Drugim riječima, linearna ovisnost grupe vektora znači da među njima postoji vektor koji se može predstaviti linearnom kombinacijom drugih vektora ove grupe.
Recimo . Onda
Otuda vektor x linearno zavisna od vektora ove grupe.
Vektori x, y, ..., z nazivaju se linearnim nezavisni vektori ako iz jednakosti (0) slijedi da
α=β= ...= γ=0.
To jest, grupe vektora su linearno nezavisne ako nijedan vektor ne može biti predstavljen linearnom kombinacijom drugih vektora u toj grupi.
Određivanje linearne zavisnosti vektora
Neka je dato m vektora redova reda n:
Nakon što smo napravili Gausov izuzetak, matricu (2) dovodimo u gornji trouglasti oblik. Elementi posljednje kolone se mijenjaju samo kada se redovi preurede. Nakon m koraka eliminacije, dobijamo:
gdje i 1 , i 2 , ..., i m - indeksi nizova dobijeni iz moguće permutacije nizova. Uzimajući u obzir primljene redove iz indeksa reda, isključujemo one koji odgovaraju nultom vektoru redova. Preostali redovi formiraju linearno nezavisne vektore. Imajte na umu da se pri kompajliranju matrice (2), promjenom niza vektora reda, može dobiti još jedna grupa linearno nezavisnih vektora. Ali podprostor koji formiraju obje ove grupe vektora je isti.
Koncepti linearne zavisnosti i nezavisnosti sistema vektora su veoma važni u proučavanju vektorske algebre, jer se na njima zasnivaju koncepti dimenzije i baze prostora. U ovom članku ćemo dati definicije, razmotriti svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti, dobiti algoritam za proučavanje sistema vektora za linearnu zavisnost i detaljno analizirati rješenja primjera.
Navigacija po stranici.
Određivanje linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti sistema vektora.
Razmotrimo skup p n-dimenzionalnih vektora, označimo ih na sljedeći način. Sastavite linearnu kombinaciju ovih vektora i proizvoljnih brojeva 
(stvarno ili složeno): . Na osnovu definicije operacija nad n-dimenzionalnim vektorima, kao i svojstava operacija sabiranja vektora i množenja vektora brojem, može se tvrditi da je zapisano linearna kombinacija je neki n-dimenzionalni vektor , to jest, .
Tako smo došli do definicije linearne zavisnosti sistema vektora.
Definicija.
Ako linearna kombinacija može biti nulti vektor kada je među brojevima 
postoji barem jedan osim nule, tada se sistem vektora naziva linearno zavisna.
Definicija.
Ako je linearna kombinacija nulti vektor samo kada su svi brojevi su jednaki nuli, onda se sistem vektora zove linearno nezavisna.
Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti.
Na osnovu ovih definicija formulišemo i dokazujemo svojstva linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti sistema vektora.
Ako se linearno zavisnom sistemu vektora doda nekoliko vektora, onda će rezultujući sistem biti linearno zavisan.
Dokaz.
Budući da je sistem vektora linearno zavisan, jednakost je moguća ako postoji barem jedan broj različit od nule od brojeva . Neka bude .
Dodajmo još s vektora originalnom sistemu vektora 
, i dobijamo sistem. Budući da i , onda je linearna kombinacija vektora ovog sistema oblika
je nulti vektor, i . Dakle, rezultujući sistem vektora je linearno zavisan.
Ako je nekoliko vektora isključeno iz linearno nezavisnog sistema vektora, onda će rezultujući sistem biti linearno nezavisan.
Dokaz.
Pretpostavljamo da je rezultujući sistem linearno zavisan. Dodavanjem svih odbačenih vektora ovom sistemu vektora, dobijamo originalni sistem vektora. Po uslovu je linearno nezavisan, a zbog prethodnog svojstva linearne zavisnosti mora biti linearno zavisan. Došli smo do kontradikcije, stoga je naša pretpostavka pogrešna.
Ako sistem vektora ima barem jedan nulti vektor, onda je takav sistem linearno zavisan.
Dokaz.
Neka je vektor u ovom sistemu vektora nula. Pretpostavimo da je originalni sistem vektora linearno nezavisan. Tada je vektorska jednakost moguća samo kada . Međutim, ako uzmemo bilo koji različit od nule, tada će jednakost i dalje vrijediti, budući da . Stoga je naša pretpostavka pogrešna, a originalni sistem vektora je linearno zavisan.
Ako je sistem vektora linearno zavisan, onda je barem jedan od njegovih vektora linearno izražen u terminima ostalih. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda se nijedan od vektora ne može izraziti u terminima ostalih.
Dokaz.
Hajde da prvo dokažemo prvu tvrdnju.
Neka je sistem vektora linearno zavisan, tada postoji barem jedan broj različit od nule i jednakost je tačna. Ova jednakost se može riješiti u odnosu na , Budući da , U ovom slučaju, imamo 
Posljedično, vektor se linearno izražava u terminima preostalih vektora sistema, što je trebalo dokazati.
Sada dokazujemo drugu tvrdnju.
Pošto je sistem vektora linearno nezavisan, jednakost je moguća samo za .
Pretpostavimo da je neki vektor sistema linearno izražen u terminima drugih. Neka ovaj vektor bude , Onda . Ova jednakost se može prepisati kao , na njenoj lijevoj strani je linearna kombinacija vektora sistema, a koeficijent ispred vektora je različit od nule, što ukazuje na linearnu zavisnost originalnog sistema vektora. Tako smo došli do kontradikcije, što znači da je svojstvo dokazano.
Važna izjava slijedi iz posljednja dva svojstva:
ako sistem vektora sadrži vektore i , gdje je – proizvoljan broj, tada je linearno zavisna.
Proučavanje sistema vektora za linearnu zavisnost.
Postavimo zadatak: treba da uspostavimo linearnu zavisnost ili linearnu nezavisnost sistema vektora.
Postavlja se logično pitanje: "kako to riješiti?"
Nešto korisno sa praktične tačke gledišta može se izvesti iz gornjih definicija i svojstava linearne zavisnosti i nezavisnosti sistema vektora. Ove definicije i svojstva nam omogućavaju da uspostavimo linearnu zavisnost sistema vektora u sledećim slučajevima:
Šta je sa drugim slučajevima, kojih je većina?
Hajde da se pozabavimo ovim.
Prisjetimo se formulacije teoreme o rangu matrice, koju smo citirali u članku.
Teorema.
Neka bude r je rang matrice A reda p po n, 
. Neka je M osnovni minor matrice A. Svi redovi (svi stupci) matrice A koji ne učestvuju u formiranju osnovnog minora M linearno se izražavaju kroz redove (kolone) matrice koji generišu osnovni minor M.
A sada da objasnimo vezu teoreme o rangu matrice sa proučavanjem sistema vektora za linearnu zavisnost.
Napravimo matricu A čiji će redovi biti vektori sistema koji se proučava: 
Šta bi značilo linearnu nezavisnost vektorski sistemi?
Iz četvrtog svojstva linearne nezavisnosti sistema vektora znamo da se nijedan od vektora sistema ne može izraziti preko drugih. Drugim riječima, nijedan red matrice A neće biti linearno izražen u terminima drugih redova, dakle, linearna nezavisnost sistema vektora će biti ekvivalentna uslovu Rank(A)=p.
Šta će značiti linearna zavisnost sistema vektora?
Sve je vrlo jednostavno: barem jedan red matrice A će biti linearno izražen u smislu ostatka, dakle, linearna zavisnost sistema vektora će biti ekvivalentna uslovu Rank(A)
.
Dakle, problem proučavanja sistema vektora za linearnu zavisnost svodi se na problem nalaženja ranga matrice sastavljene od vektora ovog sistema.
Treba napomenuti da će za p>n sistem vektora biti linearno zavisan.
Komentar: pri kompajliranju matrice A, sistemski vektori se mogu uzeti ne kao redovi, već kao stupci.
Algoritam za proučavanje sistema vektora za linearnu zavisnost.
Analizirajmo algoritam na primjerima.
Primjeri proučavanja sistema vektora za linearnu ovisnost.
Primjer.
Dat sistem vektora. Ispitajte ga radi linearnog odnosa.
Rješenje.
Pošto je vektor c nula, originalni sistem vektora je linearno zavisan zbog trećeg svojstva.
odgovor:
Sistem vektora je linearno zavisan.
Primjer.
Ispitati sistem vektora za linearnu zavisnost.
Rješenje.
Nije teško vidjeti da su koordinate vektora c jednake odgovarajućim koordinatama vektora pomnoženim sa 3, odnosno, . Prema tome, originalni sistem vektora je linearno zavisan.
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
Definicije linearno zavisnih i nezavisnih sistema vektora
Definicija 22
Neka imamo sistem od n-vektora i skup brojeva 
, onda
(11)
naziva se linearna kombinacija datog sistema vektora sa datim skupom koeficijenata.
Definicija 23
Vektorski sistem 
naziva se linearno zavisnim ako postoji takav skup koeficijenata 
, od kojih barem jedan nije jednak nuli, tako da je linearna kombinacija datog sistema vektora sa ovim skupom koeficijenata jednaka nultom vektoru:
Neka bude 
, onda
Definicija 24 ( kroz predstavljanje jednog vektora sistema kao linearne kombinacije ostalih)
Vektorski sistem 
naziva se linearno zavisnim ako se barem jedan od vektora ovog sistema može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih vektora ovog sistema.
Izjava 3
Definicije 23 i 24 su ekvivalentne.
Definicija 25(putem kombinacije nulte linije)
Vektorski sistem 
naziva se linearno nezavisnim ako je nulta linearna kombinacija ovog sistema moguća samo za sve 
jednak nuli.
Definicija 26(zbog nemogućnosti da se jedan vektor sistema predstavi kao linearna kombinacija ostalih)
Vektorski sistem 
naziva se linearno nezavisnim ako se nijedan od vektora ovog sistema ne može predstaviti kao linearna kombinacija drugih vektora ovog sistema.
Svojstva linearno zavisnih i nezavisnih sistema vektora
Teorema 2 (nulti vektor u sistemu vektora)
Ako postoji nulti vektor u sistemu vektora, onda je sistem linearno zavisan.
Neka 
, zatim .
Get 
, dakle, po definiciji linearno zavisnog sistema vektora u terminima nulte linearne kombinacije (12)
sistem je linearno zavisan.
Teorema 3 (zavisni podsistem u sistemu vektora)
Ako sistem vektora ima linearno zavisan podsistem, onda je cijeli sistem linearno zavisan.
Neka 
- linearno zavisni podsistem 
, među kojima barem jedan nije jednak nuli:
Dakle, prema definiciji 23, sistem je linearno zavisan.
Teorema 4
Svaki podsistem linearno nezavisnog sistema je linearno nezavisan.
Naprotiv. Neka je sistem linearno nezavisan i ima linearno zavisan podsistem. Ali tada, prema teoremi 3, ceo sistem će takođe biti linearno zavisan. Kontradikcija. Prema tome, podsistem linearno nezavisnog sistema ne može biti linearno zavisan.
Geometrijsko značenje linearne zavisnosti i nezavisnosti sistema vektora
Teorema 5
Dva vektora 
I 
linearno zavisna ako i samo ako 
.
Need.
I 
- linearno zavisna 
da je stanje 
. Onda 
, tj. 
.
Adekvatnost.
Linearno zavisno.
Posljedica 5.1
Nulti vektor je kolinearan bilo kojem vektoru
Posljedica 5.2
Da bi dva vektora bila linearno nezavisna potrebno je i dovoljno da 
nije bila kolinearna 
.
Teorema 6
Da bi sistem od tri vektora bio linearno zavisan, potrebno je i dovoljno da ti vektori budu komplanarni .
Need.
- su linearno zavisne, pa se jedan vektor može predstaviti kao linearna kombinacija druga dva.
,
(13)
gdje 
I 
. Prema pravilu paralelograma 
je dijagonala paralelograma sa stranicama 
, ali paralelogram je ravna figura 
komplanarno 
takođe su komplanarni.
Adekvatnost.
- komplanarno. Na tačku O primjenjujemo tri vektora:
C
B`
– linearno zavisna
Korolar 6.1
Nulti vektor je komplanaran sa bilo kojim parom vektora.
Korolar 6.2
Da bi vektori 
su linearno nezavisni ako i samo ako nisu komplanarni.
Zaključak 6.3
Bilo koji ravan vektor se može predstaviti kao linearna kombinacija bilo koja dva nekolinearna vektora iste ravni.
Teorema 7
Svaka četiri vektora u prostoru su linearno zavisna .
Razmotrimo 4 slučaja:
Nacrtajmo ravan kroz vektore, zatim ravan kroz vektore i ravan kroz vektore. Zatim crtamo ravnine koje prolaze kroz tačku D, paralelno sa parovima vektora; ; respektivno. Gradimo paralelepiped duž linija presjeka ravnina OB 1 D 1 C 1 ABDC.
Razmislite OB 1
D 1
C 1
- paralelogram po konstrukciji prema pravilu paralelograma 
.
Razmotrimo OADD 1 - paralelogram (iz svojstva paralelepipeda) 
, onda
EMBED Equation.3 .
Prema teoremi 1 
takav da . Onda 
, a po definiciji 24 sistem vektora je linearno zavisan.
Korolar 7.1
Zbir tri nekoplanarna vektora u prostoru je vektor koji se poklapa sa dijagonalom paralelepipeda izgrađenog na ova tri vektora vezana za zajedničko ishodište, a početak vektora zbira se poklapa sa zajedničkim ishodištem ova tri vektora.
Korolar 7.2
Ako uzmemo 3 nekoplanarna vektora u prostoru, onda se svaki vektor ovog prostora može dekomponovati u linearnu kombinaciju ova tri vektora.
a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Rješenje. Tražimo opšte rešenje za sistem jednačina
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
Gausova metoda. Da bismo to učinili, pišemo ovaj homogeni sistem u koordinatama:
System Matrix
Dozvoljeni sistem izgleda ovako: 
(r A = 2, n= 3). Sistem je konzistentan i nedefinisan. Njegovo generalno rješenje ( x 2 – slobodna varijabla): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Prisustvo privatnog rješenja različitog od nule, na primjer, , ukazuje da su vektori a
1 , a
2 , a
3
linearno zavisna.
Primjer 2
Saznajte da li je ovaj sistem vektori linearno zavisni ili linearno nezavisni:
1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.
Rješenje. Razmotrimo homogeni sistem jednačina a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
ili proširen (po koordinatama)
Sistem je homogen. Ako je nedegenerisan, onda ima jedinstveno rješenje. Kada homogeni sistem je nulto (trivijalno) rješenje. Dakle, u ovom slučaju sistem vektora je nezavisan. Ako je sistem degenerisan, onda ima rješenja različita od nule i stoga je zavisan.
Provjera sistema na degeneraciju:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Sistem je nedegenerisan, a samim tim i vektori a 1 , a 2 , a 3 su linearno nezavisne.
Zadaci. Saznajte da li je dati sistem vektora linearno zavisan ili linearno nezavisan:
1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.
2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.
4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.
5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.
6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.
7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Dokazati da će sistem vektora biti linearno zavisan ako sadrži:
a) dva jednaka vektora;
b) dva proporcionalna vektora.
Definicija. Linearna kombinacija vektora a 1 , ..., a n sa koeficijentima x 1 , ..., x n naziva se vektor
x 1 a 1 + ... + x n a n .
trivijalan, ako su svi koeficijenti x 1 , ..., x n jednaki nuli.
Definicija. Linearna kombinacija x 1 a 1 + ... + x n a n se zove netrivijalan, ako barem jedan od koeficijenata x 1 , ..., x n nije jednak nuli.
linearno nezavisna, ako ne postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru .
To jest, vektori a 1 , ..., a n su linearno nezavisni ako je x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ako i samo ako je x 1 = 0, ..., x n = 0.
Definicija. Vektori a 1 , ..., a n se nazivaju linearno zavisna, ako postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru .
Svojstva linearno zavisnih vektora:
Za n-dimenzionalne vektore.
n + 1 vektora su uvijek linearno zavisni.
Za 2 i 3 dimenzionalne vektore.
Dva linearna zavisni vektori- kolinearno. (Kolinearni vektori su linearno zavisni.) .
Za 3-dimenzionalne vektore.
Tri linearno zavisna vektora su komplanarna. (Tri koplanarna vektora su linearno zavisna.)
Primjeri zadataka za linearnu ovisnost i linearnu neovisnost vektora:
Primjer 1. Provjerite jesu li vektori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) linearno nezavisni .
Rješenje:
Vektori će biti linearno zavisni, jer je dimenzija vektora manja od broja vektora.
Primjer 2. Provjerite jesu li vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) linearno nezavisni.
Rješenje:
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + x3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
oduzmite drugi od prvog reda; dodajte drugi red u treći red:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ovo rješenje pokazuje da sistem ima mnogo rješenja, odnosno da postoji kombinacija vrijednosti brojeva x 1, x 2, x 3 različita od nule tako da je linearna kombinacija vektora a, b, c jednaka na nulti vektor, na primjer:
A + b + c = 0
što znači da su vektori a, b, c linearno zavisni.
odgovor: vektori a, b, c su linearno zavisni.
Primjer 3. Provjerite jesu li vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) linearno nezavisni.
Rješenje: Nađimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija ovih vektora biti jednaka nultom vektoru.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Ova vektorska jednačina se može napisati kao sistem linearne jednačine
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + 2x3 = 0 |
Ovaj sistem rješavamo Gaussovom metodom
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
oduzmi prvi od drugog reda; oduzmi prvo od trećeg reda:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
oduzmite drugi od prvog reda; dodajte drugi red u treći red.