Neka bude je sistem vektora m iz . Osnovne elementarne transformacije sistema vektora su

1. - dodavanje jednog od vektora (vektora) linearne kombinacije ostalih.

2. - množenje jednog od vektora (vektora) brojem koji nije jednak nuli.

3. permutacija dva vektora () na mjestima. Sistemi vektora , zvat će se ekvivalentni (notacija) ako postoji lanac elementarnih transformacija koji transformiše prvi sistem u drugi.

Uočavamo svojstva uvedenog koncepta ekvivalencije vektora

(refleksivnost)

Iz toga slijedi da (simetrija)

Ako i , tada (tranzitivnost) Teorema. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, i ekvivalentan mu je, onda je sistem linearno nezavisan. Dokaz. Očigledno, dovoljno je dokazati teoremu za sistem dobijen uz pomoć jedne elementarne transformacije Pretpostavimo da je sistem vektora linearno nezavisan. Zatim iz toga slijedi da . Neka se sistem dobije pomoću jedne elementarne transformacije. Očigledno, permutiranje vektora ili množenje jednog od vektora brojem različitom od nule se ne mijenja linearnu nezavisnost vektorski sistemi. Pretpostavimo sada da se sistem vektora dobija iz sistema dodavanjem vektoru linearne kombinacije ostalih, . Potrebno je utvrditi da (1) implicira da je , onda iz (1) dobijamo . (2)

Jer sistem linearno nezavisan, onda iz (2) slijedi da za sve .

Odavde dobijamo . Q.E.D.

57. Matrice. množenje matrice sabiranja matrice skalarnim kao vektorski prostor njegovu dimenziju.

Vrsta matrice: kvadratna

Sabiranje matrice

Svojstva dodavanja matrice:

1. komutativnost: A+B = B+A;

Množenje matrice brojem

Množenje matrice A brojem ¥ (oznaka: ¥A) sastoji se od konstruisanja matrice B čiji se elementi dobijaju množenjem svakog elementa matrice A ovim brojem, odnosno svaki element matrice B je jednako: Bij=¥Aij

Svojstva množenja matrica brojem:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Vektor reda i vektor kolone

Matrice veličine m x 1 i 1 x n su elementi prostora K^n i K^m, redom:

matrica veličine m x1 naziva se vektor stupac i ima posebnu oznaku:

Matrica 1 x n naziva se vektor reda i ima posebnu notaciju:

58. Matrice. Matrično sabiranje i množenje. Matrice kao prsten, svojstva matričnog prstena.

Matrica je pravokutna tablica brojeva, koja se sastoji od m redova jednake dužine ili n strobova jednake dužine.

aij - element matrice koji se nalazi u i-tom redu i j-toj koloni.

Vrsta matrice: kvadratna

kvadratna matrica je matrica sa jednak broj kolone i redove.

Sabiranje matrice

Zbrajanje matrica A + B je operacija pronalaženja matrice C čiji su svi elementi jednaki parnom zbroju svih odgovarajućih elemenata matrice A i B, odnosno svaki element matrice je \u200b \u200bCij \u003d Aij + Bij

Svojstva dodavanja matrice:

1. komutativnost: A+B = B+A;

2. asocijativnost: (A+B)+C =A+(B+C);

3. sabiranje sa nultom matricom: A + Θ = A;

4. postojanje suprotne matrice: A + (-A) = Θ;

Sva svojstva linearnih operacija ponavljaju aksiome linearnog prostora, te stoga vrijedi sljedeća teorema:

Skup svih matrica iste veličine mxn sa elementima iz polja P (polja svih realnih ili kompleksni brojevi) forme linearni prostor preko polja P (svaka takva matrica je vektor ovog prostora).

Množenje matrice

Množenje matrice (oznaka: AB, rjeđe sa znakom množenja A x B) je operacija izračunavanja matrice C čiji je svaki element jednak zbiru proizvoda elemenata u odgovarajućem redu prvog faktora i kolona drugog.

Broj stupaca u matrici A mora odgovarati broju redova u matrici B, drugim riječima, matrica A mora biti konzistentna sa matricom B. Ako matrica A ima dimenzije mxn , B - nxk , tada je dimenzija njihovog proizvoda AB=C je mxk.

Svojstva množenja matrice:

1. asocijativnost (AB)C = A(BC);

2.nekomutativnost (općenito): AB BA;

3. Proizvod je komutativan u slučaju množenja sa matricom identiteta: AI = IA;

4. distributivnost: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5. asocijativnost i komutativnost u odnosu na množenje brojem: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*Invertibilne matrice. Posebne i nespecijalne elementarne transformacije matrični redovi. Elementarne matrice. Množenje elementarnim matricama.

inverzna matrica je takva matrica A -1, kada se pomnoži s kojim, originalna matrica A daje matricu identiteta E:

Elementarne transformacije stringova zove:

The elementarne transformacije stupaca.

Elementarne transformacije reverzibilan.

Oznaka označava da se matrica može dobiti elementarnim transformacijama (ili obrnuto).

Dva sistema linearne jednačine iz jednog skupa x 1 ,..., x n nepoznanica i, respektivno, iz m i p jednačina

Zovu se ekvivalentni ako se njihova rješenja skupovi i poklapaju (tj. podskupovi i u K n se poklapaju, ). To znači da su ili oba prazna podskupa (tj. oba sistema (I) i (II) su nekonzistentna) ili su istovremeno neprazni, i (tj. svako rješenje sistema I je rješenje sistema II i svaki sistem rješenja II je rješenje za sistem I).

Primjer 3.2.1.

Gaussova metoda

Plan algoritma koji je predložio Gauss bio je prilično jednostavan:

1. primeniti sekvencijalne transformacije na sistem linearnih jednadžbi koje ne menjaju skup rešenja (na taj način čuvamo skup rešenja originalnog sistema), i pređemo na ekvivalentni sistem koji ima "jednostavnu formu" (tzv. korak obrazac);
2. za " jednostavan oblik"sistema (sa matricom koraka) opisuju skup rješenja koji se poklapa sa skupom rješenja originalnog sistema.

Imajte na umu da je usko povezana metoda "fan-chen" već bila poznata u drevnoj kineskoj matematici.

Elementarne transformacije sistema linearnih jednadžbi (redovi matrica)

Definicija 3.4.1 (elementarna konverzija tipa 1). Kada se i -ta jednačina sistema doda k -toj jednačini pomnoženoj sa brojem (oznaka: (i) "= (i) + c (k) ; tj. samo jedna i -ta jednačina (i) se zamjenjuje novom jednačinom (i)"=(i)+c(k) ). Nova i -ta jednačina ima oblik (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a u +ca kn)x n =b i +cb k, ili, ukratko,

To jest, u novoj i-toj jednačini a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.

Definicija 3.4.2 (elementarna konverzija tipa 2). Za i -tu i k -tu jednadžbinu se mijenjaju, preostale jednačine se ne mijenjaju (oznaka: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; za koeficijente to znači sljedeće: za j=1 ,.. .,n

Napomena 3.4.3. Radi praktičnosti, u određenim proračunima možete primijeniti elementarnu transformaciju trećeg tipa: i-ta jednačina se množi brojem koji nije nula , (i)"=c(i) .

Prijedlog 3.4.4. Ako smo sa sistema I prešli na sistem II uz pomoć konačnog broja elementarnih transformacija 1. i 2. tipa, onda se iz sistema II možemo vratiti u sistem I i elementarnim transformacijama 1. i 2. tipa.

Dokaz.

Napomena 3.4.5. Tvrdnja je tačna i sa uključivanjem elementarne transformacije 3. tipa u broj elementarnih transformacija. Ako i (i)"=c(i) , tada i (i)=c -1 (i)" .

Teorema 3.4.6.Nakon uzastopne primjene konačnog broja elementarnih transformacija 1. ili 2. tipa na sistem linearnih jednačina, dobija se sistem linearnih jednačina koji je ekvivalentan izvornom.

Dokaz. Napominjemo da je dovoljno razmotriti slučaj prijelaza iz sistema I u sistem II uz pomoć jedne elementarne transformacije i dokazati inkluziju za skupove rješenja (pošto je na osnovu dokazane tvrdnje moguć povratak iz sistema II na sistem I i stoga ćemo imati inkluziju , tj. dokazaće se jednakost).

Elementarne matrice transformacije uključuju:

1. Promjena redoslijeda redova (kolona).

2. Ispuštanje nula redova (kolona).

3. Množenje elemenata bilo kojeg reda (kolone) jednim brojem.

4. Dodavanje elementima bilo kojeg reda (kolone) elemenata drugog reda (kolone), pomnoženih jednim brojem.

Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi slu (Osnovni pojmovi i definicije).

1. Sistem m linearne jednadžbe sa n nepoznato se zove sistem jednadžbi oblika:

2.Odluka sistem jednačina (1) naziva se skup brojeva x 1 , x 2 , … , x n , pretvaranje svake jednadžbe sistema u identitet.

3. Sistem jednačina (1) se zove joint ako ima barem jedno rješenje; ako sistem nema rješenja, zove se nekompatibilno.

4. Sistem jednačina (1) se zove siguran ako ima samo jedno rješenje, i neizvjesno ako ima više od jednog rješenja.

5. Kao rezultat elementarnih transformacija, sistem (1) se transformiše u sistem koji mu je ekvivalentan (tj. ima isti skup rješenja).

Za elementarne transformacije sistemi linearnih jednadžbi uključuju:

1. Ispuštanje nultih nizova.

2. Promjena redoslijeda linija.

3. Sabiranje elemenata bilo kojeg reda elemenata drugog reda, pomnoženo jednim brojem.

Metode rješavanja sistema linearnih jednačina.

1) Metoda inverzne matrice (matrična metoda) za rješavanje sistema od n linearnih jednačina sa n nepoznatih.

sistem n linearne jednadžbe sa n nepoznato se zove sistem jednadžbi oblika:

Zapišimo sistem (2) u matričnom obliku, za to uvodimo notaciju.

Matrica koeficijenata prije varijabli:

X = ‒ matrica varijabli.

B = je matrica slobodnih termina.

Tada će sistem (2) poprimiti oblik:

A× X = B‒ matrična jednačina.

Rješavajući jednačinu dobijamo:

X = A -1 × B

primjer:

; ;

1) │A│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 matrica A -1 postoji.

3)

à =

4) A -1 = × Ã = ;

X \u003d A -1 × B

odgovor:

2) Cramerovo pravilo za rješavanje sistema od n - linearnih jednačina sa n - nepoznatih.

Razmotrimo sistem 2 - x linearnih jednačina sa 2 - nepoznatim:

Rešimo ovaj sistem metodom zamene:

Iz prve jednadžbe slijedi:

Zamjenom u drugu jednačinu dobijamo:

Zamijenimo vrijednost u formuli za, dobijemo:

Determinanta Δ - determinanta matrice sistema;

Δ x 1 - varijabilna determinanta x 1 ;

Δ x 2 - varijabilna determinanta x 2 ;

Formule:

x 1 =;x 2 =;…,x n = ;Δ  0;

su pozvani Cramerove formule.

Prilikom pronalaženja determinanti nepoznatih X 1 , X 2 ,…, X n stupac koeficijenata varijable čija je determinanta pronađena zamijenjen je stupcem slobodnih članova.

primjer: Rešiti sistem jednačina Cramerovom metodom

Rješenje:

Prvo sastavljamo i izračunavamo glavnu determinantu ovog sistema:

Budući da je Δ ≠ 0, sistem ima jedinstveno rješenje koje se može naći korištenjem Cramerovog pravila:

gdje se Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 dobijaju iz determinante Δ zamjenom 1., 2. ili 3. stupca, redom, kolonom slobodnih članova.

Na ovaj način:

Gausova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina.

Razmotrite sistem:

Proširena matrica sistema (1) je matrica oblika:

Gaussova metoda je metoda uzastopnog eliminisanja nepoznatih iz jednačina sistema, počevši od druge jednačine duž m- ta jednačina.

U ovom slučaju, elementarnim transformacijama, matrica sistema se svodi na trouglastu (ako m = n i sistemska determinanta ≠ 0) ili postupno (ako m< n ) obrazac.

Zatim, počevši od posljednje jednačine po broju, pronalaze se sve nepoznanice.

Algoritam Gaussove metode:

1) Sastavite proširenu matricu sistema, uključujući kolonu slobodnih članova.

2) Ako ali 11  0, tada prvi red podijelimo sa ali 11 i pomnožite sa (- a 21) i dodajte drugi red. Slično, doseg m- iz tog reda:

I stranicu podijeli po ali 11 i pomnožite sa (- ali m 1) i dodaj m- tu stranicu

U ovom slučaju, iz jednačina, počevši od drugog do m- to jest, varijabla će biti isključena x 1 .

3) U 3. koraku, drugi red se koristi za slične elementarne transformacije nizova od 3. do m- thuyu. Ovo će ukloniti varijablu x 2, počevši od 3. reda prema dolje m- tuja itd.

Kao rezultat ovih transformacija, sistem će se svesti na trokutasti ili stepenasti oblik (u slučaju trokutaste forme, ispod glavne dijagonale se nalaze nule).

Dovođenje sistema u trouglasti ili stepenasti oblik naziva se direktna Gaussova metoda, a pronalaženje nepoznanica iz rezultirajućeg sistema se zove unazad.

primjer:

Direktan potez. Hajde da predstavimo proširenu matricu sistema

uz pomoć elementarnih transformacija u stepenasti oblik. Zamijenite prvi i drugi red matrice A b, dobijamo matricu:

Dodajmo drugi red rezultirajuće matrice sa prvim pomnoženim sa (‒2) i trećim redom sa prvim redom pomnoženim sa (‒7). Uzmi matricu

Trećem redu rezultirajuće matrice dodajemo drugi red pomnožen sa (‒3), kao rezultat toga dobijamo matricu koraka

Stoga smo ovaj sistem jednadžbi sveli na stepenasti oblik:

,

Obrnuti potez. Polazeći od posljednje jednadžbe dobijenog postupnog sistema jednadžbi, sukcesivno nalazimo vrijednosti nepoznanica:

U nastavku razmatramo sisteme linearnih jednačina nad poljem varijabli PROŠIRENO. Za dva sistema linearnih jednačina se kaže da su ekvivalentna ako je svako rješenje bilo kojeg od ovih sistema rješenje drugog sistema.

Sljedeće rečenice izražavaju svojstva ekvivalencije, koja proizilaze iz definicije ekvivalencije i svojstava sukcesije sistema gore navedenih.

PREDLOG 2.2. Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako i samo ako je svaki od ovih sistema posledica drugog sistema.

PREDLOG 2.3. Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako i samo ako se skup svih rješenja jednog sistema poklapa sa skupom svih rješenja drugog sistema.

PREDLOG 2.4. Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako i samo ako su predikati definisani ovim sistemima ekvivalentni.

DEFINICIJA. Sljedeće transformacije nazivaju se elementarnim transformacijama sistema linearnih jednačina:

(a) množenje obje strane neke jednačine sistema skalarom koji nije nula;

(P) sabiranje (oduzimanje) oba dijela bilo koje jednačine sistema odgovarajućih dijelova druge jednačine sistema, pomnoženo skalarom;

Isključivanje iz sistema ili dodavanje u sistem linearne jednačine sa nultim koeficijentima i nultim slobodnim članom.

TEOREMA 2.5. Ako se jedan sistem linearnih jednačina dobije iz drugog sistema linearnih jednačina kao rezultat lanca elementarnih transformacija, onda su ova dva sistema ekvivalentna.

Dokaz. Pustite sistem

Ako jednu od njegovih jednadžbi, na primjer, prvu, pomnožimo sa skalarom X koji nije nula, onda ćemo dobiti sistem

Svako rješenje sistema (1) je i rješenje sistema (2).

Obrnuto, ako je bilo koje rješenje sistema (2),

zatim, množenjem prve jednakosti sa i bez mijenjanja sljedećih jednakosti, dobijamo jednakosti koje pokazuju da je vektor rješenje za sistem (1). Dakle, sistem (2) je ekvivalentan originalnom sistemu (1). Također je lako provjeriti da jedna primjena elementarne transformacije (P) ili na sistem (1) dovodi do sistema ekvivalentnog originalnom sistemu (1). Pošto je relacija ekvivalencije tranzitivna, ponovljena primena elementarnih transformacija dovodi do sistema jednačina ekvivalentnog originalnom sistemu (1).

KOROLAR 2.6. Ako jednoj od jednačina sistema linearnih jednačina dodamo linearnu kombinaciju drugih jednačina sistema, onda ćemo dobiti sistem jednačina koji je ekvivalentan izvornom.

KOROLAR 2.7. Ako iz sistema linearnih jednačina izuzmemo ili mu dodamo jednačinu koja je linearna kombinacija drugih jednačina sistema, onda ćemo dobiti sistem jednačina koji je ekvivalentan izvornom sistemu.

Elementarne transformacije su:

1) Dodatak oba dijela jedne jednačine odgovarajućih dijelova druge, pomnožen istim brojem, nije jednak nuli.

2) Permutacija jednačina po mjestima.

3) Uklanjanje iz sistema jednačina koje su identični za sve x.

KRONECKER-CAPELLI TEOREMA

(uvjet kompatibilnosti sistema)

(Leopold Kronecker (1823-1891) njemački matematičar)

Teorema: Sistem je konzistentan (ima najmanje jedno rješenje) ako i samo ako je rang sistemske matrice jednak rangu proširene matrice.

Očigledno, sistem (1) se može zapisati kao:

x 1 + x 2 + … + x n

Dokaz.

1) Ako rješenje postoji, onda kolona slobodnih članova postoji linearna kombinacija kolone matrice A, što znači dodavanje ove kolone matrici, tj. prijelaz A®A * ne mijenja rang.

2) Ako je RgA = RgA *, to znači da imaju isti osnovni mol. Stupac slobodnih članova je linearna kombinacija stupaca baznog minora, one oznake navedene gore su tačne.

Primjer. Odredite kompatibilnost sistema linearnih jednadžbi:

~ . Rga = 2.

A* = RgA* = 3.

Sistem je nedosledan.

Primjer. Odrediti kompatibilnost sistema linearnih jednačina.

A = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Sistem je kolaborativan. Rješenja: x 1 = 1; x 2 \u003d 1/2.

2.6 GAUSOVA METODA

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) njemački matematičar)

Za razliku od matrična metoda i Cramerovu metodu, Gaussova metoda se može primijeniti na sisteme linearnih jednačina sa proizvoljan broj jednačine i nepoznanice. Suština metode je sekvencijalna eliminacija nepoznatih.

Razmotrimo sistem linearnih jednačina:

Podijelite oba dijela 1. jednačine sa 11 ¹ 0, a zatim:

1) pomnožite sa 21 i oduzmite od druge jednačine

2) pomnožite sa 31 i oduzmite od treće jednačine

, gdje d 1 j = a 1 j /a 11 , j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Primjer. Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

, odakle dobijamo: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1 = 1.

Primjer. Rešite sistem Gaussovom metodom.

Hajde da sastavimo proširenu matricu sistema.

Dakle, originalni sistem se može predstaviti kao:

, odakle dobijamo: z = 3; y=2; x = 1.

Dobijeni odgovor se poklapa sa odgovorom dobijenim za ovaj sistem Cramer metodom i matričnom metodom.

Za samostalno rješenje:

Odgovor: (1, 2, 3, 4).

TEMA 3. ELEMENTI VEKTORSKE ALGEBRE

OSNOVNE DEFINICIJE

Definicija. Vector naziva se usmjereni segment (uređeni par tačaka). Također se odnosi na vektore. null vektor čiji su početak i kraj isti.

Definicija. dužina (modul) vektor je udaljenost između početka i kraja vektora.

Definicija. Vektori se nazivaju kolinearno ako se nalaze na istim ili paralelnim linijama. Nulti vektor je kolinearan sa bilo kojim vektorom.

Definicija. Vektori se nazivaju komplanarno ako postoji ravan sa kojom su oni paralelni.

Kolinearni vektori su uvijek koplanarni, ali nisu svi koplanarni vektori kolinearni.

Definicija. Vektori se nazivaju jednaka ako su kolinearni, imaju isti smjer i istu apsolutnu vrijednost.

Bilo koji vektori se mogu svesti na zajedničko poreklo, tj. konstruisati vektore koji su odgovarajuće jednaki podacima i koji imaju zajedničko poreklo. Iz definicije vektorske jednakosti slijedi da svaki vektor ima beskonačno mnogo vektora jednakih njemu.

Definicija. Linearne operacije preko vektora naziva se sabiranje i množenje brojem.

Zbir vektora je vektor -

posao - , dok je kolinearna.

Vektor je kosmjeran s vektorom ( ) ako je a > 0.

Vektor je suprotan vektoru ( ¯ ) ako je a< 0.

SVOJSTVA VEKTORA

1) + = + - komutativnost.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – asocijativnost

6) (a + b) = a + b - distributivnost

7) a( + ) = a + a

Definicija.

1) Osnova u prostoru nazivaju se bilo koja 3 nekoplanarna vektora, uzeta određenim redoslijedom.

2) Osnova na ravni su bilo koja 2 nekolinearna vektora uzeta određenim redoslijedom.

3)Osnova bilo koji vektor različit od nule se poziva na liniji.