Definicija 1

Antiderivat $F(x)$ za funkciju $y=f(x)$ na segmentu $$ je funkcija koja je diferencibilna u svakoj tački ovog segmenta i za njen izvod vrijedi sljedeća jednakost:

Definicija 2

Skup svih antiderivata date funkcije $y=f(x)$ definiranih na nekom segmentu naziva se neodređenim integralom date funkcije $y=f(x)$. Neodređeni integral je označen simbolom $\int f(x)dx $.

Iz tabele izvoda i definicije 2 dobijamo tabelu osnovnih integrala.

Primjer 1

Provjerite valjanost formule 7 iz tabele integrala:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=konst.\]

Razlikujemo desnu stranu: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Primjer 2

Provjerite valjanost formule 8 iz tabele integrala:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=konst.\]

Razlikujte desnu stranu: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 3

Provjerite valjanost formule 11" iz tabele integrala:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Razlikujte desnu stranu: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 4

Provjerite valjanost formule 12 iz tabele integrala:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(ax) \right|+ C,\, \, C=konst.\]

Razlikujte desnu stranu: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(ax) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(ax) ) \cdot \left(\frac(a+x)(ax) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(ax)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((ax)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(ax)(a+x) \cdot \ frac(2a)((ax)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Izvod je jednak integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 5

Provjerite valjanost formule 13 "iz tablice integrala:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Razlikujte desnu stranu: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 6

Provjerite valjanost formule 14 iz tabele integrala:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=konst.\]

Razlikujte desnu stranu: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 7

Pronađite integral:

\[\int \levo(\cos (3x+2)+5x\desno) dx.\]

Koristimo teoremu o integralu sume:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\desno) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Koristimo teoremu o uzimanju konstantnog faktora iz predznaka integrala:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Prema tabeli integrala:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Prilikom izračunavanja prvog integrala koristimo pravilo 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

shodno tome,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\desno) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Glavni integrali koje svaki učenik treba da zna

Navedeni integrali su osnova, osnova temelja. Ove formule, naravno, treba zapamtiti. Prilikom izračunavanja složenijih integrala, morat ćete ih stalno koristiti.

Obratite posebnu pažnju na formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) i (19). Ne zaboravite da dodate proizvoljnu konstantu C odgovoru prilikom integracije!

Integral konstante

∫ A d x = A x + C (1)

Integracija funkcije snage

Zapravo, moglo bi se ograničiti na formule (5) i (7), ali ostali integrali iz ove grupe su toliko uobičajeni da je vrijedno posvetiti im malo pažnje.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrali eksponencijalne funkcije i hiperboličkih funkcija

Naravno, formula (8) (možda najpogodnija za pamćenje) može se smatrati posebnim slučajem formule (9). Formule (10) i (11) za integrale hiperboličkog sinusa i hiperboličkog kosinusa lako se izvode iz formule (8), ali je bolje zapamtiti ove odnose.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Osnovni integrali trigonometrijskih funkcija

Greška koju učenici često prave: brkaju znakove u formulama (12) i (13). Sjećajući se da je derivacija sinusa jednaka kosinusu, iz nekog razloga mnogi ljudi vjeruju da je integral sinx funkcije jednak cosx. Ovo nije istina! Integral sinusa je "minus kosinus", ali integral cosx je "samo sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrali koji se svode na inverzne trigonometrijske funkcije

Formula (16), koja vodi do tangente luka, prirodno je poseban slučaj formule (17) za a=1. Slično, (18) je poseban slučaj (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Složeniji integrali

Ove formule je također poželjno zapamtiti. Oni se također koriste prilično često, a njihov rezultat je prilično zamoran.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Opća pravila integracije

1) Integral zbira dvije funkcije jednak je zbiru odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integral razlike dvije funkcije jednaka je razlici odgovarajući integrali: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstanta se može izvaditi iz predznaka integrala: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Lako je vidjeti da je svojstvo (26) jednostavno kombinacija svojstava (25) i (27).

4) Integral od složena funkcija, ako unutrašnja funkcija je linearan: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Ovdje je F(x) antiderivat za funkciju f(x). Imajte na umu da ova formula radi samo kada je unutrašnja funkcija Ax + B.

Važno: ne postoji univerzalna formula za integral proizvoda dvije funkcije, kao ni za integral razlomka:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trideset)

To, naravno, ne znači da se razlomak ili proizvod ne može integrirati. Jednostavno, svaki put kada vidite integral poput (30), morate izmisliti način da se "borite" s njim. U nekim slučajevima će vam pomoći integracija po dijelovima, negdje ćete morati napraviti promjenu varijable, a ponekad čak i "školske" formule algebre ili trigonometrije mogu pomoći.

Jednostavan primjer za izračunavanje neodređenog integrala

Primjer 1. Pronađite integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Koristimo formule (25) i (26) (integral zbira ili razlike funkcija jednak je zbiru ili razlici odgovarajućih integrala. Dobijamo: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx − ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx

Podsjetimo da se konstanta može izvaditi iz predznaka integrala (formula (27)). Izraz se pretvara u formu

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Sada koristimo samo tabelu osnovnih integrala. Trebat ćemo primijeniti formule (3), (12), (8) i (1). Hajde da se integrišemo funkcija snage, sinus, eksponent i konstanta 1. Ne zaboravite dodati proizvoljnu konstantu C na kraju:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Poslije elementarne transformacije dobijamo konačan odgovor:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testirajte se diferencijacijom: uzmite derivaciju rezultujuće funkcije i uvjerite se da je jednaka originalnom integralu.

Zbirna tabela integrala

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Preuzmite tabelu integrala (II dio) sa ovog linka

Ako studirate na fakultetu, ako imate bilo kakvih poteškoća sa višu matematiku(matematička analiza, linearna algebra, teorija vjerovatnoće, statistika), ako su vam potrebne usluge kvalifikovanog nastavnika, idite na stranicu nastavnika više matematike. Hajde da zajedno rešimo vaše probleme!

Možda ćete biti zainteresirani

Integracija je jedna od osnovnih operacija u matematičkoj analizi. Tabele poznatih antiderivata mogu biti korisne, ali sada, nakon pojave sistema kompjuterske algebre, gube svoj značaj. Ispod je lista najčešćih antiderivata.

Tabela osnovnih integrala

Još jedna kompaktna verzija

Tablica integrala iz trigonometrijskih funkcija

Od racionalnih funkcija

Od iracionalnih funkcija

Integrali transcendentalnih funkcija

"C" je proizvoljna integraciona konstanta, koja se određuje ako je poznata vrijednost integrala u nekoj tački. Svaka funkcija ima beskonačan broj antiderivata.

Većina školaraca i studenata ima problema sa računanjem integrala. Ova stranica sadrži tablice integrala od trigonometrijskih, racionalnih, iracionalnih i transcendentalnih funkcija koje će pomoći u rješavanju. Tabela derivata će vam također pomoći.

Video - kako pronaći integrale

Ako vam ova tema nije sasvim jasna, pogledajte video koji sve detaljno objašnjava.

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za elitu. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, ali znaju malo ili ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Šta su određeni i neodređeni integrali?

Ako je jedina upotreba integrala za koju znate da dobijete nešto korisno sa teško dostupnih mjesta pomoću kuke u obliku integralne ikone, onda dobrodošli! Naučite kako riješiti jednostavne i druge integrale i zašto bez toga ne možete u matematici.

Proučavamo koncept « integralni »

Integracija je bila poznata u starom Egiptu. Naravno, ne u modernom obliku, ali ipak. Od tada, matematičari su napisali mnogo knjiga na ovu temu. Posebno istaknut Newton I Leibniz ali suština stvari se nije promenila.

Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje će vam trebati osnovno znanje o osnovama. matematička analiza. Informacije o , koje su također neophodne za razumijevanje integrala, već su na našem blogu.

Neodređeni integral

Hajde da imamo neku funkciju f(x) .

Neodređeni integral funkcije f(x) takva funkcija se zove F(x) , čiji je izvod jednak funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je obrnuti izvod ili antiderivat. Usput, o tome kako čitati u našem članku.

Primitiv postoji za svakoga kontinuirane funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti poklapaju. Proces pronalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Da ne bi stalno kalkulirali primitive elementarne funkcije, zgodno ih je sažeti u tabelu i koristiti gotove vrijednosti.

Kompletna tabela integrala za studente

Definitivni integral

Kada se bavimo konceptom integrala, imamo posla sa beskonačno malim veličinama. Integral će pomoći u izračunavanju površine figure, mase nehomogenog tijela kroz koju je prošlo neravnomerno kretanje put i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbir beskonačnog veliki broj beskonačno mali pojmovi.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije.

Kako pronaći površinu figure ograničenu grafom funkcije? Uz pomoć integrala! Razbijmo krivolinijski trapez, omeđen koordinatnim osa i grafom funkcije, na beskonačno male segmente. Dakle, figura će biti podijeljena u tanke stupce. Zbir površina stupova bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, to će proračun biti precizniji. Ako ih smanjimo do te mjere da dužina teži nuli, tada će zbir površina segmenata težiti površini figure. Ovo je definitivni integral koji se piše na sljedeći način:

Tačke a i b se nazivaju granicama integracije.

« Integral »

Između ostalog! Za naše čitaoce sada postoji popust od 10%.

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo razmotriti svojstva neodređenog integrala, koja će biti korisna u rješavanju primjera.

• Izvod integrala je jednak integrandu:

• Konstanta se može izvaditi ispod predznaka integrala:

• Integral zbira jednak je zbiru integrala. Tačno i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije obrnu:

• At bilo koji bodova a, b I od:

Već smo saznali da je definitivni integral granica zbira. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku razmatramo neodređeni integral i primjere s rješenjima. Nudimo vam da samostalno shvatite zamršenost rješenja, a ako nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Da biste konsolidirali materijal, pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Ne očajavajte ako se integral ne da odmah. Obratite se stručnom studentskom servisu, a bilo koji trostruki ili krivolinijski integral na zatvorenoj površini biće u vašoj moći.

Antiderivativna funkcija i neodređeni integral

Činjenica 1. Integracija je suprotna od diferencijacije, naime, vraćanje funkcije iz poznatog izvoda ove funkcije. Funkcija vraćena na ovaj način F(x) se zove primitivno za funkciju f(x).

Definicija 1. Funkcija F(x f(x) u nekom intervalu X, ako za sve vrijednosti x iz ovog intervala jednakost F "(x)=f(x), tj datu funkciju f(x) je izvod antiderivativne funkcije F(x). .

Na primjer, funkcija F(x) = grijeh x je antiderivat za funkciju f(x) = cos x na cijeloj brojevnoj pravoj, jer za bilo koju vrijednost x (grijeh x)" = (cos x) .

Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih njegovih antiderivata. Ovo koristi notaciju

∫

f(x)dx

,

gdje je znak ∫ naziva se integralni znak, funkcija f(x) je integrand, i f(x)dx je integrand.

Dakle, ako F(x) je neki antideritiv za f(x) , onda

∫

f(x)dx = F(x) +C

gdje C - proizvoljna konstanta (konstanta).

Da bismo razumjeli značenje skupa antiderivata funkcije kao neodređenog integrala, prikladna je sljedeća analogija. Neka budu vrata (tradicionalna drvena vrata). Njegova funkcija je "biti vrata". Od čega su vrata napravljena? Sa drveta. To znači da je skup antiderivata integranda "biti vrata", odnosno njegov neodređeni integral, funkcija "biti stablo + C", gdje je C konstanta, što u ovom kontekstu može označavati, za na primjer, vrsta drveća. Baš kao što su vrata napravljena od drveta sa nekim alatima, derivacija funkcije je "napravljena" od antiderivativne funkcije sa formula koju smo naučili proučavajući derivaciju .

Tada je tabela funkcija uobičajenih objekata i njihovih odgovarajućih primitiva ("biti vrata" - "biti drvo", "biti kašika" - "biti metal" itd.) slična tablici od osnovne neodređene integrale, koji će biti dati u nastavku. Tabela neodređenih integrala navodi uobičajene funkcije, ukazujući na antiderivate od kojih su ove funkcije "napravljene". U okviru zadataka za pronalaženje neodređenog integrala dati su takvi integrali koji se mogu direktno integrisati bez posebnih napora, odnosno prema tabeli neodređenih integrala. U složenijim problemima, integrand se prvo mora transformirati tako da se mogu koristiti tablični integrali.

Činjenica 2. Vraćajući funkciju kao antiderivativ, moramo uzeti u obzir proizvoljnu konstantu (konstantu) C, a da ne biste napisali listu antiderivata sa raznim konstantama od 1 do beskonačnosti, potrebno je da zapišete skup antiderivata sa proizvoljnom konstantom C, ovako: 5 x³+C. Dakle, proizvoljna konstanta (konstanta) je uključena u izraz antiderivata, budući da antiderivat može biti funkcija, na primjer, 5 x³+4 ili 5 x³+3 i kada se razlikuje 4 ili 3 ili bilo koja druga konstanta nestaje.

Postavljamo problem integracije: za datu funkciju f(x) pronaći takvu funkciju F(x), čiji derivat je jednako sa f(x).

Primjer 1 Pronađite skup antiderivata funkcije

Rješenje. Za ovu funkciju, antiderivat je funkcija

Funkcija F(x) se naziva antiderivativ za funkciju f(x) ako je derivat F(x) je jednako f(x), ili, što je isto, diferencijal F(x) je jednako f(x) dx, tj.

(2)

Dakle, funkcija je antiderivativna za funkciju . Međutim, to nije jedini antiderivat za . One su također funkcije

gdje OD je proizvoljna konstanta. Ovo se može potvrditi diferencijacijom.

Dakle, ako postoji jedan antiderivat za funkciju, onda za nju postoji beskonačan skup antiderivata koji se razlikuju po konstantnom sabiru. Svi antiderivati ​​za funkciju su napisani u gornjem obliku. Ovo slijedi iz sljedeće teoreme.

Teorema (formalna izjava o činjenici 2). Ako F(x) je antiderivat za funkciju f(x) u nekom intervalu X, zatim bilo koji drugi antiderivat za f(x) na istom intervalu može se predstaviti kao F(x) + C, gdje OD je proizvoljna konstanta.

U sljedećem primjeru već se okrećemo tabeli integrala, koja će biti data u paragrafu 3, nakon svojstava neodređenog integrala. To radimo prije nego što se upoznamo sa cijelom tabelom, tako da je suština gore navedenog jasna. A nakon tabele i svojstava, mi ćemo ih koristiti u cijelosti prilikom integracije.

Primjer 2 Pronađite skupove antiderivata:

Rješenje. Pronalazimo skupove antiderivativnih funkcija od kojih su te funkcije "napravljene". Kada spominjete formule iz tabele integrala, za sada samo prihvatite da takve formule postoje, a mi ćemo malo dalje proučiti tabelu neodređenih integrala u celosti.

1) Primjenom formule (7) iz tabele integrala za n= 3, dobijamo

2) Koristeći formulu (10) iz tabele integrala za n= 1/3, imamo

3) Od

onda prema formuli (7) at n= -1/4 nalazi

Pod znakom integrala ne pišu samu funkciju f, i njegov proizvod diferencijalom dx. Ovo se prvenstveno radi da bi se naznačilo koja varijabla se traži za antiderivatom. Na primjer,

, ;

ovdje je u oba slučaja integrand jednak , ali se njegovi neodređeni integrali u razmatranim slučajevima pokazuju različitim. U prvom slučaju, ova funkcija se smatra funkcijom varijable x, au drugom - u funkciji od z .

Proces nalaženja neodređenog integrala funkcije naziva se integracija te funkcije.

Geometrijsko značenje neodređenog integrala

Neka se traži da se pronađe kriva y=F(x) a već znamo da je tangenta nagiba tangente u svakoj njenoj tački datu funkciju f(x) apscisa ove tačke.

Prema geometrijskom smislu derivacija, tangenta nagiba tangente u datoj tački na krivulji y=F(x) jednaka vrijednosti derivata F"(x). Dakle, moramo pronaći takvu funkciju F(x), za koji F"(x)=f(x). Potrebna funkcija u zadatku F(x) je izvedeno iz f(x). Uslov problema ne zadovoljava jedna kriva, već porodica krivih. y=F(x)- jedna od ovih krivulja, kao i bilo koja druga kriva se može dobiti iz nje paralelni transfer duž ose Oy.

Nazovimo graf antiderivatne funkcije od f(x) integralna kriva. Ako F"(x)=f(x), zatim graf funkcije y=F(x) je integralna kriva.

Činjenica 3. Neodređeni integral je geometrijski predstavljen porodicom svih integralnih krivulja kao na slici ispod. Udaljenost svake krive od početka je određena proizvoljnom konstantom (konstantom) integracije C.

Svojstva neodređenog integrala

Činjenica 4. Teorema 1. Izvod neodređenog integrala jednak je integrandu, a njegov diferencijal je jednak integrandu.

Činjenica 5. Teorema 2. Neodređeni integral diferencijala funkcije f(x) jednaka je funkciji f(x) do konstantnog člana , tj.

(3)

Teoreme 1 i 2 pokazuju da su diferencijacija i integracija međusobno inverzne operacije.

Činjenica 6. Teorema 3. Konstantni faktor u integrandu može se izvaditi iz predznaka neodređenog integrala , tj.