homogeni sistem linearne jednačine AX = 0 uvijek zajedno. Ima netrivijalna (ne-nula) rješenja ako r= rang A< n .
Za homogeni sistemi osnovne varijable (koeficijenti kod kojih formiraju osnovni minor) se izražavaju u terminima slobodnih varijabli relacijama oblika:
Onda n - r linearno nezavisna vektorska rješenja bit će:
a svako drugo rješenje je njihova linearna kombinacija. Vektor odluke 
formiraju normalizovani fundamentalni sistem.
IN linearni prostor skup rješenja homogenog sistema linearnih jednačina čini podprostor dimenzija n - r; 
je osnova ovog podprostora.
Sistem m linearne jednačine sa n nepoznato(ili, linearni sistem
 |
Evo x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, amn- sistemski koeficijenti - i b 1 , b 2 , … b m aiji) i nepoznato ( j
Sistem (1) se poziva homogenab 1 = b 2 = … = b m= 0), inače - heterogena.
Sistem (1) se poziva kvadrat ako je broj m jednačina je jednaka broju n nepoznato.
Rješenje sistemi (1) - set n brojevi c 1 , c 2 , …, c n, tako da je zamjena svakog c i umjesto x i u sistem (1) pretvara sve njegove jednačine u identitete.
Sistem (1) se poziva joint nekompatibilno
Rješenja c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n razne
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
siguran neizvjesno. Ako ima više jednačina nego nepoznanica, zove se redefinisano.
Rješavanje sistema linearnih jednačina
Rješavanje matričnih jednadžbi ~ Gaussova metoda
Metode za rješavanje sistema linearnih jednačina dijele se u dvije grupe:
1. preciznim metodama, koji su konačni algoritmi za izračunavanje korijena sistema (rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice, Cramerovo pravilo, Gaussova metoda, itd.),
2. iterativne metode, koji omogućavaju dobivanje rješenja sistema sa zadatom tačnošću pomoću konvergentnih iterativnih procesa (iteracijski metod, Seidelova metoda, itd.).
Zbog neizbježnog zaokruživanja, rezultati čak i egzaktnih metoda su približni. Štaviše, kada se koriste iterativne metode, dodaje se greška metode.
Efikasna primena iterativnih metoda u suštini zavisi od dobrog izbora početna aproksimacija i brzinu konvergencije procesa.
Rješenje matričnih jednačina
Razmotrite sistem n linearne algebarske jednadžbe u odnosu na n nepoznato X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matrica ALI, čiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznate, a redovi koeficijenti za nepoznate u odgovarajućoj jednačini, naziva se sistemska matrica; matrica stupaca b, čiji su elementi desna strana jednačina sistema, naziva se matrica sa desne strane ili jednostavno desnu stranu sistema. matrica stupaca X, čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sistemsko rešenje.
Ako je matrica ALI- nejednina, odnosno det A n e je jednako 0, tada sistem (13), ili njegova ekvivalentna matrična jednačina (14), ima jedinstveno rješenje.
Zaista, pod uslovom det A nije jednako 0 postoji inverzna matrica ALI-jedan. Množenje obje strane jednačine (14) matricom ALI-1 dobijamo:
| (16) |
Formula (16) daje rješenje jednačine (14) i ono je jedinstveno.
Pogodno je rješavati sisteme linearnih jednadžbi pomoću funkcije lsolve.
lsolve( A, b)
Vektor odluke se vraća x takav da Oh= b.
Argumenti:
ALI je kvadratna, nesingularna matrica.
b je vektor koji ima onoliko redova koliko ima redova u matrici ALI .
Na slici 8 prikazano je rješenje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznanice.
Gaussova metoda
Gausova metoda, koja se naziva i Gausova metoda eliminacije, sastoji se u činjenici da se sistem (13) reducira uzastopnim eliminacijom nepoznatih na ekvivalentan sistem sa trouglastom matricom:
U matričnom zapisu, to znači da prve (direktan tok Gaussove metode) elementarne operacije na redovima dovode proširenu matricu sistema u oblik koraka:
a zatim (obrnuti tok Gaussove metode) ova matrica koraka se transformira tako da u prvom n ispostavilo se da su stupci matrica identiteta:
.
Zadnje, ( n+ 1) stupac ove matrice sadrži rješenje sistema (13).
U Mathcadu, pomicanje naprijed i nazad Gaussove metode obavlja funkcija ref(A).
Na slici 9 prikazano je rješenje sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom koja koristi sljedeće karakteristike:
rref( A)
Vraća oblik koraka matrice ALI.
povećati ( A, IN)
Vraća niz formiran od strane lokacije A I IN rame uz rame. Nizovi A I IN mora imati isti broj redova.
podmatrica( A, ir, jr, ic, jc)
Vraća se podmatrica koja se sastoji od svih elemenata sa ir on jr i kolone sa ic on jc. Budi siguran da ir jr I
ic jc, inače će redoslijed redova i/ili kolona biti obrnut.
Slika 9
Opis metode
Za sistem od n linearnih jednadžbi sa n nepoznatih (nad proizvoljnim poljem)
sa determinantom sistemske matrice Δ različitom od nule, rješenje se zapisuje kao
(i-ti stupac sistemske matrice je zamijenjen kolonom slobodnih članova).
U drugom obliku, Cramerovo pravilo je formulirano na sljedeći način: za bilo koje koeficijente c1, c2, ..., cn, jednakost je tačna:
U ovom obliku, Cramerova formula vrijedi bez pretpostavke da je Δ različit od nule, čak nije ni potrebno da koeficijenti sistema budu elementi integralnog prstena (determinanta sistema može biti čak i djelilac nule u prstenu koeficijenata). Također možemo pretpostaviti da se ili zbirke b1,b2,...,bn i x1,x2,...,xn, ili kolekcija c1,c2,...,cn, ne sastoje od elemenata prstena koeficijenata sistema, već nekog modula iznad ovog prstena. U ovom obliku, Cramerova formula se koristi, na primjer, za dokazivanje formule za Gramovu determinantu i Nakayaminu lemu.
| 35) Kronecker-Capelli teorema |
Da bi sistem od m nehomogenih linearnih jednačina u n nepoznatih bio konzistentan, neophodan je i dovoljan dokaz neophodnosti. Neka je sistem (1.13) konzistentan, odnosno ima takvih brojeva X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n \u003d α n,šta  (1.15) Od posljednjeg stupca proširene matrice oduzmite njen prvi stupac pomnožen sa α 1 , drugi - sa α 2 , ..., n-ti - pomnožen sa α n , odnosno od posljednje kolone matrice (1.14) treba oduzeti lijeve dijelove jednakosti (1.15). Tada dobijamo matricu  čiji rang kao rezultat elementarne transformacije neće se promeniti i . Ali to je očigledno, a samim tim i dokaz dovoljnosti. Neka i neka, radi određenosti, minor koji nije nula reda r koji se nalazi u gornjem lijevom uglu matrice:  To znači da se ostali redovi matrice mogu dobiti kao linearne kombinacije prvih r redova, tj. m-r redova matrice, mogu se predstaviti kao zbroji prvih r redova pomnoženih nekim brojevima. Ali tada su prve r jednačine sistema (1.13) nezavisne, a ostale su njihove posledice, odnosno rešenje sistema prvih r jednačina je automatski rešenje preostalih jednačina. Moguća su dva slučaja. 1. r=n. Tada sistem koji se sastoji od prvih r jednačina ima isti broj jednačina i nepoznanica i kompatibilan je, a njegovo rješenje je jedinstveno. 2.r |
36) us-e sigurnost, neizvjesnost
Sistem m linearne jednačine sa n nepoznato(ili, linearni sistem) u linearnoj algebri je sistem jednačina oblika
 |
Evo x 1 , x 2 , …, x n su nepoznanice koje treba utvrditi. a 11 , a 12 , …, amn- sistemski koeficijenti - i b 1 , b 2 , … b m- slobodni članovi - pretpostavlja se da su poznati. Indeksi koeficijenata ( aij) sistemi označavaju brojeve jednačine ( i) i nepoznato ( j) na kojoj ovaj koeficijent stoji, respektivno.
Sistem (1) se poziva homogena ako su svi slobodni članovi jednaki nuli ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), inače - heterogena.
Sistem (1) se poziva joint ako ima barem jedno rješenje, i nekompatibilno ako nema rješenja.
Zajednički sistem oblika (1) može imati jedno ili više rješenja.
Rješenja c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) nazivaju se zglobni sistemi oblika (1). razne ako je barem jedna od jednakosti prekršena:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Zajednički sistem oblika (1) se zove siguran ako ima jedinstveno rješenje; ako ima najmanje dva različita rješenja, onda se zove neizvjesno
37) Rešavanje sistema linearnih jednačina Gausovom metodom
Neka originalni sistem izgleda ovako
Matrica A naziva se glavna matrica sistema, b- kolona slobodnih članova.
Tada se, prema svojstvu elementarnih transformacija nad redovima, glavna matrica ovog sistema može svesti na stepenasti oblik (iste transformacije moraju se primijeniti na stupac slobodnih članova):
Tada se pozivaju varijable glavne varijable. Svi ostali su pozvani besplatno.
[uredi] Uslov konzistentnosti
Gornji uslov za sve može se formulisati kao neophodan i dovoljan uslov za kompatibilnost:
Podsjetimo da je rang zajedničkog sistema rang njegove glavne matrice (ili proširene, pošto su jednake).
Algoritam
Opis
Algoritam za rješavanje SLAE Gaussovom metodom podijeljen je u dvije faze.
§ U prvoj fazi vrši se tzv. direktno kretanje, kada se elementarnim transformacijama po redovima sistem dovodi u stepenasti ili trouglasti oblik, ili se utvrdi da je sistem nekonzistentan. Naime, među elementima prve kolone matrice bira se nenula jedinica, pomera se na najgornju poziciju permutacijom redova, a prvi red dobijen nakon permutacije oduzima se od preostalih redova množeći ga. vrijednošću koja je jednaka omjeru prvog elementa svakog od ovih redova prema prvom elementu prvog reda, čime se nula stupac ispod njega. Nakon izvršenih naznačenih transformacija, prvi red i prvi stupac se mentalno precrtavaju i nastavljaju sve dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u nekoj od iteracija među elementima prve kolone nije pronađena jedinica različita od nule, idite na sljedeću kolonu i izvršite sličnu operaciju.
§ U drugoj fazi izvodi se takozvani obrnuti potez, čija je suština da se sve rezultirajuće osnovne varijable izraze u terminima nebaznih i konstruiše se fundamentalni sistem rješenja, odnosno, ako su sve varijable osnovne varijable , zatim numerički izraziti jedino rješenje sistema linearnih jednačina. Ovaj postupak počinje sa posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (a postoji samo jedna) i zamjenjuje se u prethodne jednačine, i tako dalje, idući uz „stepenice“. Svaki red odgovara tačno jednoj osnovnoj varijabli, tako da se na svakom koraku, osim zadnjeg (najgornjeg), situacija tačno ponavlja slučaj zadnje linije.
Gaussova metoda zahtijeva red O(n 3) radnje.
Ova metoda se oslanja na:
38)Kronecker-Capelli teorema.
Sistem je konzistentan ako i samo ako je rang njegove glavne matrice jednak rangu njegove proširene matrice.
6.3. HOMOGENI SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA
Neka sada u sistemu (6.1).
Homogeni sistem je uvijek kompatibilan. Rješenje () se zove nula, ili trivijalan.
Homogeni sistem (6.1) ima rješenje različito od nule ako i samo ako je njegov rang ( 
) je manji od broja nepoznatih. Konkretno, homogeni sistem u kojem je broj jednačina jednak broju nepoznatih ima rješenje različito od nule ako i samo ako je njegova determinanta nula.
Jer ovaj put sve
, umjesto formule (6.6) dobijamo sljedeće:
(6.7)
Formule (6.7) sadrže bilo koje rješenje homogenog sistema (6.1).
1. Skup svih rješenja homogenog sistema linearnih jednačina (6.1) čini linearni prostor.
2. Linearni prostorRsvih rješenja homogenog sistema linearnih jednačina (6.1) sannepoznanice i rang glavne matrice jednakr, ima dimenzijun–r.
Bilo koji set (n–r) linearno nezavisna rješenja homogenog sistema (6.1) čine osnovu u prostoruRsve odluke. To se zove fundamentalno skup rješenja homogenog sistema jednačina (6.1). Istaknite "normalno" osnovni skup rješenja homogenog sistema (6.1):
(6.8)
Po definiciji osnove, svako rješenje X homogeni sistem (6.1) može se predstaviti u obliku
(6.9)
gdje 
su proizvoljne konstante.
Kako formula (6.9) sadrži bilo koje rješenje homogenog sistema (6.1), ona daje zajednička odluka ovaj sistem.
Primjer.
Poziva se sistem linearnih jednačina u kojem su svi slobodni članovi jednaki nuli homogena :
Svaki homogeni sistem je uvek konzistentan, jer uvek jeste nula (trivijalan ) rješenje. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima će homogeni sistem imati netrivijalno rešenje.
Teorema 5.2.Homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang osnovne matrice manji od broja njegovih nepoznanica.
Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.
Primjer 5.6. Odredite vrijednosti parametra l za koje sistem ima netrivijalna rješenja i pronađite ova rješenja:
Rješenje. Ovaj sistem će imati netrivijalno rješenje kada je determinanta glavne matrice jednaka nuli:
Dakle, sistem je netrivijalan kada je l=3 ili l=2. Za l=3, rang glavne matrice sistema je 1. Zatim ostavljamo samo jednu jednačinu uz pretpostavku da je y=a I z=b, dobijamo x=b-a, tj.
Za l=2, rang glavne matrice sistema je 2. Zatim, birajući kao osnovni minor:
dobijamo pojednostavljeni sistem
Odavde to nalazimo x=z/4, y=z/2. Pretpostavljam z=4a, dobijamo
Skup svih rješenja homogenog sistema ima veoma važnu linearno svojstvo : ako je X kolona 1 i X 2 - rješenja homogenog sistema AX = 0, zatim bilo koja njihova linearna kombinacija a X 1+b X 2 će također biti rješenje ovog sistema. Zaista, pošto SJEKIRA 1 = 0 I SJEKIRA 2 = 0 , onda A(a X 1+b X 2) = a SJEKIRA 1+b SJEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zbog ove osobine, ako linearni sistem ima više od jednog rješenja, tada će ovih rješenja biti beskonačno mnogo.
Linearno nezavisne kolone E 1 , E 2 , E k, koji su rješenja homogenog sistema, naziva se fundamentalni sistem odlučivanja homogeni sistem linearnih jednadžbi ako se opšte rešenje ovog sistema može napisati kao linearna kombinacija ovih kolona:
Ako homogeni sistem ima n varijabli, a rang glavne matrice sistema je jednak r, onda k = n-r.
Primjer 5.7. Pronađite osnovni sistem rješenja sljedećeg sistema linearnih jednačina:
Rješenje. Pronađite rang glavne matrice sistema:
Dakle, skup rješenja ovog sistema jednačina čini linearni podprostor dimenzija n - r= 5 - 2 = 3. Biramo kao osnovni minor
Zatim, ostavljajući samo osnovne jednadžbe (ostale će biti linearna kombinacija ovih jednačina) i osnovne varijable (ostale, tzv. slobodne varijable prenosimo na desno), dobijamo pojednostavljeni sistem jednačina:
Pretpostavljam x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mi nalazimo
Pretpostavljam a= 1, b=c= 0, dobijamo prvo osnovno rešenje; pod pretpostavkom b= 1, a = c= 0, dobijamo drugo osnovno rešenje; pod pretpostavkom c= 1, a = b= 0, dobijamo treće osnovno rešenje. Kao rezultat, normalan fundamentalni sistem rješenja poprima oblik
Koristeći osnovni sistem, opšte rešenje homogenog sistema može se zapisati kao
X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a
Napomenimo neka svojstva rješenja nehomogenog sistema linearnih jednačina AX=B i njihov odnos sa odgovarajućim homogenim sistemom jednačina AX = 0.
Opšte rješenje nehomogenog sistemajednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg homogenog sistema AX = 0 i proizvoljnog partikularnog rešenja nehomogenog sistema. Zaista, neka Y 0 je proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sistema, tj. AY 0 = B, And Y je opšte rješenje nehomogenog sistema, tj. AY=B. Oduzimanjem jedne jednakosti od druge, dobijamo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je opšte rješenje odgovarajućeg homogenog sistema SJEKIRA=0. shodno tome, Y-Y 0 = X, ili Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Neka nehomogen sistem ima oblik AX = B 1 + B 2 . Tada se opće rješenje takvog sistema može zapisati kao X = X 1 + X 2 , gdje je AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Ovo svojstvo izražava univerzalno svojstvo bilo kojeg linearnog sistema uopšte (algebarskog, diferencijalnog, funkcionalnog, itd.). U fizici se ovo svojstvo naziva princip superpozicije, u elektrotehnici i radiotehnici - princip preklapanja. Na primjer, u teoriji linearnih električnih kola, struja u bilo kojem kolu može se dobiti kao algebarski zbir struja uzrokovanih svakim izvorom energije posebno.
Gaussova metoda ima brojne nedostatke: nemoguće je znati da li je sistem konzistentan ili ne dok se ne izvedu sve transformacije potrebne u Gausovoj metodi; Gaussova metoda nije prikladna za sisteme sa slovnim koeficijentima.
Razmotrite druge metode za rješavanje sistema linearnih jednačina. Ove metode koriste koncept ranga matrice i svode rješenje bilo kojeg zajedničkog sistema na rješenje sistema na koji se primjenjuje Cramerovo pravilo.
Primjer 1 Naći opšte rešenje sledećeg sistema linearnih jednačina koristeći osnovni sistem rešenja redukovanog homogenog sistema i određeno rešenje nehomogenog sistema.
1. Pravimo matricu A i proširena matrica sistema (1)
2. Istražite sistem (1) za kompatibilnost. Da bismo to učinili, nalazimo rangove matrica A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ako se ispostavi da , onda sistem (1) nekompatibilno. Ako to dobijemo , onda je ovaj sistem konzistentan i mi ćemo ga riješiti. (Studija konzistentnosti je zasnovana na Kronecker-Capelli teoremi).
a. Mi nalazimo rA.
Naći rA, razmatraćemo sukcesivno nenulte minore prvog, drugog itd. reda matrice A i maloljetnici koji ih okružuju.
M1=1≠0 (1 se uzima iz gornjeg lijevog ugla matrice ALI).
Bordering M1 drugi red i drugi stupac ove matrice. 
. Nastavljamo do granice M1 drugi red i treci stupac..gif" width="37" height="20 src=">. Sada graničimo nenulti mol M2′ drugi red.
Imamo: 
(jer su prve dvije kolone iste)
(jer su drugi i treći red proporcionalni).
Vidimo to rA=2, i osnovni je minor matrice A.
b. Mi nalazimo .
Dovoljno osnovni mol M2′ matrice A granica sa kolonom slobodnih članova i svim redovima (imamo samo zadnji red).
. Iz ovoga proizilazi da M3′′ ostaje osnovni minor matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Jer M2′- bazni minor matrice A sistemi (2) , onda je ovaj sistem ekvivalentan sistemu (3) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (2) (za M2′ nalazi se u prva dva reda matrice A).
(3)
Pošto je osnovni mol https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
U ovom sistemu, dvije slobodne nepoznate ( x2 I x4 ). Zbog toga FSR sistemi (4) sastoji se od dva rješenja. Da bismo ih pronašli, dodjeljujemo slobodne nepoznanice (4) vrijednosti na prvom mjestu x2=1 , x4=0 , i onda - x2=0 , x4=1 .
At x2=1 , x4=0 dobijamo:
.
Ovaj sistem već ima jedina stvar rješenje (može se naći Cramerovim pravilom ili bilo kojom drugom metodom). Oduzimanjem prve jednačine od druge jednačine dobijamo:
Njena odluka će biti x1= -1 , x3=0 . S obzirom na vrijednosti x2 I x4 , koji smo dali, dobijamo prvi fundamentalna odluka sistemi (2) : .
Sada stavljamo (4) x2=0 , x4=1 . Dobijamo:
.
Ovaj sistem rješavamo korištenjem Cramerove teoreme:
.
Dobijamo drugo fundamentalno rješenje sistema (2) : .
Rješenja β1 , β2 i make up FSR sistemi (2) . Tada će njegovo generalno rješenje biti
γ= C1 β1+S2β2=S1(-1, 1, 0, 0)+S2(5, 0, 4, 1)=(-S1+5S2, S1, 4S2, S2)
Evo C1 , C2 su proizvoljne konstante.
4. Pronađite jedan privatni rješenje heterogeni sistem(1) . Kao u paragrafu 3 , umjesto sistema (1) razmotrite ekvivalentni sistem (5) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (1) .
(5)
Prenosimo slobodne nepoznanice na desne strane x2 I x4.
(6)
Dajmo besplatne nepoznate x2 I x4 proizvoljne vrijednosti, npr. x2=2 , x4=1 i priključite ih (6) . Idemo po sistem
Ovaj sistem ima jedinstveno rješenje (jer je njegova determinanta M2′0). Rješavajući ga (pomoću Cramerove teoreme ili Gaussove metode), dobijamo x1=3 , x3=3 . S obzirom na vrijednosti slobodnih nepoznanica x2 I x4 , dobijamo posebno rješenje nehomogenog sistema(1)α1=(3,2,3,1).
5. Sada ostaje napisati opšte rešenje α nehomogenog sistema(1) : jednako je zbiru privatna odluka ovaj sistem i opšte rešenje njegovog redukovanog homogenog sistema (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2).
Ovo znači: 
(7)
6. Ispitivanje. Da provjerite da li ste ispravno riješili sistem (1) , potrebno nam je generalno rješenje (7) zamena u (1) . Ako svaka jednadžba postane identitet ( C1 I C2 treba uništiti), tada je rješenje pronađeno ispravno.
Zamenićemo (7) na primjer, samo u posljednjoj jednadžbi sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Dobijamo: (3–S1+5S2)+(2+S1)+(3+4S2)–9(1+S2)=–1
(S1–S1)+(5S2+4S2–9S2)+(3+2+3–9)=–1
Gdje je -1=-1. Imamo identitet. To radimo sa svim ostalim jednačinama sistema (1) .
Komentar. Verifikacija je obično prilično glomazna. Možemo preporučiti sljedeću "djelimičnu provjeru": u cjelokupnom rješenju sistema (1) dodijelite neke vrijednosti proizvoljnim konstantama i zamijenite rezultirajuće određeno rješenje samo u odbačene jednadžbe (tj. u one jednačine iz (1) koji nisu uključeni u (5) ). Ako dobijete identitete, onda vjerovatno, rješenje sistema (1) pronađeno ispravno (ali takva provjera ne daje potpunu garanciju ispravnosti!). Na primjer, ako je u (7) staviti C2=- 1 , C1=1, tada dobijamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Zamjenom u posljednju jednačinu sistema (1) imamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Imamo identitet.
Primjer 2 Naći opće rješenje za sistem linearnih jednačina (1) , izražavajući glavne nepoznanice u terminima slobodnih.
Rješenje. Kao u primjer 1, sastaviti matrice A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ovih matrica. Sada ostavljamo samo one jednadžbe sistema (1) , čiji su koeficijenti uključeni u ovaj osnovni minor (tj. imamo prve dvije jednačine) i razmatramo sistem koji se sastoji od njih, a koji je ekvivalentan sistemu (1).
Prenesimo slobodne nepoznanice na desnu stranu ovih jednačina.
sistem (9) rješavamo Gaussovom metodom, smatrajući prave dijelove slobodnim članovima.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opcija 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opcija 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opcija 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opcija 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
2.4.1. Definicija. Neka je dat nehomogen sistem linearnih jednačina
Razmislite o homogenom sistemu
za koje se matrica koeficijenata poklapa sa matricom koeficijenata sistema (2.4.1). Tada se poziva sistem (2.4.2). smanjeni homogeni sistem (2.4.1).
2.4.2. Teorema. Opće rješenje nehomogenog sistema jednako je zbiru nekog posebnog rješenja nehomogenog sistema i opšteg rješenja redukovanog homogenog sistema.
Dakle, za pronalaženje opšteg rešenja nehomogenog sistema (2.4.1), dovoljno je:
1) Ispitajte kompatibilnost. U slučaju kompatibilnosti:
2) Pronađite opšte rešenje ovog homogenog sistema.
3) Pronađite bilo koje posebno rješenje za originalno (nehomogeno).
4) Nakon što saberete određeno pronađeno rješenje i opšte rješenje zadatog, pronaći opšte rješenje originalnog sistema.
2.4.3. Vježba. Istražiti sistem za kompatibilnost i, u slučaju kompatibilnosti, pronaći njegovo opšte rješenje u obliku zbira količnika i opšte redukovanog.
Rješenje. a) Da bismo riješili problem, koristimo gornju shemu:
1) Ispitujemo kompatibilnost sistema (metodom obrubljivanja minora): Rang glavne matrice je 3 (vidi rješenje vježbe 2.2.5, a), a nenulti minor maksimalnog reda je sastavljen od elemenata 1., 2. , 4. red i 1., 3., 4. stupac. Da bismo pronašli rang proširene matrice, graničimo je sa 3. redom i 6. kolonom proširene matrice: =0. znači, rg A =rg=3, a sistem je konzistentan. Konkretno, on je ekvivalentan sistemu
2) Naći opće rješenje X 0 smanjena homogenost ovog sistema
X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}
(vidi rješenje vježbe 2.2.5, a)).
3) Naći neko određeno rješenje x h originalnog sistema . Da biste to učinili, u sistemu (2.4.3), koji je ekvivalentan originalnom, slobodne nepoznate x 2 i x Postavljamo 5 jednako, na primjer, nuli (ovo su najpogodniji podaci):
i riješite rezultirajući sistem: x 1 =- , x 3 =- , x 4=-5. Dakle, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ je posebno rješenje sistema.
4) Pronalazimo opće rješenje X n originalnog sistema :
X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=
={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.
Komentar. Uporedite svoj odgovor sa drugim odgovorom u primjeru 1.2.1 c). Da bismo dobili odgovor u prvom obliku za 1.2.1 c), uzimamo kao osnovne nepoznanice x 1 , x 3 , x 5 (minor za koji također nije jednak nuli), a kao slobodan ¾ x 2 i x 4 .
§3. Neke aplikacije.
3.1. O pitanju matričnih jednačina. Podsjećamo vas na to matrična jednačina preko terena F je jednadžba u kojoj se neka matrica nad poljem ponaša kao nepoznanica F .
Najjednostavnije matrične jednačine su jednačine oblika
SJEKIRA=B , XA =B (2.5.1)
gdje A , B ¾ date (poznate) matrice nad poljem F , ali X ¾ takve matrice, pri zamjeni kojih jednačina (2.5.1) se pretvaraju u prave matrične jednakosti. posebno, matrična metoda određenih sistema svodi se na rješavanje matrične jednadžbe.
Kada su matrice A u jednačinama (2.5.1) su nedegenerisani, imaju rješenja, respektivno X =A B I X =BA .
U slučaju kada je barem jedna od matrica na lijevoj strani jednadžbe (2.5.1) degenerirana, ovu metodu više nije prikladno, budući da je odgovarajuća inverzna matrica A ne postoji. U ovom slučaju, pronalaženje rješenja jednačina (2.5.1) svodi se na rješavanje sistema.
Ali prvo, hajde da predstavimo neke koncepte.
Zove se skup svih rješenja sistema zajedničko rešenje . Pojedinačno rješenje neodređenog sistema, nazovimo ga privatna odluka .
3.1.1. Primjer. Riješite matričnu jednačinu preko polja R.
ali) X = ; b) X = ; u) X = .
Rješenje. a) Pošto je \u003d 0, onda formula X =A B nije pogodno za rješavanje ove jednačine. Ako u radu XA =B matricu A ima 2 reda, zatim matricu X ima 2 kolone. Broj linija X mora odgovarati broju redova B . Zbog toga X ima 2 linije. Na ovaj način, X ¾ neke kvadratna matrica drugi red: X = . Zamena X u originalnu jednačinu:
Množenjem matrica na lijevoj strani (2.5.2) dolazimo do jednakosti
Dvije matrice su jednake ako i samo ako imaju iste dimenzije i ako su im odgovarajući elementi jednaki. Stoga je (2.5.3) ekvivalentno sistemu
Ovaj sistem je ekvivalentan sistemu
Rješavajući ga, na primjer, Gaussovom metodom, dolazimo do skupa rješenja (5-2 b , b , -2d , d ), gdje b , d trče nezavisno jedno od drugog R. Na ovaj način, X = .
b) Slično kao a) imamo X = i.
Ovaj sistem je nedosljedan (provjerite!). Stoga ova matrična jednačina nema rješenja.
c) Ovu jednačinu označiti sa SJEKIRA =B . Jer A ima 3 kolone i B tada ima 2 kolone X ¾ neka 3´2 matrica: X = . Dakle, imamo sljedeći lanac ekvivalencija:
Zadnji sistem rješavamo Gaussovom metodom (komentare izostavljamo)
Tako dolazimo do sistema
čije je rješenje (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) gdje z , w trče nezavisno jedno od drugog R.
Odgovor: a) X = , b , d Î R.
b) Ne postoje rješenja.
u) X = z , w Î R.
3.2. O pitanju permutabilnosti matrica. Općenito, proizvod matrica je nepromjenjiv, odnosno ako A I B takav da AB I BA definiran, dakle, općenito govoreći, AB ¹ BA . Ali primjer matrice identiteta E pokazuje da je moguća i komutabilnost AE =EA za bilo koju matricu A , kad bi samo AE I EA bili odlučni.
U ovom pododjeljku razmatramo probleme pronalaženja skupa svih matrica koje komutiraju sa datom. Na ovaj način,
Nepoznato x 1 , y 2 i z 3 može imati bilo koju vrijednost: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . Onda
Na ovaj način, X = .
Odgovori. ali) X d ¾ bilo koji broj.
b) X ¾ skup matrica oblika , gdje je a , b I g ¾ bilo koji broj.