U nastavku se daje nekoliko kriterijuma za linearnu zavisnost i prema tome linearnu nezavisnost vektorski sistemi.

Teorema. (obavezno i dovoljno stanje linearna zavisnost vektora.)

Sistem vektora je zavisan ako i samo ako je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema.

Dokaz. Need. Neka je sistem linearno zavisan. Zatim, po definiciji, predstavlja nulti vektor na netrivijalan način, tj. postoji netrivijalna kombinacija ovog sistema vektora jednaka nultom vektoru:

pri čemu barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka , .

Podijelite oba dijela prethodne jednakosti sa ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnožite sa:

Označiti: , gdje .

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema, itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema:

Pomaknimo vektor desno od ove jednakosti:

Pošto je koeficijent vektora , onda imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sistemom vektora , što znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan, itd.

Teorema je dokazana.

Posljedica.

1. Sistem vektora vektorski prostor je linearno nezavisna ako i samo ako nijedan od vektora sistema nije linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema.

2. Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Dokaz.

1) Nužnost. Neka je sistem linearno nezavisan. Pretpostavimo suprotno i postoji sistemski vektor koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema. Zatim, prema teoremi, sistem je linearno zavisan i dolazimo do kontradikcije.

Adekvatnost. Neka nijedan od vektora sistema ne bude izražen u terminima drugih. Pretpostavimo suprotno. Neka je sistem linearno zavisan, ali onda iz teoreme proizilazi da postoji sistemski vektor koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema i opet dolazimo do kontradikcije.

2a) Neka sistem sadrži nulti vektor. Pretpostavimo radi određenosti da je vektor :. Zatim jednakost

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema. Iz teoreme slijedi da je takav sistem vektora linearno zavisan, itd.

Imajte na umu da se ova činjenica može dokazati direktno iz linearno zavisnog sistema vektora.

Budući da , sljedeća jednakost je očigledna

Ovo je netrivijalan prikaz nultog vektora, što znači da je sistem linearno zavisan.

2b) Neka sistem ima dva jednaka vektora. Neka za . Zatim jednakost

One. prvi vektor je linearno izražen u terminima ostalih vektora istog sistema. Iz teoreme slijedi da ovaj sistem linearno zavisna, itd.

Slično kao i prethodna, ova tvrdnja se takođe može dokazati direktno iz definicije linearno zavisnog sistema.Tada ovaj sistem netrivijalno predstavlja nulti vektor

odakle slijedi linearna zavisnost sistema .

Teorema je dokazana.

Posljedica. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno nezavisan ako i samo ako je ovaj vektor različit od nule.

3.3. Linearna nezavisnost vektora. Osnova.

Linearno kombinacija vektorski sistemi

zove vektor

gdje je a 1 , a 2 , ..., a n - proizvoljni brojevi.

Ako sve a i = 0, tada se poziva linearna kombinacija trivijalan . U ovom slučaju, očigledno

Definicija 5.

Ako je za sistem vektora postoji netrivijalna linearna kombinacija (barem jedna a i ¹ 0) jednako nultom vektoru: tada se sistem vektora naziva linearno zavisan. Ako je jednakost (1) moguća samo ako je sve a i =0, tada se sistem vektora zove linearno nezavisni .

Teorema 2 (Uslovi linearne zavisnosti).

Definicija 6.

Iz teoreme 3 slijedi da ako je baza data u prostoru, onda dodavanjem proizvoljnog vektora na nju, dobivamo linearno zavisni sistem vektori. U skladu sa Teorema 2 (1) , jedan od njih (može se pokazati da se vektor ) može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih:

.

Definicija 7.

Brojevi pozvao koordinate vektori u bazi (označeno

Ako se vektori razmatraju na ravni, tada će osnova biti uređeni par nekolinearnih vektora

a koordinate vektora u ovoj osnovi su par brojeva:

Napomena 3. To se može pokazati za datu osnovu, koordinate vektora su jednoznačno određene . Iz ovoga, posebno, proizilazi da ako su vektori jednaki, onda su njihove odgovarajuće koordinate jednake, i obrnuto .

Dakle, ako je baza data u prostoru, onda svaki vektor prostora odgovara uređenoj trojci brojeva (vektorske koordinate u ovoj bazi) i obrnuto: svaka trojka brojeva odgovara vektoru.

Na ravni se uspostavlja slična korespondencija između vektora i parova brojeva.

Teorema 4 (Linearne operacije kroz koordinate vektora).

Ako u nekoj osnovi i a je proizvoljan broj, onda u ovoj osnovi

Drugim riječima:

kada se vektor pomnoži sa brojem, njegove koordinate se množe s tim brojem ;

kada se dodaju vektori, dodaju se njihove odgovarajuće koordinate .

Primjer 1 . U nekim osnovama, vektoriimaju koordinate

Pokažite da vektori čine osnovu i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Vektori čine osnovu ako su nekoplanarni, dakle (prema Teorema 3(2) ) su linearno nezavisne.

Po definiciji 5 to znači da je jednakost

moguće samo kadax = y = z = 0.

Definicija 1. Sistem vektora se naziva linearno zavisnim ako se jedan od vektora sistema može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih vektora sistema, a inače linearno nezavisan.

Definicija 1´. Sistem vektora se naziva linearno zavisnim ako postoje brojevi With 1 , With 2 , …, With k , nisu svi jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija vektora sa datim koeficijentima jednaka nultom vektoru: = , inače se sistem naziva linearno nezavisnim.

Pokažimo da su ove definicije ekvivalentne.

Neka je zadovoljena definicija 1, tj. jedan od vektora sistema jednak je linearnoj kombinaciji ostalih:

Linearna kombinacija sistema vektora jednaka je nultom vektoru, a nisu svi koeficijenti ove kombinacije jednaki nuli, tj. definicija 1´ vrijedi.

Neka je definicija 1' zadovoljena. Linearna kombinacija sistema vektora je , a nisu svi koeficijenti kombinacije jednaki nuli, na primjer, koeficijenti vektora .

Jedan od vektora sistema prikazali smo kao linearnu kombinaciju ostalih, tj. definicija 1 je ispunjena.

Definicija 2. Jedinični vektor ili ort se zove n-dimenzionalni vektor, koji i th koordinata je jednaka jedan, a ostale su nula.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Različiti jedinični vektori n-dimenzionalni prostori su linearno nezavisni.

Dokaz. Neka je linearna kombinacija ovih vektora sa proizvoljnim koeficijentima jednaka nultom vektoru.

Iz ove jednakosti slijedi da su svi koeficijenti jednaki nuli. Imamo kontradikciju.

Svaki vektor n-dimenzionalni prostor ā (a 1 , a 2 , ..., a n ) može se predstaviti kao linearna kombinacija jedinični vektori sa koeficijentima jednakim koordinatama vektora

Teorema 2. Ako sistem vektora sadrži nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

Dokaz. Neka je zadan sistem vektora i jedan od vektora je nula, na primjer = . Tada je sa vektorima ovog sistema moguće sastaviti linearnu kombinaciju jednaku nultom vektoru, a neće svi koeficijenti biti nula:

Dakle, sistem je linearno zavisan.

Teorema 3. Ako je neki podsistem sistema vektora linearno zavisan, onda je ceo sistem linearno zavisan.

Dokaz. Dat sistem vektora. Pretpostavimo da je sistem linearno zavisan, tj. postoje brojevi With 1 , With 2 , …, With r , nisu svi jednaki nuli, tako da je = . Onda

Ispostavilo se da je linearna kombinacija vektora čitavog sistema jednaka, a nisu svi koeficijenti ove kombinacije jednaki nuli. Dakle, sistem vektora je linearno zavisan.

Posljedica. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, tada je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

Dokaz.

Pretpostavimo suprotno, tj. neki podsistem je linearno zavisan. Iz teoreme slijedi da je cijeli sistem linearno zavisan. Došli smo do kontradikcije.

Teorema 4 (Steinitzova teorema). Ako je svaki od vektora linearna kombinacija vektora i m>n, tada je sistem vektora linearno zavisan.

Posljedica. U bilo kom sistemu n-dimenzionalnih vektora ne može biti više od n linearno nezavisnih vektora.

Dokaz. Svaki n-dimenzionalni vektor se izražava kao linearna kombinacija n jediničnih vektora. Stoga, ako sistem sadrži m vektori i m>n, onda je, prema teoremi, ovaj sistem linearno zavisan.

Neka L je linearni prostor iznad polja R . Neka A1, a2, ... , an (*) konačan sistem vektora iz L . Vector AT = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) zvao Linearna kombinacija vektora ( *), ili recimo vektor AT linearno izraženo kroz sistem vektora (*).

Definicija 14. Sistem vektora (*) se zove linearno zavisna , ako i samo ako postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se poziva sistem (*). linearno nezavisna.

Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti.

10. Ako sistem vektora sadrži nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

Zaista, ako je u sistemu (*) vektor A1 = 0, Zatim 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ako sistem vektora sadrži dva proporcionalna vektora, onda je on linearno zavisan.

Neka A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× ALI N= 0.

30. Konačan sistem vektora (*) za n ³ 2 je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih vektora ovog sistema.

Þ Neka je (*) linearno zavisna. Tada postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× ALI N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + bn ALI N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn ALI N= 0 , tj. (*) je linearno zavisna.

Komentar. Koristeći posljednju osobinu, može se definirati linearna zavisnost i nezavisnost beskonačnog sistema vektora.

Definicija 15. Vektorski sistem A1, a2, ... , an , … (**) se poziva linearno zavisna, Ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. U suprotnom, poziva se sistem (**). linearno nezavisna.

40. Konačan sistem vektora je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od njegovih vektora ne može biti linearno izražen u terminima njegovih drugih vektora.

50. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, tada je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

60. Ako je neki podsistem datog sistema vektora linearno zavisan, onda je i cijeli sistem linearno zavisan.

Neka su data dva sistema vektora A1, a2, ... , an , … (16) i V1, v2, … , vs, … (17). Ako se svaki vektor sistema (16) može predstaviti kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sistema (17), onda kažemo da je sistem (17) linearno izražen kroz sistem (16).

Definicija 16. Dva sistema vektora se nazivaju ekvivalentan , ako je svaki od njih linearno izražen u terminima drugog.

Teorema 9 (osnovna teorema o linearnoj zavisnosti).

Neka i - dva krajnji sistemi vektori iz L . Ako je prvi sistem linearno nezavisan i linearno izražen u terminima drugog, onda N£s.

Dokaz. Pretvarajmo se to N> S. Prema teoremi

(21)

Kako je sistem linearno nezavisan, jednakost (18) w X1=x2=…=xN=0. Zamijenimo ovdje izraze vektora: …+=0 (19). Stoga (20). Uslovi (18), (19) i (20) su očigledno ekvivalentni. Ali (18) je zadovoljan samo kada X1=x2=…=xN=0. Pronađimo kada je jednakost (20) tačna. Ako su svi njegovi koeficijenti jednaki nuli, onda je to očigledno tačno. Izjednačavajući ih sa nulom, dobijamo sistem (21). Pošto ovaj sistem ima nulu, to

joint. Pošto je broj jednačina više broja nepoznanica, onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Prema tome, ima različitu od nule x10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti će biti tačna jednakost (18), što je u suprotnosti sa činjenicom da je sistem vektora linearno nezavisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. shodno tome, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sistema vektora konačna i linearno nezavisna, onda sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Sistem vektora se zove Maksimalni linearno nezavisni sistem vektora linearni prostor L , ako je linearno nezavisan, ali mu dodaje bilo koji vektor iz L nije uključen u ovaj sistem, postaje linearno zavisan.

Teorema 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno nezavisna sistema vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz proizilazi iz činjenice da su bilo koja dva maksimalna linearno nezavisna sistema vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da je bilo koji linearno nezavisan sistem vektora prostora L može se kompletirati do maksimalnog linearno nezavisnog sistema vektora ovog prostora.

primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora, svaki sistem koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno nezavisan.

2. U skupu svih komplanarnih geometrijskih vektora, bilo koja dva nekolinearna vektora čine maksimalni linearno nezavisan sistem.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora, svaki sistem od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno nezavisan.

4. U skupu svih polinoma, stepen je najviše N Sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, sistem polinoma 1, x, x2, …, xn Maksimalno je linearno nezavisna.

5. U skupu svih polinoma sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, primjeri maksimalnog linearno nezavisnog sistema su

a) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. Skup matrica dimenzija M´ N je linearni prostor(provjeri). Primer maksimalnog linearno nezavisnog sistema u ovom prostoru je sistem matrica E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Neka je zadan sistem vektora C1, c2, ... , up (*). Poziva se podsistem vektora iz (*). Maksimalno linearno nezavisno Podsistem sistemi ( *) , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sistema, postaje linearno zavisan. Ako je sistem (*) konačan, onda bilo koji od njegovih maksimalnih linearno nezavisnih podsistema sadrži isti broj vektora. (Dokaz sami.) Poziva se broj vektora u maksimalnom linearno nezavisnom podsistemu sistema (*). rang Ovaj sistem. Očigledno, ekvivalentni sistemi vektora imaju iste rangove.

Funkcije se pozivaju linearno nezavisna, ako

(dozvoljena je samo trivijalna linearna kombinacija funkcija, koja je identično jednaka nuli). Za razliku od linearne nezavisnosti vektora, ovdje je identitet linearne kombinacije nula, a ne jednakost. Ovo je razumljivo, jer jednakost linearne kombinacije sa nulom mora biti zadovoljena za bilo koju vrijednost argumenta.

Funkcije se pozivaju linearno zavisna, ako postoji skup konstanti različit od nule (nisu sve konstante jednake nuli) tako da (postoji netrivijalna linearna kombinacija funkcija koja je identično jednaka nuli).

Teorema.Da bi funkcije bile linearno zavisne, potrebno je i dovoljno da bilo koja od njih bude linearno izražena u terminima ostatka (predstavljena kao njihova linearna kombinacija).

Dokažite sami ovu teoremu, ona se dokazuje na isti način kao i slična teorema o linearnoj zavisnosti vektora.

Odrednica Vronskog.

Wronskyjeva determinanta za funkcije je uvedena kao determinanta čiji su stupci derivati ​​ovih funkcija od nule (same funkcije) do n-1. reda.

.

Teorema. Ako funkcije linearno zavisna, dakle

Dokaz. Budući da funkcije su linearno zavisne, onda je jedan od njih linearno izražen u smislu ostatka, npr.

Identitet se može razlikovati, dakle

Tada se prvi stupac Wronskyjeve determinante linearno izražava u smislu preostalih kolona, ​​tako da je Wronskyjeva determinanta identično jednaka nuli.

Teorema.Da bi se riješio linearni homogen diferencijalna jednadžba n. reda su linearno zavisne, potrebno je i dovoljno da.

Dokaz. Nužnost slijedi iz prethodne teoreme.

Adekvatnost. Hajde da popravimo neku tačku. Budući da su , tada su stupci determinante izračunati u ovoj tački linearno zavisni vektori.

, da su odnosi

Budući da je linearna kombinacija rješenja linearnog homogena jednačina je njegovo rješenje, onda možemo uvesti rješenje oblika

Linearna kombinacija rješenja sa istim koeficijentima.

Imajte na umu da za ovo rješenje zadovoljava nulte početne uslove, to slijedi iz gore napisanog sistema jednačina. Ali trivijalno rješenje linearne homogene jednačine također zadovoljava iste nulte početne uslove. Dakle, iz Cauchy teoreme slijedi da je uvedeno rješenje identično jednako trivijalnom, dakle,

pa su rješenja linearno zavisna.

Posljedica.Ako determinanta Wronskyja, izgrađena na rješenjima linearne homogene jednadžbe, nestane barem u jednoj tački, onda je identično jednaka nuli.

Dokaz. Ako , tada su rješenja linearno zavisna, dakle, .

Teorema.1. Za linearnu zavisnost rješenja potrebno je i dovoljno(ili ).

2. Za linearnu nezavisnost rješenja potrebno je i dovoljno .

Dokaz. Prva tvrdnja slijedi iz gore dokazane teoreme i posljedica. Druga tvrdnja se lako dokazuje kontradikcijom.

Neka su rješenja linearno nezavisna. Ako je , tada su rješenja linearno zavisna. Kontradikcija. shodno tome, .

Neka . Ako su rješenja linearno zavisna, onda , dakle, kontradikcija. Dakle, rješenja su linearno nezavisna.

Posljedica.Nestanak determinante Wronskyja barem u jednoj tački je kriterij za linearnu ovisnost rješenja linearne homogene jednadžbe.

Razlika determinante Wronskyja od nule je kriterij za linearnu neovisnost rješenja linearne homogene jednadžbe.

Teorema.Dimenzija prostora rješenja linearne homogene jednadžbe n-tog reda jednaka je n.

Dokaz.

a) Pokažimo da postoji n linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda. Razmotrite rješenja , zadovoljava sljedeće početne uslove:

...........................................................

Takva rješenja postoje. Zaista, po Cauchyjevom teoremu kroz tačku prolazi jedinu integralnu krivu - rješenje. Kroz tačku propušta rješenje kroz tačku

- rješenje , kroz tačku - rešenje.

Ova rješenja su linearno nezavisna, jer .

b) Pokažimo da je svako rješenje linearne homogene jednadžbe linearno izraženo u terminima ovih rješenja (njihova je linearna kombinacija).

Razmotrimo dva rješenja. Jedna je proizvoljna odluka sa početni uslovi . Fer omjer