Dovođenje sistema sila na najjednostavniji oblik teorije. Slučajevi svođenja ravnog sistema sila na najjednostavniji oblik

Slučaj I.

Ako glavni vektor sistem sila je nula i njegov glavna tačka u odnosu na centar redukcije je nula, tada su sile međusobno uravnotežene.

Slučaj II.

Ako je glavni vektor sistema sila jednak nuli, a njegov glavni moment u odnosu na centar redukcije nije jednak nuli, tada se sile svode na par sila. Moment ovog para sila jednak je glavnom momentu sistema sila u odnosu na centar redukcije.

U ovom slučaju, glavni momenti sistema sila u odnosu na sve tačke u prostoru su geometrijski jednaki.

Slučaj III.

Ako glavni vektor sistema sila nije jednak nuli, a njegov glavni moment u odnosu na centar redukcije jednak je nuli, tada se sile svode na rezultantu čija linija djelovanja prolazi kroz centar duh.

Slučaj IV. i .

Ako je glavni moment sistema sila u odnosu na centar redukcije okomit na glavni vektor, tada se sile svode na rezultantu čija linija djelovanja ne prolazi kroz centar redukcije (Sl. 145) .

Slučaj V. i .

Ako glavni moment sistema sila u odnosu na centar redukcije nije okomit na glavni vektor, tada se sile svode na dvije ukrštajuće sile ili na pogonski vijak (dinamo), tj. na kombinaciju sile i para sila čija je ravan okomita na silu.

Svođenje na dvije sile ukrštanja (Sl. 147):

Jednačine ravnoteže za različite sisteme sila

Za sile koje su proizvoljno locirane u prostoru odgovaraju dva uslova ravnoteže:

Moduli glavnog momenta i glavnog vektora za razmatrani sistem sila određeni su formulama:

Uslovi su zadovoljeni samo sa odgovarajućih šest osnovnih jednadžbi ravnoteže sila, koje se nalaze proizvoljno u prostoru:

Prve tri jednadžbe nazivaju se jednadžbama momenata sila u odnosu na koordinatne ose, a posljednje tri su jednadžbe projekcija sila na osu.

Oblici jednadžbi ravnoteže za ravan sistem sila

Za sile koje se proizvoljno nalaze na ravni postoje dva uslova ravnoteže:

Dva uslova za ravnotežu sila proizvoljno lociranih na ravni mogu se izraziti kao sistem od tri jednačine:

Ove jednačine se nazivaju osnovnim jednačinama za ravnotežu ravnog sistema sila. Centar momenata i pravac koordinatnih osa za ovaj sistem jednačina mogu se birati proizvoljno.

Postoje još dva sistema od tri jednačine sistema sila.

Istovremeno, osovina u sistemu u ne smije biti okomita na pravu koja prolazi kroz tačke A i B.

Pošto su glavni momenti sistema sila u odnosu na dva centra jednaki nuli, razmatrani sistem sila se ne svodi na par sila. Projekcija rezultante na bilo koju osu jednaka je zbiru projekcija komponentnih sila, tj. Dakle, sistem sila nije sveden ni na par sila ni na rezultantu, te je stoga uravnotežen.

pri čemu tačke A, B, C ne leže na jednoj pravoj liniji. U ovom slučaju, sile se ne svode na par sila, jer su glavni momenti sila oko tri centra jednaki nuli. Ni sile se ne svode na rezultantu, jer ako ona postoji, onda njena linija djelovanja ne može proći kroz tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji. Dakle, sistem sila nije sveden ni na par sila ni na rezultantu, te je stoga uravnotežen.

Centar paralelnih snaga

Kada se dodaju dvije paralelne sile, dvije paralelne sile se svode na jednu silu - rezultantu, čija je linija djelovanja usmjerena paralelno s linijama djelovanja sila. Rezultanta se primjenjuje u tački koja dijeli pravu liniju, na udaljenostima obrnuto proporcionalnim veličini sila.

Kako se sila može prenositi duž linije njenog djelovanja, tačka primjene rezultante nije definirana. Ako se sile rotiraju pod istim uglom i sile se ponovo saberu, onda dobijamo drugačiji smjer linije djelovanja rezultante. Tačka preseka ove dve rezultantne prave može se smatrati tačkom primene rezultante, koja ne menja svoj položaj kada se sve sile istovremeno rotiraju pod istim uglom. Takva tačka se naziva središte paralelnih sila.

Razmotrimo neke posebne slučajeve prethodne teoreme.

1. Ako je za dati sistem sila R = 0, M 0 = 0, onda je on u ravnoteži.

2. Ako je za dati sistem sila R = 0, M 0  0, onda se on svodi na jedan par sa momentom M 0 = m 0 (F i). U ovom slučaju vrijednost M 0 ne ovisi o izboru centra O.

3. Ako se za dati sistem sila R  0 svodi na jednu rezultantu, a ako je R  0 i M 0 = 0, onda se sistem zamjenjuje jednom silom, tj. rezultanta R koja prolazi kroz centar O; ako je R  0 i M 0  0, tada sistem zamjenjuje jedna sila koja prolazi kroz neku tačku S, a OS = d(OCR) i d = |M 0 |/R.

Dakle, ravan sistem sila, ako nije u ravnoteži, svodi se ili na jednu rezultantu (kada je R  0) ili na jedan par (kada je R = 0).

Primjer 2 Sile primijenjene na disk:

(Sl. 3.16) dovode ovaj sistem sila do najjednostavnijeg oblika.

Rješenje: odaberite Oxy koordinatni sistem. Za centar redukcije biramo tačku O. Glavni vektor R:

R x \u003d F ix \u003d -F 1 cos30 0 - F 2 cos30 0 + F 4 cos45 0 \u003d 0; Rice. 3.16

R y \u003d F iy \u003d -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 - F 3 + F 4 cos45 0 \u003d 0. Dakle, R \u003d 0.

Glavni moment sistema M 0:

M 0: \u003d m 0 (F i) \u003d F 3 *a - F 4 *a * sin45 0 \u003d 0, gdje je a polumjer diska.

Odgovor: R = 0; M 0 = 0; tijelo je u ravnoteži.

Dovedite u najjednostavniji oblik sistem sila F 1, F 2, F 3 prikazan na slici (slika 3.17). Sile F 1 i F 2 su usmjerene na suprotne strane, a sila F 3 usmjerena je duž dijagonale pravokutnika ABCD čija je stranica AD jednaka a. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

Rješenje: usmjerite koordinatne ose kao što je prikazano na slici. Definiramo projekcije svih sila na koordinatne ose:

Modul glavnog vektora R je:
;
.

Kosinusi smjera će biti:
;
.

Dakle: (x, R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .

O ograničimo glavni moment sistema sila u odnosu na centar redukcije A. Tada

m A \u003d m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

S obzirom da je m A (F 1) = m A (F 3) = 0, budući da smjer sila prolazi kroz tačku A, tada

m A \u003d m A (F 2) = F * a.

Dakle, sistem sila se svodi na silu R i par sila sa momentom m A usmjerenim suprotno od kazaljke na satu (slika 3.18).

Odgovor: R = 2F; (x, ^ R) \u003d 150 0; (y,^ R) = 60 0 ; m A = F*a.

Pitanja za samokontrolu

Koliki je moment sile oko centra?

Šta je par sila?

Dovođenje proizvoljnog ravnog sistema sila u dato središte?

Sabiranje paralelnih sila?

Literatura:,,.

Predavanje 4

Osnovni oblik uslova ravnoteže. Za ravnotežu proizvoljnog planarnog sistema sila potrebno je i dovoljno da zbir projekcija svih sila na svaku od dvije koordinatne osi i zbroj njihovih momenata u odnosu na bilo koji centar koji leži u ravni djelovanja sile su jednake nuli:

Fix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

Drugi oblik uslova ravnoteže: Za ravnotežu proizvoljnog ravnog sistema sila, potrebno je i dovoljno da zbir momenata svih ovih sila u odnosu na bilo koja dva centra A i B i zbir njihovih projekcija na osu Ox nije okomita na pravu liniju. AB su jednaki nuli:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; Fix = 0.

Treći oblik uslova ravnoteže (jednačina tri momenta): Za ravnotežu proizvoljnog ravnog sistema sila, potrebno je i dovoljno da zbir svih ovih sila u odnosu na bilo koja tri centra A, B, C, koji ne leže na jednoj pravoj liniji, bude jednak nuli:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m S (F i) = 0.

P Primjer 1. Odrediti reakciju ugradnje konzolne grede pod djelovanjem ravnomjerno raspoređenog opterećenja, jedne koncentrisane sile i dva para sila (slika 4.1); intenzitet opterećenja q \u003d 3 * 10 4 H / m; F \u003d 4 * 10 4 H; m 1 \u003d 2 * 10 4 H * m; m 2 \u003d 3 * 10 4 H * m. BN = 3m; NC = 3m; CA = 4m.

R Rješenje:

Prema principu oslobađanja od veza, veze ćemo zamijeniti odgovarajućim reakcijama. Kod krutog zaptivača u zidu nastaje reakciona sila R A nepoznatog smjera i nepoznatog momenta m A (slika 4.2). Distribuirano opterećenje zamjenjujemo ekvivalentnom koncentrisanom silom Q primijenjenom u tački K (VK = 1,5 m). Biramo koordinatni sistem VHU i sastavljamo uslove ravnoteže za gredu u glavnom obliku:

projekcije sile na os X: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

projekcije sile na Y os: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

zbroj momenata: m A (F) = m 1 - m 2 + m A + Q * KA + F ”* CA = 0 (3)

Razlažemo silu F u tački C na dvije međusobno okomite komponente F ”i F’; sila F’ ne stvara moment u odnosu na tačku A, jer linija djelovanja sile prolazi kroz tačku A. Modul sile F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

Zamjenom numeričkih vrijednosti u jednačine (1), (2) i (3) dobijamo:

U ovom sistemu od tri jednačine postoje tri nepoznanice, tako da sistem ima rješenje i, osim toga, samo jedno.

4*10 4 *0,7 = R Ax R Ax = 2,8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0,7 + R Ay = 0 R Ay = 11,8*10 4 H

m A – 10 4 + 3*10 4 *3*8,5 + 4*10 4 *2,8 = 0 m A = - 86,8*10 4 H*m

Odgovor: R Ax \u003d 2,8 * 10 4 H; R Ay \u003d 11,8 * 10 4 H; m A \u003d - 86,8 * 10 4 H * m.

Primjer 2. Odrediti reakcije nosača A, B, C i šarke D kompozitne grede (slika 4.3).

q \u003d 1,75 * 10 4 H / m; F \u003d 6 * 10 4 H; P \u003d 5 * 10 4 H.

Rješenje: Prema principu oslobađanja od veza, veze ćemo zamijeniti odgovarajućim reakcijama.

Distribuirano opterećenje q zamjenjujemo ekvivalentnom koncentrisanom silom Q = q * KA primijenjenom u tački M (AM = 2m). Broj nepoznatih reakcionih sila: R Ax , R Ay , R B , R C i dva para komponentnih sila reakcije u šarki D.

R Razmotrimo odvojeno reakcije u šarki D. Da biste to učinili, razmotrite odvojeno grede AD i DE (sl. 4.5a, 4.5b).

Prema trećem Newtonovom zakonu u šarki D, na gredu KD djeluje sistem sila R Dx i R Dy, a na gredu DE djeluje suprotan sistem sila: R' Dx i R' Dy, a moduli sila su parno jednaki, tj R Dx = R Dx i R Dy = R Dy. Ovo unutrašnje sile kompozitni snop, pa je broj nepoznatih reakcionih sila šest. Za njihovo određivanje potrebno je sastaviti šest nezavisnih jednačina ravnotežnih stanja. Moguće su sljedeće opcije za sastavljanje jednačina stanja.

Sastavljamo uslove ravnoteže za cijelu konstrukciju (3 jednačine) i za poseban element ove strukture: grede KD ili grede DE. Prilikom sastavljanja jednadžbi ravnoteže za cijelu konstrukciju unutrašnje sile se ne uzimaju u obzir, jer se pri sabiranju međusobno poništavaju.

Jednadžbe uslova ravnoteže za cijelu strukturu:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay - Fsin60 0 + R B + R C - P = 0

m A (F) = Q*m A - Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC - P*AE = 0

Jednačine uslova ravnoteže za element DE:

R’ Dy , + R C – P*DE = 0

M D (F) = R C *DC - P*DE = 0

Tako se sastavlja šest nezavisnih jednačina sa šest nepoznatih, pa sistem jednačina ima rješenje, i to samo jedno. Rješavajući sistem jednačina, određujemo nepoznate sile reakcije.

Kao što je prikazano u § 12, bilo koja se generalno svodi na silu jednaku glavnom vektoru R i primenjenu na proizvoljni centar O, i na par sa momentom jednakim glavnom momentu (vidi sliku 40, b). Nađimo najjednostavniji oblik na koji se može svesti prostorni sistem sile koje su van ravnoteže. Rezultat ovisi o vrijednostima koje R i R imaju za ovaj sistem.

1. Ako je za dati sistem sila , a onda se svodi na par sila, čiji je moment jednak i može se izračunati pomoću formule (50). U ovom slučaju, kao što je pokazano u § 12, vrijednost ne zavisi od izbora centra O.

2. Ako se za dati sistem sila svodi na rezultantu jednaku R, čija linija djelovanja prolazi kroz centar O. Vrijednost R se može naći po formulama (49).

3. Ako je za dati sistem sila, ali onda se i ovaj sistem svodi na rezultantu jednaku R, ali ne prolazi kroz centar O.

Zaista, kod , par predstavljen vektorom i sila R leže u istoj ravni (slika 91).

Zatim, birajući sile para jednake po modulu R i raspoređujući ih kao što je prikazano na sl. 91, nalazimo da su sile međusobno uravnotežene, a sistem je zamenjen jednom rezultantnom linijom delovanja koja prolazi kroz tačku O (vidi, § 15, str. 2, b). Udaljenost ) je u ovom slučaju određena formulom (28), gdje je

Lako je provjeriti da će se razmatrani slučaj, posebno, uvijek odvijati za bilo koji sistem paralelnih sila ili sila koje leže u istoj ravni, ako je glavni vektor ovog sistema Ako je za dati sistem sila i u isto vrijeme vektor je paralelan sa R (slika 92, a) , onda to znači da se sistem sila svodi na ukupnost sile R i para P, P, koji leži u ravni okomitoj na silu (slika 92). , b). Takva kombinacija sile i para naziva se dinamički vijak, a prava linija duž koje je usmjeren vektor R naziva se osa vijka. Dalje pojednostavljivanje ovog sistema sila je nemoguće. Zaista, ako uzmemo bilo koju drugu tačku C kao centar redukcije (slika 92, a), tada se vektor može prenijeti u tačku C kao slobodan, a kada se sila R prenese na tačku C (vidi § 11), još jedan par će biti dodat sa momentom okomitim na vektor R, i stoga, i . Kao rezultat toga, moment rezultujućeg para će na ovaj način biti brojčano veći, a moment rezultujućeg para ima u ovom slučaju kada se svede na centar O najmanju vrijednost. Ovaj sistem sila se ne može svesti na jednu silu (rezultantu) ili na jedan par.

Ako se jedna od sila para, na primjer P, doda sili R, onda se razmatrani sistem sila i dalje može zamijeniti dvijema koje se ukrštaju, tj. silama Q i ne leže u istoj ravni (Sl. 93 ). Pošto je rezultujući sistem sila ekvivalentan dinamičkom zavrtnju, on takođe nema rezultantu.

5. Ako za dati sistem sila i istovremeno, vektori i R nisu međusobno okomiti i nisu paralelni, onda se i takav sistem sila svodi na dinamički vijak, ali će os vijka ne prolazi kroz centar O.

Da bismo to dokazali, rastavljamo vektor na komponente: usmjerene duž R i okomite na R (slika 94). U ovom slučaju, gdje su vektori i R. Par predstavljen vektorom i silom R može, kao u slučaju prikazanom na sl. 91, zamijenite jednom silom R primijenjenom u tački O, Zatim ovaj sistem sile će biti zamijenjene silom i parom paralelnih momenata, a vektor, kao slobodan, može se primijeniti i u tački O. Rezultat će zaista biti dinamički vijak, ali sa osom koja prolazi kroz tačku

Slučajevi svođenja na najjednostavniji oblik

Dovođenje u par

Neka se, kao rezultat dovođenja sila u centar O, pokazalo da je glavni vektor jednak nuli, a glavni moment je različit od nule: . Tada, na osnovu osnovne teoreme statike, možemo pisati

To znači da je originalni sistem sila u ovom slučaju ekvivalentan paru sila sa momentom .

Trenutak para ne zavisi od toga koja je tačka odabrana kao centar momenata pri računanju momenta para. Stoga, u ovom slučaju, glavni trenutak ne bi trebao ovisiti o izboru centra redukcije. Ali je do ovog zaključka odnos

povezujući glavne tačke u odnosu na dva različita centra. Za , dodatni član je također jednak nuli, i dobijamo

Redukcija na rezultantu

Neka sada glavni vektor nije jednak nuli, a glavni moment je jednak nuli: . Na osnovu osnovne teoreme statike, imamo

odnosno sistem sila se ispostavlja kao ekvivalentan jednoj sili - glavnom vektoru. Stoga se u ovom slučaju originalni sistem sila svodi na rezultantu, a ta rezultanta se poklapa sa glavnim vektorom primijenjenim u centru redukcije: .

Sistem sila se svodi na rezultantu čak i u slučaju kada su i glavni vektor i glavni moment različiti od nule, ali su međusobno okomiti: . Dokaz se izvodi pomoću sljedećeg niza radnji.

Kroz centar redukcije O povlačimo ravan okomitu na glavni moment (slika 50, a). Na slici je ova ravan poravnata sa ravninom crteža, a u njoj se nalazi glavni vektor. U ovoj ravni gradimo par sa momentom i biramo sile para jednake po apsolutnoj vrijednosti glavnom vektoru; tada će poluga para biti jednaka . Zatim pomičemo par u njegovoj ravni na takav način da se jedna od sila para primjenjuje na centar redukcije O suprotno od glavne; druga sila para će biti primenjena u tački C, koja je udaljena od centra O u željenom pravcu, određenom smerom, na rastojanju OS jednakom ramenu para h (Sl. 50, b). Sada odbacujući uravnotežene sile R i - primijenjene u tački O, dolazimo do jedne sile primijenjene u tački C (slika 50, c). Ona će služiti kao rezultanta ovog sistema snaga.

Može se vidjeti da je rezultanta i dalje jednaka glavnom vektoru, ali se razlikuje od glavnog vektora u tački primjene. Ako se glavni vektor primjenjuje na centar redukcije O, tada je rezultanta u tački C, čiji položaj zahtijeva posebnu definiciju. Geometrijski način pronalaženja tačke C vidljiv je iz gornje konstrukcije.

Za trenutak rezultante u odnosu na centar redukcije O može se napisati (vidi sliku 50):

ili, izostavljajući srednje vrijednosti:

Ako projektiramo ovu vektorsku jednakost na bilo koju os koja prolazi kroz tačku O, dobićemo odgovarajuću jednakost u projekcijama:

Podsjećajući da je projekcija momenta sile na tačku na osi koja prolazi kroz ovu tačku moment sile oko ose, ovu jednakost prepisujemo na sljedeći način:

Rezultirajuće jednakosti izražavaju Varignonovu teoremu opšti pogled(u predavanju 2, teorema je formulisana samo za konvergentne sile): ako sistem sila ima rezultantu, tada je moment ove rezultante (u odnosu na tačku, u odnosu na osu) jednak zbiru momenata sve date snage- komponente (u odnosu na istu tačku, istu os). Jasno je da je u slučaju tačke zbir momenata vektorski, a u slučaju ose algebarski.

Dovođenje u dinamo

Dinamo ili dinamički vijak je kombinacija para sila i sile usmjerene okomito na ravan djelovanja para. Može se pokazati da je u opštem slučaju redukcije, kada i nije okomito na , izvorni sistem sila je ekvivalentan nekom dinamu.