Linearna zavisnost i linearnu nezavisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U publici su kolica sa čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će pokriti dva odjeljka odjednom. višu matematiku, a vidjećemo kako će se slagati u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... dovraga, pa, svađanje gluposti. Iako u redu, neću bodovati, na kraju treba da postoji pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora, vektorsku osnovu a drugi pojmovi nemaju samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor zbog kojeg sam upravo otišao u Gismeteo: - temperatura i Atmosferski pritisak respektivno. Primjer je naravno netačan u pogledu svojstava vektorski prostor, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi termini (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) su primenljivi na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će primeri biti dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Pored problema analitičke geometrije, razmotrićemo i neke tipični zadaci algebra. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Uzmite u obzir ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno jasno da su za izgradnju osnove potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na tabeli.

Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite kažiprst lijeve ruke na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto mali prst desne ruke na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad sam smjer, dok ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

Referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednačinama, izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji ugao osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno ne su zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je primljena. Ne treba se sramiti što je osnova ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Zovu se brojevi vektorske koordinate in ovu osnovu.

I oni to kažu vektorpredstavljen u formi linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, može se reći da je vektor proširen u ortonormalnoj bazi ravni, ili se može reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Suština definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. baze Ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomjeriti na mjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim malim prljavim tačkicama na stolu koje su ostale od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takva referentna tačka je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sistema:

Počeću sa "školskim" sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada govorimo o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište koordinata, koordinatne ose i mjeri po osi. Pokušajte da u pretraživač ukucate „pravougaoni koordinatni sistem“ i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, stiče se utisak da se pravougaoni koordinatni sistem može dobro definisati u terminima ortonormalne baze. I skoro da jeste. Formulacija glasi ovako:

porijeklo, And ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem ravni . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato, vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijski problemičesto (ali ne uvijek) crtaju i vektore i koordinatne ose.

Mislim da svi to razumiju uz pomoć tačke (porekla) i ortonormalne osnove BILO KOJA TAČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, "sve u avionu može biti numerisano".

Da li koordinatni vektori moraju biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrite tačku i dva ortogonalni vektori proizvoljna dužina različita od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka tačka ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori Uglavnom imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedan, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj osnovi, a također i ispod u afine baze razmatraju se ravni i prostorne jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica na apscisi sadrži 4 cm, jedna jedinica na ordinati sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna da se po potrebi konvertuju „nestandardne“ koordinate u „naše uobičajene centimetre“.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - da li je ugao između baznih vektora nužno jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, And nekolinearno vektori, , set afini koordinatni sistem ravni :

Ponekad se ovaj koordinatni sistem naziva koso sistem. Tačke i vektori su prikazani kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan, formule za dužine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je to najpogodniji konkretan slučaj afini sistem koordinate su kartezijanski pravougaoni sistem. Stoga se ona, njena, najčešće mora vidjeti. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati oblique (ili neku drugu, npr. polar) koordinatni sistem. Da, i humanoidi takvi sistemi mogu pasti na ukus =)

Pređimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U suštini, ovo je prečišćavanje očitog odnosa koordinata po koordinata.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Rješenje:
a) Saznajte da li postoji vektor koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti ispunjene:

Definitivno ću vam reći o “foppish” verziji primjene ovog pravila, koja u praksi dobro funkcionira. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Relacija se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje se može koristiti činjenica da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova ispravnost se može lako provjeriti elementarne radnje sa vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Izlaz: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, dakle, ovi vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako raditi kroz proporciju ovdje? (Zaista, ne možete podijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za samostalno rješenje:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearna?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i samo ga dodamo kao petu tačku:

Za dva ravan vektora, sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, jednaka je nuli.

Zaista, stvarno se nadam da ste u ovom trenutku već razumjeli sve pojmove i izjave na koje ste naišli.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata, pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe graditi crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Četverougao se naziva u kojem su suprotne strane po paru paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i .

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi“ - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očigledna, ali bolje je donijeti odluku kako treba, sa aranžmanom. Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ovi vektori kolinearni, i .

Izlaz: Suprotne strane četvorougla su parno paralelne, pa je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se iz aviona polako krećemo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

ali) ;
b)
u)

Rješenje:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se utvrđuje provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti vektora prostora i putem determinante trećeg reda, ovuda obrađeno u članku Unakrsni proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnoge od pravilnosti koje smo razmatrali na avionu važiće i za prostor. Pokušao sam da minimiziram sažetak teorije, jer je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, ispitajmo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada u zatvorenom, neko je na otvorenom, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Dakle, za izgradnju osnove, tri prostorni vektor. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, ne morate to demonstrirati nastavnicima, ma kako zavrtili prste, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Zatim postavljamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na ploču stola računara. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jedno od mjerenja - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim očigledno, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da komplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, već mogu biti u paralelne ravni(samo nemoj prstima, samo je Salvador Dali tako ispao =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno ako postoji ravan sa kojom su oni paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, opet zamislite da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, već mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redom, dok je bilo koji vektor prostora jedini način proširuje se u datoj bazi , gdje su koordinate vektora u datoj bazi

Podsjećamo, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao za ravno kućište, jedna tačka i bilo koje tri linearne nezavisni vektori:

porijeklo, And nekoplanarni vektori, uzeti određenim redom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava da definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, u afinom koordinatnom sistemu prostora, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi mogu pretpostaviti, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

tačka u prostoru tzv porijeklo, And ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematiziramo informacije:

Za tri vektora prostora, sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Suprotne izjave su, mislim, razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostali praktični zadaci će biti naglašene algebarske prirode. Vrijeme je da okačite geometrijski štap na nokat i rukujete bejzbol palicom za linearnu algebru:

Tri svemirska vektora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pažnju na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već iu redovima (vrijednost determinante se neće promijeniti od ovoga - pogledajte svojstva determinanti). Ali mnogo je bolje u kolonama, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili su možda uopće loše orijentirani, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:

U suštini, potrebno je riješiti jednačinu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti determinantu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavniju linearnu jednačinu:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti, za to morate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da ponovnim otvaranjem.

U zaključku, razmotrimo još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u datoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje: Hajde da se prvo pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je osnova - nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje primjera 6, potrebno je provjeriti da li su vektori stvarno linearno nezavisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate obavezno zapiši u kolone odrednica, a ne nizovi. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

Linearna kombinacija vektora je vektor
, gdje su λ 1 , ... , λ m proizvoljni koeficijenti.

Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koji ima najmanje jedan koeficijent različit od nule.

Vektorski sistem
naziva se linearno nezavisnim ako je u bilo kojoj od njegovih linearnih kombinacija jednaka , svi koeficijenti su nula.

Osnova sistema vektora
poziva se njegov neprazan linearno nezavisan podsistem kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sistema.

Primjer 2. Naći osnovu sistema vektora = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) i izraziti preostale vektore u terminima baze.

Rješenje: Gradimo matricu u kojoj raspoređujemo koordinate ovih vektora u stupce. Dovodimo ga u stepenasti oblik.

~
~
~
.

Osnovu ovog sistema čine vektori ,,, koji odgovaraju vodećim elementima redova označenih kružićima. Za vektorski izraz riješiti jednačinu x 1 +x2 +x4 =. On se svodi na sistem linearnih jednadžbi, čija se matrica dobija iz originala permutacijom stupca koji odgovara , umjesto kolone slobodnih članova. Stoga, da bismo riješili sistem, koristimo rezultujuću matricu u postupnom obliku, praveći potrebne permutacije u njoj.

Sukcesivno nalazimo:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Napomena 1. Ako je potrebno izraziti više vektora kroz bazu, onda se za svaki od njih konstruiše odgovarajući sistem linearne jednačine. Ovi sistemi će se razlikovati samo u kolonama slobodnih članova. Stoga se za njihovo rješavanje može sastaviti jedna matrica u kojoj će biti nekoliko kolona slobodnih članova. U ovom slučaju, svaki sistem se rješava nezavisno od ostalih.

Napomena 2. Za izražavanje bilo kojeg vektora dovoljno je koristiti samo bazne vektore sistema koji mu prethode. U ovom slučaju nema potrebe za preoblikovanjem matrice, dovoljno je postaviti vertikalnu liniju na pravo mjesto.

Vježba 2. Pronađite osnovu sistema vektora i izrazite ostale vektore kroz bazu:

ali) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

u) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Osnovni sistem odlučivanja

Sistem linearnih jednačina naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

Osnovni sistem rješenja homogenog sistema linearnih jednačina je osnova skupa njegovih rješenja.

Neka je dat nehomogen sistem linearnih jednačina. Homogeni sistem pridružen datom je sistem koji se dobija iz datog zamenom svih slobodnih termina nulama.

Ako je nehomogen sistem konzistentan i neodređen, tada njegovo proizvoljno rješenje ima oblik f n +  1 f o1 + ... +  k f o k , gdje je f n određeno rješenje heterogeni sistem i f o1 , ... , f o k je osnovni sistem rješenja pridruženog homogenog sistema.

Primjer 3. Naći određeno rješenje nehomogenog sistema iz primjera 1 i osnovni sistem rješenja pridruženog homogenog sistema.

Rješenje. Rješenje dobiveno u primjeru 1 zapisujemo u vektorskom obliku i rezultujući vektor proširimo u zbir slobodnih parametara koje sadrži i fiksnih numeričkih vrijednosti:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).

Dobijamo f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Komentar. Slično se rješava i problem nalaženja fundamentalnog sistema rješenja za homogeni sistem.

Vježba 3.1 Pronađite osnovni sistem rješenja homogenog sistema:

ali)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

VJEŽBA 3.2. Pronađite određeno rješenje nehomogenog sistema i fundamentalni sistem rješenja pridruženog homogenog sistema:

ali)

b)

Izražavanje forme pozvao linearna kombinacija vektora A 1 , A 2 ,...,A n sa koeficijentima λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Određivanje linearne zavisnosti sistema vektora

Vektorski sistem A 1 , A 2 ,...,A n pozvao linearno zavisna, ako postoji skup brojeva koji nije nula λ 1, λ 2 ,...,λ n, pod kojim je linearna kombinacija vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n jednak nultom vektoru, odnosno sistem jednačina: ima rješenje različito od nule.
Skup brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n je različit od nule ako je barem jedan od brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n različito od nule.

Određivanje linearne nezavisnosti sistema vektora

Vektorski sistem A 1 , A 2 ,...,A n pozvao linearno nezavisna, ako je linearna kombinacija ovih vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n jednak je nultom vektoru samo za nulti skup brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n , odnosno sistem jednačina: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ima jedinstveno nulto rješenje.

Primjer 29.1

Provjerite je li sistem vektora linearno zavisan

Rješenje:

1. Sastavljamo sistem jednačina:

2. Rješavamo ga Gaussovom metodom. Jordanske transformacije sistema date su u tabeli 29.1. Prilikom izračunavanja, pravi dijelovi sistema se ne zapisuju, jer su jednaki nuli i ne mijenjaju se u Jordanovim transformacijama.

3. Iz posljednja tri reda tabele pišemo dozvoljeni sistem ekvivalentan originalu sistem:

4. Dobijamo opšte rešenje sistema:

5. Podesite po sopstvenom nahođenju vrednost slobodne varijable x 3 =1, dobijamo određeno rešenje različito od nule X=(-3,2,1).

Odgovor: Dakle, sa skupom brojeva koji nije nula (-3,2,1), linearna kombinacija vektora jednaka je nultom vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. shodno tome, sistem vektora linearno zavisan.

Osobine vektorskih sistema

Nekretnine (1)
Ako je sistem vektora linearno zavisan, onda je barem jedan od vektora raščlanjiv u ostatku, i obrnuto, ako je barem jedan od vektora sistema razložen u ostatku, tada je sistem vektora linearno zavisan .

Nekretnine (2)
Ako je bilo koji podsistem vektora linearno zavisan, onda je cijeli sistem linearno zavisan.

Nekretnina (3)
Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda je bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

Nekretnina (4)
Svaki sistem vektora koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

Nekretnine (5)
Sistem m-dimenzionalnih vektora je uvijek linearno zavisan ako je broj vektora n veći od njihove dimenzije (n>m)

Osnova vektorskog sistema

Osnova sistema vektora A 1 , A 2 ,..., A n takav podsistem B 1 , B 2 ,...,B r(svaki od vektora B 1 ,B 2 ,...,B r je jedan od vektora A 1 , A 2 ,..., A n) koji zadovoljava sljedeće uslove:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r linearno nezavisni sistem vektora;
2. bilo koji vektor Aj sistema A 1 , A 2 ,..., A n se linearno izražava u terminima vektora B 1 ,B 2 ,...,B r

r je broj vektora uključenih u bazu.

Teorema 29.1 O jediničnoj osnovi sistema vektora.

Ako sistem m-dimenzionalnih vektora sadrži m različitih jedinični vektori E 1 E 2 ,..., E m , tada čine osnovu sistema.

Algoritam za pronalaženje osnove sistema vektora

Da bi se pronašla osnova sistema vektora A 1 ,A 2 ,...,A n potrebno je:

• Sastavite odgovarajući sistem vektora homogeni sistem jednačine A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• doneti ovaj sistem

Predavanja iz algebre i geometrije. Semestar 1.

Predavanje 9. Osnove vektorskog prostora.

Rezime: sistem vektora, linearna kombinacija sistema vektora, koeficijenti linearne kombinacije sistema vektora, osnova na pravoj, ravni i u prostoru, dimenzije vektorskih prostora na pravoj, ravni i u prostoru, dekompozicija vektor u bazi, koordinate vektora u odnosu na bazu, teorema jednakosti dva vektora, linearne operacije sa vektorima u koordinatnoj notaciji, ortonormirana trojka vektora, desna i leva trojka vektora, ortonormirana baza, osnovna teorema vektorske algebre.

Poglavlje 9

stavka 1. Osnova na liniji, na ravni i u prostoru.

Definicija. Svaki konačni skup vektora naziva se sistem vektora.

Definicija. Izraz gdje
naziva se linearna kombinacija sistema vektora
, i brojevi
nazivaju se koeficijenti ove linearne kombinacije.

Neka su L, R i S prava, ravan i prostor tačaka, redom, i
. Onda
su vektorski prostori vektora kao usmjereni segmenti na pravoj L, na ravni P, odnosno u prostoru S.

poziva se bilo koji vektor različit od nule
, tj. bilo koji vektor različit od nule kolinearan pravoj liniji L:
I
.

Osnovna notacija
:
- osnova
.

Definicija. Vektorska prostorna osnova
je bilo koji uređeni par nekolinearnih vektora u prostoru
.

, gdje
,
- osnova
.

Definicija. Vektorska prostorna osnova
je bilo koja uređena trojka nekoplanarnih vektora (tj. ne leže u istoj ravni) prostora
.

- osnova
.

Komentar. Osnova vektorskog prostora ne može sadržavati nulti vektor: u prostoru
po definiciji, u prostoru
dva vektora će biti kolinearna ako je barem jedan od njih nula, u prostoru
tri vektora će biti koplanarna, tj. ležat će u istoj ravni ako je barem jedan od tri vektora nula.

tačka 2. Dekompozicija vektora u smislu baze.

Definicija. Neka bude je proizvoljan vektor,
– proizvoljan sistem vektori. Ako je jednakost

onda kažu da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija datog sistema vektora. Ako je dati sistem vektora
je osnova vektorskog prostora, onda se jednakost (1) naziva dekompozicijom vektora osnovu
. Koeficijenti linearne kombinacije
se u ovom slučaju nazivaju koordinate vektora u odnosu na osnovu
.

Teorema. (O proširenju vektora u smislu baze.)

Svaki vektor vektorskog prostora može se razložiti u svojoj osnovi i, štaviše, na jedinstven način.

Dokaz. 1) Neka je L proizvoljna prava (ili osa) i
- osnova
. Uzmite proizvoljan vektor
. Pošto oba vektora I kolinearno na istu pravu L, onda
. Koristimo teoremu o kolinearnosti dva vektora. Jer
, onda postoji (postoji) takav broj
, šta
i tako smo dobili dekompoziciju vektora osnovu
vektorski prostor
.

Sada dokazujemo jedinstvenost takve dekompozicije. Pretpostavimo suprotno. Neka postoje dvije dekompozicije vektora osnovu
vektorski prostor
:

I
, gdje
. Onda
i koristeći zakon distribucije, dobijamo:

Jer
, onda iz posljednje jednakosti slijedi da
, itd.

2) Neka je sada P proizvoljna ravan i
- osnova
. Neka bude
proizvoljni vektor ove ravni. Odložimo sva tri vektora iz bilo koje tačke ove ravni. Napravimo 4 prave linije. Hajde da nacrtamo pravu liniju , na kojoj leži vektor , direktno
, na kojoj leži vektor . Kroz kraj vektora nacrtati liniju paralelnu vektoru i prava paralelna vektoru . Ove 4 prave seku paralelogram. Vidi ispod sl. 3. Prema pravilu paralelograma
, And
,
,
- osnova ,
- osnova
.

Sada, prema onome što je već dokazano u prvom dijelu ovog dokaza, postoje brojevi
, šta

I
. Odavde dobijamo:

i dokazana je mogućnost proširenja u smislu osnove.

Dokažimo sada jedinstvenost ekspanzije u smislu osnove. Pretpostavimo suprotno. Neka postoje dvije dekompozicije vektora osnovu
vektorski prostor
:
I
. Dobijamo jednakost

Gde bi trebalo
. Ako
, onda
, i od tada
, onda
a koeficijenti ekspanzije su:
,
. Pusti sada
. Onda
, gdje
. Prema teoremi o kolinearnosti dva vektora, ovo implicira da
. Dobili smo kontradikciju sa uslovom teoreme. shodno tome,
I
, itd.

3) Neka
- osnova
pusti to
proizvoljni vektor. Hajde da izvedemo sledeće konstrukcije.

Ostavite po strani sva tri bazna vektora
i vektor iz jedne tačke i izgraditi 6 ravni: ravan u kojoj leže bazni vektori
, avion
i avion
; dalje kroz kraj vektora nacrtati tri ravni paralelne sa tri upravo konstruisane ravni. Ovih 6 aviona izrezali su kutiju:

Prema pravilu vektorskog sabiranja dobijamo jednakost:

. (1)

Po izgradnji
. Otuda, prema teoremi o kolinearnosti dva vektora, slijedi da postoji broj
, takav da
. Isto tako,
I
, gdje
. Sada, zamjenom ovih jednakosti u (1), dobijamo:

i dokazana je mogućnost proširenja u smislu osnove.

Hajde da dokažemo jedinstvenost takve dekompozicije. Pretpostavimo suprotno. Neka postoje dvije dekompozicije vektora osnovu
:

I . Onda

Imajte na umu da su, prema pretpostavci, vektori
nekoplanarni, stoga su po paru nekolinearni.

Moguća su dva slučaja:
ili
.

a) Neka
, onda iz jednakosti (3) slijedi:

. (4)

Iz jednakosti (4) slijedi da je vektor proširen u smislu osnove
, tj. vektor leži u vektorskoj ravni
a samim tim i vektori
komplanarno, što je u suprotnosti sa uslovom.

b) Ostaje slučaj
, tj.
. Tada iz jednakosti (3) dobivamo ili

Jer
je osnova prostora vektora koji leže u ravni, a već smo dokazali jedinstvenost ekspanzije u bazi vektora ravni, iz jednakosti (5) slijedi da je
I
, itd.

Teorema je dokazana.

Posljedica.

1) Postoji korespondencija jedan-na-jedan između skupa vektora vektorskog prostora
i skup realnih brojeva R.

2) Postoji korespondencija jedan-na-jedan između skupa vektora vektorskog prostora
i kartezijanski kvadrat

3) Postoji korespondencija jedan-na-jedan između skupa vektora vektorskog prostora
i kartezijanska kocka
skupovi realnih brojeva R.

Dokaz. Dokažimo treću tvrdnju. Prva dva se dokazuju na sličan način.

Odaberimo i popravimo u prostoru
neke osnove
i postavite displej
prema sljedećem pravilu:

one. svaki vektor je povezan sa uređenim skupom njegovih koordinata.

Pošto, sa fiksnom osnovom, svaki vektor ima jedinstven skup koordinata, korespondencija data pravilom (6) je zaista preslikavanje.

Iz dokaza teoreme slijedi da različiti vektori imaju različite koordinate u odnosu na istu osnovu, tj. mapiranje (6) je injekcija.

Neka bude
proizvoljno uređeni skup realnih brojeva.

Razmotrite vektor
. Po konstrukciji, ovaj vektor ima koordinate
. Prema tome, preslikavanje (6) je surjekcija.

Preslikavanje koje je i injektivno i surjektivno je bijektivno, tj. jedan na jedan itd.

Posljedica je dokazana.

Teorema. (O jednakosti dva vektora.)

Dva vektora su jednaka ako i samo ako su njihove koordinate u odnosu na istu osnovu jednake.

Dokaz odmah slijedi iz prethodnog zaključka.

tačka 3. Dimenzija vektorskog prostora.

Definicija. Broj vektora u bazi vektorskog prostora naziva se njegova dimenzija.

Oznaka:
je dimenzija vektorskog prostora V.

Dakle, u skladu sa ovom i prethodnim definicijama, imamo:

1)
je vektorski prostor vektora prave L.

- osnova
,
,
,
– vektorska dekompozicija
osnovu
,
- vektorska koordinata u odnosu na osnovu
.

2)
je vektorski prostor vektora ravni R.

- osnova
,
,
,
– vektorska dekompozicija
osnovu
,
su vektorske koordinate u odnosu na osnovu
.

3)
je vektorski prostor vektora u prostoru tačaka S.

- osnova
,
,
– vektorska dekompozicija
osnovu
,
su vektorske koordinate u odnosu na osnovu
.

Komentar. Ako
, onda
i možete odabrati osnovu
prostor
tako
- osnova
I
- osnova
. Onda
, And
, .

Dakle, bilo koji vektor prave L, ravni P i prostora S može se proširiti u smislu baze
:

Oznaka. Na osnovu teoreme o jednakosti vektora, možemo identificirati bilo koji vektor sa uređenom trojkom realnih brojeva i napisati:

To je moguće samo ako je osnova
fiksiran i nema opasnosti od zapetljavanja.

Definicija. Zapis vektora u obliku uređene trojke realnih brojeva naziva se koordinatni oblik vektorskog zapisa:
.

tačka 4. Linearne operacije s vektorima u koordinatnoj notaciji.

Neka bude
- prostorna osnova
I
su njegova dva proizvoljna vektora. Neka bude
I
je notacija ovih vektora u koordinatnom obliku. Neka, dalje,
- proizvoljno pravi broj. U ovim zapisima vrijedi sljedeća teorema.

Teorema. (O linearnim operacijama s vektorima u koordinatnom obliku.)

2)
.

Drugim riječima, da biste dodali dva vektora potrebno je da dodate njihove odgovarajuće koordinate, a da biste pomnožili vektor brojem, trebate pomnožiti svaku koordinatu ovog vektora datim brojem.

Dokaz. Budući da, prema uvjetu teoreme, onda koristeći aksiome vektorskog prostora, koji podliježu operacijama sabiranja vektora i množenja vektora brojem, dobijamo:

Ovo implicira .

Slično se dokazuje i druga jednakost.

Teorema je dokazana.

tačka 5. Ortogonalni vektori. Ortonormalna osnova.

Definicija. Dva vektora nazivaju se ortogonalnimi ako je ugao između njih jednak pravom uglu, tj.
.

Oznaka:
– vektori I ortogonalno.

Definicija. Vector trio
naziva se ortogonalnim ako su ovi vektori po paru ortogonalni jedan prema drugom, tj.
,
.

Definicija. Vector trio
naziva se ortonormalno ako je ortogonalno i ako su dužine svih vektora jednake jedan:
.

Komentar. Iz definicije proizilazi da je ortogonalna i stoga ortonormalna trojka vektora nekoplanarna.

Definicija. Naređena nekoplanarna trojka vektora
, odloženo iz jedne tačke, naziva se desnim (desno orijentisanim) ako se posmatra sa kraja trećeg vektora na ravan koja sadrži prva dva vektora I , najkraća rotacija prvog vektora do drugog odvija se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Inače, trojka vektora se naziva lijevo (lijevo orijentirano).

Ovdje, slika 6 prikazuje desnu trojku vektora
. Sljedeća slika 7 prikazuje lijevi triplet vektora
:

Definicija. Osnova
vektorski prostor
se naziva ortonormalno ako
ortonormirana trojka vektora.

Oznaka. U nastavku ćemo koristiti pravu ortonormalnu osnovu
, pogledajte sljedeću sliku.

Pronađite osnovu sistema vektora i vektora koji nisu uključeni u bazu, proširite na osnovu:

ali 1 = {5, 2, -3, 1}, ali 2 = {4, 1, -2, 3}, ali 3 = {1, 1, -1, -2}, ali 4 = {3, 4, -1, 2}, ali 5 = {13, 8, -7, 4}.

Rješenje. Razmotrimo homogeni sistem linearnih jednačina

ali 1 X 1 + ali 2 X 2 + ali 3 X 3 + ali 4 X 4 + ali 5 X 5 = 0

ili proširen.

Ovaj sistem ćemo riješiti Gaussovom metodom, bez zamjene redova i kolona i, pored toga, biranja glavni element ne u gornjem lijevom uglu, već po cijeloj liniji. Zadatak je da odabrati dijagonalni dio transformisanog sistema vektora.

~ ~

~ ~ ~ .

Dozvoljeni sistem vektora, koji je ekvivalentan originalnom, ima oblik

ali 1 1 X 1 + ali 2 1 X 2 + ali 3 1 X 3 + ali 4 1 X 4 + ali 5 1 X 5 = 0 ,

gdje ali 1 1 = , ali 2 1 = , ali 3 1 = , ali 4 1 = , ali 5 1 = . (1)

Vektori ali 1 1 , ali 3 1 , ali 4 1 formiraju dijagonalni sistem. Otuda i vektori ali 1 , ali 3 , ali 4 čine osnovu sistema vektora ali 1 , ali 2 , ali 3 , ali 4 , ali 5 .

Sada širimo vektore ali 2 I ali 5 u bazi ali 1 , ali 3 , ali 4 . Da bismo to učinili, prvo proširimo odgovarajuće vektore ali 2 1 I ali 5 1 dijagonalni sistem ali 1 1 , ali 3 1 , ali 4 1 , imajući u vidu da su koeficijenti vektorske ekspanzije u dijagonalnom sistemu njegove koordinate x i.

Od (1) imamo:

ali 2 1 = ali 3 1 (-1) + ali 4 1 0 + ali 1 1 1 ali 2 1 = ali 1 1 – ali 3 1 .

ali 5 1 = ali 3 1 0 + ali 4 1 1+ ali 1 1 2 ali 5 1 = 2ali 1 1 + ali 4 1 .

Vektori ali 2 I ali 5 proširiti u osnovi ali 1 , ali 3 , ali 4 sa istim koeficijentima kao i vektori ali 2 1 I ali 5 1 dijagonalni sistem ali 1 1 , ali 3 1 , ali 4 1 (ti koeficijenti x i). shodno tome,

ali 2 = ali 1 – ali 3 , ali 5 = 2ali 1 + ali 4 .

Zadaci. jedan.Pronaći osnovu sistema vektora i vektore koji nisu uključeni u bazu, proširiti prema bazi:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Pronađite sve baze sistema vektora:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.