1.Aksijalni momenti inercija oko međusobno okomitih osa x0y (koje se podudaraju sa stranicama trougla) (slika 2.17).
Odrediti moment inercije oko ose X odaberite elementarnu oblast u obliku trake beskonačno male širine du, paralelna osa X, na daljinu at od nje. Područje lokacije
. Dužina trake b(y) odrediti iz sličnosti trouglova sa bazama b(y) i b,
gdje 
. Onda 
. Zamena omjer u izrazu za I x(2.21) i postavljanje granica integracije "0- h", dobijamo
.
Slično definisano I y.
2. Centrifugalni moment inercije oko osi x0y (poklapa se sa stranicama trokuta)
Centrifugalni moment inercije, prema definiciji, jednak je
Koristimo istu osnovnu platformu kao i ranije (vidi sliku 2.17). Kao koordinata X prihvatamo koordinate centra gravitacije elementarne oblasti
.
Zamjenjujemo ovaj izraz, kao i formulu za dA pod integralom i integrirati u rasponu od 0 do h
Dakle, formule za momente inercije presjeka, u obliku pravougaonog trougla, u odnosu na osi koje se poklapaju sa nogama, imaju oblik
Imajte na umu da su za razmatrani presjek od većeg interesa momenti inercije oko centralnih osa (CO) paralelnih sa kracima trougla.
3. Momenti inercije u odnosu na međusobno okomite CO x c cy c (paralelno sa stranicama trougla)
Formule za momente inercije pravokutnog trokuta oko osi x c cy c(vidi Sl.2.17) je lako dobiti upotrebom izraza (2.24), kao i teoreme o paralelni transfer osi, prema kojima:
aksijalni momenti inercije 
; 
;
centrifugalni moment inercije 
.
ovdje: a, e su koordinate centra gravitacije presjeka u koordinatnom sistemu x0y
Zamjenom ovih izraza, kao i relacija (2.24) u gornje formule, dobijamo
(2.25)
Imajte na umu da orijentacija presjeka u odnosu na ose utječe na znak centrifugalnog momenta inercije. Za razmatranu orijentaciju, pokazalo se da<0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат X´ at(druga i četvrta koordinatna četvrtina). Time se određuje negativni predznak dobivenog centrifugalnog momenta inercije. Ispod su sheme s različitim orijentacijama pravokutnog trougla u odnosu na CO, paralelno sa stranicama, za koje je označen znak.
Prilikom provjere čvrstoće dijelova konstrukcija moramo se susresti s presjecima prilično složenog oblika, za koje je nemoguće izračunati moment inercije na tako jednostavan način kao što smo koristili za pravougaonik i krug.
Takav dio može biti, na primjer, Bik (slika 5 a) prstenasti dio cijevi za savijanje (avionske konstrukcije) (Sl. 5, b), prstenasti dio vrata osovine ili još složeniji dijelovi. Svi ovi dijelovi mogu se podijeliti na najjednostavnije, kao što su pravokutnici, trouglovi, krugovi itd. Može se pokazati da je moment inercije tako složene figure zbir momenata inercije dijelova na koje je dijelimo.
Sl.5. Sekcije tipa Bik - a) i prsten b)
Poznato je da je moment inercije bilo koje figure oko ose at— at jednako:
gdje z— udaljenost elementarnih površina od ose at—at.
Preuzeto područje dijelimo na četiri dijela: , , i . Sada, prilikom izračunavanja momenta inercije, moguće je grupisati članove u integrandu tako da se zasebno izvrši sumiranje za svaku od četiri odabrana područja, a zatim se te sume sabiraju. Vrijednost integrala se od ovoga neće promijeniti.
Naš integral će biti podijeljen na četiri integrala, od kojih će svaki pokrivati jedno od područja, , i :
Svaki od ovih integrala predstavlja moment inercije odgovarajućeg dijela površine oko ose at— at; Zbog toga
gdje je moment inercije oko ose at — at područje, - isto za područje itd.
Dobiveni rezultat može se formulirati na sljedeći način: moment inercije složene figure jednak je zbroju momenata inercije njenih sastavnih dijelova. Dakle, moramo biti u mogućnosti izračunati moment inercije bilo koje figure u odnosu na bilo koju os koja leži u njegovoj ravni.
Rješenje ovog problema je sadržaj ovog i naredna dva intervjua.
Momenti inercije oko paralelnih ose.
Zadatak - dobiti najjednostavnije formule za izračunavanje momenta inercije bilo koje figure oko bilo koje ose - bit će riješen u nekoliko koraka. Ako uzmemo niz osi paralelnih jedna s drugom, ispada da se lako mogu izračunati momenti inercije figure u odnosu na bilo koju od ovih osa, znajući njen moment inercije oko ose koja prolazi kroz težište figure. paralelno sa odabranim osama.
Fig.1. Proračunski model za određivanje momenata inercije za paralelne ose.
Osi koje prolaze kroz centar gravitacije će se zvati centralne osovine. Uzmimo (sl.1) proizvoljnu cifru. Nacrtajte centralnu osu OU, moment inercije oko ove ose će se zvati . Nacrtajte os u ravnini figure paralelno sjekire at na udaljenosti od nje. Nađimo odnos između i - momenta inercije oko ose. Da bismo to učinili, pišemo izraze za i . Podijelimo površinu figure na područja; udaljenost svake takve platforme do osi at i nazovi i . Onda
Sa slike 1 imamo:
Prvi od ova tri integrala je moment inercije oko centralne ose OU. Drugi je statički moment oko iste ose; jednaka je nuli, pošto je osa at prolazi kroz težište figure. Konačno, treći integral jednak je površini figure F. dakle,
| (1) |
tj. moment inercije oko bilo koje osi jednak je momentu inercije oko središnje ose, povučene paralelno datoj, plus umnožak površine figure na kvadrat udaljenosti između sjekire.
To znači da je naš zadatak sada sveden na izračunavanje samo centralnih momenata inercije; ako ih poznajemo, možemo izračunati moment inercije oko bilo koje druge ose. Iz formule (1) slijedi da centralno moment inercije je najmanje među momentima inercije oko paralelnih osa i za njega dobijamo:
Naći ćemo i centrifugalni moment inercije oko osa paralelnih centralnim, ako je poznat (slika 1). Pošto po definiciji
gdje: , onda slijedi
Pošto su posljednja dva integrala statički momenti površine oko centralnih ose OU i Oz onda nestaju i stoga:
| (2) |
Centrifugalni moment inercije oko sistema međusobno okomitih osa paralelnih sa centralnim jednak je centrifugalnom momentu inercije oko ovih centralnih osa plus proizvod površine figure na koordinate njenog centra gravitacije u odnosu na nove ose.
Odnos između momenata inercije pri okretanju osi.
Možete nacrtati onoliko centralnih osa koliko želite. Pitanje je da li je moguće izraziti moment inercije oko bilo koje centralne ose u zavisnosti od momenta inercije oko jedan ili dva siguran sjekire. Da bismo to učinili, pogledajmo kako će se momenti inercije promijeniti oko dvije međusobno okomite ose kada se rotiraju pod kutom.
Uzmite bilo koju figuru i provucite kroz njeno težište O dvije međusobno okomite ose OU i Oz(Sl.2).
Fig.2. Proračunski model za određivanje momenata inercije za rotirane ose.
Upoznajmo aksijalne momente inercije oko ovih osa , , kao i centrifugalni moment inercije . Nacrtajmo drugi sistem koordinatnih osa i nagnutih prema prvom pod uglom; pozitivan smjer ovog ugla će se uzeti u obzir kada se osi rotiraju oko tačke O u smeru suprotnom od kazaljke na satu. Porijeklo O spasiti. Izrazimo momente u odnosu na drugi sistem koordinatnih osa i , kroz poznate momente inercije i .
Napišimo izraze za momente inercije oko ovih osa:
Slično:
Da biste riješili probleme, možda će vam trebati formule za prijelaz s jedne ose na drugu za centrifugalni moment inercije. Prilikom okretanja osi (slika 2) imamo:
gdje su i izračunate po formulama (14.10); onda
Nakon transformacije dobijamo:
| (7) |
Dakle, da biste izračunali moment inercije oko bilo koje centralne ose, morate znati momente inercije i o sistemu bilo koje dvije međusobno okomite centralne ose OU i Oz, centrifugalni moment inercije oko istih osa i ugao nagiba ose prema osi at.
Da biste izračunali vrijednosti \u003e, morate odabrati osi at i z i podijelite površinu figure na takve sastavne dijelove kako biste mogli napraviti ovaj proračun, koristeći samo formule za prijelaz sa središnjih osa svakog od sastavnih dijelova na ose paralelne s njima. Kako to učiniti u praksi bit će prikazano u nastavku na primjeru. Imajte na umu da se u ovom proračunu složene figure moraju podijeliti na takve elementarne dijelove, za koje su, ako je moguće, poznate vrijednosti središnjih momenata inercije u odnosu na sistem međusobno okomitih osa.
Imajte na umu da se tok derivacije i dobijeni rezultati ne bi promijenili da se ishodište koordinata uzima ne u težištu presjeka, već u bilo kojoj drugoj tački O. Dakle, formule (6) i (7) su formule za prelazak iz jednog sistema međusobno okomitih osa u drugi, zarotiranih za neki ugao, bez obzira da li su to centralne ose ili ne.
Iz formula (6) može se dobiti još jedan odnos između momenata inercije pri rotaciji osi. Zbrajanjem izraza za i dobijamo
tj. zbir momenata inercije oko bilo koje međusobno okomite osi at i z se ne mijenja kada se rotiraju. Zamijenivši posljednji izraz za i njihove vrijednosti, dobijamo:
gdje je udaljenost platformi dF sa tačke O. Količina je, kao što je već poznato, polarni moment inercije presjeka oko tačke O.
Dakle, polarni moment inercije presjeka u odnosu na bilo koju tačku jednak je zbroju aksijalnih momenata inercije u odnosu na međusobno okomite ose koje prolaze kroz ovu tačku. Stoga, ova suma ostaje konstantna kada se osi rotiraju. Ova zavisnost (14.16) može se koristiti za pojednostavljenje izračunavanja momenata inercije.
Dakle, za krug:
Pošto, po simetriji za kružnicu,
koji je gore dobijen integracijom.
Slično, za prstenasti dio s tankim zidovima možete dobiti:
Glavne ose inercije i glavni momenti inercije.
Kao što je već poznato, znajući za datu figuru centralne momente inercije , i , moguće je izračunati moment inercije u odnosu na bilo koju drugu osu.
U ovom slučaju, moguće je za glavni sistem osa uzeti takav sistem u kojem su formule značajno pojednostavljene. Naime, može se naći sistem koordinatnih osa za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli. U stvari, momenti inercije i su uvijek pozitivni, kao zbroj pozitivnih članova, dok je centrifugalni moment
može biti i pozitivan i negativan, budući da su uslovi zydF može biti drugačiji znak zavisno od znakova z i at za jednu ili drugu lokaciju. Tako da može biti nula.
Osi oko kojih centrifugalni moment inercije nestaje nazivaju se glavne osovine inercija. Ako se početak takvog sistema postavi u centar gravitacije figure, onda će to biti glavne centralne ose. Ove osi ćemo označiti i ; za njih
Nađimo pod kojim su uglom glavne ose nagnute u odnosu na centralne ose y i z (slika 198).
Fig.1. Proračunski model za određivanje položaja glavnih osi inercije.
U dobro poznatom izrazu za prijelaz sa osi yz na osi, za centrifugalni moment inercije kutu dajemo vrijednost; tada će se osi i , poklapati s glavnim, a centrifugalni moment inercije će biti jednak nuli:
| (1) |
Ovu jednačinu zadovoljavaju dvije vrijednosti , koje se razlikuju za 180°, ili dvije vrijednosti , koje se razlikuju za 90°. Dakle, ova jednačina nam daje poziciju dvije osovine formirajući pravi ugao između njih. To će biti glavne centralne ose i , za koje .
Koristeći ovu formulu, možemo koristiti poznate , i dobiti formule za glavne momente inercije i . Da bismo to učinili, ponovo koristimo izraze za aksijalne momente inercije opšti položaj. Oni definiraju vrijednosti i ako umjesto zamjene
| (2) |
Dobijene relacije se mogu koristiti u rješavanju problema. Jedan od glavnih momenata inercije je , drugi je .
Formule (2) se mogu pretvoriti u oblik bez vrijednosti . Izražavajući i kroz i zamjenjujući njihove vrijednosti u prvu formulu (2), dobijamo, dok vršimo zamjenu iz formule (1):
Zamjenjujući ovdje iz formule (1) razlomak sa
dobijamo
| (3) |
Isti izraz se može dobiti izvođenjem slične transformacije druge formule (3).
Za glavni sistem centralnih osa, iz kojeg možete ići na bilo koju drugu, ne možete uzeti OU i Oz, i glavne ose i ; tada se centrifugalni moment inercije () neće pojaviti u formulama. Označimo ugao koji formira os , (slika 2) sa glavnom osom , kroz . Za izračunavanje , i , prelazeći iz osi i , u prethodno pronađenim izrazima za , i , zamijenite ugao kroz , i , i — kroz , i . Kao rezultat, dobijamo:
Po svom obliku, ove formule su potpuno slične formulama za normalna i posmična naprezanja na dvije međusobno okomite površine u elementu koji je podvrgnut napetosti u dva smjera. Naznačit ćemo samo formulu koja nam omogućava da između dvije vrijednosti ugla odaberemo onaj koji odgovara odstupanju prvog glavna osovina(daje maks J) od početne pozicije ose at:
Sada konačno možemo formulirati šta treba učiniti da bismo na najjednostavniji način mogli izračunati moment inercije figure oko bilo koje ose. Potrebno je povući osi kroz centar gravitacije figure OU i Oz tako da, rastavljajući figuru na najjednostavnije dijelove, možemo lako izračunati momente koji prolaze na udaljenosti (slika 2) od centra gravitacije:
U mnogim slučajevima moguće je odmah nacrtati glavne ose figure; ako figura ima os simetrije, onda će to biti jedna od glavnih osi. Zaista, prilikom izvođenja formule, već smo se pozabavili integralom, koji je centrifugalni moment inercije presjeka oko osi at i z; dokazano je da ako os Oz je osa simetrije, ovaj integral nestaje.
Dakle, u ovom slučaju, osovine OU i Oz su main središnje osi inercije presjeka. dakle, osa simetrije- uvijek glavna centralna osa; sekunda Dom centralna os prolazi kroz centar gravitacije okomito na os simetrije.
Primjer. Naći momente inercije pravougaonika (slika 3) u odnosu na ose i jednaki su:
Momenti inercije oko osi i jednaki su:
Centrifugalni moment inercije je
Aksijalni (ili ekvatorijalni) moment inercije presjeka u odnosu na neku osu je zbir proizvoda elementarnih površina i kvadrata njihovih udaljenosti od ove ose, uzetih na cijeloj njegovoj površini F, tj.
Polarni moment inercije presjeka u odnosu na određenu tačku (pol) je zbir proizvoda elementarnih površina i kvadrata njihovih udaljenosti od ove tačke, uzetih na cijeloj njegovoj površini F, tj.
Centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na neke dvije međusobno okomite ose je zbir proizvoda elementarnih površina i njihovih udaljenosti od ovih osa, preuzetih po cijeloj njegovoj površini F, tj.
Momenti inercije se izražavaju u itd.
Aksijalni i polarni momenti inercije su uvijek pozitivni, jer njihovi izrazi pod predznacima integrala uključuju vrijednosti površina (uvijek pozitivne) i kvadrate udaljenosti tih područja od date ose ili pola.
Na sl. 9.5, a prikazuje presek sa površinom F i prikazuje y i z ose. Aksijalni momenti inercije ovog presjeka u odnosu na y osi:
Zbir ovih momenata inercije
i stoga
Dakle, zbir aksijalnih momenata inercije presjeka oko dvije međusobno okomite ose jednak je polarnom momentu inercije ovog presjeka oko točke presjeka ovih osa.
Centrifugalni momenti inercije mogu biti pozitivni, negativni ili nula. Tako, na primjer, centrifugalni moment inercije presjeka prikazanog na sl. 9.5, a, u odnosu na y osi i pozitivan je, jer su za glavni dio ovog odjeljka, koji se nalazi u prvom kvadrantu, vrijednosti i, prema tome, pozitivne.
Ako promijenite pozitivan smjer y-ose ili obrnuto (slika 9.5, b) ili zarotirate obje ove ose za 90 ° (slika 9.5, c), tada će centrifugalni moment inercije postati negativan (njegov apsolutni vrijednost se neće promijeniti), budući da će se glavni dio sekcije tada nalaziti u kvadrantu čije tačke imaju pozitivne y-koordinate i negativne z-koordinate. Ako su pozitivni smjerovi obje ose obrnuti, to neće promijeniti ni predznak ni veličinu centrifugalnog momenta inercije.
Zamislite figuru koja je simetrična oko jedne ili više osa (slika 10.5). Nacrtajmo osi tako da se barem jedna od njih (u ovom slučaju y-osa) poklapa sa osom simetrije figure. Svako mjesto koje se nalazi desno od ose odgovara u ovom slučaju istom mjestu koje se nalazi simetrično u odnosu na prvu, ali lijevo od y-ose. Centrifugalni moment inercije svakog para tako simetrično postavljenih platformi jednak je:
dakle,
Dakle, centrifugalni moment inercije presjeka oko osi, od kojih se jedna ili obje poklapaju s njegovim osama simetrije, jednak je nuli.
Aksijalni moment inercije složenog presjeka oko određene ose jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova oko iste ose.
Slično, centrifugalni moment inercije složenog presjeka oko bilo koje dvije međusobno okomite ose jednak je zbroju centrifugalnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova oko istih osa. Također, polarni moment inercije složenog presjeka u odnosu na određenu tačku jednak je zbiru polarnih momenata inercije njegovih sastavnih dijelova u odnosu na istu tačku.
Treba imati na umu da se momenti inercije izračunati u odnosu na različite ose i tačke ne mogu zbrajati.
tijelo m po kvadratnoj udaljenosti d između osovina:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)gdje m- ukupna tjelesna težina.
Na primjer, moment inercije štapa oko ose koja prolazi kroz njegov kraj je:
J \u003d J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Aksijalni momenti inercije nekih tijela
| Tijelo | Opis | Položaj osovine a | Moment inercije J a |
|---|---|---|---|
| Materijalna tačka mase m | Na daljinu r sa tačke, fiksno | ||
| Šuplji cilindar tankih zidova ili prsten radijusa r i mase m | Osa cilindra | m r 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Puni polumjer cilindra ili diska r i mase m | Osa cilindra | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) | |
| Šuplji masni cilindar debelih zidova m sa spoljnim radijusom r 2 i unutrašnji radijus r 1 | Osa cilindra | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) | |
| Čvrsta dužina cilindra l, radijus r i mase m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \preko 4)m\cdot r^(2)+(1 \preko 12)m\cdot l^(2)) | ||
| Dužina šupljeg cilindra tankog zida (prstena). l, radijus r i mase m | Osa je okomita na cilindar i prolazi kroz njegovo središte mase | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \preko 2)m\cdot r^(2)+(1 \preko 12)m\cdot l^(2)) | |
| Ravno tanka dužina štapa l i mase m | Osa je okomita na štap i prolazi kroz njegovo središte mase | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Ravno tanka dužina štapa l i mase m | Os je okomita na štap i prolazi kroz njegov kraj | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Tankozidna sfera polumjera r i mase m | Osa prolazi kroz centar sfere | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| polumjer lopte r i mase m | Osa prolazi kroz centar lopte | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Poluprečnik konusa r i mase m | konus osi | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Jednakokraki trougao sa visinom h, baza a i težinu m | Osa je okomita na ravan trougla i prolazi kroz vrh | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Pravougli trokut sa stranom a i težinu m | Osa je okomita na ravan trougla i prolazi kroz centar mase | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| Kvadrat sa stranom a i težinu m | Osa je okomita na ravan kvadrata i prolazi kroz centar mase | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| Pravougaonik sa stranicama a i b i težinu m | Osa je okomita na ravan pravougaonika i prolazi kroz centar mase | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| Regularni n-ugao poluprečnika r i težinu m | Osa je okomita na ravan i prolazi kroz centar mase | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left) | |
| Torus (šuplji) sa polumjerom kružnice vodilice R, polumjer generirajuće kružnice r i težinu m | Os je okomita na ravan vodeće kružnice torusa i prolazi kroz centar mase | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\desno)) |
Izvođenje formula
Tankozidni cilindar (prsten, obruč)
Izvođenje formule
Moment inercije tijela jednak je zbiru momenata inercije njegovih sastavnih dijelova. Podijelimo tankozidni cilindar na elemente s masom dm i momente inercije DJ i. Onda
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (jedan) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)Budući da su svi elementi cilindra tankih stijenki na istoj udaljenosti od ose rotacije, formula (1) se pretvara u oblik
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\suma R^(2)dm=R^(2)\suma dm=mR^(2).)Cilindar debelih stijenki (prsten, obruč)
Izvođenje formule
Neka postoji homogeni prsten sa spoljnim radijusom R, unutrašnji radijus R 1, debljina h i gustina ρ. Izlomimo ga na tanke kolutiće debljine dr. Masa i moment inercije tankog prstena poluprečnika r bice
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)Moment inercije debelog prstena nalazimo kao integral
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\lijevo.(\frac (r^(4))(4))\desno|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\desno)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\desno)\lijevo(R^(2)+R_(1)^(2)\desno).)Pošto su zapremina i masa prstena jednake
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \lijevo(R^(2)-R_(1)^(2)\desno)h,)dobijamo konačnu formulu za moment inercije prstena
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\desno).)Homogeni disk (puni cilindar)
Izvođenje formule
Razmatrajući cilindar (disk) kao prsten sa nultim unutrašnjim radijusom ( R 1 = 0 ), dobijamo formulu za moment inercije cilindra (diska):
J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)čvrsti konus
Izvođenje formule
Podijelite konus na tanke diskove debljine dh okomito na osu stošca. Radijus takvog diska je
r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)gdje R je poluprečnik osnove stošca, H je visina stošca, h je udaljenost od vrha konusa do diska. Masa i moment inercije takvog diska će biti
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)Integrisanje, dobijamo
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \desno)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\desno)^(4)\lijevo.(\frac (h^(5))(5))\desno|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\lijevo(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\desno)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(poravnano)))Čvrsta uniformna lopta
Izvođenje formule
Podijelite lopticu na tanke diskove dh, okomito na os rotacije. Radijus takvog diska koji se nalazi na visini h iz centra sfere, nalazimo po formuli
r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)Masa i moment inercije takvog diska će biti
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\desno)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\desno)dh.)Moment inercije lopte nalazi se integracijom:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R) )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\desno)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\desno) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(usmjeren)))sfera tankih zidova
Izvođenje formule
Za izvođenje koristimo formulu za moment inercije homogene lopte poluprečnika R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)Izračunajmo koliko će se promijeniti moment inercije lopte ako se, pri konstantnoj gustoći ρ, njen polumjer beskonačno poveća mala količina dR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\desno)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\desno)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(usmjeren)))Tanka šipka (os prolazi kroz centar)
Izvođenje formule
Podijelimo štap na male fragmente dužine dr. Masa i moment inercije takvog fragmenta je
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)Integrisanje, dobijamo
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\levo.(\frac (r^(3))(3))\desno|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2).)Tanka šipka (os prolazi kroz kraj)
Izvođenje formule
Prilikom pomicanja osi rotacije od sredine štapa do njegovog kraja, težište štapa se pomiče u odnosu na os za razdaljinu ⁄2. Prema Steinerovoj teoremi, novi moment inercije će biti jednak
J \u003d J 0 + m r 2 \u003d J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\levo((\frac (l)(2))\desno)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Bezdimenzionalni momenti inercije planeta i satelita
Od velikog značaja za proučavanje unutrašnje strukture planeta i njihovih satelita su njihovi bezdimenzijski momenti inercije. Bezdimenzionalni moment inercije tijela poluprečnika r i mase m jednak je omjeru njegovog momenta inercije oko ose rotacije i momenta inercije materijalna tačka istu masu u odnosu na fiksna osovina rotacija koja se nalazi na udaljenosti r(jednak gospodin 2). Ova vrijednost odražava distribuciju mase po dubini. Jedna od metoda za njegovo mjerenje na planetama i satelitima je određivanje Doplerovog pomaka radio signala koji AMS prenosi oko određene planete ili satelita. Za sferu tankih zidova, bezdimenzionalni moment inercije jednak je 2/3 (~0,67), za homogenu kuglu - 0,4, a općenito što je manja, to je veća masa tijela koncentrisana u njenom centru. Na primjer, Mjesec ima bezdimenzionalni moment inercije blizu 0,4 (jednako 0,391), pa se pretpostavlja da je relativno homogen, njegova gustina se malo mijenja sa dubinom. Bezdimenzionalni moment inercije Zemlje manji je od momenta homogene lopte (jednak 0,335), što je argument u prilog postojanja gustog jezgra u njoj.
centrifugalni moment inercije
Centrifugalni momenti inercije tijela u odnosu na osi pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema su sljedeće veličine:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)gdje x , y i z- koordinate malog elementa tijela sa zapreminom dV, gustina ρ i masa dm .
Osa OX se zove glavna osa inercije tela ako su centrifugalni momenti inercije Jxy i Jxz su istovremeno nula. Kroz svaku tačku tijela mogu se povući tri glavne osi inercije. Ove ose su međusobno okomite jedna na drugu. Momenti inercije tijela relativno tri glavna osi inercije povučene u proizvoljnoj tački O tijela se nazivaju glavni momenti inercije dato telo.
Glavne osi inercije koje prolaze kroz centar mase tijela nazivaju se glavne centralne osi inercije tela, a momenti inercije oko ovih osa su njegovi main centralne tačke inercija. Osa simetrije homogenog tijela uvijek je jedna od njegovih glavnih centralnih osi inercije.
Geometrijski momenti inercije
Geometrijski moment inercije zapremine
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)gde, kao i ranije r- udaljenost od elementa dV to axis a .
Geometrijski moment inercije površine u odnosu na osu - geometrijska karakteristika tijela, izražena formulom:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)gdje se integracija vrši preko površine S, a dS je element ove površine.
Dimenzija J Sa- dužina na četvrtu potenciju ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), odnosno SI jedinica je 4. U građevinskim proračunima, literaturi i asortimanima valjanog metala često se navodi u cm 4.
Kroz geometrijski moment inercije površine izražava se moment otpora presjeka:
W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)Evo rmax- maksimalna udaljenost od površine do ose.
| Geometrijski momenti inercije površine nekih figura | |
|---|---|
| Rectangle Height h (\displaystyle h) i širina b (\displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Visina i širina pravokutnog kutijastog presjeka duž vanjskih kontura H (\displaystyle H) i B (\displaystyle B), i za interne h (\displaystyle h) i b (\displaystyle b) respektivno | J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Prečnik kruga d (\displaystyle d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Moment inercije oko aviona
moment inercije čvrsto telo u odnosu na određenu ravninu naziva se skalarna vrijednost, jednaka zbroju proizvoda mase svake tačke tijela i kvadrata udaljenosti od ove tačke do ravnine koja se razmatra.
Ako kroz proizvoljnu tačku O (\displaystyle O) ponašanje koordinatne ose x , y , z (\displaystyle x,y,z), zatim momenti inercije u odnosu na koordinatne ravni x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz) i zO x (\displaystyle zOx)će se izraziti formulama:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\suma _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)U slučaju čvrstog tijela, sumiranje je zamijenjeno integracijom.
Centralni moment inercije
Centralni moment inercije (moment inercije oko tačke O, moment inercije oko pola, polarni moment inercije) J O (\displaystyle J_(O)) je vrijednost određena izrazom:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)Centralni moment inercije može se izraziti kroz glavne aksijalne momente inercije, kao i kroz momente inercije oko ravni:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \desno)) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Tenzor inercije i elipsoid inercije
Moment inercije tijela oko proizvoljne ose koja prolazi kroz centar mase i ima smjer zadan jediničnim vektorom s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\desno\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\right\vert=1), može se predstaviti kao kvadratni (bilinearni) oblik:
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad ) (1)gdje je tenzor inercije. Matrica tenzora inercije je simetrična, ima dimenzije 3 × 3 (\displaystyle 3\puta 3) a sastoji se od komponenti centrifugalnih momenata:
Izborom odgovarajućeg koordinatnog sistema, matrica tenzora inercije može se svesti na dijagonalni oblik. Da bismo to učinili, moramo riješiti problem svojstvenih vrijednosti za tenzorsku matricu J ^ (\displaystyle (\šešir(J))):
gdje Q ^ (\displaystyle (\šešir(Q)))- ortogonalna matrica prijelaza na vlastitu bazu tenzora inercije. U vlastitoj osnovi, koordinatne ose su usmjerene duž glavnih osa tenzora inercije i također se poklapaju s glavnim poluosama elipsoida tenzora inercije. Količine J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z)) su glavni momenti inercije. Izraz (1) u vlastitom koordinatnom sistemu ima oblik:
odakle se dobija jednadžba elipsoida u sopstvenim koordinatama. Deljenje obe strane jednačine sa I s (\displaystyle I_(s))
i vršenje zamjena:
ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \preko (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \preko (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \preko (\sqrt (I_(s)))),)dobijamo kanonski oblik elipsoidne jednadžbe u koordinatama ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)Udaljenost od centra elipsoida do neke od njegovih tačaka povezana je sa vrijednošću momenta inercije tijela duž prave linije koja prolazi kroz centar elipsoida i ovu tačku.
Hajde da uvedemo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem O xy. Razmotrimo proizvoljan presek (zatvoreni region) sa površinom A u koordinatnoj ravni (slika 1).
statične momente
Tačka C sa koordinatama (x C , y C)
pozvao težište presjeka.
Ako koordinatne osi prolaze kroz centar gravitacije presjeka, tada su statički momenti presjeka jednaki nuli:
Aksijalni momenti inercije presjeci u odnosu na ose x i y nazivaju se integrali oblika:
Polarni moment inercije presek u odnosu na ishodište naziva se integralom oblika:
centrifugalni moment inercije sekcija se naziva integralom oblika:
Glavne osi inercije presjeka nazivaju se dvije međusobno okomite ose u odnosu na koje je I xy =0. Ako je jedna od međusobno okomitih osa osa simetrije presjeka, tada su I xy = 0 i, stoga, ove osi su glavne. Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne osi inercije presjeka
2. Steiner-Huygensova teorema o paralelnom prevođenju osa
Steiner-Huygensova teorema (Steinerova teorema).
Aksijalni moment inercije presjeka I u odnosu na proizvoljnu fiksnu osu x jednak je zbiru aksijalnog momenta inercije ovog presjeka I sa relativnom osom x * paralelnom s njom, koja prolazi kroz centar mase presjeka , i umnožak površine presjeka A puta kvadrata udaljenosti d između dvije ose.
Ako su poznati momenti inercije I x i I y u odnosu na ose x i y, tada se u odnosu na osi ν i u zarotirane pod uglom α, aksijalni i centrifugalni momenti inercije izračunavaju po formulama:
Iz gornjih formula se može vidjeti da
One. zbir aksijalnih momenata inercije se ne mijenja kada se rotiraju međusobno okomite ose, odnosno ose u i v, u odnosu na koje je centrifugalni moment inercije presjeka jednak nuli, a aksijalni momenti inercije Í u i I v imaju ekstremne vrijednosti max ili min, nazivaju se glavne ose presjeka. Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne ose preseka. Za simetrične presjeke, njihove ose simetrije su uvijek glavne centralne ose. Položaj glavnih osi presjeka u odnosu na druge ose određuje se omjerom:
gdje je α 0 ugao za koji se x i y osi moraju zarotirati kako bi postale glavne (uobičajeno je da se pozitivan ugao odvoji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, negativan - u smjeru kazaljke na satu). Aksijalni momenti inercije oko glavnih osa nazivaju se glavni momenti inercije:
znak plus ispred drugog člana odnosi se na maksimalni moment inercije, a znak minus na minimum.