VEKTORI

Vektori koji se nazivaju matematički objekti ( a, b, c, …), za koje su definirane dvije algebarske operacije:

sabiranje dva vektora a+b=c

množenje vektora brojem a a = b.

Najznačajnija karakteristika ovih operacija je da uvijek rezultiraju vektorom istog tipa kao i originalni vektori. Dakle, imajući neki početni skup vektora, možemo ga postepeno proširivati, tj. primati sve više i više novih vektora, primjenjujući operacije sabiranja i množenja brojem na već postojeće vektore. Na kraju ćemo doći do takvog skupa vektora koji se više neće širiti, tj. ispada da je zatvoren u odnosu na navedene operacije. Takav skup vektora se zove vektorski prostor .

Ako se prilikom izvođenja ovih operacija dodatno uslovi linearnosti :

a( a+b)= a a + a b

(a + b) a = a a + b b

tada se rezultujući prostor poziva linearno prostor (LP) ili linearni vektor prostor (HDL). LCS može, zajedno sa grupama simetrije, poslužiti kao još jedan primjer matematičkih struktura koje su zatvoreni setovi objekti istog tipa i uređeni na određeni način (uz pomoć algebarskih operacija).

Linearne kombinacije

Imajući operacije sabiranja vektora i njihovog množenja brojevima, moguće je konstruirati više složena struktura tip:

a a + b b+ g c + ..... = x

koji se zove linearna kombinacija (LC) vektori a, b, c, . . . sa koeficijentima a, b, g, . . . , odnosno.

Koncept LC nam omogućava da formulišemo nekoliko opštih pravila:

· bilo koji LC bilo kojeg vektora nekog LP je također vektor istog LP;

bilo koji vektor nekog LP može se predstaviti kao LC više vektora istog LP;

u bilo kojem LP-u postoji tako istaknut skup vektora tzv osnovni set (ili jednostavno osnovu ) da se svi, bez izuzetka, vektori ovog LP-a mogu predstaviti kao linearne kombinacije ovih odabranih baznih vektora. Vektorima odabranim kao osnovnim postavlja se jedan važan uslov: oni moraju biti linearno nezavisna među sobom (ne bi trebalo da se izražavaju jedno kroz drugo, tj.: x≠a × y).

Ova pravila omogućavaju uvođenje posebnog načina opisivanja bilo kojeg LP-a. Odaberemo osnovni skup i proširimo sve vektore koji nas zanimaju u ovoj bazi (tj. predstavljamo ih u obliku LK baznih vektora); tada se svaki vektor može jedinstveno specificirati pomoću skupa LC koeficijenata koji odgovaraju dati vektor. Takvi koeficijenti se nazivaju koordinate vektor (u odnosu na datu osnovu). Naglašavamo da su koordinate vektora obični brojevi, a koordinatni prikaz vektora nam omogućava da ga opišemo samo pomoću skupa brojeva, bez obzira na konkretan fizičkog čula, koji stavljamo u koncept vektora.

Razmotrimo konkretan primjer. Pretpostavimo da imamo skup različitih mješavina dva čista hemijske supstance: voda i alkohol. Među svim mogućim mješavinama izdvajamo dvije posebne:

1) mešavina S1 koji sadrži 100% vode i 0% alkohola;

2) mešavina S2 koji sadrži 0% vode i 100% alkohola.

Jasno je da se proizvoljna smjesa može predstaviti kao LC ove dvije osnovne smjese:

S = n 1 * S1 + n 2 * S2

i u potpunosti ga okarakterizirati sa samo dva broja-koordinata: n 1 i n 2. Drugim riječima, s obzirom na osnovni skup, možemo uspostaviti ekvivalenciju proizvoljne kemijske mješavine i skupa brojeva:

S~ {n 1 , n 2 }.

Sada je dovoljno da se specifična hemijska reč „mešavina“ zameni apstraktnom. matematički termin"vektor" za dobijanje HDL modela koji opisuje skup mješavina dvije supstance.

Linearna kombinacija vektora iz naziva se vektor st na . Jasno je da je linearna kombinacija linearnih kombinacija vektora opet linearna kombinacija ovih vektora.

Skup vektora naziva se linearno neovisnim ako je jednakost moguća samo za . Ako, međutim, postoje si koji nisu jednaki nuli u isto vrijeme i takvi da je st - 0, tada se skup vektora naziva linearno zavisnim. Ove definicije su iste kao one date na stranici 108 za nizove.

Propozicija 1. Zbirka vektora je linearno zavisna ako i samo ako je jedan od vektora linearna kombinacija ostalih.

Propozicija 2. Ako je kolekcija vektora linearno nezavisna, a kolekcija linearno zavisna, tada je vektor linearna kombinacija vektora

Propozicija 3. Ako su vektori linearne kombinacije vektora , tada je skup linearno zavisan.

Dokazi ovih rečenica se ne razlikuju od dokaza sličnih rečenica za nizove (str. 108-110).

Skup vektora se naziva generirajućim ako su svi vektori prostora njihove linearne kombinacije. Ako postoji konačan generirajući sistem za prostor S, onda se prostor naziva konačno-dimenzionalnim, u suprotnom se naziva beskonačno-dimenzionalnim. U konačnodimenzionalnom prostoru, linearno nezavisne kolekcije vektora proizvoljno velike (po broju vektora) ne mogu postojati, jer je, prema Propoziciji 3, svaka kolekcija vektora koja prelazi broj vektora generirajuće kolekcije linearno zavisna.

Prostor matrica fiksne veličine i posebno prostor redova fiksne dužine su konačno dimenzionalni; kao generirajući sistem mogu se uzeti matrice sa jedan na jednoj poziciji i sa nulama u ostatku.

Prostor svih polinoma iz je već beskonačno-dimenzionalan, jer je skup polinoma linearno nezavisan za bilo koji .

U nastavku ćemo razmatrati konačno-dimenzionalne prostore.

Propozicija 4. Svaki minimalni (po broju vektora) generirajući skup vektora je linearno nezavisan.

Zaista, neka je minimalni generirajući skup vektora. Ako je linearno zavisan, onda je jedan od vektora, recimo, linearna kombinacija ostalih, a svaka linearna kombinacija je linearna kombinacija manjeg skupa vektora, koji se tako ispostavlja da generira.

Propozicija 5. Bilo koji maksimalni (po broju vektora) linearno nezavisan skup vektora je generirajući.

Zaista, neka je maksimalna linearno nezavisna zbirka i u bilo koji vektor prostora. Tada skup i neće biti linearno nezavisan, i, na osnovu Propozicije 2, vektor je linearna kombinacija

Propozicija 6. Svaki linearno nezavisni generirajući skup je minimalan među generatorima, a maksimalan među linearno nezavisnim.

Zaista, neka je linearno nezavisan generirajući skup vektora. Ako - neki drugi generirajući skup, onda su to linearne kombinacije i iz toga zaključujemo, jer da je tada, po prijedlogu bi bio linearno zavisan skup. Neka je sada bilo koji linearno nezavisan skup. Vektori su linearne kombinacije vektora i, shodno tome, sa istom propozicijom, oni bi činili linearno zavisan skup.

Dakle, u Propozicijama 4, 5, 6 utvrđen je identitet tri koncepta - minimalnog generirajućeg skupa vektora, maksimalnog linearno nezavisnog skupa vektora i linearno nezavisnog generirajućeg skupa.

Skup vektora koji zadovoljava ove uslove naziva se baza prostora, a broj vektora koji čine osnovu naziva se dimenzija prostora. Dimenzija prostora S je označena sa . Dakle, dimenzija je linearno jednaka maksimalnom broju nezavisni vektori(često ćemo koristiti riječi “linearno neovisno” i “linearno neovisno” u nastavku). zavisni vektori” umjesto da se kaže “vektori koji čine linearno zavisnu kolekciju” odnosno - za linearno nezavisnu kolekciju) i minimalni broj generirajućih vektora.

Propozicija 7. Neka je linearno nezavisan skup vektora, a njihov broj je manji od dimenzije prostora. Tada im se može pričvrstiti vektor na takav način da kolekcija ostane linearno nezavisna.

Dokaz. Razmotrimo skup linearnih kombinacija. To ne iscrpljuje cijeli prostor, jer oni ne čine generirajući skup vektora. Uzmite vektor koji nije linearna kombinacija

Tada je linearno nezavisna kolekcija, jer bi inače bila linearna kombinacija vektora na osnovu Propozicije 2.

Iz Propozicije 7 slijedi da se svaka linearno nezavisna zbirka vektora može dopuniti do baze.

Isti prijedlog i njegov dokaz ukazuju na prirodu proizvoljnosti u izboru osnove. Zaista, ako uzmemo proizvoljan vektor različit od nule, onda se on može dovršiti do baze uzimajući drugi vektor kako želite, ali ne linearnu kombinaciju prvog, trećeg kako želite, ali ne i linearnu kombinaciju prva dva itd.

Može se "spustiti" do baze, polazeći od proizvoljnog generirajućeg skupa.

Propozicija 8. Svaki generirajući skup vektora sadrži bazu.

Zaista, neka je generirajući skup vektora. Ako je linearno zavisan, onda je jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih i može biti isključen iz generirajućeg skupa. Ako su preostali vektori linearno zavisni, onda se još jedan vektor može eliminirati, i tako dalje, sve dok ne ostane linearno nezavisan generirajući skup, tj. baza.

Vektorski koncept

Definicija 1.Vector naziva se usmjereni segment (ili, što je isto, uređeni par tačaka).

Označiti: (tačka A je početak vektora), tačka B je kraj vektora) ili jednim slovom -.

Definicija 2.Dužina vektora (modulo) je udaljenost između početka i kraja vektora. Dužina vektora je označena sa ili.

Definicija 3.Nulti vektor Vektor čiji su početak i kraj isti naziva se. Odrediti:

Definicija 4.jedinični vektor je vektor čija je dužina jednaka jedan.

Jedinični vektor koji ima isti smjer kao dati vektor naziva se vektorski vektor i označava se simbolom.

Definicija 5. Vektori se nazivaju kolinearno, ako se nalaze na istoj liniji ili na paralelnim linijama. Nulti vektor se smatra kolinearnim bilo kom vektoru.

Definicija 6. Vektori se nazivaju jednaka ako su kolinearni, imaju istu dužinu i isti smjer.

Linearne operacije nad vektorima

Definicija 7.Linearne operacije nad vektorima nazivaju se zbrajanjem vektora i množenjem vektora brojem.

Definicija 8.Zbir dva vektora naziva se vektor koji ide od početka vektora do kraja vektora, pod uslovom da je vektor vezan za kraj vektora (pravilo trokuta). U slučaju nekolinearnih vektora, umjesto pravila trokuta, može se koristiti pravilo paralelograma: ako su vektori i iscrtani iz zajedničkog ishodišta i na njima je izgrađen paralelogram, tada je zbir vektor koji se poklapa s dijagonalom ovog paralelograma koji dolazi iz zajedničkog porijekla.

Definicija 9.Razlika dva vektora i naziva se vektor, koji u zbiru sa vektorom čini vektor. Ako su dva vektora i odložena sa zajedničkog početka, onda je njihova razlika vektor koji dolazi od kraja vektora („oduzeto“) do kraja vektora („smanjeno“).

Definicija 10. Zovu se dva kolinearna vektora jednake dužine usmjerena u suprotnim smjerovima suprotno. Vektor suprotan vektoru je označen.

Proizvod vektora i broja je označen sa α.

Neka svojstva linearnih operacija

7) ;

Teorema 1.(O kolinearnim vektorima). Ako su i dva kolinearna vektora, a vektor nije nula, tada postoji jedinstveni broj x takav da je = x

Konkretno, vektor različit od nule i njegov orto su povezani jednakošću:=·.

Formulirana svojstva linearnih operacija omogućavaju transformaciju izraza sastavljenih od vektora prema uobičajenim pravilima algebre: možete otvoriti zagrade, donijeti slične članove, prenijeti neke članove u drugi dio jednakosti sa suprotnim predznakom itd.

Primjer 1

Dokazati jednakosti:

i saznati koje je njihovo geometrijsko značenje.

Rješenje. a) Na lijevoj strani jednakosti otvaramo zagrade, dajemo slične pojmove, dobijamo vektor na desnoj strani. Objasnimo ovu jednakost geometrijski. Neka su data dva vektora, odvojimo ih od zajedničkog početka i pogledamo paralelogram i njegove dijagonale, dobićemo:

§2. Linearna kombinacija vektora

Vektorska osnova na ravni i u prostoru.

Definicija 1.Linearna kombinacija vektora,, je zbir proizvoda ovih vektora nekim brojevima,,:++.

Definicija 2.vektorsku osnovu bilo koji par nekolinearnih vektora u ovoj ravni se zove u datoj ravni.

Vektor se naziva prvi bazni vektor, drugi vektor.

Sljedeća teorema je tačna.

Teorema 1. Ako je osnova ,– vektorsku osnovu u ravni, onda se bilo koji vektor ove ravni može predstaviti, i, štaviše, jedini način, kao linearna kombinacija baznih vektora: = x + y. (*)

Definicija 3. Jednakost(*) se poziva , a brojevi x i y su vektorske koordinate u bazi,(ili s obzirom na osnovu,). Ako je unaprijed jasno o kojoj osnovi se raspravlja, onda kratko pišu: = (x, y). Iz definicije koordinata vektora u odnosu na bazu slijedi da jednaki vektori imaju odgovarajuće jednake koordinate.

Dva ili više vektora u prostoru se nazivaju komplanarno, ako su paralelne sa istom ravninom ili leže u toj ravni.

Definicija 4.vektorsku osnovu u prostoru se nazivaju bilo koja tri vektora , ,.

U ovom slučaju, vektor se naziva prvi bazni vektor, drugi i treći.

Komentar. jedan. Tri vektora = (),= () i = () čine osnovu prostora ako je determinanta sastavljena od njihovih koordinata različita od nule:

.

2. Glavne odredbe teorije determinanti i način njihovog izračunavanja razmatraju se u modulu 1 "linearna algebra".

Teorema 2. Neka bude , , je vektorska baza u prostoru. Tada se bilo koji vektor u prostoru može predstaviti, i to na jedinstven način, kao linearna kombinacija baznih vektora , i:

X+y+z. (**)

Definicija 5. Jednakost (**) se zove proširenje vektora u smislu baze,,, a brojevi x, y, z su koordinate (komponente) vektora u bazi , ,.

Ako je unaprijed jasno o kojoj osnovi se raspravlja, onda kratko pišu: = (x, y, z).

Definicija 6. Osnova , , zove se ortonormalno, ako su vektori , , su po paru okomite i imaju jediničnu dužinu. U ovom slučaju se usvaja notacija ,,.

Akcije na vektore date njihovim koordinatama.

Teorema 3. Neka je na ravni odabrana vektorska baza , i u odnosu na njegove vektore i date su njihovim koordinatama: = (),= ().

Onda =(),=( ), tj. pri sabiranju ili oduzimanju vektora sabiraju se ili oduzimaju njihove istoimene koordinate; = ( ;), tj. kada se vektor pomnoži sa brojem, njegove koordinate se množe s tim brojem.

Uvjet kolinearnosti za dva vektora

Teorema 4. Vektor je kolinearan vektoru koji nije nula ako i samo ako su koordinate vektora proporcionalne odgovarajućim koordinatama vektora at.e.

Linearne operacije nad vektorima zadanim njihovim koordinatama u prostoru izvode se na sličan način.

Primjer 1 Neka su vektori = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) dati u nekoj vektorskoj bazi , ,. Pronađite koordinate linearne kombinacije 2+3-4.

Rješenje. Hajde da uvedemo notaciju za linearnu kombinaciju=2+3+(-4).

Koeficijenti linearne kombinacije =2,=3,=-4. Ovu vektorsku jednakost zapisujemo u koordinatnom obliku = (x, y, z) =:

2

Očigledno je da je svaka koordinata linearne kombinacije vektora jednaka istoj linearnoj kombinaciji koordinata istog imena, tj.

x \u003d 2 1 + 3 3 + (-4) 1 = 7,

y = 2 2+3 2+(-4) 0=10,

z= 2 (-1)+3 1+(-4) 0=-3.

Vektorske koordinate u bazi , , bice:

odgovor:= {7,10,-3}.

Opšti (afini) Dekartov koordinatni sistem

Definicija 7. Neka je O neka fiksna tačka, koju ćemo nazvati početak.

Ako je M proizvoljna tačka, tada se vektor naziva radijus vektor tačku M u odnosu na početak, ukratko, radijus vektor tačke M.

Kartezijanske (afine) koordinate na pravoj

Neka je u prostoru data neka prava linija l. Odaberimo ishodište O koje leži na ovoj pravoj. Osim toga, biramo na liniji l vektor različit od nule, koji ćemo nazvati osnovnim vektorom.

Definicija 8. Neka tačka M leži na pravoj l. Pošto su vektori kolinearni, onda je = x, gdje je x neki broj. Nazvat ćemo ovaj broj koordinata tačke M na pravoj.

Izvor O ima pozitivne ili negativne koordinate, ovisno o tome da li su smjerovi vektora isti ili suprotni. Prava linija na kojoj se nalaze koordinate naziva se koordinatna osa ili OX osa.

Uvođenje koordinata na pravu odgovara jednom broju x, i obrnuto, postoji jedinstvena tačka M kojoj je ovaj broj koordinata.

Kartezijanske (afine) koordinate na ravni.

Biramo dva nekolinearna vektora u na ravni O, formirajući neku bazu. Očigledno, dužine vektora mogu biti različite.

Definicija 9. Skup (0;;) tačke O i vektorske baze , pozvao Kartezijanski (afini) sistem na površini.

Dvije prave koje prolaze kroz O i paralelne su s vektorima , se nazivaju koordinatne ose. Prva od njih se obično naziva osa apscise i označava se Ox, druga je osa ordinata i označava se Oy.

Uvijek ćemo prikazivati ​​i ležati na odgovarajućim koordinatnim osama.

Definicija 10.koordinate tačke M na ravni u odnosu na Dekartov (afini) koordinatni sistem (0;;) naziva se koordinate njegovog radijus vektora prema bazi,:

X + y, tada će brojevi x i y biti koordinate M u odnosu na kartezijanski (afini) koordinatni sistem (0;;). Poziva se koordinata x apscisa tačka M, koordinata y- ordinate bodovi M.

Dakle, ako je odabran koordinatni sistem (0;;) na ravni, tada svaka tačka M ravni odgovara jednoj tački M na ravni: ova tačka je kraj vektora

Uvođenje koordinatnog sistema leži u osnovi metode analitičke geometrije, čija je suština da se može smanjiti bilo koji geometrijski problem na probleme iz aritmetike ili algebre.

Definicija 11.Vektorske koordinate na ravni u odnosu na Dekartov koordinatni sistem (0;;) nazivaju se koordinate ovog vektora u bazi,.

Da biste pronašli koordinate vektora, morate ga proširiti u smislu baze:

X+y, gdje koeficijenti x,y i bit će koordinate vektora u odnosu na Kartezijanski sistem {0;;}.

Kartezijanski (afini) koordinatni sistem u prostoru.

Neka je neka tačka O (početak) fiksirana u prostoru i odabrana je vektorska baza

Definicija 12. Poziva se kolekcija (0;;;). Kartezijanski koordinatni sistem u svemiru.

Definicija 13. Tri prave koje prolaze kroz O i paralelne su vektorima , ,, zvao koordinatne ose i označavamo redom Oz, Oy, Oz. Uvijek ćemo prikazivati ​​vektore , ležeći na odgovarajućim osovinama.

Definicija 14.koordinate tačke M u prostoru u odnosu na Dekartov koordinatni sistem (0;;;) nazivaju se koordinate njegovog radijus vektora u ovom sistemu.

Drugim riječima, koordinate tačke M su tri broja x, y, z, odnosno apscisa i ordinata tačke M; treća koordinata z naziva se aplikatom tačke M.

Uvođenje kartezijanskog koordinatnog sistema u prostor omogućava uspostavljanje korespondencije jedan prema jedan između tačaka M prostora i uređenih trojki brojeva x, y, z.

Definicija 15.Vektorske koordinate u prostoru u odnosu na Dekartov koordinatni sistem (0;;;) su koordinate ovog vektora u bazi;;.

Primjer 2

Zadata su tri uzastopna vrha paralelograma A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Pronađite njegovu četvrtu koordinatu D. Koordinatni sistem je afin.

Rješenje.

Vektori su jednaki, što znači da su im koordinate jednake (koeficijenti linearne kombinacije):

= (3;2), =(4-x;-y); . Dakle D(1;-2).

odgovor: D(1;-2).

Linearna zavisnost. Koncept osnove

Definicija 16. Vektori, tzv linearno zavisna, ako postoje brojevi

Ova definicija linearne zavisnosti vektora je ekvivalentna ovoj: vektori su linearno zavisni ako se jedan od njih može predstaviti kao linearna kombinacija drugih (ili proširiti preko ostalih).

Vektori , nazivaju se linearno zavisni ako je jednakost (***) moguća u jedinom slučaju kada

Koncept linearne zavisnosti igra veliku ulogu u linearnoj algebri. U vektorskoj algebri, linearna zavisnost ima jednostavno geometrijsko značenje.

Bilo koja dva kolinearna vektora su linearno zavisna, i obrnuto, dva nekolinearna vektora su linearno nezavisna.

Tri koplanarna vektora su linearno zavisna, i obrnuto, tri nekoplanarna vektora su linearno nezavisna.

Svaka četiri vektora su linearno zavisna.

Definicija 17. Zovu se tri linearno nezavisna vektora osnovu prostora one. bilo koji vektor se može predstaviti kao neki.

Definicija 18. Zovu se dva linearno nezavisna vektora koja leže u ravni ravninska osnova, one. bilo koji vektor koji leži u ovoj ravni može se predstaviti kao linearna kombinacija vektora.

Zadaci za samostalno odlučivanje.

vektora za pronalaženje koordinata u ovoj bazi.

Predavanje 6

Vektori …, nazivaju se linearno zavisni ako postoje brojevi , , … , među kojima postoji barem jedan različit od nule takav da

Zbir proizvoda brojeva i vektora, tj. vektor

naziva se linearna kombinacija vektora.

Ako je vektor predstavljen kao linearna kombinacija vektora, tada se kaže i da je vektor razložen na vektore.

Gornja definicija linearne zavisnosti vektora je ekvivalentna ovoj: vektori su linearno zavisni ako se jedan od njih može predstaviti kao linearna kombinacija drugih (ili proširen u smislu ostalih).

Teorema 1. Za dva vektora i da bi bili linearno zavisni, neophodno je i dovoljno da budu kolinearni.

Dokaz potreba. Zadano: vektori i su linearno zavisni. Potrebno je dokazati da su kolinearni. Budući da su vektori i linearno zavisni, postoje brojevi i koji nisu jednaki nuli u isto vrijeme i takvi da

Neka, na primjer, ; onda

otuda slijedi da su vektori i kolinearni.

Zadano: vektori i kolinearni. Potrebno je dokazati da su one linearno zavisne.

Ako , tada vrijedi jednakost, što znači da su vektori i linearno zavisni.

Ako , onda uz pretpostavku , nalazimo , ili ; dakle vektori i su linearno zavisni.

Za tri vektora se kaže da su komplanarna ako, kada su nacrtani iz iste tačke, leže u istoj ravni.

Teorema 2. Da bi tri vektora , , bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu koplanarni.

Dato: vektori , , su linearno zavisni. Moramo dokazati da su koplanarni.

Budući da su vektori , , linearno zavisni, postoje brojevi , , , među kojima postoji barem jedan ; takav da

Neka, na primjer, ; onda

Vektori i su kolinearni, respektivno, vektorima i ; dakle zbir takvih vektora, tj. vektor će biti komplanaran s vektorima i .

Dokaz o dovoljnosti. Dato: vektori , , su komplanarni. Potrebno je dokazati da su ovi vektori linearno zavisni.

Ako su vektori i kolinearni, onda su linearno zavisni (teorema 1 ovog odjeljka), tj. postoje brojevi i , Od kojih barem jedan nije jednak nuli i takav da , ali onda i , tj. vektori , , su linearno zavisni .

Neka su vektori i nekolinearni. Odvojite vektore , i iz iste tačke O:

Budući da su vektori , , komplanarni, točke O, leže u istoj ravni. Projektovati tačku na pravu paralelnu sa pravom; neka bude R je ova projekcija. Tada i od tada

onda, pod pretpostavkom

odnosno, vektori , , su linearno zavisni.

Teorema 3. Bilo koja četiri vektora , , , u prostoru su linearno zavisna.

Dokaz. Pretpostavimo da su vektori , , nekoplanarni. Odvojite sve vektore , , , iz iste tačke O:

Neka bude R- projekcija tačke na ravan paralelnu pravoj liniji i - projekcija tačke R na pravoj paralelnoj s pravom. Onda .

Vektori su respektivno kolinearni vektorima , i . Pretpostavljajući ; ; get ; ;

i stoga:

one. vektori , , , su linearno zavisni.

Teorema 4. Za dva vektora različita od nule i da bi bili kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove koordinate budu proporcionalne.

Dokažimo teoremu za slučaj kada su vektori dati svojim koordinatama u odnosu na zajednički Dekartov koordinatni sistem u prostoru.

dokaz o neophodnosti. Zadano: vektori ; i kolinearno. Potrebno je dokazati da su njihove koordinate proporcionalne.

Budući da , uz pretpostavku , dobijamo , tj.

Dokaz o dovoljnosti. Zadane: koordinate vektora

proporcionalan. Potrebno je dokazati da su ovi vektori kolinearni.

Neka biti ; odnosno , ili , i stoga su vektori i kolinearni.

Teorema 5. Da bi za dva vektora i , date njihovim koordinatama u odnosu na zajednički Dekartov koordinatni sistem na ravni

ili u odnosu na zajednički kartezijanski koordinatni sistem u prostoru

su kolinearni, potrebno je i dovoljno da

(u slučaju aviona),

(u slučaju prostora).

Dokažimo teoremu za slučaj kada su vektori i dati svojim koordinatama u odnosu na opći Dekartov koordinatni sistem u prostoru.

dokaz o neophodnosti. Zadano: vektori i kolinearni. Potrebno je dokazati da su relacije

Ako su vektori i različiti od nule i kolinearni, tada su njihove koordinate proporcionalne, pa su stoga ove jednakosti zadovoljene (determinanta u kojoj su dva reda proporcionalna je jednaka nuli). Ako je ili (ili ==0), onda je ova jednakost očigledna.

Dokaz o dovoljnosti. Dato je da su ovi odnosi zadovoljeni. Potrebno je dokazati da su vektori i kolinearni.

Ako (tj. =0), tada su vektori i kolinearni (jer je nulti vektor kolinearan bilo kojem vektoru). Neka barem jedan od brojeva nije nula, na primjer . Neka ; onda i iz relacije ili (proširujući determinantu) , nalazimo, , date svojim koordinatama u odnosu na zajednički kartezijanski koordinatni sistem u prostoru, pripadaju jednoj pravoj liniji ako i samo ako su relacije zadovoljene

Posljedica 3. Tačke , , , , date svojim koordinatama u odnosu na zajednički Dekartov koordinatni sistem u prostoru, pripadaju istoj ravni ako i samo ako su vektori ; ; komplanarno, tj. ako i samo ako .