

Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno zavisan samo ako se jedan od vektora sistema može izraziti u terminima ostalih vektora sistema.

Dokaz

Neka je sistem e 1 , e 2 , . . . , e n je linearno zavisan. Hajde da zapišemo linearna kombinacija ovog sistema jednako nultom vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

u kojoj barem jedan od koeficijenata kombinacije nije jednak nuli.

Neka je a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Obje strane jednakosti dijelimo s koeficijentom koji nije nula:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

označiti:

A k - 1 a m , gdje je m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

U ovom slučaju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

ili e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iz toga slijedi da se jedan od vektora sistema izražava u terminima svih ostalih vektora sistema. Što je i trebalo dokazati (p.t.d.).

Adekvatnost

Neka je jedan od vektora linearno izražen u terminima svih ostalih vektora sistema:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Vektor e k prenosimo na desnu stranu ove jednakosti:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Pošto je koeficijent vektora e k jednak - 1 ≠ 0 , dobijamo netrivijalnu predstavu nule sistemom vektora e 1 , e 2 , . . . , e n , a ovo, zauzvrat, znači ono ovaj sistem vektori je linearno zavisan. Što je i trebalo dokazati (p.t.d.).

Posljedica:

• Sistem vektora je linearno nezavisan kada se nijedan od njegovih vektora ne može izraziti u terminima svih drugih vektora sistema.
• Vektorski sistem koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Svojstva linearno zavisnih vektora

1. Za 2- i 3-dimenzionalne vektore, uslov je ispunjen: dva linearno zavisna vektora su kolinearna. Dva kolinearna vektora su linearno zavisna.
2. Za 3-dimenzionalne vektore, uslov je ispunjen: tri linearna zavisni vektori- komplanarno. (3 koplanarna vektora - linearno zavisna).
3. Za n-dimenzionalne vektore, uslov je ispunjen: n + 1 vektora je uvijek linearno zavisno.

Primjeri rješavanja problema za linearnu zavisnost ili linearnu nezavisnost vektora

Primjer 3

Provjerimo linearnu nezavisnost vektora a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0.

Rješenje. Vektori su linearno zavisni jer je dimenzija vektora manja od broja vektora.

Primjer 4

Provjerimo linearnu nezavisnost vektora a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1.

Rješenje. Pronalazimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija biti jednaka nultom vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorsku jednačinu zapisujemo u obliku linearne:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ovaj sistem rješavamo Gaussovom metodom:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. reda oduzimamo 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Oduzmite 2. od 1. reda, 2. dodajte u 3.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iz rješenja proizlazi da sistem ima mnogo rješenja. To znači da postoji različita od nule kombinacija vrijednosti takvih brojeva x 1 , x 2 , x 3 za koje je linearna kombinacija a, b, c jednaka nultom vektoru. Dakle, vektori a, b, c su linearno zavisna. ​​​​​​​

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Def. Sistem elemenata x 1 ,…,x m lin. proizvodnja V se naziva linearno zavisnom ako je ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) tako da je λ 1 x 1 +…+ λ mxm = θ .

Def. Sistem elemenata x 1 ,…,x m ∈ V naziva se linearno nezavisnim ako je iz jednakosti λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Def. Element x ∈ V naziva se linearna kombinacija elemenata x 1 ,…,x m ∈ V ako je ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ takva da je x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Teorema (kriterijum linearne zavisnosti): Sistem vektora x 1 ,…,x m ∈ V je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan vektor sistema linearno izražen u terminima ostalih.

Doc. treba: Neka je x 1 ,…,xm linearno zavisan ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) tako da je λ 1 x 1 +…+ λ m -1 xm -1 + λmxm = θ. Pretpostavimo da je onda λ m ≠ 0

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Adekvatnost: Neka je barem jedan od vektora linearno izražen u terminima ostalih vektora: xm = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 xm -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 xm -1 +(-1) xm =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,xm - su linearno nezavisne.

Ven. uslov linearne zavisnosti:

Ako sistem sadrži nulti element ili linearno ovisan podsistem, onda je linearno zavisan.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – linearno zavisan sistem

1) Neka je x 1 = θ, tada ova jednakost vrijedi za λ 1 =1 i λ 1 =…= λ m =0.

2) Neka je λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 linearno zavisan podsistem ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Tada za λ 1 =0 dobijamo i |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 je linearno zavisan sistem.

Osnova linearnog prostora. Vektorske koordinate u datoj bazi. Koordinate zbira vektora i proizvoda vektora brojem. Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost sistema vektora.

definicija: Uređeni sistem elemenata e 1, ..., e n linearnog prostora V naziva se baza ovog prostora ako:

A) e 1 ... e n su linearno nezavisne

B) ∀ x ∈ α 1 … α n tako da je x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – proširenje elementa x u bazi e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ su koordinate elementa x u bazi e 1, …, e n

Teorema: Ako u linearni prostor V je data baza e 1, …, e n, tada je ∀ x ∈ V kolona koordinata x u bazi e 1, …, e n jednoznačno određena (koordinate su jednoznačno određene)

dokaz: Neka je x=α 1 e 1 +…+ α n e n i x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, tj. e 1, …, e n su linearno nezavisni, tada su - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Teorema: neka je e 1, …, e n osnova linearnog prostora V; x, y su proizvoljni elementi prostora V, λ ∈ ℝ - proizvoljan broj. Kada se saberu x i y, dodaju se njihove koordinate, kada se x pomnoži sa λ, koordinate x se također pomnože sa λ.

dokaz: x= (e 1, …, e n) i y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Lema1: (neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost sistema vektora)

Neka je e 1 …en osnova prostora V. Sistem elemenata f 1 , …, fk ∈ V je linearno zavisan ako i samo ako su koordinatni stupci ovih elemenata u bazi e 1, …, en linearno zavisna

dokaz: proširiti f 1 , …, f k u bazi e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] tj. λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = prema potrebi.

13. Dimenzija linearnog prostora. Teorema o odnosu između dimenzije i baze.
definicija: Linearni prostor V naziva se n-dimenzionalni prostor ako postoji n linearno nezavisnih elemenata u V, a sistem od bilo kog n + 1 elementa prostora V je linearno zavisan. U ovom slučaju, n se naziva dimenzijom linearnog prostora V i označava dimV=n.

Linearni prostor se naziva beskonačno-dimenzionalnim ako ∀N ∈ ℕ u prostoru V postoji linearno nezavisan sistem koji sadrži N elemenata.

Teorema: 1) Ako je V n-dimenzionalni linearni prostor, onda svaki uređeni sistem od n linearno nezavisnih elemenata ovog prostora čini osnovu. 2) Ako u linearnom prostoru V postoji baza koja se sastoji od n elemenata, tada je dimenzija V jednaka n (dimV=n).

dokaz: 1) Neka dimV=n ⇒ u V ∃ n linearno nezavisnih elemenata e 1, …,e n . Dokazujemo da ovi elementi čine bazu, odnosno dokazujemo da se ∀ x ∈ V može proširiti u terminima e 1, …,e n . Dodajmo im x: e 1, …,e n , x – ovaj sistem sadrži n+1 vektora, što znači da je linearno zavisan. Kako je e 1, …,e n linearno nezavisan, onda prema teoremi 2 x linearno izraženo kroz e 1, …,e n tj. ∃ ,…, tako da je x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Dakle, e 1, …,e n je baza prostora V. 2) Neka je e 1, …,e n baza V, tako da postoji n linearno nezavisnih elemenata u V ∃ n. Uzmimo proizvoljni f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 elemenata. Pokažimo njihovu linearnu zavisnost. Hajde da ih raščlanimo u smislu:

f m =(e 1, …,e n) = gdje je m = 1,…,n Kreirajmo matricu koordinatnih kolona: A= Matrica sadrži n redova ⇒ RgA≤n. Broj stupaca n+1 > n ≥ RgA ⇒ Stupci matrice A (tj. stupci koordinata f 1 ,…,f n ,f n +1) su linearno zavisni. Iz leme 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 su linearno zavisne ⇒ dimV=n.

Posljedica: Ako bilo koja baza sadrži n elemenata, onda svaka druga baza ovog prostora sadrži n elemenata.

Teorema 2: Ako je sistem vektora x 1 ,… ,x m -1 , x m linearno zavisan, a njegov podsistem x 1 ,… ,x m -1 linearno nezavisan, tada se x m - linearno izražava kroz x 1 ,… ,x m -1

dokaz: Jer x 1 ,… ,x m -1 , x m je linearno zavisna, tada ∃ , …, , ,

, …, | , | takav da . Ako , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 su linearno nezavisni, što ne može biti. Dakle, m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

Linearna zavisnost i linearna nezavisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U publici su kolica sa čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će pokriti dva odjeljka odjednom. višu matematiku, a vidjećemo kako će se slagati u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... dovraga, pa, svađanje gluposti. Iako u redu, neću bodovati, na kraju treba da postoji pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora, vektorsku osnovu a drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre daleko je od uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor zbog kojeg sam upravo otišao u Gismeteo: - temperatura i Atmosferski pritisak respektivno. Primjer je, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću te opterećivati ​​teorijom, linearno vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi termini (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) su primenljivi na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će primeri biti dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Pored problema analitičke geometrije, razmotrićemo i neke tipični zadaci algebra. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Uzmite u obzir ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno jasno da su za izgradnju osnove potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na tabeli.

Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite kažiprst lijeve ruke na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto mali prst desne ruke na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad sam smjer, dok ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednačinama, izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji ugao osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno ne su zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je primljena. Ne treba se sramiti što je osnova ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

I oni to kažu vektorpredstavljen u formi linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, možete reći da je vektor proširen u ortonormalnoj bazi ravni, ili možete reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Suština definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. baze Ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomjeriti na mjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim prljavim malim tačkama na stolu koje su ostale od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takva referentna tačka je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sistema:

Počeću sa "školskim" sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada govorimo o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište koordinata, koordinatne ose i skalirati duž osi. Pokušajte da u pretraživač ukucate „pravougaoni koordinatni sistem“ i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osovinama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, stiče se utisak da se pravougaoni koordinatni sistem može dobro definisati u terminima ortonormalne baze. I skoro da jeste. Formulacija glasi ovako:

porijeklo, And ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem ravni . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato, vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijski problemičesto (ali nikako uvijek) crtaju i vektore i koordinatne ose.

Mislim da svi to razumiju uz pomoć tačke (početka) i ortonormalne osnove BILO KOJA TAČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, "sve u avionu može biti numerisano".

Da li koordinatni vektori moraju biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrite tačku i dva ortogonalni vektori proizvoljna dužina različita od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka tačka ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori Uglavnom imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedan, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj osnovi, a također i ispod u afine baze razmatraju se ravni i prostorne jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica duž apscise sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinate sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna za pretvaranje „nestandardnih“ koordinata u „naše uobičajene centimetre“ ako je potrebno.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - da li je potrebno da ugao između baznih vektora bude 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, And nekolinearno vektori, , set afini koordinatni sistem ravni :

Ponekad se ovaj koordinatni sistem naziva koso sistem. Tačke i vektori su prikazani kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan, formule za dužine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je to najpogodniji poseban slučaj afini sistem koordinate su kartezijanski pravougaoni sistem. Stoga se ona, njena, najčešće mora vidjeti. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati oblique (ili neku drugu, npr. polar) koordinatni sistem. Da, i humanoidi takvi sistemi mogu pasti na ukus =)

Pređimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U suštini, ovo je prečišćavanje očitog odnosa koordinata po koordinata.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Rješenje:
a) Saznajte da li postoji vektor koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti ispunjene:

Definitivno ću vam reći o “foppish” verziji primjene ovog pravila, koja u praksi dobro funkcionira. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Relacija se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje se može koristiti činjenica da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova ispravnost se može lako provjeriti elementarne radnje sa vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Izlaz: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, dakle, ovi vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako raditi kroz proporciju ovdje? (Zaista, ne možete podijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za samostalno rješenje:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearna?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i samo ga dodamo kao petu tačku:

Za dva ravan vektora, sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, jednaka je nuli.

Ja se jako, jako nadam da ste u ovom trenutku već razumjeli sve pojmove i izjave na koje ste naišli.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata, pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe graditi crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Četverougao se naziva u kojem su suprotne strane po paru paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i .

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi“ - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očigledna, ali bolje je donijeti odluku kako treba, sa aranžmanom. Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ovi vektori kolinearni, i .

Izlaz: Suprotne strane četvorougla su parno paralelne, pa je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se iz aviona polako krećemo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

ali) ;
b)
u)

Rješenje:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se utvrđuje provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti vektora prostora i putem determinante trećeg reda, ovuda obrađeno u članku Unakrsni proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnoge od pravilnosti koje smo razmatrali na avionu važiće i za prostor. Pokušao sam da minimiziram sažetak teorije, jer je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, ispitajmo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada u zatvorenom, neko napolju, ali u svakom slučaju ne možemo da pobegnemo od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Dakle, za izgradnju osnove, tri prostorni vektor. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, ne morate to demonstrirati nastavnicima, ma kako zavrtili prste, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Zatim postavljamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na ploču stola računara. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jedno od mjerenja - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim očigledno, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da komplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, već mogu biti u paralelne ravni(samo nemoj prstima, samo je Salvador Dali tako ispao =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno ako postoji ravan sa kojom su oni paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, opet zamislite da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, već mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redom, dok je bilo koji vektor prostora jedini način proširuje se u datoj bazi , gdje su koordinate vektora u datoj bazi

Podsjećamo, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao za ravno kućište, jedna tačka i bilo koje tri linearne nezavisni vektori:

porijeklo, And nekoplanarni vektori, uzeti određenim redom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava da definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, u afinom koordinatnom sistemu prostora, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi mogu pretpostaviti, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

tačka u prostoru tzv porijeklo, And ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematiziramo informacije:

Za tri vektora prostora, sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Suprotne izjave su, mislim, razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostali praktični zadaci će biti naglašene algebarske prirode. Vrijeme je da okačite geometrijski štap na nokat i rukujete bejzbol palicom za linearnu algebru:

Tri svemirska vektora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pažnju na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već iu redovima (vrijednost determinante se neće promijeniti od ovoga - pogledajte svojstva determinanti). Ali mnogo je bolje u kolonama, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili su možda uopće loše orijentirani, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:

U suštini, potrebno je riješiti jednačinu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti determinantu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Vršimo dalja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavnije linearna jednačina:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti, za to morate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da ponovnim otvaranjem.

U zaključku, razmotrimo još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u datoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje: Hajde da se prvo pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je osnova - nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje primjera 6, potrebno je provjeriti da li su vektori stvarno linearno nezavisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate obavezno zapiši u kolone determinanta, ne nizovi. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

Definicija 18.2 Funkcijski sistemf, ..., f strpozvaoli-nape o h a in i c i m. o d u procjepu(ali, (3) ako je neka netrivijalna 5 linearna kombinacija ovih funkcija jednaka je nuli na ovom intervalu identično:

Definicija 18.3 Vektorski sistem f 1 , ..., x n se naziva linearnim u a i c i m o d ako je neka netrivijalna, linearna kombinacija ovih vektora jednaka bullet vektoru:

L Da ne bi bilo zabune, donjim indeksom ćemo označiti broj vektorske komponente (vektor-funkcije), a gornjim broj samog vektora (ako takvih vektora ima više).

„Podsjećamo da se linearna kombinacija naziva netrivijalnom ako nisu svi koeficijenti u njoj jednaki nuli.

Definicija 18.4 Sistem vektorskih funkcija x 1 ^),..., x n (t) naziva se linearnim h i u i sa i moj oko th na intervalu,(ali, /3) ako je neka netrivijalna linearna kombinacija ovih vektorskih funkcija identično jednaka nultom vektoru na ovom intervalu:

Važno je razumjeti međusobnu povezanost ova tri koncepta (linearne ovisnosti funkcija, vektora i vektorskih funkcija).

Prije svega, ako formulu (18.6) predstavimo u proširenom obliku (sjetimo se da svaka od x g (1) je vektor)

onda će to biti ekvivalentno sistemu jednakosti

što znači linearnu zavisnost z komponenta u smislu prve definicije (kao funkcije). Kažu da je to linearni odnos vektorske funkcije privlači ih komponentu po komponentu linearna zavisnost.

Obrnuto općenito nije tačno: dovoljno je razmotriti primjer para vektorskih funkcija

Prve komponente ovih vektorskih funkcija jednostavno se poklapaju, što znači da su linearno zavisne. Druge komponente su proporcionalne, dakle. takođe su linearno zavisne. Međutim, ako pokušamo konstruirati njihovu linearnu kombinaciju jednaku nuli identično, onda iz relacije

odmah nabavite sistem

koja ima jedino rešenje C - C-2 - 0. Dakle, naše vektorske funkcije su linearno nezavisne.

Šta je razlog za tako čudnu imovinu? Koji je trik koji vam omogućava da izgradite linearno nezavisne vektorske funkcije od svjesno zavisnih funkcija?

Ispostavilo se da cijela stvar nije toliko u linearnoj zavisnosti komponenata, koliko u omjeru koeficijenata koji je neophodan da bi se dobila nula. U slučaju linearne zavisnosti vektorskih funkcija, isti skup koeficijenata služi svim komponentama, bez obzira na broj. Ali u našem primjeru, za jednu komponentu je bio potreban jedan udio koeficijenata, a za drugu drugi. Dakle, trik je zaista jednostavan: da bi se dobila linearna zavisnost čitavih vektorskih funkcija iz linearne zavisnosti "komponenta po komponenta", neophodno je da sve komponente budu linearno zavisne "u istoj proporciji".

Okrenimo se sada proučavanju odnosa između linearne zavisnosti vektorskih funkcija i vektora. Ovdje je gotovo očito da linearna ovisnost vektorskih funkcija implicira da je za svaku fiksnu t* vektor

će biti linearno zavisna.

Obrnuto, općenito govoreći, ne vrijedi: iz linearne zavisnosti vektora za svaki t ne prati linearnu zavisnost vektorskih funkcija. To je lako vidjeti na primjeru dvije vektorske funkcije

At t=1, t=2 i t=3 dobijamo parove vektora

respektivno. Svaki par vektora je proporcionalan (sa koeficijentima 1,2 i 3 respektivno). Lako je to vidjeti za bilo koji fiksni t* naš par vektora će biti proporcionalan koeficijentu t*.

Ako pokušamo konstruirati linearnu kombinaciju vektorskih funkcija koja je identično jednaka nuli, tada nam prve komponente već daju odnos

što je moguće samo ako OD = OD2 = 0. Tako se pokazalo da su naše vektorske funkcije linearno nezavisne. Opet, objašnjenje za ovaj efekat je da u slučaju linearne zavisnosti vektorskih funkcija, isti skup konstanti Cj služi svim vrednostima t, iu našem primjeru za svaku vrijednost t zahtijevao svoju vlastitu proporciju između koeficijenata.