Dovoljan znak postojanja ekstremuma. Ekstremi funkcije

Prvi dovoljan znak ekstremuma formuliše se na osnovu promene predznaka prve derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku. O drugom znaku ekstremuma biće reči u nastavku u § 6.4.

Teorema (prvi znak ekstremuma) : Ako aX 0 je kritična tačka funkcijey=f(x) iu nekom susjedstvu tačkeX 0 , prolazeći kroz njega s lijeva na desno, derivacija tada mijenja predznak u suprotanX 0 je tačka ekstrema. Štaviše, ako se predznak derivacije promijeni iz "+" u "-", ondaX 0 je maksimalna tačka, if(x 0 ) - maksimum funkcije, a ako derivacija promijeni predznak iz "-" u "+", tadaX 0 je minimalna tačka, if(x 0 ) je minimum funkcije.

Razmatrani ekstrem je lokalni(lokalnog) karaktera i dodiruje neku malu okolinu kritične tačke.

Ekstremne tačke i tačke diskontinuiteta dele domen definicije funkcije na intervale monotonosti.

Primjer 6.3. U primjeru 6.1. našli smo kritične tačke X 1 =0 i X 2 =2.

Hajde da saznamo da li je u ovim tačkama funkcija y=2x 3 -6x 2 +1 ima ekstrem. Zamjena u svom derivatu
vrijednosti X odveden lijevo i desno od tačke X 1 =0 u prilično bliskom susjedstvu, npr. x=-1 i x=1. dobiti . Pošto derivacija mijenja predznak iz "+" u "-", onda X 1 =0 je maksimalna tačka i maksimum funkcije
. Sada uzmimo dvije vrijednosti x=1 i x=3 iz susjedstva druge kritične tačke X 2 =2 . To se već pokazalo
, a
. Pošto derivacija mijenja predznak iz "-" u "+", onda X 2 =2 je minimalna tačka. I minimum funkcije
.

Pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije kontinuirane na segmentu
potrebno je izračunati njegovu vrijednost na svim kritičnim tačkama i na krajevima segmenta, a zatim odabrati najveću i najmanju od njih.

6.3. Znakovi konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije. Pregibne tačke

Poziva se graf diferencijabilne funkcijekonveksanna intervalu ako se nalazi ispod bilo koje svoje tangente na tom intervalu;konkavno (konveksno prema dolje), ako se nalazi iznad bilo koje tangente na intervalu.

6.3.1. Potrebni i dovoljni znaci konveksnosti i konkavnosti grafa

a) Potrebne karakteristike

Ako je graf funkcijey=f(x) konveksan na intervalu(a, b) , zatim drugi izvod
na ovom intervalu; ako je rasporedkonkavna na(a, b) , onda
na(a, b) .

P st graf funkcije y=f(x) konveksan (a, b) (Sl.6.3a). Ako tangenta klizi duž konveksne krivulje s lijeva na desno, tada se njen nagib smanjuje (
), istovremeno se smanjuje i nagib tangente, što znači da se prvi izvod smanjuje
na (a, b) . Ali tada izvod prvog izvoda kao izvod opadajuće funkcije mora biti negativan, tj
na (a, b) .

Ako je graf funkcije konkavna na (a, b) , onda, argumentirajući slično, vidimo da kada tangenta klizi duž krive (slika 6.3b), nagib tangente raste (
), s njim raste nagib, a time i izvod. I tada derivacija derivacije kao rastuća funkcija mora biti pozitivna, tj
na (a, b) .

b ) Dovoljne karakteristike

Ako je za funkcijuy=f(x) u svim tačkama nekog intervala će biti
, zatim graf funkcijekonkavna na ovom intervalu, i ako
, ondakonveksan .

"Pravilo kiše" : Da biste zapamtili koji znak druge derivacije povezati s konveksnim, a koji s konkavnim lukom grafa, preporučujemo da zapamtite: "plus voda" u konkavnoj rupi, "minus voda" - u konveksnoj rupi (slika 6.4).

tačka grafikona kontinuirana funkcija, u kojem se konveksnost mijenja u konkavnost ili obrnuto, naziva setačka pregiba .

Teorema (dovoljan kriterijum za postojanje prevojne tačke).

Ako a u tački funkcija
je dva puta diferencibilan i drugi izvod u ovoj tački jednak je nuli ili ne postoji, a ako pri prolasku kroz tačku drugi derivat
mijenja znak, zatim tačku postoji tačka pregiba. Koordinate prevojne tačke
.

Tačke u kojima drugi izvod nestaje ili ne postoji nazivaju se kritične tačke druge vrste.

Primjer 6.4. Naći prevojne tačke i odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti krive
(Gausova kriva).

R rješenje. Nalazimo prvi i drugi derivat:
,. Drugi derivat postoji za bilo koji . Izjednačite ga sa nulom i riješite rezultirajuću jednačinu
, gdje
, onda
, gdje
,
su kritične tačke druge vrste. Provjerimo promjenu predznaka druge derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku
. Ako a
, Na primjer,
, onda
, i ako
, Na primjer,
, onda
, odnosno drugi izvod mijenja predznak. dakle,
- apscisa prevojne tačke, njene koordinate
. Pošto je funkcija parna
, tačka
, simetrično prema tački
, također će biti prelomna tačka.

Ulaznica broj 1

antiderivativna funkcijaTeoremaDokaz neodređeni integral

Tačka (X 0 ;Y 0) se zove maksimalni poen minimalna tačka funkcije: za sve tačke (x;y) osim (X 0 ;Y 0), iz δ-okoline tačke (X 0 ;Y 0) vrijedi sljedeća nejednakost: f(x;y)>f(X 0 ;Y 0) .

dokaz:

Ulaznica broj 2

Dokazgeometrijskog smisla

privatni prirast parcijalni derivat geometrijskog smisla

Ulaznica broj 3

19. Određivanje točaka maksimuma i minimuma funkcije z=f(x,y). Tačka (X 0 ;Y 0) se zove maksimalni poen funkcija z=f(x;y) ako postoji δ-susjedstvo tačke (X 0 ;Y 0) tako da je nejednakost f(x;y) minimalna tačka funkcije: za sve tačke (x;y) osim (X 0 ;Y 0), iz δ-okoline tačke (X 0 ;Y 0) vrijedi sljedeća nejednakost: f(x;y)>f(X 0 ;Y 0) . Neka u stacionarnoj tački (X 0 ;Y 0) i nekom njenom susjedstvu funkcija f(x;y) ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno drugog reda. Izračunajte u tački (X 0 ;Y 0) vrijednosti A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0 ; Y 0). Označiti Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Tada: 1) ako je Δ><0; минимум, если A>0; 2) ako je Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Ulaznica broj 4 definitivni integral Svojstva Dokaz.najveća vrijednost funkcije y=f(x) na segmentu , (a u tački sa koordinatama (x;y;z) Pretpostavimo da je funkcija u(x;y;z) kontinuirana i da ima kontinuirane derivacije u odnosu na svoje argumente u domeni D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu /δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, gdje E 1 , E 2 , E 3 teže nuli kao Δl→0. Podijelimo cijelu jednakost sa Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Jednakost se može predstaviti na sljedeći način: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Prelaskom do granice dobijamo Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Ulaznica broj 5

1. Antiderivativna funkcija. Teorema o razlici dva antiderivata (sa dokazom). Neodređeni integral: Definicija Funkcija F(x) se poziva antiderivativna funkcija f(x) na intervalu (a;b) ako za bilo koje x∈(a;b) vrijedi jednakost F"(x)=f(x). Teorema. Ako je funkcija F(x) antiderivat funkcije f(x) na (a;b), tada je skup svih antiderivata za f(x) dan formulom F(x)+C, gdje je S= konst. Dokaz. Funkcija F(x)+C je antiderivat od f(x). Zaista, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Neka je F(x) neka druga antiderivativna funkcija f(x) različita od F(x), tj. F"(h)=f(x). Tada za bilo koje x∈(a;b) imamo (F(h)-F(x))"=F"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. A to znači da je F(x)-F(x)=C, C=const. Dakle, F(x)=F(x)+C. Skup svih antiderivativnih funkcija F(x)+C za f(x) naziva se neodređeni integral na funkciji f(x) i označava se simbolom ∫f(x)dx.

19. Određivanje točaka maksimuma i minimuma funkcije z=f(x,y). Tačka (X 0 ;Y 0) se zove maksimalni poen funkcija z=f(x;y) ako postoji δ-susjedstvo tačke (X 0 ;Y 0) tako da je nejednakost f(x;y) minimalna tačka funkcije: za sve tačke (x;y) osim (X 0 ;Y 0), iz δ-okoline tačke (X 0 ;Y 0) vrijedi sljedeća nejednakost: f(x;y)>f(X 0 ;Y 0) . 20. Dovoljan kriterij za postojanje ekstrema funkcije z=f(x;y). (formulacija). Neka u stacionarnoj tački (X 0 ;Y 0) i nekom njenom susjedstvu funkcija f(x;y) ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno drugog reda. Izračunajte u tački (X 0 ;Y 0) vrijednosti A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0 ; Y 0). Označiti Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Tada: 1) ako je Δ>0, onda funkcija f(x;y) u tački (X 0 ;Y 0) ima ekstrem: maksimum ako je A<0; минимум, если A>0; 2) ako je Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Ulaznica broj 6

3. Izračunavanje određenog integrala nad segmentom. Newton-Leibnizova formula (derivacija). Ako je funkcija y=f(x) kontinuirana na segmentu i F(x) je bilo koji od njenih antiderivata na (F"(x)=f(x)), tada je formula ∫(od a do b) f( x )dx=F(b)-F(a). Ova formula je Newton-Leibnizova formula. Razmotrite identitet: F(b)-F(a)=F(x n)-F(x 0)=(F (x n) -F(x n -1))+(f(x n -1)-F(x n -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1)- F(x 0)). Svaku razliku u zagradama transformiramo prema Lagrangeovoj formuli: f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a). Dobijamo F(b)-F(a) =F'(c n)( x n -x n -1)+F'(c n -1)(x n -1 -x n -2)+F'(c 2)(x 2 -x 1)+F'(c 1 )(x 1 -x 0 )= ΣF'(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, tj. F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, gdje je Ci neka tačka intervala (X i -1 ,X i). Kako je funkcija y=f(x) kontinuirana na , onda je integrabilna na . Dakle, postoji granica integralne sume jednake definitivnom integralu f(x) na . Prijelaz na granica na λ=maxΔXi→0, dobijamo F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, tj. ∫(od a do b) f(x)dx=F(b)-F(a ).

Poziva se funkcija z=f(x;y). diferencibilan

11. Svojstvo diferencijabilne funkcije: veza između diferencijabilnosti funkcije z=f(x;y) i kontinuiteta funkcije z=f(x;y) u nekoj tački (tvrdnja, dokaz). Ako je funkcija z=f(x;y) diferencijabilna u tački M(x;y), tada je u ovoj tački kontinuirana, ima parcijalne izvode u njoj. Dokaz. Neka je funkcija y=f(x) diferencijabilna u tački x 0 . Dajemo prirast Δx argumentu u ovoj tački. Funkcija će dobiti povećanje Δu. Nađimo limΔx→0(Δy). limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f"(x0)*0=0. Prema tome, y =f(x) je kontinuiran na x 0 .

Ulaznica broj 7

Neophodan znak ekstrema.

Ako kontinuirana funkcija z=z(x,y) ima ekstrem u tački P0(x0,y0), tada su svi njeni parcijalni derivati prvog reda u ovoj tački ili jednaki nuli ili ne postoje

dokaz: Parcijalni izvod funkcije z=f(x,y) u odnosu na x u tački P0(x0,y0) je izvod funkcije jedne varijable φ(x)=f(x,y0) u tački x-x0. Ali u ovom trenutku funkcija φ(x) očito ima ekstrem. Prema tome, φ'(x0)=0. )=0 . Teorema je dokazana.

Ulaznica broj 8

6. Teorema srednje vrijednosti (formulacija, dokaz, geometrijsko značenje). Ako je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu , tada postoji tačka S∈ takva da je ∫(od a do b) f(x)dx=f(c)*(b-a). Dokaz. Prema Newton-Leibnizovoj formuli, imamo ∫(od a do b) f(x)dx=F(x)|(od a do b)=F(b)-F(a), gdje je F"(x) =f( x). Primjenjujući na razliku F(b)-F(a) Lagrangeovu teoremu (teorema o konačnom inkrementu funkcije), dobijamo F(b)-F(a)=F"(c) *(b-a)=f(c) *(b-a). geometrijskog smisla. Teorema za f(x)≥0 ima jednostavno geometrijsko značenje: vrijednost određenog integrala je, za neki S∈ (a;b), površina pravougaonika visine f(c) i osnove b-a. Broj f(c)=1/(b-a)∫(od a do b) f(x)dx naziva se srednja vrijednost funkcije f(x) na intervalu .

8. Djelomični prirast funkcije z=f(x;y). Parcijalni derivati: definicija i njihovo geometrijsko značenje. Neka je data funkcija z=f(x; y). Kako su x i y nezavisne varijable, jedna od njih se može mijenjati dok druga ostaje konstantna. Varijablu x dajemo prirast ∆x, zadržavajući vrijednost varijable y nepromijenjenom. Tada će funkcija z dobiti inkrement, koji ćemo pozvati privatni prirast z u x i označimo ∆ x z. Dakle, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Slično, dobijamo parcijalni prirast z u odnosu na y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y).Ako postoji granica lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), tada se naziva parcijalni derivat funkcije z \u003d f (x; y) u tački M (x; y) u varijabli x i označava se jednim od simbola: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. geometrijskog smisla. Graf funkcije z=f(x;y) je neka površina. Grafikon funkcije z = f (x 0; y 0) je linija presjeka ove površine s ravninom y = y 0. Na osnovu geometrijsko značenje izvod za funkciju jedne varijable, zaključujemo da je f "x (x 0; y 0) = tgα, gdje je α ugao između ose Ox i tangente povučene na krivulju z \u003d f (x 0; y 0) u tački M 0 ( x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Slično f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Ulaznica broj 9

Dokaz geometrijskog smisla

Tangentna ravan Normalno na površinu

Ulaznica broj 10

10. Definicija diferencijabilne funkcije z=f(x;y) u tački. Definicija ukupnog diferencijala dz i njegov oblik. Poziva se funkcija z=f(x;y). diferencibilan u tački M(x;y), ako se njen ukupni prirast u ovoj tački može predstaviti kao: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, gdje je α=α( ∆ x;∆y)→0 i β=β(∆x;∆y)→0 za ∆x→0 i ∆y→0. Glavni dio prirasta funkcije z=f(x;y), linearnog u odnosu na ∆x i ∆y, naziva se puni diferencijal ovu funkciju i označava se simbolom dz: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

Ulaznica broj 11

4. Definicija definitivni integral duž segmenta. Osnovna svojstva određenog integrala nad segmentom (sa dokazom jednog od njih). definitivni integral duž segmenta iz funkcije f(x) naziva se granica integralne sume Σf(c i)Δx i ako ta granica postoji i ne ovisi o podjeli segmenta na dijelove, niti o izboru tačaka t unutar svake dijelova, pod uslovom da dužina najvećeg od parcijalnih segmenata (∆xi) teži nuli, tj. ∫(od a do b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . Svojstva: 1) Ako je c konstantan broj i funkcija f(x) je integrabilna na , tada je ∫(od a do b) s*f(x)dx=s*∫(od a do b) f(x)dx .2) Ako su funkcije f 1 (x) b f 2 (x) integrabilne na , tada je njihov zbir integrabilan i ∫(od a do b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(od a do b) f 1 (x)dx+∫(od a do b) f 2 (x)dx. 3)∫(od a do b) f(x)dx= -∫(od b do a) f(x)dx. 4) Ako je funkcija f(x) integrabilna na i a

10. Definicija diferencijabilne funkcije z=f(x;y) u tački. Poziva se funkcija z=f(x;y). diferencibilan u tački M(x;y), ako se njen ukupni prirast u ovoj tački može predstaviti kao: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, gdje je α=α( ∆ x;∆y)→0 i β=β(∆x;∆y)→0 za ∆x→0 i ∆y→0.

12. Svojstvo diferencijabilne funkcije: veza između diferencijabilnosti funkcije z=f(x,y) i postojanja parcijalnih izvoda u tački (tvrdnja, dokaz). Teorema: Ako je funkcija diferencijabilna u nekoj tački, tada u ovoj tački postoje konačni parcijalni izvodi, numerički jednaki A i B Dokaz: Dajemo x 0 →Δx, y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+ 0(│x│).ρ=√(Δx 2 +Δy 2)=│Δx│. Δ x z/Δx=A +0(│x│)/Δx.LimΔx→0 (Δx z/Δx)=lim= A.δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. Slično: Y 0 →Δy, x=x 0 => Δy Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B.

Ulaznica broj 12

Dokaz

8. Djelomični prirast funkcije z=f(x;y). Parcijalni derivati: definicija i njihovo geometrijsko značenje. Neka je data funkcija z=f(x; y). Kako su x i y nezavisne varijable, jedna od njih se može mijenjati dok druga ostaje konstantna. Varijablu x dajemo prirast ∆x, zadržavajući vrijednost varijable y nepromijenjenom. Tada će funkcija z dobiti inkrement, koji ćemo pozvati privatni prirast z u x i označimo ∆ x z. Dakle, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Slično, dobijamo parcijalni prirast z u odnosu na y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y).Ako postoji granica lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), tada se naziva parcijalni derivat funkcije z \u003d f (x; y) u tački M (x; y) u varijabli x i označava se jednim od simbola: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. geometrijskog smisla. Graf funkcije z=f(x;y) je neka površina. Grafikon funkcije z = f (x 0; y 0) je linija presjeka ove površine s ravninom y = y 0. Na osnovu geometrijskog značenja derivacije za funkciju jedne varijable, zaključujemo da je f "x (x 0; y 0) = tgα, gdje je α ugao između ose Ox i tangente povučene na krivulju z \ u003d f (x 0; y 0) u tački M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Slično f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Ulaznica broj 13

2. Problem površine krivolinijskog trapeza, koji dovodi do koncepta određenog integrala nad segmentom. Definicija određenog integrala nad segmentom. Neka je funkcija y=f(x)≥0 data na segmentu. Figura ograničena odozgo grafikom funkcije y=f(x), odozdo - osom Ox, sa strane pravim linijama x=a i x=b, naziva se krivolinijski trapez. Pronađite površinu ovog trapeza. f(c 1)Δx 1 +f(c 2)Δx 2 +..+f(c n)Δx n =Σf(c i)Δx i =Sn. Sa smanjenjem svih vrijednosti Δx i, povećava se tačnost aproksimacije krivolinijskog trapeza stepenastom figurom i točnost rezultirajuće formule. Stoga se tačna vrijednost površine S krivolinijskog trapeza uzima kao granica S, kojoj teži površina stepenaste figure Sn kada se n neograničeno povećava tako da je λ=maxΔx i →0: S=lim n→ ∞ Sn=lim n→∞(λ→0 ) Σf(c i)Δx i , tj. S=∫(od a do b) f(x)dx. Dakle, definitivni integral neodređene funkcije je numerički jednak površini krivolinijskog trapeza.Ako u ovom slučaju integralni zbir Sn ima granicu I, koja ne zavisi od načina na koji je segment podijeljen na numeričke segmentima, niti o izboru tačaka u njima, tada se broj I naziva definitivnim integralom funkcije y=f(x) na segmentu i označava sa ∫(od a do b) f(x)dx. Dakle, ∫(od a do b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(c i)Δx i .

17. Tangentna ravan i normala na površinu (definicija).Tangentna ravan na površinu u tački M, ravan koja prolazi kroz ovu tačku površine naziva se ako ugao između ove ravni i sekante koja prolazi kroz tačku M i bilo koju drugu tačku M 1 površine teži nuli dok M teži ka M 1. Normalno na površinu u tački M naziva se prava linija koja prolazi kroz ovu tačku okomita na tangentnu ravan.

Ulaznica broj 14

5. Teorema o vrednovanju određenog integrala nad segmentom (formulacija, dokaz, geometrijsko značenje). Integralna procjena. Ako su m i M najmanja i najveća vrijednost funkcije y=f(x) na segmentu , (a Dokaz. Pošto za bilo koji x∈ imamo m≤f(x)≤M, onda je ∫(od a do b) mdx≤ ∫(od a do b) f(x)dx≤∫(od a do b) Mdx. Dobijamo: m(b-a)≤∫(od a do b) f(x)dx≤M(b-a). geometrijskog smisla. Površina krivolinijskog trapeza zatvorena je između površina pravokutnika čija je osnova , a visine m i M.

8. Djelomični prirast funkcije z=f(x;y). Parcijalni derivati: definicija i njihovo geometrijsko značenje. Neka je data funkcija z=f(x; y). Kako su x i y nezavisne varijable, jedna od njih se može mijenjati dok druga ostaje konstantna. Varijablu x dajemo prirast ∆x, zadržavajući vrijednost varijable y nepromijenjenom. Tada će funkcija z dobiti inkrement, koji ćemo pozvati privatni prirast z u x i označimo ∆ x z. Dakle, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Slično, dobijamo parcijalni prirast z u odnosu na y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y).Ako postoji granica lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), tada se naziva parcijalni derivat funkcije z \u003d f (x; y) u tački M (x; y) u varijabli x i označava se jednim od simbola: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. geometrijskog smisla. Graf funkcije z=f(x;y) je neka površina. Grafikon funkcije z = f (x 0; y 0) je linija presjeka ove površine s ravninom y = y 0. Na osnovu geometrijskog značenja derivacije za funkciju jedne varijable, zaključujemo da je f "x (x 0; y 0) = tgα, gdje je α ugao između ose Ox i tangente povučene na krivulju z \ u003d f (x 0; y 0) u tački M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Slično f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Ulaznica broj 15

8. Djelomični prirast funkcije z=f(x;y). Parcijalni derivati: definicija i njihovo geometrijsko značenje. Neka je data funkcija z=f(x; y). Kako su x i y nezavisne varijable, jedna od njih se može mijenjati dok druga ostaje konstantna. Varijablu x dajemo prirast ∆x, zadržavajući vrijednost varijable y nepromijenjenom. Tada će funkcija z dobiti inkrement, koji ćemo pozvati privatni prirast z u x i označimo ∆ x z. Dakle, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Slično, dobijamo parcijalni prirast z u odnosu na y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y).Ako postoji granica lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), tada se naziva parcijalni derivat funkcije z \u003d f (x; y) u tački M (x; y) u varijabli x i označava se jednim od simbola: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. geometrijskog smisla. Graf funkcije z=f(x;y) je neka površina. Grafikon funkcije z = f (x 0; y 0) je linija presjeka ove površine s ravninom y = y 0. Na osnovu geometrijskog značenja derivacije za funkciju jedne varijable, zaključujemo da je f "x (x 0; y 0) = tgα, gdje je α ugao između ose Ox i tangente povučene na krivulju z \ u003d f (x 0; y 0) u tački M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Slično f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Ulaznica broj 16

21. Derivat funkcije u=u(x;y;z) u pravcu l (definicija). Granica LimΔl→0(Δu/Δl) se zove izvod funkcije u(x;y;z) u pravcu vektora l u tački sa koordinatama (x;y;z).

22. Gradijent funkcije u=u(x;y;z) u tački (definicija). Vektor sa koordinatama (δu/δx; δu/δy; δu/δz) naziva se

Ulaznica broj 17

7. Integral sa varijabilnom gornjom granicom. Teorema o izvodu integrala s promjenjivom gornjom granicom (tvrdnja, dokaz). Izvod određenog integrala u odnosu na gornju granicu varijable jednak je integrandu u kojem je varijabla integracije zamijenjena ovom granicom, tj. (∫(od a do x) f(t)dt)" x = f(x ). Dokaz. Prema Newton-Leibnizovoj formuli, imamo: ∫(od a do x) f(t)dt=F(t)|(od a do x)=F(x)-F(a). Dakle, (∫(od a do x) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). To znači da a definitivni integral sa promenljivom gornjom granicom je jedan od antiderivata integranda.

puni prirast kontinuirano kontinuirano

Ulaznica broj 18

1. Antiderivativna funkcija. Teorema o razlici dva antiderivata (sa dokazom). Neodređeni integral: definicija, najjednostavnija svojstva neodređenog integrala (sa dokazom jednog od njih). Poziva se funkcija F(x). antiderivativna funkcija f(x) na intervalu (a;b) ako za bilo koje x∈(a;b) vrijedi jednakost F"(x)=f(x). Teorema. Ako je funkcija F(x) antiderivat funkcije f(x) na (a;b), tada je skup svih antiderivata za f(x) dan formulom F(x)+C, gdje je S= konst. Dokaz. Funkcija F(x)+C je antiderivat od f(x). Zaista, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Neka je F(x) neka druga antiderivativna funkcija f(x) različita od F(x), tj. F"(h)=f(x). Tada za bilo koje x∈(a;b) imamo (F(h)-F(x))"=F"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. A to znači da je F(x)-F(x)=C, C=const. Dakle, F(x)=F(x)+C. Skup svih antiderivativnih funkcija F(x)+C za f(x) naziva se neodređeni integral na funkciji f(x) i označava se simbolom ∫f(x)dx. Svojstva: 1) Diferencijal neodređenog integrala je jednak integrandu, a derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx )"=f(x).d (∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. i (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je zbiru ove funkcije i proizvoljnu konstantu: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) Neodređeni integral algebarskog zbira konačnog broja kontinuiranih funkcija jednak je algebarskom zbiru integrali članova funkcija: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f (x)dx±∫g(x)dx.5) (Invarijantnost formule integracije). Ako je ∫f(x)dx=F(x)+C, onda je ∫f(u)du=F(u)+C, gdje je u=φ(x) proizvoljna funkcija sa kontinuiranim izvodom.

22. Gradijent funkcije u=u(x;y;z) u tački (definicija, svojstva). Odnos između usmjerenog izvoda i gradijenta funkcije (opravdanje). Vektor sa koordinatama (δu/δx; δu/δy; δu/δz) naziva se gradijent funkcije u=f(x;y;z) i označava se gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz). gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Svojstva: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, gdje su u*v skalarni produkti vektora u i v. Veza. Neka su data funkcija u=u(x;y;z) i polje gradijenata gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Tada je izvod Δu/Δl u pravcu nekog vektora l jednak projekciji vektora GradU na vektor l.

Ulaznica broj 19

4. Definicija određenog integrala nad segmentom. Osnovna svojstva određenog integrala nad segmentom (sa dokazom jednog od njih). definitivni integral duž segmenta iz funkcije f(x) naziva se granica integralne sume Σf(c i)Δx i ako ta granica postoji i ne ovisi o podjeli segmenta na dijelove, niti o izboru tačaka t unutar svake dijelova, pod uslovom da dužina najvećeg od parcijalnih segmenata (∆xi) teži nuli, tj. ∫(od a do b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . Svojstva: 1) Ako je c konstantan broj i funkcija f(x) je integrabilna na , tada je ∫(od a do b) c*f(x)dx=c*∫(od a do b) f(x)dx . Dokaz. Napravimo integralni zbir za funkciju s*f(x). Imamo Σs*f(c i)Δx i =s*Σf(c i)Δx i . Tada je lim n→∞ Σs*f(c i)Δx i =c*lim n→∞ f(c i)=s*∫(od a do b) f(x)dx. To implicira da je funkcija s*f(x) integrabilna na i formula ∫(od a do b) s*f(x)dx= s*∫(od a do b) f(x)dx.2) f 1 (x) b f 2 (x) su integrabilni na , tada je njihov zbir integrabilan na (x)dx+∫(od a do b) f 2 (x)dx. 3)∫(od a do b) f(x)dx= -∫(od b do a) f(x)dx. 4) Ako je funkcija f(x) integrabilna na i a

17. Tangentna ravan i normala na površinu (definicija). Teorem postojanja tangentne ravni (tvrdnja, dokaz). Tangentna ravan na površinu u tački M, ravan koja prolazi kroz ovu tačku površine naziva se ako ugao između ove ravni i sekante koja prolazi kroz tačku M i bilo koju drugu tačku M 1 površine teži nuli dok M teži ka M 1. Normalno na površinu u tački M naziva se prava linija koja prolazi kroz ovu tačku okomita na tangentnu ravan. Teorema. Ako je δF/δx; δF/δy; δF/δz su definisane u blizini tačke Mo i kontinuirane su u samoj tački M 0 i ne nestaju u isto vreme, tada sve prave tangente na prave na površini leže u istoj ravni. Dokaz. L: sistem(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Tangentna linija (M 0 ;P) y=(x"(t 0); y"(t o); z"(t 0)). L∈Q (površina). F(x(t), y(t) , z(t))=0 je kompleksna funkcija varijable t. Koristimo pravilo diferencijabilnosti kompleksne funkcije: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt )+(δF/δz)*( dz/dt)=0;(δF(M 0)/δx)*x"(t 0)+(δF(M 0)/δy)*y"(t 0)+ (δF(M 0)/δz) *z"(t0)=0; g=(x"(t 0),y"(t 0),z"(t 0)); označimo n=(δF(M 0)/δx; δF(M 0)/δy; δF(M 0) /δz); n⊥g. Pošto se kroz datu tačku može povući beskonačan skup linija koje leže na površini, a beskonačan skup tangentnih linija na njih, prema tome, sve tangente leže u istoj ravni.

Ulaznica broj 20

9. Potpuni prirast funkcije z=f(x;y). Kontinuitet funkcije z=f(x;y) u tački (dvije definicije). Neka je data funkcija z=f(x;y). Nezavisnoj varijabli x dajemo prirast ∆x, a varijabli y prirast ∆y. Onda puni prirast∆z funkcije definirana je jednakošću: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1) Poziva se funkcija z \u003d f (x; y). kontinuirano u tački M 0 (x 0; y 0)∈ D(z), ako se njena granica u ovoj tački poklapa sa vrijednošću funkcije u ovoj tački, tj. limX→X 0 \Y→Y 0 (f(x;y))= f(x 0 ;y 0). 2) Funkcija z \u003d f (x; y) kontinuirano na skupu ako je kontinuiran u svakoj tački ovog skupa

Ulaznica broj 21

21. Derivat funkcije u=u(x;y;z) u pravcu l (definicija, formula izračuna, izvod formule za proračun). Granica LimΔl→0(Δu/Δl) se zove izvod funkcije u(x;y;z) u pravcu vektora l u tački sa koordinatama (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δl u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ Pretpostavimo da je funkcija u(x;y;z) kontinuirana i da ima kontinuirane derivacije u odnosu na svoje argumente u domeni D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, gdje E 1 , E 2 , E 3 teže nuli kao Δl→0. Podijelimo cijelu jednakost sa Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Jednakost se može predstaviti na sljedeći način: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Prelaskom do granice dobijamo Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Ulaznica broj 22

20. Dovoljan kriterij za postojanje ekstrema funkcije z=f(x;y). (formulacija). Neka u stacionarnoj tački (X 0 ;Y 0) i nekom njenom susjedstvu funkcija f(x;y) ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno drugog reda. Izračunajte u tački (X 0 ;Y 0) vrijednosti A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0 ; Y 0). Označiti Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Tada: 1) ako je Δ>0, onda funkcija f(x;y) u tački (X 0 ;Y 0) ima ekstrem: maksimum ako je A<0; минимум, если A>0; 2) ako je Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Ulaznica broj 23

17. Tangentna ravan na površinu (definicija).Tangentna ravan na površinu u tački M, ravan koja prolazi kroz ovu tačku površine naziva se ako ugao između ove ravni i sekante koja prolazi kroz tačku M i bilo koju drugu tačku M 1 površine teži nuli dok M teži ka M 1.

18. Jednačine tangentne ravni na eksplicitno datu površinuOcigledno. z=f(x;y) u tački Mo(Xo;Yo;Zo). K: (δz/δx)|M 0 (X-X 0)+(δz/δy)|M 0 (Y-Y 0)-(Z-Z 0)=0

Ulaznica broj 24

12. Svojstvo diferencijabilne funkcije: veza između diferencijabilnosti funkcije z=f(x,y) i postojanja parcijalnih izvoda u tački (tvrdnja, dokaz). Teorema: Ako je funkcija diferencijabilna u nekoj tački, tada u ovoj tački postoje konačni parcijalni derivati, numerički jednaki A i B Dokaz: Dajemo x 0 →Δx, y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+ 0(│x│).ρ=√(Δx 2 +Δy 2)=│Δx│. Δ x z/Δx=A +0(│x│)/Δx.LimΔx→0 (Δx z/Δx)=lim= A.δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. Slično: Y 0 →Δy, x=x 0 => Δy Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B

Znakovi lokalnog povećanja i smanjenja funkcije.

Jedan od glavnih zadataka proučavanja funkcije je pronaći intervale njenog povećanja i smanjenja. Ovakvu studiju je lako izvesti pomoću derivata. Hajde da formulišemo odgovarajuće tvrdnje.

Dovoljan kriterijum za povećanje funkcije. Ako je f'(x) > 0 u svakoj tački intervala I, tada funkcija f raste za I.

Dovoljan kriterij za smanjenje funkcije. Ako je f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Dokaz ovih karakteristika se izvodi na osnovu Lagrangeove formule (videti odeljak 19). Uzmite bilo koja dva broja x 1 i x2 iz intervala. Neka x 1 postoji broj s∈(h 1 , x 2 ), tako da

(1)

Broj c pripada intervalu I, pošto su tačke x 1 i x2 pripadaju I. Ako je f"(x)>0 za x∈I onda je f'(s)>0, pa prema tome F(x 1 )) — ovo slijedi iz formule (1), budući da je x 2-x1 >0. Ovo dokazuje da funkcija f raste na I. Ako je f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) proizlazi iz formule (1), budući da je x 2-x1 >0. Dokazujemo da funkcija f opada na I.

Vizuelno značenje znakova jasno je iz fizičkog zaključivanja (za određenost, razmotrite znak povećanja).

Neka tačka koja se kreće duž y-ose u trenutku t ima y-ordinatu y = f(t). Tada je brzina ove tačke u trenutku t jednaka f"(t) (vidi Sl. Instant Speed ). Ako je f’ (t)>0 u svakom trenutku iz intervala t, tada se tačka pomiče u pozitivnom smjeru y-ose, tj. 1 ). To znači da funkcija f raste na intervalu I.

Napomena 1.

Ako je funkcija f kontinuirana na bilo kojem od krajeva intervala povećanja (smanjenja), tada je ova tačka vezana za ovaj interval.

Napomena 2.

Za rješavanje nejednakosti f "(x)>0 i f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Neophodni i dovoljni uslovi za postojanje ekstrema funkcije u tački.

Neophodan uslov za ekstrem

Funkcija g(x) u tački ima ekstrem (maksimum ili minimum) ako je funkcija definirana u dvostranom susjedstvu tačke i za sve tačke x neke površine: , odnosno, nejednakost

(u slučaju maksimuma) ili (u slučaju minimuma).

Ekstremum funkcije se može naći iz uslova: ako derivacija postoji, tj. izjednačiti prvi izvod funkcije sa nulom.

Dovoljno ekstremno stanje

1) Prvi dovoljan uslov:

a) f(x) je kontinuirana funkcija i definirana je u nekom susjedstvu tačke tako da je prvi izvod u datoj tački jednak nuli ili ne postoji.

b) f(x) ima konačan izvod u blizini specifikacije i kontinuiteta funkcije

c) derivacija zadržava određeni znak desno od tačke i lijevo od iste tačke, tada se tačka može okarakterisati na sljedeći način

Ovaj uslov nije baš zgodan, jer morate provjeriti puno uslova i zapamtiti tabelu, ali ako se ništa ne kaže o derivatima višeg reda, onda je to jedini način da se pronađe ekstremum funkcije.

2) Drugi dovoljan uslov

Ako funkcija g(x) ima drugi izvod i u nekom trenutku je prvi izvod jednak nuli, a drugi izvod različit od nule. Onda poenta Ekstrem funkcije g(x), a ako je , tada je tačka maksimum; ako , tada je tačka minimum.

Da biste pronašli maksimume i minimume funkcije, možete koristiti bilo koji od tri dovoljna znaka ekstrema. Iako je najčešći i najprikladniji prvi od njih.

Prvi dovoljan uslov za ekstrem.

Neka funkcija y = f(x) je diferencibilan u -susjedstvu tačke , i kontinuiran je u samoj tački. Onda

Drugim riječima:

Algoritam.

Pronalaženje opsega funkcije.

Izvod funkcije nalazimo u domeni definicije.

Određujemo nule brojilaca, nule nazivnika izvoda i tačke domene u kojima izvod ne postoji (ove tačke se nazivaju tačke mogućeg ekstrema, prolazeći kroz ove tačke, derivacija samo može promijeniti svoj predznak).

Ove tačke dijele domenu funkcije na intervale u kojima derivacija zadržava svoj predznak. Određujemo predznake izvoda na svakom od intervala (na primjer, izračunavanjem vrijednosti derivacije funkcije u bilo kojoj tački jednog intervala).

Odabiremo tačke u kojima je funkcija kontinuirana i prolazeći kroz koje derivacija mijenja predznak.

Primjer. Pronađite ekstreme funkcije .
Odluka.
Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva, osim za x=2.
Nalazimo derivat:

Nule brojioca su tačke x=-1 i x=5, imenilac nestaje kada x=2. Označite ove tačke na brojevnoj pravoj

Određujemo predznake derivacije na svakom intervalu, za to izračunavamo vrijednost derivacije u bilo kojoj točki svakog intervala, na primjer, u tačkama x=-2, x=0, x=3 i x=6.

Dakle, izvod je pozitivan na intervalu (na slici stavljamo znak plus preko ovog intervala). Slično

Stoga stavljamo minus na drugi interval, minus na treći, a plus na četvrti.

Ostaje odabrati tačke u kojima je funkcija kontinuirana, a njen izvod mijenja predznak. Ovo su tačke ekstrema.
U tački x=-1 funkcija je kontinuirana i derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, dakle, prema prvom znaku ekstremuma, x=-1 je maksimalna tačka, odgovara maksimumu funkcije .
U tački x=5 funkcija je kontinuirana i derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, dakle, x=-1 je minimalna točka, odgovara minimumu funkcije .
Grafička ilustracija.

odgovor: .

Drugi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije.
neka bude ,

ako , tada - minimalna tačka;

ako , tada je maksimalna točka.

Kao što vidite, ova karakteristika zahtijeva postojanje derivata najmanje do drugog reda u tački .
Primjer. Pronađite ekstreme funkcije .
Odluka.
Počnimo od obima:

Hajde da razlikujemo originalnu funkciju:

Izvod nestaje kada x=1, odnosno to je tačka mogućeg ekstremuma.
Pronalazimo drugi izvod funkcije i izračunavamo njegovu vrijednost na x=1:

Prema tome, prema drugom dovoljnom ekstremnom uslovu, x=1- maksimalni poen. Tada je maksimum funkcije.
Grafička ilustracija.

odgovor: .
Treći dovoljan kriterij za ekstremum funkcije.
Neka funkcija y = f(x) ima derivate do n-ti red u -okolici tačke i derivacije do n+1 reda u samoj tački. Neka i .
onda,

Kraj rada -

Ova tema pripada:

Algebra i analitička geometrija. Pojam matrice, operacije nad matricama i njihova svojstva

Koncept matričnih operacija na matricama i njihova svojstva .. matrica je pravokutna tablica sastavljena od brojeva koji ne mogu biti .. a zbrajanje matrice je operacija po elementima ..

Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:

Šta ćemo sa primljenim materijalom:

Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

Sve teme u ovoj sekciji:

Definicija diferencijabilnosti
Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija funkcije. Za funkciju se kaže da je diferencibilna u nekoj tački ako ima konačan izvod u toj tački, i

Pravilo diferencijacije
Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Geometrijsko značenje izvedenice. Tangentna jednadžba
Ugao nagiba prave linije y = kx + b je ugao mjeren od položaja

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački
Razmotrimo sekantu AB grafa funkcije y = f(x) tako da tačke A i B imaju koordinate, respektivno

Odluka
Funkcija je definirana za sve realne brojeve. Pošto je (-1; -3) tačka kontakta, onda

Neophodni uslovi za ekstrem i dovoljni uslovi za ekstrem
Definicija rastuće funkcije. Funkcija y = f(x) raste na intervalu X ako postoji

Uvjeti monotonosti i postojanosti funkcije
Uslov za (nestrogu) monotonost funkcije na intervalu. Neka funkcija ima izvod na svakom

Definicija antiderivata
Antiderivativna funkcija f(x) na intervalu (a; b) je funkcija F(x) takva da je jednakost

Ispitivanje
Da bismo provjerili rezultat, razlikujemo rezultirajući izraz: Kao rezultat, get

Antiderivat proizvoda konstante i funkcije jednak je umnošku konstante i antiderivativne funkcije
Dovoljan uslov za postojanje antiderivata za funkciju datu na segmentu je

Definicija
Neka se definiše na

geometrijskog smisla
Definitivni integral je numerički jednak površini figure ograničene osom apscise, prave linije

Svojstva određenog integrala
Osnovna svojstva određenog integrala. Svojstvo 1. Izvod određenog integrala u odnosu na gornju granicu jednak je integrandu u koji je umjesto varijable integriran

Newton-Leibnizova formula (sa dokazom)
Newton-Leibnizova formula. Neka je funkcija y = f(x) neprekidna na segmentu i F(x) je jedan od antiderivata funkcije na ovom segmentu, tada

Teorema (prvi dovoljan uslov za ekstrem). Neka je funkcija kontinuirana u tački, a derivacija mijenja predznak kada prolazi kroz tačku. Zatim - tačka ekstrema: maksimum, ako se znak promijeni sa "+" na "-", i minimum, ako se iz "-" promijeni na "+".

Dokaz. Neka na i na .

Po Lagrangeovom teoremu , gdje . Onda ako , onda ; zbog toga , dakle, , ili . Ako onda ; zbog toga , dakle, ili .

Dakle, dokazano je da u bilo kojoj tački blizu , tj. je maksimalna tačka funkcije .

Dokaz teoreme za minimalnu tačku izvodi se na sličan način. Teorem dokazan.

Ako derivacija ne promijeni predznak kada prolazi kroz tačku, tada u toj tački nema ekstrema.

Teorema (drugi dovoljan uslov za ekstrem). Neka je derivacija dvostruko diferencibilne funkcije u tački jednaka 0 (), a njen drugi izvod u ovoj tački je različit od nule () i neka je kontinuiran u nekom susjedstvu tačke. Tada je tačka ekstrema; at je minimalna tačka, a at je maksimalna tačka.

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije koristeći prvi dovoljan uvjet ekstrema.

1. Pronađite izvod.

2. Pronađite kritične točke funkcije.

3. Ispitati predznak derivacije lijevo i desno od svake kritične tačke i izvući zaključak o prisutnosti ekstrema.

4. Pronađite ekstremne vrijednosti funkcije.

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije koristeći drugi dovoljan uvjet ekstrema.

1. Pronađite izvod.

2. Pronađite drugi izvod.

3. Pronađite one točke gdje .

4. Odredite znak na ovim tačkama.

5. Donesite zaključak o postojanju i prirodi ekstrema.

6. Pronađite ekstremne vrijednosti funkcije.

Primjer. Razmislite . Hajde da nađemo . Nadalje, na i na . Proučimo kritične tačke koristeći prvi dovoljan ekstremni uslov. Imamo to za i za, i za. U tačkama i derivacija mijenja svoj predznak: at sa "+" na "-" i sa "-" na "+". To znači da funkcija ima maksimum u tački, a minimum u tački; . Za poređenje, proučavamo kritične tačke koristeći drugi dovoljan ekstremni uslov. Nađimo drugi izvod. Imamo: , što znači da funkcija ima maksimum u tački, a minimum u tački.

Koncept asimptote grafa funkcije. Horizontalne, kose i vertikalne asimptote. Primjeri.

Definicija. Asimptota grafa funkcije je prava linija koja ima svojstvo da udaljenost od tačke do ove prave linije teži nuli sa neograničenom udaljenosti od početka tačke grafa.

Postoje vertikalne (slika 6.6 a), horizontalne (slika 6.6 b) i kose (slika 6.6 c) asimptote.

Na sl. 6.6a je prikazano vertikalna asimptota.

Na slici 6.6b - horizontalna asimptota.

Na sl. 6.6v - kosa asimptota.

Teorema 1. U točkama vertikalnih asimptota (na primjer, ) funkcija pretrpi prekid, njena granica lijevo i desno od točke je jednaka:

Teorema 2. Neka je funkcija definirana za dovoljno velike i neka postoje konačne granice

I .

Tada je prava linija kosa asimptota grafa funkcije .

Teorema 3. Neka je funkcija definirana za dovoljno veliku i neka postoji granica funkcije. Tada je linija horizontalna asimptota grafa funkcije .

Horizontalna asimptota je poseban slučaj kose asimptote kada . Prema tome, ako kriva ima horizontalnu asimptotu u bilo kojem smjeru, onda ne postoji kosa asimptota u tom smjeru, i obrnuto.

Primjer. Pronađite asimptote grafa funkcije .

Odluka. U tački, funkcija nije definirana, nalazimo granice funkcije lijevo i desno od točke:

; .

Stoga je vertikalna asimptota.

Opća shema za proučavanje funkcija i konstruiranje njihovih grafova. Primjer.

Opća shema istraživanja funkcija i planiranje.

1. Pronađite domen definicije.

2. Istražiti funkciju za parnost - neparnost.

3. Pronađite vertikalne asimptote i tačke diskontinuiteta (ako ih ima).

4. Istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti; pronaći horizontalne i kose asimptote (ako ih ima).

5. Naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije.

6. Pronađite tačke preseka grafika sa koordinatnim osa i, ako je potrebno za šematsku konstrukciju grafa, pronađite dodatne tačke.

7. Šematski napravite graf.

Detaljna shema proučavanja funkcija i crtanje .

1. Pronađite domenu .

a. Ako y ima imenilac, ne smije ići na 0.

b. Korijenski izraz korijena parnog stepena mora biti nenegativan (veći ili jednak nuli).

c. Sublogaritamski izraz mora biti pozitivan.

2. Istražite funkciju za par - neparan.

a. Ako je , tada je funkcija parna.

b. Ako je , tada je funkcija neparna.

c. Ako nije ispunjeno niti , tada je funkcija općeg oblika.

3. Pronađite vertikalne asimptote i tačke prekida (ako ih ima).

a. Vertikalna asimptota se može pojaviti samo na granici domene funkcije.

b. Ako je ( ili ), onda je vertikalna asimptota grafa .

4. Istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti; pronaći horizontalne i kose asimptote (ako ih ima).

a. Ako je , tada je horizontalna asimptota grafa .

b. Ako , tada je prava linija kosa asimptota grafa.

c. Ako granice navedene u paragrafima a, b postoje samo kada jednostrano teži ka beskonačnosti ( ili ), tada će rezultirajuće asimptote biti jednostrane: lijevo kao i desno kao .

5. Naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije.

a. Pronađite derivat .

b. Pronađite kritične tačke (one tačke gde ili gde ne postoje).

c. Na numeričkoj osi označite oblast definicije i njene kritične tačke.

d. Na svakom od dobijenih numeričkih intervala odredite predznak izvoda.

e. Na osnovu znakova derivacije izvući zaključak o prisutnosti ekstrema u y i njihovoj vrsti.

f. Pronađite ekstremne vrijednosti.

g. Prema predznacima derivacije, izvući zaključak o povećanju i smanjenju.

6. Nađite tačke preseka grafa sa koordinatnim osama i, ako je potrebno za šematsku konstrukciju grafa, pronađite dodatne tačke.

a. Da bi se pronašle tačke preseka grafa sa osom, potrebno je rešiti jednačinu. Tačke, gdje su nule, bit će presječne tačke grafika sa osom.

b. Tačka presjeka grafa sa osom ima oblik . Postoji samo ako je tačka unutar opsega funkcije.

8. Šematski napravite graf.

a. Konstruisati koordinatni sistem i asimptote.

b. Označite ekstremne tačke.

c. Označite tačke preseka grafika sa koordinatnim osa.

d. Šematski izgradite graf tako da prolazi kroz označene tačke i približava se asimptoti.

Primjer. Istražite funkciju i šematski nacrtajte njen graf.

2. je opća funkcija.

3. Budući da i , Tada su linije i vertikalne asimptote; tačke i su tačke prekida. , jer nije uključeno u područje definicije funkcije