Ekstremna tačka funkcije je tačka domene funkcije, u kojoj vrednost funkcije zauzima minimum ili maksimalna vrijednost. Vrijednosti funkcije u ovim točkama nazivaju se ekstremima (minimum i maksimum) funkcije.

Definicija. Dot x1 opseg funkcije f(x) se zove maksimalna tačka funkcije , ako je vrijednost funkcije u ovoj tački veća od vrijednosti funkcije u tačkama koje su joj dovoljno blizu, koje se nalaze desno i lijevo od nje (odnosno, nejednakost f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definicija. Dot x2 opseg funkcije f(x) se zove minimalna tačka funkcije, ako je vrijednost funkcije u ovoj tački manja od vrijednosti funkcije u tačkama koje su joj dovoljno blizu, koje se nalaze desno i lijevo od nje (odnosno, nejednakost f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). U ovom slučaju se kaže da funkcija ima u tački x2 minimum.

Recimo poentu x1 - maksimalna tačka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x1 funkcija se povećava, pa je derivacija funkcije veća od nule ( f "(x) > 0 ), iu intervalu nakon toga x1 funkcija se smanjuje, dakle derivat funkcije manje od nule ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Pretpostavimo i da je poenta x2 - minimalna tačka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x2 funkcija se smanjuje i derivacija funkcije je manja od nule ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija raste i derivacija funkcije je veća od nule ( f "(x) > 0 ). I u ovom slučaju u tački x2 derivacija funkcije je nula ili ne postoji.

Fermatova teorema ( neophodan znak postojanje ekstremuma funkcije). Ako tačka x0 - tačka ekstrema funkcije f(x), tada je u ovom trenutku derivacija funkcije jednaka nuli ( f "(x) = 0 ) ili ne postoji.

Definicija. Pozivaju se tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji kritične tačke .

Primjer 1 Razmotrimo funkciju.

U tački x= 0 derivacija funkcije je jednaka nuli, dakle, tačka x= 0 je kritična tačka. Međutim, kao što se može vidjeti na grafu funkcije, ona raste u cijelom domenu definicije, pa je tačka x= 0 nije tačka ekstrema ove funkcije.

Dakle, uslovi da je derivacija funkcije u tački jednaka nuli ili da ne postoji su neophodni uslovi za ekstrem, ali nisu dovoljni, jer se mogu dati i drugi primeri funkcija za koje su ovi uslovi zadovoljeni, ali funkcija nema ekstremu u odgovarajućoj tački. Dakle mora imati dovoljno indikacija, koji omogućavaju procjenu da li u određenoj kritičnoj tački postoji ekstremum, a koji - maksimum ili minimum.

Teorema (prvi dovoljan kriterij za postojanje ekstremuma funkcije). Kritična tačka x0 f(x) , ako derivacija funkcije promijeni predznak pri prolasku kroz ovu tačku, i ako se predznak promijeni iz "plus" u "minus", tada je maksimalna tačka, a ako iz "minus" u "plus", onda je minimalna tačka .

Ako je blizu tačke x0 , lijevo i desno od njega, derivacija zadržava svoj predznak, to znači da funkcija ili samo opada ili samo raste u nekom susjedstvu tačke x0 . U ovom slučaju, u tački x0 ne postoji ekstremum.

dakle, da biste odredili tačke ekstrema funkcije, trebate učiniti sljedeće :

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Izjednačite derivaciju sa nulom i odredite kritične tačke.
3. Mentalno ili na papiru označite kritične tačke na numeričkoj osi i odredite predznake derivacije funkcije u rezultujućim intervalima. Ako se predznak derivacije promijeni sa "plus" na "minus", tada je kritična tačka maksimalna tačka, a ako je iz "minus" u "plus", tada je kritična tačka minimalna tačka.
4. Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama ekstrema.

Primjer 2 Pronađite ekstreme funkcije .

Odluka. Nađimo derivaciju funkcije:

Izjednačite derivaciju sa nulom da biste pronašli kritične tačke:

.

Budući da za bilo koju vrijednost "x" imenilac nije jednak nuli, tada izjednačavamo brojnik sa nulom:

Imam jednu kritičnu tačku x= 3 . Određujemo predznak derivacije u intervalima ograničenim ovom točkom:

u rasponu od minus beskonačnosti do 3 - znak minus, odnosno funkcija se smanjuje,

u rasponu od 3 do plus beskonačno - znak plus, odnosno funkcija se povećava.

Odnosno, tačka x= 3 je minimalna tačka.

Pronađite vrijednost funkcije u minimalnoj tački:

Dakle, nalazi se tačka ekstrema funkcije: (3; 0) , i to je tačka minimuma.

Teorema (drugi dovoljan kriterij za postojanje ekstremuma funkcije). Kritična tačka x0 je tačka ekstrema funkcije f(x) , ako drugi izvod funkcije u ovoj tački nije jednak nuli ( f ""(x) ≠ 0 ), osim toga, ako je drugi izvod veći od nule ( f ""(x) > 0 ), tada maksimalna tačka, a ako je drugi izvod manji od nule ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Napomena 1. Ako u nekom trenutku x0 i prvi i drugi derivat nestaju, tada je u ovom trenutku nemoguće suditi o prisustvu ekstremuma na osnovu drugog dovoljnog znaka. U ovom slučaju morate koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije.

Napomena 2. Drugi dovoljan kriterijum za ekstremum funkcije je takođe neprimenljiv kada prvi izvod ne postoji u stacionarnoj tački (tada ne postoji ni drugi izvod). U ovom slučaju je također potrebno koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije.

Lokalna priroda ekstrema funkcije

Iz gornjih definicija slijedi da ekstremum funkcije ima lokalni karakter - to je najveći i najmanju vrijednost karakteristike u poređenju sa obližnjim vrijednostima.

Pretpostavimo da razmatrate svoju zaradu u vremenskom rasponu od jedne godine. Ako ste u maju zaradili 45.000 rubalja, a u aprilu 42.000 rubalja i u junu 39.000 rubalja, onda je zarada u maju maksimum funkcije zarade u odnosu na najbliže vrednosti. Ali u oktobru ste zaradili 71.000 rubalja, u septembru 75.000 rubalja, a u novembru 74.000 rubalja, tako da je oktobarska zarada minimalna funkcija zarade u odnosu na obližnje vrednosti. I lako možete vidjeti da je maksimum među vrijednostima april-maj-jun manji od minimuma septembar-oktobar-novembar.

Općenito govoreći, funkcija može imati nekoliko ekstrema u intervalu i može se ispostaviti da je bilo koji minimum funkcije veći od bilo kojeg maksimuma. Dakle, za funkciju prikazanu na gornjoj slici, .

Odnosno, ne treba misliti da su maksimum i minimum funkcije, redom, njena maksimalna i minimalna vrijednost na cijelom segmentu koji se razmatra. Na maksimalnoj tački funkcija ima najveću vrijednost samo u poređenju sa onim vrijednostima koje ima u svim tačkama koje su dovoljno blizu tačke maksimuma, a u minimalnoj tački najmanju vrijednost samo u poređenju sa onim vrijednostima koje ima u svim tačkama dovoljno blizu minimalnoj tački.

Stoga možemo precizirati koncept točaka ekstrema gore date funkcije i nazvati minimalne tačke lokalnim minimalnim tačkama, a maksimalne tačke - tačkama lokalni maksimum.

Zajedno tražimo ekstreme funkcije

Primjer 3

Rješenje Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Njegov derivat također postoji na cijeloj brojevnoj pravoj. Dakle, u ovom slučaju samo one na kojima , tj. služe kao kritične tačke. , odakle i . Kritične tačke i podijeliti cijelu domenu funkcije u tri intervala monotonosti: . U svakom od njih biramo po jednu kontrolnu tačku i u toj tački nalazimo predznak derivacije.

Za interval, referentna točka može biti: nalazimo . Uzimajući točku u intervalu, dobivamo , i uzimajući točku u intervalu, imamo . Dakle, u intervalima i , I u intervalu . Prema prvom dovoljan znak ekstrema, u tački nema ekstrema (pošto derivacija zadržava svoj predznak u intervalu ), au tački funkcija ima minimum (pošto derivacija mijenja predznak iz minusa u plus kada prolazi kroz ovu tačku). Pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcije: , i . U intervalu, funkcija se smanjuje, jer u ovom intervalu , a u intervalu se povećava, jer u ovom intervalu.

Da bismo razjasnili konstrukciju grafa, nalazimo tačke njegovog preseka sa koordinatnim osa. Kada dobijemo jednačinu čiji su korijeni i , tj. dvije točke (0; 0) i (4; 0) grafa funkcije pronađene. Koristeći sve primljene informacije, gradimo graf (vidi na početku primjera).

Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti online kalkulator derivata .

Primjer 4 Pronađite ekstreme funkcije i izgradite njen graf.

Domen funkcije je cijela brojevna prava, osim tačke, tj. .

Da skratimo studiju, možemo koristiti činjenicu da je ova funkcija parna, jer . Stoga je njegov graf simetričan u odnosu na os Oy a studija se može izvesti samo za interval .

Pronalaženje derivata i kritične tačke funkcije:

1) ;

2) ,

ali funkcija trpi prekid u ovoj tački, tako da ne može biti tačka ekstrema.

dakle, datu funkciju ima dvije kritične tačke: i . Uzimajući u obzir parnost funkcije, provjeravamo samo tačku po drugom dovoljnom znaku ekstremuma. Da bismo to učinili, nalazimo drugi izvod i odrediti njegov znak na : dobivamo . Budući da i , Tada je minimalna točka funkcije, dok .

Da bismo dobili potpuniju sliku grafa funkcije, otkrijmo njeno ponašanje na granicama domene definicije:

(ovdje simbol označava želju x na nulu na desnoj strani i x ostaje pozitivan; slično znači težnja x na nulu lijevo, i x ostaje negativan). Dakle, ako , Tada . Dalje, nalazimo

,

one. ako onda .

Graf funkcije nema točaka presjeka sa osama. Slika je na početku primjera.

Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti online kalkulator derivata .

Zajedno nastavljamo tražiti ekstreme funkcije

Primjer 8 Pronađite ekstreme funkcije .

Odluka. Pronađite domenu funkcije. Budući da nejednakost mora vrijediti, dobivamo iz .

Nađimo prvi izvod funkcije.

Znakovi lokalnog povećanja i smanjenja funkcije.

Jedan od glavnih zadataka proučavanja funkcije je pronaći intervale njenog povećanja i smanjenja. Ovakvu studiju je lako izvesti pomoću derivata. Hajde da formulišemo odgovarajuće tvrdnje.

Dovoljan kriterijum za povećanje funkcije. Ako je f'(x) > 0 u svakoj tački intervala I, tada funkcija f raste za I.

Dovoljan kriterij za smanjenje funkcije. Ako je f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Dokaz ovih karakteristika se izvodi na osnovu Lagrangeove formule (videti odeljak 19). Uzmite bilo koja dva broja x 1 i x2 iz intervala. Neka x 1 postoji broj s∈(h 1 , x 2 ), tako da

(1)

Broj c pripada intervalu I, pošto su tačke x 1 i x2 pripadaju I. Ako je f"(x)>0 za x∈I onda je f'(s)>0, pa prema tome F(x 1 )) — ovo slijedi iz formule (1), budući da je x 2-x1 >0. Ovo dokazuje da funkcija f raste na I. Ako je f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) proizlazi iz formule (1), budući da je x 2-x1 >0. Dokazujemo da funkcija f opada na I.

Vizuelno značenje znakova jasno je iz fizičkog zaključivanja (za određenost, razmotrite znak povećanja).

Neka tačka koja se kreće duž y-ose u trenutku t ima y-ordinatu y = f(t). Tada je brzina ove tačke u trenutku t jednaka f"(t) (vidi Sl. Instant Speed ). Ako je f’ (t)>0 u svakom trenutku iz intervala t, tada se tačka pomiče u pozitivnom smjeru y-ose, tj. 1 ). To znači da funkcija f raste na intervalu I.

Napomena 1.

Ako je funkcija f kontinuirana na bilo kojem od krajeva intervala povećanja (smanjenja), tada je ova tačka vezana za ovaj interval.

Napomena 2.

Za rješavanje nejednakosti f "(x)>0 i f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje ekstrema funkcije u tački.

Neophodan uslov za ekstrem

Funkcija g(x) u tački ima ekstrem (maksimum ili minimum) ako je funkcija definirana u dvostranom susjedstvu tačke i za sve tačke x neke površine: , odnosno, nejednakost

(u slučaju maksimuma) ili (u slučaju minimuma).

Ekstremum funkcije se može naći iz uslova: ako derivacija postoji, tj. izjednačiti prvi izvod funkcije sa nulom.

Dovoljno ekstremno stanje

1) Prvi dovoljan uslov:

a) f(x) je kontinuirana funkcija i definirana je u nekom susjedstvu tačke tako da je prvi izvod u datoj tački jednak nuli ili ne postoji.

b) f(x) ima konačan izvod u blizini specifikacije i kontinuiteta funkcije

c) derivacija zadržava određeni znak desno od tačke i lijevo od iste tačke, tada se tačka može okarakterisati na sljedeći način

Ovaj uslov nije baš zgodan, jer morate provjeriti puno uslova i zapamtiti tabelu, ali ako se ništa ne kaže o derivatima višeg reda, onda je to jedini način da se pronađe ekstremum funkcije.

2) Drugi dovoljan uslov

Ako funkcija g(x) ima drugi izvod i u nekom trenutku je prvi izvod jednak nuli, a drugi izvod različit od nule. Onda poenta Ekstrem funkcije g(x), a ako je , tada je tačka maksimum; ako , tada je tačka minimum.

Prvi dovoljan znak ekstremuma formuliše se na osnovu promene predznaka prve derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku. O drugom znaku ekstremuma biće reči u nastavku u § 6.4.

Teorema (prvi znak ekstremuma) : Ako aX 0 je kritična tačka funkcijey=f(x) iu nekom susjedstvu tačkeX 0 , prolazeći kroz njega s lijeva na desno, derivacija tada mijenja predznak u suprotanX 0 je tačka ekstrema. Štaviše, ako se predznak derivacije promijeni iz "+" u "-", ondaX 0 je maksimalna tačka, if(x 0 ) - maksimum funkcije, a ako derivacija promijeni predznak iz "-" u "+", tadaX 0 je minimalna tačka, if(x 0 ) je minimum funkcije.

Razmatrani ekstrem je lokalni(lokalnog) karaktera i dodiruje neku malu okolinu kritične tačke.

Ekstremne tačke i tačke diskontinuiteta dele domen definicije funkcije na intervale monotonosti.

Primjer 6.3. U primjeru 6.1. našli smo kritične tačke X 1 =0 i X 2 =2.

Hajde da saznamo da li je u ovim tačkama funkcija y=2x 3 -6x 2 +1 ima ekstrem. Zamjena u svom derivatu
vrijednosti X odveden lijevo i desno od tačke X 1 =0 u prilično bliskom susjedstvu, npr. x=-1 i x=1. dobiti . Pošto derivacija mijenja predznak iz "+" u "-", onda X 1 =0 je maksimalna tačka i maksimum funkcije
. Sada uzmimo dvije vrijednosti x=1 i x=3 iz susjedstva druge kritične tačke X 2 =2 . To se već pokazalo
, a
. Pošto derivacija mijenja predznak iz "-" u "+", onda X 2 =2 je minimalna tačka. I minimum funkcije
.

Pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije kontinuirane na segmentu
potrebno je izračunati njegovu vrijednost na svim kritičnim tačkama i na krajevima segmenta, a zatim odabrati najveću i najmanju od njih.

6.3. Znakovi konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije. Pregibne tačke

Poziva se graf diferencijabilne funkcijekonveksanna intervalu ako se nalazi ispod bilo koje svoje tangente na tom intervalu;konkavno (konveksno prema dolje), ako se nalazi iznad bilo koje tangente na intervalu.

6.3.1. Potrebni i dovoljni znaci konveksnosti i konkavnosti grafa

a) Potrebne karakteristike

Ako je graf funkcijey=f(x) konveksan na intervalu(a, b) , zatim drugi izvod
na ovom intervalu; ako je rasporedkonkavna na(a, b) , onda
na(a, b) .

P st graf funkcije y=f(x) konveksan (a, b) (Sl.6.3a). Ako tangenta klizi duž konveksne krivulje s lijeva na desno, tada se njen nagib smanjuje (
), istovremeno se smanjuje i nagib tangente, što znači da se prvi izvod smanjuje
na (a, b) . Ali tada izvod prvog izvoda kao izvod opadajuće funkcije mora biti negativan, tj
na (a, b) .

Ako je graf funkcije konkavna na (a, b) , onda, argumentirajući slično, vidimo da kada tangenta klizi duž krive (slika 6.3b), nagib tangente raste (
), s njim raste nagib, a time i izvod. I tada derivacija derivacije kao rastuća funkcija mora biti pozitivna, tj
na (a, b) .

b ) Dovoljne karakteristike

Ako je za funkcijuy=f(x) u svim tačkama nekog intervala će biti
, zatim graf funkcijekonkavna na ovom intervalu, i ako
, ondakonveksan .

"Pravilo kiše" : Da biste zapamtili koji znak druge derivacije povezati s konveksnim, a koji s konkavnim lukom grafa, preporučujemo da zapamtite: "plus voda" u konkavnoj rupi, "minus voda" - u konveksnoj rupi (slika 6.4).

Tačka na grafu kontinuirane funkcije u kojoj se konveksnost mijenja u konkavnost ili obrnuto naziva setačka pregiba .

Teorema (dovoljan kriterijum za postojanje prevojne tačke).

Ako a u tački funkcija
je dva puta diferencibilan i drugi izvod u ovoj tački jednak je nuli ili ne postoji, a ako pri prolasku kroz tačku drugi derivat
mijenja znak, zatim tačku postoji tačka pregiba. Koordinate prevojne tačke
.

Tačke u kojima drugi izvod nestaje ili ne postoji nazivaju se kritične tačke druge vrste.

Primjer 6.4. Naći prevojne tačke i odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti krive
(Gausova kriva).

R rješenje. Nalazimo prvi i drugi derivat:
,. Drugi derivat postoji za bilo koji . Izjednačite ga sa nulom i riješite rezultirajuću jednačinu
, gdje
, onda
, gdje
,
su kritične tačke druge vrste. Provjerimo promjenu predznaka druge derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku
. Ako a
, Na primjer,
, onda
, i ako
, Na primjer,
, onda
, odnosno drugi izvod mijenja predznak. dakle,
- apscisa prevojne tačke, njene koordinate
. Pošto je funkcija parna
, tačka
, simetrično prema tački
, također će biti prelomna tačka.

Neophodan znak ekstremuma se takođe može formulisati na sledeći način: ako je tačka M(x0, y 0) je lokalna tačka ekstrema diferencijabilne funkcije z = f(x, y), tada će vektor gradijenta ove funkcije u ovoj tački biti nulti vektor, tj. .

Tačke u kojima su parcijalni izvodi prvog reda funkcije dvije varijable jednaki nuli nazivaju se stacionarne tačke.

Da bismo formulirali dovoljan kriterij za ekstremum funkcije dvije varijable, potrebna nam je matrica diferencijala drugog reda ove funkcije, napisana u obliku kvadratnog oblika:

Kao i determinanta ove matrice, koja se može napisati u sljedećem obliku:

Dovoljan znak ekstremuma

Komentar. Ako je u stacionarnoj tački M: Δ = AB – Od 2= 0, tada je moguće prisustvo ekstremuma, ali to zahtijeva dodatna istraživanja.

PRIMJER: Pronađite ekstreme funkcije

Izračunajmo parcijalne izvode prvog i drugog reda ove funkcije:

Da bismo pronašli stacionarne tačke, izjednačavamo parcijalne izvode prvog reda sa nulom i dobijamo sistem jednačina:

ili:

Rešavanjem ovog sistema dobijamo dve stacionarne tačke M(0, 0) i N(1, 1/2).

Da bismo saznali prisutnost ekstrema i njihovih karaktera u tim točkama, izračunavamo vrijednosti parcijalnih izvoda drugog reda uzastopno u svakoj tački.

Za stacionarnu tačku M(0, 0) dobijamo:

Jer: Δ = AB – Od 2 = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстре­му­ма нет.

Za stacionarnu tačku N(1, 1/2) dobijamo:

Pošto je Δ = AB – Od 2= 108 > 0 i A= 6 > 0, zaključujemo da će u ovoj stacionarnoj tački postojati lokalni minimum ove funkcije. Štaviše, vrijednost funkcije u minimalnoj tački bit će jednaka 0.

Metoda najmanjeg kvadrata

U praktičnim primenama, uključujući i ekonomske, često se javlja problem izglađivanja nekih eksperimentalno dobijenih zavisnosti. Odnosno, zadatak je da se što preciznije odrazi opšti trend zavisnosti y od x, isključujući slučajna odstupanja od ovog opšteg trenda zbog neizbježnih grešaka u eksperimentalnim ili statističkim podacima. Takva izglađena zavisnost se obično traži u obliku formule. U ovom slučaju, formule koje služe za analitički prikaz zavisnosti eksperimentalnih ili eksperimentalnih podataka obično se nazivaju empirijski.

Zadatak pronalaženja odgovarajuće empirijske formule obično se dijeli u dva glavna koraka. Prvi korak je da uspostavite, ili odaberete, opšti oblik takvu zavisnost y=f(x), tj. odlučiti da li je data veza linearna, kvadratna, eksponencijalna, logaritamska, itd. Ovaj izbor često uključuje dodatna razmatranja, obično nematematičke prirode. U drugoj fazi, nepoznati parametri odabranog empirijska funkcija, koristeći samo niz eksperimentalno dobijenih podataka.

Prema najčešćim i teorijski potkrijepljenim najmanji kvadrati kao nepoznati parametri empirijske funkcije f(x) odabrati takve vrijednosti da zbir kvadrata "reziduala" δ i (odstupanja "teoretskih" vrijednosti funkcije od eksperimentalno dobijenih vrijednosti) bude minimalan, tj.:

gdje su i eksperimentalni podaci, i n je ukupan broj parova ovih podataka.

Razmotrite najjednostavniji problem ove vrste. Neka linearna funkcija, tj. (Sl. 22), te je potrebno pronaći takve vrijednosti parametara a i b, koji će isporučiti minimum funkcije: .

Očigledno je da će funkcija biti funkcija dvije varijable a i b dok se njihove "najbolje" vrijednosti ne pronađu i fiksiraju, jer su sve konstantni brojevi pronađeni eksperimentalno. Stoga je za pronalaženje parametara prave linije, koji najbolje odgovara eksperimentalnim podacima, dovoljno riješiti sistem jednadžbi:

Nakon odgovarajućih proračuna izvoda i identičnih transformacija, ovaj sistem se može predstaviti kao sistema normalnih jednačina :

Ovaj sistem linearne jednačine ima jedinstveno rješenje koje se može naći po Cramerovom pravilu:

;

Dakle, najbolja linearna aproksimacija eksperimentalne zavisnosti prema metodi najmanjih kvadrata biće prava linija.

PRIMJER: Odnos između dobiti preduzeća Y i trošak osnovnih sredstava X, izraženo u konvencionalnim jedinicama, dato je u tabeli.

X
Y

Da bismo razjasnili oblik formule empirijske relacije, crtamo eksperimentalnu zavisnost (kružići na slici 23). Prema lokaciji eksperimentalnih tačaka na grafu, može se pretpostaviti da je odnos između X i Y je linearan, tj. izgleda kao:

Za određivanje numeričkih vrijednosti parametara a i b izračunaćemo koeficijente sistema normalnih jednačina, a radi lakšeg snalaženja sumirati ćemo proračune u tabeli.

prema tabeli:

Zamjena pronađenih vrijednosti (uzimajući u obzir činjenicu da n= 7) u formule za izračunavanje parametara a i b, mi nalazimo:

Dakle, empirijska zavisnost ima oblik (slika 23 prikazuje punu liniju): y= 0,557x- 5,143.

PITANJA za samokontrolu znanja na temu 6:

1. Da li jednačina definira funkciju nekoliko varijabli?

Poziva se funkcija y = f(x). povećanje (opadanje) u nekom intervalu ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Ako se diferencijabilna funkcija y = f(x) na segmentu povećava (smanjuje), tada je njen izvod na ovom segmentu f "(x) > 0

(f "(x)< 0).

Dot x o pozvao lokalna maksimalna tačka (minimum) funkcije f(x) ako postoji susjedstvo tačke x o, za sve tačke za koje je tačna nejednakost f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).

Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njene extrema.

Potrebni uslovi ekstrem. Ako tačka x o je tačka ekstrema funkcije f (x), tada ili f "(x o) = 0, ili f (x o) ne postoji. Takve tačke se nazivaju kritičan, gdje je sama funkcija definirana u kritičnoj tački. Ekstreme funkcije treba tražiti među njenim kritičnim tačkama.

Prvi dovoljan uslov. Neka bude x o- kritična tačka. Ako je f "(x) prilikom prolaska kroz tačku x o mijenja znak plus u minus, a zatim u tački x o funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako derivacija ne promijeni predznak pri prolasku kroz kritičnu tačku, onda u tački x o ne postoji ekstremum.

Drugi dovoljan uslov. Neka funkcija f(x) ima izvod
f "(x) u okolini tačke x o i drugi derivat u samoj tački x o. Ako je f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x o je lokalna tačka minimuma (maksimuma) funkcije f(x). Ako je =0, onda se mora ili koristiti prvi dovoljan uslov ili se moraju uključiti viši derivati.

Na segmentu, funkcija y = f(x) može dostići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo na kritičnim tačkama ili na krajevima segmenta.

Ispitivanje uslova i ucrtavanje.

Pronađite opseg funkcije

Nađite presečne tačke grafa sa koordinatnim osa

Pronađite intervale znaka konstantnosti

Ispitajte za paran, neparan

Naći asimptote grafa funkcije

Pronađite intervale monotonosti funkcije

Pronađite ekstreme funkcije

Pronađite konveksne intervale i tačke pregiba

Asimptote grafova funkcija. Opća šema funkcija istraživanja i crtanja. Primjeri.

vertikalno

Vertikalna asimptota - ravna linija oblika koja podliježe postojanju granice .

U pravilu, pri određivanju vertikalne asimptote ne traže jednu granicu, već dvije jednostrane (lijevu i desnu). Ovo se radi kako bi se odredilo kako se funkcija ponaša dok se približava vertikalnoj asimptoti iz različitih smjerova. Na primjer:

Napomena: obratite pažnju na znake beskonačnosti u ovim jednakostima.

[uredi] Horizontalno

Horizontalna asimptota - ravna linija oblika koja podliježe postojanju granice

.

[uredi] Koso

Kosa asimptota - ravna linija oblika podložna postojanju granica

Primjer kose asimptote

1.

Napomena: funkcija ne može imati više od dvije kose (horizontalne) asimptote!

Napomena: Ako barem jedna od dvije gore navedene granice ne postoji (ili je jednaka ), tada kosa asimptota na (ili ) ne postoji!

Odnos kosih i horizontalnih asimptota

Ako, prilikom izračunavanja granice , onda je očito da se kosa asimptota poklapa s horizontalnom. Kakav je odnos između ove dvije vrste asimptota?

Cinjenica, da je horizontalna asimptota poseban slučaj kose at , a iz gornjih napomena proizlazi da

1. Funkcija ima ili samo jednu kosu asimptotu, ili jednu vertikalnu asimptotu, ili jednu kosu i jednu vertikalnu, ili dvije kose, ili dvije okomite, ili uopće nema asimptote.

2. Postojanje asimptota navedenih u tački 1.) direktno je povezano sa postojanjem odgovarajućih granica.

Grafikon funkcije s dvije horizontalne asimptote

]Pronalaženje asimptota

Redoslijed pronalaženja asimptota

1. Pronalaženje vertikalnih asimptota.

2. Pronalaženje dvije granice

3. Pronalaženje dvije granice:

ako je u tački 2.), onda , a granica se traži po formuli horizontalne asimptote, .