Izračunajte momente inercije J u , J v i J uv:
Sabiranjem prve dvije formule (3.14) dobijamo J u + J v= Jz+ Jy, tj. za bilo koju rotaciju međusobno okomitih osa, zbir aksijalni momenti inercija ostaje konstantna (invarijantna).
Glavne ose i glavni momenti inercije
Istraživanje funkcije J u(a) do krajnosti. Da bismo to učinili, izjednačavamo derivaciju sa nulom J u(a) od strane a.
Dobijamo istu formulu izjednačavanjem centrifugalnog momenta inercije na nulu
.
Glavne ose se nazivaju osi, u odnosu na koje aksijalni momenti inercije poprimaju ekstremne vrednosti, a centrifugalni moment inercije je nula.
Beskonačan broj glavnih osa inercije može se nacrtati uzimanjem bilo koje tačke na ravni kao ishodišta. Za rješavanje problema otpornosti materijala, samo nas zanima glavna centralna os inercije. Glavne centralne osi inercije proći kroz težište presjeka.
Formula (3.17) daje dva rješenja koja se razlikuju za 90°, tj. omogućava vam da odredite dvije vrijednosti ugla nagiba glavnih osi inercije u odnosu na originalne osi. U odnosu na koju od osi je maksimalni aksijalni moment inercije J 1 = J max , a u odnosu na koji - minimum J 2 = J min , morat će se riješiti prema značenju problema.
Pogodnije su druge formule koje jedinstveno određuju položaj glavnih osa 1 i 2 (date bez izvođenja). U ovom slučaju, pozitivni ugao se mjeri od ose Oz u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
U formuli (3.19) znak "+" odgovara maksimalnom momentu inercije, a znak "-" minimalnom.
Komentar . Ako presjek ima barem jednu os simetrije, tada je u odnosu na ovu os i bilo koju drugu okomitu na nju, centrifugalni moment inercije jednak nuli. U skladu sa definicijom glavnih osa inercije, možemo zaključiti da ove ose su glavne ose inercije, tj. osa simetrije je uvijek glavna centralna osa.
Za simetrične profile predstavljene u asortimanu, kanal ili I-greda, glavne središnje osi inercije bit će vertikalna i horizontalna osa koje se sijeku na polovini visine profila.
Razmotrimo promjenu momenata inercije kada se rotiraju koordinatne osi. Pretpostavimo da su momenti inercije određenog presjeka oko osi x i y (ne nužno centralno). Obavezno definirati J u , J v , J UV- momenti inercije oko osi u , v , rotirano pod uglom a. Dakle projekcija OABC jednaka je projekciji završnog:
u= y grijeha +x cos a (1)
v=y cos a – x sin a(2)
Eliminišite u,v u izrazima za momente inercije:
J u = ∫v 2 dF; J v = ∫u 2 dF; J UV = ∫uvdF. Zamjenom u izraze (1) i (2) dobijamo:
J u =J x cos 2 a-J xy sin 2a + J y grijeh 2 a
J v =J x grijeh 2 a+J xy sin 2a + J y cos 2 a(3)
J UV =J xy cos2a + sin2a(J x -J y )/2
J u + J v = J x + J y = ∫ F (y 2 + x 2 ) dF => Zbir aksijalnih momenata inercije u odnosu na 2x međusobno okomito. Osi nezavisne od ugla a. primeti, to x 2 + y 2 = str 2 . str- udaljenost od ishodišta koordinata do elementarne površine. To. J x + J y = J str .(4)
J str =∫ F str 2 dF – polarni moment, nezavisan od rotacije x,y
2) T. Casteliano.
Parcijalni izvod potencijalne energije sistema u odnosu na silu jednak je pomaku tačke primjene sile u smjeru ove sile.
Zamislite štap napunjen proizvoljan sistem sile i fiksiran kao što je prikazano na sl.
Neka je potencijalna energija deformacije, akumulirana u zapremini tijela kao rezultat rada vanjskih sila, jednaka U. Daćemo prirast d F n sili F n . Onda potencijalna energija Dobićete povećanje 
i ima oblik U+ 
.(5.4)
Promenimo sada redosled primene snaga. Aplicirajmo prvo na elastično tijelo sila dPn. U tački primjene ove sile nastat će odgovarajući mali pomak, čija projekcija na smjer sile dPn je jednako sa . dδ n . Zatim rad sile dPn ispada da je jednaka dPn dδn /2. Sada primenimo ceo sistem spoljnih sila. U nedostatku snage dPn potencijalna energija sistema bi ponovo poprimila vrednost U. Ali sada će se ta energija promijeniti količinom dodatnog rada dPnδn koja će sila učiniti dPn na pomaku δ n , uzrokovana čitavim sistemom vanjskih sila. Vrijednost δ n je opet projekcija ukupnog pomaka na smjer sile Rn.
Kao rezultat, obrnutim redoslijedom primjene sila, izraz za potencijalnu energiju dobija se u obliku
(5.5)
Ovaj izraz izjednačavamo sa izrazom (5.4) i odbacimo proizvod dPn dδn /2 kao količinu najvišeg reda malenosti nalazimo
(5.6)
Ulaznica 23
Neko nema sreće
Ulaznica 24
1) Torzija šipke pravougaonog poprečnog preseka (određivanje napona i pomaka). Torzija pravokutne grede, naprezanja u poprečnom presjeku
P 
U ovom slučaju krši se zakon ravnih presjeka, presjeci nekružnog oblika se savijaju tijekom torzije - deformacije poprečnog presjeka.
Dijagrami posmičnih napona pravokutnog presjeka.
;
, Jk i Wk - uslovno se naziva momentom inercije i momentom otpora tokom torzije. Wk=hb2,
Jk= hb3, Maksimalni posmični naponi max će biti na sredini duge strane, naponi na sredini kratke strane: =max, koeficijenti: ,, su dati u priručniku u zavisnosti od odnos h/b (na primjer, kod h /b=2,=0,246;=0,229;=0,795.
Prilikom proračuna šipke za torziju (osovinu), potrebno je riješiti dva glavna zadatka. Prvo, potrebno je odrediti naprezanja koja nastaju u gredi, a drugo, potrebno je pronaći kutne pomake presjeka grede ovisno o vrijednostima vanjskih momenata.
Pretpostavimo da su za proizvoljni presek (slika 1.13) poznati momenti inercije oko koordinatnih osa z i y, a poznat je i centrifugalni moment inercije Izy. Potrebno je uspostaviti ovisnosti za momente inercije oko osi 11 zy, rotiranih za ugao u odnosu na originalne ose z i y (slika 1.13). Ugao ćemo smatrati pozitivnim ako se rotacija koordinatnog sistema odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Neka za dati presjek IzI. yDa bismo riješili problem, pronađimo odnos između koordinata mjesta dA u originalnoj i rotiranoj osi. Sa slike 1.13 proizilazi: Iz trokuta iz trokuta Imajući ovo na umu, dobijamo Slično za koordinatu y1 dobijamo S obzirom da konačno imamo ), određujemo moment inercije u odnosu na nove (rotirane) ose z1 i y1: Slično, centrifugalni moment inercije I u odnosu na rotirane ose određen je ovisnošću . Oduzimanjem (1.27) od (1.26) dobijamo Formula (1.30) koja može poslužiti za izračunavanje centrifugalnog momenta inercije oko osa z i y, prema poznatim momentima inercije oko osa z, y i z1, y1, i formulom (1.29) može se koristiti za provjeru proračuna momenata inercije složenih presjeka. 1.8. Glavne ose i glavni momenti inercije presjeka Sa promjenom ugla (vidi sliku 1.13), mijenjaju se i momenti inercije. Za neke vrijednosti ugla 0, momenti inercije imaju ekstremne vrijednosti. Aksijalni momenti inercije koji imaju maksimalne i minimalne vrijednosti nazivaju se glavnim aksijalnim momentima inercije presjeka. Osi u odnosu na koje aksijalni momenti inercije imaju maksimalnu i minimalnu vrijednost su glavne osi inercije. S druge strane, kao što je gore navedeno, glavne osi su ose u odnosu na koje je centrifugalni moment inercije presjeka jednak nuli. Da bismo odredili položaj glavnih osi za presjeke proizvoljnog oblika, uzimamo prvi izvod u odnosu na I i izjednačavamo ga sa nulom: Treba napomenuti da se formula (1.31) može dobiti iz (1.28) izjednačavanjem sa nulom. Ako vrijednosti ugla određene iz izraza (1.31) zamijenimo u (1. 26) i (1.27), tada se nakon transformacije dobivaju formule koje određuju glavne aksijalne momente inercije presjeka.Po svojoj strukturi ova formula je slična formuli (4.12) koja određuje glavna naprezanja (vidi odjeljak 4.3). Ako je IzI, onda, na osnovu proučavanja druge derivacije, slijedi da se maksimalni moment inercije Imax odvija u odnosu na glavnu os rotiranu pod uglom u odnosu na z-os, a minimalni moment inercije - u odnosu na drugu glavnu osu koja se nalazi pod uglom od 0 Ako II, sve se menja naprotiv. Vrijednosti glavnih momenata inercije Imax i I također se mogu izračunati iz ovisnosti (1.26) i (1.27), ako ih zamijenimo umjesto vrijednosti. U ovom slučaju, pitanje se rješava samo od sebe: u odnosu na koju glavnu osu se dobija maksimalni moment inercije, a u odnosu na koju osovinu je minimalni? Treba napomenuti da ako su za presjek glavni središnji momenti inercije oko osi z i y jednaki, tada je za ovaj presjek svaka središnja os glavna i svi glavni središnji momenti inercije su isti (krug, kvadrat , šesterokut, jednakostranični trokut, itd.). To se lako utvrđuje iz zavisnosti (1.26), (1.27) i (1.28). Zaista, pretpostavimo da su za neki odsjek ose z i y glavne centralne ose i, pored toga, I. y Tada iz formula (1.26) i (1.27) dobijamo da Izy , 1a iz formule (1.28) osiguravamo da 11 e. sve ose su glavne centralne osi inercije takve figure. 1.9. Pojam radijusa rotacije Moment inercije presjeka u odnosu na bilo koju osu može se predstaviti kao proizvod površine poprečnog presjeka kvadratom određene veličine, koja se naziva polumjer rotacije površine poprečnog presjeka gdje iz ─ radijus inercije u odnosu na osu z. Tada iz (1.33) slijedi: Glavne centralne osi inercije odgovaraju glavnim polumjerima inercije: 1.10. Momenti otpora Razlikovati aksijalne i polarne momente otpora. 1. Aksijalni moment otpora je omjer momenta inercije oko date ose i udaljenosti do najudaljenije tačke poprečnog presjeka od ove ose. Aksijalni moment otpora u odnosu na z-osu: i u odnosu na y-osu: max gdje je ymax i zmax─, respektivno, udaljenosti od glavnih centralnih osa z i y do tačaka najudaljenijih od njih. U proračunima se koriste glavne središnje osi inercije i glavni centralni momenti, pa ćemo pod Iz i Iy u formulama (1.36) i (1.37) razumjeti glavne središnje momente inercije presjeka. Razmotrimo proračun momenata otpora nekih jednostavnih presjeka. 1. Pravougaonik (vidi sliku 1.2): 2. Krug (vidi sliku 1.8): 3. Prstenasti cevasti presek (sl. 1.14): . Za valjane profile momenti otpora su dati u tabelama asortimana i nije ih potrebno određivati (vidi prilog 24 - 27). 2. polarnog trenutka otpor je odnos polarnog momenta inercije i udaljenosti od pola do najudaljenije tačke preseka max 30. Za pol se obično uzima težište preseka. Na primjer, za okrugli čvrsti presjek (slika 1.14): Za okrugli okrugli presjek. Aksijalni momenti otpora Wz i Wy karakteriziraju čisto geometrijski otpor šipke (grede) na deformaciju savijanja, a polarni moment otpora W karakterizira otpor na torziju.
Razmotrimo ravnu figuru sa poznatim geometrijskim karakteristikama 1 X , 1 g i 1 hu o sekirama X i at(Sl. 3.3). Koristimo ih da odredimo vrijednosti sličnih geometrijske karakteristike o sekirama i i v, koji čine ugao a sa početnim sistemom.
Izračunajte koordinate centra gravitacije elementa beskonačno male površine dA u novom koordinatnom sistemu i i v:
Rice. 3.3.
Moment inercije oko rotirane ose Oiće biti jednako
Koristeći notaciju geometrijskih karakteristika u odnosu na originalne ose, dobijamo
Za druge dvije geometrijske karakteristike formule se dobijaju na sličan način:
Dobivene formule transformiramo pomoću trigonometrijskih formula
Nakon pretvaranja formula za izračunavanje aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije pri okretanju osi, one poprimaju oblik
Glavne ose i glavni momenti inercije
Prethodno je napomenuto da je zbroj aksijalnih momenata konstantna vrijednost. Lako je vidjeti da ova izjava također slijedi iz formula (3.22):
Osi oko kojih momenti inercije uzimaju maksimum i minimalna vrijednost, su pozvani glavne osovine glavni momenti inercije.
Kada se osi rotiraju, mijenjaju se vrijednosti aksijalnih momenata, tako da mora postojati par međusobno okomitih glavnih osa, u odnosu na koje momenti inercije dostižu minimalnu i maksimalnu vrijednost. Dokažimo ovu poziciju. Da bismo to učinili, proučavamo aksijalni moment inercije za ekstrem 1 i:
Pošto izraz u zagradama mora biti jednak nuli, dobijamo formulu koja nam omogućava da odredimo položaj jedne od glavnih osa:
Ugao a 0 računa se od ose Oh suprotno od kazaljke na satu, definira položaj glavne ose u odnosu na os Oh. Dokažimo da je os okomita na ovu osu ujedno i glavna. Zamjena u izrazu za
ugao derivacije a 0 + -:
Dakle, glavne osi su međusobno okomite ose.
Obratimo pažnju na činjenicu da izraz u zagradama prema trećoj formuli (3.22) odgovara centrifugalnom momentu. Tako smo dokazali da je centrifugalni moment inercije oko glavnih osa jednak nuli.
Iskoristimo ovaj rezultat i izvedemo formulu za izračunavanje glavnih momenata inercije. Da bismo to učinili, prepisujemo drugu i treću formulu (3.22) u sljedećem obliku:
Dobijamo kvadriranje i sabiranje desne i lijeve strane obje jednačine
Iz ovoga slijedi formula za izračunavanje dva glavna momenta inercije:
U formuli (3.25), znak plus odgovara maksimalnom glavnom momentu inercije, a znak minus njegovoj minimalnoj vrijednosti.
U nekim posebnim slučajevima, položaj glavnih osa može se odrediti bez proračuna. Dakle, ako je presjek simetričan, tada je os simetrije jedna od glavnih osa, a druga osa je bilo koja os okomita na nju. Ova pozicija proizlazi direktno iz jednakosti nule centrifugalnog momenta inercije oko osi, od kojih je jedna os simetrije.
Među svim parovima glavnih osa može se razlikovati poseban par, čije obje ose prolaze kroz težište presjeka.
Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne ose, a momenti inercije oko takvih osa - main centralni momenti inercija.
Kao što je već napomenuto, rotacija koordinatnog sistema uzrokuje promjenu geometrijskih karakteristika ravnih figura. Može se pokazati da je skup geometrijskih karakteristika koje pripadaju datom presjeku opisan simetričnim tenzorom tzv. tenzor inercije odeljak, koji se može napisati kao matrica:
Prvu invarijantu tenzora inercije, koja je zbir aksijalnih momenata inercije, dobili smo ranije (vidi formulu (3.23)). Druga invarijanta tenzora inercije ima oblik
Ova vrijednost će se koristiti za dobivanje općeg rješenja za savijanje šipke.