Predavanje 6
4.6 Determinanta proizvoda dvije kvadratne matrice.
Proizvod dvije kvadratne matrice n red je uvek definisan. Ovdje je sljedeća teorema od velike važnosti.
Teorema. Determinanta matrice proizvoda jednaka je umnošku determinanti faktorske matrice:
Dokaz. Neka bude
i 
,
.
Sastavite pomoćnu odrednicu
.
Na osnovu Laplaceove teoreme, imamo:
.
dakle, 
, pokazaćemo to 
. Da bismo to učinili, transformiramo determinantu na sljedeći način. prvi prvi P
, dodaj 
-th kolona. Onda prvi P kolone pomnožene sa 
, dodaj 
-ta kolona itd. Na poslednjem koraku do 
-ta kolona će biti dodana prvoj P kolone pomnožene sa 
. Kao rezultat, dobijamo determinantu
.
Proširivanje rezultirajuće determinante korištenjem Laplaceove teoreme u smislu posljednje P kolone, nalazimo:
Dakle, dokazali smo jednakosti 
i 
, iz čega proizlazi da 
.
4.7 Inverzna matrica
Definicija 1
.
Neka je data kvadratna matrica ALI P-th red. Kvadratna matrica 
istog reda se zovu obrnuto na matricu ALI, ako , gdje E-matrica identiteta P-th red.
Izjava. Ako postoji matrica inverzna matrici ALI, onda je takva matrica jedinstvena.
Dokaz. Pretpostavimo da je matrica 
nije jedina matrica inverzna matrici ALI. Uzmite drugu inverznu matricu B. Zatim uslovi
Razmotrite proizvod 
. Ima jednakosti
iz čega sledi da 
. Time je dokazana jedinstvenost inverzne matrice.
Prilikom dokazivanja teoreme postojanja inverzna matrica potreban nam je pojam "pridružene matrice".
Definicija 2 . Pustite matricu
.
čiji su elementi algebarski komplementi 
elementi 
matrice ALI, zove se u prilogu
matrica na matricu ALI.
Imajte na umu da da bi se konstruisala pridružena matrica With matričnih elemenata ALI trebate ih zamijeniti algebarskim dopunama, a zatim transponirati rezultirajuću matricu.
Definicija 3.
kvadratna matrica ALI pozvao nedegenerisan
, ako 
.
Teorema.
Za matricu ALI imao inverznu matricu 
, potrebno je i dovoljno da matrica ALI bio nedegenerisan. U ovom slučaju, matrica 
određuje se formulom
,
(1)
gdje 
- algebarski komplementi matričnih elemenata ALI.
Dokaz. Pustite matricu ALI ima inverznu matricu 
. Tada su ispunjeni uslovi koji impliciraju . Iz posljednje jednakosti dobijamo da su determinante 
i 
. Ove determinante su povezane relacijom 
. matrice ALI i 
nedegenerisane, pošto su njihove determinante različite od nule.
Sada pustimo matricu ALI nedegenerisan. Dokažimo da je matrica ALI ima inverznu matricu 
a određuje se formulom (1). Za ovo razmotrite rad
matrice ALI i matrica koja je za nju povezana With.
Po pravilu množenja matrice, element 
radi 
matrice ALI i With ima oblik: . Budući da je zbir proizvoda elemenata i-ti red na algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata j-
th red je nula u 
i determinanta at 
. dakle,
gdje E– matrica identiteta P-th red. Jednakost 
. dakle, 
, što znači da 
i matricu 
je inverzna matrica ALI. Dakle, nesingularna matrica ALI ima inverznu matricu, koja je određena formulom (1).
Zaključak 1
.
Matrične determinante ALI i 
povezane omjerom 
.
Posljedica 2 . Glavno svojstvo pridružene matrice With na matricu ALI izraženo
jednakosti 
.
Zaključak 3 . Determinanta nedegenerisane matrice ALI i matrica koja je za nju povezana
With vezani jednakošću 
.
Korolar 3 slijedi iz jednakosti 
i svojstva determinanti prema kojima, kada se pomnože sa P- stepena ovog broja. U ovom slučaju
odakle to sledi 
.
Primjer. ALI:
.
Odluka. Matrična determinanta
različito od nule. Dakle, matrica ALI ima naličje. Da bismo ga pronašli, prvo izračunamo algebarske komplemente:
,
,
,
,
,
,
,
.
Sada, koristeći formulu (1), pišemo inverznu matricu
.
4.8. Elementarne transformacije nad matricama. Gauss algoritam.
Definicija
1.
Ispod elementarne transformacije
matrica iznad veličine 
razumjeti sljedeće korake.
Množenje bilo kojeg reda (kolone) matrice bilo kojim brojem koji nije nula.
dodatak bilo kojem i-ti red matrice bilo kojeg od njegovih j- red, pomnožen proizvoljnim brojem.
dodatak bilo kojem i-ti stupac matrice bilo kojeg od njegovih j- kolona pomnožena proizvoljnim brojem.
Permutacija redova (kolona) matrice.
Definicija 2.
matrice ALI i AT zvaćemo ekvivalentan
,
ako se jedan od njih može transformirati u drugi elementarnim transformacijama. Pisaće 
.
Ekvivalencija matrice ima sljedeća svojstva:
Definicija 3 . stupio zove se matrica ALI ima sledeća svojstva:
1) ako i-ti red je nula, tj. sastoji se od samo nula, dakle 
-th string je također null;
2) ako su prvi elementi različiti od nule
i-th i 
-ti redovi su raspoređeni u kolone sa brojevima k i l, onda 
.
Primjer. matrice
i 
su stepenasti, a matrica
nije korak.
Pokažimo kako, koristeći elementarne transformacije, možemo smanjiti matricu ALI do stepenastog pogleda.
Gauss algoritam
.
Razmotrite matricu ALI veličina 
. Bez gubljenja opštosti, možemo to pretpostaviti 
. (Ako je u matrici ALI postoji barem element različit od nule, a zatim zamjenom redova, a zatim stupaca, možete osigurati da ovaj element pada na sjecištu prvog reda i prve kolone.) Dodajmo drugom redu matrice ALI prvo pomnoženo sa 
, u treći red - prvi, pomnožen sa 
itd.
Kao rezultat, dobijamo
.
Stavke u novije vrijeme 
linije su definisane formulama:
,
,
.
Razmotrite matricu
.
Ako su svi elementi matrice 
tada su jednake nuli
i ekvivalentnu matricu koraka. Ako je među elementima matrice 
barem jedan je različit od nule, onda možemo pretpostaviti bez gubitka općenitosti da 
(ovo se može postići preuređivanjem redova i stupaca matrice 
). U ovom slučaju, transformacija matrice 
isto kao i matrica ALI, dobijamo
odnosno,
.
Evo 
,
,
.
i 
,
,
… ,
. U matrici ALI t redova i da se na naznačeni način svede na stepenasti oblik, neće biti potrebno više od t stepenice. Proces se tada može prekinuti k-th korak ako i samo ako su svi elementi matrice
jednaki su nuli. U ovom slučaju
i 
,
,
… ,
.
4.9. Pronalaženje inverzne matrice pomoću elementarne transformacije.
Za veliku matricu, zgodno je pronaći inverznu matricu koristeći elementarne transformacije nad matricama. Ova metoda je sljedeća. Napišite kompozitnu matricu 
a prema šemi Gaussove metode izvode se na redove ove matrice (tj. istovremeno u matrici ALI i u matrici E) elementarne transformacije. Kao rezultat, matrica ALI se transformira u matricu identiteta i matricu E- u matricu 
.
Primjer. Pronađite matricu inverznu matrici
.
Odluka. Hajde da napišemo kompozitnu matricu 
i transformisati ga koristeći elementarne transformacije stringova u skladu sa Gaussovom metodom. Kao rezultat, dobijamo:
.
Iz ovih transformacija zaključujemo da
.
4.10 Matrični rang.
Definicija.
Integer r pozvao rang
matrice ALI, ako ima manje od reda r, različit od nule, a svi manji reda veći r jednaki su nuli. Rang matrice će biti označen simbolom 
.
Rang matrice se izračunava metodom ivica maloljetnika .
Primjer. Izračunajte rang matrice koristeći metodu minora rubova
.
Odluka.
Gornja metoda nije uvijek zgodna, jer. povezan sa proračunom velikog
broj determinanti.
Izjava. Rang matrice se ne mijenja pod elementarnim transformacijama njenih redova i stupaca.
Navedena izjava ukazuje na drugi način izračunavanja ranga matrice. To se zove metoda elementarnih transformacija . Da biste pronašli rang matrice, potrebno je dovesti je u stepenasti oblik pomoću Gaussove metode, a zatim odabrati maksimalan minor različit od nule. Objasnimo ovo na primjeru.
Primjer. Koristeći elementarne transformacije, izračunajte rang matrice
.
Odluka. Izvršimo lanac elementarnih transformacija u skladu s Gaussovom metodom. Kao rezultat, dobijamo lanac ekvivalentnih matrica.
Definicija. Proizvod dvije matrice ALI i AT zove se matrica With, čiji se element nalazi na raskrsnici i-ti red i j-ta kolona, jednaka je zbiru proizvoda elemenata i-ti red matrice ALI na odgovarajućim (po redu) elementima j-ti stupac matrice AT.
Ova definicija implicira formulu za matrični element C:
Matrični proizvod ALI na matricu AT označeno AB.
Primjer 1 Pronađite proizvod dvije matrice ALI i B, ako
,
.
Odluka. Zgodno je pronaći proizvod dvije matrice ALI i AT napišite kao na slici 2:
Na dijagramu, sive strelice pokazuju elemente čijeg reda matrice ALI na elementima koje kolone matrice AT potrebno je pomnožiti da biste dobili elemente matrice With, i boje matričnog elementa C odgovarajući elementi matrica su povezani A i B, čiji se proizvodi dodaju da bi se dobio matrični element C.
Kao rezultat, dobijamo elemente proizvoda matrica:
Sada imamo sve da zapišemo proizvod dvije matrice:
.
Proizvod dvije matrice AB ima smisla samo kada je broj stupaca matrice ALI odgovara broju redova matrice AT.
Ovu važnu funkciju lakše ćete zapamtiti ako češće koristite sljedeće podsjetnike:
Postoji još jedna važna karakteristika proizvoda matrica s obzirom na broj redaka i stupaca:
U proizvodu matrica AB broj redova je jednak broju redova matrice ALI, a broj kolona je jednak broju stupaca matrice AT .
Primjer 2 Pronađite broj redova i stupaca matrice C, što je proizvod dvije matrice A i B sljedeće dimenzije:
a) 2 X 10 i 10 X 5;
b) 10 X 2 i 2 X 5;
Primjer 3 Pronađite proizvod matrica A i B, ako:
.
A B- 2. Dakle, dimenzija matrice C = AB- 2 X 2.
Izračunajte matrične elemente C = AB.
Pronađeni proizvod matrica: .
Rješenje ovog i drugih sličnih problema možete provjeriti na matrični kalkulator proizvoda na mreži .
Primjer 5 Pronađite proizvod matrica A i B, ako:
.
Odluka. Broj redova u matrici A- 2, broj kolona u matrici B C = AB- 2 X 1.
Izračunajte matrične elemente C = AB.
Proizvod matrica će biti zapisan kao matrica stupaca: .
Rješenje ovog i drugih sličnih problema možete provjeriti na matrični kalkulator proizvoda na mreži .
Primjer 6 Pronađite proizvod matrica A i B, ako:
.
Odluka. Broj redova u matrici A- 3, broj kolona u matrici B- 3. Dakle, dimenzija matrice C = AB- 3 X 3.
Izračunajte matrične elemente C = AB.
Pronađeni proizvod matrica: 
.
Rješenje ovog i drugih sličnih problema možete provjeriti na matrični kalkulator proizvoda na mreži .
Primjer 7 Pronađite proizvod matrica A i B, ako:
.
Odluka. Broj redova u matrici A- 1, broj kolona u matrici B- 1. Shodno tome, dimenzija matrice C = AB- 1 X 1.
Izračunajte element matrice C = AB.
Proizvod matrica je matrica jednog elementa: .
Rješenje ovog i drugih sličnih problema možete provjeriti na matrični kalkulator proizvoda na mreži .
Implementacija softvera proizvod dvije matrice u C++ analizira se u odgovarajućem članku u bloku "Računari i programiranje".
Eksponencijacija matricePodizanje matrice na stepen je definirano kao množenje matrice istom matricom. Budući da proizvod matrica postoji samo kada je broj stupaca prve matrice isti kao broj redova druge matrice, samo kvadratne matrice mogu se podići na stepen. n stepen matrice množenjem matrice sa sobom n jednom:
Primjer 8 Zadana matrica. Naći A² i A³ .
Sami pronađite proizvod matrica, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 9 Zadana matrica 
Naći proizvod date matrice i transponovane matrice, proizvod transponovane matrice i date matrice.
Svojstva proizvoda dvije matriceNekretnina 1. Proizvod bilo koje matrice A i matrice identiteta E odgovarajućeg reda i desno i lijevo poklapa se sa matricom A, tj. AE = EA = A.
Drugim riječima, uloga matrice identiteta u množenju matrice je ista kao i uloga jedinica u množenju brojeva.
Primjer 10 Provjerite je li svojstvo 1 istinito pronalaženjem proizvoda matrice
na matricu identiteta desno i lijevo.
Odluka. Od matrice ALI sadrži tri kolone, tada morate pronaći proizvod AE, gdje
-
matrica identiteta trećeg reda. Hajde da pronađemo elemente rada With = AE :
Ispostavilo se da AE = ALI .
Hajde sada da nađemo posao EA, gdje E je matrica identiteta drugog reda, pošto matrica A sadrži dva reda. Hajde da pronađemo elemente rada With = EA :
14. Teorema o determinanti proizvoda matrica.
Teorema:
dokaz: Neka su date kvadratne matrice reda n. 
i 
. Na osnovu teoreme o determinanti kvazitrokutne matrice ( 
) imamo: 
red ove matrice je 2n. Bez mijenjanja determinante, vršimo sljedeće transformacije na matrici reda 2n: dodaj u prvi red . Kao rezultat takve transformacije, prvih n pozicija prvog reda bit će svih 0, a druga (u drugom bloku) će sadržavati zbir proizvoda prvog reda matrice A i prvog stupca matrice B. Nakon što smo izvršili iste transformacije sa 2 ... n reda, dobili smo sljedeću jednakost: 
Da bismo desnu determinantu doveli u kvazitrouglasti oblik, zamenimo 1 i 1+ n kolona, 2 i 2+ n … n i 2 n kolone u njoj. Kao rezultat, dobijamo jednakost: 
komentar: Jasno je da teorema vrijedi za bilo koji konačan broj matrica. Posebno 
.
15. Teorema o postojanju inverzne matrice.
definicija: Ako a 
matrica se naziva ne-singularna (ne-singularna). Ako a 
tada se matrica naziva degenerisana (specijalna).
Razmotrimo proizvoljnu kvadratnu matricu A. Od algebarskih komplemenata elemenata ove matrice sastavljamo matricu i transponiramo je. Dobijamo matricu C: 
matrica C se naziva pripojena u odnosu na matricu A. Izračunavajući proizvod A*C i B*C, dobijamo 
Dakle 
, dakle 
ako 
.
Dakle, postojanje A -1 proizlazi iz nesingularnosti matrice A. S druge strane, ako A ima A -1 onda je matrična jednačina AX=E rješiva. Dakle 
i. Kombinacijom dobijenih rezultata dobijamo tvrdnju:
Teorema: Kvadratna matrica nad poljem P ima inverznu ako i samo ako nije singularna. Ako postoji inverzna matrica, onda se ona nalazi po formuli: 
, gdje je C pridružena matrica.
komentar:
16. Određivanje ranga matrice. Osnovna mala teorema i njena posljedica.
definicija: Minor k-tog reda matrice A je determinanta k-tog reda sa elementima koji leže na presjeku bilo kojeg k redaka i bilo kojeg k stupca.
definicija: Zove se rang matrice A najviši red osim 0 minora ove matrice. Označava se r(A). jasno 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.
definicija: Svaki minor matrice osim 0 čiji je red jednak rangu matrice naziva se bazni minor ove matrice. Jasno je da matrica može imati nekoliko baznih molova. Stupci i redovi koji čine bazni minor nazivaju se bazni.
Teorema: U matrici derivacije A=(a i) m , n, svaki stupac je linearna kombinacija osnovnih stupaca u kojima se nalazi osnovni minor (isto za redove).
dokaz: Neka je r(A)=r. Iz matrice biramo jedan osnovni mol. Radi jednostavnosti, pretpostavimo da se bazni minor nalazi u gornjem lijevom uglu matrice, tj. na prvih r redova i prvih r kolona. Tada će bazni mol Mr izgledati ovako: 
. Moramo dokazati da je bilo koji stupac matrice A linearna kombinacija prvih stupaca ove matrice u kojoj se nalazi bazni minor, tj. potrebno je dokazati da postoje brojevi λ j takvi da za bilo koji k-ti stupac matrice A postoji jednakost: gdje je 
…
.
Dodajmo k-ti stupac i s-ti red osnovnom molu: 
jer ako je dodana linija ili
stupac su među osnovnim onda determinanta 
, kao determinanta sa dva identična reda (kolone). Ako se doda red (kolona). 
prema definiciji ranga matrice. Proširite determinantu 
po elementima donjeg reda dobijamo: odavde dobijamo: 
gdje λ 1 … λ r ne zavise od broja S, jer I Sj ne zavise od elemenata dodanog S-tog reda. Jednakost (1) je jednakost koja nam je potrebna (p.t.d.)
Posljedica: Ako je A kvadratna matrica i determinanta A=0, tada je jedan od stupaca matrice linearna kombinacija preostalih stupaca, a jedan od redaka linearna kombinacija preostalih redova.
dokaz: Ako je determinanta matriceA=0, tada je rang ove matrice<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).
Za [A] =0 potrebno je i dovoljno da barem jedan red (kolona) bude linearna kombinacija njegovih ostalih redova (kolona).
Komentar. Operacija množenja matrice je nekomutativna, tj. Zaista, ako proizvod AB postoji, onda BA možda uopće ne postoji zbog neusklađenosti dimenzija (vidi prethodni primjer). Ako postoje i AB i BA, onda mogu imati različite dimenzije (ako).
Za kvadratne matrice istog reda, proizvodi AB i BA postoje i imaju istu dimenziju, ali njihovi odgovarajući elementi općenito nisu jednaki.
Međutim, u nekim slučajevima proizvodi AB i BA se poklapaju.
Razmotrimo proizvod kvadratne matrice A i matrice identiteta E istog reda:
Dobili smo isti rezultat za proizvod EA. Dakle, za bilo koju kvadratnu matricu A AE = EA = A.
Inverzna matrica.
Definicija 3.7. Kvadratna matrica A naziva se degenerirana ako, a nedegenerirana ako.
Definicija 3.8. Kvadratna matrica B naziva se inverzna kvadratnoj matrici A istog reda ako je AB = BA = E. U ovom slučaju, B se označava.
Razmotrimo uslov postojanja matrice inverzne datoj i način njenog izračunavanja.
Teorema 3.2. Da bi inverzna matrica postojala, neophodno je i dovoljno da originalna matrica bude nesingularna.
Dokaz.
1) Nužnost: od tada (teorema 3.1), dakle
2) Dovoljnost: postavite matricu u sljedećem obliku:
Tada je svaki element proizvoda (ili) koji ne leži na glavnoj dijagonali jednak zbroju proizvoda jednog reda (ili stupca) matrice A i algebarskih dodataka elementima drugog stupca i , dakle, jednako je 0 (kao determinanta sa dva jednaka stupca). Elementi na glavnoj dijagonali su jednaki Dakle,
*=. Teorema je dokazana.
Komentar. Formulujmo još jednom metodu izračunavanja inverzne matrice: njeni elementi su algebarski komplementi elementima transponovane matrice A, podeljeni njenom determinantom.
Teorema. Neka su A i B dvije kvadratne matrice reda n. Tada je determinanta njihovog proizvoda jednaka umnošku determinanti, tj.
| AB | = | A| | B|.
< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n
(d) (2n) = | A | | b | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B|.
Ako pokažemo da je determinanta (d) (2n) jednaka determinanti matrice C=AB, tada će teorema biti dokazana.
U (d) (2n) uradićemo sledeće transformacije: 1 redu dodajemo (n + 1) red pomnožen sa a11; (n+2) niz pomnožen sa a12, itd. (2n) niz pomnožen sa (a) (1n) . U rezultujućoj determinanti, prvih n elemenata prvog reda će biti nula, a ostalih n elemenata će postati ovako:
a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ;
a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ;
a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .
Slično, dobijamo nule u 2, ..., n reda determinante (d) (2n) , a posljednjih n elemenata u svakom od ovih redova postat će odgovarajući elementi matrice C. Kao rezultat, determinanta (d) (2n) se transformira u jednaku determinantu:
(d) (2n) = | c | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >
Posljedica. Determinanta proizvoda konačnog broja kvadratnih matrica jednaka je proizvodu njihovih determinanti.
< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>
INVERZNA MATRICA.
Neka je A = (aij) (n x n) kvadratna matrica nad poljem P.
Definicija 1. Matrica A će se zvati degenerisana ako je njena determinanta jednaka 0. Matrica A će se u suprotnom zvati nedegenerisana.
Definicija 2. Neka je A n Pn. Matrica B Î Pn će se zvati inverzna A ako je AB = BA=E.
Teorema (kriterijum za invertibilnost matrice) Matrica A je invertibilna ako i samo ako je nedegenerirana.
< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.
Pusti, nazad, | A | ¹ 0. Moramo pokazati da postoji matrica B takva da je AB = BA = E. Kao B uzimamo sljedeću matricu:
gdje je A ij algebarski komplement elementu a ij . Onda
Treba napomenuti da će rezultat biti matrica identiteta (dovoljno je upotrijebiti posljedice 1 i 2 iz Laplaceove teoreme), tj. AB \u003d E. Slično, pokazano je da je BA \u003d E. >
Primjer. Za matricu A pronađite inverznu matricu ili dokažite da ona ne postoji.
det A = -3 Þ inverzna matrica postoji. Sada razmatramo algebarske sabirke.
A 11 = -3 A 21 = 0 A 31 \u003d 6
A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 \u003d -3
A 13 = 1 A 23 = -1 A 33 \u003d -1
Dakle, inverzna matrica izgleda ovako: B = =
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice za matricu
1. Izračunajte det A.
2. Ako je jednako 0, onda inverzna matrica ne postoji. Ako det A nije jednak
0, razmatramo algebarske sabirke.
3. Algebarske sabirke stavljamo na odgovarajuća mjesta.
4. Podijelite sve elemente rezultirajuće matrice det A.
SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA.
Definicija 1. Jednačina oblika a1x1+ ....+an xn=b , gdje su a, ... ,an brojevi; x1, ... ,xn su nepoznanice, naziva se linearna jednačina sa n nepoznato.
s jednačine sa n nepoznato se zove sistem s linearne jednačine sa n nepoznato, tj.
(1)
Matrica A, sastavljena od koeficijenata nepoznanica sistema (1), naziva se matrica sistema (1). .
Ako matrici A dodamo kolonu slobodnih pojmova, dobićemo proširenu matricu sistema (1).
X = - kolona nepoznatih. - kolona slobodnih članova.
U matričnom obliku, sistem ima oblik: AX=B (2).
Rješenje sistema (1) je uređeni skup n brojevi (α1 ,…, αn) takvi da ako u (1) zamijenimo x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , onda dobijamo numeričke identitete.
Definicija 2. Sistem (1) naziva se konzistentan ako ima rješenja, a nekonzistentan inače.
Definicija 3. Dva sistema se nazivaju ekvivalentnima ako su skupovi njihovih rješenja isti.
Postoji univerzalni način rješavanja sistema (1) - Gaussova metoda (metoda uzastopnog eliminacije nepoznatih)
Razmotrimo detaljnije slučaj kada s = n. Postoji Cramerova metoda za rješavanje takvih sistema.
Neka je d = det ,
dj - determinanta od d, u kojoj je j-ti stupac zamijenjen stupcem slobodnih članova.
CRAMEROVO PRAVILO
Teorema (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sistema d ¹ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje dobijeno iz formula:
x1 = d1 / d …xn = dn / d
<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим
i razmotrimo jednačinu AX = B (2) sa nepoznatom matricom stupaca X. Pošto su A, X, B matrice dimenzija n x n, n x 1, n x 1 shodno tome, proizvod pravokutnih matrica AX je definiran i ima iste dimenzije kao matrica B. Dakle, jednačina (2) ima smisla.
Veza između sistema (1) i jednačine (2) je ono što je rješenje ovog sistema ako i samo ako
kolona je rješenje jednačine (2).
Zaista, ova izjava znači da je jednakost
Posljednja jednakost, kao jednakost matrica, ekvivalentna je sistemu jednakosti
što znači da je to rješenje za sistem (1).
Dakle, rješenje sistema (1) se svodi na rješenje matrične jednačine (2). Pošto je determinanta d matrice A različita od nule, ona ima inverznu matricu A -1. Tada je AX = B z A(^-1)(AX) = A(^-1)B z (A(^-1)A)X = A(^-1)B z EX = A(^-1) U z X = A(^-1)B (3). Prema tome, ako jednačina (2) ima rješenje, onda je ono dato formulom (3). S druge strane, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B.
Dakle, X = A (^-1) B je jedino rješenje jednadžbe (2).
kao ,
gdje je A ij algebarski komplement elementa a ij u determinanti d, tada
odakle (4).
U jednakosti (4) u zagradi je napisano proširenje po elementima j-te kolone determinante dj, koja se dobija iz determinante d nakon zamjene u njoj
j-tu kolonu kolonom slobodnih članova. dakle, xj = dj/ d.>
Posljedica. Ako a homogeni sistem n linearne jednadžbe iz n nepoznanica ima rješenje različito od nule, tada je determinanta ovog sistema jednaka nuli.