DEFINICIJA 5. Neka je X metrički prostor, MM H, aOH. Tačka a se naziva granična tačka od M ako postoje tačke skupa M\(a) u bilo kojoj okolini a. Potonje znači da u bilo kojoj okolini a postoje tačke skupa M koje su različite od a.

Napomene. 1. Granična tačka može ili ne mora pripadati skupu. Na primjer, 0 i 1 su granične tačke skupa (0,2), ali mu prva ne pripada, a druga pripada.

2. Tačka skupa M ne može biti njegova granična tačka. U ovom slučaju, naziva se izolovana tačka M. Na primjer, 1 je izolovana tačka skupa (-1,0)È(1).

3. Ako granična tačka a ne pripada skupu M, tada postoji niz tačaka x n nM koji konvergiraju u a u ovom metričkom prostoru. Da bismo to dokazali, dovoljno je uzeti otvorene kuglice u ovoj tački poluprečnika 1/n i izabrati od svake kuglice tačku koja pripada M. Također je istinito, ako postoji takav niz za a, tada je tačka granica tačka.

DEFINICIJA 6. Zatvaranje skupa M je unija M sa skupom njegovih graničnih tačaka. Oznaka .

Imajte na umu da se zatvaranje lopte ne mora podudarati sa zatvorenom kuglom istog polumjera. Na primjer, u diskretnom prostoru, zatvaranje lopte B(a,1) jednako je samoj lopti (sastoji se od jedne tačke a), dok se zatvorena lopta (a,1) poklapa sa cijelim prostorom.

Hajde da opišemo neka svojstva zatvaranja skupova.

1. MM . Ovo direktno slijedi iz definicije zatvaranja.

2. Ako je M Ì N, onda Ì . Zaista, ako je a O, a PM, tada u bilo kojoj okolini a postoje tačke skupa M. One su takođe tačke N. Prema tome, a . Za tačke iz M ovo je jasno po definiciji.

4. .

5. Zatvaranje praznog skupa je prazno. Ovaj sporazum ne proizilazi iz opšta definicija ali je prirodno.

DEFINICIJA 7. Skup M Ì X naziva se zatvorenim ako je = M.

Skup M Ì X naziva se otvorenim ako je skup X\M zatvoren.

Skup M Ì X naziva se svuda gust u X ako je = X.

DEFINICIJA 8. Tačka a naziva se unutrašnja tačka skupa M ako je B(a,r)ÌM za neko pozitivno r, tj. unutrašnja tačka je uključena u skup zajedno sa nekom okolinom. Tačka a naziva se vanjska tačka skupa M ako lopta B(a,r)ÌX/M za neko pozitivno r, tj. unutrašnja tačka nije uključena u skup zajedno sa nekom okolinom. Tačke koje nisu ni unutrašnje ni vanjske tačke skupa M nazivaju se granične tačke.

Dakle, granične tačke karakteriše činjenica da u svakoj njihovoj četvrti postoje tačke koje su uključene i nisu uključene u M.

PROPOZICIJA 4. Da bi skup bio otvoren, potrebno je i dovoljno da sve njegove tačke budu unutrašnje.

Primjeri zatvoreni setovi na liniji su , )