DEFINICIJA

Aksijalni (ili ekvatorijalni) moment inercije presek u odnosu na osu naziva se vrednost, koja je definisana kao:

Izraz (1) znači, da bi se izračunao aksijalni moment inercije, zbir proizvoda beskonačno malih površina () pomnoženih s kvadratima udaljenosti od njih do ose rotacije uzima se preko cijele površine S:

Zbir aksijalnih momenata inercije presjeka oko međusobno okomitih osa (na primjer, oko X i Y osa u Kartezijanski sistem koordinate) daju polarni moment inercije () u odnosu na točku presjeka ovih osa:

DEFINICIJA

polarnog trenutka inercije se zove moment inercije kao presjek u odnosu na neku tačku.

Aksijalni momenti inercije su uvijek veći od nule, jer su u njihovim definicijama (1) pod predznakom integrala vrijednost površine elementarne površine (), koja je uvijek pozitivna i kvadrat udaljenosti od ove površine do ose.

Ako je riječ o presjeku složenog oblika, onda se u proračunima često koristi činjenica da je aksijalni moment inercije složenog presjeka u odnosu na os jednak zbroju aksijalnih momenata inercije dijelova ovog preseka u odnosu na istu osu. Međutim, treba imati na umu da je nemoguće sumirati momente inercije koji se nalaze u odnosu na različite ose i tačke.

Aksijalni moment inercije oko ose koja prolazi kroz centar gravitacije presjeka ima najmanju vrijednost svih momenata oko osi koje su s njim paralelne. Moment inercije oko bilo koje ose () pod uslovom da je paralelna sa osi koja prolazi kroz centar gravitacije je:

gdje je moment inercije presjeka u odnosu na osu koja prolazi kroz centar gravitacije presjeka; - površina poprečnog presjeka; - razmak između osovina.

Primjeri rješavanja problema

PRIMJER 1

Vježba	Koliki je aksijalni moment inercije jednakokračnog trouglastog presjeka oko ose Z koja prolazi kroz težište () trokuta, paralelno s njegovom osnovom? Visina trougla je .
Rješenje	Odabiremo pravokutnu elementarnu površinu na trouglastom presjeku (vidi sliku 1). Nalazi se na udaljenosti od ose rotacije, dužine jedne od njegovih strana, druge strane. Iz slike 1 proizilazi da: Površina odabranog pravokutnika, uzimajući u obzir (1.1), jednaka je: Da bismo pronašli aksijalni moment inercije, koristimo njegovu definiciju u obliku:
Odgovori

PRIMJER 2

Vježba	Odrediti aksijalne momente inercije oko okomitih osa X i Y (slika 2) presjeka u obliku kružnice čiji je prečnik d.
Rješenje	Da biste riješili problem, prikladnije je započeti pronalaženjem polarnog momenta u odnosu na središte presjeka (). Cijeli presjek dijelimo na beskonačno tanke prstenove debljine , čiji je polumjer označen sa . Tada nalazimo elementarnu oblast kao:

Razmotrimo još nekoliko geometrijskih karakteristika ravnih figura. Jedna od ovih karakteristika se zove aksijalni ili ekvatorijalni moment inercije. Ova karakteristika u odnosu na osi i
(Sl.4.1) ima oblik:

;
. (4.4)

Glavno svojstvo aksijalnog momenta inercije je da ne može biti manji ili jednak nuli. Ovaj moment inercije je uvijek veći od nule:
;
. Jedinica mjerenja aksijalnog momenta inercije je (dužina 4).

Povežite početak koordinata sa pravim segmentom sa beskonačno malom površinom
a ovaj segment označimo slovom (Sl.4.4). Moment inercije figure u odnosu na pol - ishodište - naziva se polarni moment inercije:

. (4.5)

Ovaj moment inercije, kao i aksijalni, uvijek je veći od nule (
) i ima dimenziju – (dužina 4).

Hajde da zapišemo uslov invarijantnosti zbira ekvatorijalnih momenata inercije oko dvije međusobno okomite ose. Slika 4.4 to pokazuje
.

Zamenimo ovaj izraz u formulu (4.5) i dobićemo:

Uvjet invarijantnosti je formuliran na sljedeći način: zbir aksijalnih momenata inercije oko bilo koje dvije međusobno okomite ose je konstantna vrijednost i jednaka je polarnom momentu inercije oko točke presjeka ovih osa.

Moment inercije ravne figure oko dvije međusobno okomite ose istovremeno se naziva biaxial ili centrifugalna moment inercije. Centrifugalni moment inercije ima sljedeći oblik:

. (4.7)

Centrifugalni moment inercije ima dimenziju - (dužina 4). Može biti pozitivan, negativan ili nula. Osi oko kojih je centrifugalni moment inercije jednak nuli se nazivaju glavne osi inercije. Dokažimo da je osa simetrije ravne figure glavna osovina.

Razmotrite ravnu figuru prikazanu na slici 4.5.

Biramo lijevo i desno od ose simetrije dva elementa sa beskonačno malom površinom
. Težište cijele figure je u tački C. Postavimo ishodište u tačku C i označimo vertikalne koordinate odabranih elemenata slovom “ “, horizontalno – za lijevi element “
“, za desni element “ ". Izračunajmo zbir centrifugalnih momenata inercije za odabrane elemente s beskonačno malom površinom u odnosu na osi i :

Ako integriramo izraz (4.8) lijevo i desno, dobićemo:

, (4.9)

budući da je os je osa simetrije, tada za bilo koju tačku koja leži lijevo od ove ose, uvijek će postojati tačka simetrična njoj.

Analizirajući dobijeno rješenje dolazimo do zaključka da je osa simetrije je glavna osa inercije. centralna osovina je također glavna osa, iako nije os simetrije, jer je centrifugalni moment inercije izračunat istovremeno za dvije ose i i ispostavilo se da je nula.

Ako povučemo koordinatne osi kroz tačku O, tada su u odnosu na te osi centrifugalni momenti inercije (ili proizvodi inercije) veličine definirane jednakostima:

gdje su mase tačaka; - njihove koordinate; dok je očigledno da itd.

Za čvrsta tijela formule (10), po analogiji sa (5), poprimaju oblik

Za razliku od aksijalnih centrifugalnih momenata inercije, oni mogu biti i pozitivne i negativne vrijednosti, a posebno, uz određeni način odabranih osa, mogu nestati.

Glavne osi inercije. Posmatrajmo homogeno tijelo sa osom simetrije. Nacrtajmo koordinatne ose Oxyz tako da os bude usmerena duž ose simetrije (Sl. 279). Tada će, zbog simetrije, svakoj tački tijela s masom mk i koordinatama odgovarati tačka s različitim indeksom, ali sa istom masom i koordinatama jednakim . Kao rezultat, dobijamo da pošto su u ovim zbirovima svi članovi u paru identični po apsolutnoj vrednosti i suprotni po predznaku; dakle, uzimajući u obzir jednakosti (10), nalazimo:

Dakle, simetrija u raspodjeli masa oko z-ose karakterizira nestajanje dva centrifugalna momenta inercije. Os Oz, za koju su centrifugalni momenti inercije koji sadrže naziv ove ose u svojim indeksima, jednaki nuli, naziva se glavna os inercije tijela za tačku O.

Iz prethodnog slijedi da ako tijelo ima os simetrije, onda je ta os glavna os inercije tijela za bilo koju njegovu tačku.

Glavna os inercije nije nužno osa simetrije. Posmatrajmo homogeno tijelo sa ravninom simetrije (na slici 279, ravan simetrije tijela je ravan). Nacrtajmo u ovoj ravni neke ose i osu okomitu na njih.Tada će, zbog simetrije, svakoj tački sa masom i koordinatama odgovarati tačka sa istom masom i koordinatama jednakim . Kao rezultat toga, kao iu prethodnom slučaju, nalazimo da ili odakle slijedi da je os glavna osa inercije za tačku O. Dakle, ako tijelo ima ravan simetrije, tada bilo koja os okomita na ovu ravan bit će glavna osa inercije tijela za tačku O, u kojoj osa seče ravan.

Jednačine (11) izražavaju uslove da je osa glavna osa inercije tijela za tačku O (početak koordinata).

Slično, ako će tada osa Oy biti glavna osa inercije za tačku O. Dakle, ako su svi centrifugalni momenti inercije jednaki nuli, tj.

tada je svaka od koordinatnih osa glavna osa inercije tijela za tačku O (početak koordinata).

Na primjer, na sl. 279 sve tri ose su za tačku O glavne ose inercije (osa kao osa simetrije, a ose Ox i Oy kao okomite na ravni simetrije).

Momenti inercije tijela oko glavnih osa inercije nazivaju se glavnim momentima inercije tijela.

Glavne ose inercije konstruisane za centar mase tela nazivaju se glavne centralne osi inercije tela. Iz navedenog slijedi da ako tijelo ima os simetrije, onda je ta osa jedna od glavnih centralne osovine inercija tijela, jer centar mase leži na ovoj osi. Ako tijelo ima ravan simetrije, tada će os okomita na ovu ravan i koja prolazi kroz centar mase tijela također biti jedna od glavnih središnjih osi inercije tijela.

U navedenim primjerima razmatrana su simetrična tijela, što je dovoljno za rješavanje problema sa kojima ćemo se suočiti. Međutim, može se dokazati da se kroz bilo koju tačku bilo kojeg tijela mogu povući najmanje tri takve međusobno okomite ose, za koje će biti zadovoljene jednakosti (11), odnosno koje će biti glavne osi inercije tijela za ovu tačku .

Koncept glavnih osi inercije igra važnu ulogu u dinamici čvrsto telo. Ako su koordinatne ose Oxyz usmjerene duž njih, tada se svi centrifugalni momenti inercije pretvaraju u nulu i odgovarajuće jednadžbe ili formule su značajno pojednostavljene (vidi § 105, 132). Sa ovim konceptom je takođe povezano i rešavanje problema o dinamičkoj jednačini rotirajućih tela (videti § 136), o centru udara (videti § 157) itd.

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA.

Kao što pokazuje iskustvo, otpor šipke na različite deformacije ovisi ne samo o dimenzijama poprečnog presjeka, već i o obliku.

Dimenzije i oblik poprečnog presjeka karakterišu različite geometrijske karakteristike: površina poprečnog presjeka, statički momenti, momenti inercije, momenti otpora itd.

1. Statički moment površine(moment inercije prvog stepena).

Statički moment inercije površina u odnosu na bilo koju osu, je zbir proizvoda elementarnih površina na udaljenosti od ove ose, proširene na cijelu površinu (slika 1)

Fig.1

Svojstva statičkog momenta površine:

1. Statički moment površine mjeri se u jedinicama dužine trećeg stepena (na primjer, cm 3).

2. Statički moment može biti manji od nule, veći od nule i, prema tome, jednak nuli. Osi prema kojima je statički moment jednak nuli prolaze kroz težište presjeka i nazivaju se centralne ose.

Ako a x c i yc su koordinate centra gravitacije, onda

3. Statički moment inercije složenog presjeka u odnosu na bilo koju osu jednak je zbroju statičkih momenata komponenti jednostavne sekcije oko iste ose.

Koncept statičkog momenta inercije u nauci o snazi ​​koristi se za određivanje položaja težišta presjeka, iako se mora imati na umu da u simetričnim presjecima centar gravitacije leži na presjeku osi simetrije.

2. Moment inercije ravnim sekcijama(figure) (momenti inercije drugog stepena).

a) aksijalni(ekvatorijalni) moment inercije.

Aksijalni moment inercije površina figure u odnosu na bilo koju osu je zbir proizvoda elementarnih površina po kvadratu udaljenosti do ove ose raspodjele po cijeloj površini (slika 1)

Osobine aksijalnog momenta inercije.

1. Aksijalni moment inercije površine mjeri se u jedinicama dužine četvrtog stepena (na primjer, cm 4).

2. Aksijalni moment inercije je uvijek veći od nule.

3. Aksijalni moment inercije složenog presjeka u odnosu na bilo koju osu jednak je zbroju aksijalnih momenata sastavnih jednostavnih presjeka u odnosu na istu osu:

4. Vrijednost aksijalnog momenta inercije karakterizira sposobnost šipke (grede) određenog poprečnog presjeka da se odupre savijanju.

b) Polarni moment inercije.

Polarni moment inercije Površina figure u odnosu na pol je zbir proizvoda elementarnih površina po kvadratu udaljenosti do pola, proširen na cijelo područje (slika 1).

Svojstva polarnog momenta inercije:

1. Polarni moment inercije površine mjeri se u jedinicama dužine četvrtog stepena (na primjer, cm 4).

2. Polarni moment inercije je uvijek veći od nule.

3. Polarni moment inercije složenog presjeka u odnosu na bilo koji pol (centar) jednak je zbiru polarnih momenata komponenti jednostavnih presjeka u odnosu na ovaj pol.

4. Polarni moment inercije presjeka jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije ovog presjeka oko dvije međusobno okomite ose koje prolaze kroz pol.

5. Veličina polarnog momenta inercije karakterizira sposobnost šipke (grede) određenog oblika poprečnog presjeka da se odupre torziji.

c) centrifugalni moment inercije.

CENTRIFUGALNI MOMENT INTERCIJE površine figure u odnosu na bilo koji koordinatni sistem je zbir proizvoda elementarnih površina po koordinatama, proširenih na čitavu površinu (slika 1)

Svojstva centrifugalnog momenta inercije:

1. Centrifugalni moment inercije površine mjeri se u jedinicama dužine četvrtog stepena (na primjer, cm 4).

2. Centrifugalni moment inercije može biti veći od nule, manji od nule i jednak nuli. Osi oko kojih je centrifugalni moment inercije jednak nuli nazivaju se glavne osi inercije. Dvije međusobno okomite ose, od kojih je barem jedna os simetrije, bit će glavne ose. Glavne ose koje prolaze kroz težište površine nazivaju se glavne centralne ose, a aksijalni momenti inercije površine se nazivaju glavnim centralni momenti inercija.

3. Centrifugalni moment inercije složenog presjeka u bilo kojem koordinatnom sistemu jednak je zbiru centrifugalnih momenata inercije sastavnih figura u istoj koordinatnoj šemi.

MOMENTI INERCIJE U ODNOSU NA PARALELNE OS.

Fig.2

Dato: sjekire x, y- centralno;

one. aksijalni moment inercije u presjeku oko ose paralelne središnjoj jednak je aksijalnom momentu oko njegove središnje ose plus proizvod površine i kvadrata udaljenosti između osa. Iz toga slijedi da aksijalni moment inercije presjeka u odnosu na centralnu osu ima minimalnu vrijednost u sistemu paralelnih osa.

Nakon što smo napravili slične proračune za centrifugalni moment inercije, dobijamo:

Jx1y1=Jxy+Aab

one. centrifugalni moment inercije presjeka oko osa paralelnih centralnom koordinatnom sistemu jednak je centrifugalnom momentu u centralnom koordinatnom sistemu plus proizvod površine i rastojanja između osa.

MOMENTI INERCIJE U ROTIRANOM KOORDINATNOM SISTEMU

one. zbir aksijalnih momenata inercije presjeka je konstantna vrijednost, ne ovisi o kutu rotacije koordinatnih osa i jednak je polarnom momentu inercije oko ishodišta. Centrifugalni moment inercije može promijeniti svoju vrijednost i okrenuti se na "0".

Osi oko kojih je centrifugalni moment jednak nuli bit će glavne osi inercije, a ako prolaze kroz centar gravitacije, tada se nazivaju glavne osi inercije i označavaju se " u" i "".

Momenti inercije oko glavnih centralnih ose nazivaju se glavnim centralnim momentima inercije i označavaju se , a glavni centralni momenti inercije imaju ekstremne vrijednosti, tj. jedno je "min", a drugo "max".

Neka ugao "a 0" karakterizira položaj glavnih osa, tada:

prema ovoj zavisnosti određujemo položaj glavnih osa. Vrijednost glavnih momenata inercije nakon nekih transformacija određena je sljedećom ovisnošću:

PRIMJERI ODREĐIVANJA AKSIJALNIH MOMENTA INTERCIJE, POLARNIH MOMENTA INTERCIJE I MOMENTA OTPORA JEDNOSTAVNIH FIGURA.

1. Pravokutni presjek

sjekire x i y - ovdje i u drugim primjerima - glavne centralne osi inercije.

Odredimo aksijalne momente otpora:

2. Okrugla čvrsta presjeka. momenti inercije.

Pretpostavimo da postoji koordinatni sistem sa ishodištem u tački O i osovinama OX; OY; oz. U odnosu na ove ose, centrifugalni momenti inercije (proizvodi inercije) nazivaju se veličine, koje su određene jednakostima:

gde su mase materijalne tačke u koje je tijelo razbijeno; - koordinate odgovarajućih materijalnih tačaka.

Centrifugalni moment inercije ima svojstvo simetrije, što slijedi iz njegove definicije:

Centrifugalni momenti tijela mogu biti pozitivni i negativni, uz određeni izbor OXYZ osi, mogu nestati.

Za centrifugalne momente inercije postoji analog Steinbergove teoreme. Ako uzmemo u obzir dva koordinatna sistema: i . Jedan od ovih sistema ima porijeklo koordinata u centru mase tijela (tačka C), osi koordinatnih sistema su parno paralelne (). Neka su koordinate centra mase tijela u koordinatnom sistemu (), tada:

gdje je masa tijela.

Glavne ose inercije tela

Neka homogeno tijelo ima os simetrije. Konstruirajmo koordinatne ose tako da os OZ bude usmjerena duž ose simetrije tijela. Tada, kao posljedica simetrije, svaka tačka tijela sa masom i koordinatama odgovara tački koja ima drugačiji indeks, ali istu masu i koordinate: . Kao rezultat, dobijamo da:

budući da u ovim zbirovima svi članovi imaju jednake veličine, ali suprotne po predznaku. Izrazi (4) su ekvivalentni pisanju:

Dobili smo da aksijalnu simetriju raspodjele mase u odnosu na osu OZ karakterizira nula od dva centrifugalna momenta inercije (5), koji među svojim indeksima sadrže naziv ove ose. U ovom slučaju, os OZ se naziva glavnom osom inercije tijela za tačku O.

Glavna osa inercije nije uvijek osa simetrije tijela. Ako tijelo ima ravan simetrije, tada je svaka os koja je okomita na ovu ravninu glavna os inercije za tačku O, u kojoj osa siječe ravninu koja se razmatra. Jednačine (5) odražavaju uslove da je OZ osa glavna osa inercije tijela za tačku O (početak koordinata). Ako su ispunjeni uslovi:

tada će osa OY biti glavna osa inercije za tačku O.

Ako su jednakosti zadovoljene:

tada su sve tri koordinatne ose OXYZ koordinatnog sistema glavne ose inercije tela za ishodište.

Momenti inercije tijela u odnosu na glavne osi inercije nazivaju se glavnim momentima inercije tijela. Glavne ose inercije, koje su izgrađene za centar mase tela, nazivaju se glavnim centralnim osama inercije tela.

Ako tijelo ima os simetrije, onda je to jedna od glavnih središnjih osi inercije tijela, budući da se centar mase nalazi na ovoj osi. U slučaju da tijelo ima ravan simetrije, tada je os normalna na ovu ravan i koja prolazi kroz centar mase tijela jedna od glavnih centralnih osi inercije tijela.

Koncept glavnih osi inercije u dinamici krutog tijela je bitan. Ako su koordinatne ose OXYZ usmjerene duž njih, tada svi centrifugalni momenti inercije postaju jednaki nuli, dok su formule koje treba koristiti u rješavanju zadataka dinamike znatno pojednostavljene. Koncept glavnih osi inercije povezan je sa rješavanjem zadataka o dinamičkoj jednadžbi tijela u rotaciji i o centru udara.

Moment inercije tijela (uključujući i centrifugalnog) u međunarodnom sistemu jedinica mjeri se u:

Centrifugalni moment inercije presjeka

Centrifugalni moment inercije presjeka (ravne figure) oko dvije međusobno normalne ose (OX i OY) je vrijednost jednaka:

izraz (8) kaže da je centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na međusobno okomite ose zbir proizvoda elementarnih površina () na udaljenosti od njih do razmatranih osa, na cijeloj površini S.

Jedinica mjerenja momenata inercije presjeka u SI je:

Centrifugalni moment inercije složenog presjeka u odnosu na bilo koje dvije međusobno normalne ose jednak je zbroju centrifugalnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova u odnosu na ove ose.

Primjeri rješavanja problema

PRIMJER 1

Vježba

Dobiti izraz za centrifugalni moment inercije pravokutnog presjeka oko (X,Y) osi.

Rješenje

Hajde da napravimo crtež. Da bismo odredili centrifugalni moment inercije, iz postojećeg pravokutnika biramo element njegove površine (slika 1), čija je površina jednaka: U prvoj fazi rješavanja problema nalazimo centrifugalni moment inercije () vertikalne trake visine i širine , koja se nalazi na udaljenosti od Y ose (uzmite u obzir da prilikom integracije za sva mjesta u odabrana vertikalna traka, vrijednost je konstantna):