Pokazuje kako prepoznati diferencijalnu jednadžbu u totalni diferencijali. Date su metode za njegovo rješavanje. Dat je primjer rješavanja jednadžbe u totalnim diferencijalima na dva načina.

Sadržaj

Uvod

Diferencijalna jednadžba prvog reda u totalnim diferencijalima je jednadžba oblika:
(1) ,
gdje je lijeva strana jednadžbe ukupni diferencijal neke funkcije U (x, y) na varijablama x, y:
.
Pri čemu .

Ako je takva funkcija U (x, y), tada jednačina poprima oblik:
dU (x, y) = 0.
Njegov opšti integral:
U (x, y) = C,
gdje je C konstanta.

Ako je diferencijalna jednadžba prvog reda napisana u terminima izvoda:
,
onda ga je lako dovesti u formu (1) . Da biste to učinili, pomnožite jednačinu sa dx. Onda . Kao rezultat, dobijamo jednačinu izraženu u terminima diferencijala:
(1) .

Svojstvo diferencijalne jednadžbe u totalnim diferencijalima

Da bi jednačina (1) je jednadžba u totalnim diferencijalima, potrebno je i dovoljno da se zadovolji sljedeća relacija:
(2) .

Dokaz

Nadalje, pretpostavljamo da su sve funkcije korištene u dokazu definirane i da imaju odgovarajuće izvode u nekom rasponu od x i y. tačka x 0 , y0 takođe pripada ovom području.

Dokažimo neophodnost uslova (2).
Neka je lijeva strana jednačine (1) je diferencijal neke funkcije U (x, y):
.
Onda
;
.
Pošto drugi izvod ne zavisi od redosleda diferencijacije, onda
;
.
Otuda sledi da . Neophodan uslov (2) dokazan.

Dokažimo dovoljnost uslova (2).
Neka uslov (2) :
(2) .
Pokažimo da je moguće pronaći takvu funkciju U (x, y) da je njegov diferencijal:
.
To znači da postoji takva funkcija U (x, y), koji zadovoljava jednačine:
(3) ;
(4) .
Nađimo takvu funkciju. Integriramo jednačinu (3) po x od x 0 na x , uz pretpostavku da je y konstanta:
;
;
(5) .
Diferencirati u odnosu na y, uz pretpostavku da je x konstanta i primijeniti (2) :

.
Jednačina (4) će se izvršiti ako
.
Integriranje preko y od y 0 do y :
;
;
.
Zamjena u (5) :
(6) .
Tako smo pronašli funkciju čiji je diferencijal
.
Dovoljnost je dokazana.

U formuli (6) , U (x0, y0) je konstanta - vrijednost funkcije U (x, y) u tački x 0 , y0. Može mu se dodijeliti bilo koja vrijednost.

Kako prepoznati diferencijalnu jednačinu u totalnim diferencijalima

Razmotrimo diferencijalnu jednačinu:
(1) .
Da biste utvrdili da li je ova jednadžba u punom diferencijalu, morate provjeriti uvjet (2) :
(2) .
Ako vrijedi, onda je ovo jednadžba u totalnim diferencijalima. Ako ne, onda ovo nije jednadžba u totalnim diferencijalima.

Primjer

Provjerite da li je jednadžba u totalnim diferencijalima:
.

Evo
, .
Diferencirati u odnosu na y, uz pretpostavku da je x konstantan:


.
Diferenciranje


.
Ukoliko:
,
onda zadata jednačina- u totalnim diferencijalima.

Metode rješavanja diferencijalnih jednadžbi u totalnim diferencijalima

Metoda sekvencijalne diferencijalne ekstrakcije

Većina jednostavna metoda rješavanje jednadžbe u totalnim diferencijalima je metoda sukcesivnog izdvajanja diferencijala. Da bismo to učinili, koristimo formule diferencijacije napisane u diferencijalnom obliku:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
U ovim formulama, u i v su proizvoljni izrazi sastavljeni od bilo koje kombinacije varijabli.

Primjer 1

Riješite jednačinu:
.

Ranije smo otkrili da je ova jednadžba u totalnim diferencijalima. Hajde da ga transformišemo:
(P1) .
Jednačinu rješavamo uzastopnim isticanjem diferencijala.
;
;
;
;

.
Zamjena u (P1):
;
.

Metoda sekvencijalne integracije

U ovoj metodi tražimo funkciju U (x, y), zadovoljavajući jednačine:
(3) ;
(4) .

Integriramo jednačinu (3) u x, pod pretpostavkom da je y konstantan:
.
Ovdje φ (y) je proizvoljna funkcija od y koju treba definirati. To je konstanta integracije. Zamjenjujemo u jednačinu (4) :
.
Odavde:
.
Integrirajući, nalazimo φ (y) a time i U (x, y).

Primjer 2

Riješite jednadžbu u totalnim diferencijalima:
.

Ranije smo otkrili da je ova jednadžba u totalnim diferencijalima. Hajde da uvedemo notaciju:
, .
Traži se funkcija U (x, y), čiji je diferencijal lijeva strana jednačine:
.
onda:
(3) ;
(4) .
Integriramo jednačinu (3) u x, pod pretpostavkom da je y konstantan:
(P2)
.
Razlikujte u odnosu na y:

.
Zamjena u (4) :
;
.
integrišemo:
.
Zamjena u (P2):

.
Opšti integral jednačine:
U (x, y) = konst.
Kombiniramo dvije konstante u jednu.

Metoda integracije duž krive

Funkcija U definirana relacijom:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
može se naći integracijom ove jednačine duž krivulje koja povezuje tačke (x0, y0) I (x, y):
(7) .
Ukoliko
(8) ,
tada integral zavisi samo od koordinata početne (x0, y0) i konačno (x, y) tačke i ne zavisi od oblika krive. Od (7) I (8) mi nalazimo:
(9) .
Evo x 0 i y 0 - trajno. Stoga U (x0, y0) je takođe konstantan.

Primjer takve definicije U je dobiven u dokazu:
(6) .
Ovdje se najprije vrši integracija duž segmenta paralelnog y osi od tačke (x 0 , y 0 ) do tačke (x0, y). Zatim se integracija vrši duž segmenta paralelnog sa x osom od tačke (x0, y) do tačke (x, y) .

U opštijem slučaju, potrebno je predstaviti jednačinu krive koja povezuje tačke (x 0 , y 0 ) I (x, y) u parametarskom obliku:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
i integrirati preko t 1 od t 0 do t.

Najjednostavnija integracija je preko segmenta koji povezuje tačke (x 0 , y 0 ) I (x, y). U ovom slučaju:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Nakon zamjene, dobijamo integral preko t od 0 prije 1 .
Ova metoda, međutim, dovodi do prilično glomaznih proračuna.

Reference:
V.V. Stepanov, naravno diferencijalne jednadžbe, LKI, 2015.

Diferencijal naziva se jednačina oblika

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

gdje je lijeva strana ukupni diferencijal neke funkcije dvije varijable.

Označimo nepoznatu funkciju dvije varijable (to je ono što treba da nađemo pri rješavanju jednadžbi u totalnim diferencijalima) kroz F i uskoro ćemo se vratiti na to.

Prva stvar na koju treba obratiti pažnju je da na desnoj strani jednačine mora biti nula, a znak koji povezuje dva člana na lijevoj strani mora biti plus.

Drugo, mora se poštovati određena jednakost, što je potvrda da je data diferencijalna jednačina jednačina u totalnim diferencijalima. Ova provjera je obavezan dio algoritma za rješavanje jednadžbi u totalnim diferencijalima (nalazi se u drugom pasusu ove lekcije), tako da proces nalaženja funkcije F prilično dugotrajno i važno je u početnoj fazi osigurati da ne gubimo vrijeme uzalud.

Dakle, nepoznata funkcija koju treba pronaći je označena sa F. Zbir parcijalnih diferencijala nad svim nezavisnim varijablama daje ukupni diferencijal. Stoga, ako je jednadžba totalna diferencijalna jednadžba, lijeva strana jednačine je zbir parcijalnih diferencijala. Onda po definiciji

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Podsjećamo na formulu za izračunavanje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable:

Rješavajući posljednje dvije jednakosti možemo pisati

.

Prva jednakost je diferencibilna s obzirom na varijablu "y", druga - u odnosu na varijablu "x":

.

što je uslov da je data diferencijalna jednačina zaista jednačina u totalnim diferencijalima.

Algoritam za rješavanje diferencijalnih jednadžbi u totalnim diferencijalima

Korak 1. Uvjerite se da je jednadžba jednačina u totalnim diferencijalima. Da bi izraz bio je totalni diferencijal neke funkcije F(x, y), potrebno je i dovoljno da . Drugim riječima, moramo uzeti parcijalni izvod u odnosu na x i parcijalni izvod u odnosu na y drugi član i, ako su ovi derivati ​​jednaki, onda je jednačina jednačina u totalnim diferencijalima.

Korak 2 Zapišite sistem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje čine funkciju F:

Korak 3 Integrisati prvu jednačinu sistema - preko x (y F:

,
y.

Alternativna opcija (ako je na ovaj način lakše pronaći integral) je da se integriše druga jednačina sistema - pomoću y (x ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Tako je i funkcija vraćena F:

,
odakle je nepoznata funkcija X.

Korak 4 Rezultat koraka 3 (pronađeni opšti integral) se razlikuje po y(alternativno, od x) i izjednačiti sa drugom jednačinom sistema:

,

i alternativno, na prvu jednačinu sistema:

.

Iz rezultirajuće jednačine određujemo (u alternativnoj verziji)

Korak 5 Rezultat koraka 4 je integriran i pronađen (alternativno find ).

Korak 6 Zamijenite rezultat koraka 5 u rezultat koraka 3 - u funkciju vraćenu djelomičnom integracijom F. Proizvoljna konstanta Cčešće se piše iza znaka jednakosti - na desnoj strani jednačine. Tako dobijamo opšte rešenje diferencijalne jednadžbe u totalnim diferencijalima. Ona, kao što je već pomenuto, ima formu F(x, y) = C.

Primjeri rješenja diferencijalnih jednadžbi u totalnim diferencijalima

Primjer 1

Korak 1. jednadžba u totalnim diferencijalima x jedan pojam na lijevoj strani izraza

i parcijalni izvod u odnosu na y drugi termin
jednadžba u totalnim diferencijalima .

Korak 2 F:

Korak 3 on x (y ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Na taj način vraćamo funkciju F:

odakle je nepoznata funkcija y.

Korak 4 y

.

.

Korak 5

Korak 6 F. Proizvoljna konstanta C :
.

Koja je ovdje najvjerovatnija greška? Najčešće greške su uzeti parcijalni integral preko jedne od varijabli za uobičajeni integral proizvoda funkcija i pokušati integrirati po dijelovima ili zamjenskom varijablom, a također uzeti parcijalni izvod dva faktora kao izvod proizvod funkcija i potražite izvod koristeći odgovarajuću formulu.

Ovo se mora imati na umu: kada se izračunava parcijalni integral u odnosu na jednu od varijabli, drugi je konstanta i uzima se iz predznaka integrala, a kada se izračunava parcijalni izvod u odnosu na jednu od varijabli, drugi je također konstanta i derivacija izraza se nalazi kao derivacija "djelujuće" varijable pomnožena konstantom.

Među jednadžbe u totalnim diferencijalima nije neuobičajeno - primjeri sa eksponentom. Ovo je sljedeći primjer. Značajan je i po tome što se u njegovom rješenju koristi alternativna opcija.

Primjer 2 Riješite diferencijalnu jednačinu

.

Korak 1. Uvjerite se da je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima . Da bismo to učinili, nalazimo parcijalni izvod u odnosu na x jedan pojam na lijevoj strani izraza

i parcijalni izvod u odnosu na y drugi termin
. Ovi derivati ​​su jednaki, pa je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima .

Korak 2 Zapisujemo sistem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje čine funkciju F:

Korak 3 Integriramo drugu jednačinu sistema - preko y (x ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Na taj način vraćamo funkciju F:

odakle je nepoznata funkcija X.

Korak 4 Rezultat koraka 3 (pronađen opći integral) je diferencibilan u odnosu na X

i izjednačiti se sa prvom jednačinom sistema:

Iz rezultirajuće jednačine određujemo:
.

Korak 5 Integriramo rezultat koraka 4 i nalazimo:
.

Korak 6 Rezultat koraka 5 zamjenjujemo rezultatom koraka 3 - u funkciju vraćenu djelomičnom integracijom F. Proizvoljna konstanta C pisati iza znaka jednakosti. Tako dobijamo general rješenje diferencijalne jednadžbe u totalnim diferencijalima :
.

U sljedećem primjeru vraćamo se sa alternative na glavnu.

Primjer 3 Riješite diferencijalnu jednačinu

Korak 1. Uvjerite se da je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima . Da bismo to učinili, nalazimo parcijalni izvod u odnosu na y jedan pojam na lijevoj strani izraza

i parcijalni izvod u odnosu na x drugi termin
. Ovi derivati ​​su jednaki, pa je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima .

Korak 2 Zapisujemo sistem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje čine funkciju F:

Korak 3 Integrišemo prvu jednačinu sistema - on x (y ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Na taj način vraćamo funkciju F:

odakle je nepoznata funkcija y.

Korak 4 Rezultat koraka 3 (pronađen opći integral) je diferencibilan u odnosu na y

i izjednačiti sa drugom jednačinom sistema:

Iz rezultirajuće jednačine određujemo:
.

Korak 5 Integriramo rezultat koraka 4 i nalazimo:

Korak 6 Rezultat koraka 5 zamjenjujemo rezultatom koraka 3 - u funkciju vraćenu djelomičnom integracijom F. Proizvoljna konstanta C pisati iza znaka jednakosti. Tako dobijamo general rješenje diferencijalne jednadžbe u totalnim diferencijalima :
.

Primjer 4 Riješite diferencijalnu jednačinu

Korak 1. Uvjerite se da je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima . Da bismo to učinili, nalazimo parcijalni izvod u odnosu na y jedan pojam na lijevoj strani izraza

i parcijalni izvod u odnosu na x drugi termin
. Ovi derivati ​​su jednaki, što znači da je jednačina jednačina u totalnim diferencijalima.

Korak 2 Zapisujemo sistem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje čine funkciju F:

Korak 3 Integrišemo prvu jednačinu sistema - on x (y ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Na taj način vraćamo funkciju F:

odakle je nepoznata funkcija y.

Korak 4 Rezultat koraka 3 (pronađen opći integral) je diferencibilan u odnosu na y

i izjednačiti sa drugom jednačinom sistema:

Iz rezultirajuće jednačine određujemo:
.

Korak 5 Integriramo rezultat koraka 4 i nalazimo:

Korak 6 Rezultat koraka 5 zamjenjujemo rezultatom koraka 3 - u funkciju vraćenu djelomičnom integracijom F. Proizvoljna konstanta C pisati iza znaka jednakosti. Tako dobijamo general rješenje diferencijalne jednadžbe u totalnim diferencijalima :
.

Primjer 5 Riješite diferencijalnu jednačinu

.

Korak 1. Uvjerite se da je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima . Da bismo to učinili, nalazimo parcijalni izvod u odnosu na y jedan pojam na lijevoj strani izraza

i parcijalni izvod u odnosu na x drugi termin
. Ovi derivati ​​su jednaki, pa je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima .

Postavljanje problema u dvodimenzionalnom slučaju

Oporavak funkcije nekoliko varijabli iz njenog ukupnog diferencijala

9.1. Postavljanje problema u dvodimenzionalnom slučaju. 72

9.2. Opis rješenja. 72

Ovo je jedna od primjena krivolinijskog integrala druge vrste.

Dat je izraz za ukupni diferencijal funkcije dvije varijable:

Nađi funkciju.

1. Pošto nije svaki izraz forme totalni diferencijal neke funkcije U(x,y), tada je potrebno provjeriti ispravnost iskaza problema, odnosno provjeriti potreban i dovoljan uvjet za ukupni diferencijal, koji za funkciju od 2 varijable ima oblik . Ovaj uslov proizilazi iz ekvivalencije iskaza (2) i (3) u teoremi iz prethodnog odjeljka. Ako je naznačeni uslov ispunjen, onda problem ima rješenje, odnosno funkciju U(x,y) može se vratiti; ako uslov nije ispunjen, onda problem nema rješenja, odnosno funkcija se ne može vratiti.

2. Funkciju možete pronaći po njenom ukupnom diferencijalu, na primjer, koristeći krivolinijski integral druge vrste, računajući je duž linije koja povezuje fiksnu tačku ( x 0 ,y 0) i promjenjiva točka ( x;y) (Rice. osamnaest):

Tako se dobija da krivolinijski integral II vrsta od totalnog diferencijala dU(x,y) jednaka je razlici vrijednosti funkcije U(x,y) u finalu i polazne tačke integracijske linije.

Znajući sada ovaj rezultat, moramo zamijeniti umjesto dU u krivolinijski integralni izraz i izračunaj integral duž izlomljene linije ( ACB), uzimajući u obzir njegovu nezavisnost od oblika integracijske linije:

na ( AC): na ( SW) :

(1)

Tako je dobijena formula uz pomoć koje se vraća funkcija 2 varijable iz njenog ukupnog diferencijala.

3. Funkciju je moguće vratiti iz njenog totalnog diferencijala samo do konstantnog člana, jer d(U+ const) = dU. Stoga, kao rezultat rješavanja problema, dobijamo skup funkcija koje se međusobno razlikuju po konstantnom članu.

Primjeri (vraćanje funkcije dvije varijable iz njenog ukupnog diferencijala)

1. Pronađite U(x,y), ako dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Provjeravamo uvjet ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable:

Uslov ukupnog diferencijala je zadovoljen, dakle, funkcija U(x,y) može se vratiti.

Verifikacija: tačna.

odgovor: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Pronađite funkciju takvu da

Provjeravamo potrebno dovoljne uslove ukupni diferencijal funkcije tri varijable: , , , ako je dat izraz.

U problemu koji se rješava

svi uslovi ukupnog diferencijala su zadovoljeni, pa se funkcija može vratiti (problem je ispravno postavljen).

Vratit ćemo funkciju koristeći krivolinijski integral druge vrste, računajući je duž određene linije koja povezuje fiksnu i promjenjivu tačku, budući da

(ova jednakost se izvodi na isti način kao u dvodimenzionalnom slučaju).

S druge strane, krivolinijski integral druge vrste ukupnog diferencijala ne zavisi od oblika integracione linije, pa ga je najlakše izračunati duž izlomljene linije koja se sastoji od segmenata, paralelno sa osama koordinate. Istovremeno, kao fiksnu tačku možete jednostavno uzeti tačku sa određenim numeričkim koordinatama, prateći samo da je u ovoj tački i na cijeloj integracijskoj liniji zadovoljen uslov postojanja krivolinijskog integrala (tj. funkcije , i biti kontinuiran). Imajući na umu ovu napomenu, u ovom problemu možemo uzeti fiksnu tačku, na primjer, tačku M 0 . Zatim ćemo na svakoj od karika isprekidane linije imati

10.2. Proračun površinskog integrala prve vrste. 79

10.3. Neke primjene površinskog integrala prve vrste. 81

Definicija 8.4. Diferencijalna jednadžba oblika

gdje
naziva se totalna diferencijalna jednadžba.

Imajte na umu da je lijeva strana takve jednadžbe ukupni diferencijal neke funkcije
.

U opštem slučaju, jednačina (8.4) se može predstaviti kao

Umjesto jednačine (8.5), može se uzeti u obzir jednačina

,

čije je rješenje opći integral jednačine (8.4). Dakle, za rješavanje jednačine (8.4) potrebno je pronaći funkciju
. U skladu sa definicijom jednačine (8.4), imamo

(8.6)

Funkcija
tražićemo, kao funkciju koja zadovoljava jedan od ovih uslova (8.6):

gdje je proizvoljna funkcija neovisna o .

Funkcija
je definisan tako da je zadovoljen drugi uslov izraza (8.6).

(8.7)

Iz izraza (8.7) određena je funkcija
. Zamjenjujući ga u izraz za
i dobiti opšti integral originalne jednačine.

Problem 8.3. Integrirajte jednačinu

Evo
.

Stoga ova jednadžba pripada tipu diferencijalnih jednadžbi u totalnim diferencijalima. Funkcija
tražićemo u formi

.

S druge strane,

.

U nekim slučajevima stanje
ne može se izvesti.

Tada se takve jednadžbe svode na tip koji se razmatra množenjem sa takozvanim integrirajućim faktorom, koji je, u općem slučaju, funkcija samo ili .

Ako neka jednadžba ima integrirajući faktor koji ovisi samo o , tada se određuje formulom

gdje je omjer treba biti samo funkcija .

Slično, integrirajući faktor koji ovisi samo o , određuje se formulom

gdje je omjer
treba biti samo funkcija .

Odsustvo u gornjim omjerima, u prvom slučaju, varijable , au drugom - varijabla , su znak postojanja integracionog faktora za datu jednačinu.

Problem 8.4. Dovedite ovu jednačinu u jednadžbu u totalnim diferencijalima.

.

Razmotrite odnos:

.

Tema 8.2. Linearne diferencijalne jednadžbe

Definicija 8.5. Diferencijalna jednadžba
naziva se linearnim ako je linearan u odnosu na željenu funkciju , njegov derivat i ne sadrži proizvod željene funkcije i njen izvod.

Opći oblik linearne diferencijalne jednadžbe predstavljen je sljedećim odnosom:

(8.8)

Ako je u odnosu (8.8) desna strana
, onda se takva jednačina naziva linearno homogenom. U slučaju kada je desna strana
, onda se takva jednačina naziva linearno nehomogenom.

Pokažimo da je jednačina (8.8) integrabilna u kvadraturama.

U prvoj fazi razmatramo linearnu homogenu jednačinu.

Takva jednačina je jednačina sa odvojivim varijablama. stvarno,

;

/

Posljednja relacija određuje opće rješenje lineara homogena jednačina.

Za pronalaženje općeg rješenja linearne nehomogene jednačine koristi se metoda varijacije derivacije konstante. Ideja metode je da opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe bude u istom obliku kao i rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, međutim, proizvoljna konstanta zamijenjen nekom funkcijom
da se utvrdi. Dakle, imamo:

(8.9)

Zamjenjujući u relaciju (8.8) izraze koji odgovaraju
I
, dobijamo

Zamjenom posljednjeg izraza u relaciju (8.9) dobija se opći integral linearne nehomogene jednačine.

Dakle, opće rješenje linearne nehomogene jednačine je određeno s dvije kvadrature: općim rješenjem linearne homogene jednačine i posebnim rješenjem linearne nehomogene jednačine.

Problem 8.5. Integrirajte jednačinu

Dakle, originalna jednadžba pripada vrsti linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi.

U prvoj fazi nalazimo opšte rješenje linearne homogene jednadžbe.

;

U drugoj fazi određujemo opšte rješenje linearne nehomogene jednadžbe, koje se traži u obliku

,

gdje
je funkcija koju treba definirati.

Dakle, imamo:

Zamjena omjera za I u originalnu linearnu nehomogenu jednačinu dobijamo:

;

;

.

Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe će izgledati ovako:

.

U ovoj temi ćemo razmotriti metodu za vraćanje funkcije iz njenog ukupnog diferencijala, dati primjere problema sa potpunom analizom rješenja.

Dešava se da diferencijalne jednadžbe (DE) oblika P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 mogu sadržavati ukupne diferencijale nekih funkcija u lijevim dijelovima. Tada možemo pronaći opći integral DE ako prvo vratimo funkciju iz njenog ukupnog diferencijala.

Primjer 1

Razmotrimo jednačinu P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Zapis njegove lijeve strane sadrži diferencijal neke funkcije U(x, y) = 0. Za ovo mora biti zadovoljen uslov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Ukupni diferencijal funkcije U (x , y) = 0 ima oblik d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Uzimajući u obzir uslov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, dobijamo:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformacijom prve jednačine iz rezultirajućeg sistema jednačina možemo dobiti:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkciju φ (y) možemo pronaći iz druge jednačine prethodno dobijenog sistema:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) dx ∂ ydy

Tako smo pronašli željenu funkciju U (x, y) = 0.

Primjer 2

Naći za DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 opšte rešenje.

Rješenje

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Provjerimo da li je uvjet ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x zadovoljen:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Naš uslov je ispunjen.

Na osnovu proračuna možemo zaključiti da je lijeva strana originalnog DE ukupni diferencijal neke funkcije U (x , y) = 0 . Moramo pronaći ovu funkciju.

Kako je (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ukupni diferencijal funkcije U (x, y) = 0, onda

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integriramo prvu jednačinu sistema s obzirom na x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Sada razlikujemo rezultat s obzirom na y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Transformisanjem druge jednačine sistema dobijamo: ∂ U ∂ y = - 2 x y . To znači da
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

gdje je C proizvoljna konstanta.

Dobijamo: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Opšti integral originalne jednadžbe je x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Analizirajmo drugu metodu za pronalaženje funkcije iz poznatog totalnog diferencijala. Uključuje primenu krivolinijskog integrala od fiksne tačke (x 0, y 0) do tačke sa promenljivim koordinatama (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

U takvim slučajevima, vrijednost integrala ni na koji način ne ovisi o putu integracije. Kao put integracije možemo uzeti izlomljenu liniju, čije su veze paralelne sa koordinatnim osa.

Primjer 3

Pronađite opšte rješenje diferencijalne jednadžbe (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Rješenje

Provjerimo da li je uvjet ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x zadovoljen:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Ispada da je lijeva strana diferencijalne jednadžbe predstavljena ukupnim diferencijalom neke funkcije U (x, y) = 0. Da bismo pronašli ovu funkciju, potrebno je izračunati krivolinijski integral iz tačke (1 ; 1) prije (x, y). Uzmimo kao put integracije izlomljenu liniju, čiji će dijelovi prolaziti duž prave linije y=1 od tačke (1, 1) do (x, 1), a zatim od tačke (x, 1) do (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) = xy - xy 2

Dobili smo opšte rješenje diferencijalne jednadžbe oblika x y - x y 2 + C = 0 .

Primjer 4

Odrediti opšte rješenje diferencijalne jednadžbe y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Rješenje

Provjerimo da li je uslov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x zadovoljen.

Pošto je ∂ (y cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x , uslov neće biti zadovoljen. To znači da lijeva strana diferencijalne jednadžbe nije ukupni diferencijal funkcije. Ovo je odvojiva diferencijalna jednadžba i druga rješenja su pogodna za njeno rješavanje.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter